เอกสารประกอบการเรยนการสอน

วชาปฏบตการฟสกสพ นฐาน รหสวชา

โดย

สาขาวชาฟสกส สานกวชาวทยาศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร พ. ศ. 2556

- 2 -

คานา

เอกสารฉบบน เปนสวนหนงของการเรยนการสอนวชาปฏบตการฟสกสพ นฐาน รหสวชา 105194 สาหรบนกศกษาสาขาวชาแพทยศาสตร ช นปท 1 โดยเน อหาของเอกสารเนน ความรเบ องตนในการเกบ บนทกขอมล การวเคราะหขอมลตามหลกการทางวทยาศาสตร การฝกฝนทกษะในการเขยนรายงานการทดลอง รวมท งความรกลศาสตรข นพ นฐาน ปฏบตการทนกศกษาจะไดทามท งหมด 8 ปฏบตการ ไดแก การวด การเคลอนทเชงเสนและกฎขอทสองของนวตน การสนพองของคลนในเสนลวด การสนพองของคลนเสยงในหลอดปลายปด 2 ขาง สนามไฟฟา วงจรไฟฟากระแสตรง การแทรกสอด และปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

เพอทนกศกษาจะไดเรยนรทกษะในการทาการทดลองจากการปฏบตจรงอยางเตมท นกศกษาควรอานเอกสารฉบบน รวมท งแหลงขอมลอน ๆ ทเกยวกบการทดลองน น ๆ กอนเวลาทลงมอทาจรง คณะผสอนหวงเปนอยางยงวา นกศกษาจะไดฝกฝนทกษะในการทาการทดลอง ไดรบความรและความสนกสนานไปพรอม ๆ กน

อนง หนงสอเลมน ยอมมความบกพรองเปนธรรมดา หากทานผพบเหนจะไดกรณาทกทวง เพอคณะผจดทาจะไดแกไขในการพมพคร งตอไปกจะเปนพระคณยง

สาขาวชาฟสกส มถนายน 2556

- 3 -

สารบญ หนา

บทนา 4

การทาการทดลอง 4 ความคลาดเคลอนทางการทดลอง 5 ทมาของความคลาดเคลอน 6 จานวนเลขนยสาคญของผลการทดลองและการแพรกระจายความคลาดเคลอน 9 เลขนยสาคญในกรณทไมไดประมาณความคลาดเคลอน 11 การพลอตกราฟ 12 การวเคราะหขอมลโดยการพลอตกราฟ 14

1. การทดลองเรองการวด 21 2. การทดลองเรองการเคลอนทเชงเสนและกฎขอทสองของนวตน 24 3. การทดลองเรองการสนพองของคลนในเสนลวด 27 4. การทดลองเรองการสนพองของคลนเสยงในหลอดปลายปด 2 ขาง 30 5. การทดลองเรองสนามไฟฟา 32 6. การทดลองเรองวงจรไฟฟากระแสตรง 33 7. การทดลองเรองการแทรกสอด 36 8. การทดลองเรองปรากฏการณโฟโตอเลกตรก 38

ภาคผนวก ก. ความคลาดเคลอนทางการทดลอง 40 ข. วธการกาลงสองนอยทสด 45 ค. ออสซลโลสโคป HI ง. มลตมเตอร JK จ. ตวอยางรายงานการทดลอง 53

- 4 -

บทนา ฟสกสเปนวทยาศาสตรทศกษาปรากฏการณธรรมชาตในเชงปรมาณ คาอธบายปรากฏการณตาง ๆ จงอยในรปของกฎซงเขยนอยในรปสมการคณตศาสตร และกฎตาง ๆ เหลาน จะไดรบการพสจนและทดสอบโดยการสงเกตหรอทดลองวาเปนจรงหรอไม ในวชาปฏบตการฟสกส1น เราจะเนนไปทการทดสอบกฎหรอสมการทอธบายปรากฏการณทไมซบซอนนก เพอนกศกษาจะไดเรยนรวธทาการทดลองอยางมระบบ กลาวคอ นกศกษาจะไดฝกทกษะในการวด เกบและบนทกขอมลอยางถกตองตามหลกการทาการทดลอง รวมท งการวเคราะหและประเมนขอมลข นพ นฐาน การเขยนรายงาน สรปและวจารณผลการทดลอง

เอกสารฉบบน ถกออกแบบใหเปนแหลงความรพ นฐานเกยวกบการทาการทดลอง เพอใหนกศกษาไดรบประโยชนสงสดและสามารถทาการทดลองไดอยางมประสทธภาพและสนกสนาน นกศกษาจงควรศกษาเอกสารประกอบน กอนทาการทดลอง โดยเฉพาะเน อหาในบทน ในสวนทกลาวถงการวเคราะหผลการทดลองในรปของกราฟ ขอใหนกศกษาตระหนกเสมอวา สงตาง ๆ ทนกศกษาจะไดอานตอไปน เปนเพยง

คาแนะนา ไมใชกฎ∗ หากนกศกษาพบวา การใชแนวปฏบตอยางอนใหผลทดกวา นกศกษากสามารถใชแนวปฏบตน นได เพยงแตใหนกศกษาเขยนอธบายแนวปฏบตน นไวในรายงานใหชดเจน เพอผ อนจะไดตรวจสอบและเรยนรแนวปฏบตน น ๆ ดวย ในบทน เราจะกลาวถงแนวทางในการทาการทดลอง ความคลาดเคลอนในการทดลองและการประเมนคาของความคลาดเคลอน การนาผลการทดลองมาพลอตกราฟและวเคราะหผลการทดลอง การทาการทดลอง ในการทาการทดลองอยางมระบบและนาเชอถอน น ไมมข นตอนหรอวธปฏบตทเปนกฎตายตวแนนอน ผทดลองควรใชวจารณญาณและความคดท มเหตผลของตนเองในการทาการทดลอง อกท งมความระมดระวง ไมทาสงทคดวาอาจเปนอนตรายตอตนเองและผ อน ไมแตงเตมขอมลจากการทดลองข นมาเอง ไมคดลอกสวนใด ๆ กตามจากงานของผ อน บนทกสงทคนพบโดยละเอยดตามสมควร และไมรายงานขอความทเปนเทจ

เพอเปนแนวทางในการทาการทดลอง ตอไปน เปนคาแนะนาเกยวกบข นตอนทนกศกษาควรปฏบต

1. วางแผน กอนทนกศกษาจะเขาหองปฏบตการเพอทาการทดลอง นกศกษาควรเตรยมตวลวงหนา กลาวคอ ควรรวตถประสงคของการทดลองน น ๆ และวางแผนคราว ๆ วานกศกษาตองทาอะไรบาง นกศกษาตองรทฤษฎทเกยวของกบการทดลองพอควร รวมไปถงการทตองรวาปรมาณใดบางท

∗ กฎตายตวมไวสาหรบคอมพวเตอรกบหนยนต การทาการทดลองควรจะเปนการสอนใหนกศกษาเปนผ ทมเหตผล

สามารถประเมนและวจารณกระบวนการ ผลและขอสรปของการทดลองได โดยมสต เพอกอใหเกดปญญา

- 5 -

นกศกษาจะวดไดโดยตรง หรอทเรยกวาขอมลดบ (Raw data) และปรมาณใดบางทตองคานวณจากปรมาณทวดได (แตเราไมเรยกปรมาณเหลาน วา ‘ขอมลสก’) นอกจากน หากเปนไปไดนกศกษาควรเรยนรการใชอปกรณและเครองมอในการทดลองน นลวงหนากอนดวย

2. ทาการทดลอง เมอถงเวลาทาการทดลองจรง นกศกษาควรเกบขอมลและสงเกตผลทไดดวยความรอบครอบและระมดระวง

3. จดบนทก เพอทตนเองและผ อนสามารถตรวจสอบและนาขอมลไปใชตอได สงทนกศกษาควรจด ไดแก ข นตอนวธทาอยางคราว ๆ ทเขาใจได ผลการทดลองซงกคอ สงทวดได สงทคานวณได (ตองมคาความคลาดเคลอนในการวดใสอยดวยทกคร ง หรออยางนอยทสด กบนทกตวเลขถกหลกเลขนยสาคญ) รวมไปถงสงทสงเกตไดวาอาจมผลตอการทดลองตามความเปนจรง นอกจากน นกศกษาควรจดสงทนกศกษามความสงสย พรอมท งแนวทางการทดสอบเพมเตมเกยวกบขอสงสยน นดวย และทายสดกคอ นกศกษาตองสรปในเชงปรมาณเกยวกบสงทนกศกษาไดทาไป ความคลาดเคล0อนทางการทดลอง ลองพจารณาการวดคาความเรงโนมถวงของโลก g ทความสง O ระดบเมอวดจากระดบน าทะเล g = 9.819 m/s2 ทระดบน าทะเล g = 9.811 m/s2 ทความสง 2KK เมตรจากระดบน าทะเล คาถามทเกดข นกคอ คาทวดน ตางกนอยางมนยสาคญหรอไม ความแตกตางเกดจากปรากฏการณทางฟสกสหรอเกดจากการทเครองมอทเราใชวดมความละเอยดไมเพยงพอ เราจะไมมทางตอบคาถามน ไดเลย เวนแตเราจะมโอกาสไดวเคราะหวธการและอปกรณทใชวดผลการทดลองน นเปนเหตผลวาเหตใดเมอเราทาการบนทกผลการทดลองทกคร ง เราตองบนทกคาความคลาดเคลอนทเกดข นดวย*

คาตาง ๆ ทเราวดไดในการทดลอง หากเราไมมคาความคลาดเคลอนกากบ คาน น ๆ จะไมมความหมายแตอยางใด การบนทกคาความคลาดเคลอนถอเปนสงสาคญยงอยางหนงทจะทาใหเราวเคราะหสงทเกยวของไดอยางถกตอง ขนาดของความคลาดเคลอนเปนตวสะทอนถงความละเอยดของเครองมอหรอเทคนคทใชในการทดลอง ตวอยางการบนทกผลทไดจากการทดลอง เชน คาของประจอเลกตรอนทเปนทยอมรบจากการทดลอง มคาเทากบ

e = (1.602189 ± 0.000005) × 10-19 คลอมบ

* จากตวอยางขางตนถาบนทก g = 9.819± 0.001 m/s2ทระดบน าทะเลและ g = 9.811± 0.009 m/s2ทความสง CDD

เมตรจากระดบน าทะเล เราสรปวาคาท งสองไมตางกนอยางมนยสาคญเนองจากชวงของคาเหลอมกนอย แตถาบนทก g

= 9.819± 0.001 m/s2 ทระดบน าทะเล และ g = 9.811± 0.001 m/s2ทความสง CDD เมตรจากระดบน าทะเล คาท งสองถอวาตางกนอยางมนยสาคญเพราะชวงของคาท งสองไมเหลอมกน

- 6 -

สงเกตวา เราเขยนในลกษณะ

[คาของปรมาณท0เราไดจากการทดลอง] ± [คาความคลาดเคล0อน] [หนวย]

นนคอ 1) ตองมหนวยกากบปรมาณทเรารายงานเสมอ 2) คาความคลาดเคลอนเปนตวทบงบอกเราวาคาทแทจรงของปรมาณทเราไดมา นาจะอยในชวงใด

เราจะกลาวถงวธการประเมนคาความคลาดเคลอนในสวนถดไป สงเกตวา คาความคลาดเคลอนมเลขนยสาคญเพยง 1 ตว

3) จานวนเลขนยสาคญของปรมาณทเราไดจากการทดลอง จะตองสอดคลองกบความคลาดเคลอน กลาวคอ เลขตวสดทายทเราจะเกบไวจะมตาแหนงตรงกบตาแหนงของเลขเพยงตวเดยวของคาความคลาดเคลอน

นกศกษาจะบนทกผลการทดลองตามหลกการขางบนน

ตวอยางตอไปน แสดงความผดพลาดทมกเกดข นไดในการบนทกผลการทดลอง นกศกษาสามารถบอกวาไดหรอไมวา เราจะแกไขใหถกตองไดอยางไร

ก. c = (2.997925087 ± 0.0001) × 108 m/s

ข. อณหภม = 33.4 ± 0.1

ค. ความยาว = 3.86 ± 0.00004 เมตร

ง. ระยะระหวางโลกกบดวงอาทตย = 9.3×107 ± 1.347 × 106 ไมล ท0มาของความคลาดเคล0อน ความคลาดเคลอนนไมใชความผดพลาดในการทาการทดลอง แตเปนสงเกดจากการทเราไมสามารถทราบคาทแทจรงของปรมาณทเราวดได การวดของเราเปนเพยงความพยายามทจะระบวาคาทแทจรงวาควรจะอยในชวงใด ความกวางของชวงน คอคาความคลาดเคลอนของปรมาณทเราวด เราสามารถทาใหคาความคลาดเคลอนมขนาดเลกลงไดโดยการพฒนาวธการวด หรอพฒนาเครองมอทเราใชวด ความคลาดเคลอนจากการวดจะมคามากหรอนอยอยางไรน น เราประเมนไดจากความแมนยา (Accuracy) และความแนนอน (Precision or Reproducibility) ความแมนยาสงหมายถง คาทวดไดมคาเฉลยใกลเคยงกบคาจรงมาก และความแนนอนสงหมายถงคาทวดไดแตละคร งมคาใกลเคยงกนมาก เราตองการการวดทใหท งความแมนยาและความแนนอนสง

ความคลาดเคลอนมกเกดจาก ขอจากดของเครองมอ หรอความสามารถในการอานสงทเราวด ประเภทของความคลาดเคลอนอาจแบงไดเปน ความคลาดเคลอนจากการอาน (Reading Errors)

- 7 -

ความคลาดเคลอนจากลกษณะของเครองมอหรอวธการวด (Systematic Errors) และความคลาดเคลอนแบบสม (Random Errors)

ความคลาดเคลอนจากการอาน เปนความคลาดเคลอนทเกดจากขอจากดในการอานขอมลไมวาจะเนองจากผ ทาการทดลองเอง เชน ความแมนยาของสายตา หรอ เนองจากขอจากดของอปกรณ ความคลาดเคลอนประเภทน เปนความคลาดเคลอนทเกดข นเสมอ เราสามารถลดความคลาดเคลอนน ไดโดยการปรบปรงอปกรณ หรอเลอกใชอปกรณทมความคลาดเคลอนนอยลง ผทดลองเปนผคาดคะเนความคลาดเคลอนประเภทน เอง ผทดลอง O คน อาจคาดคะเนคาความคลาดเคลอนประเภทน ไมเทากนได

ตวอยางตอไปน เปนตวอยางการอานคาความคลาดเคลอนจากการอาน

รปท C.1 ไมบรรทดวดความยาวของวตถสเทา

ในรปท 2.1 เราใชไมบรรทดวดคาความยาวของวตถสเทา จากทเหนวตถน มความยาวบนสเกลของไมบรรทดน ระหวาง 2.H ถง 1.5 น ว และจากสายตาของเรา เราจะเดาวา 2.H5 น ว ซงเลข “5” ตวสดทายเปนเลขทเราคาดคะเน ความคลาดเคลอนจงอยในเลขตวน ความคลาดเคลอนจะเทากบเทาไหรน น ผบนทกตองถามตนเองวา ชวงของความเชอมนในการคาดเดาตวเลขน กวางแคไหน จากไมบรรทดน ถาเรามนใจวา ความยาวทเราอานไมนาจะส นกวา 2.H4 น ว และไมนาจะยาวกวา 2.H6 น ว ดงน น ความคลาด

เคลอนจะเปน ± K.K2 น ว นนคอ เราจะบนทกผลเปน 2.H5 ± K.K2 น ว หมายเหต ผทดลองบางคนอาจคดวา ชวงของความเชอมนนาจะกวางกวาน เชน อาจอยในชวง

2.H3 น ว ถง 2.H7 น ว กได ซงหมายความวา ผทดลองผน นจะบนทกเปน 2.HJ ± K.KO น ว

คาถาม ในกรณน เราจะบนทกเปน 2.H5 ± K.K5 น ว ไดหรอไม

คาตอบ ไมได เนองจากในกรณน ชวง ± K.K5 น ว มคากวางมากเกนไป ไมสมเหตสมผล เพราะจากรปเราเหนไดวา จากการอานดวยไมบรรทดน ไมมทางทคาความยาวของวตถดงกลาวจะมคาเปน 1.40 น วหรอ 1.50 น ว ไดเลย

เราสามารถลดคาความคลาดเคลอนจากการอานได โดยใชอปกรณวดความยาวอน ๆ ทมความละเอยดมากกวาแทนได เชน เราอาจใชเวอรเนยรคาลเปอร (Vernier caliper) หรอ ไมโครมเตอร (Micrometer) รปท 1.O แสดงตวอยางของอปกรณดงกลาว เราจะไดเรยนรวธการใชและคาความคลาดเคลอนของอปกรณท งสองน ในหองทดลอง

น ว

- 8 -

(ก) (ข)

รปท 1.2 (ก) เวอรเนยรคาลเปอร (ข) ไมโครมเตอร

ความคลาดเคลอนจากเครองมอหรอวธการวด เปนความคลาดเคลอนทมกจะมผลตอความแมนยาของการวด เราอาจตรวจจบความคลาดเคลอนประเภทน ไมงายนก สาเหตของความคลาดเคลอนประเภทน ไดแก การเทยบมาตรฐานของเครองมอวดกอนทาการวด (Calibration) หรอการต งคาศนย ทผดพลาด ทาใหเมอเราทาการวด ผลทวดไดจะผดพลาดเปนปรมาณเทา ๆ เดม เราลดความคลาดเคลอนประเภทน ได โดยการทาการเทยบมาตรฐานกอนทาการวดทถกตอง หรอปรบปรงเทคนคในการทาทดลอง เราไมสามารถลดความคลาดเคลอนประเภทน ไดดวยการทาการวดหลาย ๆ คร ง ในระดบช นปท 2 น นกศกษาไมตองกงวลเกยวกบความคลาดเคลอนประเภทน มากนก เนองจากอปกรณทนกศกษาใชในหองทดลอง ไดรบการตรวจสอบจากเจาหนาทในหองปฏบตการเปนอยางดแลว และเทคนคทนกศกษาจะไดใชกมกเปนเทคนคทใชไดคอนขางดและไมกอใหเกดความคลาดเคลอนประเภทน

ความคลาดเคลอนแบบสม เปนความคลาดเคลอนทไมมรปแบบ เกดจากการแปรผนบางอยางในระหวางการวดซงเราไมสามารถทานายหรอควบคมได เชน ในการจบเวลาของคาบการกวดแกวงของลกตมนาฬกาดวยนาฬกาจบเวลา เราอาจวดคาคาบไดไมเทากนในการวด 2 คร ง เราสามารถลดความคลาดเคลอนประเภทน ไดโดยการวดหลาย ๆ คร ง

เมอเราทาการวดมากกวา C คร ง คาทเปนตวแทนของการวดคอ คาเฉลย คาทบอกการกระจายตวของคาทวดไดคอ คาเบยงเบนมาตรฐาน คาความคลาดเคลอนแบบสมมคาเทากบ คาเบยงเบนมาตรฐานหารดวยรากท M ของจานวนคร งทวด

พจารณาการวดปรมาณ x ปรมาณหนง n คร ง คาเฉลยของปรมาณน สามารถหาไดจากสมการ

1 2 3

1

1 nn

ii

x x x xx x

n n =

+ + + += = ∑

…

- 9 -

และคาเบยงเบนมาตรฐานของการวดกาหนดโดย

2

1

1( )

1

n

ii

x xn

σ=

= −− ∑

และคาความคลาดเคลอนแบบสมจะเปน

mn

σσ =

ดงน นการบนทกผลการวดจะบนทกเปน

x x xn

σ± ∆ = ±

เมอ x∆ คอ ความคลาดเคลอนของการวด

คาถาม เหตใดเราจงสามารถลดความคลาดเคลอนประเภทน ไดโดยการวดหลาย ๆ คร ง

รปท 1.3 การวดความยาวของดนสอดวยไมบรรทดอนหนง คาถาม นกศกษาพจารณาการอานคาความยาวของดนสอจากไมบรรทดในรปท 1.3 นกศกษาคดวาดนสอยาวเทาใด ความคลาดเคลอนทนกศกษาประมาณได เกดจากสาเหตใดบาง นกศกษาสามารถลดคาความคลาดเคลอนน ไดอยางไรโดยใชไมบรรทดอนเดมน จานวนเลขนยสาคญของผลการทดลองและการแพรกระจายความคลาดเคลอน คาความคลาดเคลอนเปนตวกาหนดเลขนยสาคญของปรมาณทเราบนทก ถาปรมาณหนง ๆ ทเราวดไดในการทดลอง มคาความคลาดเคลอนหลายประเภท ใหใชคาทใหญท สดเปนคาความคลาดเคลอนของปรมาณน น ในระดบช นปท 1 น จะขอกาหนดใหจานวนเลขนยสาคญของคาความคลาดเคลอนเทากบ 1 ตวเทาน น ดงน นตวเลขหลกสดทายของปรมาณทเราบนทก จะตรงกบหลกของเลขเพยงตวเดยวของคา

ความคลาดเคลอน เชน หากเราหาคาความเรงโนมถวงของโลกได Q.RSTMUQ... ± D.DMVUT... เมตรตอ

วนาทM เมอเราบนทกเพอรายงานผล เราจะเขยนวา คาความเรงโนมถวงมคาเทากบ Q.RQ ± D.DM เมตรตอ

cm

- 10 -

วนาทM (สงเกตวาเราปดเลขทศนยมตาแหนงท M ของความเรงโนมถวงข น เนองจากทศนยมตาแหนงท V มคามากกวา U)

คาความคลาดเคลอนของปรมาณทมาจากผลการคานวณของปรมาณทวดไดอน ๆ หามาจากการคานวณการแพรกระจายความคลาดเคลอน (Propagation of errors) ซงมสตรซงมพ นฐานมาจากคาอนพนธหรออนพนธยอยของปรมาณน น ๆ ดงจะไดเหนในตวอยางตอไปน

กาหนดให x x± ∆ และ y y± ∆ เปนปรมาณ M ตวทเราวดไดโดยตรง ( x∆ และ y∆ เปนคาความคลาดเคลอนของ x และ y ตามลาดบ)

– ความคลาดเคลอนของ z ax= (โดยท a เปนคาคงท) หาไดจาก

z a x∆ = ∆ – ความคลาดเคลอนของ z ax by= + หรอ z ax by= − (โดยท a และ b เปนคาคงท)หาไดจาก

( ) ( )2 2z a x b y∆ = ∆ + ∆

– ความคลาดเคลอนของ z xy= หรอ xz

y= หาไดจาก

22

z x y

z x y

∆ ∆ ∆ = +

– ความคลาดเคลอนของ nz x= หาไดจาก

1 nz n x x−∆ = ∆ – ความคลาดเคลอนของ ( )z f x= หาไดจาก

dfz x

dx ∆ = ∆

หากนกศกษามความสนใจในการพสจนทางคณตศาสตรของสตรเหลาน นกศกษาสามารถดไดในภาคผนวก ก.

เมอเราทราบคาความคลาดเคลอนของปรมาณหนง ๆ เราจะสามารถเปรยบเทยบคาของปรมาณน นของเรากบคาของปรมาณน นทไดมาจากกลมทดลองอนได เชน ในการทดลองลกตมนาฬกา นกศกษาคนหนงหาคาความเรงโนมถวงของโลกไดเทากบ 9.9 0.2± เมตรตอวนาท2 และเพอนของเขาหาคาเดยวกนน ไดเทากบ 9.7 0.3± เมตรตอวนาท2 คาถามกคอ คาท งสองน เทากนหรอไม จะเหนวา ผลทไดท งสองน มชวงทเหลอมกนอย จงถอวาท งคไดคาความเรงโนมถวงของโลกเทากนภายในคาความคลาดเคลอนทท $ง

คทาได ถาตวเลขทไดจากการทดลองท งสองน ไมมคาความคลาดเคลอนกากบ นกศกษาอาจเขาใจผดและสรปวาท งควดคาความเรงโนมถวงของโลกไดไมเทากน ซงไมถกตอง ในทางตรงกนขาม หากคาความโนมถวงของโลกทกลมทดลองทหนงหาไดมคาเทากบ 9.90 0.02± เมตรตอวนาท2 และกลมทสองไดเทากบ 9.7 0.1± เมตรตอวนาท2 ซงเหนไดวาท งคไดคาไมเทากนภายในคาความคลาดเคลอนทท $งคทาได

- 11 -

เนองจากผลทไดไมมชวงทเหลอมกนอยเลย สงสาคญทตองการใหนกศกษาไดไปจากยอหนาน กคอ ในการทดลองเราไมสามารถเปรยบเทยบไดเลยวา คาสองคามคาเทากนหรอไม หากไมมการบนทกคาความคลาดเคลอน เลขนยสาคญในกรณทไมไดประมาณความคลาดเคลอน การประมาณความคลาดเคลอนในการทดลองเปนสงจาเปน แตในกรณของการทาการทดลองในระดบช นปท 2 ซงใหเวลาในการทาและวเคราะหผลการทดลองจากด การประมาณความคลาดเคลอนท งหมดอาจทาใหนกศกษาไมสามารถสงรายงานการทดลองไดทนเวลา เราจงจะอนโลมใหนกศกษาสามารถบนทกและวเคราะหผลการทดลองตามหลกการของการประมาณและคานวณปรมาณของเลขนยสาคญได

จานวนของเลขนยสาคญของปรมาณหนง ๆ บงบอกความละเอยดแมนยาของการวดปรมาณน น ๆ หลกการคราว ๆ ของการบนทกคาของปรมาณหนง ๆ ตามการมนยสาคญ คอ

คาของปรมาณ = คาทเราทราบแนชด + ตวเลข 2 ตาแหนงทมาจากการประมาณ

เชน ในรปท 2.2 เราจะบนทกวาความยาวของวตถสเทามคาเปน 2.HJ น ว โดย 2.H เปนสวนทเราทราบแน และเลข J เปนตวเลขท เราคาดคะเน ดงน นคาความยาวน จะมจานวนเลขนยสาคญ r ตว จานวน เลขนยสาคญมากยอมสะทอนถงความละเอยดของเครองมอทใชและวธการวด

ตอไปน คอกฎทเกยวของกบการนบจานวนเลขนยสาคญของปรมาณหนง ๆ นกศกษาควรสงเกตวากฎเหลาน สอดคลองกบสามญสานกของนกศกษาหรอไม

a. เลขทไมใชศนยทกตว ถอวาเปนเลขนยสาคญ

b. เลขศนยทอยหนาจานวนท งหมดไมถอวาเปนเลขนยสาคญ เชน K.KKKs2t มเลขนยสาคญเพยง r ตว

c. เลขศนยทอยระหวางตวเลขอนถอวาเปนเลขนยสาคญ เชน K.KKJ2KO มเลขนยสาคญ H ตว

d. เลขศนยทอยทายตวเลขและหลงจดทศนยมถอวาเปนเลขนยสาคญ เชน I.uH2KsKK มเลขนยสาคญ t ตว

e. เลขศนยทอยทายจานวนเตมธรรมดาทไมมจดทศนยมอาจมหรอไมมเลขนยสาคญหรอไมกได ข นกบผบนทก เชน OuIKKK มจานวนเลขนยสาคญทกากวม คอ อาจม r, 4, 5 หรอ I กได เราไมมทางทราบ ในกรณเชนน ใหถอวาปรมาณน มจานวนเลขนยสาคญทนอยทสดไปกอน กลาวคอมเพยง 3 ตว และเพอไมใหกรณเชนน เกดข น เราจงใชการบนทกในลกษณะ

a × 10n โดยจานวนเลขนยสาคญจะถกระบดวยจานวนเลขนยสาคญของตว a เชน OuIKKK ควรบนทกเปน 2.76 × 105 (หากมเลขนยสาคญ r ตว) หรอ 2.760 × 105 (หากมเลขนยสาคญ H ตว) หรอ 2.7600 × 105 (หากมเลขนยสาคญ J ตว) หรอ 2.76000 × 105 (หากมเลขนยสาคญ I ตว) ข นกบวาผบนทกวาวดไดละเอยดเพยงใด

- 12 -

เมอเราตองคานวณหาปรมาณใหมทมาจากปรมาณทเราวดไดใหถกตองตามหลกเลขนยสาคญ เรามหลกเกณฑดงตอไปน

1. จานวนเลขหลงจดทศนยมของผลบวกหรอผลตางของปรมาณคใด ๆ มคาเทากบจานวนเลขหลงจดทศนยมของปรมาณทมจานวนเลขหลงจดทศนยมทนอยทสด เชน 97.3

(ทศนยม 2 ตาแหนง) + 5.821 (ทศนยม r ตาแหนง) = 103.2 (ทศนยม 2 ตาแหนง ทอนจาก 2Kr.2O2)

2. จานวนเลขนยสาคญของผลคณหรอผลหารของปรมาณคใด ๆ มคาเทากบจานวนเลขนยสาคญของปรมาณทมจานวนเลขนยสาคญทนอยทสด เชน 2Or.KK2 (เลขนยสาคญ

I ตว) ÷ r.2J (เลขนยสาคญ 3 ตว) = 39.0 (เลขนยสาคญ r ตว ทอนจาก rs.KHusrIJKusrIJK...)

นนคอ ผลบวกหรอผลคณไมควรละเอยดกวา ปรมาณทมความละเอยดนอยทสด

ในการปดทศนยม ถาเลขตวทอยหลงเลขทเราตองการเกบไวมคามากกวาหรอเทากบ J เราจะปดข น แตหากมคานอยกวา J เราจะคงคาเดมไว การพลอตกราฟ ในการทาการทดลอง เราจะเปลยนคาของปรมาณหนงแลวดวาคาของอกปรมาณหนงเปลยนแปลงไปอยางไร โดยชวงหรอจานวนคร งทเราเปลยนแปลงคาจะมความกวางตามความเหมาะสมและเปนจานวนคร งทมากทสดเทาท เราจะสามารถทาได จากน นเรากจะนาผลมาเปรยบเทยบกบทฤษฎท เรามอย ตวอยางเชน เราวดความสมพนธระหวางความตางศกยตกครอมกบกระแสไฟฟาทไหลผานวสดหนงไดเปนดงตารางท 1.1 คาถามทเราม คอ ความสมพนธระหวางความตางศกยตกครอม V กบกระแสไฟฟา I เปนอยางไร ถาความสมพนธมลกษณะเปนเสนตรง แสดงวาวสดน มสมบตเปนไปตามกฎของโอหม V = IR โดย R คอคาความตานทานของวสด เราสามารถทราบคาความตานทานของวสดไดจากคาความชนของกราฟ

นนคอ เราสามารถวเคราะหผลการทดลองไดโดยการพลอตกราฟ วตถประสงคหลกของการพลอตกราฟจากขอมลทเราบนทกหรอคานวณไดจากการทดลองน น คอ

1. เพอใหเราเหนภาพความสมพนธของปรมาณทเราสนใจ และ

2. เพอหาปรมาณทางฟสกสทเกยวของ เนองจากนกศกษาสวนใหญยงไมมประสบการณในการพลอตกราฟของผลการทดลอง ในระดบช นปท 2 น เราจงยงไมใหนกศกษาพลอตกราฟดวยคอมพวเตอร เพอทวานกศกษาจะไดลงมอเขยนกราฟและวเคราะหดวยตวเอง

- 13 -

จากขอมลในตารางท 2.2 เราพลอตกราฟความสมพนธไดดงน [ขอใหนกศกษาสงเกตลกษณะของกราฟทด วาควรม] 1. กราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณใดบาง 2. การระบปรมาณบนแกนต งและนอนพรอมกบหนวย 3. การต งสเกลในลกษณะทใชพ นทของกราฟ C แผน อยางเตมท 4. คาของความคลาดเคลอนของปรมาณทวดไดแสดงโดยการวาดเสนทมขนาดเทากบความคลาดเคลอนน นไปทางซายกบขวา (หรอบนกบลาง) ของจดทเราพลอต ในกรณน เราสามารถวาดไดเฉพาะเสนความคลาดเคลอนของกระแสไฟฟาเทาน น (2 ชองเลกของแกนนอนมคาเทากบ K.KOJ A) แตความคลาดเคลอนของความตางศกยมคานอยกวาทจะแสดงบนสเกลของแกนต งได

V ±0.01 (Volts) I ±0.03 (Amperes) 0.05 1.60 2.73 3.70 4.53 5.62 6.23 7.00 7.90 9.31 10.38 11.98 13.40 16.13

0.21 0.57 0.99 1.36 1.65 1.98 2.24 2.55 2.83 3.07 3.23 3.48 3.65 3.89

ตารางท 2.2 ผลการทดลองวดความสมพนธระหวางความตางศกยตกครอมกบกระแสไฟฟาทไหลผานวสด

ช นหนง

- 14 -

รปท 1.4 แสดงกราฟทพลอตจากขอมลในตารางท 1.1 จะเหนไดวาความสมพนธเปนเสนตรงในชวงทมความตางศกยตกครอมนอยกวา 8.00 V เทาน น เมอมความตางศกยมากกวาน ความสมพนธระหวางความตางศกยตกครอมเรมเปนเสนโคง ซงหมายความวา วสดมพฤตกรรมเปนไปตามกฎของโอหม เมอมความตางศกยตกครอมนอยกวา t.KK V โดยจะมคาความตานทานเทากบคาความชนของเสนตรงทพลอต และเมอความตางศกยตกครอมมคามากกวา t.KK V วสดประพฤตตวตางไปจากกฎของโอหม คอ มคาความตานทานเพมข นเรอย ๆ ไปตามคาความตางศกยตกครอม (ดจากการทเสนโคงมความชนเพมข นเรอย ๆ) การวเคราะหขอมลโดยการพลอตกราฟ การทดลองในระดบช นปท 2 เปนการทดลองเกยวกบปรากฏการณทางฟสกสทมทฤษฎรองรบ ผลการทดลองมกเปนไปตามทฤษฎ ในสวนของการวเคราะหผลการทดลองดวยกราฟน น นกศกษาจะไดฝกฝนการพลอตกราฟจากขอมลทวดหรอคานวณได และวเคราะหหาปรมาณทเกยวของจากกราฟทพลอต ความสมพนธท เราสามารถวเคราะหไดงายทสดโดยไมจาเปนตองใชเครองคอมพวเตอรชวย กคอ ความสมพนธเชงเสน ความสมพนธระหวางปรมาณในแกนต ง y และปรมาณในแกน x ทเปนแบบเชงเสน เปนดงน y mx b= + (1.11)

- 15 -

โดยท b คอ คาคงท ทเปนจดตดแกนต ง y สวน m คอ ความชนของกราฟ ซงหาไดจากความสมพนธ

2 1

2 1

y ym

x x

−=

− (1.12)

โดย ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y เปนคลาดบบนเสนกราฟ

คาถาม นกศกษาทราบหรอไมวา ความชนมคาเปนลบ ศนย หรอบวกหมายความอยางไร อยางไรกด ความสมพนธของปรมาณทางฟสกสอาจไมเปนเชงเสน เชนอาจอยในรป (a และ c เปนคาคงตว) 2y ax c= + (1.13) หรอ

xy a

c= (1.14)

หรอ axy ce−= (1.15) ซงไมใชความสมพนธเชงเสน แตเนองจากเสนตรงเปนเสนทเราสามารถหาคาความชนและจดตดแกนได เราจงมกตองเลอกวา

1. จะพลอตปรมาณใดเปนแกนต ง และปรมาณใดเปนแกนนอนเพอใหไดกราฟเสนตรง เชน

• ในกรณ 2y ax c= + เราอาจเลอกพลอต y เปนแกนต งและ x2 เปนแกนนอน เพอใหไดกราฟเสนตรงทมความชนเทากบ a และจดตดแกนต งเทากบ c (ลองเทยบ สมการเสนตรง y = mx + b กบ 2y ax c= + )

• ในกรณ xy a

c= เราจะพลอต ln y เปนแกนต ง และ ln x เปนแกนนอน เนองจากเมอ

เราใสฟงกชนลอการทมท งสองขาง เราจะได 1ln ln ln

2

ay x

c= + ซงหมายความวา

ความชนของกราฟจะมคาเทากบ C/M และจดตดแกนต งมคาเทากบ lna

c

คาถาม ถาเราเลอกพลอต 2y เปนแกนต ง และ x เปนแกนนอน ความชนและจดตดแกนต งจะมคาเทาใด

• ในกรณ axy ce−= เราจะพลอต ln y เปนแกนต ง และ x เปนแกนนอน เนองจากเมอเราใชฟงกชนลอการทมท งสองขาง เราจะได ln lny c a x= − ⋅ ซงหมายความวาความชนของกราฟจะมคาเทากบ -a และจดตดแกนต งมคาเทากบ ln c

หรอ

- 16 -

2. ในบางกรณขางตน เราสามารถเลอกใชกราฟในสเกลอนได เชน สเกลลอการทม (รปท 1.5 และ 1.6 แสดงกราฟสเกลลอการทมท งสองแกนและเพยงแกนเดยวตามลาดบ) นนคอ ในกรณ

xy a

c= ขางตน เราสามารถพลอต y เปนแกนต งและ x เปนแกนนอน บนกราฟทมสเกล

ลอการทมท งบนแกนต งและแกนนอน โดยความชนของกราฟจะมคาเทากบ C/M และจดตดแกนต ง (เมอ x มคาเปน C เนองจากบนสเกลลอการทมไมมคาศนย) จะมคาเทากบ a c สวนในกรณ axy ce−= เราสามารถพลอต y เปนแกนต งบนสเกลลอการทมและ x เปนแกนนอนบนสเกลปกต ความชนของกราฟจะมคาเทากบ –a และจดตดแกนต งจะมคาเทากบ c

รปท 1.5 กราฟสเกลลอการทมบนท งสองแกน

- 17 -

รปท 1.6 กราฟสเกลลอการทมบนแกนต ง และสเกลปกตบนแกนนอน

นกศกษาจะเหนไดวาสเกลลอการทมตางจากสเกลธรรมดา คอ ระยะบนสเกลระหวางเลขทหางเทากนมคาไมเทากน เชน ระยะระหวาง 1 กบ 2 ไมเทากบ ระยะท 2 หางจาก 3 นกศกษาเปนผ ระบเลขทปรากฏบนสเกลวามคาเทาใด เชน เลข 2 อาจมคาเปน 0.2 หรอ 2 หรอ 20 กไดข นกบชวงขอมลทนกศกษาวดได และเมอนกศกษาระบคาแลว 2 ตวแรกแลว เลข 2 ตวถดไปบนสเกลจะมคาเปน 10 เทาของเลข 2 ตวทนกศกษาไดระบคาแลว

ขอควรระวง ระยะบนสเกลลอการทมน น จาเปนจะตองระบใหตรงกบตวเลขทกาหนดไวใหในกราฟ เชน เลข 3 อาจมคา 0.3 หรอ 3 หรอ 30 กได แตไมสามารถระบเปนเลขอน เชน 0.4 หรอ 4 หรอ 0.2 หรอ 2 ได

สาหรบการลงจดบนกราฟสเกลลอการทม เนองจากระยะบนสเกลบงบอกถงความเปนลอการทมแลว นกศกษาไมตองใสลอการทมของขอมลกอนพลอตแตอยางใด ใหนกศกษาลงจดตามปกตไดเลย แตเมอนกศกษาตองการคาความชน ความชนของเสนตรงทหาไดจากในกรณทท งสองแกนเปนสเกลลอการทมนกศกษาหาไดจาก

2 1

2 1

ln ln

ln ln

y ym

x x

−=

− (1.16)

โดย ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y เปนคลาดบบนเสนกราฟ ในกรณทเฉพาะแกนต งเปนสเกลลอการทมและแกนนอนเปนสเกลปกต นกศกษาหาคาความชนไดจาก

2 1

2 1

ln lny ym

x x

−=

− (1.17)

- 18 -

สาหรบจดตดแกนน น ถาแกนนอนเปนสเกลปกต จดตดแกนต งมคาเทากบ y (แกนต ง) เมอคา x (แกนนอน)เปนศนย แตถาแกนนอนเปนสเกลลอการทมจดตดแกนต งมคาเทากบ y เมอคา x เปนหนง คาถาม นกศกษาคดวาเพราะเหตใด

รปท 1.7 แสดงตวอยางของการใชกราฟลอการทม ผ ใชระบใหเลข 1 ตวแรกมคาเปน 0.1 วนาทบนแกนต ง และ 0.1 เมตรบนแกนนอน จดตดแกนต ง (Intercept) อยทตาแหนงทลกศรช คอเมอ L มคาเปน 1 เมตร

รปท 1.7 นามาจาก http://www.rit.edu/cos/uphysics/graphing/graphingpartM.html แสดงการ

หาความชน (Slope) และจดตดแกน (Intercept) บนกราฟลอการทม (ในตวอยางน ไมไดแสดงการหาความคลาดเคลอนของความชน และจดตดแกน)

วธการหาคาความชนและจดตดพรอมความคลาดเคลอนเราสามารถหาได M วธ วธแรกเปนวธการเชงกราฟ (Graphical method) และวธทสองเปนการประมาณคาดวยวธกาลงสองนอยทสด (Least squares fitting)

- 19 -

วธการแรกเปนวธทเราสามารถทาไดโดยไมตองอาศยคอมพวเตอร เราสามารถประมาณความคลาดเคลอนของความชนและจดตดแกนไดโดยใชหลกเกณฑงาย ๆ ตอไปน

1. ในกรณทเราสามารถวาดเสนความคลาดเคลอน (Error bars) ได เมอเราลากเสนทเปนตวแทนของขอมลบนกราฟ เราจะลากเสน M เสนทผานขอมลของเรา โดยบรเวณทท งสองเสนคลม ควรมจานวนจดขอมลมากกวา RD % โดยเสนหนงควรมความชนมากกวาอกเสนหนง ดงแสดงในรปท C.8

รปท 1.8 แสดงการหาความชนและจดตดแกนต งในกรณทมความคลาดเคลอนของจดทพลอต

- 20 -

ความชนของขอมลมคาเทากบคาเฉลยของความชนท งสองเสน และความคลาดเคลอนในความชนมคาเทากบครงหนงของผลตางของความชนท งสอง และทานองเดยวกนจดตดแกนต งคอคาเฉลยของจดตดแกนทอานไดจากแตละเสนกราฟ สวนความคลาดเคลอนคอครงหนงของผลตาง สงเกตวา เลขนยสาคญในความคลาดเคลอนมเพยงตวเดยว และคาเฉลยของความชนและจดตดแกนมจานวนทศนยมสอดคลองกบความคลาดเคลอน คาถาม นกศกษาทราบหรอไมวาเพราะเหตใด ในการเลอกจดเพอคานวณหาคาความชนของกราฟแตละเสน จดทถกเลอก (จดทถกวงกลมไว) อยหางกนคอนขางมาก และไมเปนจดทมาจากการทดลอง

2. ในกรณทไมมเสนความคลาดเคลอนในกราฟ เมอลากเสนกราฟผานขอมลใหนกศกษาลากเสนทดทสดทเปนตวแทนของขอมลทนกศกษาวดได ซงจะมเพยงเสนเดยว (ไมเหมอนในกรณทกราฟมเสนความคลาดเคลอนซงเราลากเสนกราฟ 2 เสน) ความละเอยดของคาความชนและจดตดแกนของเสนกราฟจะถกจากดดวยความละเอยดของสเกลบนกราฟของนกศกษา (ความคลาดเคลอนในการอานคาบนสเกลของกราฟ) ใหนกศกษาบนทกตามหลกการของเลขนยสาคญ

3. เมอนกศกษามความเขาใจการวาดและวเคราะหขอมลจากกราฟดวยวธการเชงกราฟแลว นกศกษาอาจใชวธทางคณตศาสตรเพอใหไดผลการวเคราะหทดยงข นไปอกโดยการใชเทคนคกาลงสองนอยทสดซงบรรยายไวในภาคผนวก ในรายวชาปฏบตการฟสกส 1 สาหรบนกศกษาระดบปทหนง ผ สอนยงไมตองการใหนกศกษาใชวธน ในการวเคราะห เนองจากตองการใหนกศกษาไดลงมอวาดกราฟใหเหนความสมพนธดวยตนเองกอน ในรายวชาปฏบตการฟสกส 2 นกศกษาอาจไดใชวธการน ในการวเคราะหผลการทดลอง

ในบทถด ๆ ไป เปนการบรรยายโดยยอการทดลองท งแปดทนกศกษาจะไดทาในวชาปฏบตการฟสกส 1 ซงไดแก การวด การเคลอนทเชงเสนและกฎขอทสองของนวตน การหมนของวตถเกรง การกวดแกวงของมวลตดสปรง การสนพองของคลนในเสนลวด ความหนด การสนพองของคลนเสยงในหลอดปลายปด 2 ขาง และการกวดแกวงของลกตม

- 21 -

1. การทดลองเร0องการวด การทดลองน มจดประสงคหลกคอ เพอหาความหนาแนนของวสดอยางนอย M ช น นกศกษาจะไดฝกฝนการใชเวอรเนยคาลเปอร ไมโครมเตอร และตาชง ในการวดความยาวและมวลของวตถตามลาดบ การบนทกผลการทดลอง และการคานวณปรมาณทเราตองการพรอมความคลาดเคลอน

รปท 1.1 แสดงอปกรณทนกศกษาจะไดใชในการทดลองน ซงไดแก ตาชง 2 แขน ตาชงชงมวลทมขนาดเลก ไมบรรทด เวอรเนยรคาลเปอร ไมโครมเตอร และวสดทนกศกษาเลอกเพอหาคาความหนาแนน

รปท 1.1 อปกรณและวสดในการทดลองเรองการวด

ตาช ง 2 แขน

ตาช งช งมวลขนาดเลก

ไมบรรทด

เวอรเนยคาลเปอร

ไมโครมเตอร

วสด

- 22 -

ปรมาณทนกศกษาวดไดโดยตรงในการทดลองน คอ มวล m ดวยตาชง และขนาดของวสดทนกศกษาเลอก ดวยไมบรรทด เวอรเนยคาลเปอร หรอไมโครมเตอร นกศกษาตองคานวณหาคาปรมาตร (V) ของวสด ตวอยางเชน

– ทรงกลม รศม r มปรมาตรเทากบ

34 3V rπ= (1.1) นกศกษาจะตองหาคารศมจากขนาดของเสนผานศนยกลาง d ซงนกศกษาวดไดโดยตรง โดยท

2r d= นนแสดงวา ความคลาดเคลอนในรศมคอ 2r d∆ = ∆ โดยท d∆ คอ คาความคลาดเคลอนของเสนผานศนยกลางของทรงกลม ดงน น ความคลาดเคลอนของปรมาตรทรงกลมมคา

2 24 2V r r d dπ π∆ = ∆ = ∆ (1.2) – ทรงกระบอก

รศม r สง h มปรมาตรเทากบ 2V r hπ= (1.3)

ความคลาดเคลอนของ ปรมาตรทรงกระบอกมคา

2 22

2

2 2

2

2

r hV V

r h

r r hV

r h

∆ ∆ ∆ = +

∆ ∆ = +

2 2

2

r hV

r h

∆ ∆ = +

(1.4)

ใหนกศกษาลองหาสตรความคลาดเคลอนของปรมาตรทรงกระบอกกลวงเปนแบบฝกหด

ความหนาแนนของวสด ρ หาไดจาก m

Vρ = และคาความคลาดเคลอนของความหนาแนนหา

ไดดงน

2 2

m V

m Vρ ρ

∆ ∆ ∆ = +

(1.5)

โดยท m∆ และ V∆ คอ คาความคลาดเคลอนของมวลและปรมาตรตามลาดบ ในการทดลองน นกศกษาสงเกตวามอปกรณมากกวา 1 ช นสาหรบวดปรมาณอยางเดยวกน ดงน น

นกศกษาควรเลอกอปกรณในการวดปรมาณตาง ๆ ใหเหมาะสมและทาใหมความคลาดเคลอนนอยทสด นอกจากน นกศกษาควรพจารณาดวยวา ความคลาดเคลอนประเภทใด (Reading, Random, or Systematic error) จะมคามากทสด

- 23 -

คาถาม ลองถามตนเองวา มความจาเปนตองวดคามวลและความยาวมากกวา 1 คร ง เพอหาคาความคลาดเคลอนแบบสมหรอไม เพราะเหตใด

เนองจากในการทดลองน ไมจาเปนตองวเคราะหผลดวยการพลอตกราฟ ดงน นในสวนของการ

วเคราะหผล นกศกษาตองแสดงการคานวณหาคาความหนาแนนของวสดทนกศกษาเลอกใหละเอยดตามสมควร และจากความหนาแนนทนกศกษาคานวณได นกศกษาสามารถบอกไดหรอไมวาเปนวสดอะไร

- 24 -

2. การทดลองเร0องการเคล0อนท0เชงเสนและกฎขอท0สองของนวตน การทดลองน มจดประสงคหลก 2 ขอ คอ เพอหาคาความเรงของวตถทเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรงคงตว และเพอหาคาความเรงโนมถวงของโลก g โดยอาศยกฎของนวตน การทดลองน จงแบงออกเปน M ตอน ตามวตถประสงค รปท 3.1 แสดงอปกรณทใชในการทดลอง

ตอนแรก เปนตอนทนกศกษาทาการทดลองเพอทดสอบสมการการเคลอนทของรถทเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรงคงตว ปรมาณทนกศกษาวดไดโดยตรงคอ ชวงเวลา t ทรถเคลอนท ดวยอปกรณทเรยกวาโฟโตเกต (Photogate) (นกศกษาจะไดเรยนรวธการใชโฟโตเกตในหองทดลองจากอาจารยผคมปฏบตการ) และระยะ S ทรถเคลอนทได ดวยแถบวดทตดกบราง

ความสมพนธ หรอสมการทเกยวของกบการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงตว a ซงนกศกษาจะไดทดสอบในการทดลองน คอ v u at= + (2.1) และ

212S ut at= + (2.2)

โดย u คอ ความเรวรถเมอเวลาเรมตน v คอ ความเรวรถเมอเวลาผานไป t และ S คอระยะกระจดทรถเคลอนทไดในเวลา t

รปท 2.1 อปกรณในการทดลอง

โฟโตเกต โฟโตเกต

รถและแผนก นแสง

มวลถวง

ราง พรอมแถบวดความยาว

- 25 -

ดงทกลาวขางตน ปรมาณทนกศกษาสามารถวดไดโดยตรงคอ ชวงเวลา t และระยะกระจด S

นกศกษาตองควบคมใหความเรวตนของรถมคาคงตวตลอดการทดลอง และบนทกคาความเรวรถเมอเวลา

t ตาง ๆ ดงน น นกศกษาตองเรยนร คอ การคานวณหาคาความเรวจาก ชวงเวลา t และระยะกระจด S ทเกยวของ

– สมการ v u at= + : ชวงเวลา t และความเรว v เปนปรมาณทเปลยนแปลงในการทดลองซงนกศกษาตองบนทก สวน u และ a เปนปรมาณทนกศกษาควบคมใหคงตว นกศกษาสามารถวเคราะหหาคาของ u และ a ไดโดยพลอตกราฟโดยใหความเรว v เปนแกนต ง และชวงเวลา t

เปนแกนนอน ตามทฤษฎกราฟทไดจะเปนเสนตรง โดยทความชนของกราฟจะมคาเทากบ a

และจดตดแกนต งจะมคาเทากบ u

– สมการ 212S ut at= + : ชวงเวลา t และระยะกระจด S เปนปรมาณทเปลยนแปลงในการ

ทดลองซงนกศกษาตองบนทก สวน u และ a เปนปรมาณทนกศกษาควบคมใหคงตว คาถาม นกศกษาควรพลอตกราฟระหวางปรมาณใดกบปรมาณใด จงจะไดกราฟเสนตรง และความชนกบจดตดแกนต งจะตรงกบปรมาณใด

รปท 2.2 มวล m ดงรถมวล M

ตอนท M นกศกษาจะหาคาความเรงโนมถวงของโลก g โดยใชกฎของนวตน รปท 2.2 แสดงระบบ

ทนกศกษาตองตดต งโดยใชอปกรณทมใหเพอทาการทดลองในตอนน จากระบบน นกศกษาสามารถเขยนสมการการเคลอนทตามกฎขอทสองของนวตนไดดงน ( ) – mg f M m a= + (2.3) โดย M และ m คอมวลรถและมวลแขวนตามลาดบ f คอ ขนาดของแรงตานการเคลอนทของระบบ และ a

คอ ความเรงของมวลแตละกอน

m

M

- 26 -

นกศกษาสามารถจดรปสมการใหมได

m f

a gM m M m

= −+ +

(2.4)

นกศกษาตองออกแบบการทดลองตามสมการน ดงน นกอนการทดลองนกศกษาตองพจารณาสมการน ใหดกอน คาถาม 1. ปรมาณใดบางทคงตวตลอดการทดลองโดยไมตองบงคบ

2. ปรมาณใดบางทนกศกษาอาจตองบงคบใหคงทตลอดการทดลอง

- 27 -

3. การทดลองเร0องการส0นพองของคล0นในเสนลวด การทดลองน มจดประสงคหลกคอ เพอศกษาคลนนงในเสนลวดทถกตรงท งสองขาง และศกษาความสมพนธระหวางอตราเรวของคลนในเสนลวด กบแรงตงลวด

รปท V.1 อปกรณในการทดลองการสนพองของคลนในเสนลวด

เมอลวดถกขงใหตงและทาใหสนดวยคาความถทเหมาะสม ลวดจะสนเปนคลนนง โดยจานวนลป

n ทเราเหนจะข นกบความถการสน fn

รปท 3.2 นามาจาก http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/waves/string.html แสดงคลนนงท ปรากฏบนเสนลวดทความถของการสนพอง 6 คา

ออสซลโลสโคป

เครองสรางคลนทความถตาง ๆ

รางขงเสนลวด

- 28 -

ความยาวคลน nλ สมพนธกบจานวนลปและความยาว L ของลวด เปนดงน

2n

L

nλ = (3.1)

ความเรวคลนหาไดจากความสมพนธ n nv f λ= (3.2) ในการทดลองน นกศกษาจะทดสอบความสมพนธตอไปน

Tv

µ= (3.3)

โดยท T คอแรงตงในเสนลวด และ µ คอมวลตอหนวยความยาวของลวด ปรมาณทนกศกษาวดไดโดยตรงจากอปกรณทดลอง คอ คาบการสน P ดวยออสซลโลสโคป

ความยาวของลวด L ดวยแถบบรรทดบนราง และมวลแขวน m ดวยตาชง† นกศกษาจะตองคานวณหา

ความเรว v จากความสมพนธ n nv f λ= โดยทหาความถจากคาบทวดได ( 1nf P

= ) และความยาวคลน

จากความยาวลวดและจานวนลปของคลนนง ( 2n

L

nλ = ) นกศกษาจะตองหาแรงตง T จากมวล m ทดง

ลวดโดยท

2

1

mgdT

d= (3.4)

(ดความหมายของระยะ d1 และ d2 ในรปท 4.3)

รปท 3.3 แสดงมวลดง m และระยะทนกศกษาตองใชเพอคานวณหาแรงตงในเสนลวด

† ในการทดลองน นกศกษาอาจยอมรบคามวลทสลกตดไวกบช นมวลแตละช น โดยประมาณวาคาความคลาดเคลอนสมพทธของมวลมคานอยมากเมอเทยบกบคาความคลาดเคลอนสมพทธของปรมาณอน

d1d 1

d2d 2

m

- 29 -

นกศกษาลองพจารณตวอยางการบนทกผลทมความคลาดเคลอนระบไวดวย‡ L = 50.00 ± 0.02 cm P (ms) n m

(g) d1 (cm) d2 (cm) 1f P=

(1/s) 2L nλ =

(cm) v f λ= (m/s)

2

1

mgdT

d=

(N) 2.0 0.2± 3 100 1.0 0.1± 5.0 0.1± 5.0 0.1± 33.33 0.01± 170 20± 4.9 0.5±

โดยการคานวณคาความคลาดเคลอนของปรมาณตาง ๆ§ ในตารางหามาจากสมการตอไปน

2

Pf

P

∆∆ = (3.5)

2n

L

nλ

∆∆ = (3.6)

2 2

fv v

f

λλ

∆ ∆ ∆ = +

(3.7)

2 2

2 2 1 2

1 1 1 2

d d d dT mg mg

d d d d

∆ ∆∆ = ∆ = +

(3.8)

ตามทฤษฎ Tv

µ= และขอมลทนกศกษาจะนามาพลอตบนกราฟ คอ v และ T

คาถาม v กบ T มความสมพนธไมเปนเสนตรง ถาตองการใหกราฟเปนเสนตรงบนสเกลปกต จะตองพลอตขอมลใดบนแกนต ง และขอมลใดบนแกนนอน และความชนและจดตดแกนต งของกราฟจะตรงกบปรมาณใด แตหากนกศกษาตองการพลอตกราฟระหวาง v กบ T และใหไดกราฟเสนตรง นกศกษาจะตองพลอตบนกราฟสเกลอะไร

‡ ตวเลขทเขยนข นน เปนการสมมตข นเทาน น ไมไดมาจากการทดลองจรง § สงเกตวา n มความคลาดเคลอนเปนศนย (นกศกษาทราบหรอไมวาเพราะเหตใด) และถอวา m มคาความคลาดเคลอนสมพทธนอยมาก จงไมบนทกในตาราง

ปรมาณทวดไดโดยตรง ปรมาณทวดไดจากการคานวณ

- 30 -

4. การทดลองเร0องการส0นพองของคล0นเสยงในหลอดปลายปด 1 ขาง การทดลองน มจดประสงคหลกคอ เพอหาคาอตราเรวของคลนในอากาศโดยใชการสนพองของเสยงในหลอดปลายปด C ขาง โดยคาทไดนกศกษาหาไดจากปรากฏการณน จะถกนาไปเปรยบเทยบกบคาทไดจากการคานวณโดยอาศยการวดอณหภม

รปท .1 อปกรณในการทดลองน

อตราเรวของเสยง ในหนวยเมตรตอวนาท ข นกบอณหภม t ในหนวยเซลเซยส ดงน

v =331+0.6t (4.1) นกศกษาตองอานคาอณหภมในหองทดลองอยางนอยสองคร ง (คาถาม ทาไม?) คร งแรกกอนทาการวดความยาวคลน คร งทสองหลงทาการทดลองเสรจ ความคลาดเคลอนของความเรวเสยงจากการวดอณหภมแตละคร งจากสมการขางตนน คอ 0.6v t∆ = ∆ (4.2) นอกจากน อตราเรวของเสยงซงเปนคลนทยงสามารถหาไดจากสมการ

v f λ= (4.3) โดยท f คอความถและ λ คอความยาวคลน ในการทดลองน นกศกษาจะทาใหเกดการสนพองในหลอดปลายเปด 1 ขาง 2 ลกษณะ โดยการเคาะสอมเสยงททราบความถ โดยการสนพองแรกจะมจดบพ 1 จด นกศกษาจะวดระยะจากปากหลอดถงระยะทเกด

สอมเสยง

หลอดปลายเปด 1 ขาง

- 31 -

จดบพ L1 และการสนพองทสองจะมจดบพ 2 จด นกศกษาจะวดระยะจากปากหลอดถงระยะทเกดจดบพทสอง L3 (ดรปท 5.2 ประกอบ) ความยาวคลนเสยงจะหาไดจาก

( )3 12 L Lλ = − (4.4) ความคลาดเคลอนทเกยวของไดแก

( ) ( )2 2

3 12 L Lλ∆ = ∆ + ∆ v f λ∆ = ∆ (4.5)

L1

L3

L1

L3

รปท 4.2 คลนนงในหลอด ซายมอและขวามอเปนคลนนงทมจดบพ 1 และ 2 จด ตามลาดบ

คาถาม นกศกษาตองพลอตปรมาณใดจงจะไดคาอตราเรวของเสยงในอากาศจากกราฟทพลอต

- 32 -

5. การทดลองเรองสนามไฟฟา

การทดลองน มวตถประสงคหลกคอ เพอศกษาเสนสนามไฟฟาและเสนสมศกยของประจทกระจายตวบนตวนารปแบบตาง ๆ

รปท U.1 อปกรณในการทดลองเรองสนามไฟฟา

เสนสมศกย คอ เสนทคาศกยไฟฟา V มคาเดยวกน สนามไฟฟา E

ทจดใด ๆ บนเสนสมศกยมทศต งฉากกบเสนสมศกย โดยช ในทศทพงออกจากประจบวก พงเขาหาประจลบ

นกศกษาจะไดวดคาศกยไฟฟาเพอหาเสนสมศกย และเสนสนามไฟฟาของระบบประจทกระจายตวบนตวนา แบบ คอ แผนคขนาน วงกลมกลวง ข ววงกลม M ข ว และตวนาปลายแหลม

เฉพาะกรณของแผนคขนาน นกศกษาจะตองคานวณหาคาขนาดของสนามไฟฟาระหวางแผนตวนาขนาน ซงคานวณจากสมการ

A B

A B

V VE

x x

−= −

− (5.1)

โดยท AV คอคาศกยไฟฟาทตาแหนง Ax และ BV คอคาศกยไฟฟาทตาแหนง Bx คาถาม

1. จงพสจนวา 1 โวลตตอเมตร = 1 นวตนตอคลอมบ

2. ขนาดของความเขมสนามไฟฟาในแนวสมผสกบเสนสมศกยมคาเทาใด

- 33 -

2. การทดลองเรองวงจรไฟฟากระแสตรง

การทดลองน มวตถประสงคหลก 3 ขอ คอ เพอศกษากฎของโอหม เพอทดสอบสตรทใชหาคาความตานทานไฟฟารวมของความตานทานทตอวงจรแบบอนกรมและขนาน และเพอศกษาการคายประจในวงจรทมตวตานทานและตวเกบประจตอกนแบบอนกรม การทดลองน จงแบงออกเปน V ตอน

รปท 6.1 อปกรณในการทดลองเรองวงจรไฟฟากระแสตรง

ตอนท ทดสอบกฎของโอหม: วสดทมสมบตเปนไปตามกฎของโอหมจะมคาความตางศกย V

ข นกบคากระแสไฟฟา I ทไหลผาน ตามสมการ V IR= (6.1)

โดยท R เปนคาคงตว ซงคอคาความตานทานของวสดน น ปรมาณทนกศกษาวดโดยตรงคอ I และ ความตางศกยตกครอม V จากขอมลทวดได นกศกษาตองวเคราะหขอมลเพอดวาวสดในวงจรของนกศกษามสมบตเปนไปตามกฎของโอหมหรอไม ถาเปน วสดน นมความตานทานเทาใด

ตอนท ทดสอบสตรการรวมความตานทาน ถาเรานาความตานทาน M ตว 1R กบ 2R มาตอกนแบบอนกรม ดรปท T.M(ก) ความตานทานรวมจะมคา

21 RRRS += (6.2)

เครองกาเนดไฟฟากระแสตรง

มลตมเตอร

มลตมเตอร

นาฬกาจบเวลา

แผงสาหรบตอวงจร

- 34 -

และเมอเรานาความตานทาน M ตว 1R กบ 2R มาตอกนแบบขนาน ดงรปท T.M(ข) ความตานทานรวมจะหาไดจากสมการ

21

111

RRRP

+= (6.3)

2R

1R1R 2R

(ก) (ข)

รปท T.2 การตอตวตานทานในวงจรไฟฟากระแสตรง (ก) แบบอนกรม (ข) แบบขนาน

นกศกษาจะตองออกแบบวธการทดลอง เพอทดสอบความสมพนธของสมการท (6.2) และ (T.3)

ตอนท วงจรคายประจ ในวงจรไฟฟากระแสตรงทมตวตานทาน R ตอกบตวเกบประจ C แบบอนกรม คาความตางศกยตกครอมตวเกบประจ จะมคาลดลงเมอเวลา t เพมข นแบบฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงสมการ

( ) 0

t

RCV t V e−

= (6.4)

โดยท 0V คอความตางศกยตกครอมตวเกบประจทเวลาเรมตน เมอใสลอกาลทมท งสองขางของสมการจะได

( ) 0ln lnt

V t VRC

= − (6.5)

นกศกษาจะตองทดสอบความสมพนธน โดยการวดคาความตางศกยตกครอมตวเกบประจทเวลาตาง ๆ นกศกษาทดสอบความสมพนธน โดยการพลอตคา ln ( )V t กบ t แลวดวาไดกราฟเสนตรงทมความชน

เทากบ 1

RC− หรอไม คาความคลาดเคลอนของ lnV คอ ( )ln /V V V∆ = ∆

RC

1S

2S

RC

1S

2S

(ก) (ข)

รปท 6.3 รปแสดงการตอวงจร (ก) การอดประจ และ (ข) การคายประจ

- 35 -

คาถาม

1. แอมมเตอรเครองหนงมความตานทาน 0.009 โอหม และอานได 1 แอมแปรตอ 1 ขดสเกล จงหาวธทจะทาใหแอมมเตอรน อานได 10 แอมแปรตอ 1 ขดสเกล

2. ลวดความตานทานสองเสนเมอตอกนแบบอนกรมจะมความตานทานรวม 16 โอหม แตความตานทานรวมน จะกลายเปน 3 โอหม เมอตอกนแบบขนาน จงหาความตานทานของลวดแตละเสน

- 36 -

3. การทดลองเรองการแทรกสอด การทดลองน มวตถประสงคหลกคอ เพอศกษาการแทรกสอดของไมเคลสนและหาความยาวคลนแสงเลเซอรทใชเปนแหลงกาเนด

รปท 7.1 อปกรณและการจดวางอปกรณในการทดลองเรองการแทรกสอด แสงเปนคลนแมเหลกไฟฟา ดงน นถานาคลนแสงจากแหลงกาเนด 2 แหลงซงเปนแหลงกาเนด

อาพนธ**มาฉายไปทางเดยวกน เมอเรานาฉากมารบแสง เราจะเหนรปแบบการแทรกสอดเกดข นบนฉาก บรเวณทมการแทรกสอดแบบเสรมกนเราจะเปนเปนแถบหรอร วสวาง แตบรเวณทมการแทรกสอดแบบหกลางกนเราจะเหนเปนแถบหรอร วมด

** แหลงกาเนดท9มอมปลจดและความถ9เทากน และมความสมพนธของเฟสมคาคงตวไมเปล9ยนแปลงไปกบเวลา

ชดทดลองไมเคลสน

รวแทรกสอด

- 37 -

ในการทดลองน นกศกษาจะตองวดระยะ md ซงเทากบระยะทกระจกเลอนไดเลอน โดยท m คอจานวนร วภายในระยะ md น น ความสมพนธของ ,md m และความยาวคลนของแหลงกาเนดแสง λ เปนดงน

2 md

mλ = (7.1)

นกศกษาตองหาคาความยาวคลนจาก ระยะทเลอนกระจกกบจานวนร ว

คาถาม

2. การคานวณคาของความยาวคลน λ หาจากระยะทกระจกเลอนได md ถามวาเพราะเหตใดจงตองมเลข “2” คณอยหนา md

M. ขดจากดของความถกตองของไมโครมเตอรทตดอยกบเครองอนเตอรฟรอมเตอรน เทากบเทาใด V. เพราะเหตใด ในการทดลองน จงตองหาวดระยะ md เมอร วการแทรกสอดผานตาแหนงอางอง

เปนจานวณมาก เชน MD ร ว แทนทจะหาระยะ md เมอจานวณร วผานตาแหนงอางองเพยงร วเดยว

- 38 -

4. การทดลองเรองปรากฏการณโฟโตอเลกตรก การทดลองน มวตถประสงคเพอศกษาปรากฏการณโฟโตอเลกตรก โดยจะพจารณาความสมพนธของความเขมแสงกบคาศกยหยดย ง และความสมพนธของความถแสงกบคาศกยหยดย ง

รปท 8.1 อปกรณในการทดลองเรองปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

แมวาแสงเปนคลนแมเหลกไฟฟาและแสดงสมบตของความเปนคลน แตในบางกรณ แสงแสดง

ความเปนอนภาคแทนความเปนคลน เชน คาพลงงานของแสง E มคาไมข นกบความเขม หรอ อมปลจด อยางเชนคลนอน ๆ แตมคาข นกบความถ f ของแสง ตามสมการ

E hf= (8.1) โดยท h คอคาคงทของพลงคซงมคาเทากบ 346.626068 10 J s−× ⋅

แผนภาพในรปท S.2 แสดงปรากฏการณโฟโตอเลกตรก เมอเรานาโลหะช นหนงมาตอกบแอมมเตอร จะไมมกระแสไหลในวงจร แตหากเราฉายแสงทมคาความถสงกวาคาความถตาสด 0f ไปทโลหะปรากฏวามอเลกตรอนหลดออกมาจากโลหะ ทาใหเกดกระแสไหลในวงจร พลงงานจลนของอเลกตรอนทหลดออกมาน มคาข นกบคาความถของแสงทฉาย ตามสมการ

0K hf W= − (8.2) โดยท K คอพลงงานจลนของอเลกตรอนทหลดออกมา 0W (Work function) คอพลงงานทใชในการทาใหอเลกตรอนหลดออกจากโลหะ นนคอ 0 0W hf= ซงหมายความวา คาความถตาสด 0f ของแสงทฉายเพอใหมอเลกตรอนหลดออกมาน นมคาข นกบชนดของโลหะ การเพมความถแสงทาใหพลงงานจลนของอเลกตรอนทหลดออกมามคาเพมข น การเพมความเขมของแสงจะไมมผลตอพลงงานจลนของอเลกตรอนทหลดออกมา แตจะทาใหจานวนของอเลกตรอนทหลดออกมามคาเพมข น

- 39 -

รปท 8.2 แผนภาพแสดงปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

การทดลองน แบงออกเปน 2 ตอน ในตอนแรก นกศกษาจะหาความสมพนธระหวางความเขมแสง

กบคาศกยหยดย ง ซงตามทฤษฎแลวความเขมแสงจะไมข นกบคาศกยหยดย ง นกศกษาจะยนยนหรอหกลางทฤษฎ ดวยการพลอตกราฟระหวางคาศกยหยดย งกบความเขมแสง

ในตอนท M นกศกษาจะหาความสมพนธระหวางความถแสง f กบคาศกยหยดย ง V ซงพลงงานศกยหยดย ง eV มคาเทากบพลงงานจลนของอเลกตรอนทหลดออกมา นนคอ

0eV hf W= − (8.3) โดยท e คอขนาดประจของอเลกตรอน นกศกษาจะพลอตกราฟระหวางคาศกยหยดย งกบความถแสงแลวหาวาคาคงทของพลงค คาพลงงานทใชในการทาใหอเลกตรอนหลดออกจากโลหะ และคาความถตาสดของแสงทฉายเพอใหมอเลกตรอนหลดออกมา มคาเทาใด คาถาม

นกศกษาสามารถหาคาคงตวของพลงคจากการทดลอง โดยหาคาความชนจากกราฟระหวางปรมาณใดบาง และคาทนกศกษาทดลองได มความคลาดเคลอนจากคาทางทฤษฎเทาใด

แอมมเตอรอานวาไมมกระแสไหลในวงจร

โลหะ

แอมมเตอรอานวามกระแสไหล

โลหะ

0 0

แสงความถ f > f0

แสงความถ f < f0

- 40 -

ภาคผนวก ก.

การแพรกระจายความคลาดเคล0อน (Propagation of errors) ถา ( , )f x y เปนฟงกชนของ x และ y (นกศกษาสามารถใหฟงกชน f ข นกบตวแปรมากกวา 2 ตวได ในทน กาหนดใหข นกบ 2 ตว) การหาคา ( , )f x y ทาโดยการแทนคาของ x และ y ลงในฟงกชน หาก x และ y เปนปรมาณทสามารถวดได ท ง x และ y จะมความคลาดเคลอนของการวด เปน x∆ และ y∆ ตามลาดบ ความคลาดเคลอนของ ( , )f x y สามารถคานวณหาไดจากคาเบยงเบนมาตรฐานของฟงกชน ( , )f x y ซงแทนดวย ( , )f x y σ∆ ≡ นนคอ

( )22

1

1( , ) ( , ) ( , )

n

i ii

f x y f x y f x yn =

∆ = −∑

( )2

1

1 ( , ) ( , )

n

i ii

f x x y y f x yn =

= + ∆ + ∆ −∑ (ก.1)

โดย n คอจานวนคร งทวด จากอนกรมเทเลอร (Taylor’s series) ของฟงกชนทมตวแปรอสระ 2 ตว

( ) ( ) ( )

2 22 2 2

2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1! 1!

1 2 ( , ) ( , )

2! 2!

f ff x x y y f x y x f x y y f x y

x y

f fx f x y x y f x y

x x y

∂ ∂ + ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆ ∂ ∂

∂ ∂+ ∆ + ∆ ∆ ∂ ∂ ∂

( )2

2

2

1 ( , ) ...

2!

fy f x y

y

∂+ ∆ + ∂ (ก.2)

เนองจากคาความคลาดเคลอนโดยทวไปมคาเลกเมอเทยบกบคาทวดได เราจงเกบเฉพาะเทอมทอยใน

ลาดบ ( )1x∆ หรอ ( )1

y∆ เทาน นหรอทเรยกวา การประมาณคาเพยงอนดบท 1 (First order

approximation) จะได

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f f

f x y f x x y y f x y x f x y y f x yx y

∂ ∂ ∆ = + ∆ + ∆ − ≈ ∆ + ∆ ∂ ∂ (ก.3)

ดงน น

( ) ( )

2

2

1

222 2

1

1( , )

1 2

n

i ii

n

i i i ii

f ff x y x y

n x y

f f f fx x y y

n x x y y

=

=

∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂

∑

∑

( ) ( )22

2 2

1 1

0

1 1 2

n n

i i i ii i

f f f fx y x y

n x y n x y= =

≈

∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑

(ก.4)

- 41 -

เทอมทสามซงเขยนแยกออกมา มคาเปนศนยเนองจาก x∆ และ y∆ มคาเปนไดท งลบและบวก ซงหมายความวาเทอมน มคาเปนไดท งบวกและลบเชนกน ดงน นเมอรวมทกเทอม i เทอมน จงมคาเปนศนย

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

222 22

1

222 2

1 1

222 2

1( , )

1 1

n

i ii

n n

i ii i

f ff x y x y

n x y

f fx y

x n y n

f fx y

x y

=

= =

∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂

∂ ∂ = ∆ + ∆ ∂ ∂

∂ ∂ = ∆ + ∆ ∂ ∂

∑

∑ ∑

นนคอ ( ) ( )22

2 2( , )

f ff x y x y

x y

∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂ (ก.5)

ตวอยางฟงกชน ( , )f x y ทมลกษณะตางๆ มสมการความคลาดเคลอนดงแสดงในตารางตอไปน ลาดบ ฟงกชน ความคลาดเคล0อน 1 ( , )f x y ax by= + ( ) ( )2 22 2( , )f x y a x b y∆ = ∆ + ∆

2 ( , ) a bf x y c x y= ⋅ ⋅ 222 2( , )

( , )

f x y x ya b

f x y x y

∆ ∆ ∆ = +

3 ( , ) sin( )f x y ax= ( )( , ) cos( )f x y a ax x∆ = ⋅ ⋅ ∆ 4 ( , ) cos( )f x y ax= ( )( , ) sin( )f x y a ax x∆ = ⋅ ⋅ ∆ 5 1( , ) sin ( )f x y ax−= ( )

2( , )

1 ( )

af x y x

ax∆ = ⋅ ∆

−

6 1( , ) cos ( )f x y ax−= ( )2

( , )1 ( )

af x y x

ax∆ = ⋅ ∆

−

7 ( , ) ln( )f x y ax= ( , )x

f x yx

∆∆ =

8 ( , ) b xf x y a e= ⋅ ( , )

( , )

f x yb x

f x y

∆= ⋅ ∆

ในกรณของฟงกชนหลายตวแปร 1 2( , ,..., )nf x x x ความคลาดเคลอนสามารถคานวณหาไดใน

ทานองเดยวกน นนคอ

( ) ( )22

2 2

1 2 11

( , ,..., ) ...n nn

f ff x x x x x

x x

∂ ∂∆ = ∆ + + ∆ ∂ ∂

(ก.6)

- 42 -

กรณทพบสวนใหญในการทดลองสามารถจาแนกเปนหลกไดดงน 1) การคานวณความคลาดเคลอนในการบวกหรอลบ

ฟงกชนอยในรป ( , )f x y ax by= + โดยท a และ b เปนคาคงท ดงน น fa

x

∂ = ∂ , f

by

∂= ∂

จาก

( ) ( )22

2 2( , )

f ff x y x y

x y

∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂ (ก.7)

จะไดคาความคลาดเคลอนของ f เทากบ

( ) ( )2 22 2( , )f x y a x b y∆ = ∆ + ∆ (ก.8)

ตวอยาง 1 2.5 0.4, 4.1 0.3x y= ± = ±

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22.5 0.4 4.1 0.3 2.5 4.1 0.4 0.3

6.6 0.5

x y∴ + = ± + ± = + ± +

= ±

ตวอยาง 2 10.72 0.01, 3.52 0.04x y= ± = ±

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 210.72 0.01 3.52 0.04 10.72 3.52 0.01 0.04

7.20 0.04

x y∴ − = ± − ± = − ± +

= ±

นกศกษาควรสงเกตวา เนองจากในระดบน เรากาหนดใหความคลาดเคลอนมเลขนยสาคญเพยง 1 ตว ดงน นในกรณทความคลาดเคลอนของปรมาณหนงมคามากกวา 2 เทาของคาความคลาดเคลอนของอกปรมาณหนง ความคลาดเคลอนของผลรวมหรอผลตางของปรมาณท งสองจะมคาเทากบคาความคลาดเคลอนทมคามากกวา (ตวอยาง 2)

2) การคานวณความคลาดเคลอนในการคณหรอหาร

ฟงกชนอยในรป ( , ) a bf x y c x y= ⋅ ⋅

1 1,a b a bf fc a x y c b x y

x y− − ∂ ∂ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂

(ก.9)

จะไดความคลาดเคลอน

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 21 1

222 2 2 2

( , )

a b a bf x y c a x y x c b x y y

x ya f b f

x y

− −∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ⋅ ∆

∆ ∆ = ⋅ + ⋅

222 2

x yf a b

x y

∆ ∆ = ⋅ + ⋅

(ก.10)

- 43 -

ตวอยาง 3 30 2, 6.0 0.1x y= ± = ±

( ) ( )2 2

2 0.130 6 30 6

30 6.0

180 12 180 10

x y ⋅ = ⋅ ± ⋅ +

= ± = ±

ตวอยาง 4 30 2, 6.0 0.1x y= ± = ±

( ) ( )2 2

2 0.130 6 30 6 5.0 0.3

30 6.0x y

= ± + = ±

และในลกษณะทคลายกนกบกรณผลรวมหรอผลตาง เนองจากในระดบน เรากาหนดใหความคลาดเคลอนมเลขนยสาคญเพยง 1 ตว ดงน น นกศกษาควรสงเกตวา ในกรณทเปอรเซนตความคลาดเคลอนของปรมาณหนงมคามากกวา 2 เทาของเปอรเซนตความคลาดเคลอนของอกปรมาณหนง เปอรเซนตความคลาดเคลอนของผลคณหรอผลหารของปรมาณท งสองจะมคาเทากบเปอรเซนตความคลาดเคลอนทมคามากกวา

3) การคานวณความคลาดเคลอนในการคณดวยคาคงท

ฟงกชนอยในรป ( )f x k x= ⋅ โดย k คอคาคงท dfk

dx =

จาก ( )2

2( )

dff x x

dx ∆ = ∆

ดงน นคา

ความคลาดเคลอนของ f(x) คอ

( )22( )f x k x∆ = ∆

( ) k x= ∆ (ก.11) นนคอ ( )k x x kx k x± ∆ = ± ⋅∆ (ก.12) ซงเปนการกระจายคาคงทเขามาในวงเลบ

ตวอยาง 5 5.2 0.3x = ±

6 6(5.2 0.3) 31.2 1.8 31 2x = ± = ± = ±

4) การคานวณความคลาดเคลอนในการยกกาลง ฟงกชนอยในรป ( ) nf x k x= ⋅

1ndfk n x

dx− = ⋅ ⋅

จาก ( )

22

( )df

f x xdx

∆ = ∆

จะไดความคลาดเคลอน

( ) ( )2 21 1 ( ) =n nf x k n x x k n x x− −∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ (ก.13)

- 44 -

ตวอยาง 6 1.2 0.3x = ± ( )2 21.2 2 1.2 0.3 1.4 0.7x = ± = ±

5) การคานวณความคลาดเคลอนแบบผสม ใหแยกคดทละสวนกน

ตวอยาง 7 การหาความคลาดเคลอนอตราเรงสศนยกลาง 2

c

mva

R= ซงเปนฟงกชนทเกดจากการคณ หาร

และยกกาลง จะไดวา 22 22

2

2 2 2

2

2

c c

c

m v Ra a

m v R

m v v Ra

m v R

∆ ∆ ∆ ∆ = + +

∆ ∆ ∆ = + +

2 2 22

c

m v Ra

m v R

∆ ∆ ∆ = + +

(ก.14)

ตวอยาง 8 การหาความคลาดเคลอนอตราเรว v u a t= + ซงเปนฟงกชนทเกดจากการบวกและการคณ จะใชความคลาดเคลอนสมบรณ

( ) ( )

( ) ( )

22

2 22 2

=

v u a t

a tu a t

a t

∆ = ∆ + ∆

∆ ∆ ∆ + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 u t a a t= ∆ + ∆ + ∆ (ก.15)

ตวอยาง 9 การหาความคลาดเคลอนศกยไฟฟาของตวเกบประจในวงจรคายประจ 0

t

RCV V e−

= ซงเปนฟงกชนทเกดจาก การคณ และ เอกซโพเนนเชยลจะได

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

0 0

22

2 2 2

0 0

2 22 2

00 0

0

t t

RC RC

tt RC

RC

t t

RC RC

V V e V e

eV e V t

RC

V tV e V e

V RC

− −

−−

− −

∆ = ∆ ⋅ + ⋅ ∆

= ∆ ⋅ + ⋅ ∆

∆ ∆ = ⋅ +

2 2

0

0

V t

VV RC

∆ ∆ = +

(ก.16)

- 45 -

ภาคผนวก ข. วธการกาลงสองนอยทสด นอกจากวธการทเราใชในหองทดลองเพอหาคาความชนและจดตดแกนของกราฟเสนตรงในหองปฏบตการแลว เราสามารถวเคราะหขอมลจากกราฟเสนตรงโดยหาความชนและจดตดแกนโดยวธ Least squares fitting ซงเปนวธการทางสถตทนกวทยาศาสตรใช สตรทนกศกษาจะไดเหนตอไปน ใชไดเมอความคลาดเคลอนในคลาดบ (x, y) ทกคลาดบมคานอย เราสามารถหาคาความชน ความคลาดเคลอนในความชน จดตดแกนต ง และความคลาดเคลอนในจดตดแกนต งจากขอมลทเรานาไปพลอตกราฟจากสตรตอไปน

ความชน: 1 1 12

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x ym

n x x

= = =

= =

−=

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑ (ข.1)

ความคลาดเคลอนในความชน:

2

2

21 12

2

1 1

12

n n

i ii i

n n

i ii i

n y y

m mn

n x x

− −

= =

−

∆ = − − −

∑ ∑

∑ ∑ (ข.2)

จดตดแกนต ง: 2

1 1 1 12

2

1 1

n n n n

i i i i ii i i i

n n

i ii i

n x y x x yb

n x x

= = = =

= =

−=

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ (ข.3)

ความคลาดเคลอนในจดตดแกนต ง: 2

1

n

ii

xb m

n=∆ = ∆∑

(ข.4)

โดยท n คอจานวนจดทเรานาไปพลอตกราฟ สาหรบการพสจนสตรเหลาน นกศกษสามารถหาอานไดในหนงสอวชาสถตศาสตรทวไป

- 46 -

ภาคผนวก ค.

ออสซลโลสโคป (Oscilloscope) ออสซลโลสโคป มชอเตมวา cathode ray oscilloscope หรอ เรยกส นๆ วา CRO หรอ scope เปนเครองมอทใชพลอตกราฟความสมพนธระหวางปรมาณใดๆ กได โดยตองแปลงปรมาณน นๆ ใหเปนศกยไฟฟาเสยกอน แตเพราะสวนใหญเรามกจะพลอตปรมาณใดปรมาณหนงเปนฟงกชนของเวลา สโคปท งหลายจงไดออกแบบใหแกนแนวราบเปนแกนเวลา และแกนแนวดงเปนศกยไฟฟา อยางไรกตาม ถาตองการใหแนวราบเปนศกยดวย กทาได

หลกการทางานของออสซลโลสโคป

รปท ค -1 หลอดรงสแคโทด (CRT) ออสซลโลสโคปมองคประกอบพ นฐานคอ หลอดรงสแคโทด (cathode-ray tube, CRT) ซงเปนหลอดสญญากาศ ภายในประกอบดวยแหลงยงอเลกตรอน (electron gun) แผนโลหะเล ยวเบน 2 ค (two pairs of deflection plates) และจอภาพฟลออเรสเซนซ (fluorescent screen) ดงแสดงในรปท ค-1 ในการทางานแหลงยงอเลกตรอนจะสรางลาอเลกตรอนใหเคลอนทผานแผนโลหะเล ยวเบน ซงทาโดยใชแผนโลหะขนานกนสองควางในแนวราบและแนวดง แผนโลหะแตละคมสายตอออกมา

- 47 -

ภายนอก สาหรบรบสญญาณไฟฟาจากภายนอก ทาใหเกดสนามไฟฟาในแนวราบและแนวดง สนามในแนวราบบงคบลาอเลกตรอนใหเบนไปมาในแนวราบ สนามไฟฟาในแนวดงบงคบสญญาณใหเบนข นลงในแนวดง เมออเลกตรอนกระทบจอภาพจะทาใหเกดการเรองแสงเปนจดสวาง ดงน น ลาอเลกตรอนจงเลอนทตามสญญาณทไดรบจากภายนอก และพลอตความสมพนธของสญญาณทสงเขามาทางแนวราบและแนวดงน น ผงการทางานโดยรวมของเครองออสซลโลสโคปอาจแสดงไดดงรปท ค-2 สงเกตวาสญญาณสาหรบแผนเล ยวเบนแนวราบ (horizontal deflection plates) มได 2 แบบคอ สญญาณภายในรปฟนเลอย (sawtooth voltage) หรอ สญญาณจากภายนอก (horizontal input voltage)

รปท ค -2 ผงการทางานของออสซลโลสโคป

- 48 -

แผงดานหนาของออสซลโลสโคป

แผงดานหนาของออสซลโลสโคปทนกศกษาใชแบงออกเปนสามสวนใหญ ดงรป

รปท ค -3 ดานหนาของออสซลโลสโคป ประกอบดวย ก. จอแสดงกราฟอยดานซาย แบงสเกลไวเหมอนกระดาษกราฟ มแกน x-y ข. ปมบงคบจอภาพ และปมสเกลเวลา อยทางขวามอ ดานบน ไดแก 1. ป มปรบความสวาง (INTENS) 2. ป มปรบความชด (FOCUS) 3. ป มปรบความเอยงของเสน (TR) [นกศกษาไมตองปรบป มน ] 4. ป มต งสเกลเวลา (TIME/DIV) เปนป มทซอนกน 2 ป ม

ใหนกศกษาหมนป มใน ทมลกศร ตามเขมนาฬกาไปจนสดทาง สาหรบป มนอก เปนป มต งเวลาตอชองสเกลในแนวราบ อยในชวง

0.2 ไมโครวนาท (µs) - 100 มลลวนาท (ms) 5. ป มปรบตาแหนงในแนวราบ (X-POS.) สาหรบเลอนกราฟไปทางซายขวาได 6. ป ม “ALT.” สาหรบเลอกชอง ใชคกบ “CH.I/II”

ก.

ข.

ค.

- 49 -

ค. ปมปรบแนวดง อยทางขวามอดานลาง เปนสวนรบสญญาณทจะแสดงออกทางแกนแนวดง เนองจากสโคปน พลอตกราฟไดสองเสนจงรบสญญาณจากภายนอกไดสองชอง CH.I และ CH.II) แตละชองมป มปรบเหมอนกน ดงน

1. ป มสเกลของโวลต (VOLTS/DIV OR VOLTS/CM) กาหนดคาศกยไฟฟาตอความสงของกราฟ

2. ป มปรบตาแหนงทางแนวดง (Y-POS) สาหรบเลอนแกนข นลงได

- 50 -

ภาคผนวก ง.

มลตมเตอรชนดขดลวดเคลอนท (Moving - Coil Multimeter)

มลตมเตอรชนดขดลวดเคลอนท (moving - coil meter) เปนเครองมอวดความตางศกย (voltmeter) วดความตานทาน (ohmmeter) และวดกระแสไฟฟา (millimeter) รวมเรยกยอวา VOM ประกอบดวย ขดลวดพนรอบแกนทรงกระบอกวางระหวางข วแมเหลกถาวรโดยมสปรงยดไว เมอกระแสไฟฟาไหลผานขดลวดเกดสนามแมเหลกรอบขดลวด มปฏกรยาตอสนามแมเหลกถาวร เกดแรงดงแกนขดลวดซงตดเขมช ไวใหเบนไปจากตาแหนงเดม เมอกระแสไฟฟาหยดไหลไมมแรงแมเหลก สปรงกจะดงขดลวดและเขมใหกลบมาทเดม ระยะทเขมเบนไปจากตาแหนงเดมเปนตวช บอกขนาดกระแสไฟฟาทผานขดลวด

การอานสเกล เนองจากเขมช สเกลลอยอยเหนอสเกล ในการอาน ถามองเฉยงจะไดคาผดไป เพอใหการอานตาแหนงของเขมถกตอง มเตอรทวไปจะมกระจกเงาเปนแถบเลกๆ ขนานกบแนวสเกล เมออานสเกลตองมองตรงลงไป ใหเหนตวเขมและภาพเขมในกระจกซอนกนจงจะอานคาไดถกตอง ตวอยางของมลตมเตอรทใชงานทวไปแสดงในรปดานลาง

1. Indicator zero corrector 6. 0 Ω adjusting knob/0- centering 2. Indicator pointer meter (NULL meter) adjusting knob

3. Indicator scale 7. Measuring terminal + 4. Continuity indicating LED 8. Measuring terminal -COM (CONTINUITY) 9. Series capacitor terminal (OUTPUT) 5. Range selector switch knob 10. Panel 11. Rear case

รปท ง -1 ตวอยางรปมลตมเตอรชนดขดลวดเคลอนท

- 51 -

ปมเลอกยานการวด VOM ใชวดไดหลายอยาง กอนใชจงตองต งป มเลอกวาจะวดอะไร ยานการวดทเลอกไดมดงน ก. โวลตมเตอร มยานการวด 2 ยาน คอ

1. DCV วดความตางศกยกระแสตรงมสเกลใหเลอกหลายสเกล ตองเลอกสเกลใหพอเหมาะ ทางทดควรต งสเกลสงไวกอนเพอกนเขมเบนเกนสเกล เมอเขมเบนนอยจงเปลยนสเกลใหลดลงภายหลง การวดความตางศกยทาโดยตอครอมตาแหนงทตองการทราบความตางศกยและตองใหกระแสไฟฟาเขาทางข วบวกของมเตอร ออกทางข วลบ หรอ COMMON ดงรป

DCV+ −

R

รปท ง -2 การตอโวลตมเตอรเพอวดความตางศกยในวงจรไฟฟากระแสตรง

2. ACV วดความตางศกยกระแสสลบ ตอครอมเชนเดยวกน แตไมจาเปนตองดข ว

ACV

R

รปท ง -3 การตอโวลตมเตอรเพอวดความตางศกยในวงจรไฟฟากระแสสลบ

ข. แอมมเตอร มยาน DCA วดกระแสไฟฟาตรงอยางเดยว ไมมยานวดกระแสไฟฟาสลบ สาหรบกระแสไฟฟาตรงมสเกลหลายสเกล การวดกระแสไฟฟาทาโดยตอมเตอรแทรกเขาในวงจร และใหกระแสไฟฟาเขาทางข วบวก ดงรป

- 52 -

RDCA

+

−

รปท ง -4 การตอแอมมเตอรเพอวดกระแสไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสตรง

ค. โอหมมเตอร ใชวดความตานทาน ตองหมนป มเลอกไปทเครองหมาย Ω โอหมมเตอร มแบตเตอรอยภายใน เมอข วท งสองของมเตอรแยกหางจากกนไมมไฟฟาไหลในวงจร เขมช ทสเกลดานรมซายสดบอกคาความตานทานระหวางข วเปนอนนต ( ∞ ) ถาจบปลายข วท งสองของมเตอรแตะกน ความตานทานระหวางข วเปนศนย กระแสไหลในวงจร เขมเบนไปทางขวาสดสเกลบอกคาความตานทานเปนศนย ถาขณะทปลายข วท งสองแตะกน เขมไมช เลขศนย ใหปรบป ม “0 Ω ADJ” จนเขมช เลขศนย ปรบสเกลเสรจแลว ใชวดความตานทานได โดยใหความตานทานอยระหวางปลายข วท งสองของมเตอร ขอควรระวง อยาใชโอหมมเตอรวดความตานทานขณะทความตานทานอยในวงจรท มกระแสไฟฟา เพราะกระแสไฟฟาจากวงจรจะเขามาในเครอง ทาใหเครองเสย

- 53 -

ภาคผนวก จ.

ตวอยางรายงานการทดลอง เราเขยนรายงานการทดลองกเพอเปนการบนทกใหเราจาไดวาไดทาอะไรไปบาง และเพอผ อนสามารถตรวจสอบสงทเราไดทาลงไปได รายงานทางวทยาศาสตรประกอบดวยขอเทจจรงไมใชขอคดเหน ทกอยางทปรากฏในรายงานตองเปนสงทสามารถตรวจสอบไดไมใชความเหนลอยๆ ขางลางน เปนตวอยางหนงของการเขยนรายงาน

- 54 -

- 55 -

- 56 -

- 57 -