49สนามแมเหลก

4. สนามแมเหลก

แมเหลกเปนสารชนดหนงซงสามารถออกแรงดงดดโลหะบางชนดได แมเหลกมสองชนดโดยเรยกเปนขวไดแกขวเหนอและขวใต เนองจากการคนพบแมเหลกในอดตไดใชแทงแมเหลกเปนเขมทศซงพบวาแทงแมเหลกจะวางตวในแนวเหนอใตของโลกเสมอ แรงระหวางแมเหลกจะมทงแรงดดทเกดจากแมเหลกตางขวและแรงผลกทเกดจากขวเดยวกนซงคลายคลงกบแรงระหวางประจ ขอแตกตางทสาคญระหวางประจกบขวแมเหลกคอขวแมเหลกจะอยเปนคเสมอไมสามารถแยกขวแมเหลกเหนอและใตออกจากกนได เพราะไมวาจะแบงแทงแมเหลกใหเลกลงเทาใดสวนทแยกออกมาจะมขวเหนอใตเสมอ สารบางอยางสามารถทาใหเปนแมเหลกไดเชนการวางแทงเหลกไวกบแมเหลก แมเหลกจะเหนยวนาใหแทงเหลกนนเปนแมเหลกได ทงนสารแมเหลกในธรรมชาตเกดขนจากการเหนยวนาของสนามแมเหลกโลก

สนามแมเหลกเปนปรมาณเวกเตอรมทงขนาดและทศทาง สนามแมเหลกมทศพงออกจากขวเหนอไปยงขวใตของแมเหลก สงทนาสนใจคอสนามแมเหลกสามารถสรางอทธพลใหเกดแรงกระทาตอประจได ผลของแรงแมเหลกทกระทาตอประจแสดงถงความสมพนธบางอยางระหวางสนามแมเหลกกบสนามไฟฟา

แรงแมเหลกทกระทากบประจ จากการทดลองโดยการใหสนามแมเหลก (B ) ในบรเวณทมประจ ( q ) พบวาเมอประจอยนง

จะไมมแรงกระทาตอประจ แตเมอประจเคลอนทดวยความเรว ( v ) ในสนามแมเหลกพบวามแรงเนองจากสนามแมเหลกกระทากบประจ (

BF ) โดยแรงนจะมคามากเมอประจเคลอนทตงฉากกบ

ทศทางของสนามแมเหลกและมคาลดลงจนเปนศนยเมอประจเคลอนทในทศทางเดยวกบสนาม แรงแมเหลกนจะมคามากเมอประจเคลอนทเรวขน แรงแมเหลกยงขนกบขนาดของประจดวยจงสรปไดวาแรงเนองจากแมเหลกทกระทากบประจหาไดจาก

sinBF qvB =

ในหนวย SI ขนาดของสนามแมเหลก B มหนวยเปนเทสลา (tesla, T ) หรอเวเบอร (weber, Wb ) ตอตารางเมตร

Wb N NB T

C m s A mm2é ù = = = =ë û ⋅ ⋅

ทงนทศทางของแรงเนองจากสนามแมเหลกทกระทากบประจจะมทศสอดคลองกบกฎมอขวาซงทศทางของแรงทเกดขนจะหาไดจากการคณแบบเวกเตอร (vector product) ระหวางทศทางของความเรว v กบทศทางของสนามแมเหลก B

ดงนนสมการทสมบรณในการหาแรงแมเหลกท

กระทากบประจคอ

Bq= ´F v B

(4.1) เนองจากประจไฟฟามสองชนดคอบวกและลบ ทศของแรงแมเหลกทกระทากบประจทงสองชนดจงตรงขามกน

สนามแมเหลกและสนามไฟฟาสามารถสรางอทธพลตอประจได สมการทอธบายแรงทกระทากบประจเนองจากสนามทงสองน เรยกวา กฎแรงลอเรนซ (Lorentz force law)

( )q q= + ´F E v B (4.2)

ทดสอบ อนภาคประจหนงเคลอนทเปนเสนตรง ขอใดกลาวถกตองเกยวกบสนามแมเหลกในบรเวณนน (1). ขนาดเปนศนย (2). องคประกอบของสนามแมเหลกในทศทตงฉากกบทศการเคลอนทของอนภาคเปนศนย

v

B

F

รป 1 ทศของแรงแมเหลกจากกฎมอขวา [2]

 50  สนามแมเหลก

(3) องคประกอบของสนามแมเหลกในทศทขนานกบทศการเคลอนทของอนภาคเปนศนย

ทดสอบ อเลกตรอนเคลอนทบนระนาบกระดาษโดยเคลอนทขนไปทางดานบน ถามสนามแมเหลกชไปทางขวา แรงทกระทากบอเลกตรอนมทศใด (1) มทศไปทางขวา (2) มทศขน (3). มทศพงออกจากระนาบ (4) มทศพงเขาระนาบ

ตวอยาง แรงเนองจากสนามแมเหลกทกระทากบอนภาคประจ อเลกตรอนในโทรทศนเคลอนทออกจากปนอเลกตรอนเพอไปตกกระทบทหนาจอตามแนวแกน x ดวยความเรว . 68 0´10 m s ดงรป ถาในบรเวณนนมสนามแมเหลกขนาด .0 025 T มทศทามม 60 กบแกน x บนระนาบ xy แรงทกระทากบอเลกตรอนเปนเทาใด วธทา หาทศทางของแรงตามกฎมอขวา และหาขนาดของแรงจากสมการ

จากรปใชกฎมอขวาใหนวทงสชไปในทศของความเรว v ซงอยตามแนวแกน x+ แลวพบนวทงสไปยงทศของสนามแมเหลก B

นวโปงชทศของเวกเตอรลพธซงอยในแนวแกน z+ แต

เนองจากประจของอเลกตรอนเปนลบ ดงนนทศของแรงทกระทากบอเลกตรอนมทศตรงขามเปนแนวแกน z-

หาขนาดของแรงไดจาก

sin

. . . sin

. N

BF qvB

-19 6

-14

=

=1 6´10 ´8 0´10 ´0 025´ 60

= 2 8´10

แรงทกระทากบอเลกตรอนเปน ˆ. ( )B

-14=2 8´10 -F k

N โดยท k แทนเวกเตอรหนวยในทศทาง z

แรงแมเหลกบนประจเคลอนท เมอประจเคลอนทในระนาบทตงฉากกบสนามแมเหลกจะมแรงจากสนามกระทากบประจทา

ใหทศทางการเคลอนทของอนภาคเปลยนไป ดงนนเมออนภาคเปลยนทศทางการเคลอนทแรงเนองจากสนามแมเหลกกจะเปลยนทศทางดวยแตขนาดของแรงคงเดม โดยทศทางของแรงจะตงฉากกบทศของความเรวทาใหอนภาคเคลอนทเปนวงกลม โดยแรงเนองจากสนามแมเหลกจะชไปทจดศนยกลางของวงกลมนน ดงนนเมออนภาคประจเคลอนทในสนามแมเหลกอนภาคจะเคลอนทเปนวถโคงและวนเปนวงกลม

เนองจากอนภาคเคลอนทตงฉากกบสนามแมเหลก แรงแมเหลกจะมขนาดคงทและชไปยงจดศนยกลาง แรงแมเหลกทเกดขนจงเปนแรงสศนยกลางทาใหประจทวงอยในสนามแมเหลกเคลอนทเปนทางโคง

sinmv

F qvBr

2

= 90 =

ดงนนรศมความโคงของการเคลอนทจะเทากบ

mvqvB

r

mvr

qvB

2

2

=

=

mvr

qB= (4.3)

ถาความเรวของประจทามมคาหนงกบสนามแมเหลกวถการเคลอนทของประจจะวนเปนเกลยวรอบเสนสนามแมเหลก โดยองคประกอบของความเรวในทศทขนานกบสนามแมเหลกจะไมเปลยนแปลง แตองคประกอบในระนาบทตงฉากกบสนามแมเหลกจะเปนการเคลอนทแบบวงกลม

BF

B

60v

x

y

z

รป 2 รปประกอบตวอยาง [1]

อนภาค วนเปนเกลยว

B

x

y

z

รป 3 อนภาคเคลอนทเปนเกลยว [1]

 51สนามแมเหลก

ทดสอบ อนภาคประจเคลอนทเปนวงกลมในสนามแมเหลกทมคาคงทและตงฉากกบการเคลอนทของประจ พลงงานจลนของอนภาคจะเปนอยางไร

(1). ไมเปลยนแปลง (2) เพมขน (3) ลดลง

แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาเสนตรง เมอประจเคลอนทในสนามแมเหลกจะมแรงแมเหลกกระทา ในลวดตวนาทประกอบดวยประจ

จานวนมาก ถามกระแสไฟฟาในเสนลวด สนามแมเหลกจะสงผลใหเกดแรงแมเหลกกระทากบประจทงหมดในเสนลวดซงมผลใหเสนลวดโคงงอได แรงทกระทากบเสนลวดทมกระแสไฟฟาจะหาไดจากการรวมแรงทกระทากบประจทงหมดโดยแรงทเกดกบประจหนงตวเทากบ

sinF qvB = จานวนประจทงหมดในเสนลวดอาจหาไดจากการสมมตให n เปนจานวนประจตอปรมาตรของวสดทนามาทาเปนเสนลวด ถาเสนลวดสวนทอยในสนามแมเหลกมพนทหนาตดสมาเสมอ A และยาว L ดงนนประจทงหมดทอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลกจะเทากบ nAL แรงทกระทากบเสนลวดจะเทากบ

( ) sin

( ) sinBF nAL qvB

nqvA LB

=

=

จะเหนวาปรมาณ nqvA คอกระแสไฟฟาในเสนลวดนน ดงนนจะไดขนาดของแรง sin

BF ILB =

ทศของแรงหาไดตามกฎมอขวาหรอทศทไดจากการคณแบบเวกเตอรระหวางทศการเคลอนทของประจกบทศของสนามแมเหลก ดงนนอาจเขยนความสมพนธใหอยในรปเวกเตอรได

B

I= ´F L B

(4.4) สงเกตวาปรมาณทบอกทศการเคลอนทของประจคอ L

ซงเปนทศการกระจดของอนภาคใน

เสนลวดตวนา กระแสไฟฟา I เปนปรมาณของประจทไหลในเสนลวดและเปนปรมาณสเกลาร

แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปราง แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปรางหาไดโดยการแยกพจารณาเสน

ลวดออกเปนสวนสน ๆ แลวรวมแรงทกระทาจากแตละสวนเขาดวยกน เนองจากทศของการกระจดตามแนวเสนลวดทามมกบสนามแมเหลกเปนคาตาง ๆ จงตองหาแรงโดยการพจารณาเสนลวดเปนสวนสน ๆ ds ซงมแรงกระทาเทากบ

B

d Id= ´F s B

แรงทกระทาตลอดแนวเสนลวดหาไดจากการรวมแรงยอย ๆ B

dF

จากจด a ไป b

b

B

a

Id= ´òF s B

เนองจากกระแสไฟฟาทไหลผานสวนสน ๆ ds มคาคงทตลอดเสนลวด อกทงสนามแมเหลกทกระทากบสวนยอย ds มขนาดและทศทางคงทตลอดเสนลวด ดงนนกระแสไฟฟา I และสนามแมเหลก B

จงไมขนกบการอนทเกรต จดรปสมการใหมได

b

B

a

I dæ ö÷ç ÷ç= ´÷ç ÷ç ÷è øòF s B

จะเหนวา b

a

dò s คอ การรวมเวกเตอรสวนสน ๆ ds จาก a ไป b ดงนน

b

a

d ¢=ò s L

inB

inB

inB

I = 0

I I

รป 4 แรงแมเหลกทกระทากบเสนลวดเมอมกระแสไฟฟา [1]

inB

b

a

ds

¢L

I

รป 5 ผลลพธจากการรวมเสนลวดสวนสน ๆ [1]

 52  สนามแมเหลก

เวกเตอรลพธ (เปนเสนตรง) ¢L

ทชจากจด a ไป b ดงนนแรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปรางจะได

B

I ¢= ´F L B

(4.5) สงเกตวาถาเสนลวดมรปรางทเปลยนไปแตยงคงผานจด a และ b แรงแมเหลกทเกดขนจะไมขนกบรปรางของเสนลวดเลย และอกกรณทนาสนใจคอถาเสนลวดเปนเสนปด (จด a และ b อยทเดยวกน) แรงแมเหลกทกระทากบเสนลวดจะเปนศนย

ทดสอบ เสนลวดลกษณะตาง ๆ ดงรป อยในสนามแมเหลกทเหมอนกน ระยะจากจด A และ B เปน 1 เมตร จงเรยงลาดบแรงทกระทาตอเสนลวดในแตละกรณจากมากไปนอย

ทอรคเนองจากกระแสไฟฟาในลวดตวนาวงปด แมวาแรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาวงปดจะเปนศนย แตถาพจารณา

สวนยอย ๆ ของวงปดจะพบวามแรงแมเหลกกระทากบสวนตาง ๆ ของวงปด พจารณาวงปดรปสเหลยมดงรป จะเหนวาสวนท 1 และ 3 วางตวในแนวเดยวกบสนามแมเหลกจงไมมแรงแมเหลกกระทากบสวนท 1 และ 3 เมอพจารณาสวนท 2 และ 4 ซงวางตวในแนวตงฉากกบสนามแมเหลก พบวาแรงแมเหลกทกระทากบสวนท 2 มขนาดเทากบ IBa มทศพงออกจากระนาบ และสวนท 4 มขนาดเทากบ IBa เชนกนแตมทศพงเขา แรงคควบนทาใหเกดทอรคกระทากบวงปด แมวาแรงลพธทเกดขนกบทงวงปดจะเปนศนย

พจารณารปดานขางของวงปดขณะทวงปดบดตวไปทาใหเวกเตอรพนทของวงปด (A

) ทามม กบทศของสนามแมเหลก สวนท 2 ของวงปดซงกระแสไฟฟามทศพงออก สนามแมเหลกไปทางขวา ทาใหแรงแมเหลก 2F

มทศขนมขนาดเทากบ IBa ดงนนทอรค ( = ´τ r F

) เนองจาก

2F

จะมทศพงเขามขนาดเทากบ

sinb

F 2 2=2

พจารณาสวนท 4 ของวงปดซงกระแสไฟฟามทศพงเขา สนามแมเหลกไปทางขวา ทาใหแรงแมเหลก 4F

มทศลงมขนาดเทากบ IBa ดงนนทอรคเนองจาก 4F

จะมทศพงเขามขนาดเทากบ

sinb

F 4 4=2

ดงนนทอรคลพธทกระทากบวงปดจะมทศพงเขาและมขนาดเทากบ

A

A

A

A

B

B

B

B

(a) (b)

(c) (d)

25

25

รป 6 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]

I

I

II

B

a

b

2F

4F

A

B

b

2

sinb 2

รป 7 แรงแมเหลกในลวดตวนาวงปด [1]

 53สนามแมเหลก

sin sin

sin

sin

b bF F

IBab

IBA

2 4

2 4

= +

= +2 2

==

จะเหนวาทอรคลพธทกระทากบวงปดนน สอดคลองกบการคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรพนท A

กบสนามแมเหลก B

ตามกฎมอขวา ทอรคมคามากทสดเมอสนามแมเหลกมทศตงฉากกบเสน

ปกตของพนทของวงปด ดงนนจะเขยนสมการเวกเตอรได I= ´τ A B

(4.6) ปรมาณ IA

เกดจากกระแสไฟฟาไหลวนในวงปดทาใหวงปดสามารถมอนตรกรยากบ

สนามแมเหลกได เหมอนวาวงปดนทาตวกลายเปนแทงแมเหลกเมอมกระแสไฟฟาไหลจงเรยกปรมาณนวา โมเมนตขวคแมเหลก (magnetic dipole moment)

I=μ A (4.7)

ทศทางของ μ หรอ A

หาไดจากกฎมอขวา โดยใหนวทงสแทนทศการไหลวนของกระแสไฟฟาในวงปดนวโปงจะเปนทศของโมเมนตขวคแมเหลก μ ดงนนทอรคทกระทากบวงปดทมกระแสไหล (โมเมนตขวคแมเหลก) จะเทากบ

= ´τ μ B (4.8)

ทงนถาวงปดประกอบดวยลวดตวนาทพนไวเปนจานวน N รอบ ทอรคทเกดขนกจะเพมขนตามจานวนรอบทพน จะได

NI= ´τ A B (4.9)

ทดสอบ ถาลวดตวนาวงปดรปสเหลยม และวงกลมซงมพนทเทากนวางตวในสนามแมเหลก ถาใหกระแสไฟฟาขนาดเทากน รปทรงใดจะมทอรคแมเหลกสงกวา

(1) สเหลยม (2) วงกลม (3). เทากน (4) ขอมลไมเพยงพอ

ทดสอบ เสนลวดวงปดลกษณะตาง ๆ วางตวในสนามแมเหลกดงรป กระแสไฟฟาในวงปดมขนาดเทากน จงเรยงลาดบทอรคและแรงลพธทกระทากบวงปดแตละวงจากมากไปนอย

สนามแมเหลกจากกระแสไฟฟาในลวดตวนา เมอมกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาจะทาใหเกดสนามแมเหลกได สนามแมเหลกทเกดขนจะม

ทศตามกฎมอขวาเมอใหนวโปงแทนทศการไหลของกระแสไฟฟา นวทงสแทนทศของสนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนา ทงนขนาดของสนามแมเหลกและทศทางสามารถหาไดจากกฎของ บโอต-ซาวารต

(a) (b) (c)

I

μ

A

รป 8 ทศของโมเมนตแมเหลกตามกฎมอขวา [1]

รป 9 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]

I

B

รป 10 ทศของสนามแมเหลกตามกฎมอขวา [1]

 54  สนามแมเหลก

กฎของบโอต-ซาวารต (The Biot–Savart Law) อธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟา ( I ) โดยสนามแมเหลกแปรผกผนกบ

ระยะทาง ( r ) จากสวนของตวนาทมกระแสไฟฟาไปยงจดทตองการทราบคาสนามแมเหลก และสนามแมเหลกขนกบความเขมของกระแสไฟฟาและขนาด (เชน ความยาว หรอรปราง) ของตวนา ทงนตนกาเนดของสนามแมเหลกคอกระแสไฟฟาทอย ในเสนลวด ดงนน สงททาให เกดสนามแมเหลกคอสวนของเสนลวดสน ๆ ( ds ) ทมกระแสไฟฟา I ตนกาเนดของสนามจงเกดจากปรมาณ

I ds ซงเหมอนเปนสงททาใหเกดสนามแมเหลกปรมาณ dB

0

2

´=

4

ˆI dd

r

s rB (4.10)

จะเหนวาสมการนอธบายความสมพนธของสงททาใหเกดสนาม ( I ds ) กบสนามแมเหลกทลดลง

ตามระยะทางกาลงสอง โดยคา 0 เปนคาคงตวทอธบายลกษณะของตวกลางซงในทนเปนสญญากาศ เรยกคานวาสภาพซมซาบของตวกลางสญญากาศ (permeability of free space) มคาเทากบ -74 ´10 ⋅T m A ทศของสนามแมเหลกเปนไปตามกฎมอขวา หาไดจากการคณแบบเวกเตอรระหวางทศทางการไหลของกระแสไฟฟากบเวกเตอรทชจากจดกาเนดกระแสไฟฟาไปยงจดทตองการหาสนามแมเหลก ในการหาสนามแมเหลกทเกดจากวตถทมรปราง (เชน เสนลวด วตถทเปนระนาบหรอเปนกอน) จาเปนตองรวมผลของสนามทเกดจากสวนกาเนดทมกระแสไฟฟาหรอจดกาเนดสนามทงหมด ดงนน

ˆI d

r

0

2

´=

4óõ

s rB

(4.11)

ทดสอบ จงเรยงลาดบขนาดของสนามแมเหลกเนองจากอทธพลของเสนลวดตวนาสวนสน ๆ ds ทจด A B และ C จากมากไปนอย

ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนา หาสนามแมเหลกทจด P เนองจากลวดยาววางตวบนแกน x และมกระแสไฟฟา I วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต

A

B C

ds

I

O Ix

yP

ar

r

dsx

d dx=s

รป 12 รปประกอบตวอยาง [1]

รป 11 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]

 55สนามแมเหลก

หาสนามแมเหลกทจด P จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสนสน ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด

dB

´=

0

2

ˆ

4

I dd

r

s rB

เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอน แลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก พจารณาทศทางของสนามแมเหลกตามกฎมอขวาโดยใหนวทงสชไปทางทศของ ds แลวพบนวทงสไปยงทศทชจากสวนของเสนลวดไปยงจดทจะหาสนาม P จะไดทศของสนามแมเหลกมทศตามนวโปงซงชออกจากหนากระดาษใหเปนทศ k และปรมาณ ˆI d ´s r

มขนาดเทากบ sinI ds เขยนสมการใหมไดเปน

0

2

sin

4

I dsdB

r

=

จะเหนวา ds dx= เปนระยะสน ๆ บนแกน x ซงแตละสวนสน ๆ นจะใหคา r และ ทตางกนออกไปตลอดความยาวเสนลวด ดงนนในการอนทเกรตเพอหาสนามแมเหลกรวมทเกดขนทจด P จาเปนตองเปลยนตวแปรในการอนทเกรตใหสอดคลองกน เพอความสะดวกจะเปลยนตวแปรใหอยในรปของมม ผานความสมพนธทเกดจากรปสามเหลยมทมดานยาว x r และ a ดงน

sin

ar

=

และ

1

2 2

2

2 2

2

tan

(tan )

(tan ) sec

cos 1

sin cos

sin

ax

dxa

d

a

a

adx d

-

-

=-

=-

=

=

=

ซงตดลบเพราะ x มคาเปนลบ จะได

20 sin sin

4

I adB

=2 2sina

0 sin4

d

Id

a

=

รวมสนามแมเหลกจากสวนสน ๆ ตลอดความยาวลวดโดยเรมตงแตจดปลายทมม 1

ถงมม 2

2

1

2

1

0

0

01 2

sin4

( cos )4

(cos cos )4

IB d

a

I

a

IB

a

=

= -

= -

óôõ

1

2

P

รป 13 แสดงมมจากผลเฉลย

 56  สนามแมเหลก

ถาลวดยาวมากจะไดสนามแมเหลกเปน

0

0 0

(cos0 cos )4

(2)4 2

IB

a

I I

a a

= -

= =

ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทเปนสวนโคงของวงกลม หาสนามแมเหลกทจด O เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทเปนสวนโคงของวงกลมรศม R และรองรบมม วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต

หาสนามแมเหลกทจด O จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสน สน ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด

dB

´=

0

2

ˆ

4

I dd

r

s rB

เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอน แลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก จากรปจะแบงเสนลวดตวนาได 3 สวน คอ สวนของเสนตรง A A¢ สวนโคง AC และสวนของเสนตรง CC¢ จะเหนวาสวนของเสนตรงทง 2 สวนจะไมทาใหเกดสนามแมเหลกทจด O เนองจากทศของ ds กบ r อยในแนวเดยวกน ดงนนสนามแมเหลกเกดจากสวนโคงเทานน พจารณาทศทางของสนามแมเหลกตามกฎมอขวาโดยใหนวทงสชไปทางทศของ ds แลวพบนวทงสไปยงทศทชจากสวนของเสนลวดไปยงจดทจะหาสนาม O จะไดทศของสนามแมเหลกมทศตามนวโปงซงชเขาหนากระดาษ และปรมาณ ˆI d ´s r

มขนาดเทากบ sin 90I ds ตลอดสวนโคงเขยนสมการใหมไดเปน

0

24

I dsdB

r

=

จะเหนวา ds เปนระยะสน ๆ บนสวนโคง AC ซงแตละสวนสน ๆ นจะหางจากจด O เปนระยะ R ทงหมด ดงนนอนทเกรตหาสนามแมเหลกรวมทจด O ได

02

02

0 02

4

4

( )44

C

A

C

A

I dsB

R

Ids

R

I IR

RR

=

=

= =

óôõ

ò

O

R

R

A

A¢

CC ¢

dsr

I

รป 14 รปประกอบตวอยาง [1]

 57สนามแมเหลก

เมอความยาวของสวนโคงของวงกลม AC R= หาไดจากผลคณของรศมวงกลมกบมมทรองรบ ถาสวนโคงครบรอบวงกลมพอด จะไดสนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดวงกลม

เปน

0

0

0

4

(2 )4

2

IB

R

I

R

I

R

=

=

=

ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาวงกลม หาสนามแมเหลกทจด P เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทเปนวงกลมรศม R และอยหางจากจดศนยกลางวงกลมเปนระยะ x ดงรป

วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต หาสนามแมเหลกทจด P จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสน ๆ

ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด

dB

´=

0

2

ˆ

4

I dd

r

s rB

เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอนแลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก จากรปจะเหนวาทกสวนสน ๆ ds ทามม 90 กบเวกเตอร r ทชจากสวน ds ไปยงจด P ดงนนขนาดของสนามแมเหลกเนองจากสวน ds เทากบ

024

I dsdB

r

=

พจารณาสนามแมเหลกเนองจากสวน ds ตลอดแนววงกลมแมวาขนาดของแตละสวนจะเทากนแตทศทางของสนามแมเหลก dB

จะทามม กบแนวแกน x เมอแยกองคประกอบของสนาม

ออกเปนสองแนวทตงฉากกนจะไดองคประกอบ x

dB

cos

xdB dB

RdBr

=

=

และ R

dB จะเหนวาทกสวนสน ๆ ds ตลอดแนววงกลมจะมองคประกอบ x

dB ไปทางเดยวกน แตองคประกอบ

RdB ทอยในระนาบ yz จะกระจายออกตามแนวรศมรอบจด P ซงหกลางกน

หมดพอด ดงนนสนามแมเหลกทจด P จะมทศไปทางแกน x เนองจากการรวมองคประกอบ

xdB ของทกสวน ds จนครบรอบวงกลม

y

z

x

dBR

dB

xdB

RO

rds

PI

r

x

รป 15 รปประกอบตวอยาง [1]

 58  สนามแมเหลก

x

I RB ds

r r

0

2

1=

4óôõ

จะเหนวาทกสวนสน ๆ ds อยหางจากจดศนยกลางของวงกลมเปนระยะ R และหางจากจด P เปนระยะ ( )r x R 1 22 2= + เหมอนกนตลอดเสนรอบวงกลม ดงนน

x

IRB ds

r

0

3=4 ò

ผลรวมของสวนสน ๆ ds รอบวงกลม ds R= 2ò คอเสนรอบวงของวงกลมรศม R

( )

( )

x

P

IRB R

r

IR

r

IRB

x R

03

20

3

20

3 22 2

= 24

=2

=2 +

กฎของแอมแปร (Ampere's Law) ใชหาความสมพนธระหวางกระแสไฟฟากบสนามแมเหลก โดยผลรวมของผลคณระหวาง

สนามแมเหลก B ตามแนวเสนทางปดสมมต ทวนรอบลวดตวนา ขนกบกระแสไฟฟา I ในลวดตวนา

B I 0=å (4.12)

d I0⋅ =ò B s (4.13)

ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทยาวมาก หาสนามแมเหลกทระยะหาง a เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทยาวมาก (ความยาวของเสนลวดมากกวาระยะหาง a มาก) วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร

การใชกฎของแอมแปรจาเปนตองสมมตเสนทางปดทวนรอบทางเดนของกระแสไฟฟา ในระบบลวดตวนาเสนตรงทยาวมากสนามแมเหลกของจดทอยหางจากเสนลวดเปนระยะทางเทากนยอมมคณสมบตเหมอนกน ดงนนขนาดของสนามแมเหลกทระยะหาง a รอบเสนลวดจะตองเทากน (มสมมาตรแบบวงกลม) รอบเสนลวด เมอพจารณาทศทางของสนามแมเหลกจากกฎมอขวาโดยใหนวโปงแทนทศของกระแสไฟฟา นวทงสแทนทศของสนามแมเหลกทวนเปนวงกลมรอบเสนลวดตวนา ดงนนการหาสนามแมเหลกของระบบจะงายขนถากาหนดเสนทางปดเปนวงกลมรศม a โดยใหลวดตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลมดงรป จะเหนวาสนามแมเหลกจะมขนาดคงตวและมทศเดยวกบทศของเสนสมผสตลอดเสนทางปดวงกลมรศม a รอบเสนลวด จะได

d I

Bds I

B ds I

0

0

0

⋅ =

=

=

òòò

B s

ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม a จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน a2 ดงนน

( )B a I

IB

a

0

0

2 =

=2

สนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนาทระยะหาง a เทากบ I a 0 2

I เสนทางปดใดใด

B

B

รป 16 เสนทางปดใดใดเพอใชหาสนามแมเหลกในแนวเสนสมผส [2]

Ba

I

รป 17 รปประกอบตวอยาง [2]

 59สนามแมเหลก

ทดสอบ เรยงลาดบขนาดของ d⋅ò B s ในวงปด a , b , c , d จากนอยไปมาก

ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทยาวมาก เสนลวดยาวมกระแสไฟฟา .5 00 A จงหาคาสนามแมเหลกทงขนาดและทศทางทเกดจากเสนลวดนทระยะหาง .4 00 mm วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร

สนามแมเหลกเนองจากเสนลวดยาวจะมสมมาตรในแนวรศม ขนาดของสนามแมเหลกทระยะหาง r = .4 00 mm รอบเสนลวดจะเทากน โดยมสนามแมเหลกมทศวนเปนวงกลมรอบเสนลวดตวนา กาหนดใหเสนทางปดเปนวงกลมรศม r โดยใหลวดตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลม จะได

d I

B ds I

0

0

⋅ =

=

òò

B s

ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม r จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน r2 ดงนน

( )B r I

IB

r

0

0

2 =

=2

สนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนาทมกระแสไฟฟา .5 00 A ทระยะหาง .4 00 mm เทากบ

( ) .

( . )

. T

IB

r

0

-7

-3

-4

=24 ´10 ´5 00

=2 ´ 4 00´10

= 2 50´10

ตวอยาง สนามแมเหลกในเสนลวด เสนลวดยาวรศม R มกระแสไฟฟา I จงหาคาสนามแมเหลกทงขนาดและทศทางทเกดจากเสนลวดนทระยะตาง ๆ r วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร

a

b

c

dA1 A5

A2

a

b

c

d

I

R

rds

21

รป 18 รปประกอบตวอยาง [1]

 60  สนามแมเหลก

สนามแมเหลกจากเสนลวดมสมมาตรในแนวรศม และมทศวนเปนวงกลมรอบทศการไหลของกระแสไฟฟาทลอมรอบภายในวงปด

inI กาหนดใหเสนทางปดเปนวงกลมรศม r โดยใหลวด

ตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลม จะได

in

in

d I

B ds I

0

0

⋅ =

=

òò

B s

ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม r จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน r2 ดงนน

in

in

( )B r I

IB

r

0

0

2 =

=2

เนองจากเสนลวดมขนาดรศม R เพอความสะดวกควรแบงบรเวณทพจารณาสนามแมเหลกเปนสองสวนคอสวนท 1 บรเวณภายนอกเสนลวด (R r£ ) และสวนท 2 บรเวณภายในเสนลวด (

r R0< £ ) ในบรเวณท 2 ( r R0< £ ) วงปดจะมขนาดเลกกวารศม R กระแสไฟฟาทลอมรอบดวยวง

ปด inI จะนอยกวากระแสไฟฟาทงหมด I ทผานพนทหนาตดของเสนลวด ถาประมาณวาความ

หนาแนนของกระแสไฟฟาสมาเสมอตลอดพนทหนาตด R 2 ของเสนลวดรศม R กระแสไฟฟา

inI ทอยภายในวงปดรศม r ซงมพนทหนาตดเปน r 2 จะมเทากบ

in

r rI I I

R R

2 2

2 2

æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø

ดงนนสนามแมเหลกในบรเวณ r R0< £ มทศวนทวนเขมนาฬกาและมขนาด

inI

Br

I r

r R

IB r

R

0

20

2

02

=2

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç2 è øæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷2è ø

ในบรเวณท 1 (R r£ ) วงปดจะทลอมรอบเสนลวดทมกระแสไฟฟา I ดงนนกระแสไฟฟาทอยภายในวงปด

inI I= จะไดสนามแมเหลกมทศวนทวนเขมนาฬกาและมขนาด

inI I

Br r

0 0= =2 2

ลวดโซลนอยด โซลนอยดไดจากการพนลวดหลาย ๆ รอบ N ให เปนเกลยวคลายขดสปรง ทาให

สนามแมเหลกภายในขดโซลนอยดมความสมาเสมอและมความเขมสงเมอมกระแสไฟฟา I ในเสนลวด โดยทวไปลวดทพนเปนขดสปรงจะอยชดกนมาก รศมของขดโซลนอยดนอยกวาความยาวของโซลนอยดมาก การหาคาสนามแมเหลกจากโซลนอยดจงพจารณาไดจากการรวมสนามแมเหลกทเกดจากลวดวงปดหลายวงซอนกน

พจารณาภาคตดขวางของโซลนอยดจะเหนวาทางดานทกระแสไฟฟาพงออก สนามแมเหลกทางซายของโซลนอยมทศลง สวนภายในแกนโซลนอยดและดานขวามทศขน เมอพจารณาดานทกระแสไฟฟาพงเขา สนามแมเหลกทางขวาของโซลนอยมทศลง สวนภายในแกนโซลนอยดและดานซายมทศขน จะเหนวาสนามแมเหลกภายในโซลนอยดจะมความเขมสงเนองจากสวนของกระแสทพงออกและพงเขาเสรมกน แตบรเวณภายนอกโซลนอยดจะมสนามแมเหลกออนมากเพราะสนามแมเหลกจากสวนของกระแสทพงออกและพงเขาหกลางกน เสนสนามแมเหลกของโซล

B

w

1

2

3

4

รป 19 การหาสนามแมเหลกในลวดโซลนอยดโดยใชกฎของแอมแปร [1]

 61สนามแมเหลก

นอยดจงมลกษณะดงรป เมอใชกฎของแอมแปรหาสนามแมเหลกโดยสรางวงปดสเหลยมดงรป แบงไดเปน 4 บรเวณ

in

in

I d

I d d d d

0

0 1 2 3 41 2 3 4

= ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

òò ò ò ò

B s

B s B s B s B s

จะเหนวาวงปดกวาง w ยาว ลอมรอบเสนลวด N เสน มจานวนขดตอความยาวเปน n N= มกระแสไฟฟา I ดงนน

inI NI= พจารณา d⋅B s

ในแตละสวนตลอดเสนทางปดในทศตามเขมนาฬกา เสนทางท 3 เปนศนยเนองจากสนามแมเหลกภายนอกโซลนอยดมคานอยมาก B3 = 0 เสนทางท 2 และ 4 เปนศนยเนองจากทศของสนามแมเหลกในบรเวณนตงฉากกบเสนทาง เสนทางท 1 สนามแมเหลกมขนาดสมาเสมอและอยในแนวเดยวกบเสนทาง ดงนน

ind I

B ds NI

B ds NI

B NI

NB I

1 01

1 01

1 01

1 0

1 0

⋅ =

=

=

=

=

ò

ò

ò

B s

NB I nI 0 0= =

(4.14)

สนามแมเหลกภายในโซลนอยดขนกบจานวนรอบในการพนและสงทเปนแกนของโซลนอยด ซงเปนสญญากาศ ( 0 ) ถาใชวสดอนทมคาสภาพซมซาบของตวกลาง (permeability) มากกวาสญญากาศจะทาใหสนามแมเหลกมความเขมมากขนโดยใชกระแสไฟฟาเทาเดม

แรงแมเหลกระหวางลวดตวนาสองเสนทมกระแสไฟฟา ลวดตวนาทมกระแสไฟฟาจะสงแรงกระทาตอกนไดเนองจากผลของสนามแมเหลกทเกดจาก

กระแสไฟฟา พจารณาเสนลวดสองเสนหางกน a มกระแสไฟฟาในเสนท 1 เปน I1 ไปทางขวาและเสนท 2 เปน I2 ไปทางขวา ถาคดวากระแสไฟฟาในเสนท 2 ทาใหเกดสนามแมเหลก 2B

ขนาด

IB

a

0 2

2 = 2

มทศพงออกจากระนาบดงรปโดยใหนวโปงแทนทศของกระแสนวทงสเปนทศของสนามแมเหลก แลวกระแสไฟฟาในเสนท 1 อยภายใตสนามแมเหลกนทาใหเกดแรงแมเหลกกระทากบเสนลวดท 1 มทศเขาหาเสนลวดท 2 จาก F I= ´l B

โดยใหนวทงสชไปทางทศของกระแสไฟฟา I1 แลวพบ

ไปหาทศของสนามแมเหลก 2B

นวโปงแทนผลลพธทชลง ขนาดของแรงทเกดขนเปน

F I B

I I

aI IF

a

1 2

0 1 2

0 1 2

=

=2

=2

เมอกระแสไฟฟาไปในทศเดยวกนแรงทเกดขนจะดดเสนลวดทงสองเขาหากน ถาใหกระแสไฟฟาสวนทางกนแรงทเกดขนจะผลกเสนลวดออกจากกน

รป 20 ภาพจาลองเสนสนามแมเหลกจากลวดโซลนอยด [copyright by Paul Nylander]

1

2a

a

I1

I2

2B

1F

รป 21 แรงแมเหลกระหวางลวดตวนาสองเสน [1]

 62  สนามแมเหลก

ทดสอบ ถา . AI1 = 2 0 และ . AI2 = 6 0 แรงทกระทากบลวดเสนท 1 (F1 ) และเสนท 2 (F2 ) เปนอยางไร

(1) F F1 2= 3 (2). F F1 2= (3) F F1 2= 3

ฟลกซแมเหลก ฟลกซแมเหลกเปนปรมาณของสนามแมเหลกททะลผานและตงฉากกบพนท มนยามคลายคลง

กบฟลกซไฟฟาในหวขอทผานมา โดย

Bd = ⋅ò B A

T m Wb2é ù⋅ =ê úë û (4.15)

A

มทศตามเวกเตอรปกตทตงฉากกบระนาบของพนทฟลกซแมเหลกมหนวยเปนเวเบอร

   

 63สนามแมเหลก

แบบฝกหด 1) แรงลอเรนซ (Lorentz force) อธบายแรงทเกดขนกบประจเนองจากสนามใดบาง และทศทางของแรงทกระทากบประจบวกและลบเนองจากสนามเปนอยางไร 2) โปรตอนเคลอนทไปทางทศตะวนออก พบวามแรงกระทาในทศขนไปบนฟา และเมอเคลอนทไปทางทศเหนอจะไมมแรงกระทา ถาสนามแมเหลกโลกทบรเวณนนมคา . T55 0

1) สนามแมเหลกโลกมทศใด (ตอบ ชไปทางทศเหนอ) 2) ถาโปรตอนเคลอนทไปในทศตะวนออกเฉยงใตทามม 120 กบทศเหนอดวยอตราเรว

. m s52 50´10 จะมแรงกระทาขนาดเทาใดและในทศทางใด (ตอบ . N-181 91´10 มทศขน)

3) ถาอเลกตรอนตวหนงเคลอนทไปทางทศตะวนตกดวยอตราเรว . m s52 50´10 จะมแรงกระทาขนาดเทาใดและในทศทางใด (ตอบ . N-182 20´10 มทศขน)

4) เปรยบเทยบขนาดของแรงทเกดขนกบแรงโนมถวงทกระทากบอเลกตรอน (มวลของอเลกตรอน . kg

em -31= 9 11´10 ) (ตอบ แรงแมเหลกมขนาดมากกวาแรงโนมถวง (

. N-308 93´10 ) ประมาณ 1110 เทา) 5) โดยทวไปเวลาเกดฟาผาจะมการเคลอนทของอเลกตรอนจานวนมากจากกอนเมฆสพนดน

ดงนนการเกดฟาผาบนโลก สายฟาจะเบยงเบนไปในทศทางใด (ตอบ ทศตะวนตก) 3) สายไฟฟามกระแสไฟฟา . A22 0 จากทศตะวนตกไปยงทศตะวนออก ถาบรเวณนมสนามแมเหลกโลกในแนวระดบและชจากทศใตไปยงทศเหนอขนาด . T-40 500´10

1) ขนาดและทศทางของแรงแมเหลกทกระทาบนสายไฟฟาในชวงความยาว . m36 0 เปนเทาใด กาหนดใหคาสภาพซมซาบทางแมเหลกของตวกลางเทากบ T m A -74 ´10 ⋅ (ตอบ . N-23 96´10 ทศขน)

2) แรงโนมถวงทกระทากบสายไฟฟาเสนเดยวกนนมขนาดเทาใด สมมตวาสายไฟทาจากทองแดงมพนทหนาตด . m-6 22 50´10 ความหนาแนนของทองแดงเทากบ . 38 92´10

kg m3 (ตอบ . N7 87 )

4) เสนลวดสองเสนแตละเสนมนาหนกตอความยาวเทากบ . N m-41 00´10 วางขนานกน เสนลางถกตรงไว ลวดเสนบนวางสงขนไป . m0 10 ในแนวดง ถากระแสไฟฟาทไหลในเสนลวดมขนาดเทากนแตมทศตรงขาม

1) แรงแมเหลกทกระทากบลวดเสนบนมทศใด (ตอบ มทศขน) 2) ถาผลรวมของแรงแมเหลกกบแรงโนมถวงทกระทาในลวดเสนบนเปนศนย จงหาขนาดของ

กระแสไฟฟาทไหลในเสนลวด (ตอบ . A7 07 )

5) กฎของบโอต-ซาวารต อธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากปรมาณใด และสนามแมเหลกทเกดขนมความสมพนธกบตนกาเนดสนามแมเหลกอยางไร 6) กฎของแอมแปรอธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากปรมาณใด เปรยบเทยบกบกฎของบโอต-ซาวารต และมความคลายคลงกบกฎของเกาสอยางไร

 64  สนามแมเหลก

7) ขดลวดมลกษณะดงภาพ มกระแสไฟฟาสมาเสมอไหลผาน . A2 51 บรเวณทเปนสวนโคงมรศม R L= 2 และดาน . cmL=10 0 จงหาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกทจด O (ตอบ . T30 0 มทศพงเขา)

L/2

L

I

I

R

8) ลวดตวนายาวมากจานวน 3 เสนตงฉากกบระนาบกระดาษมกระแสไฟฟาผานเสนละ . A5 00 มทศทางดงรป จงหาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกทจด P ซงอยหางจากลวดทงสามเปนระยะ . cm5 00 (ตอบ . T44 7 มทศทามม .26 6 กบแกน y- )

9) สายเคเบลทมแกนรวมกนยาวอนนตและวางตวตงฉากกบระนาบกระดาษมกระแสไฟฟาไหลสมาเสมอ โดยลวดดานใน

in. AI =19 9 มทศพงออกและดานนอก

out. AI =1 99 มทศพง

เขา จงคานวณหาขนาดของสนามแมเหลก ณ ตาแหนงทหางจากแกนรวมของเคเบลดงน

1) R a< (ตอบ in

RI

R a

20

2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç2 è ø มทศทวนเขมนาฬกา)

2) a R b< < (ตอบ inI

R

0

2 มทศทวนเขมนาฬกา)

3) b R c< < (ตอบ in out

( )R bI I

R c b

2 20

2 2

é ù-ê ú-ê ú2 -ë û มทศทวนเขมนาฬกาเมอผลลพธเปน

บวก)

4) c R< (ตอบ in out

( )I IR

0 -2

มทศทวนเขมนาฬกาเมอผลลพธเปนบวก)

a

b

c

+

P5cm

5cm

5cm+