หนวยท 4 สนามแมเหลกไฟฟา - กฎของบโอต -ซาวารต

ป

โ

และกฎของแอมแปร

ตอนท 4.1กฎของบโอต - ซาวารต

- ความเปนมาของความรเรองแมเหลก

- สนามแมเหลกและฟลกซแมเหลก

- กฎของของบโอต - ซาวารตฎ

ตอนท 4.2 กฎของแอมแปร

- กฎของแอมแปร

- แรงโลเรนตและการประยกต

- แรงบนเสนลวดและกระแสไฟฟา

- โมเมนตขวคแมเหลก

1

- ความเขมสนามแมเหลกและแมเนไตเซชน

ความเปนมาความเปนมา

ศตวรรษท 13 กอนครสตศกราช : คนจนเรมใชเขมทศซงเปนสงประดษฐของชาวอาหรบ

800 ป กอนครสตศกราช : ชาวกรกคนพบสารแมเหลก (Fe3O4) ซง

สามารถดดเหลกได

ค.ศ. 1269 : Pierre de Maricourt คนพบวาเมอวางเขมทศรอบๆ

ป ใ โ แมเหลกธรรมชาตรปทรงกลม เขมทศจะชในแนวเสนโคงรอบๆ

แมเหลกโดยผานจด 2 จด ซงเรยกวา ขว (pole)

ค.ศ. 1600 : William Gilbert ทาการทดลองเกยวกบแมเหลกและ

แนะนาวาโลกคอแมเหลกถาวรขนาดใหญ

2

แนะนาวาโลกคอแมเหลกถาวรขนาดใหญ

ความเปนมา ความเปนมา ((ตอตอ))

ค.ศ. 1819 : Hans Christian Oersted คนพบความสมพนธระหวาง

กระแสไฟฟากบอานาจแมเหลก

ค.ศ. 1820 :

Faraday และ Henry คนพบวาการ y y เปลยนสนามแมเหลกจะทาใหเกด สนามไฟฟา

Maxwell คนพบวาการเปลยนส ไฟฟ ใ สนามไฟฟาจะทาใหเกดสนามแมเหลก

3

Hans Christian Oersted

ขวแมเหลกขวแมเหลก

แมเหลกทกชนดม 2 ขวคอ ขวเหนอและขวใต ซงออกแรงกระทา

โ ตอกน โดยขวเหมอนกนจะผลกกน ขวตางกนจะดดกน

ทมาของชอของขวเกดจากการหนของแทงแมเหลกไปยงขวโลกเหนอหรอใต เมอแขวนใหหมนไดอยางอสระ

เนองจากขวเหนอของแทงแมเหลกชไปยงขวโลกเหนอแสดงวาขวโลกเหนอมอานาจเปนขวใตของแทงแมเหลก

แรงกระทาระหวางขวของแทงแมเหลกจะเปนปฏภาคกบกาลงสองแรงกระทาระหวางขวของแทงแมเหลกจะเปนปฏภาคกบกาลงสองของระยะหางระหวางขว

ใ ใ ป

4

ถงแมในทางทฤษฎชวาอาจมแมเหลกขวเดยวแตในความเปนจรงแมเหลกม 2 ขวเสมอ

สนามแมเหลกสนามแมเหลก

สนามแมเหลก เปนปรมาณเวกเตอร

ใ

Br

ซง ณ ตาแหนงใดๆ มทศตามทศของขว

เหนอของเขมทศ

เสนสนามแมเหลกจะเปนเครองบอกทศของ

Br

สนามแมเหลก ซงภายนอกแทงแมเหลก

จะชจากขวเหนอไปยงขวใต ดงรป

B

เสนสนามแมเหลกจะวนเปนวงไมม

จดเรมตนและจดสนสดซงตางจากเสน

สนามไฟฟา

5

สนามแมเหลกสนามแมเหลก

I fili d h h f h l i fi ld liIron filings are used to show the pattern of the electric field linesThe direction of the field is the direction a north pole would point

Compare to the electric field produced by an electric dipole (b)

6

Compare to the electric field produced by an electric dipole (b)Compare to the electric field produced by like charges (c)

คาจากดความของสนามแมเหลกคาจากดความของสนามแมเหลก

เราสามารถใหคาจากดความของสนามแมเหลก โดยอาศยแรงแมเหลก

ทกระทาตออนภาคประจเมอเคลอนทในบรเวณทมสนามแมเหลกทกระทาตออนภาคประจเมอเคลอนทในบรเวณทมสนามแมเหลก

ขนาดของแรงแมเหลกจะแปรผนโดยตรงกบประจและความเรวของ

BF qvαประจหรอ

ถาอนภาคเคลอนททามม กบทศทางของสนามแมเหลก แรงแมเหลกθ

แรงแมเหลกจะขนอยกบความเขมของสนามแมเหลกดวย ดงนนจะได

จะแปรผนกบ ดวย หรอsin θ sinBF qvα θ

แรงแมเหลกจะขนอยกบความเขมของสนามแมเหลกดวย ดงนนจะได

sinBF qvB θ=

7สมการเวกเตอรของแรงแมเหลกจะมคาเปน B q= ×F v B

r rr

กฎมอขวา กฎมอขวา ((11))แรงแมเหลกจะตงฉากกบทศของ

ความเรวของอนภาคและทศของ

สนามแมเหลกดงรป

ทศทางดงกลาวจะเปนไปตาม

กฎมอขวา ดงรป โดยถาเหยยดนวกฎมอขวา ดงรป โดยถาเหยยดนว

ทง 4 ไปตามทศของ แลวกาไป

ตามทศของ นวหวแมมอจะช

vr

Br

8

ตามทศของ นวหวแมมอจะช

ไปในทศของ

BBFr

กฎมอขวา กฎมอขวา ((22))

Alternative to Rule #1Thumb is in the direction of

vr

Fingers are in the direction of P l i i th di ti

Br

Palm is in the direction of

On a positive particleBFr

On a positive particleYou can think of this as your hand pushing the particle

ขนาดของแรงแมเหลกขนาดของแรงแมเหลก

เราอาจเขยนขนาดของแรงแมเหลกไดเปน

| | sinBF q vB θ=

โดย เปนมมทเลกทสดระหวางทศของ และ θ v B

( )0 180θ = o จะเปนศนยถา และ ขนานกนหรอตรงกนขาม หรอBF v B

จ มคาสงสดถา F ( )θ⊥ ov B = 90 จะมคาสงสดถา BF ( )θ⊥v B = 90

แรงแมเหลกจะเกดขนเมออนภาคเคลอนทเทานน ซงแตกตางจากแรงแรงแมเหลกจะเกดขนเมออนภาคเคลอนทเทานน ซงแตกตางจากแรงไฟฟาทเกด แมในขณะประจหยดนง

10

ทศของแรงแมเหลกจะตงฉากกบทศสนามแมเหลก ขณะททศของแรงไฟฟาจะขนานกบทศสนามไฟฟา

หนวยและขนาดของสนามแมเหลกหนวยและขนาดของสนามแมเหลก

หนวยของสนามแมเหลกในระบบ SI คอ “เทสลา (tesla, T) โดย

Wb N N ,( / )

= = =⋅ ⋅

42 1 T = 10 GWb N NT

m C m s A m

11

ตวอยางท ตวอยางท 44..11 ((ประมวลสาระฟสกส ประมวลสาระฟสกส 22))

อนภาคโปรตอนเคลอนทดวยอตราเรว

8x106 เมตร/วนาท ในทศ +x เขาไปใน8x10 เมตร/วนาท ในทศ +x เขาไปใน

ยานทมสนามแมเหลก 0.025 T

สนามแมเหลกอยในระนาบ xy โดยมทศสนามแมเหลกอยในระนาบ xy โดยมทศ

ทามม 60 องศากบแกน x ดงรป จงหา

แรงแมเหลกและอตราเรงของโปรตอนแรงแมเหลกและอตราเรงของโปรตอน

เ ม อ เ ร ม เ คล อ น ท เ ขา ไป ในย าน ท ม

สนามแมเหลก

BvFrrr

×q BvF ×= qB

θsinvBqFB =

12Nx 14108.2 −=

ฟลกซฟลกซแมเหลกแมเหลก

ฟลกซแมเหลก (magnetic flux) เปนปรมาณทแปรผนกบเปนปรมาณทแปรผนกบสนามแมเหลกซงมคาจากดความคลายกบฟลกซไฟฟาคลายกบฟลกซไฟฟา

ถา dA ซงเปนชนเลกๆ ของพนผวใดๆ ทมสนามแมเหลกเปน B ดง

รป ฟลกซแมเหลกใน dA จะมคาเปน

∫ ⋅≡Φ ABrr

dB

เมอ dA คอเวกเตอรทตงฉากกบพนผวเลกๆ dA และการอนทเกรต

∫ ⋅≡Φ AB dB

13

เมอ dA คอเวกเตอรทตงฉากกบพนผวเลกๆ dA และการอนทเกรต

ครอบคลมพ นผวทงหมด

ฟลกซแมเหลกของผวปดฟลกซแมเหลกของผวปด

ในกรณทเปนผวปดจะเขยนฟลกซแมเหลกไดเปน

0=⋅∫ ABrr

d Gauss’s Law in Magnetism

สมการนแสดงใหเหนวาฟลกซแมเหลกทผานเขาในและออกจากผวปดใดๆ จะมคาเปนศนย

ถาใชทฤษฎของไดเวอรเจนซ (Divergence Theorem) จะเขยนไดวา

( )d = dτ = 0⋅ ⋅∫ ∫B A B∇

เนองจาก คอชนเลก ๆ ของปรมาตรซงมคาไมเปนศนย ดงนนจะเขยนกฎของเกาสสาหรบสนามแมเหลกไดเปน

dτ

14= 0⋅B∇

กฎของบโอต-ซาวารต (Biot-Savart Law)

บโอต และ ซาวารต ไดทาการทดลอง ในเรองเกยวกบแรงทเกดจากลวด

นากระแสกระทาตอแทงแมเหลก

พวกเขาพบวาลวดตวนาทมกระแส I พวกเขาพบวาลวดตวนาทมกระแส I ไหลผานดงรปจะทาใหเกดสนามแมเหลก ณ จด P ตามสมการสนามแมเหลก ณ จด P ตามสมการ

0 ˆdId rsB ×=

rr μ

7 ใ ไ

24 rdB =

π. /−= 7

0 4 10μ π x T m A

dS คอชนกระแสขนาดเลกๆในลวดนากระแสและ r คอระยะจาก dS ไป

คอคาสภาพใหซมผานไดของสญญากาศ(Permeability of a free space)

15

dS คอชนกระแสขนาดเลกๆในลวดนากระแสและ r คอระยะจาก dS ไปยงจด P

กฎของบกฎของบโอตโอต--ซาซาวารตวารต ((ตอตอ))

เราสามารถหาสนามแมเหลกรวมไดโดยการอนทเกรตสมการของ

ใหครอบคลมตลอดทกสวนของลวดนากระแสซงจะไดdBr

24oμ dπ r

×= ∫

s rBrr ˆI

กฎนสามารถใชไดกบกระแสของประจทเคลอนทผานปรภม เชนการ

4π r

กฎนสามารถใชไดกบกระแสของประจทเคลอนทผานปรภม เชนการเคลอนทของลาอเลกตรอนในเครองรบโทรทศน

16

สนามแมเหลกจากลวดนากระแสยาวและตรงสนามแมเหลกจากลวดนากระแสยาวและตรง

ถาลวดตวนายาวและตรงมกระแสไหลผานดงรปเราจะหาสนามแมเหลกทจดผานดงรปเราจะหาสนามแมเหลกทจดP โดยใชกฎของบโอต-ซาวารตไดดงน

24ˆIoμ d ×

= ∫s rB

( ) ˆˆ id d θ k

24π r∫

( )× =Q sin d dx θs r k

ไ

I∫θμ Iμ

ดงนนเมออนทเกรตสมการของ B ตลอดความยาวของตวนาจะได

17

I sin= ∫2

1

4

θoθ

μB θ dθπa

( )I cos cos= −1 24oμ θ θπa

สนามแมเหลกจากลวดตวนายาวและตรง สนามแมเหลกจากลวดตวนายาวและตรง ((ตอตอ))

ถาลวดตวนามความยาวอนนตจะได

,= =o1 20θ θ π

( )I cos cos= −1 24oμB θ θπa

⇒ 0μ IB

4πa

⇒ = 0

2B

πa

ปเสนสนามแมเหลกจะเปนวงกลมลอมรอบตวนาตามกฎมอขวาโดยทกจด

18

บนวงกลมจะมขนาดของสนามแมเหลกเทากน

สนามแมเหลกจากลวดนากระแสรปสวนโคงของวงกลมสนามแมเหลกจากลวดนากระแสรปสวนโคงของวงกลม

ถาลวดนากระแสเปนสวนโคงของวงกลมดงรป กฎของบโอต-ซาวาร วงกลมดงรป กฎของบโอต ซาวาร จะใหสนามแม-เหลกทจดศนยกลางของลวดมคาเปน

oμ IB = θB = θ4πR

ถาลวดนากระแสเปนรปวงกลมสนามแมเหลกทจดศนยกลางจะ

μ I μ I μ I

มคาเปน

19

o o oμ I μ I μ IB = θ= 2π= , θ= 2π4πR 4πR 2R

Q

สนามแมเหลกจากลวดวงกลมนากระแสสนามแมเหลกจากลวดวงกลมนากระแส

ถาลวดวงกลมนากระแส I มรศม R ดงรปจะเกดสนามแมเหลกทจดR ดงรปจะเกดสนามแมเหลกทจดศนยกลาง P มคาเปน

( )2

ox 3

2 2 2

μ IRB =2 + R( )2 2 22 x + R

รปรางของสนาม

20

ตวอยางท ตวอยางท 44..33 สวนหนงของวงจรไฟฟาเปนเสนตรง มกระแส I ดงรป

จงหาสนามแมเหลก ณ จด P

Pz

4 cm

PO

3 cm

x

1α

2α วธทา จากสมการสนามแมเหลกทเกดจากลวดตวนา

ยาวและตรง

A20I = ( )o1 2

μ IB = cosθ - cosθ4πa

5 cm

1 1 2 290 , 90θ α θ α= − = −เมอพจารณาจากรปจะไดวา

7(4 x10 T m/A)(20A)π −

และเมอแทนคาตางๆ ในสมการของ B จะได

( ) ( )7

1 22

(4 x10 T m/A)(20A) cos 90 cos 90 4 (4 10 m)

B π α απ −

⋅= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦×

7 ⎡ ⎤21

51.47x10 T−=7

2

(4 x10 T m/A)(20A) 8 3 4 (4 10 m) 580

B ππ

−

−

⋅ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥× ⎣ ⎦

ตวอยางท ตวอยางท 44..44 ลวดตวนารปสเหลยมผนผา กวาง a ยาว b ถกนามาวางไวท

ระยะทาง c จากลวดตวนายาวมากทมกระแส I โดยดานยาว

ของสเหลยมผนผาขนานกบลวดนากระแสดงทรป จงหา

ฟลกซแมเหลกทงหมดทผานสเหลยมผนผาน ฟลกซแมเหลกทงหมดทผานสเหลยมผนผาน

วธทา เนองจากสนามแมเหลกทเกดจาก

ลวดตวนายาวตรง 0

2Ir

μπ

=B2 rπ

0 c aIb drd μ +⎡ ⎤Φ = ⋅ = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫B Aจาก2 c rπ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

[ ]0Ibμ⎡ ⎤[ ]0 ln( ) ln2

Ib a c cμπ

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )Ib a cμ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

22

0 ( )ln2

Ib a cc

μπ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

ตวอยางท ตวอยางท 44..66 กระแสไฟฟา I ไหลวนในวงจรซงประกอบดวยครงวงกลม

รศม R1 และ R2 มจดศนยกลางรวมกนและสวนทเปน1 2

เสนตรงดงรป จงหาสนามแมเหลกทจดศนยกลาง

วธทา สนามแมเหลก ณ จดศนยกลาง O เนองจากลวด

เสนตรงมคาเปนศนย

( ) Iμ

สนามแมเหลกเนองจากลวดครงวงกลมมคาเปน

( ) 01

1

4

IRRμ

=B

Iμ

ทศตามแกน +Z

( ) 02

2

4

IRRμ

=B ทศตามแกน -Z

⎡ ⎤

สนามแมเหลกรวม

23( ) ( ) 0

1 21 2

1 1 4

R RR R

μ ⎡ ⎤Ι= + = −⎢ ⎥

⎣ ⎦B B B ทศตามแกน +Z

กฎของแอมแปรกฎของแอมแปร

กฎของแอมแปร (Ampere’s law) เปนกฎทใชหาสนามแมเหลกทเกดจากลวดนากระแสเชนกนจากลวดนากร แสเชนกน

กฎของแอมแปรกลาววา “คาปรพนธเชงเสน (line integral) ของ

ป ป

d⋅B sรอบวงปดแอมแปร (Amperean loop) จะมคาเทากบผลคณระหวางคา

สภาพใหซมผานไดกบกระแสทลอมรอบดวยวงปด”

สมการทางคณตศาสตรของกฎของแอมแปร คอ

∫r∫ =⋅ Id 0μsB rr

ทศของสนามแมเหลกจะเปนไปตามกฎมอขวา “ถาชนวหวแมมอไป

ตามทศของกระแสทไหลในตวนา นวทง 4 ทการอบจะอยในทศของ

24

สนามแมเหลก

Andre-Marie Ampère

1775 – 1836French physicistp yCreated with the discovery of yelectromagnetism

The relationship between electric current and magnetic fields

Al k d iAlso worked in mathematics

สนามแมเหลกเนองจากลวดนากระแสตรงและยาวสนามแมเหลกเนองจากลวดนากระแสตรงและยาว

ถาลวดนากระแส I ดงรปมรศม R สนามแมเหลกทเกดขน ณ จดภายนอกสนามแมเหลกทเกดขน ณ จดภายนอกตวนา (r > R) จะหาคาไดโดยการประยกตกฎของแอมแปรภายในวงปด ฎแอมแปร

∫ IdB rr

ใ

∫ =⋅ Id 0μsB r

( ) oμ IB 2 I B

dQ B// sทศทางของ ในทกจด

( ) oo

μB 2 r = μ I B =2πr

⇒π

I26

) (for 2

0 RrrIB ≥=

πμ

สนามแมเหลกเนองจากลวดนากระแสตรงและยาว สนามแมเหลกเนองจากลวดนากระแสตรงและยาว ((ตอตอ))

ณ จดภายในลวดตวนา (r < R) เราจะได

2

22 ord B πr μR

⋅ = = → =∫B sr r

( ) I ' I ' II ⎞⎛

22o

RμB rπR

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

I ) (for 2 2

0 RrrRIB <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=πμ

2rI = I′เมอ

⎝ ⎠) (for

20 RrrIB ≥=

πμ

2I IR

เมอ

คอกระแสทอยภายในวงปดแอมแปร

สนามแมเหลกภายในและภายนอก

27ลวดตวนาจะมลกษณะดงรป

Magnetic Field of a Wire

A compass can beA compass can be used to detect the magnetic fieldWhen there is no current in the wire, th i fi ld d tthere is no field due to the currentThe compass needlesThe compass needles all point toward the Earth’s north pole a t s o t po e

Due to the Earth’s magnetic field

Magnetic Field of a Wire, 2

Here the wire carries aHere the wire carries a strong currentThe compass needlesThe compass needles deflect in a direction tangent to the circlegThis shows the direction of the magnetic field gproduced by the wireUse the active figure to gvary the current

PLAYACTIVE FIGURE

Magnetic Field of a Wire, 3

The circular magnetic field aro nd the ire isfield around the wire is shown by the iron filingsfilings

สนามแมเหลกของโทสนามแมเหลกของโทรอยดรอยด (toroid)

ถาขดลวดโทรอยด(toroid)พนไวดวยลวดนาไฟฟาจานวน N รอบดงดวยลวดนาไฟฟาจานวน N รอบดงรป เราจะหาสนามแมเหลก ณ จดซงหางจากจดศนยกลางของโท รอยดเปนระยะ r ไดดงน

2 od B πr μ N

N

⋅ = =∫B sr r

( ) I

I2oμ NBπr

=I

31

สนามแมเหลกในโซลสนามแมเหลกในโซลนอยดนอยด (solenoid)(solenoid)

โซลนอยด(solenoid)เปนขดลวดนากระแสซงวนเปน

สนามแมเหลกขนาดสมาเสมอจะ

เกดขนภายในโซลนอยดในลกษณะรปเฮลก (helix) ดงรป

เกดขนภายในโซลนอยดในลกษณะ

เชนเดยวกบสนามแมเหลกภายใน

แทงแมเหลก ดงรปแทงแมเหลก ดงรป

32

สนามแมเหลกในโซลสนามแมเหลกในโซลนอยดนอยด (solenoid) ((solenoid) (ตอตอ))

เราสามารถหาคาของสนามแมเหลกโซลนอยดโดยเขยนวงปดแอมแปรรป ใสเหลยมยาว l กวาง w ลอมกระแสใน

ขดลวดดงรป

เมอประยกตกฎของแอมแปรกบวงปดดงกลาวจะได

⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫r rr r

l1 1path path

d d B ds BB s B s

ถาภายในวงปดมขดลวด N รอบ และแตละรอบมกระแส I จะได

o oNB = μ I = μ nIl

⇒

แตละรอบมกระแส I จะได

od B NIμ⋅ = =∫B sr r

l

33

o oμ μl

เมอ คอจานวนรอบของขดลวดตอหนงหนวยความยาว

oμ∫n = N / ℓ

Notation Notes

เมอเวกเตอรตงฉากกบ

หนากระดาษสญลกษณแบบจด

(dot) และกากบาท (dot) และกากบาท

(crosses) จะถกนามาใช( ) จด (dot) แทนลกศรออกจาก

แผนกระดาษ

กากบาท (crosses) แทนลกศรเขาไปยงแผนกระดาษ

การเคลอนทของประจในสนามแมเหลกการเคลอนทของประจในสนามแมเหลก

ถาประจเคลอนทในแนวตงฉากกบ

สนามแมเหลก ประจจะเคลอนทเปนวงกลมสนามแมเหลก ประจจะเคลอนทเปนวงกลม

ดงรป ทงนเพราะแรงแมเหลก FB จะกระทา

ในทศเขาสศนยกลางของวงโคจรเสมอในทศเขาสศนยกลางของวงโคจรเสมอ

ถาประจ q มมวล m เคลอนทดวย

โ ไ ความเรว v เราจะหารศมของวงโคจรได

จาก 2mvF Bmvr⇒BF = qvB =

rr =

qB⇒

BPLAY

ACTIVE อตราเรวเชงมมจะมคาเปน v qBω= =

r mACTIVE FIGURE

35คาบของการเคลอนท

2πr 2π 2πmT = = =v ω qB

แรงแรงโลเรนตซโลเรนตซและการประยกตและการประยกต

เราไดทราบมาแลววาเมอประจเคลอนทในสนามไฟฟาจะเกดแรงไฟฟากระทาตอประจ และถาประจเคลอนทในสนามแมเหลกจะเกดแรงกระทาตอประจ และถาประจเคลอนทในสนามแมเหลกจะเกดแรงแมเหลกกระทาตอประจเชนกน

ดงนนถาประจเคลอนทในสนามไฟฟาและสนามแมเหลกจะเกดแรงทง

สองชนดซงเรยกชอวา “แรงโลเรนตซ (Lorentz force)”

q q= + ×F E v Br r rr

q q= + ×F E v B

36

การประยกตแรงการประยกตแรงโลเรนตซโลเรนตซ

เครองเลอกเครองเลอกความเรว ความเรว (velocity selector)(velocity selector)

ในการคดเลอกชนดของประจ

เราอาจใชความเรวเปน

ตวกาหนด

เครองเลอกความเรวจะมทศของ

สนามแมเหลกและสนามไฟฟาตงฉาก

ใกนจงทาใหแรงมทศตรงกนขาม

ประจทมความเรวเทากน (v=E/d) จะเคลอนทเปน ( )

เสนตรงผานไปได แตประจทเคลอนทเรวกวาจะเล ยว

ขนดานบน แตประจทเคลอนทชากวาจะเล ยวลง

37

ดานลาง

การเคลอนทของประจในสนามแมเหลกในรปแบบตางๆการเคลอนทของประจในสนามแมเหลกในรปแบบตางๆ

ถาประจเคลอนททามมกบสนามแมเหลก

PLAYACTIVE FIGUREเสนทางการเคลอนทจะเปนรปเฮลก ดงรป

FIGURE

ในกรณนความเรวม 2 องคประกอบ

2 2y zv = v +vy

ไถาสนามแมเหลกมคาไมคงตวจะเกดแรงแมเหลกผลกประจใหเคลอนทกลบไปกลบมาในขวดแมเหลก (magnetic bottle)

38

กลบมาในขวดแมเหลก (magnetic bottle) ดงรป

แถบรศมแวนแอแถบรศมแวนแอลเลนลเลน

อนภาคทมประจอยรอบๆ

โลกจะไดรบอทธพลของ

สนามแมเหลกโลก ทาให

เคลอนทกลบไป-กลบมา

ตามแนวเสนสนามแมเหลก

โลก ดงรป

อนภาคดงกลาวจะชนกบโมเลกลของอากาศในชนบรรยากาศของ

โลกทาใหเกดการเรองแสง ซงเรยกวา แถบรศมแวนแอลเลน (Van

39

โลกทาใหเกดการเรองแสง ซงเรยกวา แถบรศมแวนแอลเลน (Van

Allen Radiation Belts)

เครองแยกมวล เครองแยกมวล (Mass Spectrometer)(Mass Spectrometer)

เครองแยกมวลจะแยกไอออนโดยอาศยอตราสวนของมวลโดยอาศยอตราสวนของมวลตอประจเปนตวกาหนด

ไอออนซงถกคดเลอกโดยเครองแยกความเรวจะ

เคลอนทเขาสบรเวณทมสนามแมเหลกดงรป

ไอออนจะเคลอนทเปนครงวงกลมกอนตกกระทบตอหววดประจทจด P

ไอออนทมมวลตางกนจะมรศมของวงโคจรตางกน ( )r = mv/qBQ

40

ดงนนตาแหนงของหววดประจจะเปนเครองแยกชนดของไอออน

เครองวด เครองวด e/m e/m ของ ของ J. J. ThompsonJ. J. Thompson

อเลกตรอนถกเรงจากคาโทด

อเลกตรอนถกสะทอนกลบโดยสนามไฟฟาและ

สนามแมเหลก

ลาอเลกตรอนชนจอฟลออเรสเซนตลาอเลกตรอนชนจอฟลออเรสเซนต

วดคา e/m

J. J. Thompson @Cambridge, UK.J. J. Thompson @Cambridge, UK.J. J. Thompson @Cambridge, UK.J. J. Thompson @Cambridge, UK.

41

ไซโคลตรอน ไซโคลตรอน ((Cyclotron)Cyclotron)

ไซโคลตรอนเปนเครองเรงอนภาคทใชความตางศกยไฟฟาซงสลบขวใชความตางศกยไฟฟาซงสลบขวตลอดเวลา ดงรป

ไฟฟ D1 และ D2 จะมศกยไฟฟาแตกตางกนและสลบขวดวยความถทสอดคลองกบคาบของ

ป

แทงแมเหลกทอยดานลางของตว D จะสรางสนามแมเหลกทมทศตงฉาก

การเคลอนทเปนครงวงกลมของอนภาค

กบความเรวของอนภาคทาใหอนภาคเคลอนทเปนวงกลมภายในตว D

ในแตละรอบของการเคลอนทในวงกลมอนภาคจะมพลงงานจลนเพมขนในแตละรอบของการเคลอนทในวงกลมอนภาคจะมพลงงานจลนเพมขนและเมอหลดออกจากตว D จะมพลงงานจลนเปน (อาจสงถง 20 MeV)

2 2 2142

2 2 221 q B RK = mv =

2 2m

เสนสนามแมเหลกสาหรบวงจรกระแสไฟฟาเสนสนามแมเหลกสาหรบวงจรกระแสไฟฟา

สนามแมเหลกทเกดจากวงจรนากระแสทเปนวงปด

ในวงจรนากระแสทเปนวงปด ในแทงแมเหลก

43

ในวงจรนากระแสทเปนวงปด ในแทงแมเหลก

ปรากฏการณปรากฏการณฮอลลฮอลล

เมอลวดนากระแสวางอยในสนามแมเหลกจะเกดความตางศกยขนใน ลวดในทศทตงฉากกบทศของกระแสและทศของสนามแมเหลก

ป ป ( )” ปรากฏการณเชนนเรยกวา “ปรากฏการณฮอลล (Hall Effect)” ซงคนพบโดย Edwin Hall ในป ค.ศ. 1879

ปรากฏการณนเกดขนจากการทประจชนดหนงถกแรงแมเหลกผลกใหเคลอนทไปอยทของดานหนงของตวนา สวนประจชนดตรงกนขามใหเคลอนทไปอยทของดานหนงของตวนา สวนประจชนดตรงกนขามจะถกผลกไปอยดานตรงขาม

ป เราจะสามารถหาชนดและความหนาแนนของประจและสนามแมเหลกไดจากการสงเกตปรากฏการณฮอลล

44

ปรากฏการณปรากฏการณฮอลลฮอลล

เราสามารถสงเกตปรากฏการณฮอลลไดโดยฏการใหสนามแมเหลกกบลวดนากระแสดงรป

ความตางศกยของฮอลลจะเกดขนระหวางจด a และ c ซงสามารถวดคาไดโดยใชโวลตมเตอรดงรป (ขอบบนจะเปนประจลบถาพาหะประจป ป ป ป ป )เปนลบ และขอบบนจะเปนประจบวกถาพาหะประจเปนบวก)

45

จาก q vd B = q EH EH = vd B

ΔV = E d = v B d ΔVH = EHd = vd B d

โดย V คอความเรวลอยเลอนของประจและ d คอความกวางของตวนา

ความตางศกยฮอลล

โดย Vd คอความเรวลอยเลอนของประจและ d คอความกวางของตวนา

ถาแทนคา I = nqvdA โดย A = dt และ Ivd =d

จะไดความตางศกยฮอลลมคาเปน nqAvd

IBRIBnqAIBdV =Δ H t

IBRnqtIBV H

H ==Δ

nqR 1

H = สมประสทธของฮอลล

46

เราสามารถใชตวนามาตรฐานเพอหาคาสนามแมเหลกไดจากสมการ

ขางบนน

แรงกระทาบนลวดนากระแสแรงกระทาบนลวดนากระแส

ถาวางลวดนากระแสในบรเวณทมสนามแมเหลกจะเกดแรงแมเหลกกระทาตอลวดทาใหลวดโคงงอดงรปกระทาตอลวดทาใหลวดโคงงอดงรป

47

สมการของแรงแมเหลกทกระทาบนลวดนากระแสสมการของแรงแมเหลกทกระทาบนลวดนากระแส

แรงแมเหลกทกระทาบนลวดนากระแสเปนผลมา

dq= ×F v Br rr

ลวดนากระแสเปนผลมาจากแรงแมเหลกทกระทาตอประจทเคลอนทในลวดตอประจทเคลอนทในลวดนากระแส ดงรป

แรงรวมจะเทากบผลคณของจานวนประจกบแรงกระทาตอหนงหนวยประจ หรอ

( )dq nAL= ×F v Br rr

48ในรปของกระแสแรงรวมจะมคาเปน B I= ×F L B

r r r

สมการของแรงแมเหลกทกระทาบนลวดนากระแสสมการของแรงแมเหลกทกระทาบนลวดนากระแส

ในกรณทลวดนากระแสมรปรางใดๆ แรงแมเหลกทกระทาตอสวนใดๆ แรงแมเหลกทกระทาตอสวนเลกๆ ds ของลวดจะมคาเปน

Bd I d= ×F s Br rr

แรงแมเหลกรวมทกระทาตอ ไ โลวดนากระแสจะหาคาไดโดย

การอนทเกรตใหครอบคลมตลอดความยาวของลวด

bd∫F B

r rrI

49B d= ×∫aF s BI

ตวอยางท ตวอยางท 44..1010 จงหาพลงงานจลนสงสดของอนภาคโปรตอนในเครอง

ไซโคลตรอน รศม 0.50 เมตร ในสนามแมเหลก 0.35

เทสลา (ดวธทาในประมวลสาระฯ)

ตวอยางท ตวอยางท 44..1111 ลวดนากระแสความยาว

อนนตสองเสนมเสนมอนนตสองเสนมเสนม

กระแสไฟฟา I1 และ I2 อยใน

ระนาบ ขนานกนและระนาบ x-y ขนานกนและ

ขนานกบแกน y ระยะหาง

ปกนเทากบ R ดงรป จงหา

แรงแมเหลกระหวางลวด

นากระแสสองเสนน

(ดวธทาในประมวลสาระฯ)

50

(ดวธทาในประมวลสาระฯ)

ตวอยางท ตวอยางท 44..1212 วงจรรปครงวงกลม รศม R มกระแส I อยใน

สนามแมเหลกเอกรป ดงรปจงหาแรงˆB j=B

ลพธทกระทากบวงจรน (ดวธทาในประมวลสาระฯ)

51

แรงแมเหลกระหวางลวดนากระแสทวางขนานกนแรงแมเหลกระหวางลวดนากระแสทวางขนานกน

ถาลวดนากระแส 2 เสนวางขนาน

กนดงรป จะเกดแรงกระทาตอกน

สนามแมเหลก B2 ทเกดจากกระแส I2 2 2

จะออกแรงกระทาตอลวดเสนท 1 ดวย

แรง F มคาเปน F1 = I1ℓ B2แรง F1 มคาเปน F1 I1ℓ B2

เมอแทนคา B2 ลงไปจะได

o 1 21

μ I IF = l2πaπa

แรงแมเหลกตอหนวยความยาวทกระทาระหวาง

ลวดทง 2 จ มคาเปน I IF52

ลวดทง 2 จะมคาเปน o 1 2B μ I IF =l 2πa

ทอรกบนทอรกบนวงจรปดวงจรปด

ถาวางวงจรไฟฟาในบรเวณทม

สนามแมเหลกจะเกดทอรกกระทาสนามแมเหลกจะเกดทอรกกระทา

ตอวงจรซงทาใหเกดการหมน

ในกรณของวงจรกระแสรปสเหลยมทวางในสนามแมเหลกดงรป จะหาคา

ทอรกไดดงน

เนองจากดาน (1) และ(3) ของวงจร ขนานกบสนามแมเหลกจะไมเกดแรงแมเหลกกระทาตอดานดงกลาว ( )o= x = LBsin0 = 0Q F L B ( )ดาน (2) และ(4) ซงขนานกบสนามแมเหลกจะเกดแรงคควบมคาดงน

53F2 = F4 = IaB

ทอรกบนทอรกบนวงจรปดวงจรปด

จากรป เนองจากแรง F2 และ F4 มทศทาง ไ ใ ตรงกนขามและไมอยในแนวเดยวกน จง

ทาใหเกดทอรก ซงทาใหเกดการหมนรอบจด O

คาสงสดของทอรกทกระทาตอวงจรคอ

จด O

max 2 4b b b bτ = F + F = (IaB) +(IaB)2 2 2 22 2 2 2

= IabB ( )= IAB, A= ab( )IAB, A ab

ในกรณทระนาบของวงจรไมขนานกบ B

54= I x τ A B

โมเมนตขวคแมเหลกโมเมนตขวคแมเหลก

โมเมนตขวคแมเหลก (magnetic dipole

moment) คอผลคณระหวาง I กบ A หรอ moment) คอผลคณระหวาง I กบ A หรอ

(หนวยเปน A-m2)

= I μ A

ใ ปถาเขยนสมการของทอรกในรปของ

โมเมนตควบคแมเหลกจะได

= x τ μ Bสมการของทอรกจะคลายกบในกรณของ

ขวคไฟฟา

55

ขวคไฟฟา= x τ p E

ตวอยางท ตวอยางท 44..1414 วงจรไฟฟารปสเหลยมจตรส ดานยาว 20 เซนตเมตร

ประกอบดวยขดลวดตวนา 5 ขด มกระแส 2 แอมแปร ประกอบดวยขดลวดตวนา 5 ขด มกระแส 2 แอมแปร

เวกเตอรหนวย ทามม 37 องศากบสนามแมเหลก

เอกรป เทสลา ดงรปจงหา n

0 5 j=B เอกรป เทสลา ดงรปจงหา 0.5 j=B

(a) โมเมนตแมเหลก( )

(b) ทอรกบนวงจรไฟฟา

(c) งานทตองใชในการหมนวงจรน จาก (c) งานทตองใชในการหมนวงจรน จาก

ตาแหนงทมพลงงานตาสดมาอยใน

ตาแหนงน (ดวธทาในประมวลสาระฯ) ตาแหนงน (ดวธทาในประมวลสาระฯ)

56

ความเขมสนามแมเหลกและแมกนไตเซความเขมสนามแมเหลกและแมกนไตเซซนซน

เนองจากสสารประกอบดวยอะตอมซงมอเลกตรอนเคลอนทรอบอะตอม ใ สไฟฟ ( t i t) จงทาใหเกดกระแสไฟฟาอะตอม (atomic current)

ดงนนในตวนาจงมกระแสไฟฟา 2 ชนดคอ กระแสเนองจากการเคลอนทดงนนในตวนาจงมกระแสไฟฟา 2 ชนดคอ กระแสเนองจากการเคลอนทของประจอสระ และกระแสเนองจากการเคลอนทของอเลกตรอนในอะตอมอ ตอม

กระแสทง 2 ชนดนจะทาใหเกดสนามแมเหลกทงค โดยกระแสไฟฟา ใ ไ อะตอมจะทาใหเกดสนามแมเหลกเนองจากแมกนไตเซซน

li i id∑M μ μ0

lim i i

V

dV dVΔ →

= =Δ∑M μ μ

ไ ไ โ 57

จะเหนไดวาเวกเตอรแมกนไตเซซนกคอโมเมนตแมเหลกตอหนวยปรมาตร

ความเขมสนามแมเหลกความเขมสนามแมเหลก

การเกดแมกนไตเซซนจะทาใหเกดสนามแมเหลกมคาเปน

0m μ=B M

ดงนนถาวางสารในบรเวณทมสนามแมเหลกจากภายนอกจะเกดสนามแมเหลกรวมมคาเปน

0 0μ= +B B M

ถาใหความเขมสนามแมเหลกคอ จะไดสนามแมเหลกรวม

0 0/ μ=H Bรวม

( )0μ= +B H M

58หนวยของ H และ M คอ A/m

ความสมพนธของคาสภาพรบไวไดและสภาพใหซมไดความสมพนธของคาสภาพรบไวไดและสภาพใหซมได

คาสภาพรบไวไดทางแมเหลก (magnetic susceptibility) เปนปรมาณท

ใ ใ ไ ไบอกใหทราบวาสสารจะสามารถทาใหเปนแมเหลกไดดแคไหน

คาสภาพรบไวไดทางแมเหลก จะสมพนธกบ H และ M ดงนχ

χ=M H

คาสภาพรบไวไดทางแมเหลก จะสมพนธกบ H และ M ดงนχ

χM H

ดงนนเราจะเขยนไดวา

( ) ( )0 0 1 mμ μ χ μ= + = +B H M H = H

เราเรยก วาคาสภาพใหซมไดทางแมเหลกซงมคาเปนmμ

59( )0 1mμ μ χ= +

ตารางคารบไวไดทางแมเหลกของสารชนดตางๆตารางคารบไวไดทางแมเหลกของสารชนดตางๆ

60

การแบงชนดของสารแมเหลกการแบงชนดของสารแมเหลก

เราอาจแบงชนดของสารแมเหลกไดโดยการเปรยบเทยบคาสภาพ

ใหซมไดของสารกบคาสภาพใหซมไดของสญญากาศ (μ )ใหซมไดของสารกบคาสภาพใหซมไดของสญญากาศ (μo)

สารพาราแมกเนตก (Paramagnetic) : μm > μoสารพาราแมกเนตก (Paramagnetic) : μm μo

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกดดอยางออน เชน อะลมเนยม พลาตนม)

สารไดอะแมกเนตก (Diamagnetic) : μm < μo

ไ ใ

สารเฟอรโรแมกเนตก (Ferromagnetic) : μ >> μ

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกผลกอยางออน เชน ทองคา เงน ทองแดง

สารเฟอรโรแมกเนตก (Ferromagnetic) : μm >> μo

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกดดอยางแรง เชน เหลก โคบอลต

61

การแบงชนดของสารแมเหลกการแบงชนดของสารแมเหลก

เราอาจแบงชนดของสารแมเหลกไดโดยการเปรยบเทยบคาสภาพ

ใหซมไดของสารกบคาสภาพใหซมไดของสญญากาศ (μ )ใหซมไดของสารกบคาสภาพใหซมไดของสญญากาศ (μo)

สารพาราแมกเนตก (Paramagnetic) : μm > μoสารพาราแมกเนตก (Paramagnetic) : μm μo

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกดดอยางออน เชน อะลมเนยม พลาตนม)

สารไดอะแมกเนตก (Diamagnetic) : μm < μo

ไ ใ

สารเฟอรโรแมกเนตก (Ferromagnetic) : μ >> μ

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกผลกอยางออน เชน ทองคา เงน ทองแดง

สารเฟอรโรแมกเนตก (Ferromagnetic) : μm >> μo

(เมอนาไปใกลแมเหลกจะถกดดอยางแรง เชน เหลก โคบอลต

62