111ทฤษฎควอนตมเบองตน

8. ทฤษฎควอนตมเบองตน

การแผรงสของวตถดา วตถตาง ๆ เมอมอณหภมสงขนจะปลดปลอยคลนแมเหลกไฟฟาออกมาในปรมาณทสมพนธกบ

อณหภมของวตถนน เรยกวา การแผรงสความรอน ตวอยางเชนเมอเผาแทงเหลกใหรอน จะเรมเหนเนอเหลกเปลยนเปนสแดง (แทงเหลกปลอยคลนในชวงแสงสแดง) เมออณหภมสงขนจะเปนสเหลอง และเปลงแสงสขาวเมอรอนจด นกวทยาศาสตรพบวาคลนแมเหลกไฟฟาจากการแผรงสความรอนประกอบดวยความยาวคลนในชวงคลนตาง ๆ เกดเปนสเปกตรมตอเนอง ซงมความเขมแสงในแตละความยาวคลนตางกน เพอทาความเขาใจหลกของการแผรงสความรอนของวตถจะเรมจากวตถทเปนตวแผรงสหรอวตถอดมคต มคณสมบตดงน การแผรงสของวตถขนกบอณหภมของวตถเทานน วตถอดมคตปลดปลอยคลนแมเหลกไฟฟาไดดทกยานความถ (การแผรงสในแตละความถมความเทาเทยมกน) และสามารถดดกลนคลนแมเหลกไฟฟาไดดทกยานความถ (เมอคลนแมเหลกไฟฟาตกกระทบวตถ คลนจะไมสะทอนออกมาเพราะถกดดกลนไว) เรยกตวแผรงสอดมคตนวา วตถดา (black body)

กฎการกระจดของวน (Wien’s displacement law) จากการศกษาสเปกตรมของการแผรงสความรอนจากวตถดา โดยการวดความเขมของคลนกบ

ความยาวคลนทแผออกมา พบวาอณหภมของวตถ (T ) สมพนธกบความยาวคลนทใหคาความเขมสงสด (

max ) ของสเปกตรมทแผออกมา ดงน

3

max2.898 10 m KT -= ´ ⋅ (8.1)

เรยกความสมพนธนวา กฎการกระจดของวน ซงใชประมาณคาอณหภมของวตถไดจากความยาวคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมา (อาจหาความยาวคลนไดจากการเลยวเบนของแสงผานเกรตตงเลยวเบน) จะเหนวาเมออณหภมของวตถสงขน คาความยาวคลนทใหความเขมสงสดจะมคานอยลงหรอจดยอดของสเปกตรมจะเลอนไปทางทความยาวคลนสนลง ดงนนสามารถประมาณอณหภมไดจากการสงเกตความยาวคลนทแผออกมาหรอสของวตถ เชน เปลวไฟสนาเงนจะรอนกวาเปลวไฟสแดง

จากสเปกตรมของการแผรงสสามารถหาความเขมรวม (พลงงานทงหมดตอหนวยพนท) ของรงสทแผออกมาจากวตถไดจากการรวมพนทใตกราฟสเปกตรม ไดจาก

4( )I T T= 2W mé ùë û (8.2)

เรยกความสมพนธนวากฎของชเตฟาน-โบลตซมนน (Stefan-Boltzmann law) โดยท เปนคาคงตวเทากบ 8 2 45.6705 10 Wm K - - -= ´

ตวอยาง ประมาณอณหภมจากกฎการกระจดของวน รางกายของมนษยจะมอณหภมประมาณ C35 ความเขมของรงสความรอนทแผออกมาจากผวหนงจะมคาสงสดทความยาวคลนใด วธทา ใชกฎการกระจดของวน

3

max2.898 10 m KT -= ´ ⋅

แปลงอณหภมในหนวยองศาเซลเซยสเปนเคลวน [ ] [ ]K C 273T T= + KT = 35+273= 308

ความยาวคลนทใหคาความเขมสงสด (max ) ของสเปกตรมทแผออกมา

3

max

2.898 10

T

-´=

รป 1 สเปกตรมการแผรงสความรอนจากการทดลอง [2]

 112  ทฤษฎควอนตมเบองตน

3

max

2.898 109.41 m

308

-´= =

ความยาวคลน . m9 41

ตวอยาง ประมาณอณหภมจากกฎการกระจดของวน นกวทยาศาสตรสามารถประมาณอณหภมโดยการวดสเปกตรมการแผรงสความรอน จงประมาณอณหภมของวตถตาง ๆ จากคาความยาวคลนทกาหนดให ดวงอาทตย ( nm500 ), เครองยนตไอพน ( . m3 60 ), จกรวาล ( . mm1 06 ) วธทา ใชกฎการกระจดของวน

3

max2.898 10 m KT -= ´ ⋅

อณหภมของดวงอาทตย

3

max

3

9

2.898 10

2.898 105800 K 5500 C

500 10

T

-

-

-

´=

´= = »

´

อณหภมของเครองยนตไอพน

3

max

3

6

2.898 10

2.898 10805 K 532 C

3.60 10

T

-

-

-

´=

´= = =

´

อณหภมของจกรวาล

3

max

3

3

2.898 10

2.898 102.73 K 270 C

1.06 10

T

-

-

-

´=

´= = =-

´

การอธบายสเปกตรมการแผรงสของวตถดา การใชทฤษฎฟสกสแบบเดมไมสามารถอธบายลกษณะการแผรงสของวตถดาจากการทดลอง

ได จนในป 1900 แมกซ พลงค (Max Planck) ไดเสนอทฤษฎเพออธบายการแผรงสจากการทดลอง โดยคดวารงสทแผออกมาเกดจากตวแผรงสระดบจลภาคทเหมอนประจแกวงกวดอยในวตถ ซงสนดวยความถ f ทขนกบพลงงานของวตถ โดยพลงงานในการสนจะเปนคาไมตอเนองและมคาเปนเปนขน ๆ (quantum) ซงการพจารณานเสมอนวาภายในวตถจะมการสนเปนคาเฉพาะคลายกบคลนนงในเสนเชอกทการสนจะเปนจานวนเทา n ของความถฐาน

nE nhf= (8.3)

โดยท . J sh -34= 6 626´10 ⋅ เปนคาคงตวของพลงค n เปนจานวนเตมบวกเรยกวา เลขควอนตม (quantum number) พลงงานของตวแผรงสจะมคาเปนขน ๆ เนองจาก n ทเปนจานวนเตม แตละคาของ n จะแทนสถานะทางควอนตม (quantum state) ตาง ๆ ของตวแผรงส เชน สถานะท n=1 ตวแผรงสจะมพลงงานเปน hf ถาตวแผรงสมพลงงานสงขนไปหนงขนเปนสถานะท n=2 ตวแผรงสจะมพลงงานเปน hf2 หลกสาคญของทฤษฎของพลงค (Planck's theory) คอการตงสมมตฐานของพลงงานทเปนลาดบขน ในชวงแรกเรมทเสนอทฤษฎนนกวทยาศาตรสวนใหญไมเชอมนในทฤษฎวาจะเปนจรง ตอมาภายหลงเมอมการทดลองตาง ๆ ทเกยวของกบปรากฎการณในระดบอะตอม พบวาทฤษฎทตงอยบนพนฐานของความเปนขน ๆ (quantum)

รป 2 เปรยบเทยบสเปกตรมจากทฤษฎแบบเดมกบการทดลอง [2]

 113ทฤษฎควอนตมเบองตน

อธบายผลตาง ๆ ไดเปนอยางด ยกตวอยางเชนการอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรก การเกดรงสเอกซ การกระเจงคอมปตน

เมอตวแผรงสปลดปลอยพลงงานออกมามการเปลยนขนของสถานะทาใหระดบพลงงานลดลง และในทางกลบกนเมอตวแผรงสดดกลนพลงงานเขาไประดบพลงงานจะสงขน การทพลงงานมคาตางกนเปนขน ๆ เรยกวา ควอนไตเซชน (quantization) และคาพลงงานทตวแผรงสปลอยหรอดดกลนในรปของคลนแมเหลกไฟฟา เรยกวา โฟตอน (photon) ดงนนอาจพจารณาคลนแมเหลกไฟฟาใดใดทมความถ f เปนโฟตอนทมพลงงาน E hf=

ตวอยาง คลนแมเหลกไฟฟากบพลงงานของโฟตอน จงคานวณหาความยาวคลนของโฟตอนแสงสแดงพลงงาน . eV2 00 วธทา จากความสมพนธ

E hf= และ cf

=

คาคงตวของพลงคในหนวย eV

34

34

19

15

6.63 10 J s

6.63 10 J s

J eV1.60 10

4.14 10 eV s

h

h

-

-

-

-

= ´ ⋅

´ ⋅=

´

= ´ ⋅

จะได

15 84.14 10 3 10

2.00

621 nm

hcE

hc

E

-

=

=

´ ´ ´=

=

ความยาวคลนของโฟตอนแสงสแดงเทากบ nm621

ทดสอบ คานวณหาความยาวคลนของโฟตอนตอไปน รงสแกมมาพลงงาน . MeV1 00 รงสเอกซพลงงาน . keV1 00 รงสเหนอมวงพลงงาน . eV4 00 รงสใตแดง . eV1 00

ปรากฏการณโฟโตอเลกทรก (photoelectric effect) ในชวงปลายศตวรรษท 19 เฮรตซ (Hertz) คนพบวาเมอแสงตกกระทบผวโลหะจะทาให

อเลกตรอนหลดออกจากผวได เรยกวาปรากฏการณโฟโตอเลกทรก (photoelectric effect) และเรยกอเลกตรอนทหลดออกมา (เนองจากแสงตกกระทบ) วาโฟโตอเลกตรอน (photoelectrons) อเลกตรอนทหลดออกมามพลงงานขนกบความถของแสงทตกกระทบแตไมขนกบความเขมของแสง

เครองมอทใชศกษาประกอบดวยหลอดแกวสญญากาศเรยกวาโฟโตเซลล (photocell) ภายในมแผนโลหะ E เปนเปารบแสงทาหนาทใหอเลกตรอน (emitter) ตอเขากบขวลบของแหลงกาเนดไฟฟากระแสตรงทปรบความตางศกยได แผนโลหะ C ทาหนาทรบอเลกตรอน (collector) ทหลด

 114  ทฤษฎควอนตมเบองตน

ออกจากแผน E ตอเขากบขวบวก เมอหลอดอยในทมดกระแสไฟฟาในวงจรจะเปนศนย เมอสองแสงทมความยาวคลนสนกวาคาเฉพาะคาหนงซงขนกบชนดของโลหะทแผน E พบวามกระแสไฟฟาในวงจร แสดงวาโฟโตอเลกตรอนหลดจากแผน E เคลอนผานบรเวณสญญากาศ (ทมสนามไฟฟา) ไปยงแผน C โดยกระแสไฟฟาในวงจรขนกบความเขมแสง

เมอลดความตางศกย V ระหวางแผน C กบแผน E กระแสไฟฟาในวงจรจะลดลง จนเมอความตางศกยเปนลบหรอกลบขวไฟฟาทแผน C เปนลบและแผน E เปนบวก กระแสไฟฟาจะลดลงมากเนองจากโฟโตอเลกตรอนถกผลกโดยแผน C โฟโตอเลกตรอนทจะไปถงแผน C (แลวทาใหเกดกระแสไฟฟาในวงจร) ไดนนตองมพลงงานจลนมากกวาคา eV เมอ e เปนประจของอเลกตรอน และ V คอความตางศกยของแหลงกาเนดขณะนน ดงนนถาใหความตางศกยเปนลบมากขนจนกระแสไฟฟาเปนศนยพอด (โฟโตอเลกตรอนไปหยดทแผน C พอด) คาความตางศกยทใชหยดอเลกตรอนนเรยกวา ศกยหยดยง (stopping potential) V0 ดงนนพลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมา

maxK eV0= (8.4)

ในการทดลองพบวาถาความถแสงนอยกวาความถเฉพาะคาหนงซงขนกบชนดของโลหะ อเลกตรอนจะไมหลดออกมาแมวาแสงจะมความเขมสงมาก อเลกตรอนจะหลดออกมาเมอแสงมความถสงกวาความถขนตา f0 เทานน และพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนไมขนกบความเขมแสงแตกลบขนกบความถเชนกน ผลการทดลองไมสามารถใชทฤษฎแบบเดมอธบายไดเนองจากแสงทมความเขมสงควรถายทอดพลงงานเพอกระตนใหอเลกตรอนหลดออกมาได จนกระทงป 1905 ไอนสไตน (Einstein) ใชแนวคดของพลงคในการอธบายผลการทดลอง โดยคดวาแสงเปนโฟตอนมพลงงานเทากบ

E hf= (8.5) เมอโฟตอนตกกระทบพนผวโลหะจะถายทอดพลงงานใหกบอเลกตรอน ทงนอเลกตรอนทผว

โลหะถกยดใหอยในเนอโลหะดวยพลงงานยดเหนยวคาหนง ถาพลงงานของอเลกตรอนมากพอจะเอาชนะคายดเหนยวนได อเลกตรอนกจะหลดออกจากผวโลหะและมพลงงานจลนเทากบพลงงานทเหลออย

maxK hf = - (8.6)

เปนพลงงานยดเหนยว เรยกวา ฟงกชนงาน (work function) เปนพลงงานทอเลกตรอนถกยดไวทผวโลหะ คาฟงกชนงานเปนคาเฉพาะของโลหะชนดตาง ๆ อเลกตรอนจะหลดออกมาเมอ

แสง

V

แหลงกาเนดไฟฟาปรบคาได

โฟโตอเลกตรอน C E

รป 3 โฟโตเซลล [2]

 115ทฤษฎควอนตมเบองตน

ความถของแสงทใชมากกวาความถขนตา f0 ซงโฟตอนของแสงจะมพลงงานเทากบฟงกชนงานพอด

hf 0= (8.7)

ตวอยาง พลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอน เมอใชแสงสหนงทาการทดลองโฟโตอเลกทรก ตองใชคาศกยหยดยง . V1 50 โฟโตอเลกตรอนมพลงงานจลนและความเรวสงสดเทาใด วธทา จากความสมพนธ

2

max 0

1

2K eV mv= =

จะไดพลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอน

max

19 19

(1.50) 1.50 eV

(1.60 10 ) (1.50) 2.40 10 J

K e

- -

= =

= ´ ´ = ´

พลงงานจลนสงสดของอเลกตรอนเทากบ 1.50 eV หรอ 2.40 10  J-19´ หาความเรวของอเลกตรอนจากพลงงานจลน ทงนอเลกตรอนมมวล . kgm -31= 9 11´10

2

max

max

195

31

1

2

2

2 2.40 107.26 10 m s

9.11 10

K mv

Kv

m

--

-

=

=

´ ´= = ´

´

ความเรวสงสดของอเลกตรอนเทากบ 57.26 10 m s-´

ตวอยาง การทดลองหาคาฟงกชนงานและคาคงตวของพลงค จากขอมลการทดลองดงรป จงหาคาฟงกชนงานและคาคงตวของพลงค

วธทา เขยนสมการเพอใชวเคราะหกราฟจากความสมพนธ

maxK hf = -

ผลการทดลองเปนการวดคาศกยหยดยง V0 บนแกนตงและความถของแสง f บนแกนนอน จดรปสมการใหสอดคลองกบสมการเสนตรงจากขอมลการทดลอง

eV hf

hV f

e e

0

0

= -æ ö÷ç= -÷ç ÷çè ø

 116  ทฤษฎควอนตมเบองตน

จากสมการความชนจากกราฟคอ h e และจดตดแกนตงคอ e- จากกราฟจดตดแกนตงมคาเทากบ . V-1 5 หาคาฟงกชนงานจาก

. V

. eVe

- =-1 5

=1 5

ฟงกชนงานของผวโลหะทใชในการทดลองเทากบ . eV1 5 จากกราฟเสนตรงครอบคลมชวงความตางศกยประมาณ . V4 5 และครอบคลมชวงของ

ความถประมาณ . 1411 5´10 Hz ดงนนความชนจากกราฟเทากบ

. V

Hz.

. eV s

. J s

h

e

h

14

-15

-34

4 5=

11 5´10=3 91´10 ⋅

= 6 26´10 ⋅

คาคงตวของพลงคจากการทดลองเทากบ . J s-346 26´10 ⋅

ตวอยาง โฟโตอเลกตรอนจากแผนทองคา ทองคามคาฟงกชนงาน . eV5 10 ตองใชแสงทมความถขนตา (หรอความยาวคลนสงสด) เทาใดเพอทาใหเกดโฟโตอเลกตรอน ถาใชแสงความยาวคลน nm200 พลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอนเปนเทาใด วธทา ใชสมการความสมพนธ

maxK hf = -

ความถขนตาคอความถททาใหอเลกตรอนเอาชนะพลงงานยดเหนยว (ฟงกชนงาน) แลวหลดออกจากแผนโลหะพอด (ไมมพลงงานจลน)

. eV

eV s.

. Hz

hf

fh

f

0

0

-15

150

0= -

=

5 10=

⋅4 14´10=1 23´10

ความถขนตา . Hzf 150 =1 23´10 คดเปนความยาวคลนเทากบ

m s

1 s.

nm

f c

c

f

0 0

00

8

15

0

=

=

3´10=

1 23´10=243

แสงทใชตองมความถสงกวา f0 หรอมความยาวคลนนอยกวา nm0 =243 เพอทาใหเกดโฟโตอเลกตรอน

ถาใชแสงความยาวคลน nm200 โฟตอนจะมพลงงานมากกวาฟงกชนงาน สวนตางของพลงงานนจะเปนพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอน

maxK hf

hc

= -

= -

 117ทฤษฎควอนตมเบองตน

max

max

.

. .

. eV

K

K

-15 8

-9

4 14´10 ´3´10= -

200´10= 6 21-5 10=1 11

พลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอนเทากบ . eV1 11

หลอดรงสเอกซ รงสเอกซเปนคลนแมเหลกไฟฟา (เชนเดยวกบคลนแสง) ทมความถสง รงสเอกซทาไดโดยเรง

อเลกตรอนผานความตางศกยสง (V ) เขาชนเปาโลหะ เมออเลกตรอนเขาไปยงเนอโลหะอเลกตรอนจะเกดการเบยงเบนทศทางการเคลอนทเนองจากประจในเนอโลหะทาใหอเลกตรอนเสยพลงงาน พลงงานนจะปลดปลอยออกมาในรปของคลนแมเหลกไฟฟาหรอโฟตอนรงสเอกซ เนองจากอเลกตรอนทเขาชนเนอโลหะแตละครงมลกษณะทแตกตางกนไปคลนแมเหลกไฟฟาทไดจงมคาพลงงานกระจายเปนชวง ทงนขอบเขตพลงงานสงสดคดไดจากกรณทอเลกตรอนชนเปาโลหะอยางจงทาใหอเลกตรอนสญเสยพลงงานทงหมดในรปโฟตอนรงสเอกซ รงสเอกซทไดจะมพลงงานสงสดเทากบพลงงานจลนของอเลกตรอนทเขาชนเปาโลหะ

max maxK eV hf= = (8.8)

หรอรงสเอกซทไดจะมความยาวคลนสนทสดเทากบ

max

min

eV hf

hceV

=

=

min

hc

eV = (8.9)

ตวอยาง การเกดรงสเอกซ สเปกตรมตอเนองทเกดจากการเรงอเลกตรอนดวยศกยไฟฟา 40.0 kV เขาชนเปาโลหะชนดหนง จะใหรงสเอกซทมพลงงานสงสดเทาใด และคาพลงงานนสอดคลองกบความยาวคลนเทาใด วธทา พลงงานของรงสเอกซจะมคาสงสดเทากบพลงงานจลนของอเลกตรอน

. V . keV

E eV

e3=

= 40 0´10 = 40 0

โฟตอนพลงงาน 40.0 keV สอดคลองกบความยาวคลนเทากบ

hcE

=

ความตางศกยแรงสง

สญญากาศ

เปาโลหะ

ขวไฟฟา ไสหลอด ความตางศกยอนไสหลอด

รป 4 หลอดรงสเอกซ [2]

 118  ทฤษฎควอนตมเบองตน

eV s m s.

eV.. pm

hc

E

-15 8

3

=

⋅ ⋅4 14´10 ´3´10=

40 0´10= 31 1

ความยาวคลนของโฟตอนเทากบ . pm31 1

การกระเจงคอมปตน เมอรงสเอกซ (โฟตอน) ตกกระทบเปา โฟตอนจะชนกบอเลกตรอนทอยในเปาทาใหวถของโฟ

ตอนเบนออกจากแนวการชน เมอโฟตอนตกกระทบเปาจะถายทอดพลงงานใหกบอเลกตรอนทอยในเปาทาใหโฟตอนสญเสยพลงงานและเบนออกจากทศทเขาชนทามมกระเจง ( ) พลงงานทสญเสยไปทาใหโฟตอนทกระเจงหรอเบนออกมามความยาวคลนเพมขน ความยาวคลนทเปลยนไปนเรยกวา การเลอนคอมปตน (Compton shift) ซงสมพนธกบมมกระเจงดงน

0

(1 cos )e

h

m c = - = - (8.10)

โดยท em เปนมวลของอเลกตรอน คาคงตว ( ) 2.43 pm

eh m c = เรยกวาความยาวคลน

คอมปตน (Compton wavelength)

ตวอยาง การกระเจงคอมปตน ในการกระเจงคอมปตนรงสเอกซความยาวคลน 91.20 10 m-´ ทกระทบเปาและกระเจงทมม 60 จะมความยาวคลนเปลยนไปเทาใด วธทา จากความสมพนธ

(1 cos )e

h

m c = -

ทมมกระเจง 60 รงสเอกซทกระเจงออกมาจะมความยาวคลนเปลยนไป

12

12

12

2.43 10 (1 cos60 )

2.43 10 (1 0.5)

1.22 10 m

-

-

-

= ´ -

= ´ -

= ´

ความยาวคลนของรงสเอกซเปลยนไป . pm1 22

อเลกตรอน

, f

, f0 0

มมกระเจง

รป 5 การกระเจงคอมปตน [2]

 119ทฤษฎควอนตมเบองตน

สเปกตรมแบบเสน เมออดแกสของธาตเขาไปในหลอดบรรจแกสซงมขวไฟฟา เมอใหความตางศกยมากพอสมควร

จนมเกดกระแสไฟฟาในหลอดจะทาใหแกสเรองแสงขน แสงทปลดปลอยออกมาจะมคาความยาวคลนเฉพาะบางคาซงเปนลกษณะเฉพาะของธาตชนดตาง ๆ (เชน ไฮโดรเจน H, ปรอท Hg, และนออน Ne) เมอวเคราะหแสงทออกมาดวยสเปกโตรมเตอร (spectrometer) ทเปนเกรตตงเลยวเบนใชแยกแสงความยาวคลนตาง ๆ พบวาแสงทออกมามความยาวคลนเปนคาเฉพาะเปนสเปกตรมแบบเสนทออกมา (emission spectrum) จากธาตนน ๆ ไมเหมอนกบแสงขาวทใหสเปกตรมตอเนอง (เหนเปนแถบรง)

สเปกตรมแบบเสนเปนคณสมบตเฉพาะของแตละธาต ในการศกษาสเปกตรมของธาตไฮโดรเจนพบวามเสนทเหนชด 4 เสน ตรงกบความยาวคลน 656.3 nm, 486.1 nm, 434.1 nm และ 410.2 nm ซงในป 1885 โจฮานน บลเมอร (Johann Balmer) พบวาความยาวคลนของสเปกตรมนอยในรปสมการ

2 2

1 1 1

2HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

(8.11)

เปนอนกรมบลเมอร (Balmer series) โดยท n เปนจานวนเตมมคาเปน 3,4,5, และ HR

เปนคาคงตว เรยกวา คาคงตวรดเบรก (Rydberg constant) 7 11.097 3732 10 m

HR -= ´ (8.12)

เสนสเปกตรมแรกในอนกรมบลเมอรคอทความยาวคลน 656.3 nm สอดคลองกบ 3n= เสนตอไปท 486.1 nm ตรงกบ 4n= ไปเรอย ๆ ในทางกลบกนธาตตาง ๆ กสามารถดดกลนแสงทความยาวคลนเฉพาะคาเหนเปนเสนมดหายไปจากสเปกตรมของการดดกลน (absorption spectrum) ซงเสนสเปกตรมนมความยาวคลนตรงกบสเปกตรมจากการเปลงแสง ภายหลงไดมการคนพบอนกรมอน ๆ จากสเปกตรมของธาตไฮโดรเจนสรปไดดงน

อนกรมไลมาน (Lyman series)

2 2

1 1 1

1HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

2,3,4,n= (8.13)

อนกรมบลเมอร (Balmer series)

2 2

1 1 1

2HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

3,4,5,n= (8.14)

(nm) 400 500 600 700

H

Hg

Ne

H

(nm) 400 500 600 700

รป 6 สเปกตรมแบบเสนของธาตบางชนด [2]

.656 3

.486 1

.434 1.410 2.364 6

(nm)

รป 7 เสนสเปกตรมจากอนกรมบลเมอร [2]

 120  ทฤษฎควอนตมเบองตน

อนกรมปาเชน (Paschen series)

2 2

1 1 1

3HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

4,5,6,n= (8.15)

อนกรมแบรคเกต (Brackett series)

2 2

1 1 1

4HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

5,6,7,n= (8.16)

อนกรมฟนด (Pfund series)

2 2

1 1 1

5HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

6,7,8,n= (8.17)

ตวอยาง สเปกตรมแบบเสนของไฮโดรเจน จงหาคาความยาวคลนแสงในอนกรมบลเมอร เสนท 1 และ 2 วธทา จากความสมพนธ

2 2

1 1 1

2HR

næ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

เสนท 1 ตรงกบ 3n=

2 2

7

7

1 1 1

2 3

51.097 10

36

36656.3 nm

5 1.097 10

HR

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

æ ö÷ç= ´ ÷ç ÷çè ø

= =´ ´

เสนท 1 ตรงกบความยาวคลนแสง 656.3 nm เสนท 2 ตรงกบ 4n=

2 2

7

7

1 1 1

2 4

31.097 10

16

16486.1 nm

3 1.097 10

HR

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

æ ö÷ç= ´ ÷ç ÷çè ø

= =´ ´

เสนท 2  ตรงกบความยาวคลนแสง 486.1 nm

ทฤษฎอะตอมของโบร เพออธบายการเกดสเปกตรมแบบเสนทงแบบทเกดจากการเปลงแสงและแบบดดกลน โบร

(Bohr) ไดตงสมมตฐานและทฤษฎเพออธบายการเกดสเปกตรมแบบเสนทมคาไมตอเนองในป 1913 โดยคดวาในอะตอมไฮโดรเจนอเลกตรอนโคจรรอบนวเคลยส (โปรตอน) โดยดงดดกนดวยแรงคลอมบ และมวงโคจรบางวงทมเสถยรภาพอเลกตรอนโคจรไดโดยไมเสยพลงงาน (เนองจากการเคลอนทเปนวถโคงทาใหประจมความเรงแลวปลดปลอยพลงงานในรปของโฟตอน) การเปลยนระดบระหวางวงโคจรจะมการดดกลนหรอคายพลงงานในรปของโฟตอนซงมคาเทากบผลตางระดบพลงงานในแตละวง

i f

hf E E= - (8.18)

e+r

F

veme-

รป 8 แบบจาลองอะตอมไฮโดรเจนของโบร [2]

 121ทฤษฎควอนตมเบองตน

เมอ iE เปนพลงงานของวงโคจรสถานะเรมตน

fE เปนพลงงานของวงโคจรสถานะปลายทาง

และ h เปนคาคงตวของพลงค อเลกตรอนทโคจรรอบโปรตอนมขนาดรศมวงโคจรเฉพาะคาและมโมนเมนตมเชงมมเปนจานวนเตมของ (“เอชบาร” โดยท 2h = ) ตามความสมพนธ

e

L m vr n= = (8.19) จากสมมตฐานของโบรสามารถคานวณขนาดวงโคจรของอเลกตรอนไดจากการพจารณา

โมเมนตมเชงมมของอเลกตรอนกบแรงคลอมบทเปนแรงศนยกลางกระทาระหวางอเลกตรอนกบโปรตอน ไดความเรวของอเลกตรอนในวงโคจรเปน

e

nv

m r=

ในการโคจรรอบโปรตอนเปนวงกลมรศม r แรงคลอมบระหวางประจเทากบแรงศนยกลาง

22

2

22

2

2 2 2

2 2 2

22

2

e

e

e

e

e

e

m vke

rr

mke n

r m rr

mke n

rr m r

r nm ke

=

æ ö÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

2

0nr a n= 1,2,3,n= (8.20)

ไดขนาดของวงโคจรทสถานะตางขนกบเลขสถานะ n คาคงตว 2 2

0( )

ea m ke= เรยกวารศม

โบร (Bohr radius) มคาเทากบ 100.529 10 m-´ หรอ 0.529 Å ซงเปนรศมของวงโคจรทสถานะ 1n= ( 10Å 10 m-= “องสตรอม” Angstrom)

สามารถคานวณพลงงานรวมของอะตอมไฮโดรเจนไดจากการรวมพลงงานศกยในระบบประจโปรตอนกบอเลกตรอนกบพลงงานจลนของอเลกตรอนทโคจรรอบโปรตอนได

E U K= + พลงงานศกยในระบบเทากบ

2ke

Ur

=- (8.21)

ในการโคจรรอบโปรตอนเปนวงรศม r แรงคลอมบระหวางประจเทากบแรงศนยกลาง

22

2

2

e

e

m vke

rr

kem v

r

2

=

=

พลงงานจลนของอเลกตรอนเทากบ

2

21

2 2 2e

ke UK m v

r= = =- (8.22)

ดงนนพลงงานรวม

2 2

U UE U=- + = (8.23)

 122  ทฤษฎควอนตมเบองตน

2

2

20

2

1

2

keE

r

ke

a n

=-

æ ö÷ç ÷=-ç ÷ç ÷çè ø

2

13.6eVE

n

-= 1,2,3,n= (8.24)

พลงงานของระบบจะมคาตาสดหรออยในสถานะพน (ground state) เมอ 1n= มพลงงานเทากบ 13.6 eV- สถานะตอไป 2n= เปนสถานะกระตนท 1 (first excited state) มพลงงาน 3.40 eV- และสถานะทพลงงานสงขนไป 3,4,5,n= เปนสถานะกระตนท 2,3,4, ไปเรอย ๆ สถานะทพลงงานสงทสด 0E= ท n¥ เปนสถานะทอเลกตรอนหลดออกจากอะตอมไฮโดรเจน

เมออเลกตรอนเปลยนวงโคจรทมระดบพลงงานสถานะเรมตน iE ไปยงระดบพลงงานสถานะ

ปลายทาง fE จะปลดปลอยโฟตอนทมพลงงานเทากบผลตางของระดบพลงงาน ไดอนกรมของ

สเปกตรมแบบเสน

2

2 20

2

2 20

1 1

2

1 1 1

2

i f

f i

f i

hf E E

hc ke

a n n

ke

a hc n n

= -

æ öæ ö÷ç ÷ç÷= - ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷÷çè øè ø

æ öæ ö÷ç ÷ç÷= - ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷÷çè øè ø

2 2

1 1 1H

f i

Rn n

æ ö÷ç= - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø (8.25)

จะเหนวาสมการทไดจากทฤษฎอะตอมของโบรคลายคลงกบอนกรมตาง ๆ ทไดจากการทดลองเมอแทนคาคงตวลงไปไดตวเลขเปนคาคงตวรดเบรกทไดจากทฤษฎซงตรงกบคาจากการศกษากอนหนา

2 42

30

2 4e

H

m k ekeR

a hc c= =

(8.26)

การทราบทมาของคา HR จากคาคงตวพนฐานโดยทฤษฎอะตอมของโบรนบเปนความสาเรจของ

ทฤษฎทอธบายสเปกตรมอนกรมตาง ๆ ไดอยางสมบรณแบบ และเปนรากฐานแนวคดสาคญของแบบจาลองอะตอม

ตวอยาง อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจน อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนอยทระดบพลงงานสถานะกระตนท 1 ( 2

in = ) จงหาพลงงานรวม

พลงงานศกย และพลงงานจลนของอเลกตรอนในสถานะน และถาอเลกตรอนเปลยนระดบพลงงานไปทสถานะพน ( 1

fn = ) จะปลดปลอยโฟตอนความยาวคลนเทาใด

วธทา จากความสมพนธของพลงงานรวม

2

2

13.6eV

13.63.40 eV

2

En

-=

-= =-

อเลกตรอนในสถานะกระตนท 1 มพลงงานรวมเทากบ 3.40 eV-

 123ทฤษฎควอนตมเบองตน

พลงงานศกยของอเลกตรอน

2

2 ( 3.40) 6.80 eV

U E=

= ´ - =-

อเลกตรอนในสถานะกระตนท 1 มพลงงานศกยเทากบ 6.80 eV- เครองหมายลบแสดงวาอเลกตรอนยดเหนยวอยในอะตอมไฮโดรเจนโดยโปรตอน

พลงงานจลนของอเลกตรอน

1 ( 3.40) 3.40 eV

K E=-

=- ´ - =

อเลกตรอนในสถานะกระตนท 1 มพลงงานจลนเทากบ 3.40 eV เมออเลกตรอนเปลยนระดบพลงงานจากสถานะกระตนท 1 ไปยงสถานะพนทมพลงงานนอย

กวา อเลกตรอนจะปลดปลอยพลงงานในรปโฟตอนซงมความยาวคลนเทากบ

2 2 2 2

7

1 1 1 1 1

1 2

3

4

4121.5 nm

3 3 1.097 10

H H

f i

H

H

R Rn n

R

R

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷çç è ø÷÷çè ø

=

4= = =

´ ´

อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนจะใหโฟตอนความยาวคลน 121.5 nm อยในยานแสงเหนอมวง (ultra violet, UV)

ตวอยาง วงโคจรของสถานะกระตนท 2 จงหารศมของวงโคจรในสถานะกระตนท 2 วธทา สถานะกระตนท 2 ตรงกบระดบสถานะท 3n=

2

0

2

30.529 3 Å 4.761Å

nr a n

r

=

= ´ =

ขนาดของวงโคจรของสถานะกระตนท 2 คอ 4.761Å

ตวอยาง โฟตอนจากอะตอมไฮโดรเจน โฟตอนทมพลงงานมากทสดจากสเปกตรมของอะตอมไฮโดรเจนมความยาวคลนเทาใด วธทา พลงงานทมากทสดทเปนไปไดจากการเปลยนสถานะในอะตอมไฮโดรเจนคอการเปลยนระดบพลงงานของอเลกตรอนอสระ (

in =¥ ) สสถานะพนของอะตอมไฮโดรเจน ( 1

fn = )

2 2

2

1 1 1

1 1

1

H

f i

H

H

Rn n

R

R

æ ö÷ç= - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø¥

=

7

1 191.2 nm

1.097 10HR

= = =´

อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนจะใหโฟตอนความยาวคลน 91.2 nm มพลงงาน 13.6 eV

 124  ทฤษฎควอนตมเบองตน

แบบฝกหด 1) ดาว Betelgeuse เปนดาวยกษแดง และดาว Rigel เปนดาวสฟาอมขาวอยในกลมดาวนายพรานแผคลนออกมาวดความยาวคลนได nm970 และ nm145 ตามลาดบ อณหภมทพนผวของดาวเปนเทาใด (ตอบ K3000 และ K20000 ) 2) ถาพนผวของดวงอาทตยมอณหภมประมาณ K5800 ชวงคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมาจากดวงอาทตยจะมความเขมมากทสดทความยาวคลนเทาใด (ตอบ nm500 ) 3) จงคานวณพลงงานของโฟตอนของคลนแมเหลกไฟฟาทความยาวคลนตอไปน ในหนวย eV

1) คลนไมโครเวพ . cm =5 00 2) แสงทมองเหนได nm =500 3) ชวงรงสเอกซ . nm =5 00

4) เสาสงวทย FM สงคลนดวยกาลง kW150 ทสญญาณความถ . MHz99 7 เสาสงนกาลงปลอยโฟตอนออกมากตวในหนงวนาท (ตอบ . photon s302 27´10 ) 5) จงประมาณคาอณหภมของวตถทใหสเปกตรมรงสความรอนตามกราฟเสนน ดวยกฎการกระจดของวน

2 4 8 m6

I ( ,T)

6) ในการกระเจงคอมปตน รงสเอกซความยาวคลน . nm0 01 เมอตกกระทบเปาและกระเจงเปนมม 60 จงหาความยาวคลนของรงสเอกซหลงชน 7) จงแสดงการคานวณวาอนกรมบลเมอรใหเสนสเปกตรมไฮโดรเจนอยในชวงคลนแสงทตามองเหน (ชวงความยาวคลน 400 ถง 700 นาโนเมตร) 8) ในอะตอมของไฮโดรเจน ถาอเลกตรอนเคลอนทจากสถานะกระตนท 2 ไปทสถานะพน

1) จงหาพลงงานรวมของอเลกตรอนในสถานะกระตนท 2 2) จงหาพลงงานศกยและพลงงานจลนของอเลกตรอนในสถานะกระตนท 2 3) อะตอมจะปลดปลอยโฟตอนทมความยาวคลนเทาใด 4) วงโคจรของอเลกตรอนในสถานะกระตนท 2 กบสถานะพนมระยะหางกนประมาณเทาใด