01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XA

Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X 1

2 Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

Bab I Bentuk Pangkat, Akar, danLogaritma

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bBerdasarkan definisi bilangan berpangkat positifbahwaan = a × a × a × . . . × a

n faktor

maka 43 = 4 × 4 × 42. Jawaban: e

62 : 2–2 = 62 × 21

2− = 62 × 22

= (6 × 2)2

= 122 = 1443. Jawaban: b

(xp – 2 yp – 1)2 = (xp – 2)2 (yp – 1)2 → sifat (ab)p = apbp

= x2(p – 2) y2(p – 1) → sifat (ap)q = apq

= x2p – 4 · y2p – 2

4. Jawaban: e2 2 2

4(2x y )

z

−

: 4

3xzyz

−

− = 1 4 44

4

x y

z

− −

: 4

3xzyz

−

− = 4 4

4x y

4z

− −

× 3

4yzxz

−

−

= 14

x–4y–4 · z–4 · y · z–3 · x–1 · z4

= 14

· x–4 – 1 · y–4 + 1 · z–4 – 3 + 4

= 14

x–5 y–3 z–3 = 5 3 31

4x y z

5. Jawaban: a

(a – b)–3 2a b

b a

− + −

· 31

(a b)−+

= (a – b)–3 2

2(a b)(b a)

−

−+− · 3

1(a b)−+

= (a – b)–3 (a + b)–2 (b – a)2 (a + b)3

= (a – b)–3 (–1(a – b))2 (a + b)–2 + 3

= (a – b)–3 (–1)2 (a – b)2 (a + b)

= (a – b)–3 + 2 (a + b)

= (a – b)–1 (a + b) = (a b)(a b)

+−

Jadi, bentuk sederhana dari

(a – b)–3 2a b

b a

− + −

· 31

(a b)−+ adalah (a b)

(a b)+−

.

6. Jawaban: an 2 2 2 2n

n n 2(2 ) 2 2

2 2

+

+− ⋅

⋅=

2(n 2) 2 2n

n n 22 2

2

+ +

+ +−

= 2n 4 2 2n

2n 22 2

2

+ +

+−

= 4 2n 2 2n

2n 22 2 2 2

2 2⋅ − ⋅

⋅

= 2 2n 2

2n 22 2 (2 1)

2 2⋅ −

⋅

= 22 – 1 = 4 – 1 = 37. Jawaban: c

a–2 b–1 c2 = 2–2 · 3–1 · 62

= 2

26

2 3⋅ = 36

4 3⋅ = 3

Jadi, nilai a–2 b–1 c2 adalah 3.8. Jawaban: c

22x + 2–2x = (2x – 2–x)2 + 2 · 2x · 2–x

= 42 + 2 · 2x – x

= 16 + 2 · 20

= 16 + 2 · 1 = 189. Jawaban: d

3 2 0 5 0 2

0 4 2(x y ) (x y )

(x y )

− − −

− = 5 2

4 21 (x )

(y )

− −

−⋅

= 10

8xy− = x10y8

10. Jawaban: b

1

–1 –11 2m2 – m

− +

–1m– 22m =

21+

m1 1

–2 m

· m–22m

= m+2

mm–22m

· m–22m

= 2m(m + 2)m(m – 2)

· m(m – 2)2

= m(m + 2)


B. Uraian

1. a.4 3

2 22 5

(2 5)×× =

4 3

4 22 52 5

×× = 5

b. (6–2)3 × 5

623− = (6–6) ×

5

623−

= (2 × 3)–6 × 25 × 36

= 2–6 × 3–6 × 25 × 36

= 2–1 = 12

2. v = EB =

46 100,2×

= 30 × 104

= 3 × 10 × 104

= 3 × 101 + 4

= 3 × 105 m/sJadi, laju gerak partikel adalah 3 × 105 m/s.

3. a. 3x–2y–2z4 = 3 · 3–2 · (13

− )–2 · 24

= 3–1 · (3–1)–2 · 24

= 13 · 9 · 16

= 3 · 16 = 48

b.3 2 2 2 1 1

2 1x y z x y z

xy z

− − −

−+

=

2 13 2 2 11 13 3

2 113

3 2 (3 ) 2

3 2

− − −− −

−−

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= 1 1 19 9 2

1 13 2

27 4 ( 3)⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ =

1 13 2

1 13 2

3 4⋅ − ⋅

⋅

= 16

16

12 − =

71616

= 6716

= 71

4. a.− −

2 1

3 4

2x yy x

= (x2 · x–4 · y–1 · y–3)–2

= (x2 – 4 y–1 – 3)–2

= (x–2 y–4)–2

= x4y8

b. − −

− 2 1

22 4 2x y x· ·

zy z

= 2 4 2

4 4 2

2x y xy z z

−

−

⋅ ⋅

= (x–2 · x2 · y4 · y–4 · z–4 · z2)2

= (x–2 + 2 · y4 – 4 · z–4 + 2)2

= (x0 · y0 · z–2)2

= z–4 = 41z

5.1

11 ab1 1

1

a b

−−− −

−

+=

ab

1

1

1 1a b

1−

−

+

= b a

b

1

b aab

1 −

+

−

= b

b ab a

ab

1−

+

−

= b a b

b a− −

− × ab

b a+

= 2 2a(ab)

b a−

− = 2

2 2( 1)(a b)

( 1)(a b )−

− −

= 2

2 2a b

a b−

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: dMisal x = 0,72 maka 100x = 72,72

100x – x = 72,72 – 0,72

⇔ 99x = 72

⇔ x = 7299

⇔ x = 811

Jadi, 0,72 senilai dengan 811 .

2. Jawaban: e

245 = 49 5× = 49 × 5 = 7 5

3. Jawaban: e

4 1.875 = 4 625 3× = 44 5 3×

= 4 45 × 4 3 = 45 3

4. Jawaban: c

3 8.192 = 2 3 8.192⋅ = 6 4.096 2⋅

= 66 4 2⋅ = 64 2

5. Jawaban: a

45 – 28 – 3 ( 125 – )63

= 9 5⋅ – 4 7⋅ – 3 ( 25 5⋅ – )9 7⋅

= 3 5 – 2 7 – 3 (5 5 – )3 7

= 3 5 – 2 7 – 15 5 + 9 7

= –12 5 + 7 7


6. Jawaban: e

3 – 27 + 6 9

= 3 – 9 · 3 + 6 9

= 3 – 3 3 + 6 · 3

= 3 – 3 3 + 18

= –2 3 + 18

= 18 – 2 3

7. Jawaban: b

516x y : 2x y = 5

2

16x y

x y =

5

216x y

x y

= 316x = 4x x

8. Jawaban: c3 2 + 6 4 + 9 8 = 3 2 + 6 22 + 9 32

= 3 2 +

62

222 +

93

332

= 3 2 + 3 2 + 3 2

= 3 3 29. Jawaban: a

6 90 4 24 5 562 2

+ − = 6 9 10 4 4 6 5 4 14

2 2× + × − ×

= 6 3 10 4 2 6 5 2 14

2 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= 18 2 5 8 2 3 10 2 72 2

⋅ + −

= 9 5 + 4 3 – 5 7

10. Jawaban: d2p + q – 2r

= 2 ( )5 75+ + 6 + 12 – 2 ( )2 12−

= 2 ( )5 25 3+ ⋅ + 6 + 4 3⋅ – 2 ( )2 4 3− ⋅

= 2 ( )5 5 3+ + 6 + 2 3 – 2 ( )2 2 3−

= 10 + 10 3 + 6 + 2 3 – 4 + 4 3

= 12 + 16 3

11. Jawaban: e

( )2 3 2 5+ + + ( )2 3 2 5− + + − ( )10 2 3+

= ( ) ( )( )3 2 5 2+ + + ( ) ( )( )3 2 5 2+ − +

( )10 2 3+

= ( ) ( )( )2 23 2 5 2+ − + ( )10 2 3+

= ( )3 4 3 4 5 2 10 2+ + − − − ( )10 2 3+

= ( )2 10 4 3− + ( )10 2 3+

= –20 – 4 30 + 4 30 + 24 = 4

12. Jawaban: aL = p ×

= ( )9 2 5 3− ( )3 2 3+

= 54 + 9 6 – 15 6 – 15

= 39 – 6 6

Jadi, luas persegi panjang ( )39 6 6− cm2.

13. Jawaban: e

15

5 × 4 25 × 81

625 × 4

125

= 15

5 × 4 25 × 84

15

× 42

15

= 15

5 × 5 × 15

× 15

= 15

14. Jawaban: a23

3

x yy x

⋅−

= 3 2

3

16 2727 16

⋅−

= 32 6

3 3 2

4 3

3 4

⋅

−

= 24 3

3 4⋅−

= 36

1− = –36

15. Jawaban: b

( )2 3 5+ − ( )2 3 5+ +

= 2 + 6 + 10 + 6 + 3 + 15 – 10 – 15 – 5

= 5 + 2 6 – 5

= 2 6

B. Uraian

1. a. 4 12 + 9 27 – 5 8

= 4 4 3⋅ + 9 9 3⋅ – 5 4 2⋅

= 8 3 + 27 3 – 10 2

= (8 + 27) 3 – 10 2

= 35 3 – 10 2

b. 7 322 28 7×

= 7 16 2

2 4 7 7⋅

⋅ ×

= 28 24 7 7×

= 28 228

= 2


2. a. misal x = 0,6

10x = 6,6

10x – x = 6,6 – 0,6

⇔ 9x = 6 ⇔ x = 69

misal y = 1,2

10y = 12,2

10y – y = 12,2 – 1,2

⇔ 9y = 11 ⇔ y = 119

0,2 + 1,4 = 69

+ 119

= 179

b. Misal x = 4,25

10x = 42,5

100x = 425,5

100x – 10x = 425,5 – 42,5

⇔ 90x = 383

⇔ x = 38390

Misal y = 1,1

10y = 11,1

10y – y = 11,1 – 1,1

⇔ 9y = 10

⇔ y = 109

42,5 – 1,1 = 38390 –

109

= 38390 –

10090 =

28390

c. Misal x = 0,14

100x = 14,14

100x – x = 14,14 – 0,14

⇔ 99x = 14

⇔ x = 1499

Misal y = 1,7

10y = 17,7

10y – y= 17,7 – 1,7

⇔ 9y = 16

⇔ y = 169

0,25 × 1,3 = 1499 ×

169 =

224891

d. Misal x = 3,412

10x = 34,12

1.000x= 3.412,12

1.000x – 10x = 3.412,12 – 34,12

⇔ 990x = 3.378

⇔ x = 3.378990 =

563165

Misal y = 1,06

10y = 10,6

100y = 106,6

100y – 10y = 106,6 – 10,6

⇔ 90y = 96

⇔ y = 9690 =

1615

3,412 : 1,06 = 563165 :

1615

= 563165 ×

1516

= 563176

3. a. 12

× 4 0,25 = 12 × 4

25100

= 12 ×

4

4

25100

= 12 ×

510

= 5

20 =

54 5×

= 5

2 5 =

12

b. ( )43 × ( )63 12 : ( )84 42

= 3 24

× 12 36

: 42 48

= 32 × 122 : 422

= 2 2

23 12

42× =

23 1242×

= 26

7

= 3649

4. a. ( )3 8 2 5+ ( )4 2 80−

= ( )3 4 2 2 5⋅ + ( )4 2 16 5− ⋅

= ( )6 2 2 5+ ( )4 2 4 5−

= 48 – 24 10 + 8 10 – 40

= 8 – 16 10


b. ( )23 5 7−

= ( )23 – 2 · 3 · 5 7 + ( )2

5 7

= 3 – 10 21 + 175

= 178 – 10 21

5. a. L = 2πr (r + t)

= 2 · 227 · 3 7 ( )3 7 5 7+

= 132 77

( )8 7 = 1.056 cm2

Jadi, luas permukaan tabung 1.056 cm2.

b. V = πr2t

= 227

( ) ( )23 7 5 7

= 227 · 63 · 5 7

= 990 7 cm3

Jadi, volume tabung 990 7 cm3.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cAkar sekawan dari a – b c adalah a + b c .

Jadi, akar sekawan dari 7 – 2 5 adalah 7 + 2 5 .

2. Jawaban: c

35 2

= 35 2

× 22

= 3 210

= 3

102

3. Jawaban: c27 45

3 5−− =

3 3 3 53 5

−−

= 3( 3 5)

3 5−

−

= 34. Jawaban: d

4(2+ 3)(2- 3)(3 + 5)

= 2 24(2 ( 3)

3 5−+

× 3 53 5

−−

= 24(4 3)(3 5)

3 ( 5)− −

− =

( )4 3 59 5

−−

= ( )4 3 54− = (3 – 5 )

5. Jawaban: cx yx y

+−

= x yx y

+−

× x yx y

++

= 2

2

x 2x y yx y

+ +−

6. Jawaban: a2 3

11 5+ = 2 3

11 5+ × 11 511 5

−−

= 2 33 2 15

11 5−− = 2( 33 15)

6−

= 33 153−

7. Jawaban: b

2 22 2 – 3− + = 2 2

2 2 – 3− + × 2 2 3

2 2 3++

= 4 2 4 6 3 2

8 9− + − +

−

= 2 21

− −−

= 2 + 2

8. Jawaban: d3

x 3−= 3

x 3− × x 3

x 3++

= 3x 3x 3

+−

9. Jawaban: b2 2

2 3 5+ += ( )

2 2

2 3 5+ + × ( )

( )2 3 5

2 3 5

+ −+ −

= ( ) ( )2 2

2 · 2 2 6 2 10

2 3 5

+ −

+ −

= 4 2 6 2 102 2 6 3 5

+ −+ + −

= 4 2 6 2 102 6

+ − × 66

= 4 6 2 · 6 2 · 602 · 6

+ −

= 4 6 12 4 1512

+ − = 4( 6 3 15)12

+ −

= 3 6 153

+ −

10. Jawaban: c2

17 – 2 2= 2

17 – 2 2 × 17 2 2

17 2 2++

= ( )2 17 2 217 8

+−

= 34 49

+ = 4 349

+


11. Jawaban: eK = 4 × s

= 4 × 13 1−

= 43 1−

= 43 1−

× 3 13 1

++

= 4 3 43 1

+−

= 4 3 42

+ = 2 3 + 2

Jadi, keliling persegi tersebut ( )2 3 2+ cm.

12. Jawaban: d2 32 3

+−

= 2 32 3

+−

× 2 32 3

++

= 2 2 6 31

+ +−

= 5 2 61

+− = –5 – 2 6

a – b 6 = –5 – 2 6diperoleh: a = –5 dan b = 2Sehingga:

ab

= 52

− × 22

= 5 22

− = –52

2

13. Jawaban: c( )( )9 5 2 5 1

38 5 19+ +

+=

18 5 9 10 538 5 19

+ + ++

= 19 5 1938 5 19

++

= ( )

( )19 5 1

19 2 5 1

++

= 5 1

2 5 1++ ×

2 5 12 5 1

−−

= 10 5 2 5 1

20 1− + −

− = 9 519−

14. Jawaban: a

10 2 21+ = (3 7) 2 3 7+ + ×

= (3 7) 2 3 7+ + ⋅

= ( )23 7+

= 3 + 715. Jawaban: c

19 8 3− = 19 2 16 3− ⋅

= (16 3) 2 16 3+ − ⋅

= 2( 16 3)−

= 16 – 3 = 4 – 3

B. Uraian

1. a.1 18 12

3

−= 1 11 1

2 22 3

3

−

= ( )1 1 12 2 3

3

−

= ( )1 12 3

6

− ×

1 12 3

1 12 3

+

+

= ( )1 1

2 31 12 3

6 +

− =

( )1 12 33 2

6

6

−

+

= 36 1 12 3

+

= 36 1 2 1 32 2 3 3

⋅ + ⋅

= 36 2 32 3

+

= 36 3 2 2 36

+

= 6 ( )3 2 2 3+

= 18 2 + 12 3

b. 7 37 3

−+

= 7 37 3

−+

× 7 37 3

−−

= 7 2 21 37 3

− +−

= 10 2 214

− = 5 212

−

c. 52 5 7− +

= ( )5

2 5 7− + × ( )

( )2 5 7

2 5 7

− −− −

= ( ) ( )2 2

10 5 35

2 5 7

− −

− −

= 10 5 352 2 10 5 7

− −− + −

= 10 5 352 10− −

−

= 1 5 352 1010

(1 )− − −

= 1 5 10 35 102 1010

(1 )− − −

= 1 1 35010

2 2 10(1 )− − −

= 1 1 5 1410

2 2 10(1 )− − −

= 1 1 1

10 142 2 2

(1 )− − −

= 1

10 24( 4 )− + −


2. a. 1x y+

= 13 7 2 3 7+ + −

= 13 3

= 13 3

× 33

= 39

= 19

3

b. x yx y

−+

= (x – y) · 1x y+

= ( 3 + 7 – 2 3 + 7 ) · 19

3

= (– 3 + 2 7 ) · 39

= 3 2 219

− +

3. 3 13 1

−+

= 3 13 1

−+

× 3 13 1

−−

= 3 2 3 1

3 1− +

−

= 4 2 32

−

= 2 – 3 (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 3 13 1

−+

= 2 – 3 .

4. m = 02

2

m

v1

c−

= 02 2

2

m

c vc−

= 02 2

2

m

c – v

c

= 02 2

m c

c – v

⋅ · 2 2

2 2

c v

c v

−

− =

2 20

2 2m c c – v

c – v⋅

5. a. 19 6 10+ = 19 2 9 10+ ⋅

= (9 10) 2 9 10+ + ⋅

= 2( 9 10)+

= 9 + 10 = 3 + 10

b. 25 10 6− = 25 2 25 6− ⋅

= 25 2 5 5 2 3− ⋅ ⋅ ⋅

= 25 2 15 10− ⋅

= (15 10) 2 15 10+ − ⋅ ⋅

= ( )215 10−

= 15 10−

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

734 = 4 37 = 4 343

2. Jawaban: a

27x15

− = 1

5

27

x

3. Jawaban: d4 3

6 33

9x y

8x y=

4 32 2

6 33 3 3

9 · x · y

8 · x · y

= 3

2 2

2 13x y2x y

= 32 y

32 –

22

= 32 y

12 = 3

2y

4. Jawaban: b

4 x : 2x16 = 4x 2

1

: 2x16

= 2x1 12 6

−

= 2x3 1

6−

= 2x13 = 2 3 x

5. Jawaban: e

( )

12

23

212

36

27−

−=

( )

( ) ( )

12

23

2

23 1

6

3 2−−−

= 2 26

3 2−

= 6

9 4− = 65

6. Jawaban: e12

32

2 3(2ab ) (ab)

(ab)

−

= 1 12 2

3 32 2

3 68a b a b

a b

− −⋅

= 1 12 2

3 32 2

638a b

a b

− −

= 8a3 –

21

– 32 b

6 – 21

– 32

= 8a6 1 3

2− −

b12 1 3

2− −

= 8a22 b

82 = 8ab4


7. Jawaban: a

3p – q = 3 ( ) 13 132 2x x x+ – ( )7 1

6 6 2x x x− −

+

= 3 ( )3 1 1 12 3 2 3x x

+ ++ – ( )7 1

2 26 6x x

− −+ ++

= 3 ( )11 56 6x x+ – ( )5 11

6 6x x+

= 3 ( )11 56 6x x+ – ( )11 5

6 6x x+

= 2 ( )11 56 6x x+

Sehingga:

3p qq− =

( )( )

11 56 6

11 56 6

2 x x

x x

+

+ = 2

8. Jawaban: a

a23 · b

12 · c

13 = 8

23 · 25

12 · 27

13

= (23)23 · (52)

12 · (33)

13

= 22 · 5 · 3= 4 · 5 · 3 = 60

9. Jawaban: c

(21x – 2

1x

−)2 = (2

1x )2 – 2 · 2

1x · 2

1x

− + (2

1x

−)2

= 22x – 2 ·

1x

1x

2

2 + 2

2x

−

= 22x + 2

2x

−

– 2

22x + 2

2x

−

= (21x – 2

1x

−)2 + 2

= 32 + 2= 9 + 2 = 11

10. Jawaban: b

( ) ( )( ) ( )

1 11 16 3

3 12 4

1 12 72 2

4 13 3

x y x y

x y x y

−− −

−−− −

= ( )

( )13

12

1 1 112 2 12

1 72 3 6

x y x y

x y x y

−

−

− − −

− −

=

1 11 12 312 12

7 1 12

6 3 2

x y

x y

− −− −

− − − =

1 56 6

5 56 6

x y

x y

− −

−

= 1 56 6x

− − = x–1 = 1

x

11. Jawaban: c

81

x3

− = 1

16

⇔ ( )13

3 x2

−= 1

4

⇔ 23x – 1 = 2–2

⇔ 3x – 1 = –2⇔ 3x = –2 + 1⇔ 3x = –1

⇔ x = –13

Nilai 6x + 11 = 6 · 13

− + 11 = –2 + 11 = 9.

12. Jawaban: e21

3

2x 13 + = 27 ⇔ (3–1)2 ( )2x 123+

= 33

⇔ 3–2 · 21x

3+

= 33

⇔ )(x2–21

3++

= 33

⇔ 23–x

3 = 33

⇔ x – 32 = 3

⇔ x = 3 + 32 = 4

12

Jadi, himpunan penyelesaiannya { }12

4 .

13. Jawaban: d7 2x3

4x 5(0,125)(0,5)

−

− + = 1

⇔3(7 2x)

3

4x 5(0,5)(0,5)

−

− + = 1

⇔ (0,5)7 – 2x – (–4x + 5) = 1⇔ (0,5)7 – 2x + 4x – 5 = 1⇔ (0,5)2 + 2x = 1⇔ 2–1(2 + 2x) = 1⇔ 2–2 – 2x = 20

⇔ –2 – 2x = 0⇔ 2x = –2⇔ x = –1

14. Jawaban: d

3x0,4 – 90,61

3

= 0

⇔ 3x0,4 = 90,61

3

⇔ 3x0,4 = 32 · 3–0,6

⇔ 3x0,4 = 32 – 0,6

⇔ 3x0,4 = 31,4

⇔ x0,4 = 1,433

⇔ x0,4 = 30,4

⇔ x = 3


15. Jawaban: a

81p = 23 2 3

12 2

543

−

⇔ (34)p = 2 ( )1 12 43 2 3⋅ ⋅ ( )3

22− ( )5

43−

⇔ (34)p = ( )1 32 22 2 2

−⋅ ⋅ ( )1 5

4 43 3 3−

⋅ ⋅

⇔ (34)p = 20 · 30 ⇒ p = 0 ⇔ p2 = 0

B. Uraian

1. a. 2723 + 8

13 + 1

2

10

25−

– 452

= (33)23 + (23)

13 + 1

2 2

2 5

(5 )−

⋅ – (22)52

= 32 + 2 + 10 · 5 – 25

= 9 + 2 + 50 – 32 = 29

b. 12513 – 81

34 +

5227

3

= (53)13 – (34)

34 + (32)

52

= 5 – 33 + 35

= 5 – 27 + 243 = 221

2. a. 10 1620× = 10 16

20×

= 16020

= 8 = 2 2

b. 3 16 × 4 36 × 6 54

= (24) 31

· (32 · 22) 41

· (33 · 2) 61

= 2 34

· 3 42

· 2 42

· 3 63

· 2 61

= 2 61

21

34 ++

· 3 21

21 +

= 22 · 3 = 12

3.4 1

5 2(x y)x y

−

− −⋅⋅ =

4 1

5 2(2 3)2 3

−

− −⋅⋅ =

1

1 132 9

(16 3)−⋅⋅

= 1

288

481 = 288

48 = 6

4. a. 92x + 1 = x 181

3 −

⇔ 32(2x + 1) =

14 2

x 13

3 −

⇔ 34x + 2 = (34 – x + 1) 21

⇔ 34x + 2 = 3 2x5 −

⇔ 4x + 2 = 2

x5 −

⇔ 2(4x + 2) = 5 – x⇔ 8x + 4 = 5 – x

⇔ 9x = 1 ⇔ x = 19

Jadi, penyelesaiannya x = 19

.

b. 2x 83 + = 4 x 427 +

⇔2x 8

23+

= 33(x 4)

4+

⇔2x 82 · 23

+

= 412x3

3+

⇔ 32x 8

8+

= 33x 12

4+

⇔ 2x 88+ =

3x 124+

⇔ 2x + 8 = 2(3x + 12)⇔ 2x + 8 = 6x + 24⇔ –4x = 16

⇔ x = –164 = –4

Jadi, penyelesaiannya x = –4.

5. 3 x 425 + = 125x + 1

⇔ 52(x 4)

3+

= 53(x + 1)

⇔ 2x 83+

= 3x + 3

⇔ 2x + 8 = 9x + 9⇔ 2x – 9x = 9 – 8⇔ –7x = 1

⇔ x = –17

2y 55 (0,2) + = (0,04)y – 2

⇔ (0,2)2y 5

5+

= (0,2)2(y – 2)

⇔ 2y 55+

= 2(y – 2)

⇔ 2y + 5 = 10(y – 2)⇔ 2y + 5 = 10y – 20⇔ 2y – 10y = –20 – 5⇔ –8y = –25

⇔ y = 258


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: aDefinisi logaritma: b = ax ⇔ x = alog b.Jadi, 2n = 5 ekuivalen dengan n = 2log 5.

2. Jawaban: e

5log 1

625 = 15

6255

log

log 5 =

5 4

5log 5log 5

−

= 41

− = –4

3. Jawaban: d

27log 243 = log 243log 27 =

5

3log 3log 3

= 5 log 33 log 3

⋅⋅ =

53

4. Jawaban: d

9log 1243

= 1

243log

log 9 =

12log (243)

log 9

−

= 1 52

2

log 3

log 3

−

= –12 · 5 log 3

2 log 3 = –

54

5. Jawaban: e

2log 5 = log 5log 2 = p ⇔ log 5 = p log 2

20log 125 = log 125log 20

= 3

2log 5

log (2 5)⋅

= 23 log 5

log 2 log 5⋅

+

= 3 p log 22 log 2 p log 2

⋅⋅ +

= (3p) log 2(2 p) log 2+

= 3p2 p+

6. Jawaban: blog 3,15 = 0,4983log 3.150 = log (3,15 × 103)

= log 3,15 + log 103

= 0,4983 + 3= 3,4983

Diperoleh: x = –17 dan y =

258

(7x + 8y)2 = 2

1 257 8

7 8

⋅ − + ⋅

= (–1 + 25)2 = 242 = 576Jadi, nilai (7x + 8y)2 adalah 576.

7. Jawaban: clog 48 = log (16 × 3)

= log (24 × 3)= log 24 + log 3= 4 log 2 + log 3= 4 · 0,301 + 0,477= 1,204 + 0,477= 1,681

8. Jawaban: blog 729 = log(9)3

= 3 log 9= 3k

9. Jawaban: b2log 90 = 2log (45 · 2) = 2log 45 + 2log 2

= 2log (9 · 5) + 1 = 2log 9 + 2log 5 + 1= 2log (32) + 2log 5 + 1= 2 · 2log 3 + 2log 5 + 1= 2m + n + 1 = 1 + 2m + n

10. Jawaban: elog 3 225 = log (225)

13

= 13 log 225 =

13 log 152

= 23 log 15 =

23 log (3 · 5)

= 23 (log 3 + log 5) =

23

log 3 + log

102

= 23 (log 3 + log 10 – log 2)

= 23 (0,477 + 1 – 0,301) = 0,784

11. Jawaban: dlog (5 × 103) – log 5 = log 5 + log 103 – log 5

= log 103 = 3 · log 10 = 312. Jawaban: e

4log 3 = q ⇔ log 3log 4 = q ⇔

log 4log 3 =

1q ⇔ 3log 4 =

1q

12log 60 = 3

3log 60log 12

= 3

3log (3 4 5)

log (3 4)× ×

×

= 3 3 3

3 3log 3 log 4 log 5

log 3 log 4+ +

+

= 1q

1q

1 p

1

+ +

+ ×

qq =

q 1 pqq 1

+ ++ =

q pq 1q 1

+ ++

13. Jawaban: c10a = 1,111 . . .

a = 0,111 . . .–––––––––––––– –

9a = 1 ⇔ a = 19

alog 729 = 729log91

= 19

log 729

log =

3

1log 9log 9−

= 3 log 9log 9−

= –3


14. Jawaban: b

log 3 0,04 = log 31

25 = log

131

25

= log (5)23

−

= –23 · log 5 = –

23 · 0,699 = –0,466

15. Jawaban: clog 450 = log(4,5 × 100)

= log 4,5 + log 100= log 4,5 + log (10)2

= 0,653 + 2 = 2,653

16. Jawaban: e

plog1x + plog

1x + plog xy2 = plog

1x

⋅ 1x

⋅ xy2

= plog 2y

x

17. Jawaban: d

2log 12(75) = 2log (52 · 3)

12 = 2log (5 · 3

12 )

= 2log 5 + 2log 312 = 2log 5 +

12 2log 3

= y + 12 x =

x 2y2

+

18. Jawaban: a

3log 20 2 = 3log (4 ⋅ 5 · 212 )

= 3log 4 + 3log 5 + 3log 212

= 3log 4 + 3log 5 + 3log ( )124

= 3log 4 + 3log 5 + 3log ( )1

1 224

= 3log 4 + 3log 5 + 3log 414

= 3log 4 + 3log 5 + 14

3log 4

= 54 3log 4 + 3log 5

= 54 a + b =

5a 4b4+

19. Jawaban: b4log 16 + 4log 1 = 4log (16 × 1) = 4log 16

= 4log 42 = 2 · 1 = 220. Jawaban: d

2log 32 – 3log 9 = 2log 25 – 3log 32 = 5 – 2 = 321. Jawaban: e

2 2

2 2 2log 50 log 5

log 6 log 10 log 12−

+ −=

5025

6 10212

log

log ×

= 2

2log 10log 5

= 5log 10

22. Jawaban: e

174

8 7log 27 log 12log 12 log 3

⋅⋅

= 7log3log

8 log12 log

7log12log

log

27 log

41

⋅

⋅

= 14

log 27 log 12log 7log

⋅ × log 8 log 7log 12 log 3

⋅

= 3 3

2log 3 log 2log 2 log3−

⋅⋅

= 9 log 3 log 22 log 2 log3

⋅− ⋅ = –

29

23. Jawaban: c

( ) ( )2 25 5

5

log 10 log 2log 20

− = ( ) ( )( )

2 25 5 5

1 5 22

log 5 log 2 log 2

log 2 5

+ −⋅

= ( ) ( )( )

2 25 5

1 52

1 log 2 log 2

2 log 2 1

+ −⋅ +

= ( )( )

5

1 52

1 2 log 2

1 2 log 2

++

= 2

24. Jawaban: b

2 41

log p log q+= 4

⇔ 12 22

1

log p log q+= 4

⇔ 122 2

1

log p log q+= 4

⇔ 122

1

log pq= 4

⇔ 2log pq12 = 1

4

⇔ pq12 = 2

14

p2q = (pq12 )2 = (2

14 )2 = 2

12 = 2

25. Jawaban: e

x2log 100x = 2log 100x

log x = log (100 x)

2 logx⋅

= log 100 log x2 log x

+ = 2log 10 log x

2 logx+ =

2 b2b+

26. Jawaban: d x2 + 4y2 = 12xy

log 2

2(x 2y)(x 2y)

+− = log

2 2

2 2x 4xy 4yx 4xy 4y

+ +− +

= log 2 2

2 2(x 4y ) 4xy(x 4y ) 4xy

+ ++ −

= log 12xy 4xy12xy 4xy

+−

= log 16xy8xy

= log 2


27. Jawaban: dplog 6 – plog 9 + plog

12 = –1

⇔ plog 6 – plog 9 + plog 12 = –1

⇔ plog

69 ⋅ 1

2

= –1

⇔ plog 13 = –1

⇔ p–1 = 13

⇔ p–1 = 3–1

⇔ p = 3

28. Jawaban: c3log(x2 – 8x + 20) = 3log 8⇔ (x2 – 8x + 20) = 8⇔ x2 – 8x + 20 – 8 = 0⇔ x2 – 8x + 12 = 0⇔ (x – 2)(x – 6) = 0⇔ x1 = 2 dan x2 = 6Jadi, nilai x1x2 = 2 · 6 = 12.

29. Jawaban: b2log (2x – 6) = 3⇔ 2log (2x – 6) = 2log 23

⇔ (2x – 6) = 23

⇔ 2x – 6 = 8⇔ 2x = 8 + 6⇔ 2x = 14⇔ x = 7

30. Jawaban: a

( ) ( )3

2 23 3

log 6

log 18 log 2−= ( )( )

123

3 3 3 3

log 6

log18 log 2 log18 log 2+ −

= 1 32

183 32

log 6

log (18 2) log× ⋅

= 3

3 3log 6

2 log 36 log 9⋅

= 3

3 2 3 2log 6

2 log 6 log 3⋅

= 3

3 3log 6

2 2 log 6 2 log 3⋅ ⋅

= 12 2 2 1⋅ ⋅ ⋅

= 18

B. Uraian

1. a. 32log 12

= 12

log

log 32 =

1

5log 2log 2

− =

log 25 log 2−

= – 15

b. 5log 0,008 = 5log 1

125 = 5log 5–3

= –3 · 5log 5 = –3

c.13 log 81 = 1

3

log 81

log =

4

1log 3log 3−

= 4 log 31 log 3⋅

− ⋅ = 41− = –4

2. 2log 2x 16− = 2

⇔ 2log 2x 16− = 2log 22

⇔ 2log 2x 16− = 2log 4

⇔ 2x 16− = 4

⇔ x2 – 16 = 16⇔ x2 =16 + 16⇔ x2 = 32

⇔ x = 32

⇔ x = 52

⇔ x = 252

Jadi, xlog 2 = 522 log 2 =

25 · 2log 2 =

25 .

3. a.3

5log 27log125

⋅ 2log 64 + log 1.000

= 3 3

5 3log 3log 5

⋅ 2log 26 + log 103

= 3

53 log 33 log 5

· 6 2log 2 + 3 log 10

= 33

· 6 + 3 = 6 + 3 = 9

b. (2log 5 · 5log 2 · 9log 81) + 7log 343

= 2log 2 · 9log 92 + 7log 732

= 2 + 32 = 3

12

4. a. 6log 1

27 × 4log 36 × 3log 8

= 1

27log

log 6 × log 36

log 4 × log 8

log 3

= 3log 3

log 6

− ×

2

2log 6log 2

× 3log 2

log 3

= 3 log 3log 6

− × 2 log 62 log 2

× 3 log 2log 3

= –3 × 3 = –9

b. 55log 10 + 42log 3 + 273log 2

= 10 + 22(2log 3) + 33(3log 2)

= 10 + 22log 32 + 33log 23

= 10 + 32 + 23

= 10 + 9 + 8 = 27


5. a. alog b = log blog a

= log alog b

1

= b1

log a (terbukti)

b. aplog bq =

q

plog blog a

= q log bp log a

= qp

alog b (terbukti)

c. xlogba

= a

aab

log x

log =

a

a alog x

log a log b−

= a

alog x

1 log b− (terbukti)

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: aan = a × a × a × . . . × a

sebanyak n faktor

Jadi, 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4.2. Jawaban: d

33 × 35 = 33 + 5 = 38

3. Jawaban: b

52 : 54 = 52 – 4 = 5–2 = 21

5 =

125

4. Jawaban: e

9x–4 = 9 41x

= 4

9x

5. Jawaban: a

6–7 × 64 = 6–7 + 4 = 6–3 = 31

6 = 1

2166. Jawaban: e

15 3

5 7 527a b3 a b

−− −

− −

= 5 7 5

5 33 a b27a b

− −

− − = 35 · 3–3 · a–7 · a5 · b–5 · b3

= 32 · a–2 b–2 = 2

2 23

a b = ( )2

9

ab

7. Jawaban: c9 4

5 3 215x y 3x10x y 2y

++

= 4 5

2 53x (5x y 1)2y (5x y 1)

++

= 4

23x2y

8. Jawaban: c

2x25 = ( )2

52 x = 2 5 2x

9. Jawaban: b

( )12

5

2− × ( )3

2

2

2 = 252

− × 23

= 25

32

− +

= 212 = 2

10. Jawaban: c

(a23 b

12

− c

14 )3 = a

23

3×

b1

32

− × c

13

4×

= a2 b32

− c

34

= 42 3a c

b b

11. Jawaban: c( )1 3 2+ – ( )4 50− = 1 + 3 2 – 4 + 25 2⋅

= 1 – 4 + 3 2 + 5 2

= –3 + 8 2

= 8 2 – 3

12. Jawaban: c( 98 + 2) : 32 = ( 49 2× + 2) : 16 2×

= (7 2 + 2) : 4 2

= 8 2 : 4 2= 2

13. Jawaban: b3 24 + 2 3 ( 32 – 2 18 )

= 3 4 6⋅ + 2 3 32⋅ – 4 3 18⋅

= 6 6 + 2 16 6⋅ – 4 9 6⋅

= 6 6 + 8 6 – 12 6 = 2 6

14. Jawaban: d2536

– 0,16 + 3 27 = 56 – 0,4 + 3

= 56 –

410 + 3

= 25 12 90

30− +

= 10330 = 3

1330

15. Jawaban: c

( )1332

23

a b−−

: ( ) 4132

23

a b−

= ( )2

13 332a b

−− : ( ) ( )( )1341

32

2

a b−

= a–1b– 29 : a– 1

3 b49

= a–1b– 29 × a

13 b– 4

9

= a–1 + 13 × b– 2

9 – 49

= a– 23 b– 2

3

= (ab)– 23 = 23

1(ab)


16. Jawaban: d10

5 = 10

5 × 55

= 10 55

= 2 5

17. Jawaban: e5

2 7+= 5

2 7+ × 2 7

2 7−−

= ( )5 2 72 7

−−

= ( )5 2 75−

−

= – ( )2 7−

= 7 – 2

18. Jawaban: d

3 23

+ 25

– 77

= 3 2 33 3

×

+ 5 5

5 5

×

– 7 7

7 7

×

= 3 63

+ 5 55

– 7 77

= 6 + 5 – 7

= 5 + 6 – 7

19. Jawaban: c

15 2 54+ = (9 6) 2 9 6+ + ⋅

= 9 + 6

= 3 + 6

20. Jawaban: a

5 2 6− = (3 2) 2 3 2+ − ⋅

= 3 – 2Sehingga:

4

5 2 6−= 4

3 2− × 3 2

3 2++

= 4( 3 2)3 2

+−

= 4( 3 + 2 )

21. Jawaban: cIngat: alog b = c ⇔ ac = b

xlog 125 = 3⇔ x3 = 125

⇔ x = 3 125⇔ x = 5Jadi, nilai x adalah 5.

22. Jawaban: d7log 343 = 7log (73)

= 3 · 7log 7= 3 · 1 = 3

23. Jawaban: blog 0,00000155 = log (1,55 · 10–6)

= log 1,55 + log 10–6

= 0,19 – 6= –5,81

24. Jawaban: c

6log 14 = 2

2log 14log 6

= 2

2log (2 7)log (2 3)

⋅⋅

= 2 2


++

= 1 a1 b

++

= a 1b 1

++

25. Jawaban: elog x = a ⇒ x = 10a

log y = b ⇒ y = 10b

Sehingga:

log 3

2xy

= log a 3

b 2(10 )(10 )

= log (10a)3 – log (10b)2

= log (103a) – log (102b)= 3a – 2b

26. Jawaban: a2log 6 + 2log 18 – 2log 27

= 2log 6 18

27×

= 2log 4= 2log 22

= 227. Jawaban: a

93log 2 + 164 log 2 – 5

3

log 5

log 3

5

3

= (32)3log 2 + (42)4log 2 – 53

= 33log 22 + 44log 22 – 53

= 22 + 22 – 53

= 4 + 4 – 53

= 193


28. Jawaban: b2log 12x + 4 = 3

⇔ 23 = 12x 4+–––––––––––––––––––– dipangkatkan 2

⇔ (23)2 = ( 12x 4+ )2

⇔ 26 = 12x + 4⇔ 64 = 12x + 4⇔ 12x = 64 – 4⇔ 12x = 60

⇔ x = 6012

= 5Jadi, nilai x adalah 5.

29. Jawaban: c

log 75 = log (75)12

= 12 log 75

= 12 (log (52 · 3))

= 12 (log 52 + log 3)

= 12 (2 log 5 + log 3)

= 12 (2 · 0,6690 + 0,4771)

= 12 (1,338 + 0,4771)

= 12 × 1,8151

= 0,90755≈ 0,9076

30. Jawaban: a9 25

25 3log 256 log 492( log 7 log 4)

+−

= 2 23 2 5 2

25 3log 16 log 7

2 log 7 2 log 4+−

= 3 5

25 2 3log 16 log 7

log 7 2 log 4+

−

= 2

3 2 5

5 2 3

log 4 log 7

log 7 2 log 4

+

−

= 3 5

5 32 log 4 log 7log 7 2 log 4

+−

= n2m

n 2m+

−

B. Uraian

1. a.–1 –2

–2 –13x yx 2y

−+

= 2

2

3 1x y1 2

yx

−

+ ×

2 2

2 2x yx y

= 2 2

2 23xy xy 2x y

−+

b.

12 4 32

3 2 2

22 2

a c bb a c

− −

−

−

=4 2 6

6 4

2a c b

ab c

−

⋅ ⋅

= (a–4 · a–1 · b6 · b–6 · c2 · c–4)2

= (a–5 · b0 · c–2)2

= a–10c–4 = 10 41

a c

2.n 2 n 4

n 12 6

12

+ −

−⋅

= n 2 n 4

n 12 (2 3)

(4 3)

+ −

−⋅ ⋅⋅

= n 2 n 4 n 4

n 1 n 12 2 3

4 3

+ − −

− −⋅ ⋅

⋅

= n 2 n 4 n 4 (n 1)

2(n 1)2 3

2

+ + − − − −

−⋅

= 2n 2 3

2n 22 3

2

− −

−⋅

= 22n – 2 – (2n – 2) · 3–3

= 20 · 31

3 = 1 · 1

27 = 1

27

3. 11 120− = (6 5) 4 30+ − ⋅

= (6 5) 2 30+ −

= (6 5) 2 6 5+ − ⋅

= 6 – 5

16 5−

= 16 5−

× 6 56 5

++

= 6 56 5

+−

= 6 + 5

24 = 4 6× = 2 6Sehingga:

2 11 120− + 16 5−

– 24

= 2 6 – 2 5 + 6 + 5 – 2 6

= 6 – 5

4. a. 3 · 32x – 1 = 3 5x 13 +

⇔ 32x –1 + 1 = 35x 1

3+

⇔ 32x = 35x 1

3+

⇔ 2x = 5x 1

3+

⇔ 6x = 5x + 1⇔ 6x – 5x = 1⇔ x = 1


b. 3x 14

2 − = 0,25 · 23x

⇔2

3x 12

2 − = 14 · 23x

⇔ 3 2 x 12 − + = 2–2 · 23x

⇔ 23 x

3−

= 23x – 2

⇔ 3 x3−

= 3x – 2

⇔ 3 – x = 9x – 6⇔ 9x + x = 3 + 6⇔ 10x = 9

⇔ x = 9

10 = 0,9

5. 3x – 2y = 181 ⇔ 3x – 2y = 3–4

⇔ x – 2y = –4 . . . (1)2x – y – 16 = 0 ⇔ 2x – y = 16

⇔ 2x – y = 24

⇔ x – y = 4 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2):x – 2y = –4x – y = 4

––––––––– ––y = –8

⇔ y = 8Substitusi y = 8 ke (2):x – 8 = 4 ⇔ x = 12Nilai x + y = 8 + 12 = 20Jadi, nilai x + y adalah 20.

6. a. 3log 16 + 3log 5 – 3log 4

= 3log (16 5

4×

) = 3log 20

b.13 log 5 +

13 log

56 –

13 log

2536

= 13 log

56

2536

5 ⋅

= 13 log 6 = 3–1log 6

= 11−

3log 6 = –3log 6

c. 7 log 1615

+ 5 log 2524

+ 3 log 8180

= log

71615

+ log

52524

+ log

38180

= log ⋅

4 72

3 5 ×

⋅

2

3

55

2 3 ×

⋅

4

4

33

2 5

= log 28 10 12

7 7 15 5 12 32 5 3

3 5 2 3 2 5⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= log 28 12 10

27 12 102 3 52 3 5

⋅ ⋅⋅ ⋅

= log 2

7. a. 4log (3log 9) = 4log (3log 32)= 4log 2= 22log 2

= 12

b. 3log 7 ⋅ 49log 3 = log 7log 3

× log 3log 49

= log 7log 3

× 12

2log 3log 7

= log 7log 3

× 12

log 3

2 log 7

= 12

2

= 14

8. 2log (2x – 1) = 4⇔ 2log (2x – 1) = 2log 24

⇔ 2x – 1 = 24

⇔ 2x – 1 = 16⇔ 2x = 16 + 1⇔ 2x = 17

⇔ x = 172

ylog 0,125 = –3⇔ y–3 = 0,125⇔ y–3 = 5–3

⇔ y = 52 log z = 2

⇔ z = ( 2 )2

⇔ z = 2

xyz = 172 · 5 · 2

= 85Jadi, nilai xyz adalah 85.

9. 8log a = 13

⇔ log alog 8 =

13

⇔ 3log alog 2

= 13

⇔ log a = 13 · 3 log 2


⇔ log a = log 2⇔ a = 2

2log b = 5

⇔log blog 2 = 5

⇔ log b = 5 log 2⇔ log b = log 25

⇔ log b = log 32⇔ b = 32Jika a = 2 dan b = 32 makaalog b = 2log 32 = 2log 25 = 5

a2log b3 = 32 alog b =

32 · 5 =

152

10. a. xlog x2y + ylog x3y–1 – xlog y= xlog x2 + xlog y + ylog x3 + ylog y–1 – xlog y= 2 + xlog y + 3ylog x – 1 – xlog y= 1 + 3 ylog x (terbukti)

b. 2 4log 45 – 4log 35 – 3 4log 5

= 4log 452 + 4log 53 – 4log 53

= 4log 452 ·

53 · 3

15

= 4log (9 · 5)2 ·

53 · 3

15

= 4log

293

· 53 · 315

= 4log

293

= 4log ( )223

3

= 4log 33

= 3 4log 3 (terbukti)

Bab II Fungsi, Fungsi Kuadrat,Persamaan Kuadrat, danPertidaksamaan Kuadrat

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c{(1, a), (1, b), (3, a), (4, b)} bukan suatu fungsikarena 1 dipasangkan dua kali yaitu dengan a dandengan b, yaitu (1, a), (1, b).

2. Jawaban: bPada diagram panah I dan III, masing-masinganggota domain (A) dipasangkan dengan tepatsatu anggota kodomain (B). Pada gambar II, adaanggota domain A yang tidak memiliki kawan di Bdan ada anggota domain yang memiliki duapasangan di B. Sedangkan pada diagram IV, adaanggota domain A yang memiliki dua pasangandi B, sehingga II dan IV bukan fungsi.

3. Jawaban: dRange adalah himpunan anggota kodomain (B)yang memiliki pasangan dengan domain (A). Jadi,range pada fungsi di atas adalah {0, 1, 4}.

4. Jawaban: b–3 ∈ x < –2, jadi f(–3) = (–3)2 – (–3) = 9 + 3 = 12–2 ∈ –2 ≤≤≤≤≤ x < 2, jadi f(–2) = (–2) – 5 = –7–1 ∈ –2 ≤≤≤≤≤ x < 2; jadi f(–1) = (–1) – 5 = –60 ∈ –2 ≤≤≤≤≤ x < 2; jadi f(0) = (0) – 5 = –51 ∈ –2 ≤≤≤≤≤ x < 2; jadi f(1) = (1) – 5 = –42 ∈ –2 ≤≤≤≤≤ x ; jadi f(2) = –1 – 8(2) = –17Range = {–17, –7, –6, –5, –4, 12}.

5. Jawaban: cI dan IV bukan merupakan fungsi karena jika dibuatgaris tegak pada –9 ≤≤≤≤≤ x ≤≤≤≤≤ 9 (untuk gambar I) dangaris tegak pada x ≥≥≥≥≥ 0 (untuk gambar IV) makagaris tegak tersebut akan memotong grafik di duatitik.

6. Jawaban: af(w) = 2w 3+ terdefinisi jika memenuhi syarat:

2w + 3 ≥ 0 ⇔ 2w ≥ –3

⇔ w ≥ –32

Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut {w | w ≥ –32 ,

w ∈ R}.7. Jawaban: c

f(x) = ++

2 xx 3

terdefinisi apabila penyebutnya tidak

nol.Sehingga dapat ditentukan:x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ –3Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut {x | x ∈ R,x ≠ –3}.

8. Jawaban: aJika x = 1 maka digunakan rumus h(x) = –x2 – 4.Sehingga h(1) = –(1)2 – 4 = –5.

9. Jawaban: df(8) = 2log 2(8)

= 2log 16= 4


f(18 )= 2log 2(

18 )

= 2log 14

= –2

Jadi, f(8) = 4 dan f(18 ) = –2.

10. Jawaban: cf(2) = 22 + 1 = 5f(–4) = (–4)2 + 1 = 16 + 1 = 17

f(12 ) = 2 ·

12 – 1 = 0

f(3) = 32 + 1 = 10

f(2) · f(–4) + f(12 ) · f(3) = 5 · 17 + 0 · 10

= 85 + 0 = 85

11. Jawaban: dg(x) = –x – 2Untuk x = –3, diperoleh:g(–3) = –(–3) – 2

= 3 – 2 = 1g((–3)2) = g(9) = –9 – 2

= –11untuk x = –3 maka2(g(x))2 + g(x2) – 3g(x) = 2(g(–3))2 + g((–3)2) – 3g(–3)

= 2 · 12 + (–11) – 3 · 1= 2 – 11 – 3 = –12

12. Jawaban: bf(x) = bx

f(y) = by

f(x + y) = bx + y = bx · by = f(x)f(y)Jadi, berlaku f(x)f(y) = f(x + y).

13. Jawaban: c

g(t) = 2

t 4− dan t ≠ 4

Perhatikan g(t) merupakan pecahan denganpembilang konstanta bukan nol yaitu 2, akibatnya

untuk setiap nilai t anggota bilangan real g(t) = 2

t 4−tidak mungkin nol (0). Jadi, g(t) ≠ 0 dengan katalain 0 bukan anggota daerah hasil.

14. Jawaban: bDiagram panah pada pilihan b menunjukkan suatufungsi dari A ke B yang surjektif karena setiapanggota B mempunyai prapeta di A.

15. Jawaban: bHimpunan pasangan berurutan pada pilihan bmerupakan suatu fungsi satu-satu karena setiapanggota domain mempunyai pasangan berbedadi kodomain.

16. Jawaban: ag(x) terdefinisi jika 5x – 10 > 0

⇔ 5x > 10⇔ x > 2

Diperoleh Dg = {x | x > 2, x ∈ R}. Di antara pilihan

jawaban yang bukan merupakan anggota Dg

adalah x = 2.

17. Jawaban: bf(x) = 3 2x 5−f(a) = 3 2a 5− = –3⇔ 2a – 5 = (–3)3

⇔ 2a – 5 = –27⇔ 2a = –22⇔ a = –11Jadi, a + 1 = –11 + 1 = –10.

18. Jawaban: aI. f(x) = x2 – 2x

f(–x) = (–x)2 – 2(–x)= x2 + 2x

Diperoleh f(x) ≠ f(–x).II. f(x) = x3 – x

f(–x) = (–x)3 – (–x)= –x3 + x

Diperoleh f(x) ≠ f(–x).III. f(x) = sin x

f(–x) = sin (–x)= –sin x

Diperoleh f(x) ≠ f(–x).IV. f(x) = cos x

f(–x) = cos (–x)= cos x

Diperoleh f(x) = f(–x).Jadi, fungsi yang memenuhi f(x) = f(–x) adalahf(x) = cos x.

19. Jawaban: aGrafik (i) dan (ii) menunjukkan fungsi berkores-pondensi satu-satu karena setiap garis tegakbertemu pada tepat satu titik dengan grafik dansetiap garis mendatar bertemu pada tepat satutitik dengan grafik.

20. Jawaban: cPerhatikan bentuk y = 29 x− . Untuk x = 0 makay mempunyai nilai 3 atau –3, berarti terdapatanggota daerah asal yaitu x = 0 yang mempunyai

dua kawan/peta. Jadi, y = 29 x− bukan fungsi.

B. Uraian

1. g(t) akan terdefinisi di R jika memenuhi syarat:t + 1 ≠ 0 ⇔ t ≠ –1Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut adalah{t | t ∈ R, t ≠ – 1}.


2. a. f(x) = 2x + 1f(–1) = 2(–1) + 1 = –1f(0) = 2(0) + 1 = 1f(1) = 2(1) + 1 = 3f(2) = 2(2) + 1 = 5f(3) = 2(3) + 1 = 7Jadi, daerah hasilnya = {–1, 1, 3, 5, 7}.

b. f(x) = 2x + 1Jika disubstitusikan x ∈ R maka dihasilkanf(x) ∈ R.Jadi, daerah hasilnya adalah R.

3. a. f(x) = 2x + 1f(–1) = 2(–1) + 1 = –1f(0) = 2(0) + 1 = 1f(1) = 2(1) + 1 = 3f(2) = 2(2) + 1 = 5f(3) = 2(3) + 1 = 7Jadi, daerah hasilnya = {–1, 1, 3, 5, 7}.

b. f(x) = 2x + 1Jika disubstitusikan x ∈ R maka dihasilkanf(x) ∈ R.Jadi, daerah hasilnya adalah R.

4. a. Domain A = {0, 1, 2}b. Kodomain B = {–2, –1, 0, 1, 2}c. Untuk menentukan daerah hasil, dicari peta

masing-masing anggota domain.f(x) = x2 – 2xf(0) = 02 – 2 ⋅ 0 = 0f(1) = 12 – 2 ⋅ 1 = –1f(2) = 22 – 2 ⋅ 2 = 0Jadi, daerah hasil f(x) adalah {–1, 0}.

5. f(x) = x2 + 1f(0) = 02 + 1= 1f(1) = 12 + 1 = 2f(2) = 22 + 1 = 5

Fungsi f(x) adalah fungsi injektif karena setiapanggota himpunan A mempunyai bayanganberbeda di B. Fungsi f(x) bukan fungsi surjektifkarena 3 ∈ B dan 4 ∈ B tidak memiliki prapeta di A.Karena f(x) bukan fungsi surjektif, pasti f(x) bukanfungsi bijektif. Jadi, f(x) merupakan fungsi injektifsaja.

6. Ambil x = –2 dan x = 2 maka:f(–2) = (–2)2 – 1 = 3f(2) = 22 – 1 = 3Diperoleh f(–2) = f(2).Dengan demikian, f(x) = x2 – 1 bukan merupakanfungsi injektif karena terdapat x1 ≠ x2 (anggotadomain) yang mempunyai bayangan di kodomainsama (f(x1) = f(x2)).

A B

0

1

2

123

4

5

7. a. f(x) = 2x2 + 3x + 5f(a) = 2a2 + 3a + 5

b. f(a – 1) = 2(a – 1)2 + 3(a – 1) + 5= 2(a2 – 2a + 1) + 3a – 3 + 5= 2a2 – a + 4

c. f(a) = 2a2 + 3a + 5f(a – 1) = 2a2 – a + 4

––––––––––––––––––––––– –f(a) – f(a – 1) = 4a + 1

d. f(a) – f(a – 1) = 3⇔ 4a + 1 = 3⇔ 4a = 2

⇔ a = 12

8. Grafik (i) dan (iii) menunjukkan fungsi ber-korespondensi satu-satu karena setiap garis tegakbertemu pada tepat satu titik dengan grafik dansetiap garis mendatar bertemu pada tepat satutitik dengan grafik.Grafik (ii) bukanlah suatu fungsi karena jika dibuatgaris tegak untuk pada daerah x > 0, garis tegakakan memotong grafik di dua titik.Grafik (iv) bukan fungsi berkorespondensi satu-satu karena jika dibuat garis mendatar (padadaerah y ≤≤≤≤≤ 0) garis tersebut memotong grafik didua titik.

9. a. f(x) = x2 – 3x + 2f(3) = 32 – 3(3) + 2

= 2f(4) = 42 – 3(4) + 2

= 6f2(4) + 2f(3) · f(4) + f2(3)= 62 + 2 ⋅ 2 ⋅ 6 + 22

= 36 + 24 + 4= 64

b. {f(4) + f(3)}2 = (6 + 2)2

= 64

10. a. Luas DABC = 12 · AB · CD

CD= 2 2BC DB−

= 12 22

k ( k)−

= 2k24

k − = k2 3

L∆ABC = 12 × k ×

k2 3 =

2k4 3

b. A(k) =2k

4 3 = 3⇔ k2 · 3 = 3 · 4

⇔ k2 = 3 43⋅

⇔ k2 = 4⇔ k = 2 atau k = –2Oleh karena k panjang sisi segitiga makak > 0, jadi k yang memenuhi 2.

k k

12 k 1

2 k

A B

C

D


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bGrafik fungsi konstan sejajar dengan sumbu X.

2. Jawaban: dFungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2).Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0) dan(–2, 0).

Absis puncak xp = 1 2x x2+ =

6 ( 2)2

+ − = 2

Ordinat puncak yp = (2 – 6)(2 + 2)= –4(4)= –16

Titik puncak (2, –16).3. Jawaban: a

Yang merupakan pernyataan benar adalah i, ii,iii. Pernyataan iv salah karena fungsi kuadrat tidakselalu memotong sumbu X di dua titik tetapi bisamenyinggung, memotong dua titik, atau tidakmemotong dan tidak menyinggung sumbu X.

4. Jawaban: dGrafik menghadap ke bawah berarti a < 0.Grafik memotong sumbu Y di c negatif berartic < 0.Grafik tidak memotong sumbu X berarti D < 0.

5. Jawaban: aDengan bantuan tabel diperoleh beberapa titikbantu.

Jika digambarkan pada bidang koordinatCartesius diperoleh:

6. Jawaban: b

x = 1 2x x2+

= 1 22

− + =

12

7. Jawaban: df(x) = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0

⇔ (x + 3)(x – 1) = 0⇔ x = –3 atau x = 1

x 0 1 2 3 4

f(x) 8 6 4 2 0

4

8

X

f(x)

f(x) = 8 – 2x0

8. Jawaban: ePersamaan sumbu simetri:

x = 1 52

− + =

42 = 2

Nilai maksimum = f(2) = –22 + 4 · 2 + 5= –4 + 8 + 5= 9

9. Jawaban: ck = f(4) = (4)2 – 3(4) – 4

= 16 – 12 – 4= 0

10. Jawaban: aPembuat nol fungsi:f(x) = 0 ⇔ x2 + 2x – 15 = 0

⇔ (x + 5)(x – 3) = 0⇔ x1 = –5 atau x2 = 3

Persamaan sumbu simetri:

x = 1 2x x2+

= 5 32

− + = –1

f(–1) = (–1)2 + 2(–1) – 15 = –16Jadi, koordinat titik baliknya (–1, –16).

11. Jawaban: cf(x) = –x2 + 4x + 8a = –1 < 0 berarti grafik membuka ke bawah ataumempunyai titik balik maksimum.

12. Jawaban: ef(x) = –2ax2 + 4x – 5a

ymin = D

4a−

⇔ –3 = 2(b 4ac)4a

− −

⇔ –3 = 2(4 4( 2a)( 5a))

4a− − − −

⇔ –3 = 2(16 40a )

4a− −

⇔ –3 = 240a 164a

−

⇔ –3 = 210a 4a

−

⇔ –3a = 10a2 – 4⇔ 10a2 + 3a – 4 = 0⇔ (5a + 4)(2a – 1) = 0

⇔ a = –45 atau a =

12

Untuk a = –45 ⇒ (–

45 )2 – 5(–

45 ) + 4 =

1625 + 4 + 4

= 1625 + 8

= 81625


Untuk a = 12 ⇒ (

12 )2 – 5(

12 ) + 4=

14 –

52 + 4

= 14 –

104 +

164

= 74

= 134

13. Jawaban: bf(x) = 16

⇔ 7 – 6x – x2 = 16⇔ x2 + 6x + 16 – 7 = 0⇔ x2 + 6x + 9 = 0dengan memfaktorkan x2 + 6x + 9 diperoleh:⇔ (x + 3)(x + 3) = 0⇔ (x + 3)2 = 0⇔ (x + 3) = 0⇔ x = –3Jadi, nilai x yang menyebabkan f(x) mencapaimaksimum adalah –3.

14. Jawaban: cDaerah hasil f(x) = 8 – 2x – x2 untuk x ∈ R adalahsetiap bilangan real, sehingga untuk daerah asalanggota bilangan real maka f(x) mempunyai nilaiminimum bilangan real yang sangat kecil (negatiftak hingga).

15. Jawaban: dh(t) = 30t – 5t2Pembuat nol fungsi:30t – 5t2 = 0 ⇔ 5t(6 – t) = 0

⇔ t1 = 0 atau t2 = 6

t = 1 2t t2+

= 0 6

2+

= 3

h(3) = 30(3) – 5(3)2 = 90 – 45 = 45Jadi, tinggi bola maksimum 45 m.

B. Uraian

1. a. y = 2x – 5Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0.

0 = 2x – 5⇔ 5 = 2x

⇔ x = 52

Jadi, titik potong y = 2x – 5 terhadap sumbu X

adalah (52 , 0).

b. 3x + 2y = 6Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0.

3x + 2(0) = 6⇔ 3x = 6⇔ x = 2Jadi, titik potong 3x + 2y = 6 terhadap sumbu Xadalah (2, 0).

c. y = (x – 2)2 – 5Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0.

y = (x – 2)2 – 5⇔ 0 + 5 = (x – 2)2

⇔ x – 2 = ± 5⇔ x = 2 ± 5⇔ x = 2 + 5 atau x = 2 – 5

Jadi, titik potong y = (x – 2)2 – 5 terhadap

sumbu X adalah (2 + 5 , 0) dan (2 – 5 , 0).

2. a. y = 2 – 5xTitik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0.

y = 2 – 5(0)⇔ y = 2Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 2).

b. 2x + 3y = 9Titik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0.

2(0) + 3y = 9⇔ 3y = 9⇔ y = 3Jadi, titik potong 2x + 3y = 9 terhadap sumbu Yadalah (0, 3).

c. 2y = 3x2 + 5x – 6Titik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0.

2y = 3(0)2 + 5(0) – 6⇔ 2y = –6⇔ y = –3Jadi, titik potong 2y = 3x2 + 5x – 6 terhadapsumbu Y adalah (0, –3).

3. a. Daerah asal:{x | x ≤ 4, x ∈ cacah} = {0, 1, 2, 3, 4}

Dari tabel di atas pada baris ke-4 diperolehdaerah hasil = {–1, 2, 5, 8, 11}.

x 0 1 2 3 4

3x 0 3 6 9 12

–1 –1 –1 –1 –1 –1

f(x) –1 2 5 8 11

(x, f(x)) (0, –1) (1, 2) (2, 5) (3, 8) (4, 11)


b. Grafik fungsi pada bidang Cartesius.

4. a. g(x) = 4 – 2xTitik bantu:

Gambar grafik g(x) = 4 – 2x:

b. h(x) = 2 – x – x2

Titik bantu:

X

Y

1110

9

8

7

6

5

43

2

1

0–1

1 2 3 4

f(x) = 3x – 1

X

Y

–2 –1 0 1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

g(x) = 4 – 2x

x –2 –1 0 1 2

g(x) 8 6 4 2 0

x –3 –2 –1 0 1 2 3

h(x) –4 0 2 2 0 –4 –10

Gambar grafik h(x) = 2 – x – x2

5. a. y = 1 menyinggung parabola y = x2 + bx + 3berarti1 = x2 + bx + 3⇔ x2 + bx + 2 = 0Syarat menyinggung: D = 0.

b2 – 4ac = 0⇔ b2 – 4 · 1 · 2 = 0⇔ b2 – 8 = 0⇔ b = ± 2 2

Jadi, b = –2 2 atau b = 2 2 .b. Rumus fungsi kuadrat:

Untuk b = –2 2 → y = x2 – 2 2 x + 3.Untuk b = –2 2 → y = x2 + 2 2 x + 3.

c. Koordinat titik singgung dari y = 1 dan fungsikuadrat:(i) Untuk garis y = 1 dan fungsi kuadrat

y = x2 – 2 2 x + 3.1 = x2 – 2 2 x + 3⇔ 0 = x2 – 2 2 x + 2⇔ 0 = (x – 2 )2

⇔ x = 2Jadi, titik singgungnya ( 2 , 1).

(ii) Untuk garis y = 1 dan fungsi kuadrat

y = x2 + 2 2 x + 3.1 = x2 + 2 2 x + 3⇔ 0 = x2 + 2 2 x + 2⇔ 0 = (x + 2 )2

⇔ x = – 2Jadi, titik singgungnya (– 2, 1).

6. a. Bola menyentuh tanah ketika h(t) = 0.h(t) = 0

⇔ 40t – 5t2 = 0⇔ 5t2 – 40t = 0⇔ 5t(t – 8) = 0⇔ t = 0 dan t = 8

X

Y

–4 –3–2–1 0 1 2 3 4 5

321

–1–2–3

–4–5–6

–7–8

–9–10

h(x) = 2 – x – x2


Jadi, bola kembali menyentuh tanah setelah8 detik.

b. h(t) = 40t – 5t2Pembuat nol h(t) adalah t = 0 dan t = 8

Sumbu simetri: t = 0 82+ = 4

Tinggi maksimum = h(3)= 40 · 4 – 5 · 42

= 160 – 80 = 80 meterJadi, tinggi maksimum bola 80 meter.

7. a. f(x) = –x2 + 6x – 5 dengan daerah asal{x | 0 £ x £ 6, x Î R}.Ambil beberapa titik bantu.

Gambar titik-titikbantu pada koordinatCartesius, kemudianhubungkan dengankurva mulus.

b. Dari grafik diperoleh pembuat nol fungsi:x = 1 dan x = 5Persamaan sumbu simetri: x = 3.Nilai balik maksimum: y = 4.Koordinat titik balik (3, 4).Daerah hasil {y | –5 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}.

8. Parabola di atas memotong sumbu X di (–3, 0)dan (5, 0) dan memotong sumbu Y di (0, 6).Dengan f(x) = a(x – x1)(x – x2)diperoleh: f(x) = a(x + 3)(x – 5)Grafik melalui (0, 6) sehingga diperoleh:f(x) = a(x + 3)(x – 5)⇔ 6 = a(0 + 3)(0 – 5)⇔ 6 = –15a

⇔ a = 615−

⇔ a = –25

⇔ f(x) = –25 (x + 3)(x – 5)

X

Y54321

0–1–2–3–4–5

1 2 3 4 5 6

(0, –5) (6, –5)x = 3

x 0 1 2 3 4 5 6

–x2 0 –1 –4 –9 –16 –25 –36

6x 0 6 12 18 24 30 36

–5 –5 –5 –5 –5 –5 –5 –5

f(x) –5 0 3 4 3 0 –5

(x, f(x)) (0, –5) (1, 0) (2, 3) (3, 4) (4, 3) (5, 0) (6, –5)

⇔ f(x) = –25 (x2 – 2x – 15)

⇔ f(x) = –25 x2 +

45 x + 6

Jadi, rumus fungsi tersebut f(x) = –45 x2 +

45 x + 6.

9. a. h(t) = 60t – 7,5t2Peluru mencapai maksimum untuk

h(t) = –D4a = –

2(b 4ac)4a− = –

2(60 4 ( 7,5) 0)4( 7,5)

− ⋅ − ⋅−

= (3.600)

30−

−= 120

Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter.b. Waktu yang diperlukan sehingga mencapai

tinggi maksimum:

t = b

2a−

⇔ t = 60

2( 7,5)−−

⇔ t = 4Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapaitinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.

10. a. Luas DAEF = 12 × AE × AF =

12 × x × (8 – 2x)

= 4x – x2

Luas ∆EBC = 12 × EB × BC =

12 × (8 – x) × 8

= 32 – 4x

Luas ∆CDF = 12 × CD × DF =

12 × 8 × 2x

= 8xb. Luas ∆CEF

= luas persegi ABCD – luas ∆AEF – luas ∆EBC – luas ∆CDF

= 64 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x= 64 – 4x + x2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x2

c. Grafik fungsi L(x) = 32 – 8x + x2 digambardengan menentukan nilai-nilai x yang bulatdari daerah asal. Setelah itu, tentukan nilaif(x) yang bersesuaian.

Pada kertas berpetak, gambar titik-titik (0, 32),(1, 25), (2, 20), (3, 17), (4, 16), (5, 17), (6, 20),(7, 25), dan (8, 32).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64

–8x 0 –8 –16 –24 –32 –40 –48 –56 –64

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

f(x) 32 25 20 17 16 17 20 25 32


Grafik fungsi L, diperoleh dengan meng-gambar kurva mulus melalui titik-titik itu.

d. Dari grafik tersebut dperoleh titik balik mini-mum adalah (4, 16). Untuk x = 4 diperolehnilai minimum L(x) = 16. Jadi, luas minimumdari ∆CEF adalah 16 cm2.

X

L(x)

353230

25

201716

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: dPersamaan kuadrat mempunyai akar real berartimempunyai akar real berbeda atau akar real yangkembar (D > 0 atau D = 0).D ≥ 0 ⇔ b2 – 4ac ≥ 0

⇔ (2m – 1)2 – 4 · 1 · m2 ≥ 0⇔ 4m2 – 4m + 1 – 4m2 ≥ 0⇔ –4m + 1 ≥ 0⇔ –4m ≥ –1

⇔ m ≤ 14

2. Jawaban: c2x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ (2x – 3)(x – 2) = 0

⇔ x = 32 atau x = 2

Jadi, akar-akarnya 32 dan 2.

3. Jawaban: ex1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat3x2 + x – 2 = 0.

Diperoleh x1 + x2 = –ba = –

13 dan

x1 x2 = ca = –

23

9(x1 + x2)2 – 6x1x2 = 9(–

13 )2 – 6(–

23 )

= 9(19 ) + 4

= 5

4. Jawaban: d5x2 + 10x – 15 = 0 mempunyai akar α dan β

Diperoleh α + β = –ba = –

105 = –2 dan

α · β = ca = –

155 = –3

3α +

3β =

3 3β + αα ⋅β

= 3( )α + β

α ⋅β

= 3 ( 2)

3⋅ −− = 2

5. Jawaban: e4 adalah akar 3x2 + bx – 8 = 0 berarti

3 · 42 + b · 4 – 8 = 0⇔ 3 · 16 + 4b – 8 = 0⇔ 48 + 4b – 8 = 0⇔ 4b + 40 = 0⇔ 4b = –40⇔ b = –10Jadi, b2 – b = (–10)2 – (–10) = 100 + 10 = 110.

6. Jawaban: eMisal x1 dan x2 adalah akar-akar persamaantersebut dan x1 = x2

2, sehingga:

x1 · x2 = ca ⇒ x2

2 · x2 = 243

⇔ x23 = 8

⇔ x2 = 3 8 = 2

x1 = x22 = 22 = 4

x1 + x2 = –ba ⇒ 2 + 4 = –

k 63−

⇔ 6 · 3 = –k + 6⇔ k = 6 – 18 = –12

7. Jawaban: b9x2 – (6 + 6p)x + 3p = 0 mempunyai akar yangsaling berkebalikan, maka berlaku a = c.3p = 9 ⇔ p = 3Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

x1 + x2 = –ba =

( (6 6p))9

− − + =

6 6 39

+ ⋅

= 249 =

83

8. Jawaban: bMisal: x1 akar x2 – 3x + p = 0 maka x1 + 3 akarx2 – 3x – 2p = 0. Sehingga berlaku:

(x1 + 3)2 – 3(x1 + 3) – 2p = 0⇔x1

2 + 6x1 + 9 – 3x1 – 9 – 2p = 0⇔ x1

2 + 3x1 – 2p = 0 . . . (1)x1 akar x2 – 3x + p = 0 makax1

2 – 3x1 + p = 0 . . . (2)


Eliminasi x12 dari (1) dan (2):

x12 + 3x1 – 2p = 0

x12 – 3x1 + p = 0

–––––––––––––––– –6x1 – 3p = 0 ⇔ 6x1 = 3p ⇔ x1 =

p2

Substitusi x1 = p2 ke (2):

x12 – 3x1 + p = 0

⇔ (p2 )2 – 3(

p2 ) + p = 0

⇔2p

4 –

3p2 + p = 0

––––––––––––––––––– × 4⇔ p2 – 6p + 4p = 0⇔ p2 – 2p = 0⇔ p(p – 2) = 0⇔ p = 0 atau p = 2Jadi, p = 2 (karena p ∈ bilangan asli).

9. Jawaban: d(p + 2)x2 – (2p – 1)x + p – 1 = 0 mempunyai duaakar sama maka D = 0.

D = 0⇔ (–(2p – 1))2 – 4(p + 2)(p – 1) = 0⇔ 4p2 – 4p + 1 – 4(p2 + p – 2) = 0⇔ 4p2 – 4p + 1 – 4p2 – 4p + 8 = 0⇔ –8p + 9 = 0

⇔ p = 98

Jumlah kedua akar: x1 + x2= b

a−

= ( (2p 1))

p 2− − −

+

= 98

98

2 1

2

⋅ −

+ =

54258

= 25

Jadi, jumlah kedua akar 25 .

10. Jawaban: bx1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 – 7x – 6 = 0.

x1 + x2 = b

a−

= 72

x1x2 = ca =

62

− = –3

1

1x

+ 2

1x

= 2 1

1 2

x xx x

+

= 723−

= –76

11. Jawaban: cJika α dan β adalah akar-akar darix2 – (k + 1)x + (k + 3) = 0 maka:α + β = k + 1 dan αβ = k + 3.Oleh karena diketahui akar yang satu dua kali akaryang lain, β = 2α maka berlaku:α + β = 3α = k + 1 ⇔ k = 3α – 1 danα · β = 2α2 = k + 3 ⇔ k = 2α2 – 3sehingga diperoleh:3α – 1 = 2α2 – 3 ⇔ 2α2 – 3α – 2 = 0

⇔ (2α + 1)(α – 2) = 0

⇔ α1 = –12 atau α2 = 2

α1 = –12 ⇒ k = 3 × (–

12 ) – 1= –

52

α2 = 2 ⇒ k = 3 × 2 – 1 = 512. Jawaban: e

Akar-akar x2 + (a – 1)x + 6 = 0 adalah x1 dan x2.

x1 + x2 = –ba = –(a – 1) = 1 – a

x1 · x2 = ca = 6

Oleh karena berlaku x12 + x2

2 = 13 maka:x1

2 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2)

2 – 2x1x2 = 13⇔ (1 – a)2 – 2 · 6 = 13⇔ 1 – a = ± 25

⇔ a = 1 ±5⇔ a = –4 atau a = 6

Oleh karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6.13. Jawaban: e

p2x2 – 4px + 1 = 0 punya akar yang saling ber-kebalikan maka berlaku:

a = c⇔ p2 = 1

⇔ p = ± 1⇔ p = ±1Jadi, p = 1 atau p = –1.

14. Jawaban: a3x2 + 5x + 1 = 0 mempunyai akar α dan β

α + β = 5

3−

, αβ = 13

21

α + 2

1β

= 2 2

2( )α + β

αβ

= 2

2( ) 2

( )α + β − αβ

αβ

= 5 12

3 31 23

( ) 2

( )

− − ⋅

= 19919

= 19


15. Jawaban: cα dan β akar-akar x2 + (a – 1)x + 2 = 0α · β = 2 ⇔ 2β · β = 2

⇔ β2 = 1⇔ β = ±1

α + β = –(a – 1) ⇔ 2β + β = 1 – a⇔ 3β = 1 – a⇔ a = 1 – 3β

Untuk β = 1 ⇒ a = 1 – 3(1) = –2Untuk β = –1 ⇒ a = 1 – 3(–1) = 4Oleh karena a > 0 maka nilai a yang memenuhi 4.

16. Jawaban: dx2 – mx + 4 + m = 0

|x1 – x2| = Da

⇒2( m) 4(4 m)

1− − + = 4

⇔ m2 – 16 – 4m = 16⇔ m2 – 4m – 32 = 0⇔ (m – 8)(m + 4) = 0⇔ m = 8 atau m = –4

x1 + x2 = b

a−

= mJadi, jumlah akar-akarnya –4 atau 8.

17. Jawaban: dOleh karena α dan β adalah akar-akar daripersamaan x2 + ax + b = 0 maka α · β = b danα + β = –a.α2β + αβ2 = 6 ⇔ αβ(α + β) = 6

⇔ (–a)b = 6

⇔ b = 6

a−

α–1 + β–1 = 32 ⇔

α + βαβ =

32

⇔ ab

−=

32

⇔ –a = 32 b

⇔ –a = 32 ×

6a

−

⇔ –a2 = –9 ⇔ a2 = 9

b2 = (6

a−

)2 = 236a

= 369 = 4

Jadi, nilai a2 – b2 = 9 – 4 = 5.18. Jawaban: e

p dan q akar-akar dari 2x2 + 2px – q2 = 0

p – q = Da = 6

⇔2 2(2p) 4 2 q

2+ ⋅ ⋅

= 6

⇔2 24p 8q2+ = 6

⇔ 2 2p 2q+ = 6⇔ p2 + 2q2 = 36 . . . (1)

p – q = 6 ⇔ p = 6 + q . . . (2)Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1):

(6 + q)2 + 2q2 = 36⇔ 36 + 12q + q2 + 2q2 = 36⇔ 3q2 + 12q = 0⇔ 3q(q + 4) = 0⇔ q = 0 atau q = –4Untuk q = –4 ⇒ p = 6 + (–4) = 2Jadi, pq = 2 · (–4) = –8.

19. Jawaban: cx2 + bx – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2x1 + x2 = –b dan x1 · x2 = –2

1

2

x2x

= (x1 – 12 )

⇔ x1 = 2x2(x1 – 12 )

⇔ x1 = 2x2 · x1 – 2x2 · 12

⇔ x1 = 2x2 · x1 – x2⇔ x1 + x2 = 2x1 · x2⇔ –b = 2(–2)⇔ b = 4

20. Jawaban: e2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2

x1 + x2 = –3 dan x1 · x2 = 32

Misalkan a = x1 + x2 = –3 dan b = x1 · x2 = 32 .

Persamaan kuadrat dengan akar-akar a dan b:x2 – (a + b)x + ab = 0

⇔ x2 – (–3 + 32 )x + (–3)

32 = 0

⇔ x2 + 32 x –

92 = 0

⇔ 2x2 + 3x – 9 = 021. Jawaban: b

2x2 + x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2

x1 + x2 = –ba =

12−

dan x1 · x2 = ca = –1

Misalkan akar-akar baru y1 = 1

1x

+ 1 dan

y2 = 2

1x

+ 1.

y1 + y2 = (1

1x

+ 1) + (2

1x

+ 1)

= 1

1x

+ 2

1x

+ 2

= 1 2

1 2

x xx x

+ + 2

= 1

2

1

−

− + 2 =

12 + 2 =

52


y1 · y2 = (1

1x

+ 1)(2

1x

+ 1)

= 1 2

1x x

+ 1

1x

+ 2

1x

+ 1

= 1 2

1x x

+ 1 2

1 2

x xx x

+ + 1

= 11− +

12

1

−

− + 1 = –1 +

12 + 1 =

12

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya y1 dan y2:x2 – (y1 + y2)x + y1y2 = 0

x2 – 52 x +

12 = 0

––––––––––––––––––––– × 2⇔ 2x2 – 5x + 1 = 0

22. Jawaban: aAkar-akar dari x2 + 5x – 2 = 0 adalah x1 dan x2,maka x1 + x2 = –5 dan x1 · x2 = –2.Misal akar-akar baru y1 = x1 – 3 dan y2 = x2 – 3.y1 + y2 = (x1 – 3) + (x2 – 3)

= x1 + x2 – 6= –5 – 6 = –11

y1y2 = (x1 – 3)(x2 – 3)= x1x2 – 3(x1 + x2) + 9= –2 – 3(–5) + 9 = 22

Persamaan kuadrat baru yang akarnya y1 dan y2:x2 – (y1 + y2)x + y1y2 = 0

⇔ x2 – (–11)x + 22 = 0⇔ x2 + 11x + 22 = 0

23. Jawaban: cx1 dan x2 akar-akar x2 – x + 2 = 0x1 + x2 = 1x1 · x2 = 2Persamaan kuadrat baru yang akarnya 2x1 – 2dan 2x2 – 2 adalah:⇔x2 – (2x1 – 2 + 2x2 – 2)x + (2x1 – 2)(2x2 – 2)= 0⇔ x2 – (2x1 + 2x2 – 4)x + 4x1x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 0⇔x2 – (2(x1 + x2) – 4)x + 4x1x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 0⇔ x2 – (2(1) – 4)x + 4·2 – 4(1) + 4 = 0⇔ x2 + 2x + 8 = 0

24. Jawaban: bPersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyaiakar α dan β.

α + β = b

a−

dan α · β = ca

Persamaan kuadrat baru yang akarnya –α dan–β adalahx2 – (–α + (–β))x + (–α)(–β) = 0⇔ x2 – (–(α + β))x + α · β = 0⇔ x2 + (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 + b

a−

x + ca = 0

–––––––––––––––––––––– × a⇔ ax2 – bx + c = 0

25. Jawaban: dx2 – 5x – 1 = 0 mempunyai akar p dan qp + q = 5 dan pq = –1Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya2p + 1 dan 2q + 1 adalah:

x2 – (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0⇔ x2 – (2(p + q) + 2)x + (4pq + 2(p + q) + 1) = 0⇔ x2 – (2(5) + 2)x + (4(–1) + 2(5) + 1) = 0⇔ x2 – 12x + 7 = 0Jadi, persamaan kuadrat baru x2 – 12x + 7 = 0.

B. Uraian

1. a. x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x – 2) = 0⇔ x = 4 atau x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 4}.b. 5x2 = 6x – 1 ⇔ 5x2 – 6x + 1 = 0

⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0

⇔ x = 15 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya {15 , 1}.

2. a. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

⇔ x2 – (–12 + 3)x + (–

12 · 3) = 0

⇔ x2 – 52 x –

32 = 0

––––––––––––––––––––––––––– × 2⇔ 2x2 – 5x – 3 = 0

b. (x – x1)(x – x2) = 0⇔ (x – 5 )(x + 5 ) = 0

⇔ x2 – ( 5 )2 = 0⇔ x2 – 5 = 0

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2px + p = 0adalah x1 dan x2 maka x1 + x2 = –2p dan x1 · x2 = p.x1

2 + x22 = (x1 + x2)

2 – 2x1 · x2

⇔ 2 = 4p2 – 2p⇔ 4p2 – 2p – 2 = 0⇔ (2p + 1)(2p – 2) = 0

⇔ p = –12 atau p = 1

4. D = b2 – 4ac = (–(2n – 1))2 – 4 · n · n = 4n2 – 4n + 1 – 4n2 = –4n + 1a. Persamaan kuadrat mempunyai akar real jika

D ≥ 0:–4n + 1≥ 0⇔ –4n ≥ –1

⇔ n ≤ 14

b. Persamaan kuadrat mempunyai akar kembarjika D = 0:–4n + 1= 0⇔ –4n = –1

⇔ n = 14


c. Persamaan kuadrat mempunyai akar real danberlainan jika D > 0:–4n + 1> 0⇔ –4n > –1

⇔ n < 14

d. Persamaan kuadrat mempunyai akar imajinerjika D < 0:–4n + 1< 0⇔ –4n < –1

⇔ n > 14

5. a dan b akar-akar persamaan x2 – x + 3 = 0 maka:α + β = 1α · β = 3a. x2 – (x1 + x2)x + x1·x2 = 0

⇔ x2 – (1

1α + + 11β +

)x + 1

1α +1

1β += 0

⇔ x2 – (1 1

( 1)( 1)β + + α +α + β + )x +

1( 1)( 1)α + β + = 0

⇔ x2 – ( 2( ) 1

α + β +αβ + α + β +

)x + 1( ) 1αβ + α + β +

= 0

⇔ x2 – (1 2

3 1 1+

+ + )x + 13 1 1+ +

= 0

⇔ x2 – 35 x +

15 = 0

⇔ 5x2 – 3x + 1 = 0

b. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0⇔ x2 – (α2 + β2)x + α2 · β2 = 0⇔ x2 – ((α + β)2 – 2α · β)x + (αβ)2 = 0⇔ x2 – (12 – 2 · 3)x + 32 = 0⇔ x2 + 5x + 9 = 0

c. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0⇔ x2 – (α3 + β3)x + α3 · β3 = 0⇔x2 – ((α + β)3 – 3αβ(α + β))x + (αβ)3 = 0⇔ x2 –(13 – 3 · 3 · 1)x + 33 = 0⇔ x2 + 8x + 27 = 0

d. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0

⇔ x2 – (αβ +

βα )x +

αβ ×

βα = 0

⇔ x2 – (α + β

α ⋅ β

2 2

)x + 1 = 0

⇔ x2 – (α + β αβ

α ⋅ β

2( ) – 2)x + 1 = 0

⇔ x2 – (21 2 3

3− ⋅ )x + 1 = 0

⇔ x2 + 53 x + 1 = 0

6. Persamaan kuadrat x2 – (2 + 6a) x + 3a = 0Misal akar-akarnya x1 dan x2.a. x1 dan x2 saling berkebalikan berarti:

x1 x2 = 1

⇔ 3a1 = 1 ⇔ a =

13

Jadi, nilai a = 13 .

b. Persamaan kuadrat tersebut:

x2 – (2 + 6(13 )) x + 3(

13 )= 0

⇔ x2 – (2 + 2) x + 3(13 ) = 0

⇔ x2 – 4x + 1 = 0

x1,2 = 2b b 4ac

2a− ± −

= 24 ( 4) 4 1 1

2 1± − − ⋅ ⋅

⋅

= 4 16 42

± −

= 4 2 32

±

= 2 ± 3

x1 = 2 + 3 atau x2 = 2 – 3 .

Jadi, kedua akar tersebut adalah 2 + 3 dan

2 – 3 .

7. x2 + 4x + (k – 1) = 0

x1 + x2 = 41

− = –4

x1 · x2 = k 1

1−

= k – 1

a. 1

2

xx + 2

1

xx =

14

⇔2 21 2

1 2

x xx x

+=

14

⇔2

1 2 1 2

1 2

(x x ) 2x xx x

+ −=

14

⇔2( 4) 2(k 1)k 1

− − −− =

14

⇔16 2k 2

k 1− +

− = 14

⇔18 2k

k 1−− =

14

⇔ 72 – 8k = k – 1⇔ 73 = 9k

⇔ k = 739

Jadi, nilai k = 739 .


b. Nilai k = 739 disubstitusikan ke persamaan

kuadrat:

x2 + 4x + (739 – 1) = 0

⇔ x2 + 4x + 649 = 0

⇔ 9x2 + 36x + 64 = 0Jadi, persamaan kuadrat itu 9x2 + 36x + 64 = 0.

c. Untuk melihat sifat akar persamaan kuadrat,dihitung dulu nilai D.D = b2 – 4ac

= 362 – 4(9)(64)= 1.296 – 2.304= –1.008

Karena D < 0, berarti persamaan kuadrattersebut tidak memiliki akar real.

8. a. Misalkan akar-akar persamaan ax2 + bx + c= 0 adalah x1 dan x2, dan akar-akar per-samaan kuadrat yang baru adalah α dan β.α = –x1 dan β = –x2α + β = –x1 + (–x2)

= –(x1 + x2)

= –(–ba )

= ba

α β = –x1 (–x2)= x1 x2

= ca

Persamaan kuadrat baru:

x2 – (α + β)x + αβ = 0

⇔ x2 – ba x +

ca = 0

⇔ ax2 – bx + c = 0Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnyaberlawanan dengan akar-akar ax2 + bx + c = 0adalah ax2 – bx + c = 0.

b. Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaanax2 + bx + c = 0 dan akar-akar persamaankuadrat yang baru α dan β.α = x1

3 dan β = x23

α + β = x13 + x2

3

= (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1 + x2)

= (b

a−

)3 – 3(ca )(–

ba )

= 3

3ba

+ 23bca

= 3

3b 3abc

a+

α β = x13 ⋅ x2

3

= (x1 x2)3

= (ca )3

= 3

3ca

Persamaan kuadrat yang baru adalah:x2 – (α + β)x + αβ = 0

⇔ x2 – 3

3b 3abc

a+ x +

3

3ca

= 0

⇔ a3x2 – (b3 + 3abc)x + c3 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnyapangkat tiga dari akar-akar ax2 + bx + c = 0adalah a3x2 – (b3 + 3abc)x + c3 = 0.

9. a. 2x2 – kx + 2 = 0Kedua akarnya real kembar berarti D = 0

b2 – 4ac = 0⇔ (–k)2 – 4 ⋅ 2(2) = 0⇔ k2 – 16 = 0⇔ (k + 4)(k – 4) = 0⇔ k = –4 atau k = 4Jadi, nilai k yang positif adalah k = 4.

b. Persamaan kuadrat:2x2 – 4x + 2 = 0

⇔ x2 – 2x + 1 = 0

c. x1 + x2 = –ba = 2

x1 x2 = ca = 1

31

1x

+ 32

1x

= 3 3

1 23 3

1 2

x xx x

+

= 3

1 2 1 2 1 23

1 2

(x x ) 3x x (x x )(x x )

+ − +

= 3

32 3(1)(2)

1−

= 8 6

1−

= 2

10. a. x2 + mx – 4 = 0

x1 + x2 = –ba = –m

x1x2 = ca = –4

x12 – 2x1x2 + x2

2 = 8m⇔ (x1 + x2)

2 – 2x1x2 – 2x1x2 = 8 m⇔ (x1 + x2)

2 – 4x1x2 = 8 m⇔ m2 – 8m + 16 = 0⇔ (m – 4)2 = 0⇔ m = 4Jadi, nilai m = 4.


b. Persamaan kuadratnya x2 + 4x – 4 = 0

c. x1,2 = 2b b 4ac

2a− ± −

= 24 4 4 1 ( 4)

2− ± − ⋅ ⋅ − = 4 16 16

2− ± +

= 4 4 22

− ± = –2 ± 2 2

x1 = –2 + 2 2 dan x2 = –2 – 2 2

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c12 – 4x – x2 < 0⇔ (2 – x)(6 + x) < 0Pembuat nol:x = 2 atau x = –6

Himpunan penyelesaiannya {x | x < –6 atau x > 2}.2. Jawaban: c

9(x – 2)2 < (x + 2)2

⇔ 9(x2 – 4x + 4) < (x2 + 4x + 4)⇔ 9x2 – 36x + 36 – x2 – 4x – 4 < 0⇔ 8x2 – 40x + 32 < 0⇔ x2 – 5x + 4 < 0⇔ (x – 4)(x – 1) < 0Pembuat nol x = 4 atau x = 1.

Nilai x yang memenuhi 1 < x < 4.3. Jawaban: a

2 5xx 2−− ≥ 3

⇔ 2 5xx 2−− – 3 ≥ 0

⇔ 2 5x 3(x 2)x 2

− − −− ≥ 0

⇔ 8x 8x 2

− +− ≥ 0

Pembuat nol:–8x + 8 = 0 ⇔ –8x = –8 ⇔ x = 1 ataux – 2 = 0 ⇔ x = 2Syarat: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2

1) untuk x < 1 maka nilai 8x 8x 2

− +− < 0 (tidak

memenuhi)

2) untuk 1 ≤ x < 2 maka nilai 8x 8x 2

− +− ≥ 0

(memenuhi)

3) untuk x > 2 maka nilai 8x 8x 2

− +− < 0 (tidak

memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 1 ≤ x < 2}.4. Jawaban: b

x 12−

+ ax3 < 2x – a

––––––––––––––––––––––––– × 6⇔ 3(x – 1) + 2ax < 6(2x – a)⇔ 3x – 3 + 2ax < 12x – 6a⇔ 12x – 3x – 2ax > –3 + 6a⇔ 9x – 2ax > –3 + 6a⇔ (9 – 2a)x > –3 + 6a

⇔ x > 3 6a9 2a

− +−

dari x > 5 berarti 3 6a9 2a

− +− = 5

⇔ –3 + 6a = 45 – 10a⇔ 16a = 48⇔ a = 3Jadi, nilai a adalah 3.

5. Jawaban: c1

x 3+ ≥ 2

2x 5−

⇔ 1x 3+ –

22x 5− ≥ 0

⇔(2x 5) 2(x 3)

(x 3)(2x 5)− − ++ − ≥ 0

⇔2x 5 2x 6(x 3)(2x 5)

− − −+ − ≥ 0

⇔11

(x 3)(2x 5)−

+ − ≥ 0

Pembuat nol x = –3 dan x = 52

Syarat: (x + 3)(2x – 5) ≠ 0 ⇔ x ≠ –3 atau x ≠ 52

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 52 ,

x ∈ R}.6. Jawaban: c

2

2x 4x 3x 3x 10

− +− −

≤ 0

⇔ (x 1)(x 3)(x 5)(x 2)

− −− + ≤ 0 dengan syarat x ≠ 5, x ≠ –2

Jadi, penyelesaiannya –2 < x ≤ 1 atau 3 ≤ x < 5.

–6 2

– + –

+ – +1 4

1 2

– + –

+ – +

–3 52

+ – + – +–2 1 3 5


7. Jawaban: ax2 + 5x ≥ 2(2x + 3)

⇔ x2 + 5x ≥ 4x + 6⇔ x2 + 5x – 4x – 6 ≥ 0⇔ x2 + x – 6 ≥ 0⇔ (x + 3)(x – 2) ≥ 0Pembuat nol:x = –3 atau x = 2

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –3 atau x ≥ 2).8. Jawaban: a

3x2 + 2x – 1 < 0 ⇔ (3x – 1)(x + 1) < 0Pembuat nol:

x = 13 dan x = –1

2x2 + x – 3 < 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) < 0Pembuat nol:

x = –32 dan x = 1

Dari (1) dan (2) diperoleh:

Jadi, nilai x yang memenuhi kedua pertidaksama-

an adalah –1 < x < 13 .

9. Jawaban: a| 2x + 4 | ≤ | x – 2 |⇔ (2x + 4)2 ≤ (x – 2)2

⇔ (2x + 4 + x – 2)(2x + 4 – (x – 2)) ≤ 0⇔ (3x + 2)(x + 6) ≤ 0Pembuat nol:(3x + 2)(x + 6) = 0

⇔ x = –23 atau x = –6

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –6 ≤ x ≤ –23 }.

10. Jawaban: d210 x− < 2 + x

⇔ 10 – x2 < (2 + x)2

⇔ 10 – x2 < 4 + 4x + x2

⇔ 2x2 + 4x – 6 > 0⇔ x2 + 2x – 3 > 0

–3 2+ – +

–1 132

− 13

+ – +

–1 13

. . . (1)

+ – +

132

−

. . . (2)

+ – +

–6 23

−

Pembuat nol:x2 + 2x – 3 = 0⇔ (x + 3)(x – 1) = 0⇔ x = –3 atau x = 1

Syarat-syarat lain:a. agar mempunyai penyelesaian maka

10 – x2 ≥ 0 ⇔ ( 10 – x)( 10 + x) ≥ 0Pembuat nol:x = – 10 dan x = 10

b. 2 + x > 0 ⇔ x > –2

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut1 < x ≤ 10 .

11. Jawaban: d–x2 + 4x + 5 ≤ 0⇔ (–x + 5)(x + 1) ≤≤≤≤≤ 0Pembuat nol:x = 5 atau x = –1

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 5}.12. Jawaban: e

x2 – 10x + 21 < 0⇔ (x – 7)(x – 3) < 0Pembuat nol:x = 7 atau x = 3

Himpunan penyelesaian: {x | 3 < x < 7, x ∈ R}.13. Jawaban: d

2x2 + x – 1 ≤ 0⇔ (2x – 1) (x + 1) ≤ 0Pembuat nol:2x – 1= 0 atau x + 1 = 0

⇔ x = 12 atau x = –1

Grafik himpunan penyelesaian:

10− 10–3 –2 1

+ – +

–3 1

– + –

1010−

– + ––1 5

3 7

+ – +

–1 12

+ – +


14. Jawaban: b2

2x 10x 21x 4x 5

− +− − ≤ 0

⇔(x 3)(x 7)(x 5)(x 1)

− −− + ≤ 0

Grafik himpunan penyelesaian:

Himpunan penyelesaian: {x | –1 < x ≤ 3 atau 5 < x ≤ 7}.15. Jawaban: a

x(x 4)+ < 2 3

⇔ x(x + 4) < (2 3 )2

⇔ x2 + 4x < 12⇔ x2 + 4x – 12 < 0⇔ (x + 6) (x – 2) < 0Pembuat nol:x = –6 atau x = 2Grafik penyelesaian:

Syarat: x(x + 4) ≥ 0Pembuat nol:x = 0 atau x = –4

Irisan kedua grafik

Nilai x yang memenuhi: –4 ≤ x ≤ 0.

B. Uraian

1. a. 7 – 19x – 6x2 > 0 Û (7 + 2x)(1 – 3x) > 0

Pembuat nol adalah x = –72 dan x =

13

Jadi, penyelesaiannya –72 < x <

13 .

b.53 x2 < 6 – 3x

⇔ 53 x2 + 3x – 6 < 0––––––––––––––– × 3

⇔ 5x2 + 9x – 18 < 0⇔ (5x – 6)(x + 3) < 0

Pembuat nol adalah x = 65 dan x = –3.

Jadi, penyelesaiannya –3 < x < 65 .

+ – + – +

–1 3 5 7

+ – +

–6 2

–4 0

– + –

–6 –4 0 2

2. a. 12x 3−

< 2x 4+

Û 12x 3−

– 2x 4+

< 0

⇔ x 4 2(2x 3)(2x 3)(x 4)+ − −

− +< 0

⇔ x 4 4x 6(2x 3)(x 4)+ − +− +

< 0

⇔ 3x 10(2x 3)(x 4)

− +− +

< 0

Pembuat nol: x = 103 , x =

32 , dan x = –4.

Jadi, himpunan penyelesaiannya

{x | –4 < x < 32 atau x >

103 , x ∈ R}

b.2

2x 4x 3

x 3x− +

− ≥ 0

Pembuat nol:1) x2 – 4x + 3 = 0

⇔ (x – 3)(x – 1) = 0⇔ x = 3 atau x = 1

2) x2 – 3x = 0⇔ x(x – 3) = 0⇔ x = 0 atau x = 3

Syarat agar punya penyelesaian:x2 – 3x ≠ 0⇔ x(x – 3) ≠ 0⇔ x ≠ 0 atau x ≠ 3

Jadi, himpunan penyelesaian {x | x < 0 ataux ≥ 1, x ≠ 3}.

3. 12x 1−

³ 21

2x x 1+ −

⇔ 12x 1−

– 21

2x x 1+ −≥ 0

⇔ 12x 1−

– 1(2x 1)(x 1)− +

≥ 0

⇔ x 1 1(2x 1)(x 1)

+ −− +

≥ 0

⇔ x(2x 1)(x 1)− +

≥ 0

Pembuat nol:

x = 0, x = –1, dan x = 12

– + –

– 72

13

+ – +

–3 65

+ – + +

0 1 3

+ – + –

–4 32

103

– + – +

–1 0 12


Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –1 < x ≤ 0

atau x > 12 , x ∈ R}.

4.2x 6x 1

++ > 0

⇔ 22x 6(x 1)

++ > 0

Pembuat nol:2x + 6 = 0 atau x + 1 = 0

⇔ x = –3 ⇔ x = –1Syarat: 2x + 6 ≥ 0⇔ x ≥ –3

Himpunan penyelesaian: {x | x > –3 dan x ≠ –1}Diperoleh: a = –3 b = –1a2 – b2 = (–3)2 – (–1)2

= 9 – 1= 8

Jadi, a2 – b2 = 8.

5.2x 9

x 2−−

≤ 0 ⇔ (x 3)(x 3)x 2

+ −− £ 0

Pembuat nol: x = –3, x = 2, dan x = 3Syarat: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –3 atau2 < x ≤ 3.

6. 3p2 + 3p – 6 > 0 ⇔ (3p + 6)(p – 1) > 0Pembuat nol:(3p + 6)(p – 1) = 0 ⇔ p = –2 atau p = 1

. . . (1)

2p2 – 9p + 4 ≤ 0 ⇔ (2p – 1)(p – 4) ≤ 0Pembuat nol:

(2p – 1)(p – 4) = 0 ⇔ p = 12 atau p = 4

. . . (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

. . . (3)

Jadi, nilai p yang memenuhi kedua pertidaksama-an tersebut 1 < p ≤ 4.

– + +

–3 –1

– + – +–3 2 3

+ – +

412

+ – +

–2 1

7.2

x 1− + 33

x 1− > 0

⇔2

32(x x 1)

x 1+ +− + 3

3x 1− > 0

⇔2

22x 2x 5

(x 1)(x x 1)+ +

− + + > 0

Pembuat nol pembilang tidak ada.Pembulat nol penyebut: x = 1.

Himpunan penyelesaian: {x | 1 < x}.

8. x + 2 < 4x + 5x + 2

⇔ 2(x 2) (4x 5)

(x 2)+ − +

+ < 0

⇔2x 4x 4 4x 5

x 5+ + − −

+ < 0

⇔2x 1

x 5−+ < 0

⇔(x 1)(x 1)

x 5+ −

+ < 0

Pembuat nol:x = –5, x = –1, dan x = 1Grafik penyelesaian:

Himpunan penyelesaian: {x | x < –5 atau –1 < x < 1}.

9. Persamaan tinggi peluru: h(t) = 40t – 5t2. Akandihitung waktu yang dibutuhkan untuk mencapaitinggi lebih dari 35 m.

h(t) > 35⇔ 40t – 5t2 > 35⇔ 0 > 35 – 40t + 5t2⇔ 0 > 7 – 8t + t2⇔ 0 > (t – 7)(t – 1)Pembuat nol: t = 7 atau t = 1Grafik penyelesaian:

Himpunan penyelesaian: {t | 1 < t < 7}.Jadi, peluru tersebut mencapai tinggi lebih dari35 meter pada saat 1 < t < 7.

10. Syarat suatu persamaan kuadrat mempunyaiakar-akar nyata adalah D ³ 0.⇔ b2 – 4ac ≥ 0⇔ (m – 2)2 – 4(1)(9) ≥ 0⇔ m2 – 4m + 4 – 36 ≥ 0⇔ m2 – 4m – 32 ≥ 0⇔ (m – 8) (m + 4) ≥ 0

–2 1 412

– + – +

–5 –1 1

+ – +

1 7

– +

1


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bMempunyai dua akar real berartiD > 0 ⇔ (p – 2)2 – 4 · 1 (6 + p) > 0

⇔ p2 – 4p + 4 – 24 – 4p > 0⇔ p2 – 8p – 20 > 0⇔ (p – 10)(p + 2) > 0

Pembuat nol: p = 10 dan p = –2

Nilai p yang memenuhi p < –2 atau p > 10.2. Jawaban: b

y = x2 + (m + 1)x + 4 memotong sumbu X di duatitik berarti x2 + (m + 1)x + 4 = 0 mempunyai duaakar real berlainan (D > 0).D > 0⇔ (m + 1)2 – 4 · 1 · 4 > 0⇔ (m + 1)2 – 16 > 0⇔ m2 + 2m + 1 – 16 > 0⇔ m2 + 2m – 15 > 0⇔ (m – 3)(m + 5) > 0Pembuat nol: m = 3 dan m = –5

Nilai m yang memenuhi m < –5 atau m > 3.3. Jawaban: d

Mempunyai dua akar sama berarti D = 0(–2p)2 – 4 · (–p + 2) = 0⇔ 4p2 + 4p – 8 = 0⇔ p2 + p – 2 = 0⇔ (p + 2)(p – 1) = 0⇔ p = –2 atau p = 1

4. Jawaban: eDua akar berkebalikan maka x1 · x2 = 1

⇔ 2k 63

− += 1

⇔ –2k = –6 + 3⇔ –2k = –3

⇔ k = 32

x1 + x2 = b

a−

= 2k 1

3−

= 32

2 1

3

⋅ − =

23

+ – +

–4 8

Pembuat nol: m = 8 atau m = –4Grafik penyelesaian:

Jadi, nilai m yang memenuhi m ≤ –4 atau m ≤ 8.

+ – +–2 10

+ – +

–5 3

5. Jawaban: aMisalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaankuadrat (p – 2)x2 + 2px + p – 1 = 0.Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif danberlainan adalah D > 0.(2p)2 – 4 · (p – 2) · (p – 1) > 0⇔ 4p2 – 4(p2 – 3p + 2) > 0⇔ 4p2 – 4p2 + 12p – 8 > 0

⇔ p > 23 . . . (i)

x1 + x2 < 0 ⇔2p

p 2−

− < 0⇔ p < 0 atau p > 2 . . . (ii)

x1 · x2 > 0 ⇔ p 1p 2

−− > 0

⇔ p < 1 atau p > 2 . . . (iii)Dari ketiga syarat di atas diperoleh nilai p yangmemenuhi adalah p > 2.

6. Jawaban: ay = (m – 3)x2 + 4x + m memotong sumbu X di satutitik berarti persamaan (m – 3)x2 + 4x + m = 0mempunyai akar kembar (D = 0).D = 0⇔ 42 – 4(m – 3)m = 0⇔ 16 – 4m2 + 12m = 0⇔ 4m2 – 12m – 16 = 0⇔ m2 – 3m – 4 = 0⇔ (m – 4)(m + 1) = 0⇔ m = 4 atau m = –1

7. Jawaban: cSyarat (1): syarat agar dua akarnya berlainan:D > 0 ⇔ (–8)2 – 4 · 1 · 2a > 0

⇔ 64 – 8a > 0⇔ a < 8

Syarat (2): syarat agar dua akarnya positif:x1 · x2 > 0 ⇔ 2a > 0

⇔ a > 0Jadi, yang memenuhi syarat (1) dan syarat (2)adalah 0 < a < 8.

8. Jawaban: dSubstitusi persamaan garis y = 3x + 4 ke fungsikuadrat y = f(x) = x2 + bx + 4.⇒ 3x + 4 = x2 + bx + 4⇔ x2 + (b – 3) x = 0Syarat garis menyinggung fungsi kuadrat:D = 0⇔ b2 – 4ac = 0⇔ (b – 3)2 – 4(1)(0) = 0⇔ (b – 3)2 = 0⇔ b = 3Jadi, nilai b = 3.


9. Jawaban: dSubstitusi persamaan garis y = 2x + 1 ke fungsikuadrat y = f(x) = x2 – mx + 5.

x2 – mx + 5 = 2x + 1⇔ x2 – mx – 2x + 5 – 1 = 0⇔ x2 – (m + 2)x + 4 = 0Syarat garis menyinggung fungsi kuadrat:D = 0⇔ b2 – 4ac = 0⇔ (–(m + 2))2 – 4(1)(4) = 0⇔ m2 + 4m + 4 – 16 = 0⇔ m2 + 4m – 12 = 0⇔ (m + 6)(m – 2) = 0Pembuat nol: m = –6 atau m = 2.Karena disyaratkan m > 0 maka m = –6 tidakmemenuhi penyelesaian.Jadi, m = 2.

10. Jawaban: dSubstitusi persamaan garis 2x + y = 1 ⇔ y =1 – 2x ke fungsi kuadrat y = f(x) = x2 + px + 5.⇔ x2 + px + 5 = 1 – 2x⇔ x2 + px + 2x + 5 – 1 = 0⇔ x2 + (p + 2)x + 4 = 0Syarat menyinggung:D = 0

b2 – 4ac = 0⇔ (p + 2)2 – 4(1)(4) = 0⇔ p2 + 4p – 12 = 0⇔ (p + 6)(p – 2) = 0Pembuat nol: p = –6 atau p = 2.Oleh karena disyaratkan p > 0, berarti p = –6 tidakmemenuhi penyelesaian.Jadi, p yang memenuhi adalah p = 2.

11. Jawaban: bSubstitusi y = –x ke y = x2 – 4x + p:

x2 – 4x + p = –x⇔ x2 – 3x + p = 0Syarat grafik fungsi kuadrat dan garis berpotonganadalah D ≥ 0 (karena bisa berpotongan di satutitik atau dua titik)Syarat: D ≥ 0⇔ b2 – 4ac ≥ 0⇔ (–3)2 – 4(1)p ≥ 0⇔ 9 – 4p ≥ 0⇔ 9 ≥ 4p

⇔ 94 ≥ p atau p ≤

94

12. Jawaban: aMisal panjangnya p, maka lebarnya (p – 4).

L = p(p – 4) = 96⇔ p2 – 4p = 96⇔ p2 – 4p – 96 = 0⇔ (p – 12)(p + 8) = 0⇔ p = 12 atau p = –8 (tidak mungkin)Jadi, panjangnya = 12 cm.

13. Jawaban: cSubstitusikan h(t) = t + 14 ke h(t) = 14 + 9t – t2

14 + 9t – t2 = t + 14⇔ t2 – 8t = 0⇔ t(t – 8) = 0⇔ t = 0 atau t = 8Tampak bahwa kedua peluru itu bertemu ketikat = 0 (ketika mulai ditembakkan) dan t = 8.

14. Jawaban: d(i) a – b = 15 ⇔ a = 15 + b . . . (1)(ii) a · b = 154 . . . (2)Substitusi persamaaan (1) ke (2):(15 + b) · b = 154 ⇔ 15b + b2 = 154

⇔ b2 + 15b – 154 = 0⇔ (b + 22)(b – 7) = 0⇔ b = –22 atau b = 7

Untuk b = –22 ⇒ a = 15 + –22 = –7Diperoleh a + b = –7 + (–22) = –29Untuk b = 7 ⇒ a = 15 + 7 = 22Diperoleh a + b = 22 + 7 = 29Jadi, nilai a + b adalah 29 atau –29.

15. Jawaban: eKetinggian peluru pada saat menyentuh tanahadalah nol.h(t) = 0⇔ 40t – 6t2 = 0⇔ t(40 – 6t) = 0⇔ t = 0 atau 40 = 6t

⇔ t = 406 = 6

23 detik

Jadi, peluru kembali ke tanah setelah 623 detik.

B. Uraian

1. Pada persamaan 2x2 – px + p – 2 = 0 diperoleh a= 2, b = –p, dan c = p – 2a. Syaratnya dua akar real berlainan D > 0

(–p)2 – 4 · 2 · (p – 2)> 0⇔ p2 – 8p + 16 > 0⇔ (p – 4)2 > 0(p – 4)2 selalu bernilai positif untuk nilai p ≠ 4.

b. Syarat D = 0 ⇒ (p – 4)2 = 0 ⇔ p = 4Jadi, p = 4.

c. Syarat D < 0 ⇒ (p – 4)2 < 0Tidak ada nilai p yang menyebabkan nilaiD < 0.

2. y = x2 – (m + 3)x + 4 tidak memotong sumbu Xberarti persamaan x2 – (m + 3)x + 4 = 0 tidakmempunyai akar real (D < 0)

D < 0⇔ (–(m + 3))2 – 4 · 1 · 4 < 0⇔ m2 + 6m + 9 – 16 < 0⇔ m2 + 6m – 7 < 0


Pembuat nol:m2 – 6m – 7 = 0⇔ (m – 7)(m + 1) = 0⇔ m = 7 atau m = –1

Jadi, batas-batas nilai m adalah –1 < m < 7.

3. Misalkan kecepatan berlari = v l denganwaktu = tl dan kecepatan sepeda motor = vsdengan waktu = ts.

Diketahui bahwa t + ts = 45 menit = 34 jam dan

vs = v + 14.

t + ts = 34

⇔ 3v

+ s

5v

= 34

⇔ 3v

+ 5v 14+ =

34

⇔3(v 14) 5v

v (v 14)+ +

+ = 34

⇔ 4(3v + 42 + 5v ) = 3(v 2 + 14v )⇔ 32v + 168 = 3v 2 + 42v⇔ 3v 2 + 10v – 168 = 0⇔ (3v + 28)(v – 6) = 0

⇔ v = –283 atau v = 6

Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam.

4. P = (I1 + I2)2 · R

⇔ 80 = (2I2 + I2)2 · 5

⇔ (3I2)2 = 16

⇔ 3I2 = ±4

⇔ I2 = ± 43

⇔ I2 = 43 = 1,33 atau I2 = –

43 (tidak mungkin)

Jadi, I2 = 1,33 A.

5. Misal: banyaknya komputer yang dibeli = n, makabanyaknya komputer yang terjual = n – 1

Harga beli setiap komputer = 240.000.000

n

Harga jual setiap komputer = 270.000.000

n 1−Untuk setiap komputer makauntung = harga jual – harga beli

⇔ 270.000.000n 1− –

240.000.000n = 3.000.000

––––––––––––––––––––––––––––––––– × n(n – 1)⇔ n · 270.000.000 – (n – 1)240.000.000

= 3.000.000 · n(n – 1)⇔ 270n – (n – 1)240 = 3n(n – 1)⇔ 270n – 240n + 240 = 3n2 – 3n⇔ 3n2 – 3n – 30n – 240 = 0

+ – +

–1 7

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: af(x) = x(2x – 1) – 2x2

= 2x2 – x – 2x2 = –x (bukan fungsi kuadrat)2. Jawaban: c

y = f(x) = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu X di

(–12 , 0) berarti:

f(–12 ) = 0

⇔a(–12 )2 – 5(–

12 ) – 3 = 0

⇔ a · 14 +

52 – 3 = 0

–––––––––––––––––––– × 4⇔ a + 10 – 12 = 0⇔ a – 2 = 0⇔ a = 2

3. Jawaban: bf(x) = 2 + 3x

⇔ f(a) = 2 + 3a⇔ 23 = 2 + 3a⇔ 3a = 21⇔ a = 7Jadi, a = 7.

4. Jawaban: ex2 + 1 untuk x ≥ 1

Jika g(x) =x2 – 1 untuk x < 1

–2 < 1 sehingga g(–2) = (–2)2 – 1= 4 – 1 = 3

3 ≥ 1 sehingga g(3) = 32 + 1= 9 + 1 = 10

g(–2) + 2g(–2) g(3) = 3 + 2(3) (10)= 3 + 60 = 63

Jadi, g(–2) + 2g(–2) g(3) = 63.5. Jawaban: a

f(x) = ax2 + bx + 1 memotong sumbu X di titik-titik(1, 0) dan (2, 0).Substitusi (1, 0) dan (2, 0) ke persamaan kuadrat.(1, 0) → 0 = a(1)2 + b(1) + 1 0 = a + b + 1 . . . (1)(2, 0) → 0 = a(2)2 + b(2) + 1 0 = 4a + 2b + 1 . . . (2)

⇔ 3n2 – 33n – 240 = 0⇔ n2 – 11n – 80 = 0⇔ (n – 16)(n + 5) = 0⇔ n = 16 atau n = –5 (tidak mungkin)Jadi, jumlah komputer yang terjual = n – 1= 16 – 1 = 15 komputer.


Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2)a + b + 1 = 0 ×2 2a + 2b + 2 = 0

4a + 2b + 1 = 0 ×1 4a + 2b + 1 = 0––––––––––––– –

–2a + 1 = 0

⇔ a = 12

Substitusi a = 12 ke a + b + 1 = 0:

(12 ) + b + 1 = 0

⇔ b = –12 – 1

⇔ b = –112

Fungsi kuadrat tersebut:

f(x) = 12 x2 – 1

12 x + 1

⇔ f(x) = 12 x2 –

32 x + 1

Nilai ekstrim fungsi di y = –D4a

y = –D4a =

23 1(( ) 4( ) 1)

2 21

42

− − −

⋅ =

9( 2)42

− − = –

18

Oleh karena a > 0 maka grafik fungsi terbuka keatas (mempunyai titik balik minimum).

Jadi, nilai ekstrim fungsi tersebut minimum di –18 .

6. Jawaban: cf(x) = ax2 + bx + cf(2) = 22a + 2b + c

⇔ 0 = 4a + 2b + c . . . (1)f(4) = 42a + 4b + c

⇔ 0 = 16a + 4b + c . . . (2)

Sumbu simetri x = 2 4

2+

= 3

Titik puncak (3,5) ⇒ 5 = 32a + 3b + c5 = 9a + 3b + c . . . (3)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2):4a + 2b + c = 0

16a + 4b + c = 0–––––––––––––– –

–12a – 2b = 0⇔ –12a = 2b⇔ –6a = bEliminasi c dari persamaan (2) dan (3):

16a + 4b + c = 09a + 3b + c = 5

–––––––––––––– – 7a + b = –5 . . . (4)

Substitusi b = –6a ke persamaan (4)7a + (–6a) = –5

⇔ a = –5Substitusi a = –5 ke salah persamaan b = –6a.b = (–6) × (–5) = 30

Substitusi a = –5 dan b = 30 ke (1):4a + 2b + c = 0⇔ 4(–5) + 2(30) + c = 0⇔ –20 + 60 + c = 0⇔ c = –40Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = –5x2 + 30x – 40.

7. Jawaban: aPersamaan x2 – 10x + 11 = 0 mempunyai akar αdan β.α + β = 10 dan αβ = 11Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2)dan (β + 2):x2 – ((α + 2) + (β + 2))x + (α + 2)(β + 2) = 0⇔ x2 – (α + β + 4)x + αβ + 2(α + β) + 4 = 0⇔ x2 – (10 + 4)x + 11 – 2 · 10 + 4 = 0⇔ x2 – 14x – 5 = 0

8. Jawaban: dMisal x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadratx2 + (2a – 3)x + 4a2 – 25 = 0x1 + x2 = 0

⇔ (2a 3)1

− −= 0

⇔ 2a – 3 = 0

⇔ 2a = 3

⇔ a = 32

Substitusi a = 32 ke persamaan kuadrat:

x2 + (2 · 32 – 3)x + 4(

32 )2 – 25 = 0

⇔ x2 – 16 = 0⇔ (x + 4)(x – 4) = 0⇔ x = –4 atau x = 4Jadi, akar-akar persamaan –4 dan 4.

9. Jawaban: d1

2x ≤ 1

3 x− ⇔ 12x –

13 x− ≤ 0

⇔ 3 x 2x2x(3 x)

− −− ≤ 0

⇔3 3x

2x (3 x)−

− ≤ 0

⇔3(1 x)

2x(3 x)−− ≤ 0

Pembuat nol fungsi:x = 1, x = 0, atau x = 3Syarat: 2x(3 – x) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 dan x ≠ 3.

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < 0 dan1 ≤ x < 3, x ∈ R}.

0 1 3

– + – +


10. Jawaban: e

Sumbu simetri x = b

2a−

= –1 ⇔ –(a 3)2(a 2)

−+ = –1

⇔ a – 3 = 2(a + 2)⇔ a – 3 = 2a + 4⇔ a = –7

Fungsi kuadrat f(x) = (–7 + 2) x2 + (–7 – 3) x – 20 ⇔ f(x) = –5x2 – 10x – 20Nilai ekstrim: f(–1) = –5(–1)2 – 10(–1) – 20

= –5 + 10 – 20 = –15Jadi, nilai ekstrim fungsi kuadrat tersebutmaksimum –15.

11. Jawaban: a

x1 + x2 = k1

− = –k

x1 · x2 = m1 = m

(1

1x

+ 2

1x

)2 = 2

2 12

1 2

(x x )(x x )

+

= 2

2km

12. Jawaban: cPersamaan kuadrat 8x2 – 2ax + b = 0 akar-akarnyax1 dan x2.

x2 – (1

1x

+ 2

1x

) x + 1

1x

⋅ 2

1x

= 0

⇔ x2 – 2 1

1 2

(x x )x x

+ x +

1 2

1x x = 0

⇔ x2 – (

2a8b8

) x + 1b8

= 0

⇔ x2 – 2ab x +

8b = 0

⇔ bx2 – 2ax + 8 = 013. Jawaban: b

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar realadalah D ≥ 0.

b2 – 4ac ≥ 0⇔ 32 – 4(1)k ≥ 0 (persamaan kuadrat 1)⇔ 9 – 4k ≥ 0⇔ 9 ≥ 4k

⇔ 94 ≥ k . . . (1)

(1)2 – 4(1)(–k) ≥ 0 (persamaan kuadrat 2)⇔ 1 + 4k ≥ 0⇔ 1 ≥ –4k

⇔ –14 ≤ k . . . (2)

Nilai k yang memenuhi syarat kedua persamaantersebut.

Nilai k yang memenuhi adalah –14 ≤ k ≤

94 .

14. Jawaban: ePersamaan kuadrat x2 + 4x + p = 0.Diperoleh: x1 + x2 = –4

x1 x2 = p

x12 + x2

2 = 12⇔ (x1 + x2)

2 – 2x1x2 = 12⇔ (–4)2 – 2p = 12⇔ 16 – 2p = 12⇔ 4 – 2p = 0⇔ p = 2Jadi, nilai p = 2.

15. Jawaban: aP(–2, 6) pada parabola, berarti:

6 = a(–2)2 – 5(–2) – 12⇔ 6 = 4a + 10 – 12⇔ 6 = 4a – 2⇔ a = 2Diperoleh persamaan parabola y = 2x2 – 5x – 12.Menentukan titik potong garis dan parabola.

2x2 – 5x – 12 = x + 8⇔ 2x2 – 6x – 20 = 0⇔ x2 – 3x – 10 = 0⇔ (x – 5)(x + 2) = 0⇔ x = 5 atau x = –2Untuk x = 5 maka y = 5 + 8 = 13 diperoleh koordinattitik Q (5, 13).Jadi, titik Q(5, 13).

16. Jawaban: dKedua kurva dipotongkan untuk mencari a.ax2 – 2x = 3x – a⇔ ax2 + x + a = 0Syarat memotong di dua titik: D > 0

b2 – 4ac > 0⇔ 12 – 4(a)(a) > 0⇔ 1 – 4a2 > 0⇔ (1 + 2a)(1 – 2a) > 0

Pembuat nol: a = –12 atau a =

12

Grafik penyelesaian:

Jadi, nilai a yang memenuhi –12 < a <

12 .

– 94– 1

4

– + –

– 12 1

2


17. Jawaban: d(x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2)

⇔ 3x – 6 – x2 + 2x ≥ 4x – 8⇔ –x2 + 5x – 6 ≥ 4x – 8⇔ x2 – x – 2 ≤ 0⇔ (x – 2)(x + 1) ≤ 0Pembuat nol: x = 2 atau x = –1.Grafik penyelesaian:

Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2}.18. Jawaban: a

f(x) bernilai negatif berarti f(x) < 0px2 – 4x + p < 0Syarat:(1) p < 0

(2) D < 0b2 – 4ac < 0

⇔ (–4)2 – 4(p)(p) < 0⇔ 16 – 4p2 < 0⇔ (4 – 2p)(4 + 2p) < 0Pembuat nol: p = 2 atau p = –2.

p yang memenuhi (1) dan (2) adalah –2 < p < 0.Jadi, nilai p agar fungsi kuadrat bernilai negatifadalah –2 < p < 0.

19. Jawaban: e

22x 8

x 6x 5−

− + < 0

⇔2(x 4)

(x 5)(x 1)−

− − < 0

Batas-batas x = 5; x = 1; x = 4Grafik penyelesaian:

Jadi, himpunan penyelesaiannya:{x | x < 1 atau 4 < x < 5}

20. Jawaban: e2

2x 4x 4x x 12

− ++ − ≤ 0

2(x 2)(x 4)(x 3)

−+ − ≤ 0

Batas-batas: x = –4; x = 2; x = 3.Grafik penyelesaian:

Jadi, nilai x yang memenuhi: –4 < x < 3.

+ – +

–1 2

0. . . (1)

. . . (2)+ – +

–2 2

– + – +

1 4 5

21. Jawaban: ex2 + 7x + 6 = log 100

⇔ x2 + 7x + 6 = 2⇔ x2 + 7x + 4 = 0

x1 + x2 = –ba = –7

x1 + x2 = ca = 4

x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1 + x2)

= (–7)3 – 3 ⋅ 4 ⋅ (–7)= –343 + 84= –259

Jadi, x13 + x2

3 = –259.22. Jawaban: a

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyaiakar-akar p dan q.Diperoleh:

p + q = –ba dan pq =

ca

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p2qdan pq2:

x2 – (p2q + pq2) x + (p2q ⋅ pq2) = 0⇔ x2 – pq (p + q) x + (pq)3 = 0

⇔ x2 – ca (–

ba ) x + (

ca )3 = 0

⇔ x2 + 2bca

x + 3

3ca

= 0

⇔ a3x2 + abcx + c3 = 0Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnyap2q dan pq2 adalah a3x2 + abcx + c3 = 0.

23. Jawaban: cMisalkan akar-akar x2 – px + 6 = 0 adalah x1 danx2 dengan x1 = 3x2.Diperoleh:

x1 + x2 = –ba

⇔ 3x2 + x2 = p⇔ 4x2 = p

⇔ x2 = p4

x1x2 = ca

⇔ 3x2x2 = 6⇔ x2

2 = 2

⇔ x2 = ± 2

Substitusi x2 = ± 2 ke x2 = p4 .

Untuk x2 = 2 , maka 2 = p4 ⇔ p = 4 2

Untuk x2 = – 2 maka – 2 = p4 ⇔ p = –4 2 .

Jadi, nilai p adalah 4 2 atau –4 2 .–4 2 3


24. Jawaban: dMisalkan absis titik potong terhadap sumbu Xadalah x1 dan x2.Diketahui bahwa x1 + x2 = x1 x2 + 2.x1 dan x2 absis titik potong terhadap sumbu Xberarti x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat(m – 2) x2 – m2x + 3m – 2 = 0, m ≠ 2

Diperoleh x1 + x2 = –ba =

2mm 2−

x1 x2 = ca =

3m 2m 2

−−

x1 + x2 = x1 x2 + 2

⇔ 2m

m 2− = 3m 2m 2

−− + 2

⇔2m (3m 2)

m 2− −

− – 2 = 0

⇔2m 3m 2 2(m 2)

m 2− + − −

− = 0

⇔2m 5m 6

m 2− +

− = 0

⇔(m 2)(m 3)

(m 2)− −

− = 0

⇔ m – 3 = 0⇔ m = 3Jadi, m = 3.

25. Jawaban: af(x) = 18x2 – 3px + p memotong sumbu X di satutitik, berarti D = 0.⇔ b2 – 4ac = 0⇔ (–3p)2 – 4 ⋅ 18 ⋅ p = 0⇔ 9p2 – 72p = 0⇔ 9p(p – 8) = 0⇔ p = 0 atau p = 8Untuk p = 0 maka 3p2 = 0Untuk p = 8 maka 3p2 = 192Jadi, nilai 3p2 adalah 0 atau 192.

26. Jawaban: aGaris 4x = –y = 5 ⇔ y = –4x – 5Parabola y = k(x2 – 1) tidak akan berpotongandengan y = –4x – 5.Substitusi y = –4x – 5 ke parabola y = k(x2 – 1)

–4x – 5 = k(x2 – 1)⇔ –4x – 5 = kx2 – k⇔ kx2 + 4x + 5 – k = 0Syarat tidak berpotongan D < 0.⇔ b2 – 4ac < 0⇔ 42 – 4 ⋅ k ⋅ (5 – k) < 0⇔ 16 – 20k + 4k2 < 0⇔ 4k2 – 20k + 16 < 0⇔ k2 – 5k + 4 < 0⇔ (k – 4)(k – 1) < 0

Pembuat nol: k = 4 atau k = 1.Grafik penyelesaian:

Nilai k yang mungkin adalah 1 < k < 4.27. Jawaban: c

|x – 3|2 – 5| x – 3| < 6⇔ |x – 3|2 – 5| x – 3| – 6 < 0Misalkan p = |x – 3|

p2 – 5p – 6 < 0⇔ (p – 6)(p + 1) < 0Pembuat nol: p = 6 atau p = –1.Grafik penyelesaian:

⇔ –1 < p < 6⇔ –1 < | x – 3| < 6Karena harga mutlak selalu lebih dari atau samadengan 0 makai nilai x memenuhi 0 < |x – 3| < 6.Untuk 0 < |x – 3| diperoleh:i) 0 < x – 3

⇔ 3 < xii) 0 > x – 3

⇔ 3 > xUntuk |x – 3| < 6 diperoleh:iii) |x – 3| < 6

⇔ –6 < x – 3 < 6⇔ 3 – 6 < x < 6 + 3⇔ –3 < x < 9

Dari irisan ketiga penyelesaian tersebut diperoleh–3 < x < 9, x ≠ 3.Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 9,x ≠ 3}.

28. Jawaban: dSyarat parabola memotong di dua titik, D > 0.

b2 – 4ac > 0⇔ (–3m)2 – 4m(3n) > 0⇔ 9m2 – 12mn > 0⇔ 3m2 – 4mn > 0⇔ m(3m – 4n) > 0

Pembuat nol: m = 0 atau m = 4n3 .

Grafik penyelesaian:

Nilai m yang memenuhi m < 0 atau m > 4n3 .

29. Jawaban: dNilai maksimum: y = 1.

D4a−

= 1

1 4

+ – +

–1 6

+ – +

+ – +

0 4n3


⇔2(b 4ac)4a

− − = 1

⇔2(6 4a(a 1))

4a− − + = 1

⇔ –(36 – 4a2 – 4a) = 4a⇔ 4a2 + 4a – 36 = 4a⇔ 4a2 – 36 = 0⇔ a2 – 9 = 0⇔ (a – 3)(a + 3) = 0⇔ a = 3 atau a = –3Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3 atau –3.

30. Jawaban: ey = 3px2 + 2px + 1 selalu di atas y = p – x

⇔ 3px2 + 2px + 1 > p – x⇔ 3px2 + (2p + 1) x + 1 – p> 0Syarat: D < 0

b2 – 4ac < 0⇔ (2p + 1)2 – 4(3p)(1 – p) < 0⇔ 4p2 + 4p + 1 – 12p + 12p2 < 0⇔ 16p2 – 8p + 1 < 0⇔ (4p – 1)(4p – 1) < 0⇔ (4p – 1)2 < 0Tidak ada nilai p yang memenuhi (4p – 1)2 < 0.

B. Uraian

1. Nilai maksimum f(x) adalah 5.D

4a−

= 5

⇔ 2(b 4ac)4a

− − = 5

⇔ 2((k 5) 4( 2)(1 2k))

4( 2)− + − − −

− = 5

⇔2(k 10k 25 8 16k)

8− + + + −

− = 5

⇔ k2 – 6k + 33 = 40⇔ k2 – 6k – 7 = 0⇔ (k – 7)(k + 1) = 0⇔ k = 7 atau k = –1Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 7 atau k = –1.

2. a. Dua akar berkebalikan

x1 ⋅ x2 = 1 ⇔ 2p6 = 1

⇔ p = 3b. Dua akar berlawanan

x1 + x2 = 0 ⇔ –(4p 1)

6+

= 0

⇔ 4p + 1 = 0

⇔ p = –14

3. Misalkan: panjang = plebar =

Keliling kebun = 56⇔ 2(p + ) = 56⇔ p + = 28⇔ p = 28 – L = luas kebun

= p × = (28 – ) = 28 – 2

Diperoleh fungsi luas L( ) = 28 – 2.

a. Luas maksimum yang mungkin.

Lmaks = D

4a−

= 2(b 4ac)4a

− −

= 2(28 4 (1)(0))

4( 1)− − ⋅

−

= 228

4 = 196

Jadi, luas maksimum kebun 196 m2.b. Ukuran kebun sehingga luasnya maksimum.

Lmaks = 196⇒ 28 + 2 = 196⇔ 2 – 28 + 196 = 0⇔ ( – 14)( – 14) = 0⇔ = 14Untuk = 14 ⇒ p = 28 – = 28 – 14 = 14.Jadi, panjang kebun 14 m dan lebar kebun14 m.

4. Fungsi y = (x – a)2 + 5b mempunyai titik puncak(a, 5b).Nilai minimum fungsi 20.Berarti 5b = 20⇔ b = 4Diperoleh y = (x – a)2 + 20Titik potong sumbu Y di (0, 45).

45 = (0 – a)2 + 20⇔ 25 = a2

⇔ a = –5 atau a = 5Untuk a = –5 dan b = 4, maka ab = –20.Untuk a = 5 dan b = 4, maka ab = 20.

5. Persamaan kuadrat 2x2 + 6x + k – 3 = 0 memilikiakar x1 dan x2.

x12 – x2

2 = 15⇔ (x1 + x2)(x1 – x2) = 15

⇔ ba

− · D

a= 15

⇔ 62

− ·

26 4 2(k 3)2

− ⋅ − = 15

⇔ 64

− · 36 8k 24− + = 15

⇔ 36 8k 24− + = 15 4

6×

−


⇔ 36 8k 24− + = –10

⇔ 36 – 8k + 24 = 100

⇔ 60 – 8k = 100

⇔ 8k = 60 – 100

⇔ k = –408 = –5

Jadi, nilai k = –5.

6. (k – 1)x2 + 4x + 2k = 0 mempunyai dua akar realjika D > 0.42 – 4 · (k – 1) · 2k > 0⇔ 16 – 8k2 + 8k > 0⇔ 2 + k – k2 > 0⇔ (2 – k)(1 + k) > 0Pembuat nol: k = 2 dan k = –1

Jadi, batas-batas nilai k agar mempunyai dua akarreal adalah –1 < k < 2 dan k ≠ 1.

7. Diketahui persamaan kuadrat 3x2 – (p – 1)x – 1 =

0, sehingga diperoleh x1 + x2 = p 1

3−

, x1 · x2 =

–13 .

Akar-akar x2 – (2q + 1)x + q = 0 adalah 1

1x dan

2

1x .

1

1x

+ 2

1x

= 2q + 1 ⇔ 1 2

1 2

x xx x

+= 2q + 1

⇔p 1

31

3

−

− = 2q + 1

⇔–(p – 1) = 2q + 1⇔ –p + 1 = 2q + 1⇔ p = –2q

1

1x

· 2

1x

= q ⇔1 2

1x x⋅ = q

⇔ 13

1−

= q

⇔ q = –3Untuk q = –3 maka p = –2q = –2(–3) = 6Jadi, 2p + 3q = 2 · 6 + 3(–3) = 12 – 9 = 3.

8. (i) 2x2 + 5x – 3 < 0⇔ (2x – 1)(x + 3) < 0

Pembuat nol: x = 12 dan x = –3

Grafik penyelesaiannya:

Himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 12 ,

x ∈ R}.

– + ––1 2

(ii) 2x2 + x – 6 < 0⇔ (2x – 3)(x + 2) < 0

Pembuat nol: x = 32 dan x = –2.

Grafik penyelesaiannya:

Himpunan penyelesaiannya {x | –2 < x < 32 ,

x ∈ R}.Dari (1) dan (2) diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| –2 < x < 12 ,

x ∈ R}.

9. f(x) = 2(x 5)(x 3x 3)

x 2+ − +

−Akan dicari nilai x sehingga f(x) sekurang-kurangnya nol.f(x) ≥ 0

⇔2(x 5)(x 3x 3)

x 2+ − +

− ≥ 0

x2 – 3x – 3 selalu bernilai positif untuk berapa punnilai x. Sehingga batas-batas penyelesaiannyax = –5 dan x = 2.Grafik penyelesaian:

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –5 atau x > 2.

10 Misal: jumlah jeruk yang dibeli (dalam kg) = xjumlah jeruk yang dijual (dalam kg) = x – 1

Keuntungan penjualan setiap kg jeruk:untung = harga jual – harga beli

⇔ 270.000x 1− –

240.000x = 3.000

–––––––––––––––––––––––––––––––– × (x – 1)x⇔ 270.000x – 240.000(x – 1) = 3.000(x – 1)x⇔ 270x – 240(x – 1) = 3(x – 1)x⇔ 270x – 240x + 240 = 3x2 – 3x⇔ 30x + 240 = 3x2 – 3x⇔ 3x2 – 33x – 240 = 0⇔ x2 – 11x – 80 = 0⇔ (x – 16)(x + 5) = 0⇔ x = 16 atau x = –5

(tidak mungkin)Jadi, jumlah jeruk yang dibeli 16 kg.

+ – +

–3 12

. . . (1)

+ – +

–2 32

+ – +

----

----

+ – +----

----

–2 32

–3 12

+ – +

–5 2


Latihan Ulangan Tengah Semester

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

30 500− = 30 4.125− = 30 2 125−Dicari 2 bilangan jika dijumlah = 30 dan dikali =125, yaitu 25 dan 525 + 5 = 30 dan 25 · 5 = 125, sehingga diperolehbentuk:

= 30 2 125−

= 25 5 2 25 5+ − ⋅

= 25 – 5

= 5 – 52. Jawaban: a

143 2−

× 3 23 2

++

= 14(3 2)9 2

+−

= 14(3 2)7+

= 2(3 + 2 )

= 6 + 2 2

3. Jawaban: a2 2

1a b

(ab)

− −

−+ =

2 21 1

a b1

ab

+

=

2 2

2 2b a

a b1

ab

+

= 2 2

2 2a b

a b+ × ab =

2 2a bab+

4. Jawaban: b329 –

23(27)−

= 322(3 ) –

233(3 )−

= 33 – 3–2 = 27 – 19 =

26 89

5. Jawaban: e5log

15 5 = 5log

325−

= – 23

6. Jawaban: b25( 3 2)( 3 2)

2 2 3+ −

− = 5( 3 2)( 3 2)( 3 2)

2 2 3+ − −

−

= 5(3 2)( 3 2)2 2 3− −

− = 5( 3 2)

2 2 3−−

= 5( 3 2)2 2 3

−−

× 2 2 32 2 3

++

= 5(2 6 3 4 6)8 3

+ − −−

= 5( 6 1)5

− = 6 – 1

7. Jawaban: d7log 2 = a ⇔ log 2

log 7 = a ⇔ log 7 = log 2a

2log 3 = b ⇔ log 3log 2 = b ⇔ log 3 = b log 2

6log 98 = log 98log 6 = log 2 49

log 2 3⋅⋅ = log 2 log 49

log 2 log 3++

= 2log 2 log 7

log 2 log 3++ = log 2 2 log 7

log 2 log 3++

= log 2

alog 2 2log 2 b log 2

++ =

2a(1 )log 2

(1 b)log 2++

= 2a(1 )

(1 b)++ = a 2

a(1 b)++

8. Jawaban: c 2log 5 × 5log 8 = 2log 8 = 3

9. Jawaban: b(log 15 – log 150)(log75 – log 7,5)= (log 15 – log 15.10)(log 7,5 . 10 – log 7,5)= (log 15 – log 15 – log 10)(log 7,5 + log 10 – log 7,5)= (–log 10)(log 10) = (–1)(1) = –1

10. Jawaban: c4

1 1 1

+ + = 4

1 1 1

+ + = 4

1 2

+

= 41

2(1 2)

+ = (1 + 2 )2

= 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2

11. Jawaban: c12

3 527y

16x y

−−

−

22

327y4x

= 3 5

216x y27y

−

− × 4

627 27y

16x⋅

= 27x3 – 6y4 – 5 + 2

= 27x–3y

= 327yx

12. Jawaban: bn = x – yx – y

= 2 – (–2)2 – (–2) = 2 – (–24) = 2 – 16 = –1413. Jawaban: b

16(x – 5)2 – 25 = 0 ⇒ ingat bentuk a2 – b2 =(a + b)(a – b)(4(x – 5))2 – (5)2 = 0⇔ (4(x – 5) + 5)(4(x – 5) – 5) = 0⇔ (4x – 15)(4x – 25) = 0⇔ (4x – 15) = 0 atau (4x – 25) = 0

⇔ x = 154 atau x = 25

4

14. Jawaban: d2x2 + 3x – 2 = 0⇔ (2x – 1) (x + 2) = 0

⇔ x = 12 atau x = –2

Akar-akar dari persamaan 2x2 + 3x – 2 = 0 adalah

x = 12 atau x = –2.


3x2 + 52 x – 2 = 0

⇔ 6x2 + 5x – 4 = 0⇔ (3x + 4) (2x – 1) = 0

⇔ x = 43

− atau x = 12

Akar-akar dari persamaan 3x2 + 52 x – 2 = 0

x = 43

− atau x = 12 .

Akar persekutuan dari persamaan 2x2 + 3x – 2 =

0 dan 3x2 + 52 x – 2 = 0 adalah x = 1

2 .

Substitusikan x = 12 ke persamaan x2 – 3ax + 2 = 0

sehingga diperoleh:14 – 3

2 a + 2 = 0

⇔ – 32 a = –2 – 1

4

⇔ 32 a = 2 1

4

⇔ a = 32

Jadi, nilai a2 – 2a = ( 32 )2 – 2 × 3

2

= – 34

15. Jawaban: bx2 – 6x + b = 0 ⇒ a = 1, b = –6, c = p

x1 + x2 = – ba = –( 6

1− ) = 6; x1 · x2 = c

a = p1 = p

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 18

⇔ 62 – 2b = 18⇔ 36 – 18 = 2b⇔ b = 9

16. Jawaban: c2x2 + kx +2 = (4k – 22)x2 – 2kx + 4⇔ 2x2 – (4k – 22)x2 + kx + 2kx + 2 – 4 = 0⇔ (24 – 4k)x2 + 3kx – 2 = 0Diperoleh a = 24 – 4k, b = 3k, c = –2Misal akar-akar dari persamaan adalah x1 dan x2maka:

x1 + x2 = – ba ⇔ – 3k

24 4k− = – 320

⇔ 24 – 4k = k . 20⇔ 24k = 24⇔ k = 1

17. Jawaban: e6x2 – 48x + 90 = 0 ⇒ a = 6, b = –48, c = 90x1

2 – x22 = ( x1 + x2)(x – x2)

x1 + x2 = – ba = –( 48

6− ) = 8

x1 – x2 = Da =

2b 4aca− =

2( 48) 4 6 906

− − ⋅ ⋅

= 1446

= 126

= 2x1

2 – x22 = 8 ⋅ 2 = 16

18. Jawaban: b(k – 2)x2 – k2x + (3k – 2) = 0 ⇒ a = k – 2, b = –k2,c = 3k – 2

p + q = – ba = –(

2kk 2−− ) =

2kk 2−

p · q = ca = 3k 2

k 2−

−(p + q) = 2 + (pq)

⇒2k

k 2− = 2 + 3k 2k 2

−−

⇔2k

k 2− = 2(k 2)k 2

−− + 3k 2

k 2−

−

⇔2k

k 2− = 5k 6k 2

−−

⇔ k2 – 5k + 6 = 0⇔ (k – 2 )(k – 3) = 0⇔ k = 2 atau k = 3

19. Jawaban: ba. 2x2 – 7x = 0 ⇒ D = (–7)2 – 4 · 2 · 0 = 49

(dua akar real)b. x2 – 3x + 15 = 0 ⇒ D = (–3)2 – 4 · 1 · 15 = –51

(dua akar tidak real)c. 2x2 – 8x + 3 = 0 ⇒ D = (–8)2 – 4 · 2 · 3 = 40

(dua akar real)d. x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ D = (–4)2 – 4 · 1 · 4 = 0

(dua akar sama)e. 3x2 – 9 = 0 ⇒ D = 02 – 4 · 3 · (–9) = 108

(dua akar real)20. Jawaban: d

2x2 – (3r + 1)x + 3 = 0 ⇒ a = 2, b = –(3r + 1),c = –3Syarat persamaan kuadrat tersebut mempunyaidua akar berlawanan (x1 = –x2) adalah b = 0.–(3r + 1) = 0

⇔ –3r – 1 = 0

⇔ r = – 13

21. Jawaban: anx2 – (2n – 3)x + (n + 6) = 0 ⇒ a = n, b = –(2n – 3),c = a + 6Syarat mempunyai akar kembar ⇒ D = 0

(–(2n – 3))2 – 4 · n · (n + 6) = 0⇔ 4n2 – 12n + 9 – 4n2 – 24n = 0⇔ –36n = –9

⇔ n = 14


sehingga persamaan kuadratnya menjadi14 x2 – (2 · 1

4 – 3)x + ( 14 + 6) = 0

⇔ 14 x2 + 5

2 x + 254 = 0

⇔ x2 + 10x + 25 = 0⇔ (x + 5)2 = 0⇔ x = –5Jadi, x = –5.

22. Jawaban: ex – 3 < 4x – 3 < 2x – 1 artinya x – 3 < 4x – 3 dan 4x– 3 < 2x – 1.1) x – 3 < 4x – 3 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 02) 4x – 3 < 2x – 1⇔ 2x < 3 – 1

⇔ 2x < 2⇔ x < 1

Jadi, penyelesaiannya adalah {x|0 < x < 1}.23. Jawaban: e

Misal: x – 2 = a, maka pertidaksamaan di atasmenjadi:a2 – 8a + 15 ≤ 0⇔ (a – 3)(a – 5) ≤ 0Batas-batas nilai x :(a – 3) (a – 5) = 0a = 3 atau a = 5untuk a = 3 ⇒ x = 2 + 3 = 5untuk a = 5 ⇒ x = 2 + 5 = 7Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapatdigambar dengan garis bilangan:

Nilai x yang memenuhi adalah 5 ≤ x ≤ 7.24. Jawaban : d

x2 – 6x – 40 ≥ 0⇔ (x + 4) (x – 10) ≥ 0Batas-batas nilai x:(x + 4) (x – 10) = 0x = –4 atau x = 10

Nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –4 atau x ≥ 10.

(1)

(2)

0

0

1

1

+ – +

5 7

+ – +

–4 10

25. Jawaban: b12 – 5x < 2x2

⇔ –2x2 – 5x + 12 < 0⇔ 2x2 + 5x – 12 > 0⇔ (2x – 3) (x + 4) > 0Batas-batas nilai x:(2x – 3) (x + 4) = 0

x = 32 atau x = –4

Nilai x yang memenuhi adalah {x | x < –4 atau x > 32 }.

26. Jawaban: eMenyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya k kurangnya dari akar-akar persamaankuadrat lama dapat menggunakan rumus:⇒ a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0Sehingga ⇒ 1(x + 3)2 + 5(x + 3) – 24 = 0

⇔ x2 + 6x + 9 + 5x +15 – 24= 0⇔ x2 + 11x = 0

27. Jawaban: c

α + β = – ba = –( 2

1− ) = 2

α · β = ca = 3

1− = –3

α2 + β2 = (α + β)2 – 2α · β

= 22 – 2(–3) = 10

α2 · β2 = (α · β)2 = (–3)2 = 9Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α danβ yaitu:

x2 – (α2 + β2)x + α2 · β2 = 0, atau

x2 – 10x + 9 = 0

28. Jawaban: a2x2 – x + 4 = 0 ⇒ a = 2, b = –1, c = 4

α + β = – ba = –( 1

2− ) = 1

2

αβ = ca = 4

2 = 2

1α

β + + 1β

α + = 2 2

( ) 1α + α + β + βαβ + α + β +

= 2 2

( ) 1α + β + α + βαβ + α + β +

= 2( ) 2 ( )

( ) 1α + β − αβ + α + β

αβ + α + β +

= 2 11

2212

2 2

2 1

− ⋅ +

+ +

= – 1314

1α

β + · 1β

α + = ( ) 1αβ

αβ + α + β + = 12

22 1+ +

= 72

2 = 47

+ – +

–4 32


Persamaan kuadrat baru⇒ x2 –(α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 – (– 1314 )x + 4

7 = 0

⇔ 14x2 + 13x + 8 = 029. Jawaban: e

Menyusun persamaan kuadrat baru (pada soalpx2 – 3x – 40 = 0 ) yang akar-akarnya empat kalidari akar-akar PK lama (pada soal 4x2 – 3x + q =0) dapat meggunakan rumus

⇒a( xk )2 + b( x

k ) + c = 0

⇔4( x4 )2 – 3( x

4 ) + q = 0

⇔ 14 x2 – 3

4 x + q = 0

⇔ x2 – 3x + 4q = 0Persamaan kudrat x2 – 3x + 4q = 0 identik denganpx2 – 3x – 40 = 0,Koefisien x2: ⇒ p = 1

Konstanta ⇒ –40 = 4q ⇒ q = –10Sehingga (q + 5p)2 = (–10 + 5 · 1)2 = (–5)2 = 25

30. Jawaban: da. y = x2 – x + 2 ⇒ D = (–1)2 – 4 · 1 · 2 = –7

(grafik tidak memotong atau tidakmenyinggung sumbu X)

b. y = 3x2 – x + 6 ⇒ D = (–1)2 – 4 · 3 · 6 = –71(grafik tidak memotong atau tidakmenyinggung sumbu X)

c. y = 2x2 – 8x + 10 ⇒ D = (–8)2 – 4 · 2 · 10 = –16(grafik tidak memotong atau tidakmenyinggung sumbu X)

d. y = 4x2 + 4x + 1 ⇒ D = 42 – 4 · 4 · 1 = 0 (grafikmenyinggung sumbu X)

e. y = 3x2 – 6x – 3 ⇒ D = (–6)2 – 4 · 3 · (–3) = 72(grafik memotong sumbu X di dua titikberbeda)

31. Jawaban: eDari soal diketahui grafik mempunyai titik puncak(0,2), sehingga fungsi kuadrat dapat disusundengan rumus y = a(x – xp)

2 + yp dengan (xp, yp)adalah titik puncak.y = a(x – 0)2 + 2y = ax2 + 2Grafik melalui titik (1,8) ⇒ 8 = a · 12 + 2

⇔ a = 6Sehingga fungsi kuadrat menjadiy = 6x2 + 2 ⇒ a = 6, b = 0, c = 22a – 5b + c = 2 · 6 – 5 · 0 + 2 = 14

32. Jawaban: c

( 12 ,0) ⇒ 0 = 1

4 a + 12 b – 1

⇔ a + 2b = 4 . . . (1)(1,0) ⇒ 0 = a + b – 1

⇔ a + b = 1 . . . (2)Dari persamaan 1 dan 2a + 2b = 4a + b = 1

––––––––– –

b= 3 ⇒ b = 1

Diperoleh a + 3 = 1 ⇔ a = –2Jadi, rumus fungsi kuadrat menjadi⇒ y = –2x2 + 3x – 1

Ordinat titik balik y = D4a− =

23 4( 2)( 1)4( 2)

− − −− − = 1

8

33. Jawaban: b(2, 12) ⇒ f(x) = (p – 4)x2 + px + (p + 7)

⇔ 12 = (p – 4)4 + 2p + (p + 7)⇔ 12 = 4p – 16 + 2p + p + 7⇔ 21 = 7p⇔ p = 3

Jadi, rumus fungsi kuadarat menjadif(x) = (3 – 4)x2 + 3x + (3 + 7)f(x) = –x2 + 3x + 10

Nilai maksimum y = D4a− =

23 4( 1)104( 1)

− −− − = 49

4

34. Jawaban: aDari gambar grafik di atas, grafik memotongsumbu x dititik (–3, 0) dan (1, 0).Persamaan grafik: y = 1(x – 1)(x + 3)Grafik melalui titik (0,–3)⇒ –3 = a(0 – 1)(0 + 3)

⇔ –3 = –3a⇔ a = 1

Sehingga y = 1 · (x – 1)(x + 3)y = x2 + 2x – 3

35. Jawaban: cSubstitusi y = mx – 14 ke persamaan kuadraty = 2x2 + 5x – 12:2x2 + 5x – 12 = mx – 14⇔ 2x2 + 5x – mx – 12 + 14= 0⇔ 2x2 + (5 – m)x + 2 = 0Syarat kedua fungsi berpotongan didua titik adalahD > 0.⇒ (5 – m)2 – 4 · 2 · 2 > 0⇔ 25 – 10m + m2 – 16 > 0⇔ m2 – 10m + 9 > 0⇔ m – 9) (m – 1) > 0

Nilai m yang memenuhi adalah m > 9 atau m < 1.

+ – +

1 9


36. Jawaban: eLuas belah ketupat

= 12 × d1 × d2

= 12 × ( 5 + 2 3 )(4 3 – 3 5 )

= 12 × ( 5 · 4 3 – 5 · 3 5 + 2 3 · 4 3 –

2 3 · 3 5

= 12 × (4 15 – 3 · 5 + 8 · 3 – 6 15 )

= 12 × (9 – 2 15 )

= 92 – 15

Jadi, luas belah ketupat ( 92 – 15 ) cm2.

37. Jawaban: bx > 0, karena panjang tidak mungkin negatiftinggi = x, alas = x + 3Luas jajargenjang ≥ 15⇔ alas × tinggi ≥ 15⇔ (x + 3)x ≥ 15⇔ x(x + 3) ≥ 15

38. Jawaban: dKetinggian tidak kurang dari 221 m maka pertidak-samaannya:30t – t2 ≥ 221⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0⇔ (t – 17)(t – 13) ≤ 0

Jadi, ketinggian peluru tidak kurang dari 221 mterjadi pada saat 13 ≤ t ≤ 17.

39. Jawaban: aMisalkan sisi siku-siku I = xSisi siku-siku II = x + 7Berdasarkan dalil Phytagoras maka berlaku:x2 + (x +7)2 = 132

⇔ x2 + x2 + 14x + 49 = 169⇔ 2x2 + 14x – 120 = 0⇔ x2 + 7x – 60 = 0⇔ (x + 12) (x – 5) = 0⇔ x = –12 atau x = 5 cmUntuk x = –12 tidak mungkin karena ukuranpanjang selalu positif.Panjang sisi siku-siku I = 5 cmPanjang sisi siku-siku II = 12 cm

Luas segitiga = 12 × a × t = 1

2 × 5 × 12 = 30 cm2

40. Jawaban : aMisalkan lebar = xKeliling persegi panjang = panjang tali⇒ 2 (p + l) = 200⇔ x + p = 100⇔ p = 100 – xLuas persegi panjang < 1.600 m2

⇒ p × l = 1.600⇔ (100 – x)x < 1.600⇔ 100x – x2 < 1.600⇔ 100x – x2 – 1.600 < 0⇔ x2 – 100x + 1.600 > 0⇔ (x – 20)(x – 80) > 0Batas nilai x adalah⇔ x = 20 atau x = 80x > 0, karena panjang harus positif

Jadi, batas-batas nilai x adalah 0 < x < 20 ataux > 80.

B. Uraian

1. a.2 2 2

2 2(8 9 ) : (3 4)

(3 2 )

− −

− −× ×

×=

3 2 2 2 2 2

2 2((2 ) (3 ) ) : (3 2 )

(3 2 )

− −

− −× ×

×

= 6 4 2 2

2 2(2 3 ) : (3 2 )

(3 2 )

− −

− −× ×

×

= 6 2 4 2

2 22 3

(3 2 )

− − − −

− −××

= 8 6

2 22 3

(3 2 )

− −

− −××

= 2–8 – (–2) × 3–6 – (–2)

= 2–6 × 3–4

= 6 41

2 3×

= 164 81×

= 15.184

b.129 + 6 564 –

23125 =

122(3 ) +

5664 –

233(5 )

= 12

23 × + 566(2 ) –

23

35 ×

= 3 + 25 – 52

= 3 + 32 – 25= 10

2. a. (5 2 – 2 3 )2

= (5 2 )2 – 2 · 5 2 · 2 3 + (2 3 )2

= 50 – 20 6 + 12

= 62 – 20 6

+ – +

0 20 80

13 17

+ – +


b. 6 17 3 2

−+

= 6 17 3 2

−+

× 7 3 27 3 2

−−

= 42 3 12 7 3 27 18

− − +−

= 42 6 3 7 3 211

− − +−

= – 111 ( 42 – 7 – 6 3 + 3 2 )

= 111 (6 3 – 42 + 7 – 3 2 )

3. a.2log(x x) log( y) log( xy )

log(xy)+ +

= 2log(x x)( y)(xy )

log(xy)

= 5 52 2logx y

log(xy)

= 52log(xy)

log(xy)

= 52 log(xy)log(xy) = 5

2

c. 7log 5 · 9log 32 · 2log 7 · 5log 9= 7log 5 · 9log 25 · 2log 7 · 5log 9= 5 9log 2 · 2log 7 · 7log 5 · 5log 9= 5 9log 9= 5

4. Fungsi f: x → 10 – 3x – 2x2

Rumus fungsi f(x)= 10 – 3x – 2x2

D = { x | –3 < x < 3, x ∈ bilangan bulat}= {–2, –1, 0, 1, 2}

f(–2) = 10 – 3(–2) – 2(–2)2 = 10+ 6 – 8 = 8f(–1) = 10 – 3(–1) – 2(–1)2 = 10 + 3 – 2 = 11f(0) = 10 – 3 · 0 – 2 · 02 = 10f(1) = 10 – 3 · 1 – 2 · 12 = 10 – 3 – 2 = 5f(2) = 10 – 3 · 2 – 2 · 22 = 10 – 6 – 8 = –4

Jadi, daerah hasilnya {–4, 5, 8, 10, 11}.

5. a. Dengan pemfaktoran diperoleh:6x2 + 5x – 4 = 0⇔(3x + 4)(2x – 1) = 0⇔ 3x + 4 = 0 atau 2x – 1 = 0

⇔ x1 = –43 atau x2 =

12

b. 1(x 2)− + 1

(x 1)− = 1

1(x 1)(x 2)(x 1)

−− − + 1(x 2)

(x 2)(x 1)−

− − = 1

2(x 1) (x 2)

x 3x 2− + −

− + = 1

2x – 3 = x2 – 3x + 2x2 – 5x + 5 = 0

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh

x1 · 2 = 2b b 4ac

2a− ± −

= ( 5) 25 4 1 52 1

− − ± − ⋅ ⋅⋅

= 5 52

±

x1 = 12 (5 + 5 ) atau x2 =

12 (5 – 5 )

6. 3x2 – 6x + 2 = 0 akar-akarnya x1 dan x2, maka:

x1 + x2 = 63 = 2

x1 · x2 = 23

Akar-akar persamaan kuadrat yang baruα = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3.α + β = (2x1 – 3) + (2x2 – 3)

= 2(x1 + x2) – 6= 2 · 2 – 6= –2

α · β = (2x1 – 3)(2x2 – 3)= 2x1x2 – 6(x1 + x2) + 9

= 2 · 23

– 6 · 2 + 9

= –53

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnyaα = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3:x2 – (α + β)x + (α · β) = 0

⇔x2 – (–2)x + 53

− = 0

⇔ 3x2 + 6x – 5 = 0

7. a. 3x2 – 19x – 14 > 0⇔ (3x + 2)(x – 7) > 0Batas-batas nilai x:

x = –23 dan x = 7

Jadi, himpunan penyelesaian {x | x < –23 atau

x > 7, x ∈ R}.

b. 0,1x2 – 0,5x – 0,4 ≤ 0⇔ x2 – 5x + 4 ≤ 0⇔ (x – 4)(x – 1) ≤ 0

Jadi, himpunan penyelesaian: {x | 1 ≤ x ≤ 4,x ∈ R}.

+ – +

– 23

7

+ – +

1 4


8. Misal fungsi kuadrat tersebut: y = ax2 + bx + cA(0, 4) ⇒ 4 = a · 02 + b · 0 + c

⇔ 4 = c . . . (1)B(1, 2) ⇒ 2 = a · 12 + b · 1 + c

⇔ 2 = a + b + 4⇔ a + b = –2 . . . (2)

C(2, 4) ⇒ 4 = a · 22 + b · 2 + 4⇔ 4 = 4a + 2b + 4⇔ 4a + 2b = 0⇔ 2a + b = 0 . . . (3)

Eliminasi dari (2) dan (3)a + b = –2

2a + b = 0––––––––– –

–a = –2

⇔ a = 2Substitusi a = 2 ke (3) : 2 · 2 + b = 0

⇔ b = –4Diperoleh fungsi kuadrat: y = 2x2 – 4x + 4

9. Menentukan titik potong dengan sumbu X.y = 0 ⇒ –x2 + 2x – 1 = 0

⇒ x2 – 2x + 1 = 0⇒(x – 1)(x – 1) = 0⇒ x = 1

Grafik memotong sumbu X di titik (1, 0).Menentukan titik potong dengan sumbu Y.x = 0 ⇒ y = –02 + 2 · 0 – 1

⇔ y = –1Grafik memotong sumbu X dititik (0, –1)Menentukan titik puncak.

x = b2a− = 2

2( 1)−− = 1

y = –12 + 2 · 1 – 1 = 0Koordinat itik puncak (1, 0).Kurva menghadap ke bawah (a < 0)

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4–1

–2

–3

–4

–5

Y

X

10. h(t) = 1 + 45 t –

15 t2

a. Tinggi maksimum diperoleh apabila

t = b2a− ⇒ t =

4515

2

−

−

= 42 = 2

Fungsi maksimum = h(2)

= 1 + 45 · 2 –

15 · 22

= 55 +

85 –

45

= 95 = 1,8

Jadi, tinggi maksimum batu 1,8 meter.b. Batu jatuh sampai di tanah, berarti ke-

tinggiannya nol.

h(t) = 0 ⇒ 1 + 45 t –

15 t2 = 0

⇔ t2 – 4t – 5 = 0⇔ (t + 1)(t – 5) = 0⇔ t = –1 atau t = 5

Oleh karena waktu bernilai positif maka t = 5.Jadi, batu jatuh sampai di tanah pada detikke-5.

Bab III Sistem Persamaan Linear-Kuadrat

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bx = harga tasy = harga sepatux + y = 130.000 . . . (i)

(x – 10100 x) + (y –

20100 y) = 108.000

⇔ (100x – 10x) + (100y – 20y) = 10.800.000⇔ 90x + 80y = 10.800.000⇔ 9x + 8y = 1.080.000 . . . (ii)Jadi, model matematikanya:

x + y = 130.0009x + 8y = 1.080.000

2. Jawaban: dMisal: x = jeruk

y = pisangSistem persamaan yang terbentuk:3x + 4y= 26.500 . . . (i)5x + 3y= 29.500 . . . (ii)


Eliminasi y pada persamaan:3x + 4y= 26.500 × 3 9x + 12y = 79.5005x + 3y= 29.500 × 4 20x + 12y = 118.000

–––––––––––––––– ––11x = –38.500

⇔ x = 3.500Substitusikan x = 3.500 ke persamaan (i):

3x + 4y = 26.500⇒ 3(3.500) + 4y = 26.500⇔ 4y = 16.000⇔ y = 4.0002x + y = 2(3.500) + 4.000

= 7.000 + 4.000= 11.000

Jadi, uang kembalian yang diterima MayaRp50.000,00 – Rp11.000,00 = Rp39.000,00.

3. Jawaban: dK = 2(p + ) ⇒ 26 = 2(p + )

⇔ 2p + 2 = 26 . . . (i)p – 2 = 1 . . . (ii)Eliminasi pada persamaan:2p + 2 = 26

p – 2 = 1–––––––––– +

3p = 27⇔ p = 9Substitusikan p = 9 pada persamaan (i):

2p + 2 = 26⇒ 18 + 2 = 26⇔ 2 = 8⇔ = 4L = p × ⇒ L = 9 × 4 = 36Jadi, luas persegi panjang 36 cm2.

4. Jawaban: cPersamaan garis pada gambar:g1: 3y + 2x = 6 . . . (i)g2: 2y + 4x = 8 . . . (ii)Eliminasi x pada persamaan:3y + 2x = 6 × 2 6y + 4x = 122y + 4x = 8 × 1 2y + 4x = 8

––––––––––––– –4y = 4 ⇔ y = 1

Substitusi y = 1 pada persamaan (i):3y + 2x = 6 ⇒ 3(1) + 2x = 6

⇔ 3 + 2x = 6⇔ 2x = 3

⇔ x = 32

Jadi, titik potong kedua garis tersebut (32 , 1).

5. Jawaban: c(a – b)x + ay = 1 . . . (i)ax + (a + b)y = 1 . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii):(a – b)x + ay = 1 × (a + b) (a2 – b2)x + a(a + b)y = a + bax + (a + b)y = 1 × a a2x + a(a + b)y = 1

–––––––––––––––––––––– –(a2 – b2)x – a2x = b⇔ –b2x = b

⇔ x = – 1b

x = – 1b

disubstitusikan ke persamaan (i):

(a – b)(– 1b

) + ay = 1 ⇔ (b a

b−

) + ay = 1

⇔ 1 – ab + ay = 1

⇔ ay = ab

⇔ y = 1b

Jadi, nilai x dan y yang memenuhi persamaan

adalah x = – 1b

dan y = 1b

.

6. Jawaban: cx 2

2+

+ y 3

4+

= 2

⇔ 2(x + 2) + (y + 3) = 8 ← (dikali 4)⇔ 2x + 4 + y + 3 = 8⇔ 2x + y = 1 . . . (i)

x 32+

– y 3

4−

= 3

⇔ 2(x + 3) – (y – 3) = 12 ← (dikali 4)⇔ 2x + 6 – y + 3 = 12⇔ 2x – y = 3 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii):2x + y= 12x – y= 3––––––––– +

4x = 4⇔ x = 1Nilai x = 1 disubstitusikan ke (i):⇒ 2(1) + y = 1⇔ 2 + y = 1⇔ y = –1

Jadi, 1x + 1

y =

11 +

11− = 1 – 1 = 0.

7. Jawaban: cTiga tahun lalu umur A sama dengan 2 kaliumur B dapat ditulis:A – 3 = 2 × (B – 3)⇔ A = 2B – 3 . . . (i)Dua tahun yang akan datang 4 kali umur A samadengan umur B ditambah 36 tahun dapat ditulis:4 × (A + 2)= (B + 2) + 36⇔ B = 4A – 30 . . . (ii)


Substitusi B pada persamaan (ii) ke per-samaan (i):

A = 2(4A – 30) – 3⇔ A = 8A – 63⇔ 7A = 63⇔ A = 9Jadi, umur A sekarang 9 tahun.

8. Jawaban: eEliminasi y pada persamaan:

(i)2x +

1y = 1 × 2

4x +

2y = 2

(ii)1x –

2y = 8 × 1

1x –

2y = 8

–––––––––––– +5x = 10

⇔ x = 12

Substitusi x = 12 ke persamaan (i):

12

2 +

1y = 1 ⇒ 4 +

1y = 1

⇔1y = –3

⇔ y = –13

Jadi, 1x y+

= 1 12 3

1−

= 16

1 = 6.

9. Jawaban: b(3, 1) merupakan penyelesaian maka:4 · a(3) – b(1) = 7 ⇔ 12a – b = 7 . . . (i)2 · a(3) + 2b(1) = 1 ⇔ 6a + 2b = 1 . . . (ii)Eliminasi b pada persamaan:12a – b = 7 × 2 24a – 2b = 146a + 2b = 1 × 1 6a + 2b = 1

––––––––––––– +30a = 15

⇔ a = 12

Substitusi a = 12 ke persamaan (i):

12(12 ) – b = 7 ⇔ 6 – b = 7

⇔ –b = 1⇔ b = –1

Jadi, nilai a = 12 dan b = –1.

10. Jawaban: aMisal: x = banyak penonton dewasa

y = banyak penonton anak-anakx + y = 3.000 . . . (1)7.500x + 5.000y = 19.500.000 . . . (2)

Eliminasi y pada persamaan:x + y = 3.000 × 5.000

7.500x + 5.000y = 19.500.000 × 1⇒ 5.000x + 5.000y = 15.000.000

7.500x + 5.000y = 19.500.000––––––––––––––––––––––––– –

–2.500x = –4.500.000 ⇒ x = 1.800Jadi, banyak penonton orang dewasa 1.800 orang.

11. Jawaban: eEliminasi x:1x + 2

y = 1 × 2

2x + 4

y= 2

2x – 8

y = 0 × 1

2x – 8

y= 0

–––––––––– –12y

= 2 ⇔ y = 6

Substitusikan y = 6 ke persamaan 1x + 2

y = 1:

⇒ 1x + 2

6= 1

⇔ 1x =

23

⇔ x = 32

Jadi, x + y = 32 + 6 =

152 .

12. Jawaban: cMisal: x = angka pertama (puluhan)

y = angka kedua (satuan)Nilai angka tersebut = 10x + y

10x + y = 6(x + y) + 3⇔ 10x + y = 6x + 6y + 3

⇔ 4x – 5y = 3 . . . (i)Selisih angka pertama dikurangi angka keduaadalah 2.

x – y = 2 . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan:4x – 5y = 3 × 1 4x – 5y = 3

x – y = 2 × 5 5x – 5y = 10––––––––––––– –

–x = –7 ⇔ x = 7

Substitusikan x = 7 ke persamaan (i):4x – 5y = 3 ⇒ 4(7) – 5y = 3

⇔ 28 – 5y = 3⇔ –5y = –25⇔ y = 5

Jadi, bilangan tersebut:10x + y = 10(7) + 5 = 75.


13. Jawaban: aMisal: x = umur Andi sekarang

y = umur Fiki sekarang

x – 4 = 12 (y – 4) ⇔ x –

12 y = 4 –

42

⇔ x – 12 y = 2

⇔ 2x – y = 4 . . . (i)

x + 4 = 34 (y + 4) ⇔ x –

34 y =

124 – 4

⇔ x – 34 y = –1

⇔ 4x – 3y = –4 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan:

2x – y = 4 × 3 6x – 3y = 124x – 3y = –4 × 1 4x – 3y = –4

––––––––––––– –2x = 16

⇔ x = 8Substitusikan x = 8 ke persamaan (i):2x – y = 4 ⇔ 2(8) – y = 4

⇔ y = 12Jadi, selisih umur Fiki dan Andi sekarang y – x =12 – 8 = 4 tahun.

14. Jawaban: ex = –2 dan y = 5 merupakan penyelesaianpersamaan:3a

2− + 2b5

= –1 . . . (1)

2a2− + 5b

5 = 3 . . . (2)

Eliminasi a:

3a2− + 2b

5 = –1 ×

23 –a +

415 b = –

23 . . . (3)

2a2− + 5b

5 = 3 × 1 –a + b = 3 . . . (4)

––––––––––––– –

–1115 b = –

113

⇔ b = 5Substitusikan b = 5 ke persamaan (4):–a + b = 3 ⇒ –a + 5 = 3

⇔ a = 2Jadi, a + b = 2 + 5 = 7.

15. Jawaban: ax + y + 1 = 3(x – y)⇔ x + y + 1 = 3x – 3y⇔ 2x – 4y = 1 . . . (i)

x y 2x y− −

+ = 2 ⇔ x – y – 2 = 2x + 2y

⇔ x + 3y = –2 . . . (ii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):2x – 4y = 1 × 1 2x – 4y = 1x + 3y = –2 × 2 2x + 6y = –4

––––––––––– ––10y = 5

⇔ y = –12

y = –12 substitusikan ke persamaan (i):

2x – 4y = 1 ⇒ 2x – 4(–12 ) = 1

⇔ 2x + 2 = 1

⇔ x = –12

x + y = –12 –

12 = –1

Jadi, 1x y+

= 11−

= –1.

16. Jawaban: eDiperoleh sistem persamaan dari tiga garis yangdiketahui:g1: 3x – y = –1 . . . (i)g2: 2x + y = 3 . . . (ii)g3: x – ay = 7 . . . (iii)

Eliminasi (i) dan (ii):3x – y = –12x + y = 3–––––––––– +

5x = 2 ⇔ x = 25

Substitusikan x = 25 ke persamaan (ii), diperoleh:

2x + y = 3

⇔ 2(25 ) + y = 3

⇔ y = 155 –

45 =

115

Titik potong g1 dengan g2 adalah (25 ,

115 ).

Agar garis ketiga berpotongan di titik tersebutmaka substitusikan titik itu pada (iii), diperoleh:x – ay = 7

⇔ 25 – a ×

115 = 7

⇔ 115 a =

25 – 7

⇔ a = –335 ×

511 = –3

Jadi, nilai a = –3.


17. Jawaban: aEliminasi p dari persamaan dengan variabel p dan q:1p

+ 2q

= 2

1p

– 1q

= 12

–––––––––– –3q =

32

⇔ q = 2

Substitusi q = 2 ke persamaan 1p

+ 2q

= 2:

⇒ 1p

+ 22

= 2

⇔ 1p

= 1⇔ p = 1p = 1 dan q = 2 merupakan penyelesaian dari3x – 2y = –1.Misal: p = y dan q = x:⇒ 3q – 2p = –1⇔ 3(2) – 2(1) = –1⇔ 6 – 2 = –1 (salah)Misal: p = x dan q = y:⇒ 3q – 2p = –1⇔ 3(1) – 2(2) = –1⇔ 3 – 4 = –1 (benar)

Substitusikan x = p = 1 dan y = q = 2 ke persamaan2x + y = a, diperoleh:2(1) + 2 = a ⇔ a = 4

Jadi, nilai a = 4.

18. Jawaban: bMisalkan: x = umur adik sekarang

y = umur kakak sekarangPerbandingan umur mereka 10 tahun yang lalu:(x – 10) : (y – 10) = 2 : 3

⇔(x 10)(y 10)

−− =

23

⇔ 3(x – 10) = 2(y – 10)⇔ 3x – 30 = 2y – 20⇔ 3x – 2y = 10 . . . (i)Perbandingan umur mereka sekarang:

x : y = 4 : 5

⇔xy =

45

⇔ 5x = 4y⇔ 5x – 4y = 0 . . . (ii)Eliminasi y:3x – 2y = 10 × 2 6x – 4y = 205x – 4y = 0 × 1 5x – 4y = 0

––––––––––– –x = 20

Substitusikan x = 20 ke persamaan (ii), diperoleh:5(20) – 4y = 0 ⇔ 4y = 100

⇔ y = 25Sehingga umur adik sekarang 20 tahun danumur kakak 25 tahun.Jadi, perbandingan umur mereka 10 tahun men-datang:umur adik : umur kakak = (20 + 10) : (25 + 10)

= 30 : 35= 6 : 7

19. Jawaban: e

Misal pecahan tersebut xy .

Sistem persamaan yang terbentuk:

x 1y 2

+− =

23 ⇔ 3(x + 1) = 2(y – 2)

⇔ 3x + 3 = 2y – 4⇔ 3x – 2y = –7 . . . (i)

x 1y 2

−− =

13 ⇔ 3(x – 1) = y – 2

⇔ 3x – 3 = y – 2⇔ 3x – y = 1 . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan:3x – 2y = –7 × 1 3x – 2y = –73x – y = 1 × 2 6x – 2y = 2

––––––––––– ––3x = –9

⇔ x = 3Substitusikan x = 3 ke persamaan (i):3x – 2y = –7 ⇒ 3(3) – 2y = –7

⇔ 9 – 2y = –7⇔ –2y = –16⇔ y = 8

Jadi, pecahan yang dimaksud 38 .

20. Jawaban: dMisalkan: p = jam kerja pekerja A

q = jam kerja pekerja Bp + q = 8 . . . (1)200p + 150q = 1.350 . . . (2)Eliminasi p pada persamaan:p + q = 8 × 200 200p + 200q = 1.600200p + 150q = 1.350 × 1 200p + 150q = 1.350

–––––––––––––––– – 50q = 250

⇔ q = 5

Pekerja B bekerja selama 5 jam.Jadi, roti yang dihasilkan pekerja B = 5 × 150 =750 buah.


B. Uraian

1. g1: 6y + 5x = 30 . . . (i)g2: 3y + 7x = 21 . . . (ii)Eliminasi x pada persamaan:6y + 5x = 30 × 1 6y + 5x = 303y + 7x = 21 × 2 6y + 14x = 42

––––––––––––– –

–9x = –12 ⇔ x = 129

Substitusikan x = 129 pada persamaan (i):

6y + 5x = 30 ⇒ 6y + 5(129 ) = 30

⇔ 6y + 609 =

2709

⇔ 6y = 2109

⇔ y = 359

Jadi, titik potong kedua garis tersebut (129 ,

359 ).

2. Misalkan: x = pakan ternak yang diberikan untukseekor sapi

y = pakan ternak yang diberikan untukseekor kambing

x + 3y = 14 . . . (i)2x + 4y = 22 . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan:x + 3y = 14 × 4 4x + 12y = 56

2x + 4y = 22 × 3 6x + 12y = 66–––––––––––––– –

–2x = –10⇔ x = 5

Substitusi x = 5 pada persamaan (i):x + 3y = 14 ⇒ 5 + 3y = 14

⇔ 3y = 9⇔ y = 3

Jadi, pakan ternak yang diberikan untuk seekorsapi dan seekor kambing adalah 5 + 3 = 8 kg.

3. Misal: x = berat sebuah avokady = berat sebuah mangga

Sistem persamaan yang terbentuk:10x + 25y = 20 . . . (i)4x + 15y = 11 . . . (ii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):10x + 25y = 20 × 2 20x + 50y = 404x + 15y = 11 × 5 20x + 75y = 55

–––––––––––––– ––25y = –15

⇔ y = 35

Substitusi y = 35 ke persamaan (i):

⇒ 10x + 25(35 ) = 20

⇔ 10x + 15 = 20⇔ 10x = 5

⇔ x = 12

Jadi, perbandingan berat sebuah avokad dan

sebuah mangga adalah x : y = 12 :

35 = 5 : 6.

4. Misal: p = panjang persegi panjang mula-mula = lebar persegi panjang mula-mula


p : = 7 : 4 ⇔ p = 74

⇔ 4p = 7⇔ 4p – 7 = 0 . . . (i)

(p + 3) : 2 = 1 : 1 ⇔ p 32+

= 11

⇔ p + 3 = 2⇔ p – 2 = –3 . . . (ii)

Eliminasi p pada persamaan (i) dan (ii):4p – 7 = 0 × 1 4p – 7 = 0p – 2 = –3 × 4 4p – 8 = –12

–––––––––––– –= 12

Substitusi = 12 pada persamaan (i):4p – 7 = 0 ⇒ 4p – 7(12) = 0

⇔ 4p – 84 = 0⇔ 4p = 84⇔ p = 21

Jadi, keliling persegi = 2p + 2 = 2(21) + 2(12)= 66 cm

5. Misal: x = usia Budi sekarangy = usia ibu sekarang


x – 4 = 15

(y – 4)

⇔ x – 15

y = 165

⇔ 5x – y = 16 . . . (i)

x + 3 = 13 (y + 3)

⇔ x – 13 y = –2

⇔ 3x – y = –6 . . . (ii)Eliminasi y:5x – y= 163x – y= –6–––––––––– –

2x = 22⇔ x = 11Jadi, usia Budi sekarang 11 tahun. Sehingga tahunkelahiran Budi 2010 – 11 = 1999.


6. Misalkan: x = banyak larutan alkohol 30% (liter)y = banyak larutan alkohol 70% (liter)

x + y = 10 . . . (i)30% x + 70% y= 40% · 10⇔ 3x + 7y = 40 . . . (ii)Eliminasi x:(i): x + y = 10 × 3 3x + 3y = 30(ii): 3x + 7y = 40 × 1 3x + 7y = 40

–––––––––––– ––4y = –10

⇔ y = 104 = 2

12

y = 212 disubtitusikan ke persamaan (i) diperoleh:

x + 212 = 10

⇔ x = 10 – 212 = 7

12

Jadi, larutan alkohol 30% sebanyak 712 liter dan

larutan alkohol 70% sebanyak 212 liter.

7. Misal angka-angka pada bilangan secaraberurutan a dan b maka nilai bilangan tersebut10a + b.Sistem persamaannya:10a + b = 4a + 6b⇔ 6a – 5b = 0 . . . (i)2a – b = 4 . . . (ii)Eliminasi a pada persamaan (i) dan (ii):6a – 5b= 0 × 1 6a – 5b = 02a – b = 4 × 3 6a – 3b = 12

––––––––––– ––2b = –12

⇔ b = 6Substitusikan b = 6 ke persamaan (i):⇒ 6a – 5(6) = 0⇔ 6a = 30⇔ a = 5Jadi, bilangan tersebut 56.

8. Misal: a = banyak tabung gas berkapasitas 12 kgb = banyak tabung gas berkapasitas 3 kg

Sistem persamaan yang terbentuk:a + b = 15 . . . (i)

12a + 3b = 126 . . . (ii)Eliminasi b pada persamaan (i) dan (ii):

a + b = 15 × 3 3a + 3b = 4512a + 3b = 126 × 1 12a + 3b = 126

––––––––––––– ––9a = –81

⇔ a = 9Jadi, banyaknya tabung gas yang berkapasitas12 kg ada 9 tabung.

9. Misal: x = lama pipa A mengalirkan air (menit)y = lama pipa B mengalirkan air (menit)

Sistem persamaan yang terbentuk:x + y = 25 . . . (i)

8x + 14y= 248 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii):

x + y = 25 × 14 14x + 14y = 3508x + 14y= 248 × 1 8x + 14y = 248

–––––––––––––– –6x = 102

⇔ x = 17Jadi, pipa A mengalirkan air selama 17 menit danmampu mengalirkan air sebanyak 17 × 8 liter =136 liter.

10. Sistem persamaan linear:2x –

1y

= –7 . . . (i)

1x + 2

y = 4 . . . (ii)

Eliminasi pada persamaan (i) dan (ii):2x –

1y

= –7 × 24x –

2y = –14

1x + 2

y = 4 × 1

1x + 2

y= 4

––––––––––––– +5x = –10

⇔ x = –12

Substitusikan x = –12 pada persamaan (i):

2x –

1y

= –7 ⇒ 12

2 −

– 1y

= –7

⇔ –4 – 1y

= –7

⇔ –1y = –3

⇔ y = 13

Jadi, x · y = (–12 ) ·

13 = –

16 .

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bMisalkan: x = banyak kelereng Udin

y = banyak kelereng Rioz = banyak kelereng Wendi

x = 2(y + z) + 2 ⇔ x – 2y – 2z = 2 . . . (i)x – y = 4z + 1 ⇔ x – y – 4z = 1 . . . (ii)x + y + z = 53 . . . (iii)


Jadi, model matematika:x – 2y – 2z = 2x – y – 4z = 1x + y + z = 53

2. Jawaban: eMisalkan: x = uang Adinda

y = uang Binaryz = uang Cindy

Sistem persamaan linear yang terbentuk:x = y + 2z + 40.000⇔ x – y – 2z = 40.000 . . . (i)

x + y + z = 200.000 . . . (ii)y – z = 10.000 . . . (iii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):x – y – 2z = 40.000x + y + z = 200.000

–––––––––––––––––– ––2y – 3z = –160.000

⇔2y + 3z = 160.000 . . . (iv)Eliminasi y pada persamaan (iii) dan (iv):

y – z = 10.000 × 2 2y – 2z = 20.0002y + 3z = 160.000 × 1 2y + 3z = 160.000

––––––––––––––– ––5z = –140.000

⇔ z = 28.000Substitusikan z pada persamaan (iii):y – z = 10.000 ⇒ y – 28.000 = 10.000

⇔ y = 38.000Substitusikan y dan z pada persamaan (ii):x + y + z = 200.000⇒ x + 38.000 + 28.000 = 200.000⇔ x + 66.000 = 20.000⇔ x = 134.000Sehingga, x + y = 134.000 + 38.000 = 172.000Jadi, jumlah uang Adinda dan Binary Rp172.000,00.

3. Jawaban: d2x – y + z = 10 . . . (i)3x + 2y – z = 9 . . . (ii)x + y – 3z = 0 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):2x – y + z = 10

3x + 2y – z = 9–––––––––––––– +

5x + y = 19 . . . (iv)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):3 × (i) 6x – 3y + 3z = 301 × (iii) x + y – 3z = 0

––––––––––––––– +7x – 2y = 30 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):2 × (iv) 10x + 2y = 381 × (v) 7x – 2y = 30

––––––––––––– +17x = 68

⇔ x = 4

Substitusikan x = 4 pada persamaan (iv):5(4) + y = 19⇔ y = –1Substitusikan x = 4 dan y = –1 pada persamaan (i):2(4) + 1 + z= 10⇔ z = 1Jadi, himpunan penyelesaiannya {(4, –1, 1)}.

4. Jawaban: aSistem persamaan yang terbentuk:p + q + r = 18 . . . (i)3p = 3r – q ⇔ 3p + q – 3r = 0 . . . (ii)2(p + q) = 3r + 1 ⇔ 2p + 2q – 3r = 1 . . . (iii)Eliminasi r pada persamaan (i) dan (ii):3 × (i) 3p + 3q + 3r = 541 × (ii) 3p + q – 3r = 0

––––––––––––––– +6p + 4q = 54 . . . (iv)

Eliminasi r pada persamaan (ii) dan (iii):3p + q – 3r = 0

2p + 2q – 3r = 1–––––––––––––– –

p – q = –1 . . . (v)Eliminasi q pada persamaan (iv) dan (v):1 × (iv) 6p + 4q = 544 × (v) 4p – 4q = –4

––––––––––– +10p = 50

⇔ p = 5Substitusi p = 5 pada persamaan (v):5 – q = –1 ⇔ q = 6Substitusi p = 5 dan q = 6 pada persamaan (i):5 + 6 + r = 18 ⇔ r = 7Jadi, p = 5, q = 6, dan r = 7.

5. Jawaban: cx + y + z = 6 . . . (i)4x + 2y + z = 7 . . . (ii)9x + 3y + z = 12 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):

x + y + z = 64x + 2y + z = 7

–––––––––––––– ––3x – y = –1

⇔ 3x + y = 1 . . . (iv)Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):4x + 2y + z = 79x + 3y + z = 12

–––––––––––––– ––5x – y = –5

⇔ 5x + y = 5 . . . (v)Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):3x + y = 15x + y = 5

––––––––––– ––2x = –4

⇔ x = 2


Substitusikan x = 2 pada persamaan (iv):3x + y = 1 ⇒ 3(2) + y = 1

⇔ 6 + y = 1⇔ y = –5

Substitusikan x = 2 dan y = –5 pada persamaan (i):x + y + z = 6 ⇒ 2 – 5 + z = 6

⇔ –3 + z = 6⇔ z = 9

Jadi, x – y – z = 2 + 5 – 9 = –2.6. Jawaban: b

1x

+ 2y

+ 2z

= 10 . . . (i)

2x

+ 1y

– 3z

= 4 . . . (ii)

1x

– 3y

+ 4z

= –3 . . . (iii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):

2 × (i)2x + 4

y +

4z = 20

1 × (ii)2x + 1

y –

3z = 4

––––––––––––––– –3y

+ 7z = 16 . . . (iv)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (iii):1x + 2

y +

2z = 10

1x – 3

y +

4z = –3

–––––––––––––––– –5y

– 2z = 13 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):

5 × (iv) 15y

+ 35z = 80

3 × (v) 15y

– 6z = 39

––––––––––––– –41z = 41

⇔ z = 1Substitusikan z = 1 pada persamaan (iv):3y

+ 71 = 16 ⇔ 3

y= 9

⇔ y = 13

Substitusikan y = 13 dan z = 1 pada persamaan (i):

1x

+ 13

2 +

21 = 10 ⇔ 1

x + 8 = 10

⇔ x = 12

Jadi, x + y + z = 12 +

13 + 1 =

116 .

7. Jawaban: dx + y – z = 7 . . . (i)

2x – 3y + 2z = –4 . . . (ii)–2x + 2y – 3z= –5 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):2 × (i) 2x + 2y – 2z = 141 × (ii) 2x – 3y + 2z = –4

––––––––––––––– +4x – y = 10 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):3 × (i) 3x + 3y – 3z = 211 × (iii) –2x + 2y – 3z = –5

––––––––––––––––– –5x + y = 26 . . . (v)

Eliminasi y pada (iv) dan (v):4x – y= 105x + y= 26–––––––––– +

9x = 36⇔ x = 4Jadi, nilai x = 4.

8. Jawaban: aSubstitusi koordinat (x, y) ke persamaan lingkaran.Melalui (1, –3)⇒ 1 + 9 + a – 3b + c = 0⇔ a – 3b + c = –10 . . . (i)

Melalui (3, 5 )

⇒ 9 + 5 + 3a + 5 b + c = 0

⇔ 3a + 5 b + c = –14 . . . (ii)Melalui (–2, 0)⇒ 4 + 0 – 2a + 0 + c = 0⇔ –2a + c = –4⇔ c = –4 + 2a . . . (iii)Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii):

a –3b + c = –10 × 5 5a – 3 5b + 5c = –10 5

3a + 5b + c= –14 × 3 9a + 3 5 b + 3c = –42––––––––––––––––––––––––––– +

( 5 + 9)a + ( 5 + 3)c = –42 – 10 5 . . . (iv)Substitusi (iii) ke persamaan (iv):( 5+ 9)a + ( 5+ 3)(–4 + 2a) = –42 – 10 5

⇔ ( 5+ 9)a + (–4 5 + 2 5a – 12 + 6a) = –42 – 10 5

⇔ ( 5 + 9 + 2 5 + 6)a = –42 – 10 5 + 4 5 + 12

⇔ (3 5+ 15)a = –30 – 6 5 = –2(15 + 3 5)

⇔ a = 2(15 3 5)(3 5 15)

− ++

= –2

Substitusi a = –2 ke persamaan (iii) atau (iv):c = –4 + 2a⇒ c = –4 + 2(–2)⇔ c = –8


Substitusi a = –2 dan c = –8 ke persamaan (i):a – 3b + c = –10 ⇒ –2 – 3b + (–8) = –10

⇔ –3b – 10 = –10⇔ –3b = 0⇔ b= 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut:x2 + y2 – 2x – 8 = 0

9. Jawaban: b1x

+ 2y

= 1 . . . (i)

1x

+ 4z

= 0 . . . (ii)

1y

+ 2z

= 1 . . . (iii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):1x

+ 2y

= 1

1x

+ 4z

= 0––––––––– –2y

– 4z

= 1 . . . (iv)

Eliminasi y pada persamaan (iii) dan (iv):

2 × (iii) 2y

+ 4z

= 2

1 × (iv) 2y

– 4z

= 1–––––––––– –

8z

= 1⇔ z = 8

Substitusi z = 8 pada (ii):1x

+ 48

= 0 ⇔ 1x

= – 12

⇔ x = –2Substitusi x = –2 pada (i):

12−

+ 2y

= 1 ⇔ 2y

= 32

⇔ y = 43

Jadi, 1x

+ 1y

+ 1z

= – 12

+ 34

+ 18

= 38

.

10. Jawaban: ex + 2y – z = –3 . . . (i)2x + y – 3z = 4 . . . (ii)3x – y + 2z = 7 . . . (iii)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):x + 2y – z = –3 × 3 3x + 6y – 3z = –9

2x + y – 3z = 4 × 1 2x + y – 3z = 4 –––––––––––––– –

x + 5y = –13 . . .(iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):x + 2y – z = –3 × 2 2x + 4y – 2z = –6

3x – y + 2z = 7 × 1 3x – y + 2z = 7 –––––––––––––– +

5x + 3y = 1 . . .(v)Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):x + 5y = –13 × 3 3x + 15y = –395x + 3y = 1 × 5 25x + 15y = 5

–––––––––––––– ––22x = –44

⇔ x = 2Substitusikan x = 2 pada persamaan (iv):x + 5y = –13 ⇒ 2 + 5y = –13

⇔ 5y = –15⇔ y = –3

Substitusikan x = 2 dan y = –3 ke persamaan (i):x + 2y – z = –3⇒ 2 + 2(–3) – z = –3⇔ 2 – 6 – z = –3⇔ –z = 1⇔ z = –1Jadi, x : y : z = 2 : (–3) : (–1).

11. Jawaban: bx + 2y = –3 . . . (i)y + 2z = 4 . . . (ii)

x + y + 2z= 5 . . . (iii)Eliminasi y dan z pada (ii) dan (iii):

y + 2z = 4x + y + 2z= 5–––––––––––– –

–x = –1 ⇔ x = 1Substitusikan x = 1 pada persamaan (i):1 + 2y = –3 ⇔ 2y = –4

⇔ y = –2Substitusikan y = –2 pada persamaan (ii):–2 + 2z = 4 ⇔ 2z = 6

⇔ z = 3Jadi, 3(x + z) = 3(1 + 3) = 12.

12. Jawaban: bMisalkan: besar sudut terkecil = x

besar sudut menengah = ybesar sudut terbesar = z

Sistem persamaan linear yang terbentuk:

x = 13 y . . . (i)

z = 2(x + y) . . . (ii)x + y + z = 180° . . . (iii)Substitusikan persamaan (ii) ke (iii):x + y + z = 180°⇒ x + y + 2(x + y) = 180°⇔ x + y + 2x + 2y = 180°⇔ 3x + 3y = 180° . . . (iv)


Substitusi persamaan (i) ke (iv):

3x + 3y = 180° ⇒ 3(13 y) + 3y = 180°

⇔ y + 3y = 180°⇔ 4y = 180°⇔ y = 45°

Substitusi y = 45° ke persamaan (iv):3x + 3y = 180° ⇒ 3x + 3(45°) = 180°

⇔ 3x + 135° = 180°⇔ 3x = 45°⇔ x = 15°

Substitusi x = 15° dan y = 45° ke persamaan (ii):z = 2(x + y) ⇒ z = 2(15° + 45°)

⇔ z = 2 · 60°⇔ z = 120°

Jadi, ukuran sudut-sudut segitiga tersebut 15°,45°, dan 120°.

13. Jawaban: cy = ax2 + bx + cmelalui (–3, 28)⇒ 9a – 3b + c = 28 . . . (i)melalui (1, 0) ⇒ a + b + c = 0 . . . (ii)melalui (2, 3) ⇒ 4a + 2b + c = 3 . . . (iii)Eliminasi c dari (i) dan (ii):(i): 9a – 3b + c = 28(ii): a + b + c = 0

–––––––––––––– –8a – 4b = 28 ⇔ 2a – b = 7 . . . (iv)

Eliminasi c dari (ii) dan (iii):(ii): a + b + c = 0(iii): 4a + 2b + c = 3

–––––––––––––– ––3a – b = –3 . . . (v)

Eliminasi b dari (iv) dan (v):(iv): 2a – b = 7(v): –3a – b = –3

––––––––––– –5a = 10 ⇔ a = 2

Substitusi a = 2 ke persamaan (iv):2 · 2 – b = 7 ⇔ b = 4 – 7 = –3a = 2 dan b = –3 disubstitusikan ke persamaan (ii):2 + (–3) + c = 0 ⇔ c = 1Jadi, persamaan kurva: y = 2x2 – 3x + 1.

14. Jawaban: eMisalkan panjang = p, lebar = , dan tinggi t.Jumlah panjang semua rusuknya 60 cm maka:4p + 4 + 4t = 60 ⇔ p + + t = 15 . . . (i)Keliling alas dikurangi tinggi sama dengan6 cm maka:2(p + ) – t = 6 ⇔ 2p + 2 – t = 6 . . . (ii)Panjang balok adalah setengah tinggi maka:

p = 12 t ⇔ t = 2p . . . (iii)

Substitusi t = 2p ke persamaan (i) dan (ii).(i) : p + + 2p = 15 ⇔ 3p + = 15 . . . (iv)(ii) : 2p + 2 – 2p = 6 ⇔ 2 = 6 ⇔ = 3Substitusi = 3 ke persamaan (iv), diperoleh:3p + 3 = 15 ⇔ p = 4Substitusi p = 4 ke persamaan (iii) diperoleh t = 8.Jadi, luas permukaan balok:L = 2 × (p × ) + 2 × ( × t) + 2 × (p × t)

= 2 × (4 × 3) + 2 × (3 × 8) + 2 × (4 × 8)= 24 + 48 + 64 = 136 cm2

15. Jawaban: a

2x + 2y – z = 2512 . . . (i)

–x + 3y + 2z= 43 . . . (ii)

3x – y + z = 74 . . . (iii)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):

2 × (i) 4x + 4y – 2z = 5012

1 × (ii) –x + 3y + 2z = 43

–––––––––––––––– +

3x + 7y = 6612 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):

2x + 2y – z = 2512

3x – y + z = 74

–––––––––––––– +

5x + y = 4612 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):

1 × (iv) 3x + 7y = 6612

7 × (v) 35x + 7y = 32212

–––––––––––––– –

–32x = –25612

⇔ x = 23

Substitusi x = 23 pada (iv):

3 · 23 + 7y =

6612 ⇔ 7y =

4212

⇔ y = 12

Substitusikan x = 23 dan y =

12 pada persamaan (i):

2 · 23 + 2 ·

12 – z =

2512 ⇔ 28

12 – z = 2512

⇔ –z = –3

12

⇔ z = 14

Jadi, (x · y) : z = (23 ·

12 ) :

14 =

13 :

14 = 4 : 3.


B. Uraian

1. Sistem persamaan yang terbentuk:a + b + c = 21 . . . (i)a + b = 2c ⇔ a + b – 2c = 0 . . . (ii)5(b – c) = 2a ⇔ 2a – 5b + 5c = 0 . . . (iii)Eliminasi a pada persamaan (i) dan (iii):2 × (i) 2a + 2b + 2c = 421 × (iii) 2a – 5b + 5c = 0

––––––––––––––– –7b – 3c = 42 . . . (iv)

Eliminasi a dan b pada persamaan (i) dan (ii):a + b + c = 21

a + b – 2c = 0––––––––––––– –

3c = 21 ⇔ c = 7Substitusikan c = 7 pada persamaan (iv):7b – 3(7) = 42 ⇔ 7b = 63

⇔ b = 9Substitusikan b = 9 dan c = 7 pada persamaan (i):a + b + c = 21 ⇔ a + 9 + 7 = 21

⇔ a = 5Jadi, nilai a : b : c = 5 : 9 : 7.

2. 2x – y + 3z = 5 . . . (i)x + y – 2z = 6 . . . (ii)3x – 2y + z = –3 . . . (iii)Eliminasi z dari persamaan (i) dan (iii):1 × (i) 2x – y + 3z = 53 × (iii) 9x – 6y + 3z = –9

––––––––––––––– ––7x + 5y = 14 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):1 × (ii) x + y – 2z = 62 × (iii) 6x – 4y + 2z = –6

––––––––––––––– +7x – 3y = 0 . . . (v)

Eliminasi x pada persamaan (iv) dan (v):–7x + 5y= 14

7x – 3y = 0–––––––––––– +

2y = 14 ⇔ y = 7Substitusikan y = 7 pada persamaan (v):7x – 3(7) = 0 ⇔ 7x = 21

⇔ x = 3Substitusikan x = 3 dan y = 7 pada persamaan (i):2(3) – 7 + 3z = 5 ⇔ –1 + 3z = 5

⇔ z = 2Jadi, himpunan penyelesaiannya {(3, 7, 2)}.

3. 0,5x – y + 0,1z = –0,4 . . . (i)x + y + 0,5z = 8,5 . . . (ii)0,2x – 2y + z = –4 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):5 × (i) 2,5x – 5y + 0,5z = –21 × (ii) x + y + 0,5z = 8,5

––––––––––––––––––– –1,5x – 6y = –10,5 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):2 × (ii) 2x + 2y + z = 171 × (iii) 0,2x – 2y + z = –4

–––––––––––––––– –1,8x + 4y = 21 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):2 × (iv) 3x – 12y = –213 × (v) 5,4x + 12y = 63

–––––––––––––– +8,4x = 42 ⇔ x = 5

Substitusikan x = 5 pada persamaan (iv):1,5(5) – 6y = –10,5 ⇔ 6y = 18

⇔ y = 3Substitusikan x = 5 dan y = 3 pada persamaan (i):0,5(5) – 3 + 0,1z = –0,4 ⇔ –0,5 + 0,1z = –0,4

⇔ 0,1z = 0,1⇔ z = 1

Jadi, nilai 0

1x +

0

1y +

0

1z = 1

5 + 1

3 + 1 = 23

15.

4. x – 3y – 3z = –1 . . . (i)2x + 2y – z = 1 . . . (ii)3x + y + z = 2 . . . (iii)

Eliminasi z pada (i) dan (ii):x – 3y – 3z = –1 × 1 x – 3y – 3z = –12x + 2y – z = 1 × 3 6x + 6y – 3z= 3

––––––––––––––– ––5x – 9y = –4

⇔ 5x + 9y = 1 . . . (iv)Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):2x + 2y – z = 13x + y + z = 2

––––––––––––– +5x + 3y = 3 . . . (v)

Eliminasi x pada persamaan (iv) dan (v):5x + 9y = 45x + 3y = 3

–––––––––– –6y = 1

⇔ y = 16

Substitusikan y = 16 pada persamaan (iv):

5x + 9y = 4 ⇒ 5x + 9(16 ) = 4

⇔ 5x + 32 = 4

⇔ 5x = 52

⇔ x = 12


Substitusikan x = 12 dan y =


x – 3y – 3z = –1 ⇒ 12 – 3(

16 ) – 3z = –1

⇔ –3z = –1

⇔ z = 13

Jadi, himpunan penyelesaiannya {12 ,

16 ,

13 }.

5. 3x – 2y + z = 11 . . . (i)2x + 3y – 2z = 1 . . . (ii)x – 3y + z = 4 . . . (iii)Eliminasi z pada (i) dan (ii):3x – 2y + z = 11 × 2 6x – 4y + 2z = 222x + 3y – 2z = 1 × 1 2x + 3y – 2z = 1

––––––––––––––– +8x – y = 23 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):3x – 2y + z = 11x – 3y + z = 4

––––––––––––– –2x + y = 7 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):8x – y = 232x + y = 7

–––––––––– +10x = 30

⇔ x = 3Substitusikan x = 3 pada persamaan (iv):8x – y = 23 ⇒ 8(3) – y = 23

⇔ 24 – y = 23⇔ y = 1

Substitusikan x = 3 dan y = 1 pada persamaan (i):3x – 2y + z = 11 ⇒ 3(3) – 2(1) + z = 11

⇔ 9 – 2 + z = 11⇔ z = 4

Jadi, nilai 1

x y z+ + = 13 1 4+ +

= 18 .

6. 1x

+ 1y

= 12 . . . (i)

1y

+ 1z =

13 . . . (ii)

1z

+ 1x

= 14 . . . (iii)

Eliminasi z pada (ii) dan (iii):1y

+ 1z

= 13

1z

+ 1x

= 14

–––––––––– –

1y

– 1x

= 1

12 . . . (iv)

Eliminasi y pada (i) dan (iv):1x

+ 1y

= 12

1y

– 1x

= 1

12

––––––––––– –2x =

512

⇔ 1x

= 5

24

Substitusikan 1x

= 5


1x

+ 1y

= 12 ⇒ 5

24 + 1y

= 12

⇔ 1y

= 7

24

Substitusikan 1x

= 5

24 pada persamaan (iii):

1z

+ 1x

= 14 ⇒ 1

z +

524 =

14

⇔ 1z

= 1

24

Jadi, nilai 1x

+ 1y

+ 1z

= 5

24 + 7

24 + 1

24 = 1324 .

7. Sistem persamaan yang terbentuk:a + b + c = 2 . . . (i)a – b – c = –1 . . . (ii)2(a + c) = 3b ⇔ 2a – 3b + 2c = 0 . . . (iii)Eliminasi b dan c pada persamaan (i) dan (ii):a + b + c= 2a – b – c = –1–––––––––––– +

2a = 1

⇔ a = 12

Eliminasi a dan c pada persamaan (i) dan (iii):2 × (i) 2a + 2b + 2c = 41 × (iii) 2a – 3b + 2c = 0

––––––––––––––– –5b = 4

⇔ b = 45

Substitusikan a = 12 dan b =


12 +

45 + c = 2 ⇔ c = 2 –

1310

⇔ c = 7

10

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah a = 12 ,

b = 45 , dan c =

710 .

8. Misalkan: x = angka ratusany = angka puluhanz = angka satuan


Nilai bilangan: 100x + 10y + zKetentuan tersebut dapat diubah ke dalampersamaan menjadi:x + y + z = 9 . . . (i)x – 2y – 3z = 2 . . . (ii)2x + y – 4z = 11 . . . (ii)Eliminasi x dari (i) dan (ii) diperoleh:

x + y + z = 9x – 2y – 3z = 2

––––––––––––– –3y + 4z = 7 . . . (iv)

Eliminasi x dari (ii) dan (iii) diperoleh:x – 2y – 3z = 2 × 2 2x – 4y – 6z = 42x + y – 4z = 11 × 1 2x + y – 4z = 11

–––––––––––––––– – –5y – 2z = –7 . . . (v)

Eliminasi z dari (iv) dan (v) diperoleh:3y + 4z = 7 × 1 3y + 4z = 7

–5y – 2z = –7 × 2 –10y – 4z = –14–––––––––––––– +

–7y = –7 ⇔ y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan (iv):3y + 4z = 7 ⇒ 3(1) + 4z = 7

⇔ 3 + 4z = 7⇔ 4z = 4⇔ z = 1

Substitusi y = 1 dan z = 1 ke persamaan (i):x + y + z = 9

⇔ x + 1 + 1 = 9⇔ x + 2 = 9⇔ x = 7Nilai bilangan = 100 · 7 + 10 · 1 + 1 = 711.Jadi, bilangan tersebut 711.

9. Misal: x = harga barang Ay = harga barang Bz = harga barang C

Sistem persamaan yang terbentuk:3x + 4y + z = 43.700 . . . (i)6x + 2y + z = 41.700 . . . (ii)2x + 5y + 10z = 96.100 . . . (iii)Eliminasi z dari persamaan (i) dan (ii):3x + 4y + z = 43.7006x + 2y + z = 41.700–––––––––––––––––– –

–3x + 2y = 2.000 . . . (iv)Eliminasi z dari persamaan (ii) dan (iii):

6x + 2y + z = 41.700 × 10 60x + 20y + 10z = 417.0002x + 5y + 10z = 96.100 × 1 2x + 5y + 10z = 96.100

––––––––––––––––––58x + 15y = 320.900

. . . (v)Eliminasi y dari persamaan (iv) dan (v):

–3x + 2y = 2.000 × 15 –45x + 30y = 30.00058x + 15y = 320.900 × 2 116x + 30y = 641.800

––––––––––––––– ––161x = –611.800

⇔ x = 3.800

Substitusikan x = 3.800 ke persamaan (iv):–3x + 2y = 2.000 ⇒ –3(3.800) + 2y = 2.000

⇔ –11.400 + 2y = 2.000⇔ 2y = 13.400⇔ y = 6.700

Substitusikan x = 3.800 dan y = 6.700 ke persama-an (iii):2x + 5y + 10z = 96.100⇒ 2(3.800) + 5(6.700) + 10z = 96.100⇔ 7.600 + 33.500 + 10z = 96.100⇔ 10z = 55.000⇔ z = 5.500Sehingga,5x + 5y + 5z = 5(3.800) + 5(6.700) + 5(5.500)

= 19.000 + 33.500 + 27.500= 80.000

Jadi, Ana harus membayar Rp80.000,00.

10. Misalkan:x = banyak pakaian model A yang diproduksiy = banyak pakaian model B yang diproduksiz = banyak pakaian model C yang diproduksiSistem persamaan linear permasalahan di atas:0,1x + 0,1y + 0,3z = 68⇔ x + y + 3z = 680 . . . (i)0,3x + 0,2y + 0,4z = 116

⇔ 3x + 2y + 4z = 1.160 . . . (ii)0,1x + 0,2y + 0,1z = 51⇔ x + 2y + z = 510 . . . (iii)Eliminasi y dari (i) dan (ii):2 × (i): 2x + 2y + 6z = 1.3601 × (ii): 3x + 2y + 4z = 1.160

––––––––––––––––– ––x + 2z = 200 . . . (iv)

Eliminasi y dari (ii) dan (iii):(ii): 3x + 2y + 4z = 1.160(iii): x + 2y + z = 510

–––––––––––––––––– –2x + 3z = 650 . . . (v)

Eliminasi x dari (iv) dan (v):2 × (iv): –2x + 4z = 4001 × (v): 2x + 3z = 650

––––––––––––––– + 7z = 1.050

⇔ z = 150Substitusikan z = 150 ke persamaan (iv):–x + 2 · 150 = 200⇔ x = 300 – 200 = 100Substitusikan x = 100 dan z = 150 ke persamaan (iii):

x + 2y + z = 510⇒ 100 + 2y + 150 = 510⇔ 2y = 510 – 250 = 260⇔ y = 130Jadi, banyak pakaian yang diproduksi:model A = 100 potong,model B = 130 potong, danmodel C = 150 potong.


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cy = 4x + 3 . . . (i)y = x2 – 2x + 8 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

4x + 3 = x2 – 2x + 8⇔ x2 – 2x + 8 – 4x – 3 = 0⇔ x2 – 6x + 5 = 0⇔ (x – 1)(x – 5) = 0⇔ x = 1 atau x = 5Substitusi nilai x ke persamaan (i):Untuk x = 1 ⇒ y = 4(1) + 3 = 7Untuk x = 5 ⇒ y = 4(5) + 3 = 23Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 7), (5, 23)}.

2. Jawaban: ay = x + c . . . (i)y = x2 + 3x . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

x + c = x2 + 3x⇔ x2 + 3x – x – c = 0⇔ x2 + 2x – c = 0Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalahD = 0.22 – 4 · 1 · (–c) = 0⇔ 4 + 4c = 0⇔ 4c = –4⇔ c = –1Sehingga persamaannya menjadi:x2 + 2x – (–1) = 0 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0

⇔ (x + 1)2 = 0⇔ x = –1

Substitusi x = –1 ke persamaan y = x – 1 diperoleh:y = –1 + (–1) = –2Jadi, nilai c = –1 dan x + y = –1 + (–2) = –3.

3. Jawaban: cy = 2x2 + 3x + 1 . . . (i)y = x2 + 4x + 3 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:2x2 + 3x + 1 = x2 + 4x + 3⇔ x2 – x – 2 = 0⇔ (x + 1)(x – 2) = 0⇔ x = –1 atau x = 2Substitusi nilai x ke persamaan (i):untuk x = –1 ⇒ y = 2 – 3 + 1 = 0untuk x = 2 ⇒ y = 8 + 6 + 1 = 15Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–1, 0), (2, 15)}.

4. Jawaban: dMisal: x = bilangan pertama

y = bilangan keduax – y = 8 ⇔ y = x – 8 . . . (i)x2 – y2 = 176 . . . (ii)

Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:x2 – (x – 8)2 = 176

⇔ x2 – (x2 – 16x + 64) = 176⇔ x2 – x2 + 16x – 64 = 176⇔ 16x = 240⇔ x = 15Substitusi x = 15 ke persamaan (i):y = x – 8 ⇒ y = 15 – 8 = 7Jadi, kedua bilangan tersebut 15 dan 7.

5. Jawaban: cy = px – 2 . . . (i)y = x2 + x – 2 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:px – 2 = x2 + x – 2 ⇔ x2 + x – px = 0

⇔ x2 + (1 – p)x = 0Syarat persamaan kuadrat mempunyai penyelesai-an tunggal adalah nilai diskriminannya (D = 0).(1 – p)2 – 4 · 1 · 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0

⇔ p = 1Jadi, nilai p = 1.

6. Jawaban: ex2 – x – y = 6 ⇔ y = x2 – x – 6 . . . (i)y – x = 2 ⇔ y = x + 2 . . . (ii)Substitusi persamaan (ii) ke (i) diperoleh:x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0

⇔ (x – 4)(x + 2) = 0⇔ x = 4 atau x = –2

Substitusi nilai x ke persamaan (ii):untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0Jadi, (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0).

7. Jawaban: by = 2x + 5 . . . (i)y = –x2 + 8x . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:2x + 5 = –x2 + 8x ⇔ x2 – 6x + 5 = 0

⇔ (x – 1)(x – 5) = 0⇔ x = 1 atau x = 5

Substitusi nilai x ke persamaan (i):untuk x = 1 ⇒ y = 2 + 5 = 7untuk x = 5 ⇒ y = 10 + 5 = 15Jadi, nilai y yang memenuhi 7 atau 15.

8. Jawaban: by = 3x2 + 6x – 1 . . . (i)y = x2 – x – 4 . . . (ii)Kedua kurva berpotongan di absis a dan c,selanjutnya menentukan nilai x.Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

3x2 + 6x – 1 = x2 – x – 4⇔ 3x2 + 6x – 1 – x2 + x + 4 = 0⇔ 2x2 + 7x + 3 = 0⇔ (x + 3)(2x + 1) = 0

⇔ x = –3 atau x = –12

Jadi, nilai a + c = –3 + (–12 ) = –3

12 .


9. Jawaban: dy = –x2 – 3x + 5 . . . (i)y = –x2 + 5x – 5 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:–x2 – 3x + 5 = –x2 + 5x – 5⇔ –x2 – 3x + 5 + x2 – 5x + 5 = 0⇔ –8x + 10 = 0

⇔ x = 54

Substitusi x = 54 ke persamaan (i):

y = –(54 )2 – 3(

54 ) + 5 = –(

2516 ) –

154 + 5 =

516−

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(54 ,

516−

)}.

10. Jawaban: eMisal: x = umur Ali sekarang

y = umur Badu sekarangPersamaan linear yang terbentuk:(i) (x – 6) : (y – 6) = 5 : 6

⇔ 6(x – 6) = 5(y – 6)⇔ 6x – 5y = 6

⇔ x = 1 + 56 y

(ii) xy = 1.512

Substitusikan x = 1 + 56 y ke persamaan (ii):

⇔ (1 + 56 y)y = 1.512

⇔ y + 56 y2 = 1.512

⇔ 5y2 + 6y – 9.072 = 0 ← (dikali 6)⇔ (5y + 216)(y – 42) = 0

⇔ y = –2165 atau y = 42

Oleh karena umur bernilai positif maka y = 42.Jadi, umur Badu sekarang 42 tahun.

B. Uraian

1. y = 6x – a . . . (i)y = x2 + 3 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:6x – a = x2 + 3 ⇔ x2 – 6x + 3 + a = 0 . . . (iii)Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalahD = 0.36 – 4 · 1 · (3 + a) = 0⇔ 36 – 12 – 4a = 0⇔ 4a = 24⇔ a = 6Substitusi a = 6 pada persamaan (iii):x2 – 6x + 3 + 6= 0⇔ x2 – 6x + 9 = 0⇔ (x – 3)2 = 0⇔ x = 3

Substitusi x = 3 ke persamaan (i):y = 6 · (3) – 6 = 12Jadi, himpunan penyelesaiannya {(3, 12)}.

2. Sistem persamaan yang terbentuk:a + b = 20 ⇔ b = 20 – a . . . (i)a2 + b2 = 208 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) pada (ii) diperoleh:a2 + (20 – a)2 = 208⇔ a2 + 400 – 40a + a2 = 208⇔ 2a2 – 40a + 192 = 0⇔ a2 – 20a + 96 = 0⇔ (a – 12)(a – 8) = 0⇔ a = 12 atau a = 8Substitusi nilai a ke persamaan (i):Untuk a = 12 ⇒ b = 20 – 12 = 8Untuk a = 8 ⇒ b = 20 – 8 = 12Jadi, selisih kedua bilangan itu 12 – 8 = 4.

3. Misal: panjang = alebar = b

K = 2a + 2b = 82 ⇔ 2a = 82 – 2b⇔ a = 41 – b . . . (i)

Panjang diagonalnya 29 cm maka:a2 + b2 = 292 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

(41 – b)2 + b2 = 292

⇔ 1.681 – 82b + b2 + b2 = 841⇔ 2b2 – 82b + 1.681 – 841 = 0⇔ 2b2 – 82b + 840 = 0⇔ b2 – 41b + 420 = 0⇔ (b – 21)(b – 20) = 0⇔ b = 21 atau b = 20Substitusi nilai b ke persamaan (i):untuk b = 21 → a = 41 – 21 = 20untuk b = 20 → a = 41 – 20 = 21Persegi panjang tersebut memiliki panjang 21 cmdan lebar 20 cm. Jadi, luas persegi panjang:L = 20 × 21 = 420 cm2.

4. y = 2x2 – 2 . . . (i)y = x2 – 3x + 2 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

2x2 – 2 = x2 – 3x + 2⇔ 2x2 – 2 – x2 + 3x – 2 = 0⇔ x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x = –4 atau x = 1Substitusi nilai x ke persamaan (i):untuk x = –4 ⇒ y = 2(–4)2 – 2 = 32 – 2 = 30untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 2 = 0Jadi, titik potong kedua kurva tersebut (–4, 30)dan (1, 0).


5. y = 3x – p . . . (i)y = x2 – 3x – 2 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

3x – p = x2 – 3x – 2⇔ x2 – 3x – 2 – 3x + p = 0⇔ x2 – 6x – (p – 2) = 0Syarat memiliki dua penyelesaian adalah D > 0.

b2 – 4 · a · c > 0⇔ (–6)2 – 4 · 1 · (p – 2) > 0⇔ 36 – 4(p – 2) > 0⇔ 36 – 4p + 8 > 0⇔ –4p > –44⇔ p < 11Jadi, sistem persamaan akan memiliki duapenyelesaian jika p < 11.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cSistem persamaan linear dua variabel adalahbeberapa persamaan yang memuat dua variabeldengan pangkat tertinggi variabel-variabelnyasatu. Pilihan c merupakan sistem persamaan lin-ear dua variabel.

2. Jawaban: dMisal: x = harga 1 kg apel

y = harga 1 kg jeruk2x + 3y = 57.000 . . . (i)3x + 5y = 90.000 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan:2x + 3y = 57.000 × 5 10x + 15y = 285.0003x + 5y = 90.000 × 3 9x + 15y = 270.000

–––––––––––––––– –x = 15.000

Substitusi x = 15.000 pada persamaan (i):2x + 3y = 57.000 ⇒ 2(15.000) + 3y = 57.000

⇔ 3y = 27.000⇔ y = 9.000

x + y = 15.000 + 9.000= 24.000

Jadi, uang kembalian yang diterima Surya:Rp100.000,00 – Rp24.000,00 = Rp76.000,00.

3. Jawaban: bEliminasi y pada persamaan:(i) 2x – 3y = 4 × 2 4x – 6y = 8(ii) x + 2y = 9 × 3 3x + 6y = 27

––––––––––– +7x = 35

⇔ x = 5

Substitusi x = 5 pada persamaan pertama:2(5) – 3y = 4 ⇔ 10 – 3y = 4

⇔ –3y = –6⇔ y = 2

Jadi, 1

x y+ = 1

5 2+ = 17 .

4. Jawaban: eEliminasi y pada persamaan:(i): x – 3y = –2 × 1 x – 3y = –2(ii): 3x – y = 4 × 3 9x – 3y = 12

––––––––––– ––8x = –14

⇔ x = 74

Substitusi x = 74 pada persamaan (i):

74 – 3y = –2 ⇔ –3y =

154

−

⇔ y = 54

Jadi, 1x ·

1y

= 74

1 · 5

4

1 =

1635 .

5. Jawaban: e2x 3

2−

+ y 4

3+

= 216

⇔ 3(2x – 3) + 2(y + 4) = 13⇔ 6x + 2y = 14⇔ 3x + y = 7 . . . (i)

x 24+

– 3y 2

2−

= 514

⇔ (x + 2) – 2(3y – 2) = 21⇔ x – 6y = 15 . . . (ii)Eliminasi y:6x + 2y = 14 × 3 18x + 6y = 42

x – 6y = 15 × 1 x – 6y = 15 ––––––––––––– +

19x = 57 ⇔ x = 5719 = 3

x = 3 disubstitusikan x – 6y = 15:3 – 6y= 15⇔ 6y = –12⇔ y = –2Jadi, nilai dari x0y0 = (3)(–2) = –6.

6. Jawaban: bMisal: p = panjang

= lebarSistem persamaan yang terbentuk:2p + 2 = 40 . . . (i)

2(p + 8) + 2(2 ) = 72⇔ 2p + 16 + 4 = 72⇔ 2p + 4 = 56 . . . (ii)


Eliminasi p pada persamaan (i) dan (ii):2p + 2 = 402p + 4 = 56–––––––––––– –

–2 = –16⇔ = 8Substitusi = 8 pada persamaan (i):2p + 2 · (8) = 40 ⇔ 2p = 40 – 16

⇔ 2p = 24⇔ p = 12

Jadi, luas persegi panjang p × = 12 × 8 = 96 cm2.7. Jawaban: c

x + 2y = 3 . . . (i)ax + 2y = 7 . . . (ii)

p + q = 52 . . . (iii)

p – q = 32 . . . (iv)

Eliminasi q pada persamaan (iii) dan (iv):

p + q = 52

p – q = 32

––––––––––– +

2p = 82 ⇔ p = 2

Substitusi p = 2 ke persamaan (iii):

p + q = 52 ⇒ 2 + q =

52

⇔ q = 12

p = 2 dan q = 12 merupakan penyelesaian dari

persamaan (i).Misal p = y dan q = x⇒ q + 2p = 3

⇔ 12 + 2(2) = 3 (salah)

Misal p = x dan q = y⇒ p + 2q = 3

⇔ 2 + 2(12 ) = 3 (benar)

Substitusikan x = p = 2 dan y = q = 12 ke

persamaan (ii).

ax + 2y = 7 ⇒ a(2) + 2(12 ) = 7

⇔ 2a = 6⇔ a = 3

Jadi, a = 3.8. Jawaban: e

Misal: x = usia Udin pada tahun 2008y = usia paman pada tahun 2008

x = 14 y ⇔ 4x – y = 0 . . . (i)

(x + 2) = 13 (y + 2) ⇔ 3x + 6 = y + 2

⇔ 3x – y = –4 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan:4x – y = 03x – y = –4

–––––––––– –x = 4

Pada tahun 2008 usia Udin 4 tahun.Jadi, Udin lahir pada tahun 2004.

9. Jawaban: d3x 2

2+

+ y 2

3−

= 3

⇔ 3(3x + 2) + 2(y – 2) = 18⇔ 9x + 6 + 2y – 4 = 18⇔ 9x + 2y = 16 . . . (i)3x + 2y = 4 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii):9x + 2y= 163x + 2y= 4––––––––––– –

6x = 12⇔ x = 2

Substitusikan x = 2 pada persamaan (ii):3x + 2y = 4 ⇒ 3(2) + 2y = 4

⇔ 6 + 2y = 4⇔ 2y = –2⇔ y = –1

Jadi, nilai x · y = 2 · (–1) = –2.

10. Jawaban: cMisal: a = harga buku

b = harga bolpoinc = harga pensil

Sistem persamaan linear yang terbentuk:4a + 2b + 3c = 26.000 . . . (i)3a + 3b + c = 21.500 . . . (ii)3a + c = 12.500 . . . (iii)Eliminasi b pada persamaan (i) dan (ii):3 × (i) 12a + 6b + 9c = 78.0002 × (ii) 6a + 6b + 2c = 43.000

–––––––––––––––––––– –6a + 7c = 35.000 . . . (iv)

Eliminasi a pada (iii) dan (iv):2 × (iii) 6a + 2c = 25.0001 × (iv) 6a+ 7c = 35.000

––––––––––––––– ––5c = –10.000 ⇔ c = 2.000

Substitusi c = 2.000 pada persamaan (iii):3a + 2.000 = 12.500 ⇔ 3a = 10.500

⇔ a = 3.500


Substitusi a = 3.500 dan c = 2.000 pada per-samaan (i):4 · (3.500) + 2b + 3 · (2.000)= 26.000⇔ 2b + 20.000 = 26.000⇔ 2b = 6.000⇔ b = 3.000Sehingga 2b + 2c = 2 · (3.000) + 2 · (2.000)

= 10.000Jadi, uang yang harus dibayarkan DinaRp10.000,00.

11. Jawaban: c

Misal x2 =

y3 =

z5 = k maka x = 2k, y = 3k, dan

z = 5k.3x + 5y – 2z = 33

3(2k) + 5(3k) – 2(5k) = 33⇔ 6k + 15k – 10k = 33⇔ 11k = 33⇔ k = 3k = 3 ⇒ x = 2(3) = 6k = 3 ⇒ y = 3(3) = 9k = 3 ⇒ z = 5(3) = 15Jadi, himpunan penyelesaian {(6, 9, 15)}.

12. Jawaban: dMisal: x = harga 1 buku tulis

y = harga 1 bolpoinz = harga 1 pensil

3x + y + 2z = 17.000 . . . (i)x + 2y + z = 13.000 . . . (ii)2x + y + z = 12.000 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):3x + y + 2z = 17.000 × 1 3x + y + 2z = 17.000x + 2y + z = 13.000 × 2 2x + 4y + 2z = 26.000

–––––––––––––––––––– –x – 3y = –9.000. . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):x + 2y + z = 13.0002x + y + z = 12.000––––––––––––––––– –

–x + y = 1.000 . . . (v)Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):x – 3y = 9.000 × 1 x – 3y = –9.000–x + y = 1.000 × 3 –3x + 3y = 3.000

–––––––––––––––– +–2x = –6.000

⇔ x = 3.000Substitusi x = 3.000 pada persamaan (v):–x + y = 1.000 ⇒ –3.000 + y = 1.000

⇔ y = 4.000Sehingga,x + y = 3.000 + 4.000 = 7.000Jadi, jika saya membeli 1 buku tulis dan 1 bolpoinmaka harus membayar Rp7.000,00.

13. Jawaban: bMisal: x = sisi pertama

y = sisi keduaz = sisi ketiga

x + y + z = 16 . . . (i)x = 3(y – z) ⇔ x – 3y + 3z = 0 . . . (ii)y + z = 4x + 1 ⇔ 4x – y – z = –1 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):x + y + z = 16 × 3 3x + 3y + 3z = 48x – 3y + 3z = 0 × 1 x – 3y + 3z = 0

––––––––––––––––– –2x + 6y = 48 . . . (iv)

Eliminasi y dan z pada persamaan (i) dan (iii):x + y + z = 16

4x – y – z = –1––––––––––––– +

5x = 15⇔ x = 3

Substitusikan x = 3 pada persamaan (iv)2x + 6y = 48 ⇒ 2(3) + 6y = 48

⇔ 6y = 42⇔ y = 7

Substitusi x = 3 dan y = 7 pada persamaan (i):x + y + z = 16

⇒ 3 + 7 + z = 16⇔ z = 6Jadi, panjang masing-masing sisi segitiga 3 cm,7 cm, dan 6 cm.

14. Jawaban: a3x – 2y – 3z = 5 . . . (i)x + y – 2z = 3 . . . (ii)x – y + z = –4 . . . (iii)Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii):3x – 2y – 3z = 5 × 1 3x – 2y – 3z = 5x + y – 2z = 3 × 3 3x + 3y – 6z = 9

–––––––––––––––––––– ––5y + 3z = –4 . . . (iv)

Eliminasi x pada persamaan (ii) dan (iii):x + y – 2z = 3

x – y + z = –4–––––––––––– –

2y – 3z = 7 . . . (v)Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):–5y + 3z = –4 × 2 –10y + 6z = –82y – 3z = 7 × 5 10y – 15z = 35

––––––––––––– +–9z = 27

⇔ z = –3Jadi, nilai z0 = –3.

15. Jawaban: a2x + y – 3z = –1 . . . (i)2x + 2y + z = 10 . . . (ii)x – 2y + 3z = 1 . . . (iii)


Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):2x + y – 3z = –1 × 1 2x + y – 3z = –12x + 2y + z = 10 × 3 6x + 6y + 3z = 30

–––––––––––––––––––– +8x + 7y = 29 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):2x + y – 3z = –1x – 2y + 3z = 1–––––––––––––– +

3x – y = 0 . . . (v)Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):8x + 7y = 29 × 1 8x + 7y = 293x – y = 0 × 7 21x – 7y = 0

––––––––––––– +29x = 29

⇔ x = 1Substitusi x = 1 pada persamaan (v):3x – y = 0 ⇒ 3(1) – y = 0

⇔ y = 3Substitusi x = 1 dan y = 3 pada persamaan (i):2x + y – 3z = –1 ⇒ 2(1) + 3 – 3z = –1

⇔ 2 + 3 – 3z = –1⇔ –3z = –6⇔ z = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 3, 2)}.

16. Jawaban: cx + 2y – z = –2 . . . (i)3x – y + 2z = –3 . . . (ii)x + y – 3z = –7 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):x + 2y – z = –2 × 2 2x + 4y – 2z= –43x – y + 2z = –3 × 1 3x – y + 2z = –3

––––––––––––––––––– +5x + 3y = –7 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):x + 2y – z = –2 × 3 3x + 6y – 3z= –6x + y – 3z = –7 × 1 x + y – 3z = –7

–––––––––––––––––– –2x + 5y = 1 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):5x + 3y = –7 × 5 25x + 15y = –352x + 5y = 1 × 3 6x + 15y = 3

––––––––––––– –19x = –38

⇔ x = –2Substitusi x = –2 pada persamaan (iv):5x + 3y = –7 ⇒ 5(–2) + 3y = –7

⇔ –10 + 3y= –7⇔ 3y= 3⇔ y = 1

Substitusi x = –2 dan y = 1 pada persamaan (i):x + 2y – z = –2 ⇒ –2 + 2(1) – z = –2

⇔ z = 2Jadi, x : y : z = –2 : 1 : 2.

17. Jawaban: bx + y = a . . . (i)y + z = b . . . (ii)z + x = c . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):y + z = bz + x = c–––––––– –y – x = b – c . . . (iv)Eliminasi y pada persamaan (i) dan (iv):x + y = ay – x = b – c––––––––––– –

2x = a – b + c

⇔ x = 12 a –

12 b +

12 c

Substitusi x pada persamaan (i):

x + y = a ⇒ (12 a –

12 b +

12 c) + y = a

⇔ y = 12 a +

12 b –

12 c

Substitusi x pada persamaan (iii):

z + x = c ⇒ z + (12 a –

12 b +

12 c) = c

⇔ z = –12 a +

12 b +

12 c

x + y + z = (12 a –

12 b +

12 c) + (

12 a +

12 b –

12 c)

+ (–12 a +

12 b +

12 c)

= 12 a +

12 b +

12 c =

12 (a + b + c)

Jadi, x + y + z = 12 (a + b + c).

18. Jawaban: e

x + 2y + z = 43 . . . (i)

2x + y – 3z = 14 . . . (ii)

x – 2y + 3z = 1 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):

x + 2y + z = 43 × 3 3x + 6y + 3z = 4

x – 2y + 3z = 1 × 1 x – 2y + 3z = 1––––––––––––––––––– –

2x + 8y = 3 . . . (iv)Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):

2x + y – 3z = 14

x – 2y + 3z = 1–––––––––––––––––– +

3x – y = 54 . . . (v)


Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):2x + 8y = 3 × 1 2x + 8y = 3

3x – y = 54 × 8 24x – 8y = 10

––––––––––––– +

26x = 13 ⇔ x = 12

Substitusi x = 12 pada persamaan (v):

3x – y = 54 ⇒ 3(

12 ) – y =

54

⇔ –y = –14

⇔ y = 14

Substitusi x = 12 dan y =


x + 2y + z = 43 ⇒ 1

2 + 2(14 ) + z =

43

⇔ 1 + z = 43

⇔ z = 13

Jadi, nilai x + y + z = 12 +

14 +

13 =

1312 .

19. Jawaban: dx3 –

y5 = 1 . . . (i)

y3 +

z4 = 7 . . . (ii)

z2 –

x6 = 2 . . . (iii)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii):y3 +

z4 = 7 × 12 4y + 3z = 84

z2 –

x6 = 2 × 6 3z – x = 12

–––––––––––––––– –4y + x = 72 . . . (iv)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (iv):x3 –

y5 = 1 × 60 20x – 12y = 60

4y + x = 72 × 3 12y + 3x = 216––––––––––––––––– +

23x = 276⇔ x = 12

Substitusi x = 12 pada persamaan (i):

x3 –

y5 = 1 ⇒ 12

3 – y5 = 1

⇔ 4 – y5 = 1

⇔ –y5 = –3

⇔ y = 15

Substitusi x = 12 pada persamaan (iii):z2 –

x6 = 2 ⇒ z

2 – 126 = 2

⇔ z2 = 4

⇔ z = 8Jadi, x + y + z = 12 + 15 + 8 = 35.

20. Jawaban: ax – 2y + z = 8 . . . (i)2x – y + 3z = 12 . . . (ii)3x + y – 2z = 0 . . . (iii)Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii):x – 2y + z = 8 × 3 3x – 6y + 3z = 242x – y + 3z = 12 × 1 2x – y + 3z = 12

––––––––––––––––––– –x – 5y = 12 . . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii):x – 2y + z = 8 × 2 2x – 4y + 2z = 163x + y – 2z = 0 × 1 3x + y – 2z = 0

–––––––––––––––––– +5x – 3y = 16 . . . (v)

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v):x – 5y = 12 × 3 3x – 15y = 365x – 3y = 16 × 5 25x – 15y = 80

––––––––––––– ––22x = –44

⇔ x = 2Substitusi x = 2 pada persamaan (iv):x – 5y = 12 ⇒ 2 – 5y = 12

⇔ –5y = 10⇔ y = –2

Substitusi x = 2 dan y = –2 pada persamaan (i):x – 2y + z = 8 ⇒ 2 – 2(–2) + z = 8

⇔ 6 + z = 8⇔ z = 2

Jadi, nilai x2 + y2 + z2 = 22 + (–2)2 + 22 = 12.

21. Jawaban: ey = 2x2 + x + 3 . . . (i)y = x2 + 2x + 5 . . . (ii)Substitusi (i) ke (iii) diperoleh:

2x2 + x + 3 = x2 + 2x + 5⇔ 2x2 + x + 3 – x2 – 2x – 5 = 0⇔ x2 – x – 2 = 0⇔ (x + 1)(x – 2) = 0⇔ x = –1 atau x = 2Substitusi nilai x yang diperoleh pada persamaan(i):untuk x = –1 ⇒ y = 2(–1)2 + (–1) + 3

= 2 – 1 + 3 = 4untuk x = 2 ⇒ y = 2(2)2 + 2 + 3

= 8 + 2 + 3 = 13Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–1, 4), (2, 13)}.


22. Jawaban: a3y – x = 13 . . . (i)y = –x2 – 2x + 3 . . . (ii)Substitusi (ii) ke (i) diperoleh:

3(–x2 – 2x + 3) – x = 13⇔ –3x2 – 6x + 9 – x – 13 = 0⇔ –3x2 – 7x – 4 = 0⇔ 3x2 + 7x + 4 = 0⇔ (3x + 4)(x + 1) = 0⇔ 3x = –4 atau x = –1

⇔ x = –43 atau x = –1

Substitusi nilai x yang diperoleh pada persamaan(i):

untuk x = –43 ⇒ 3y – x = 12

⇔ 3y + 43 = 13

⇔ 3y = 353 ⇔ y =

359

untuk x = –1 ⇒ 3y – x = 13⇔ 3y + 1 = 13⇔ 3y = 12⇔ y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–43 ,

359 ), (–1, 4)}.

23. Jawaban: ay = –x2 + 3x + 1 . . . (i)y = x2 + x – 3 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

–x2 + 3x + 1 = x2 + x – 3⇔ –x2 + 3x + 1 – x2 – x + 3 = 0⇔ –2x2+ 2x + 4 = 0⇔ x2 – x – 2 = 0⇔ (x + 1)(x – 2) = 0⇔ x = –1 atau x = 2Jadi, nilai x yang memenuhi sistem persamaantersebut –1 atau 2.

24. Jawaban: dy = x2 + 3x – 4 . . . (i)y = 8 + 3x – 2x2 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

x2 + 3x – 4 = 8 + 3x – 2x2

⇔ x2 + 3x – 4 – 8 – 3x + 2x2 = 0⇔ 3x2 – 12 = 0⇔ x2 – 4 = 0⇔ (x – 2)(x + 2) = 0⇔ x = 2 atau x = –2Substitusi nilai x ke persamaan (i):untuk x = 2 ⇒ y = 22 + 3(2) – 4

= 4 + 6 – 4= 6

untuk x = –2 ⇒ y = (–2)2 + 3(–2) – 4= 4 – 6 – 4= –6

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, 6), (–2, –6)}.

25. Jawaban: ey = x2 + 3x + 1 . . . (i)y = –x2 + x – a . . . (ii)

Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:x2 + 3x + 1 = –x2 + x – a⇔ 2x2 + 2x + 1 + a = 0 . . . (iii)

Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalahD = 0.22 – 4 · (2)(1 + a) = 0 ⇔ 4 – 8 – 8a = 0

⇔ –8a = 4

⇔ a = –12

Substitusi a = –12 ke persamaan (iii):

⇒ 2x2 + 2x + 1 – 12 = 0

⇔ 2x2 + 2x + 12 = 0

⇔ x2 + x + 14 = 0

⇔ (x + 12 )2 = 0

⇔ x = –12

Substitusi nilai x = –12 ke persamaan (i):

y = (–12 )2 + 3(–

12 ) + 1 =

14 –

32 + 1 = –

14

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–12 , –

14 )}.

26. Jawaban: ex – 3y + 7 = 0 ⇔ x = 3y – 7 . . . (i)x2 – 2xy + y2 – 1 = 0 . . . (ii)Substitusikan persamaan (i) ke (ii):

(3y – 7)2 – 2y(3y – 7) + y2 – 1 = 09y2 – 42y + 49 – 6y2 + 14y + y2 – 1 = 0⇔ 4y2 – 28y + 48 = 0⇔ y2 – 7y + 12 = 0⇔ (y – 3)(y – 4) = 0⇔ y = 3 atau y = 4Substitusi nilai y ke persamaan (i):untuk y = 3 ⇒ x = 3(3) – 7 = 2untuk y = 4 ⇒ x = 3(4) – 7 = 5Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, 3), (5, 4)}.


27. Jawaban: dy = x2 – 8x + 12 . . . (i)y = 4 – 2x . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

x2 – 8x + 12 = 4 – 2x⇔ x2 – 8x + 12 – 4 + 12x = 0⇔ x2 – 6x + 8 = 0⇔ (x – 2)(x – 4) = 0⇔ x = 2 atau x = 4Substitusi nilai x ke persamaan (ii):untuk x = 2 ⇒ y = 4 – 2(2) = 0untuk x = 4 ⇒ y = 4 – 2(4) = –4Jadi, nilai y yang memenuhi sistem persamaan diatas 0 atau –4.

28. Jawaban: ey = 4x + p . . . (i)y = x2 – 2x + 3 . . . (ii)Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh:

4x + p = x2 – 2x + 3⇔ x2 – 2x + 3 – 4x – p = 0⇔ x2 – 6x + (3 – p) = 0Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalahD = 0.

(–6)2 – 4(1) · (3 – p) = 0⇔ 36 – 4(3 – p) = 0⇔ 36 – 12 + 4p = 0⇔ 4p = –24⇔ p = –6Jadi, p = –6.

29. Jawaban: by = 2x2 – 4x + 3 . . . (i)y = x2 – 6x + 6 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

2x2 – 4x + 3 = x2 – 6x + 6⇔ 2x2 – 4x + 3 – x2 + 6x – 6 = 0⇔ x2 + 2x – 3 = 0⇔ (x + 3)(x – 1) = 0⇔ x = –3 atau x = 1Substitusi nilai x ke persamaan (i):untuk x = –3 ⇒ y = 2(–3)2 – 4(–3) + 3

= 18 + 12 + 3 = 33untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 4(1) + 3

= 2 – 4 + 3= 1

Jadi, nilai y yang memenuhi 33 atau 1.

30. Jawaban: dMisal: bilangan I = x x > y

bilangan II = ySistem persamaannya:x – y = 2 . . . (i)x2 – y2 = 32 . . . (ii)

(ii): x2 – y2 = 32⇔ (x – y)(x + y) = 32⇔ 2(x + y) = 32⇔ x + y = 16 . . . (iii)

Eliminasi y dari persamaan (i) dan (iii):x – y = 2x + y = 16––––––––– +

2x = 18⇔ x = 9Substitusi nilai x = 9 ke persamaan (i):⇒ 9 – y = 2⇔ y = 7Jadi, kedua bilangan itu 7 dan 9, bilangan yangterkecil adalah 7.

B. Uraian1. p – = 6 . . . (i)

p = 2 – 9 ⇔ p – 2 = –9 . . . (ii)Eliminasi pada persamaan (i) dan (ii):p – = 6 × 2 2p – 2 = 12p – 2 = –9 × 1 p – 2 = –9

––––––––––– +p = 21

Substitusi p = 21 pada persamaan (i):p – = 6 ⇒ 21 – = 6

⇔ = 15K = 2(p + ) = 2(21 + 15) = 72Jadi, keliling persegi panjang tersebut 72 cm.

2. Misal: a% = pajak untuk penghasilanRp500.000,00

b% = pajak untuk penghasilan yang lebihdari Rp500.000,00 (kelebihan)

Sistem persamaan linear yang terbentuk:a

100 × 500.000 + b

100 × 200.000 = 95.000

⇔ 5.000a + 2.000b = 95.000 . . . (i)a

100 × 500.000 + b

100 × 400.000 = 140.000⇔ 5.000a + 4.000b = 140.000. . . (ii)Eliminasi a dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh:5.000a + 2.000b = 95.0005.000a + 4.000b = 140.000–––––––––––––––––––––– –

–2.000b = –45.000⇔ b = 22,5Substitusikan b = 22,5 ke persamaan (i), diperoleh:

5.000a + 2.000b = 95.000⇔ 5.000a + 2.000(22,5) = 95.000⇔ 5.000a = 95.000 – 45.000

⇔ a = 50.0005.000 = 10

Jadi, besar pajak untuk penghasilan Rp500.000,00adalah 10% dan besar pajak untuk kelebihannya22,5%.


3. Misalkan: x = berat daging sapi dalam kilogramy = berat ikan basah dalam kilogram

Dari permasalahan di atas dapat dibentuk sistempersamaan linear.• Persamaan linear untuk kebutuhan kalori:

500x + 350y = 27.500 . . . (i)• Persamaan linear untuk kebutuhan protein:

200x + 400y = 16.200 . . . (ii)Eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii):500x + 350y = 27.500 × 2 1.000x + 700y = 55.000200x + 400y = 16.200 × 5 1.000x + 2.000y = 81.000

––––––––––––––––––––– ––1.300y = –26.000

⇔ y = 20

Substitusi y = 20 ke persamaan (ii), diperoleh:200x + 400y = 16.200

⇔ 200x + 400(20) = 16.200⇔ 200x = 16.200 – 8.000

⇔ x = 8.200200 = 41

Sehingga kebutuhan daging sapi setiap harinya41 kg dan ikan basah 20 kg.Jadi, biaya yang harus dikeluarkan rumah sakittersebut= x × Rp40.000,00 + y × Rp15.000,00= 41 × Rp40.000,00 + 20 × Rp15.000,00= Rp1.640.000,00 + Rp300.000,00= Rp1.940.000,00

4. Misal: x = sisi tegaky = sisi datar

x + y + 13 = 30⇔ x + y = 17 . . . (i)x – y = 7 . . . (ii)Eliminasi y pada persamaan:x + y = 17x – y = 7

––––––––––– +2x = 24 ⇔ x = 12

Substitusi x = 12 pada persamaan (i):x + y = 17 ⇒ 12 + y = 17 ⇔ y = 5Jadi, panjang sisi tegak dan sisi datar segitigaadalah 12 cm dan 5 cm.

5. Misal: x = angka ratusany = angka puluhanz = angka satuan

x + y + z = 18 . . . (i)z = 2(x – y) ⇔ 2x – 2y – z = 0 . . . (ii)x + y = z + 2 ⇔ x + y – z = 2 . . . (iii)Jadi, sistem persamaannya adalah

x + y + z = 182x – 2y – z = 0x + y – z = 2

6. Sistem persamaan linear yang diketahui:x + y + z = 4 . . . (i)

2x – y – 2z = 3 . . . (ii)4x – 3y – 3z = –2 . . . (iii)12 ax +

13 by – cz = 2 . . . (iv)

ax + 23 by + cz = –2 . . . (v)

12 ax + by – 2cz = 6 . . . (vi)

Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii):x + y + z = 4

2x – y – 2z = 3––––––––––––– +

3x – z = 7 . . . (vii)Eliminasi y dari persamaan (ii) dan (iii):

2x – y – 2z = 3 × 3 6x – 3y – 6z = 94x – 3y – 3z = 2 × 1 4x – 3y – 3z = 2

–––––––––––––– –2x – 3z = 7 . . . (viii)

Eliminasi z dari persamaan (vii) dan (iii):3x – z = 7 × 3 9x – 3z = 21

2x – 3z = 7 × 1 2x – 3z = 7––––––––––––– –

7x = 14⇔ x = 2

Substitusikan x = 2 ke persamaan (vii):3x – z = 7⇒ 3(2) – z = 7⇔ z = 6 – 7 = –1Substitusikan x = 2 dan z = –1 ke persamaan (i):x + y + z = 4⇒ 2 + y – 1 = 4⇔ y = 4 – 1 = 3Karena SPL yang kedua mempunyaipenyelesaian yang sama maka substitusikan nilaix, y, dan z ke persamaan (iv), (v), dan (vi).Diperoleh SPL baru:

12 ax +

13 by – cz = 2 ⇒ a + b + c = 2 . . . (ix)

ax + 23 by + cz = –2 ⇒ 2a + 2b – c = –2 . . . (x)

12 ax + by – 2cz = 6 ⇒ a + 3b + 2c = 6 . . . (xi)

Eliminasi c dari persamaan (ix) dan (x):a + b + c = 2

2a + 2b – c = –2–––––––––––––– +

3a + 3b = 0 . . . (xii)Eliminasi c dari persamaan (x) dan (xi):2a + 2b – c = –2 × 2 4a + 4b – 2c = –4a + 3b + 2c = 6 × 1 a + 3b + 2c = 6

––––––––––––––– +5a + 7b = 2 . . . (xiii)


Eliminasi b dari persamaan (xii) dan (xiii):3a + 3b = 0 × 7 21a + 21b = 05a + 7b = 2 × 3 15a + 21b = 6

––––––––––––– –6a = –6

⇔ a = –1Substitusikan a = –1 ke persamaan (xii):3a + 3b = 0 ⇒ 3(–1) + 3b = 0

⇔ 3b = 3⇔ b = 1

Substitusikan a = –1 dan b = 1 ke persamaan (ix):a + b + c = 2 ⇒ –1 + 1 + c = 2

⇔ c = 2Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut –1, 1, dan 2.

7. Misal: x = besar pinjaman di bank Ay = besar pinjaman di bank Bz = besar pinjaman di lembaga keuangan

z = 80.000.000 – 70.000.000= 10.000.000

Sistem persamaan linear yang terbentuk:x + y = 70.000.000 . . . (i)

11100 x +

10100 y +

13100 · 10.000.000 = 8.500.000

⇔ 11100 x +

10100 y + 1.300.000 = 8.500.000

⇔ 11100 x +

10100 y = 7.200.000

⇔ 11x + 10y = 720.000.000 . . . (ii)Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii):

x + y = 70.000.000 × 10 10x + 10y = 700.000.00011x + 10y= 720.000.000 × 1 11x + 10y = 720.000.000

––––––––––––––––––– ––x = –20.000.000

⇔ x = 20.000.000

Substitusi x = 20.000.000 ke persamaan (i),diperoleh:x + y = 70.000.000⇒ 20.000.000 + y = 70.000.000⇔ y = 50.000.000Jadi, besar pinjaman Pak Didin di bank A,bank B, dan lembaga keuangan berturut-turutRp20.000.000,00, Rp50.000.000,00, danRp10.000.000,00.

8. Misal: x = harga beras jenis Iy = harga beras jenis IIz = harga beras jenis III

Sistem persamaan linear yang terbentuk:3x + 2y + z = 29.000 . . . (i)

3y + 2z = 26.000 . . . (ii)2x + y = 14.000 . . . (iii)

Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii):3x + 2y + z = 29.000 × 3 9x + 6y + 3z = 87.000

3y + 2z = 26.000 × 2 6y + 4z = 52.000 ––––––––––––––––– –9x – z = 35.000 . . . (iv)

Eliminasi y dari persamaan (i) dan (iii):3x + 2y + z = 29.000 × 1 3x + 2y + z = 29.000

2x + y = 14.000 × 2 4x + 2y = 28.000––––––––––––––––– ––x + z = 1.000 . . . (v)

Eliminasi z dari persamaan (iv) dan (v):9x – z = 35.000–x + z = 1.000––––––––––––– +

8x = 36.000 ⇔ x = 4.500Substitusikan x = 4.500 ke persamaan (v),diperoleh:–x + z = 1.000 ⇒ –4.500 + z = 1.000 ⇔ z = 5.500Substitusikan x = 4.500 ke persamaan (iii),diperoleh:2x + y = 14.000 ⇒ 2(4.500) + y = 14.000

⇔ y = 5.000Jadi, harga beras jenis I, II, dan III berturut-turutRp4.500,00, Rp5.000,00, dan Rp5.500,00.

9. y = x(x + 2) – 6 . . . (i)y = 2x2 – 4x + 2 . . . (ii)Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:

x(x + 2) – 6 = 2x2 – 4x + 2⇔ x2 + 2x – 6 – 2x2 + 4x – 2 = 0⇔ –x2 + 6x – 8 = 0⇔ x2 – 6x + 8 = 0⇔ (x – 2)(x – 4) = 0⇔ x = 2 atau x = 4Substitusi nilai x pada persamaan (i):untuk x = 2 ⇒ y = 2(2 + 2) – 6

= 8 – 6= 2

untuk x = 4 ⇒ y = 4(4 + 2) – 6= 24 – 6= 18

Jadi, titik potongnya (2, 2) dan (4, 18).

10. x2 + y2 + 2x – 19 = 0 . . . (i)x2 + y2 + 5x + y – 26 = 0 . . . (ii)Eliminasi x2 dan y2 pada persamaan:

x2 + y2 + 2x – 19 = 0x2 + y2 + 5x + y – 26 = 0

–––––––––––––––––––––– ––3x – y + 7 = 0

⇔ y = 7 – 3x . . . (iii)Substitusi persamaan (iii) ke (i) diperoleh:

x2 + y2 + 2x – 19 = 0⇒ x2 + (7 – 3x)2 + 2x – 19 = 0⇔ x2 + (49 – 42x + 9x2) + 2x – 19 = 0⇔ 10x2 – 40x + 30 = 0⇔ x2 – 4x + 3 = 0⇔ (x – 1)(x – 3) = 0⇔ x = 1 atau x = 3


Latihan Ulangan Akhir Semester

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c4 2 3

8 7(a b )a b

−

− = 4 3 2 3

8 7a b

a b

× − ×

− = 12 6

8 7a ba b

−

− = 12

8aa

× 6

7bb

−

−

= a12 – 8 × b–6 – (–7) = a4b2. Jawaban: c

4 3 p p = 124 3 p p⋅ =

32

4 3 p = ( )1

3 32

4p

= 3 12 34 p

⋅ =

124 p =

1 12 4p

⋅ = p

18

p18 = pm maka m =

18

3. Jawaban: an 1 n 1

n n 22 22 2

+ −

−+

+=

n 1 n 1

n n 22 2 22 2 2

−

−⋅ ++ ⋅

= 1n21n4

2 (2 )

2 (1 )

+

+

= 1214

2

1

+

+ =

5254

= 2

4. Jawaban: ea = 0,6666. . . diubah menjadi bentuk pecahanbiasa terlebih dahulu.10a = 6,6666. . .

a = 0,6666. . .––––––––––––––– –

9a = 6 ⇔ a = 69 =

23

⇒ b = 51

16 = 8116 = (

32 )4

alog b = 23 log(

32 )4 = 4

23 log

32 = –4

23 log

23 = –4

5. Jawaban: d2 32 3

−+ =

2 32 3

−+ ×

2 32 3

−− (merasionalkan

penyebut dengan mengalikan sekawannya)

⇔ 2 22 2 2 2 3 3 3

( 2) ( 3)− +

− = 2 2 6 3

2 3− +

−

= 5 2 61

−− = 2 6 – 5

Jawaban tersebut identik dengan bentuk a 6 + b.Sehingga diperoleh persamaan a = 2 dan b = –5maka a + b = 2 + (–5) = –3

6. Jawaban: eL = p ×

⇒ 12 = p × ( 15 – 3 )

⇔ p = 12

( 15 3)− =

12( 15 3)−

· ( 15 3)( 15 3)

++

= 12( 15 3)

15 3+

− = 3 + 15

7. Jawaban: d49log 32 ·

2 149

log + 8 23log 52

= 5227 log 2 ·

1

22 2log 7− + 88log 25

= (522

) 7log 2 · ( 12

2−) 2log 7 + 25

= (522

)( 12

2−) · 7log 2 · 2log 7 + 25

= –5 · 7log 7 + 25= –5 + 25 = 20

8. Jawaban: c

alog b =m ⇔ blog a = 1m

ablog bc = b

blog bclog ab

= b b

b blog b log clog a log b

++

= 1m

1 n

1

++

× mm

= m(1 n)1 m

++

9. Jawaban: a0,8 – 0,45x2 = 0 (kedua ruas dikalikan 100)

⇔ 80 – 45x2 = 0⇔ 5(16 – 9x2) = 0⇔ 5(4 + 3x)(4 – 3x) = 0(4 + 3x) = 0 atau (4 – 3x) = 0

x = –43 atau x =

43

Oleh karena m > n maka m = 43 dan n = –

43 maka

nilai m2 – n2 = (43 )2 – (–

43 )2 =

169 –

169 = 0

10. Jawaban: ax2 – 2kx + 3k – 2 = 0 ⇒ a = 1, b = –2k , c = 3k – 2Syarat memiliki dua akar real berlainan D > 0,sehingga:(–2k)2 – 4 · 1(3k – 2) > 0⇔ 4k2 – 12k + 8 > 0⇔ k2 – 3k + 2 > 0⇔ (k – 2)(k – 1) > 0

Substitusi nilai x ke persamaan (iii):untuk x = 1 ⇒ y = 7 – 3(1)

= 7 – 3= 4

untuk x = 3 ⇒ y = 7 – 3(3)= 7 – 9= –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 4), (3, –2)}.


Batas-batas nilai k:(k – 2)(k – 1) = 0k – 2 = 0 atau k – 1= 0k = 2 atau k = 1

Jadi, penyelesaian yang memenuhi adalah k < 1atau k > 2.

11. Jawaban: ax2 + 4px + q = 0 memiliki akar kembar maka D = 0.(4p)2 – 4 · 1 · q = 0 ⇔ 16p2 – 4q = 0 . . . (1)x2 + (4p + 2)x + (q – 1) = 0 memiliki akar kembarmaka D = 0(4p + 2)2 – 4 · 1 · (q – 1) = 0⇔ 16p2 + 16p + 4 – 4q + 4 = 0⇔ 16p2 + 16p – 4q + 8 = 0 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:Eliminasi p2 dan q:16p2 + 16p – 4q + 8= 016p2 – 4q = 0–––––––––––––––––––– –

16p + 8 = 0

⇔ 16p = –8 ⇔ p = –12

Substitusikan p = –12 ke (1):

16(–12 )2 – 4q = 0⇒ 4 – 4q = 0

⇔ 4q = 4⇔ q = 1

Jadi, pq = –12 · 1 = –

12 .

12. Jawaban: eMisalkan x1 dan x2 akar-akar persamaanx2 + 8x + 2 = 0:

|x1 – x2| = Da

= 28 4 1 2

1− ⋅ ⋅

= 64 8− = 56 = 2 14

13. Jawaban: eMisal akar-akar pada persamaan di atas adalahx1 dan x2 maka x1 = 3x2.x2 – (p + 3)x + 2(p + 1) = 0⇒ a = 1, b = –(p + 3), q = 2(p + 1)x1 + x2 = p + 3x1 · x2 = 2(p + 1)x1 = 3x2x1 + x2 = p + 3⇔ 3x2 + x2 = p + 3⇔ 4x2 = p + 3

⇔ x2 = p 3

4+

Diperoleh x1 = 3(p 3

4+

)

Sehinggax1 · x2 = 2(p + 1)

⇔ 3(p 3

4+

) · p 3

4+

= 2(p + 1)

⇔23(p 6p 9)

16+ + = 2(p + 1)

⇔ 3p2 + 18p + 27 = 16 · 2(p + 1)⇔ 3p2 + 18p + 27 = 32p + 32⇔ 3p2 + 18p – 32p + 27 – 32 = 0⇔ 3p2 – 14p – 5 = 0⇔ (3p + 1)(p – 5) = 0⇔ 3p + 1 = 0 atau p – 5 = 0

⇔ p = –13 atau p = 5

14. Jawaban: cAkar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x + 3 = 0

adalah x1 dan x2 sehingga x1 + x2 = 62 = 3 dan

x1 · x2 = 32 .

Misal akar-akar baru tersebut α = 1

2

xx dan β = 2

1

xx .

Jumlah akar-akar yang baru:

α + β = 1

2

xx + 2

1

xx =

2 21 2

1 2

x xx x

+

= 2

1 2 1 2

1 2

(x x ) 2x xx x

+ −

= 322

32

3 2− ⋅ = (9 – 3) ·

23 = 4

Hasil kali akar-akar yang baru:

α · β = 1

2

xx · 2

1

xx = 1

Persamaan kuadrat baru dengan akar α dan β:x2 – (α + β)x + αβ = 0.Jadi, persamaan kuadrat baru x2 – 4x + 1 = 0.

15. Jawaban: c2x2 – 3x – 5 = 0⇒ a = 2 , b = –3 , c = –5 sehingga

a + b = –3

2−

= 32

a · b = 5

2−

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalahα dan β maka:

α + β = –1a + (–

1b ) = –

b aab+

= 3252

− = –35

α · β = –1a × (–

1b ) =

1ab = 5

2

1

− = –

25

+ + + — — + + +1 2


Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α dan β:

x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 – (–35 )x + (–

25 ) = 0

⇔ x2 + 35 x –

25 = 0

⇔ 5x2 + 3x – 2 = 0 (dikalikan 5)

16. Jawaban: cPerhatikan grafik fungsi f(x) = 3x berikut.

Setiap nilai x ∈ domain (sumbu X) mempunyaitepat satu kawan di kodomain (sumbu Y) sehinggaf(x) = 3x merupakan fungsi injektif.Setiap nilai y ∈ kodomain mempunyai tepat satukawan sehingga f(x) = 3x merupakan fungsisurjektif.Berarti f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif.

17. Jawaban: dNilai maksimum diperoleh pada x = –3.

x = –b2a ⇔ –3 =

(m 2)2+

−

⇔ 6 = m + 2⇔ m = 6 – 2 = 4

Persamaan fungsi kuadrat:f(x) = 4 × 4 – (4 + 2)x – x2

⇔ f(x) = 16 – 6x – x2

untuk x = –3 diperoleh:y = f(–3) = 16 – 6 · (–3) – (–3)2

= 16 + 18 – 9= 25

Jadi, titik balik maksimumnya (–3, 25).

18. Jawaban: cPersamaan grafik fungsi kuadrat yang puncaknyadi titik (1, 4) berbentuk y = a(x – 1)2 + 4.Grafik melalui (0, 3), berarti:3 = a(0 – 1)2 + 4⇔ 3 = a + 4⇔ a = –1Persamaan grafik fungsi kuadratnya:y = –(x – 1)2 + 4⇔ y = –x2 + 2x + 3

19. Jawaban: cTitik puncak grafik f(x) = x2 + 4x + 3 adalah

(–b2a , –

D4a )

⇒ x = –b2a = –

421 = –2

⇒ y = –D4a = –

24 4 1 34 1

− ⋅ ⋅⋅ = –

44 = – 1

Koordinat titik puncak grafik f(x) = x2 + 4x + 3adalah (–2, –1).Fungsi kuadrat melalui titik (–1, 3) dan titik balik(–2, –1) mempunyai persamaan:f(x) = a(x – xp)

2 + yp dengan (xp, yp) titik balikf(x) = a(x – (–2))2 + (–1)f(x) = a(x + 2)2 – 1Melalui titik (–1, 3) ⇒ 3 = a(–1 + 2)2 – 1

⇔ 3 = a · 1 – 1⇔ 4 = a

Sehingga fungsi kudratnya menjadi:f(x) = 4(x + 2)2 – 1f(x) = 4(x2 + 4x + 4) –1f(x) = 4x2 + 16x + 16 – 1f(x) = 4x2 + 16x + 15

20. Jawaban: d

Luas segitiga= 12 · a · t

⇔ 20 = 12 (x + 1)(x +4)

⇔ 20 = 12 (x2 + 5x + 4 )

⇔ 40 = x2 + 5x + 4⇔ x2 + 5x + 4 – 40 = 0⇔ x2 + 5x – 36 = 0⇔ (x + 9)(x – 4) = 0x = –9 (tidak memenuhi) atau x = 4x = 4 ⇒ panjang sisi siku-siku yang pertama

= 4 + 1 = 5 cm⇒ panjang sisi siku-siku yang kedua

= 4 + 4 = 8 cm

Panjang hipotenusa = 2 25 8+= 25 64+= 89 cm

21. Jawaban: aTotal gaji karyawan ⇒ T(x)= x(150 – 3x)

= 150x – 3x2

T(x) akan maksimun jika x = –b2a = –

1502( 3)− = 25

Jadi, total gaji akan maksimum jika banyakkaryawan 25 orang.

x + 4

x + 1

X

Y

0

f(x) = 3x


22. Jawaban: e3x2 + 2x + 2 > 2x2 + x + 4⇔ 3x2 – 2x2 + 2x – x + 2 – 4 > 0⇔ x2 + x – 2 > 0⇔ (x – 2)(x + 1) > 0Batas-batas nilai x:(x – 2)(x + 1) = 0(x – 2) = 0 atau (x + 1) = 0x = 2 atau x = –1

Jadi, penyelesaiannya: x < –1 atau x > 2.

23. Jawaban: c

Misal: 1x = a dan

1y = b maka sistem persamaan

di atas menjadi:2x +

1y = 1 ⇔ 2a + b = 1 . . . (1)

1x –

2y = 8 ⇔ a – 2b = 8 . . . (2)

Eliminasi b dari (1) dan (2) diperoleh:2a + b = 1 × 2 4a + 2b = 2a – 2b = 8 × 1 a – 2b = 8

––––––––––– +5a = 10 ⇔ a = 2

Substitusi a = 2 ke persamaan 2a + b = 1 diperoleh:2 · 2 + b= 1⇔ 4 + b = 1⇔ b = –3

Jika a = 2 maka x = 12 ⇒ p =

12

b = –3 maka y = –13 ⇒ q = –

13

Nilai p + q = 12 –

13 =

36 –

26 =

16

24. Jawaban: d2a + 3b – c = 13 . . . (i)a – b = –1 . . . (ii)–b – c = –9 . . . (iii)Eliminasi a dari persamaan (i) dan (ii):2a + 3b – c = 13 × 1 2a + 3b – c = 13

a – b = –1 × 2 2a – 2b = –2–––––––––––––– –

5b – c = 15 . . . (iv)Eliminasi c dari persamaan (iii) dan (iv):–b – c = –95b – c = 15––––––––– –

–6b = –24⇔ b = 4Substitusikan nilai b = 4 ke persamaan (iii):–4 – c = –9⇔ c = 5

Substitusikan nilai b = 4 dan c = 5 ke persamaan (i):2a + 3 · 4 – 5= 13⇔ 2a = 6⇔ a = 3Nilai a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12.

25. Jawaban: d

x + y + z = 5 . . . (1)

2 x + 4y – z = 7

⇔ 2 x + 2 y – z = 7 . . . (2)

9x + 2 y – z = 11

⇔ 3 x + 2 y – z = 11 . . . (3)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2):

x + y + z = 5

2 x + 2 y – z = 7

––––––––––––––––––– +

3 x + 3 y = 12 (kedua ruas dibagi 3)

x + y = 4 . . . (4)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3):

x + y + z = 5

3 x + 2 y – z = 11–––––––––––––––––––– +

4 x + 3 y = 16 . . . (5)

Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5):

x + y = 4 × 3 3 x + 3 y = 12

4 x + 3 y = 16 × 1 4 x + 3 y = 16––––––––––––––– –

– x = –4⇔ x = 4⇔ x = 2

Substitusi x = 4 ke persamaan (5) diperoleh:

4 · 4 + 3 y = 16 ⇔ 16 + 3 y = 16

⇔ 3 y = 0

⇔ y = 0⇔ y = 0

Substitusi y = 0 dan x = 4 ke persamaan (1)diperoleh:

x + y + z = 5 ⇒ 4 + 0 + z = 5

⇔ z = 1⇔ z = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(4, 0, 1)} .

+ – +

–1 2


26. Jawaban: b3x2 – 7x – 2 = y . . . (i)3x – 5 = y . . . (ii)Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii):

3x2 – 7x – 2 = 3x – 5⇔ 3x2 – 10x + 3 = 0⇔ (3x – 1)(x – 3) = 0

⇔ x = 13 atau x = 3

Jadi, nilai x yang memenuhi 13 atau 3.

27. Jawaban: dy = ax + 6 . . . (i)y = ax2 + (a + 4)x + 36 . . . (ii)Eliminasi y dari (i) dan (ii):y = ax + 6y = ax2 + (a + 4)x + 36–––––––––––––––––––– –0 = –ax2 + (a – a – 4)x – 30⇔ 0 = –ax2 – 4x – 30⇔ ax2 + 4x + 30 = 0 . . . (iii)Persamaan (iii) akan mempunyai penyelesaiantunggal jika D = 0.

42 – 4 × a × 30 = 0 ⇔ a = 16120 =

215

Jadi, nilai a = 2

15 .

28. Jawaban: by = 8 – x2 . . . (1)y = x2 – 10x + 20 . . . (2)Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)diperoleh:x2 – 10x + 20 = 8 – x2

⇔ x2 + x2 – 10x + 20 – 8 = 0⇔ 2x2 – 10x + 12 = 0 (kedua ruas dibagi 2)⇔ x2 – 5x + 6 = 0⇔ (x – 3)(x – 2) = 0⇔ x = 3 atau x = 2Jika x = 3 ⇒ y = 8 – 32 ⇔ y = –1Jika x = 2 ⇒ y = 8 – 22 ⇔ y = 4Penyelesaian di atas ada dua kemungkinan, yaitu:1) x = 3, y = –1 ⇒ p = 3, q = –1

maka p2 · q2 = 32 · (–1)2 = 92) x = 2, y = 4 ⇒ p = 2, q = 4

maka p2 · q2 = 22 · 42 = 64

29. Jawaban: cy = x2 + 2x + c . . . (1)y = –x2 – 2x + q . . . (2)Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2):

x2 + 2x + c = –x2 – 2x + q⇔ x2 + x2 + 2x + 2x + c – q = 0⇔ 2x2 + 4x + c – q = 0

Syarat ke dua parabola berpotongan di satu titikD = 0.⇔ 42 – 4 · 2 · (c – q) = 0⇔ 16 – 8c + 8q = 0⇔ 8q = 8c – 16⇔ q = c – 2⇔ c – q = 2

30. Jawaban: c

A : B = 5 : 3 ⇒ AB =

53 ⇒ A =

53 B . . . (1)

Setelah barang A terjual 10, jumlah barang A samadengan jumlah barang B kalimat matematikanya⇒ A – 10 = B . . . (2)Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2)diperoleh:

53 B – 10 = B (kedua ruas dikali 3)

⇔ 5B – 30 = 3B⇔ 5B – 3B = 30⇔ 2B = 30⇔ B = 15

A = 53 · 15 = 25

Jumlah barang A dan B = A + B = 25 + 15 = 40.

31. Jawaban: eJumlah ketiga bilangan tersebut 18⇒ p + q + r = 18Tiga kali bilangan p sama dengan selisih tiga kalibilangan r dengan bilangan q⇒ 3p = 3r – qDua kali jumlah bilangan p dan q sama dengantiga kali bilangan r ditambah satu⇒ 2(p+q) = 3r + 1p + q + r = 18 . . . (1)3p = 3r – q ⇔ 3p + q – 3r = 0 . . . (2)2(p + q) = 3r + 1 ⇔ 2p + 2q – 3r = 1 . . . (3)Eliminasi r persamaan (2) dan (3):3p + q – 3r = 0

2p + 2q – 3r = 1–––––––––––––– –

p – q = –1 . . . (4)Eliminasi r persamaan (1) dan (2):p + q + r = 18 × 3 3p + 3q + 3r = 543p + q – 3r = 0 × 1 3p + q – 3r = 0

––––––––––––––– +6p + 4q = 54

⇔ 3p + 2q = 27 . . . (5)Eliminasi q dari persamaan (4) dan (5):p – q = –1 × 2 2p – 2q = –23p + 2q = 27 × 1 3p + 2q = 27

––––––––––––––– +5p = 25 ⇔ p = 5


Substitusi p = 5 ke persamaan (5):3(5) + 2q = 27 ⇔ 15 + 2q = 5

⇔ 2q = 12⇔ q = 6

Substitusi p = 5 dan q = 6 ke persamaan (1):5 + 6 + r = 18⇔ r = 18 – 11⇔ r = 7Jadi, bilangan tersebut adalah p = 5, q = 6, r = 7.

32. Jawaban: d2x 5x 2

−− ≥ 1 ⇔ 2x 5

x 2−

− – 1 ≥ 0

⇔ 2x 5 (x 2)x 2

− − −−

≥ 0

⇔x 3x 2

−− ≥ 0, x ≠ 2

Pembuat nol adalah x = 3 dan x = 2.

Jadi, nilai x yang memenuhi x < 2 atau x ≥ 3.33. Jawaban: e

2

2x 3x 10x x 2

+ −− − ≥ 0

x2 + 3x – 10 = 0 x2 – x – 2 = 0⇔ (x + 5)(x – 2)= 0 ⇔(x – 2) (x + 1) = 0⇔ x = –5 atau x = 2 ⇔ x = 2 atau x = –1

Jadi, penyelesaian yang memenuhi adalah x ≤ –5 atau x > –1, x ≠ 2.

34. Jawaban: e

x 3+ > x + 3 mempunyai penyelesaian:

1) x 3+ > x + 3 (kuadratkan kedua ruas)

⇔ x + 3 > x2 + 6x + 9⇔ –x2 + x – 6x + 3 – 9 > 0⇔ –x2 – 5x – 6 > 0 (kedua ruas

dikalikan –1)⇔ x2 + 5x + 6 < 0⇔ (x + 3)(x + 2) < 0Pembuat nol pertidaksamaan:⇔ (x + 3) (x + 2) = 0Batas-batas nilai x:(x + 3) = 0 atau (x + 2) = 0⇔ x = –3 ⇔ x= –2

. . . (1)

2) Syarat x + 3 > 0x + 3 > 0⇔ x > –3

. . . (2)

Penyelesaian (1) dan (2) digambarkan padagaris bilangan:

Jadi, nilai yang memenuhi –3 < x < –2.

35. Jawaban: d

2x 2x− – 3x 6+ < 0 mempunyai penyelesaian:

1) 2x 2x− – 3x 6+ < 0

⇔ 2x 2x− < 3x 6+⇔ x2 – 2x < 3x + 6 (kuadratkan kedua ruas)⇔ x2 – 2x – 3x – 6 < 0⇔ x2 – 5x – 6 < 0⇔ (x +1)(x – 6) < 0Batas-batas nilai x:(x + 1)( x – 6) = 0x = –1 atau x = 6

. . . (1)

2) Syarat x2 – 2x > 0x2 – 2x > 0⇔ x(x – 2) > 0Batas-batas nilai x:x(x – 2) = 0x = 0 atau x – 2 = 0 ⇒ x = 2

. . . (2)

3) Syarat 3x + 6 > 03x + 6 > 0⇔ 3x > –6⇔ x > –2

. . . (3)

Penyelesaian (1), (2), dan (3) dapat digambarkandalam garis bilangan berikut.

Jadi, penyelesaiannya –1 < x < 0 atau 2 < x < 6.

▲

▲

+ – +

2 3

▲

▲

–5 –1 2

+ – + +

–3 –2

–3

–3 –2

–3

–3 –2

–1 6

0 2

–2

–1 6

0 2

–2

–1 0 2 6


36. Jawaban: b|3x + 2| > 5⇔ 3x + 2 > 5 atau 3x + 2 < –5⇔ 3x > 3 atau 3x < –7

⇔ x > 1 atau x < 73

37. Jawaban: cx 2x 1

−− < 3 diselesaikan dengan:

x 2x 1

−− < 3 ⇔ –3 <

x 2x 1

−− < 3, artinya penyelesaian

ada dua kemungkinan.

1)x 2x 1

−− > –3

⇔ x 2x 1

−−

+ 3 > 0

⇔ x 2x 1

−−

+ 3(x 1)

x 1−

− > 0

⇔x 2 3x 3

x 1− + −

− > 0

⇔4x 5x 1

−− > 0

Batas-batas nilai x:4x – 5= 0 x – 1 = 0⇔ 4x = 5 ⇔ x = 1

⇔ x = 54

Nilai x yang memenuhi dapat digambarkandengan garis bilangan berikut.

. . . (1)

2)x 2x 1

−− < 3

⇔ x 2x 1

−−

– 3 < 0

⇔ x 2x 1

−−

– 3(x 1)

x 1−

− < 0

⇔x 2 3x 3

x 1− − +

− < 0

⇔2x 1x 1

− +− < 0

Batas-batas nilai x:–2x + 1 = 0 x – 1 = 0⇔ 2x = 1 ⇔ x = 1

⇔ x = 12

Nilai x yang memenuhi dapat digambarkandengan garis bilangan berikut.

. . . (2)

Dari gambar (1) dan (2) digabungkan:

Dari gambar di atas tampak bahwa penyelesaian-

nya adalah x < 12 atau x >

54 .

38. Jawaban: dMisal 2x = p maka

22x + 1 – 5 · 2x + 2 = 0⇔ 2p2 – 5p + 2 = 0⇔ (2p – 1)(p – 2) = 0⇔ 2p – 1= 0 atau p – 2 = 0

⇔ p = 12 atau p = 2

2x = 12 atau 2x = 2

⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1⇔ x = –1x1 · x2 = –1 · 1 = –1

39. Jawaban: e2

2x (x 2)(x 5)(x 9)(x 4)

− −− + ≤ 0

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut:2

2x (x 2)(x 5)(x 9)(x 4)

− −− + = 0

x2 = 0 ⇒ x = 0x – 2 = 0 ⇒ x = 2x – 5 = 0 ⇒ x = 5x2 – 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) = 0

⇔ x = –3 atau x = 3x + 4 = 0 ⇒ x = –4Batas-batas nilai x:

Untuk menentukan tanda, substitusikan x = 1.Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannyaadalah: {x | x < –4 atau –3 < x ≤ 2 atau 3 < x ≤ 5}.

40. Jawaban: eMisalkan: p = panjang

= lebarKeliling = 2(p + )= 180⇔ p + = 90⇔ = 90 – pLuas = p × ≥ 2.000⇔ p × (90 – p) ≥ 2.000⇔ 90p – p2 ≥ 2.000⇔ p2 – 90p + 2.000 ≤ 0⇔ (p – 40)(p – 50) ≤ 0

1 54

112

112

1 54

54

12

–4 –3 0 2 3 5– + – – + – +


Nilai p yang memenuhi 40 ≤ p ≤ 50.Jadi, batas-batas panjang lapangan tersebut tidakkurang dari 40 m dan tidak lebih dari 50 m.

B. Uraian

1. 72log 89 =

89

log

log 72

= 3 2log 8 log 9log (2 3 )

−×

= 3 2


−+

= 3 log 2 2 log 33 log 2 2 log 3

−+

= 3a 2b3a 2b

−+

2. 9 4 5+ + 8 2 15+

= 9 2 4 5+ ⋅ + 8 2 15+

= 9 2 20+ + 8 2 15+

= (5 4) 2 5 4+ + + (5 3) 2 5 3+ +

= 2( 5 4)+ + 2( 5 3)+

= 5 + 4 + 5 + 3

= a + b 3 + c 5

= 2 + 3 + 2 5

2 + 3 + 2 5 = a + b 3 + c 5Dari persamaan yang identik tesebut makadiperoleh: a = 2 , b = 1, dan c = 2.Jadi, nilai 2c(a + 4b – 1)= 2 · 2 (2 + 4 · 1 – 1) = 4(5)= 20.

3. 23x 2

x− ≤ 1 ⇔ 2

3x 2x

− – 1 ≤ 0

⇔2

23x 2 x

x− − ≤ 0

⇔2

2x 3x 2

x− + ≥ 0

⇔ 2(x 2)(x 1)

x− − ≥ 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya{x | x ≤ 1, x ≠ 0 atau x ≥ 2}.

+ – +

40 50▲ ▲

+ + – +0 1 2

4. Akar-akar persamaan x2 – 8x + 5 = 0:

x1, 2 = 2( 8) ( 8) 4 1 5

2 1− − ± − − × ×

×

= 8 64 202

± − = 8 442

±

= 8 2 112

± = 4 ± 11

Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 4 + 11 dan

x2 = 4 – 11.

Nilai 21 28x x 5− +

= 28(4 11) (4 11) 5+ + − +

= 32 8 11 (16 8 11 11) 5+ + − + +

= 64 = 8

Jadi, nilai 21 28x x 5− + adalah 5.

5.x2 +

y 33+

= 3 (kedua ruas dikali 6)

6 · x2 + 6 ·

y 33+

= 6 · 3

⇔ 3x + 2(y+3) = 18⇔ 3x +2y + 6 = 18⇔ 3x + 2y = 12 . . . (1)

2x 13−

– 4y 1

13+

= 0 (kedua ruas dikalikan 39)

⇔ 39 · 2x 1

3−

– 39 · 4y 1

13+

= 39 · 0

⇔ 13(2x – 1) – 3(4y + 1) = 0⇔ 26x – 13 – 12y – 3 = 0⇔ 26x – 12y = 16 (kedua ruas dibagi 2)⇔ 13x – 6y = 8 . . . (2)Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:3x + 2y = 12 × 3 9x + 6y = 3613x – 6y = 8 × 1 13x – 6y = 8

–––––––––––– +22x = 44

⇔ x = 2

Substitusi x = 2 ke persamaan 3x + 2y = 12sehingga diperoleh:3 · 2 + 2y = 12⇔ 6 + 2y = 12⇔ 2y = 6⇔ y = 3Jadi, penyelesaiannya (2, 3).


6. Misalkan: x = banyak kamar tipe Iy = banyak kamar tipe IIz = banyak kamar tipe III

x + y + z = 60 . . . (i)x + y = 35 . . . (ii)y + z = 45 . . . (iii)

Eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii):x + y + z= 60

x + y = 35–––––––––––– –

z = 25Substitusi nilai z = 25 ke persamaan (iii):y + 25 = 45⇔ y = 20Substitusi nilai y = 20 dan z = 25 ke persaman (i):x + 20 + 25= 60⇔ x + 45 = 60⇔ x = 15Jadi, banyak kamar tipe I, II, dan III berturut-turut15, 20, dan 25 kamar.

7. 2|x – 1|2 – 3|x – 1| + 1 < 0Misal |x – 1| = p maka persamaan menjadi:2p2 – 3p + 1 < 0(2p – 1)(p – 1) < 0Pembuat nol pertidaksamaan:(2p – 1)(p – 1) = 0

p = 12 atau p = 1

Batas-batas nilai p yang memenuhi:

Nilai yang memenuhi p ⇒ 12 < p < 1

Oleh karena p = |x – 1| maka 12 < |x – 1| < 1

1) |x – 1| > 12

⇔ x – 1 > 12 atau x – 1 < –

12

⇔ x > 32 atau x <

12

2) |x – 1| < 1⇔ –1 < x – 1 < 1⇔ 0 < x < 2 (kedua ruas ditambah 1)Dari penyelesaian (1) dan (2) dapat dibuatgaris bilangan:

Jadi, dari gambar di atas nilai x yang memenuhi

adalah 0 < x < 12 atau

32 < x < 2.

8. 3x – y – 5 = 0⇔ y = 3x – 5 . . . (i)y = –x2 – 3x + 2 . . . (ii)

Substitusi (i) ke (ii) diperoleh:3x – 5 = –x2 – 3x + 2⇔ x2 + 6x – 7 = 0⇔ (x + 7)(x – 1) = 0⇔ x = –7 atau x = 1

Substitusi nilai-nilai x ke (i):untuk x1 = –7 maka y1 = 3 · (–7) – 5 = –26untuk x2 = 1 maka y2 = 3 · 1 – 5 = –2Diperoleh titik potong (–7, –26) dan (1, –2).Jadi, terbukti bahwa garis 3x – y – 5 = 0 memotongkurva y = –x2 – 3x + 2 di dua titik yaitu titik(–7, –26) dan (1, –2).

9. f(x) = –2(x + 5)2 – 1⇔ f(x) = –2(x2 + 10x + 25) – 1⇔ f(x) = –2x2 – 20x – 50 – 1⇔ f(x) = –2x2 – 20x – 51a. Daerah hasil fungsi

x –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

f(x) –19 –9 –3 –1 –3 –9 –19

b. Koordinat titik puncak

(–b2a , –

D4a )

⇒ (–20

2( 2)−

− , –2( 20) 4 ( 2)( 51)

4 ( 2)− − ⋅ − −

⋅ −)

⇒ (–5 , –1)

c. Gambar grafikTitik bantu dapat dilihat dari tabel a.

Grafik tersebut tidak memotong ataumenyinggung sumbu X karena D < 0.Grafik menghadap ke bawah karena a < 0.

112

+ – +

12

32

12

32

0 2

0 2

Y

X0(–5, –1)

(–6, –3)

(–3, –9)


10. x2 – 3x + 5 = 0 ⇒ a = 1 , b = –3 , c = 5

α + β = –ba = –

31

− = 3

α · β = ca =

51 = 5

Akar-akar persamaan kuadrat baru 22

1α + dan

22

1β + sehingga diperoleh:

22

1α + + 2

21β +

= 2

2 22( 1)

( 1)( 1)β +

α + β + +

2

2 22( 1)

( 1)( 1)α +

α + β +

= 2 2

2 22( 1) 2( 1)

( 1)( 1)β + + α +

α + β +

= 2 2

2 2 2 22 2 2 2

1β + + α +

α β + α + β +

= 2 2

2 2 2 22( ) 4

1α + β +

α β + α + β +

= 2

2 22(( ) 2 ) 4

( ) ( ) 2 1α + β − αβ +

αβ + α + β − αβ +

= 2

2 22(3 2 5) 4

5 3 2 5 1− ⋅ +

+ − ⋅ + =

225

22

1α + × 2

21β +

= 2 2 2 24

1α β + α + β +

= 2 24

( ) ( ) 2 1αβ + α + β − αβ +

= 2 24

5 3 2 5 1+ − ⋅ +

= 4

25

Persamaan kuadrat baru disusun sebagai berikut.

x2 – ( 22

1α + + 2

21β +

)x + 22

1α + × 2

21β +

= 0

⇔ x2 – 2

25 x + 4

25 = 0 (kedua ruas dikali 25)

⇔ 25x2 – 2x + 4 = 0

Documents

01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XA