หน่วยที� 3 การกวดัแกว่ง

ตอนที� 3.1 การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีวตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

ตอนที� 3.1การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

• สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

• แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว• แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว

• พลงังานของตวัแกวง่กวดั

m

สมการการเคลือนทีแบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว

P�

xkF�

�

−=

m

m P

การเคลื�อนที�แบบนี&เรยีกวา่ การเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชิงเดียว

(simple harmonic motion) SHM

1x 2xx0 x

xkF�

�

−=

กฎของฮกุ (Hooke’s law)

k คอืคา่คงตวัของสปรงิมหีน่วยเป็นนิวตนัต่อเมตร )/( mN

x

xkF�

�

−=

mx0 x

amF�

�

=∑

k คอืคา่คงตวัของสปรงิมหีน่วยเป็นนิวตนัต่อเมตร )/( mN

จากกฎขอ้ที�สองของนิวตนั จะได้

2

2

dt

xdmkx =−

makx =−ในกรณ ี1 มติิ

022

2

=+ xdt

xdω

???)( =tx

02

2

=+ kxdt

xdm

m

k=2ω

เดาคาํตอบ

สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

( )φω += tAtx sin)(

เดาคาํตอบ

φω +t มมุเฟส

A แอมปลจิดูω ความถี�เชงิมมุ เรเดยีน ต่อ วนิาท ี(rad/s)

ถกูกาํหนดด้วยการกระจดั และความเรว็ในตอนเริ�มต้น

φ เฟสเริ�มตน้

( )φω += tAtx cos)(หรอื

( )φω += tAtx sin)(

( )φωω +== tAdt

dxtv cos)(

( )φωω += tAtv cos)(

( )φωω +−=== tAxddv

ta sin)( 22

การกระจดั

ความเรว็

ความเร่ง ( )φωω +−=== tAdt

xd

dt

dvta sin)( 2

2

( )φωω +−= tAta sin)( 2

ความเร่ง

( )φωω +−= tAta sin)( 2

)()( 2 txta ω−=

In[3]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

A@D9- p 7 p= 88 @D<<E

In[3]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

In[8]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

In[6]:= PlotACos@aD,9a, - p

2,7 p

2=,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<E

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

In[7]:= PlotASinAa+p

2E,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<E

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

In[8]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว

http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/shm/phase0.html

พลงังานของตวัแกวง่กวดั

( )φω += tAtx cos)(

ระบบประกอบด้วยพลงังานศกัย ์และพลงังานจลน์

พลงังานศกัย์พลงังานศกัย์

2

2

1kxEp = [ ]2)cos(

2

1φω += tAk )(cos

2

1 22 φω += tkA

พลงังานศกัยม์คีา่ตํ�าสุดเทา่กบั 0 ณ ตําแหน่งสมดุล

พลงังานศกัยม์คีา่สงูสดุเทา่กบั 2

2

1kA ณ ตําแหน่งที�มกีารกระจดัเป็น A±

พลงังานจลน์ 2

2

1mv

( )φω += tAtx cos)(

( )φωω +−== tAdt

tdxtv sin

)()(

( )[ ]22 sin11

φωω +−== tAmmvE )(sin1 222 φωω += tmA

m

k=2ω

พลงังานจลน์มคีา่สงูสดุเทา่กบั 2

2

1kA ณ ตําแหน่งสมดุล

( )[ ]22 sin2

1

2

1φωω +−== tAmmvEk )(sin

2

1 222 φωω += tmA

ณ ตําแหน่งที�มกีารกระจดัเป็นพลงังานจลน์มคีา่ตํ�าสุดเทา่กบั 0 A±

)(sin2

1 22 φω += tkA

พลงังานศกัย์

พลงังานจลน์ )(sin2

1)( 22 φω += tkAtEk

)(cos2

1)( 22 φω += tkAtEp

พลงังานรวม

11)(sin

2

1)(cos

2

1)()( 2222 φωφω +++=+= tkAtkAtEtEE kp

[ ])(cos)(sin2

1 222 φωφω +++= ttkAE

2

2

1kAE =

In[11]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

In[1]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<D

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

In[10]:= PlotACos@aD2,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<E

2 4 6 8 10 12

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[2]:= PlotASin@aD2,8a,0,4 p<,PlotStyle®88Thickness@0.01D<<E

2 4 6 8 10 12

0.2

0.4

0.6

0.8

1

พลงังานศกัย์

พลงังานจลน์ )(sin2

1)( 22 φω += tkAtEk

)(cos2

1)( 22 φω += tkAtEp

2

2

1kAE =

กราฟแสดงพลงังานจลน์ พลงังานศกัย ์ และพลงังานรวมที�เป็นฟงักช์นัของเวลา

0=φ

พลงังานศกัย์ พลงังานจลน์

)(sin2

1)( 22 φω += tkAtEk)(cos

2

1)( 22 φω += tkAtEp

2,

1kAE MAXp =

2, 2

1kAE MAXk =

, 2kAE MAXp =

0, =MINpE

22, 4

1

2

1

2

1kAkAE AVEp =

=

, 2kAE MAXk =

0, =MINkE

22, 4

1

2

1

2

1kAkAE AVEk =

=

กราฟแสดงพลงังานจลน์ พลงังานศกัย ์ และพลงังานรวมที�เป็นฟงักช์นัการกระจดั

ตวัอย่างที � 1 การเคลื�อนที�แบบ SHM ซึ�งแทนดว้ยสมการ

−=3

20sin5)(π

ttx

โดยที� x มหีน่วยเป็นเมตร t มหีน่วยเป็นวนิาท ีและเฟสมหีน่วยเป็นเรเดยีน จงคาํนวณหา

1. ความถี�2. คาบ2. คาบ3. การกระจดัสงูสดุ4. อตัราเรว็สงูสดุ5. อตัราเรง่สงูสดุ6. การกระจดั อตัราเรว็ และอตัราเรง่ ที�เวลา และ วนิาที

40

π=t0=t

ตวัอย่างที � 2 มวล 1 กโิลกรมัเคลื�อนที�แบบ SHM ดว้ยแอมพลจิดู 0.05 เมตร และคาบ 5 วนิาท ีจงหา

1. อตัราเรว็ของมวลที�จุดซึ�งหา่งจากจุดกึ�งกลางของการแกว่งกวดัเป็นระยะ 0.03 เมตร มคีา่เป็นเทา่ใด

2. พลงังานศกัยท์ี�จุดซึ�งอยูห่า่งจากจุดกึ�งกลางของการกวดัแกวง่เป็น ระยะ 0.03 เมตรมคีา่กี�จลู

J10 0.72 2)

m/s106.1)142

2

−

−

×

×

π

π

ตวัอย่างที �3 มวล m = 2.0 kg ตดิที�ปลายสปรงิเบา เมื�อออกแรง F = 20.0 N ดงึที�ปลายทาํใหส้ปรงิยดืออกเป็นระยะ x(0) = 40 cm หลงัจากนั &นเริ�มจบัเวลาพรอ้มกบัปล่อยใหม้วลเคลื�อนที� และถา้ไมม่แีรง เสยีดทานในการเคลื�อนที� และกาํหนดใหส้มการแสดงตําแหน่งของมวลที�เวลาใดๆคอื จงหา)cos()( φω += tAtx

• คา่คงตวั (k) ของสปรงิ • อมัพลจิดู (A) • อมัพลจิดู (A) • ความถี�เชงิมมุ ( ) • มมุเฟส ( ) เริ�มตน้ • จงหาความเรว็สงูสุดในการเคลื�อนที�ของมวลที�ปลายสปรงินี& • จงหาพลงังานรวมของระบบ

ω

φ

หน่วยที� 3 การกวดัแกว่ง

ตอนที� 3.1 การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีวตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

• ลกูตุม้เชงิเดยีว

ลกูตุม้เชงิเดยีว

θsin mgFt −=

2

2

dt

sdmmaFt == θls =

2

2

dt

dmlFt

θ=

θθ

sin 2

mgd

ml −= θθ

sin 2

mgdt

dml −=

0sin 2

2

=+ θθ

l

g

dt

d

พิจารณาการสั �นที�มีมมุแคบๆ

...!7!5!3

sin 753

+−+−=θθθ

θθ

เนื�องจาก

θθ ≈sin

0sin 2

2

=+ θθ

l

g

dt

d

พิจารณาการสั �นที�มีมมุแคบๆ θθ ≈sin

0 2

2

=+ θθ

l

g

dt

d

022

2

=+ xdt

xdω

สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว

l

g=2ω

l

g=ω g

lT π

ωπ

22

==

ตวัอย่างที � 1 ลกูตุม้เชงิเดยีวมคีาบของการแกวง่กวดัเป็น 2.50 วนิาทจีงหา1. ความยาวของเชอืกเสน้นี&2. จงหาคาบของการแกว่งของลกูตุม้เชงิเดยีวเมื�ออยูบ่นดวงจนัทร์

กาํหนดให ้ 2/67.1 smgM =

ตวัอย่างที � 2 จงหาความถี�และคาบ ของลกูตุม้เชงิเดยีวที�มคีวามยาวเชอืกเป็น 10 เมตร )/10( 2smg =