Скупови(увод)

Шта је то скуп?Скуп је колекција (мноштво) елемената

који имају неку заједничку особину

или својство.

Скуп представљамо затвореном линијом.

Шта су елементи овог скупа?

Која је њихова заједничка особина?

Скупове означавамо великим штампаним

словима латинице А, В, С,...

Означимо овај скуп словом А.

A

Од плодова биљака са ове слике можемо направити још неколико скупова.

Шта су елементи овог скупа?

Ово је скуп воћа.

Овде је остао скуп поврћа. Ово су подскупови почетног скупа.

ВА

Пишемо да је:

Ако су сви елементи скупа А истовремено и елементи скупа В, онда кажемо да је скуп А подскуп скупа В.

Oзнаку “ “ читамо “је подскуп”.

Можемо ли направити још неки скуп?

Шта су елементи овог скупа?

Ово је скуп поврћа које расте у земљи.

Можемо направити и овакав скуп.

Шта су елементи овог скупа?

Можемо рећи да је ово скуп плодова црвене боје.

Да ли припада овом скупу?

Да, она припада овом скупу, тј, елемент је овог скупа и пишемо:

∈ А

Да ли припада скупу А?

Не, јагода не припада скупу А, па пишемо:

А

Ознаку “∈” читамо “је елемент” или “припада”, a ознаку” “ читамо “није елемент” или “не припада”.

А

Скуп можемо записати и навођењем његових елемената унутар витичастих заграда.

Елементе одвајамо запетом.

Колико елемената има скуп А?

Скуп А има 20 различитих елемената.

Број елемената скупа А означавамо са 𝑛 𝐴 , и то је број различитих елемената тог скупа.

То пишемо овако𝑛 𝐴 = 20

Колико ће елемената имати следећи скуп?

В= , , , ,

Не, скуп В ће имати само два елемента, јер нам је важно само да ли неки елемент припада датом скупу, а не и колико је пута записан.

је један елемент овог скупа, а

је други елемент, па пишемо:

𝑛 𝐵 = 2

За скуп није битно ни којим редоследом су записани његови елементи.

Ја мислим да овде има 5 елемената!

В= ,

A= , , , ,

Сваки елемент скупа А јесте елемент скупа В, то јест , и сваки елемент скупа В је елемент и скупа А, то јест .

За скупове А и В кажемо да су једнаки, па пишемо

А=В

Два скупа су једнака ако имају исте елементе, то јест ако је сваки елемент првог скупа елемент и другог скупа, и сваки елемент другог скупа јесте елемент и првог скупа.

Aха, сада ми је много јасније!

Означимо са В скуп свих јабука са слике лево, а са С скуп свих јабука са слике десно.

Скуп В има елементе, док скуп С нема елементе, јер на десном дрвету нема јабука.

Скуп који не садржи елементе назива се празан скуп и означава се са ∅.

Празан скуп је подскуп сваког скупа (∅ А, за било који скуп А).

Сваки скуп је подскуп самог себе (А А, за било који скуп А).

Елементе неког скупа обично графички представљамо тачкама које се налазе унутар неке затворене линије.

Ознаке елемената скупа записујемо поред тачака, а ознаку скупа поред затворене линије.

Овакав приказ скупа зове се Венов дијаграм.

С

1

27

9

8

3

5

𝐶 = 1,2,7,9

Бројеви 8, 3 и 5 не припадају скупу C.

Скупове који имају велики број елемената записујемо описивањем особина елемената који им припадају.

А = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑁 и 𝑥 < 500

Ово значи да скуп А чине сви природни бројеви који имају особину да су мањи од 500.

Усправну црту читамо “такви да” или “са особином”.

Примери и задаци

Пример 1.

Како ћемо записати скуп В чији су елементи парни бројеви прве десетице?

𝐵 = 2, 4, 6, 8, 10

Нацртајмо сада и Венов дијаграм за овај скуп.

В

2

4

6

8 10

Да ли је број 4 елемент овог скупа?

Да, 4∈ В

Да ли број 9 припада овом скупу?

Не, 9 В.

Задатак 1.

Користећи симболе ∈ и запиши следеће реченице:

а) 2 је елемент скупа С;

б) 4 није елемент скупа D;

в) 11 не припада скупу Е;

г) 100 не припада скупу F.

Задатак 2.

Представи Веновим дијаграмом скуп М ако је познато:

𝑝 ∈ 𝑀, 𝑞 𝑀, 𝑟 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑀 и 𝑓 ∈ 𝑀.

Пример 2.

Шта су елементи скупа E?

𝐸 = 𝑛 𝑛 је паран број и 𝑛 < 5001

Елементи скупа Е јесу сви бројеви 𝑛 који су парни и мањи од 5001.

Овакав запис скупа Е је много једноставнији од навођења свих 2500 бројева који задовољавају овај услов.

Задатак 3.

Скуп D чији су елементи сви природни бројеви 𝑘 који су мањи од 133 а већи од 5 можемо записати овако:

𝐷 = 𝑘 𝑘 ∈ 𝑁 и 5 < 𝑘 < 133

Који је најмањи непаран и највећи паран број који припада скупу D?

Пример 3.

Елементи скупа 𝑁 су сви природни бројеви, а елементи скупа 𝑁0 сви природни бројеви и 0.

Како сваки елемент скупа 𝑁 припада и скупу 𝑁0, кажемо да је скуп 𝑁 подскуп скупа 𝑁0, то јест

𝑁 𝑁0.Пример 4.

Дат је Венов дијаграм:

Са слике видимо да је:𝑃 = 12, 14, 16, 18, 20 ,𝐷 = 11, 12, 13, 14, 15,16,17,18,19,20

Сваки елемент скупа P је истовремено елемент и скупа D, па је

𝑷 𝑫Задатак 4.

Да ли је скуп 𝑋 = 𝑎, 𝑑, 𝑗 подскуп скупа 𝑌 = 𝑎, 𝑑, 𝑔, 𝑘, 𝑗 ? А скупа 𝑍 = 𝑎, 𝑑, 𝑔, 𝑖, 𝑓 ?

Пример 5.

Сви подскупови скупа А = 1, 2, 3 су:

∅,1 , 2 , 3

1, 2 , 1, 3 , 2, 31, 2, 3

Имамо укупно 8 подскупова датог скупа.

Задатак 5:

Одреди све подскупове скупа 𝑉 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 .

Пример 6.

Да ли су једнаки скупови 𝑆 = 2, 4, 6 и 𝑃 = 2, 2, 4, 4, 6, 6 ?

Сваки елемент скупа S је елемент и скупа P, и сваки елемент скупа P је елемент скупа S. Дакле,

S=PПошто бројимо само различите елементе, ова два скупа имају по 3 елемента, то јест

𝑛 𝑆 = 𝑛 𝑃 = 3

Задатак 6.

Да ли су једнаки скупови 𝑈 = 1,4 , 𝑉 = 1, 1, 1, 1, 4, 4 и 𝑊 = 4, 1 ?

Задатак 7.

Колико елемената имају скупови из задатка 6?

Аутор презентације:

Аница Тричковић

При изради презентације је коришћен уџбеник

Математика 5, издавачке куће Klett