MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERICKE · PDF fileModeliranje onstrukkcija i numeri£ke metode Metoda ona£nihk elemenata (MKE) Napomene o redmetup Uvodne napomene Matemati£ki (ra£unski)

Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metodeMetoda kona£nih elemenata (MKE)

MODELIRANJE KONSTRUKCIJAI NUMERIKE METODE

Master akademske studije, I semestar

Prof dr Stanko Br£i¢email: [email protected]

Departman za Tehni£ke nauke

Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Br£i¢ Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metode


Sadrºaj

1 Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metodeNapomene o predmetuUvodne napomeneMatemati£ki (ra£unski) modeli konstrukcija

2 Metoda kona£nih elemenata (MKE)Op²ti koncept MKE: formulacija na bazi pomeranjaInterpolacija i funkcije oblikaDiskretizacija domena i diferencijalnih jedna£ina



Napomene o predmetuUvodne napomeneMatemati£ki (ra£unski) modeli konstrukcija

Sadrºaj






Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metode

Osnovni podaci o predmetu

Naziv: Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metode

Semestar: I

Fond £asova: 2+2

Studijski program: Graevinarstvo (MAS)

ESPB: 6

Status predmeta: izborni






Uslov za sticanje potpisa:- Uredno pohaanje nastave- Uspe²no uraeni zadaci

Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Poloºen ispit iz Betonskih konstrukcija 2, Prednapregnutih ispregnutih konstrukcija (ispunjeno!)






Na£in polaganja ispita:- individualno uraen semestralni zadatak- Usmeni ispit

Informacije o nastavi i predmetu:- posle predavanja- www.np.ac.rs, Departman Tehni£kih nauka, Nastavni materijali




Literatura

Softverski paketi od interesa

Tower 7 (Demo) . . . Radimpex Software,URL: www.radimpex.rs

AxisVM (Student Study, Student Thesis - 180 dana). . . Structural Analysis & Design SoftwareURL: www.axisvm.eu

SAP2000, ETABS, CSiBridge . . . Computers & Structures, Inc.URL: www.csiamerica.com

MATLAB The Language of Technical Computing . . .URL: www.mathworks.com

itd . . .




Sadrºaj






Ed Wilson's Book




3D Static and Dynamic Analysis of Structures





Ed Wilson's Book: Napomene u Predgovoru

Asistent Fizike na 1. godini studiranja Edwarda Wilsona uBekliju rekao je:

- "Ne koristite jedna£ine koje ne moºete sami da izvedete"- "Ako neko ima 5 minuta da re²i problem, od £ega mu zavisiºivot, trebalo bi da potro²i 3 minuta da £ita i jasno razumeproblem"

Tih principa Wislon se drºao celog ºivota i preformulisao ih u:

Ne koristite program za analizu konstrukcija ukoliko nerazumete u potpunosti teoriju i aproksimacije na kojima sezasniva program






Podrazumeva se da korisnik programa za analizu konstrukcija(dobro) poznaje "user interface", odn. da poznaje kako sekoristi program (²to vi²e - to bolje!)

Nije neophodno da se korisnik programa razume uprogramiranje

Nije neophodno da korisnik programa bude na veoma visokomnivou znanja matematike

Ali jeste neophodno da korisnik programa za analizukonstrukcija bude na dovoljnom nivou znanja iz oblasti teorijekonstrukcija, mehanike, otpornosti materijala, kao i betonskih,£eli£nih, drvenih konstrukcija, fundiranja, . . .






Veoma lako se pogre²i u unosu ulaznih podataka (a veomate²ko se pronalazi gre²ka!)

Da bi se "ozbiljno pogre²ilo" u analizi konstrukcija, neophodanje ra£unar i neki program

"Pe²a£kim" prora£unom moºe da se proceni red veli£ine

Imaju¢i sve ovo u vidu, neophodno je da se uvek proveravajudobijeni rezultati (i meurezultati!)

esto je korisno da se pre glavne analize formiraju jednostavnira£unski modeli gde bi se proverio i "uveºbao" neki segment"pravog" prora£una




Sadrºaj







Napomene o numeri£kim modelima

Matemati£ki model je apstraktno prikazivanje (idealizacija)nekog realnog problema ili pojave

U konstrukterskom (graevinskom) inºenjerstvu "problem ilipojava" je, naj£e²¢e, realna graevinska konstrukcija

Najpoºeljniji matemati£ki model razmatranog problema je onajkoji je sa jedne strane matemati£ki i konceptualnonajjednostavniji, a da pri tome istovremeno opisuje i obuhvatasve bitne odlike zi£kog sistema






U zavisnosti od optere¢enja koje deluje, ili koje moºe da deluje,analiza konstrukcije moºe da bude

1 stati£ka (nezavisna od vremena)2 dinami£ka (promenljiva sa vremenom)

U stati£koj analizi bitne odlike konstrukcije su- putevi preno²enja optere¢enja kroz konstrukciju dofundamenata i tla

- nosivost konstruktivnih elemenata, uklju£uju¢i i tlo- funkcionalnost konstruktivnih elemenata






Imaju¢i to u vidu, ra£unski model konstrukcije treba da je takavda ²to vernije reprodukuje osnovne konstruktivne elemente

- po geometrijskom obliku- po karakteristikama materijala- po grani£nim uslovima

To ne zna£i da mora da se prikaºe svaki detalj u ra£unskommodelu

Takoe je opravdano da se donekle uprosti geometrijski oblikelemenata konstrukcije






U dinami£koj analizi, osim puteva preno²enja optere¢enja, kaoi nosivosti i funkionalnosti elemenata, bitno je dinami£kopona²anje sistema konstrukcija - optere¢enje - tlo

U formiranju ra£unskog modela treba da se sagleda dinami£kopona²anje i da se reprodukuje na najbolji na£inPrvi deo dinami£ke analize je odreivanje dinami£kihkarakteristika konstrukcije

- svojstvenih frekvencija (ili perioda)- svojstvenih oblika






U zavisnosti od dinami£ke pobude, posebna paºnja mora da seposveti pojavi mogu¢e rezonancije

To je posebno izraºeno kod konstrukcija na kojima se nalazema²ine sa periodi£nim dejstvom

Ukoliko je radni broj obrtaja ma²ine ve¢i od osnovne frekvencijekonstrukcije, onda ¢e u fazama pokretanja ili zaustavljanjatakve ma²ine (npr. turbine) da doe do prolazne rezonancije

Osim analize mogu¢nosti nastanka rezonancije, mora da seodredi vremenski odgovor konstrukcije na dinami£ku pobudu






U zavisnosti od dinami£ke pobude, proces moºe da trajerazli£ito vremePrinudne vibracije konstrukcije mogu da budu

- periodi£ne (rad ma²ina)- aperiodi£ne

Glavni vidovi aperiodi£nih vibracija, navedeno po vremenutrajanja (od najkra¢eg ka duºem), su

- eksplozije- udari i sudari- zemljotresi- vetar






Dinami£ke analize su, po prirodi stvari, zna£ajno komleksnije ikomplikovanije od stati£kih analiza

Potrebni su odgovaraju¢i ra£unarski programi, a potrebni su ive¢i resursi ra£unara (procesor, RAM i HD) nego za stati£kuanalizu

Takoe je sloºenija analiza dobijenih rezultata

Naravno, potrebno je i ve¢e poznavanje specijalizovanematerije u slu£aju dinami£ke analize

Zbog svega ovoga, mnogi dinami£ki procesi se, u rutinskimprora£unima, posmatraju kao ekvivalentno stai£ko optere¢enje





Klasikacija matemati£kih (numeri£kih) modela

Matemati£ki (numeri£ki) modeli posmatranog zi£kog sistemamogu da se formuli²u na razne na£ineNajzna£ajniji parametri koji deni²u mehani£ko pona²anjerealne konstrukcije su

- masa konstrukcije- krutost konstrukcije- grani£ni (moºda i po£etni) uslovi- optere¢enja koja deluju

Masa i krutost konstrukcije odreeni su geometrijskim oblikomi karakteristikama izabranog materijala






Kako u stati£koj, tako i u dinami£koj analizi konstrukcije,mogu¢e je da se posmatrani zi£ki sistem tretira kao sistem sakontinualno rasporeenim, ili kao sistem sa diskretnorasporeenim parametrimaU zavisnosti od toga, razlikuju se

kontinualni matemati£ki modelidiskretni matemati£ki modeli

Na£elno, realniji su kontinualni od diskretnih modela

Meutim, matemati£ko tretiranje diskretnih modela bitno jejednostavnije od kontinualnih modela






Primenom diskretnih modela na bazi npr. MKE mogu¢e je dase formiraju ra£unski modeli i izuzetno sloºenih sistema

Primenom kontinualnih modela to svakako nije mogu¢e: moguda se posmatraju samo jednostavni problemi

Zbog toga je MKE najvi²e kori²¢en numeri£ki postupakU zavisnosti od prirode dobijenih jedna£ina koje pretstavljajumatemati£ku formulaciju posmatranog problema, razlikuju se

linearni modelinelinearni modeli






Naravno, obi£no se koristi linearna analiza zbog jednostavnijegmatemati£kog tretiranja

Meutim, u odreenim slu£ajevima neophodna je i nelinearnaanaliza

esto se dinami£ke pojave posmatraju kao ekvivalentnestati£ke, ali to nije uvek mogu¢ePrema tome, ra£unski modeli konstrukcija mogu da budu

stati£kidinami£ki






Ponekad su spolja²nji dinami£ki uticaji na posmatrani sistemdeterministi£kog karaktera, ali to £esto nije slu£aj

Na primer, uticaji zemljotresa, vetra, poºara, eksplozije itd.pretstavljaju primere slu£ajnih procesa

Slu£ajni procesi neuporedivo se sloºenije analiziraju, pri £emuje neophodan specijalizovan softver za toPrema tome i odgovaraju¢i matemati£ki modeli mogu da budu

deterministi£ki modeli iprobabilisti£ki modeli






U slu£aju probabilisti£kih modela, dinami£ka pobuda i odgovormehani£kog sistema izraºavaju se kao slu£ajni procesi:

- preko statisti£ki osrednjenih vrednosti- uktuacija- verovatno¢a pojave i sl.

Matemati£ko tretiranje kod probabilisti£kih modela znatno jesloºenije nego kod deterministi£kih

Zato je sasvim uobi£ajeno da se £ak i tako o£igledno slu£ajnapojava kao ²to je npr. zemljotres analizira na bazideterministi£kih pristupa






Klasikacija matemati£kih modela u numeri£koj analizikonstrukcija na

- diskretne - kontinualne- linearne - nelinearne- stati£ke - dinami£ke- deterministi£ke - probabilisti£ke

meusobno je nezavisna

Zna£i, mogu¢e je formiranje matemati£kih modela saproizvoljnom kombinacijom atributa - npr. nelinearni diskretniprobabilisti£ki dinami£ki model i sl.





Cilj matemati£kog (numeri£kog) modeliranja

Matemati£ki model predstavlja pogodno izabranu matemati£kuformulaciju posmatranog zi£kog procesa

Osnovni cilj ra£unskog modeliranja je da se matemati£kimputem doe do odgovora o pona²anju zi£kog procesa

Najbolje re²enje ra£unskog modela je analiti£ko

Meutim, veoma su retki slu£ajevi da je matemati£kaformulacija posmatranog procesa takva da se do re²enja moºeda doe u zatvorenom, odn. u analiti£kom, obliku






Neuporedivo je £e²¢i slu£aj da mora da se odredi numeri£kore²enje jedna£ina ili nejedna£ina kojima se opisuje posmatraniproblem

Numeri£ko re²enje je, po prirodi stvari, uvek pribliºno

Odgovaraju¢a matemati£ka formulacija modela zavisi pre svegaod toga kakvo je razumevanje zi£kog procesa onoga ko vr²imodeliranje

Meutim, matemati£ka formulacija takoe bitno zavisi i odprakti£nih mogu¢nosti odreivanja re²enja matemati£kogmodela






To je posebno tako kada se ima u vidu da je £esto prirodaposmatranog problema takva da je jedino mogu¢e da se odredinumeri£ko re²enje problema

To zna£i da se do re²enja dolazi kori²¢enjem ra£unara

Prema tome, i raspoloºivi resursi bitno uslovljavaju i na£informulisanja modelaPod resursima se podrazumevaju

- ra£unari (procesor, RAM, HD, gra£ka karta)- odgovaraju¢i ra£unarski programi (komercijalni ili"home-made")





Potrebni uslovi za numeri£ko modeliranje: ra£unari i programi

Sada²nji personalni ra£unari su veoma mo¢ni (neuporedivove¢ih mogu¢nosti od supera£unara iz 70-tih, 80-tih)







Op²ti koncept MKE: formulacija na bazi pomeranjaInterpolacija i funkcije oblikaDiskretizacija domena i diferencijalnih jedna£ina

Sadrºaj






Metoda kona£nih elemenata

MKE - uvodne napomene

Metoda kona£nih elemenata (MKE) ili The Finite ElementMethod (FEM) je numeri£ki postupak za pribliºno re²avanjegrani£nih i po£etnih problema, odn. obi£nih ili parcijalnihdiferencijalnih jedna£ina sa datim grani£nim i po£etnimuslovima

Grani£ni problem (Boundary value problem, Field problem)odreen je sa parcijalnom diferencijalnom jedna£inomdenisanom unutar nekog domena V ili Ω i sa odgovaraju¢imgrani£nim uslovima na konturi Γ . . . stati£ki problem






Domen denisanosti problema, odnosno nepoznate veli£ine,moºe da bude linijski (1D), povr²inski (2D) ili prostorni (3D)

Odgovaraju¢e koordinate koje deni²u domen su nezavisnopromenljive veli£ine (koordinate), dok je traºena veli£inanepoznata funkcija koordinata

Ako je domen problema linijski (1D), grani£ni problem jedenisan sa obi£nom diferencijalnom jedna£inom

U slu£aju kada je domen 2D ili 3D, problem je denisan saparcijalnom diferencijalnom jedna£inom

Re²enje grani£nog problema je poznata raspodela traºeneveli£ine unutar posmatranog domena






Po£etni problem (Initial value problem) odreen je saparcijalnom diferencijalnom jedna£inom denisanom unutarnekog prostornog domena V ili Ω, kao i u vremenskomdomenu t > 0 . . . dinami£ki problem

U slu£aju problema po£etnih vrednosti, osim grani£nih uslovana konturi Γ domena, neophodni su i odgovaraju¢i po£etniuslovi u po£etnom trenutku t = t0

Po£etni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcijeproblema i njenih izvoda po vremenu, u svim ta£kama domenadenisanosti, uklju£juju¢i i granicu, u po£etnom trenutkuvremena t = t0






Su²tina MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domenana izabrane pod-domene, odn. na kona£ne elemente,usvojenog oblika, pri £emu su ti pod-domeni kona£nihdimenzija i sa izabranim £vornim ta£kama na granici, amogu¢e i u unutra²njosti kona£nog elementa

Kona£ni elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti,trouglovi, £etvorougli, paralelopipedi i sl.

Cilj je da se stvarni zi£ki domen problema izabranimkona£nim elementima ²to bolje prikaºe u ra£unskom domenuprikazanom preko usvojene mreºe kona£nih elemenata

Cilj je da se postigne ²to bolje poklapanje zi£kog i ra£unskogdomena






Pojedina£ni kona£ni elementi mogu da se shvate kao malidelovi posmatranog domena i u pitanju su mali kona£ni delovi,a ne innitezimalni (beskona£no mali) delovi

Kona£ni elementi su meusobno povezani samo u £vornimta£kama

Nepoznata veli£ina unutar kona£nog elementa izraºava se kaolinearna kombinacija poznatih funkcija raspodele unutarelementa i nepoznatih vrednosti funkcije u £vornim ta£kamakona£nog elementa

esto se za nepoznate vrednosti u £vornim ta£kama kona£nihelemenata, osim glavne nepoznate veli£ine, biraju jo² i prviizvodi nepoznate po koordinatama koje deni²u domen






Koriste¢i Galerkinovu metodu teºinskih ostataka, ili nekivarijacioni princip Mehanike, osnovne diferencijalne jedna£ineproblema transformi²u se u integralne jedna£ine pojedina£nihkona£nih elemenata

Sabiranjem doprinosa svih kona£nih elemenata formira seglobalni sistem algebarskih jedna£ina koji den²e posmatrani(stati£ki) problem

U slu£aju dinami£kog problema osnovne nepoznate u£vorovima (generalisane koordinate) su funkcije vremena, takoda se dolazi do sistema obi£nih diferencijalnih jedna£ina povremenu




Grani£ni ili po£etni problem

Grani£ni ili po£etni problem deformabilnog 3D telaStanko Br£i¢ Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metode



MKE: osnovne relacije i interpolacija

Grani£ni (po£etni) problem

Grani£ni ili po£etni problem deformabilnog tela posmatrastanje napona i deformacija tela usled datih spolja²njih uticaja

Ukoliko su spolja²nji uticaji zna£ajnije zavisni od vremena,problem je dinami£ke prirode i opisan je (na£elno)odgovaraju¢im diferencijalnim jedna£inama kretanja

Ako su vremenske promene optere¢enja i odgovora telazanemarljive, problem je stati£ke prirode i denisan jeodgovaraju¢im diferencijalnim jedna£inama ravnoteºe

Osim diferencijalnih jedna£ina kretanja ili ravnoteºe, moraju dabudu denisani i odgovaraju¢i grani£ni i po£etni uslovi (zadinami£ki problem)





Formulacija na bazi pomeranja

MKE je najvi²e primenjivan numeri£ki postupak za pribliºnore²avanje grani£nih i po£etnih problema

Ve¢ina pristupa u MKE u Primenjenoj mehanici zasnovana jena polju pomeranja kao osnovnim nepoznatim

U razmatranju nekog problema bitno je da se usvojeodgovaraju¢i kona£ni elementi i interpolacione funkcije, aposebno da se izvedu matrice krutosti elemenata

Izvoenje sistema jedna£ina kojima se dobija pribliºno re²enjeproblema zajedni£ko je, na£elno, za sve probleme





Formulacija na bazi pomeranja

Za neke od kona£nih elemenata relacije mogu da se formuli²udirektnim putem, kao ²to su linijski kona£ni elementi zare²etkaste i pune ²tapove, u ravni ili u prostoruZa povr²inske ili prostorne kona£ne elemente polazi se odosnovnih relacija u mehanici, odn. u naponsko-deformacijskojanalizi i teoriji elasti£nosti:

- veze izmeu deformacija i pomeranja- veze izmeu napona i deformacija- uslovi ravnoteºe (ili diferencijalne jedna£ine kretanja)- grani£nih i po£etnih uslova- odgovaraju¢ih principa Mehanike





Veze napon - deformacija

Neka su σ i ε vektori napona i deformacija, a indeks 0ozna£ava po£etnu vrednost vektora napona ili deformacija

Posmatraju se idealno elasti£ni materijali, pa je Dkonstitutivna matrica koja sadrºi odgovaraju¢e elasti£nekonstante

Za linearno elasti£ne uslove veza napon - deformacija moºe dase prikaºe u obliku

σ = Dε+ σ0 ili σ = D(ε− ε0) (1)

gde je σ0 = −Dε0






Veza (1) vaºi za jednu, dve ili tri dimenzije

Za jednoaksijalno naprezanje i bez po£etnih napona, veza je

σ = Eε

gde je E modul elasti£nosti

Za dve dimenzije i ravan x, y veza (1) data u je oblikuσxσyτxy

=

D11 D12 D13

D21 D22 D23

D31 D32 D33

εxεyγxy

+

σx0

σy0

τxy0






Konstitutivna matrica D je simetri£na: Dij = Dji

Matrica D moºe da prikazuje izotropne ili anizotropnematerijalne osobine

Za izotropan materijal i za ravno stanje napona(σz = τxz = τyz = 0), konstitutivna matrica D data je uobliku

D =E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

gde je E modul elasti£nosti, dok je ν Poisson-ov koecijent






Inverzna konstitutivna matrica jednaka je

D−1 =

1E − ν

E 0− νE

1E 0

0 0 1G

gde je G modul klizanja

G =E

2(1− ν)






Za izotropan materijal i za ravno stanje deformacija(εz = γxz = γyz = 0), konstitutivna matrica D data je uobliku

D =E(1− ν)

(1 + ν)(1− 2ν)

1 ν1−ν 0

ν1−ν 1 0

0 0 1−2ν2(1−ν)

Inverzna relacija (1), odn. veza deformacija - napon, dobija seu op²tem obliku

ε = D−1 σ + ε0






Za izotropan materijal i za ravno stanje napona vezedeformacija - napon glase (napisano skalarno)

εx =σxE− ν σy

E+ εx0

εy = −ν σxE

+σyE

+ εy0

γxy =τxyG

+ γxy0






Po£etne deformacije ε0 mogu da imaju razne uzroke, npr.temperaturne promene, bubrenje usled vlage, skupljanje ite£enje betona

U slu£aju da se posmatra po£etna deformacija usled dva ili vi²eizvora, u vezu (1) mogu da se uklju£e i po£etni naponi σ0 ipo£etne deformacije ε0

Ako je materijal izotropan, a po£etna deformacija je nastalausled promene temperature t, onda je

εx0 = εy0 = α t γxy0 = 0

gde je α koecijent temperaturne dilatacije materijala






U tri dimenzije konstitutivna matrica D je simerti£na, reda 6, ipovezuje σ i ε (uz zanemarivanje po£etnog napona ilideformacija) σ = Dε:

σxσyσzτxyτyzτzx

= [Dij ]6×6

εxεyεzγxyγyzγzx

(2)






Za slu£aj izotropije, kao i za po£etne deformacije usledtemperaturne promene t, ne-nulti elementi u vezi (2) su dati sa

D11 = D22 = D33 = (1− ν) c

D44 = D55 = D66 = G

D12 = D21 = D13 = D31 +D23 = D32 = ν c

εx0 = εy0 = εz0 = α t

gde je

c =E

(1 + ν)(1− 2ν)G =

E

2(1 + ν)





Veze deformacije - pomeranja

Veze izmeu deformacija i pomeranja su zna£ajne, jer se, prekoveza napon - deformacija odreuju naponi na osnovuprethodno izra£unatih pribliºnih vrednosti pomeranja kaoosnovnih nepoznatihKoriste se inºenjerske denicije deformacija

- dilatacija je promena duºine podeljena sa originalnom duºinom- klizanje je promena prvobitnog pravog ugla izmeu dva pravca

Posmatraju se pomeranja u ravni u = u(x, y), v = v(x, y)





Deformacije elementarnog kvadrata dx dy u ravni i odgovaraju¢edilatacije i klizanje (za ∆x→ 0 i ∆y → 0)






Ako su poznata pomeranja ta£ke u(x, y) i v(x, y) u dva pravcax i y, onda su dilatacije i klizanje denisani sa

εx =∂u

∂xεy =

∂v

∂yγxy =

∂u

∂y+∂v

∂x(3)

Za slu£aj 3D prostora, komponente pomeranja suu(x, y, z), v(x, y, z) i w(x, y, z)

Dilatacije i klizanja su dati sa, osim sa izrazima (3), jo² i sa

εz =∂w

∂zγyz =

∂v

∂z+∂w

∂yγzx =

∂w

∂x+∂u

∂z(4)






U matri£nom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da seprikaºu, za 2D, kao

εxεyγxy

=

∂∂x 0

0 ∂∂y

∂∂y

∂∂x

u(x, y)v(x, y)

(5)






U matri£nom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da seprikaºu, za 3D, kao

εxεyεzγxyγyzγzx

=

∂∂x 0 0

0 ∂∂y 0

0 0 ∂∂z

∂∂y

∂∂x 0

0 ∂∂z

∂∂y

∂∂z 0 ∂

∂x

u(x, y, z)v(x, y.z)w(x, y, z)

(6)






Veze izmeu deformacija i pomeranja (5) i (6) mogu da senapi²u skra¢eno u obliku

ε = Lu (7)

gde je L diferencijalni operator za 2D ili 3D

L2D =

∂∂x 0

0 ∂∂y

∂∂y

∂∂x

odn. L3D =

∂∂x 0 0

0 ∂∂y 0

0 0 ∂∂z

∂∂y

∂∂x 0

0 ∂∂z

∂∂y

∂∂z 0 ∂

∂x

(8)






Sa u u vezi (8) ozna£en je vektor sa komponentamapomeranja u 2D ili 3D:

u2D =

u(x, y)v(x, y)

odn. u3D =

u(x, y, z)v(x, y.z)w(x, y, z)

(9)

Ako se posmatra jednodimenzionalna deformacija i pomeranjeu pravcu ose x: u = u(x), onda je veza dilatacija pomeranjedata sa

εx =du

dx(10)






Diferencijalni operator u ovom slu£aju pomeranja u jednompravcu moºe da se prikaºe kao matrica samo sa jednimelementom:

L =

[d

dx

](11)

Imaju¢i ovo u vidu, mogu¢e je da se i za 1D problem, odn. zajednoaksijalno naprezanje, veza napon - deformacija napi²ematri£nom obliku

σ = Dε ⇔ σx = Eεx






Veza izmeu deformacije i pomeranja u jednoaksijalnomnaprezanju u pravcu ose x moºe da se prikaºe u matri£nomobliku

ε = Lu ⇔ εx =du

dx

Kompatibilnost pomeranja i deformacija, ili kra¢e, uslovikompatibilnosti mora da postoji i u numeri£kom modeluukoliko se o£ekuju (dovoljno) ta£ni i realni rezultati

Uslovi kompatibilnosti zna£e da se tokom pomeranja idefrmacije ne javljaju pukotine, prekidi u materijalu, naboriprilikom savijanja, da nema meupenetracije pojedinih delova isli£no





Kompatibilnost pomeranja i deformacija

Uslovi kompatibilnosti zahtevaju da su pomeranja u ra£unskommodelu kontinualne i jednozna£ne funkcije koordinata udomenu

Ako se posmatra 2D ravanski model, onda se uslovikompatibilnosti svode na relaciju izmeu deformacija

∂2εx∂y2

+∂2εy∂x2

=∂2γxy∂x∂y

Analogne relacije pretstavljaju uslove kompatibilnosti i za 3Dslu£aj





Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna£ine kretanja: 3D

Uslovi ravnoteºe u prostornom problemu postavljaju seposmatraju¢i elementarnu zapreminu dV = dxdydz

Na povr²inama elementarne zapremine deluju unutra²nje sileveze (naponi), a u sredi²tu elementarne kocke delujurezultuju¢e zapreminske sile

U stati£kom slu£aju mirovanja tela, sve sile koje deluju na telo,ili na izdvojeni deo (∞ mali ili kona£ni), nalaze se u ravnoteºi

U dinami£kom slu£aju postavlja se Zakon o promeni koli£inekretanja (ili 2. Njutnov zakon) za posmatrani izdvojenielementarni deo tela




Elementarna zapremina dV = dxdydz

Naponi su unutra²nje sile veze na stranicama elementarnezapremine unutar 3D tela






Diferencijalne jedna£ine kretanja elementarne zapremine telamogu da se prikaºu u obliku

ρu =∂σx∂x

+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

+ fx

ρv =∂τxy∂x

+∂σy∂y

+∂τzy∂z

+ fy

ρw =∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σz∂z

+ fz

(12)

Komponente pomeranja sredi²ta elementarne zapremine suu, v, w, dok su u, v, w komponente ubrzanja






U jedn. (12) sa ρ je ozna£ena gustina mase

ρ =dm

dV

Zapreminske sile u jedn. (12) mogu da se prikaºu kao vektorzapreminskih sila fb:

fb =

fxfyfz






Diferencijalne jedna£ine kretanja (12) mogu da se prikaºu umatri£nom obliku kao

ρu = LTσ + fb (13)

gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slu£aju za 3D

U slu£aju mirovanja, ubrzanja i brzine su jednaki nuli, pajedna£ine kretanja (13) postaju jedna£ine ravnoteºe

LTσ + fb = 0 (14)






Ako se naponi u jedn. (13) prikaºu preko deformacija, (1), uzσ0 = 0, pa ako se deformacije izraze preko pomeranja, (7),dobijaju se diferencijalne jedna£ine kretanja izraºene prekopomeranja

ρu = LTDLu+ fb (15)

Sli£no, jedna£ine ravnoteºe (14) mogu da se prikaºu prekopomeranja

LTDLu+ fb = 0 (16)






3D problem moºe da se zna£ajno uprosti ako moºe da seposmatra kao 2D

U prikazivanju 2D solida (deformabilnog tela) na£elno seukloni jedna koordinata, obi£no z, i problem se posmatra ux, y ravni

Smatra se da su promenljive veli£ine problema nezavisne od zkoordinate, kao i da je spolja²nje optere¢enje nezavisno od zProblemi 2D solida grupi²u se, na£elno, u dva tipa problema:

- ravno stanje napona- ravno stanje deformacija






Deformabilna tela u ravnom stanju napona su po svom obliku2D, odn. takva da su dimenzije u jednoj ravni (x, y) sli£nogreda veli£ine, dok je tre¢a dimenzija, u pravcu ose z, za redveli£ine manja

Spolja²nje sile deluju samo u x, y ravni i naponi u pravcu z sujednaki nuli

σz = 0 τxz = 0 τyz = 0

Sva pomeranja i deformacije vr²e se samo u x, y ravni




Ravno stanje napona

Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona(npr. zidno platno)




Ravno stanje napona

Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona(npr. zidno platno)






Deformabilna tela u ravnom stanju deformacija su po svomobliku 3D, odn. dimenzija u pravcu ose z za red veli£ine jeve¢a od dimenzija u ravni (x, y)

Spolja²nje sile su ravnomerno raspodeljene u pravcu ose z (anaravno i u x, y ravni)

Sva pomeranja i deformacije u pravcu ose z su spre£ena

Komponentalne deformacije u pravcu ose z su jednake nuli:

εz = 0 γxz = 0 γyz = 0




Ravno stanje deformacija

Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija(npr. gravitaciona brana ili potporni zid)




Ravno stanje deformacija

Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija(npr. gravitaciona brana ili potporni zid)






Diferencijalne jedna£ine kretanja za 2D solid (ravno stanjenapona ili deformacije) mogu da se prikaºu u obliku

ρu =∂σx∂x

+∂τyx∂y

+ fx

ρv =∂τxy∂x

+∂σy∂y

+ fy

(17)

odnosno, u matri£nom obliku:

ρu = LTσ + fb (18)

gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slu£aju za 2D






Vektor spolja²njih sila fb u jedn. (18) dat je sa

fb =

fxfy

U slu£aju kada je 2D problem stati£ki, onda su jedna£ineravnoteºe date sa

LTσ + fb = 0 (19)

ili u obliku samo po pomeranjima:

LTDLu+ fb = 0 (20)





Grani£ni ili po£etni problem deformabilnog 3D tela






Posmatrano deformabilno telo zauzima neku zapreminuprostora V , dok je Γ grani£na povr² oko zapremine VNa konturi oblasti denisanosti problema zadati su grani£niuslovi koji mogu da budu

- grani£ni uslovi po pomeranjima- grani£ni uslovi po silama

U ta£kama konture povr²i na delu Γ1 zadata su pomeranja

U ta£kama konture povr²i na delu Γ2 zadate su sile






U dinami£kim problemima moraju da budu zadati, osimgrani£nih, jo² i po£etni uslovi:

- zadata po£etna konguracija u po£etnom trenutku t = 0- zadata po£etna brzina (prvi izvod po vremenu) u po£etnomtrenutku t = 0

Ako je u(t) vektor pomeranja u proizvoljnom trenutkuvremena, onda su po£etni uslovi dati u obliku

- po£etni poloºaj . . . t = 0 : u(0) = u0

- po£etna brzina . . . t = 0 : u(0) = v0




Sadrºaj







Interpolacija i funkcije oblika

Interpolacija zna£i formiranje kontinualnih funkcija kojezadovoljavaju propisane uslove u kona£nom broju ta£aka

U MKE kona£an broj ta£aka su £vorne ta£ke kona£nihelemenata, a propisani uslovi su vrednosti nepoznatih, aeventualno i njihovih izvoda, u £vornim ta£kama

vorne vrednosti mogu da budu i ta£ne (²to obi£no nisu upotpunosti), ali interpolacija pretstavlja pribliºnu raspodelunepoznatih unutar posmatrane oblasti (unutar kona£nogelementa)






Neka je domen Ω posmatranog problema podeljen napod-oblasti, odn. na kona£ne elementate sa odgovaraju¢imdomenima svakog elementa Ωe

Prostornoj dimenziji domena Ω odgovara i dimenzija kona£nihelemenata Ωe: 1D, 2D ili 3D

Obi£no se domen Ω opisuje u Dekartovom sistemu, tako da sekoriste koordinate (x), (x, y), ili (x, y, z)

Diskretizacijom domena na kona£ne elemente usvaja se oblikkona£nih elemenata, kao i broj £vornih ta£aka i broj nepoznatihparametara (generalisanih koordinata) u svakoj £vornoj ta£ki






Neka je domen Ω diskretizovan na nel kona£nih elemenata ineka svaki kona£ni element ima nd £vornih ta£aka, a u svakoj£vornoj ta£ki nf £vornih nepoznatih

Ukupan broj nepoznatih (broj stepeni slobode) jednogkona£nog elementa je ndof = nd × nfAko je u mreºi kona£nih elemenata prisutno nnd £vornih ta£akaza sve kona£ne elemente, onda je ukupan broj stepeni slobodecelog domena, ili ukupan broj generalisanih koordinata, jednak

ntot = nnd × nf

pod uslovom da u svakom £voru ima isti broj nepoznatih






Posmatra se jedan kona£ni element sa nd £vornih ta£aka

Lokacije £vornih ta£aka u globalnom koordinatnom sistemudate su sa vektorima xi, (i = 1, 2, . . . , nd)U zavisnosti od dimenzije domena, vektori poloºaja £vornihta£aka kona£nog elementa dati su sa

- za 1D . . .xTi = xi

- za 2D . . .xTi = x, yi

- za 3D . . .xTi = x, y, zi

Za svaku komponentu pomeranja kona£nog elementa potrebnoje da se deni²e nd interpolacionih funkcija






Na primer, za prost ²tap (1D element), komponentapomeranja je aksijalno pomeranje u

Za gredni nosa£ (1D element), komponenta pomeranja jetransverzalno pomeranje v, kao i obrtanje, odn. izvodpomeranja ϕ = v′

Za ravno stanje napona ili deformacija (2D element),komponente pomeranja su u, v

Za savijanje tankih plo£a (2D element), komponentapomeranja je w, kao i obrtanja, odn. izvodi pomeranja:ϕx = ∂w/∂x, ϕy = ∂w/∂y

Za 3D element, komponente pomeranja su u, v, w






Posmatra se, kao ilustracija postupka, samo jedna komponentapomeranja i njeno pribliºno prikazivanje (interpolacija) unutardomena kona£nog elementa sa nd £vornih ta£aka

Neka je komponenta pomeranja koja se interpolira unutarelementa komponenta pomeranja u = u(x)

Ako kona£ni element ima nd £vornih ta£aka, prvo se prikaºekomponenta pomeranja u = u(x) kao linearna kombinacija ndmeusobno nezavisnih baznih funkcija pi(x)

u ≈ u(x) =

nd∑1

pi(x)αi = pT (x)α (21)






U izrazu (21) funkcije pi(x) su bazne funkcije koje se birajukao monomi (ili polinomi) prostornih koordinata x, dok su αinepoznati koecijenti koji treba da se odredeMonomi ili polinomi koji £ine kompletnu bazu do stepena pdati su

za 1D domen pT (x) = 1, x, x2, x3, x4 . . . xpza 2D domen pT (x) = 1, x, y, xy, x2, y2, . . . , xp, ypza 3D domen

pT (x) = 1, x, y, z, xy, yz, zx, x2, y2, z3, . . . , xp, yp, zp





Paskalov trougao - 2D domen

Kao op²te pravilo, nd £lanova polinoma p(x) koji se koristekao bazne funkcije u interpolaciji treba da se izaberu, odkonstantnog £lana (nulti monom, odn. 1) do vi²ih £lanova,redom, iz tzv. Paskalovog trougla za 2D, odnosno iz Paskalovepiramide za 3D





Paskalova piramida -3D domen






Da bi se odredili nepoznati koecijenti αi, odnosno izrazilipreko £vornih vrednosti osnovnih nepoznatih qi, u ovomslu£aju komponenti £vornih pomeranja ui, koriste¢iinterpolaciju (21) pi²u se izrazi za £vorna pomeranja ui upoznatim lokacijama £vornih ta£aka xiTo moºe da se prikaºe relacijama

ui = pT (xi)α (i = 1, 2, . . . , nd) (22)

gde je ui £vorna vrednost komponente pomeranja u u £vorubroj i sa koordinatama xi






Svih nd jedna£ina (22) mogu da se napi²u kao jedna matri£najedna£ina

u = P α (23)

gde je u vektor sa komponentama £vornih pomeranja ui, dokje α vektor sa nepoznatim konstantama:

u =

u1

u2...und

α =

α1

α2...αnd






Matrica P u jedna£ini (23) zove se momentna matrica i dataje u obliku kvadratne matrice

P =

p1(x1) p2(x1) · · · pnd

(x1)p1(x2) p2(x2) · · · pnd

(x2)...

.... . .

...p1(xnd

) p2(xnd) · · · pnd

(xnd)

(24)

Ako su bazne funkcije (monomi ili polinomi) pi(x) meusobnonezavisne regularnost matrice zavisi od rasporeda £vorova ukona£nom elementu






Koecijenti αi dobijaju se re²avanjem matri£ne jedna£ine (23),uz uslov da postoji inverzna matrica P−1:

α = P−1 u

Unose¢i ovo u (21) dobija se

u(x) ≈ u(x) = pT (x)P−1 u = N(x)u (25)

gde je N(x) matrica interpolacionih funkcija:

N = pT (x)P−1 = [ N1(x) N2(x) · · · Nnd(x) ] (26)






Interpolaciona funkcija broj i, Ni(x), koja se odnosi na £vor i ina jednu komponentu pomeranja u tom £voru (komponentupomeranja ui kao ilustracija), data je, kao ²to se vidi, u obliku

Ni(x) = pT (x)P−1i (27)

gde je P−1i i-ta kolona matrice P−1

Izvodi interpolacionih funkcija po prostornim koordinatama xmogu lako da se odrede, jer se interpolacione funkcijeizraºavaju preko polinoma






m-ti izvod interpolacione funkcije Ni(x) jednak je

N(m)i (x) = [p(m)(x)]T P−1

i (28)

Kod kona£nih elementata vektor pomeranja d = q moºe daima vi²e komponentalnih pomeranja:

- linijski (1D) elementi . . .dT = u ili dT = v- povr²inski (2D) elementi . . .dT = u, v- zapreminski (3D) elementi . . .dT = u, v, w

Osim komponenata pomeranja, £vorne nepoznate kona£nogelementa mogu da budu i obrtanja






Obrtanja su denisana kao odgovaraju¢i izvodi pomeranja, alise posmatraju kao nezavisne promenljive veli£ine, kao npr. uanalizi grednih kona£nih elemenata ili u analizi plo£a

Ako kona£ni element (1D, 2D ili 3D) ima nd £vornih ta£aka, au svakom £voru ima nf komponentalnih pomeranja, odn. nfstepeni slobode, onda je broj stepeni slobode (dof) kona£nogelementa jednak

ndof = nd × nf






Vektor £vornog pomeranja di i vektor pomeranja (vektorgeneralisanih koordinata) za ceo kona£ni element del dati sukao

di = qi =

q1

q2...qnf

del = qel =

q1

q2...qnd

(29)






Ako kona£ni element (1D, 2D ili 3D) ima nd £vornih ta£aka,vektor pomeranja proizvoljne ta£ke unutar kona£nog elementaprikazuje se preko interpolacionih funkcija i vektorakomponentalnih £vornih pomeranja di u obliku

d(x) =

nd∑i=1

Ni(x)di = N d (30)






Interpolacione funkcije Ni(x) za £vor i u kome ima nf £vornihnepoznatih, date su sa

Ni(x) = Ni(x) Inf(31)

gde su- Ni(x) . . . interpolacione funkcije odreene za jednukomponentu pomeranja u £voru i

- Inf. . . jedini£na matrica reda nf

Na£elno, mogu¢e je da svaka komponenta pomeranja imarazli£itu interpolacionu funkciju, ali se to (obi£no, osim ako nemora), ne radi, ve¢ su interpolacione funkcije date kaoNi(x) Inf





Prost ²tap sa dva £vora

Za kona£ni element prostog ²tapa odrediti funkcije oblika






Kona£ni element je u 1D domenu, sa dve £orne ta£ke i sa pojednom komponentom pomeranja u £voru

Baznih funkcija ima dve i to su p1 = 1 i p2 = x, odnosno, umatri£nom obliku

pT (x) = 1 x

Pomeranje u(x) na proizvoljnom mestu duº kona£nog elementaprikazuje se u obliku (21), ²to je u ovom slu£aju dato sa

u(x) = α0 + xα1 = 1 x α0

α1

(32)






Koordinate £vornih ta£aka 1 i 2 su date sa

u1 : x1 = 0 u2 : x2 = `

Ako se relacija (32) napi²e za £vorne ta£ke, dobija se

u1 = 1 0 α0

α1

= α0

u2 = 1 ` α0

α1

= α0 + ` α1

ili u matri£nom obliku u = Pα






U razvijenom obliku u = Pα postajeu1

u2

=

[1 01 `

]α0

α1

Inverzna matrica momentne matrice P se dobija u obliku

P−1 =

[1 0−1`

1`

]pa su konstante α date sa

α = P−1u






Sa ovim, prikaz pomeranja u(x) dat sa (32) dobija se u obliku

u(x) = pT (x)P−1u = 1 x [

1 0−1`

1`

]u1

u2

(33)

Interpolacione funkcije date su sa (28):

Ni(x) = pT (x)P−1i (34)

odnosno, kao proizvod vektora baznih funkcija i odgovaraju¢egvektora kolone inverzne momentne matrice P−1

i






Dobijaju se interpolacione funkcije

N1(x) = 1 x

1−1`

= 1− x

`

N2(x) = 1 x

01`

=x

`

Sa ovim, interpolacija aksijalnog pomeranja duº kona£nogelementa data je sa

u(x) =[N1(x) N2(x)

] u1

u2





Gredni kona£ni element u ravni

Za gredni kona£ni element u ravni sa dve ta£ke odreditifunkcije oblika






Gredni kona£ni element u ravni sa dve ta£ke zahtevakontinuitet C1, jer su u £vornim ta£kama nepoznate veli£ine,osim transverzalnih pomeranja, jo² i obrtanja, odn. prvi izvodipomeranja

Homogena diferencijalna jedna£ina savijanja ²tapa, izraºenapreko pomeranja, data je sa

d4v(x)

dx4= 0

Op²ti integral ove jedna£ine je

v(x) = C1 + C2x+ C3x2 + C4x

3






Imaju¢i sve ovo u vidu, interpolacija transverzalnog pomeranjaduº ose kona£nog elementa usvaja se u obliku baznih funkcijado kubnog monoma:

pT (x) = 1 x x2 x3 (35)

Prvi izvodi baznih funkcija su

[p′(x)]T = 0 1 2x 3x2 (36)






Interpolacija transverzalnog pomeranja v(x) ta£aka duº osekona£nog elementa prikazuju se u obliku

v(x) = pT (x)α = 1 x x2 x3

α0

α1

α2

α3

(37)

Diferenciranjem baznih funkcija po x prikazuje se interpolacijaobrtanja

ϕ(x) =dv

dx






Interpolacija obrtanja ϕ(x) duº ose kona£nog elementa dobijase kao

ϕ(x) = [p′(x)]Tα = 0 1 2x 3x2

α0

α1

α2

α3

(38)

Koriste¢i interpolaciju (37) i (38) mogu da se prikaºupomeranja i obrtanja £vornih ta£aka u zavisnosti odnepoznatih konstanti αi






Imaju¢i u vidu da je za £vor 1 x = 0, dok je za £vor 2 x = `,dobija se jedna£ina

v1

ϕ1

v2

ϕ2

=

1 0 0 00 1 0 01 ` `2 `3

0 1 2` 3`2

α0

α1

α2

α3

(39)

ili u matri£nom oblikuq = Pα (40)






Inverzna matrica momentne matrice P dobija se kao

P−1 =

1 0 0 00 1 0 0− 3`2−2`

3`2

−1`

2`3

1`2− 2`3

1`2

(41)

Prema tome, nepoznate konstante α izraºavaju se preko£vornih nepoznatih

α = P−1q

Unose¢i ovako izraºene konstante α u izraz za transverzalnapomeranja (37) dolazi se do interpolacionih funkcija






Interpolacione funkcije date su kao proizvod vektora baznihfunkcija i odgovaraju¢e kolone inverzne matrice P−1

i

Ni(x) = pT (x)P−1i (42)

Interpolaciona funkcija N1(x) data je sa

N1(x) = 1 x x2 x3

10− 3`2

2`3

= 1−3x2

`2+2

x3

`3(43)







N2(x) = 1 x x2 x3

01−2`

1`2

= 1−3x2

`2+ 2

x3

`3(44)


N3(x) = 1 x x2 x3

003`2

− 2`3

= 3x2

`2− 2

x3

`3(45)







N4(x) = 1 x x2 x3

00−1`

1`2

= −x2

`+x3

`2(46)

Transverzalna pomeranja duº ose kona£nog elementaizraºavaju se preko £vornih pomeranja i obrtanja:

v(x) = [ N1(x) N2(x) N3(x) N4(x) ]

v1

ϕ1

v2

ϕ2










Kontinuitet interpolacionih funkcija

U primeni MKE prva stvar je diskretizacija ra£unskog domenana pod-domene, odn. na kona£ne elemente

Unutar svakog kona£nog elementa usvaja se lokalnainterpolacija nepoznatih veli£ina posmatranog problema, kojase izraºava preko usvojenih interpolacionih funkcija i £vornihvrednosti nepoznatih veli£ina

Cilj diskretizacije domena i samog numeri£kog postupka uMKE je da se postigne ²to je bolje numeri£ko re²enje problema






to bolje numeri£ko re²enje zna£i da se postignekonvergencija pribliºnog re²enja ka ta£nom

Kako je ta£no re²enje, u principu, nepoznato, procena dobrekonvergencije nije jednostavna

Nastoji se da se formuli²u na£elni zahtevi koji obezbeujukonvergenciju, koji se prvo (paºljivo) testiraju na poznatimre²enjima, pa se onda smatra da ¢e takvi zahtevi da obezbedekonvergenciju i za nepoznato re²enje






U MKE ta£nost re²enja procenjuje se sa stanovi²takonvergencije kada se mreºa kona£nih elemenata pronjujePostoje dva pristupa u pronjenju (pobolj²anju) mreºekona£nih elemenata:

1 pove¢anje gustine mreºe (lokalno ili globalno), uz zadrºavanjeistog tipa kona£nih elemenata

2 zadrºavanje iste gustine mreºe, ali usvajanje sloºenijihkona£nih elemenata - uvoenje vi²e stepeni slobode u elemente






U prvom pristupu smanjuju se dimenzije kona£nih elemenata, uceloj mreºi u domenu, ili samo na pojedinim delovima, gde jeve¢i gradijent promene promenljivih veli£ina

Smanjenjem dimenzija kona£nih elemenata neminovno sepove¢ava ukupan broj kona£nih elemenata za isti domen

Pove¢anje gustine mreºe kona£nih elemenata pove¢ava ukupanbroj nepoznatih veli£ina i javljaju se problemi u re²avanjuvelikog broja jedna£ina, odn. problemi u baratanju sa velikimvektorima i matricama






U drugom pristupu dimenzije kona£nih elemenata se nemenjaju, ali se pove¢ava stepen interpolacionih polinoma

U slu£aju usvajanja kompleksnijih kona£nih elemenata, sa vi²estepeni slobode, opet se pove¢ava ukupan broj nepoznatih (alimanje nego u prvom slu£aju), ali je takoe i numeri£ka analizai programiranje kompleksnije

Oba pristupa imaju prednosti i mane, ali se, na£elno, smatrada je ekasniji prvi pristup






U generalnom grani£nom problemu, gde je osnovna nepoznatapromenljiva problema prikazana unutar kona£nog elementapreko interpolacije

Φ(x, y, z) = N(x, y, z) q,

za obezbeenje konvergencije prilikom pronjenja mreºe,interpolacione funkcije moraju da zadovolje dva uslova

1 uslove kompatibilnosti2 uslove kompletnosti






Uslovi kompatibilnosti zna£e da promenljiva problema i sviparcijalni izvodi sve do jednog reda manje od najve¢eg izvodau integralnoj formulaciji problema moraju da budu kontinualniduº granica kona£nog elementa

Kod re²etkastih kona£nih elemenata u Galerkinovoj formulacijijavljaju se prvi izvodi u integralnoj formulaciji

Prema tome, za interpolacione funkcije treba da budezadovoljen C0 kontinuitet

Kod grednih nosa£a u integralnoj formulaciji se javljaju drugiizvodi pomeranja, pa interpolacione funkcije treba da budu C1

kontinualne






Uslovi kompletnosti zna£e da promenljiva problema i sviparcijalni izvodi sve do najve¢eg izvoda u integralnojformulaciji problema moraju da budu u stanju da dobijukonstantnu vrednost i kada se dimenzije kona£nih elemenatasmanjuju do nule

Uslovi kompletnosti zna£e da polje pomeranja unutarkona£nog elementa moºe da ima konstantnu vrednost i daomogu¢i prikazivanje pomeranja krutog tela

Sli£no, konstanantan prvi izvod, odn. konstantan nagib kodgrednih kona£nih elemenata omogu¢ava prikazivanje rotacijekrutog tela






Interpolacione funkcije (funkcije oblika) Ni denisane sulokalno unutar svakog kona£nog elementa

Kontinuitet raspodele nepoznatih obezbeen je unutar svakogkona£nog elemenata

Meutim, raspodela nepoznatih izmeu elemenata ne mora dabude kontinualna

Kontinuitet Cm interpolacionih funkcija zna£i da postojikontinuitet izmeu elemenata sve do izvoda interpolacionihfunkcija reda m (uklju£uju¢i i m)






Prema tome, kontinuitet C0 zna£i da su samo vrednostinepoznatih Φ(x) u £vornim ta£kama iste za sve kona£neelemente sa zajedni£kim £vorom

Kontinuitet C1 zna£i da su ne samo nepoznate Φ(x), ve¢ iodgovaraju¢i prvi izvodi nepoznatih Φ′(x) u zajedni£kom £voruza sve elemente isti

Za kontinuitet C1 drugi izvodi Φ′′(x) nisu kontinualni izmeuelemenata






Kod kona£nih elemenata za grede, plo£e i ljuske traºi sekontinuitet C1 u kome je obezbeen i kontinuitet nagibaizmeu elemenata

To zna£i da, npr. kod grednih kona£nih elemenata, vrednostiM i T u zajedni£kom £voru za dva kona£na elementa nisu iste,jer se M i T odreuju preko drugog i tre¢eg izvoda ugiba

Da bi bio ostvaren kontinuitet Cm, neophodno je da osimfunkcije Φ(x) i svi izvodi do dmΦ(x)/dxm budu uklju£eni u£vorne generalisane koordinate

Kod grednih elementata £vorne nepoznate su ugibi i nagibi,£ime je obezbeen kontinuitet C1





Funkcija Φ1(x) je C0 kontinualna, funkcija Φ2(x) je C1 kontinualna




Sadrºaj






Diskretizacija grani£nog problema

Diskretizacija domena i diferencijalnih jedna£ina

Posmatrani problem Primenjene mehanike (Mehanike £vrstogtela) denisan je odgovaraju¢im grani£nim problemom, ²tozna£i da je poznato slede¢e:

- domen denisanosti problema Ω i granica domena Γ- diferencijalne jedna£ine problema u oblasti Ω: A(u) = 0- zadati grani£ni uslovi na konturi domena Γ: B(u) = 0

Domen denisanosti problema (1D, 2D ili 3D) prikazan je uDekartovim koordinatama x i osnovna nepoznata veli£ina jepomeranje ta£aka £vrstog tela u(x)






MKE je numeri£ka metoda u kojoj se domen denisanostiproblema diskretizuje na pod-domene, odn. na kona£neelemente

Svaki kona£ni element ima izabrani broj £vornih ta£aka ukojima su nepoznate veli£ine £vorna pomeranja, odn. £vornegeneralisane koordinate

Nepoznate veli£ine problema (nepoznata pomeranja) prikazujuse unutar kona£nog elementa u obliku

u(x) = N(x) q (47)






U jedna£ini (47) sa N(x) ozna£ena je matrica poznatihinterpolacionih funkcija kona£nog elementa, dok je q vektornepoznatih £vornih generalisanih koordinata posmatranogkona£nog elementa

Interpolacione funkcije su pogodno izabrane funkcije kojezadovoljavaju uslove kompletnosti i koje su posedujukontinuitet do ºeljenog nivoa m

Interpolacione funkcije denisane su lokalno, unutarposmatranog kona£nog elementa, kao funkcije lokalnihkoordinata denisanih u odnosu na kona£ni element




Domen problema Ω i granica domena Γ






Posmatra se diferencijalna jedna£ina ravnoteºe (16) unutardomena jednog kona£nog elementa Ωe

LTDLu+ fb = 0

U ovu jedna£inu unosi se aproksimacija (47), pa se dobijaostatak (rezidijum), koji je jednak nuli samo za ta£no re²enje,ina£e je 6= 0

Primenjuje se Metoda teºinskih ostataka u obliku MetodeGalerkina, pa je teºinska funkcija jednaka probnoj funkciji,odnosno interpolacionoj matrici NT






Integracija rezidijuma pomnoºenog sa teºinskom funkcijom vr²ise unutar domena jednog kona£nog elementa Ωe:∫

Ωe

NTLTDLN dΩe q +

∫Ωe

NTfb dΩe = 0 (48)

Integracija po zapremini domena Ω zamenjena je saintegracijom po zapremini elementa Ωe, jer se smatra dapretpostavljeno polje pomeranja zadovoljava uslovekompatibilnosti izmeu elemenata

Vektor £vornih generalisanih sila q izvu£en je izvan integralapo zapremini kona£nog elementa, jer su elementi vektora qnezavisni od integracije po kona£nom elementu






Uvodi se oznaka za matricu deformacije B, koja je proizvodmatrice operatora L i matrice interpolacionih funkcija N :

B = LN (49)

Struktura matrice B zavisi od matrice operatora L, kao i odizabranih interpolacionih funkcija

Sa ovom oznakom, Galerkinova jedna£ina moºe da se pi²e uobliku (∫

Ωe

BT DB dΩe

)q +

∫Ωe

NTfb dΩe = 0 (50)






Integral u zagradi u prvom £lanu jedna£ine (50) ozna£ava sekao

Ke =

∫Ωe

BT DB dΩe (51)

i pretstavlja matrcu krutosti kona£nog elementa

Drugi integral u jedn. (50) pretstavlja vektor ekvivalentnogoptere¢enja Qe

Qe =

∫Ωe

NTfb dΩe (52)






Sa ovim oznakama za matricu krutosti elementa i za vektorekvivalentnog optere¢enja, koji poti£e od zapreminskih sila,Galerkinova jedna£ina (50) moºe a se prikaºe u obliku

Ke q +Qe = 0 (53)

Jedna£ina (53) pretstavlja jedna£inu ravnoteºe kona£nogelementa


Documents

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERICKE · PDF fileModeliranje onstrukkcija i numeri£ke metode Metoda ona£nihk elemenata (MKE) Napomene o redmetup Uvodne napomene Matemati£ki (ra£unski)