2. SKUPOVI

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    1/33

    2. SKUPOVI

    20

    2.

    SKUPOVI

    2.1. PRIMJERI SKUPOVA. BROJNOST SKUPA.

    1.

    Gradovi Sarajevo, Biha, Velika Kladua, Banja Luka, Tuzla i Zenica ine jedan skup. Kolikoelemenata ima taj skup i ta su njegovi elementi?

    2. Slova abecede a, b, c,..., ine jedan skup. Koliko elemenata ima taj skup?

    3. Neka a, b, c,...oznaavaju neke objekte. Da bismo oznaili da se ti objekti shvaaju kao cjelina, kaoskup, piemo:

    a, b, c,....Napii skup prvih esnaest prirodnih brojeva.

    4. Skup S koji ima etirielementa i to: 3, 4, 5, 6, moemo zapisati navoenjem elemenata:A = {3, 4, 5, 6} ili opisom: A = {a|aN i 3 x 6} . Postupajui slino , zapii na dva naina skup Siji su elementi brojevi: a) 1, 2, 33, 4, 5 ; b) 1, 10, 100 ; c) 2, 4, 6, 8 ; i nema drugih elemenata.

    5.

    Zapii na proizvoljan nain skup P iji su elementi:a) dvocifreni brojevi sa dvije jednake cifre ; b) dvocifreni brojevi koji imaju cifru jedinica 5 ;

    c) prirodni brojevi manje od 7 ; d) sve arapske cifre ;

    e) jednocifreni prirodni brojevi vei od 100 ; f) uenici VI razreda mlai od pet godina.

    6. Jednaki elementi u nekom skupu broje se samo jednom, tj. raunaju se kao jedan element. Na primjer,skup S = {1, 1, 1, 2, 2, 3} je skup sa tri elementa, tj. S = {1, 2, 3}. Ovaj drugi predstavlja redukovani

    zapis skupa S. Postupajui slino zapii u redukovanom zapisu skup iji su elementi: a) 5, 5, 5, 5 ;b) cifre broja 2000200 ; c) slova rijei olovo.

    7. Koliko elemenata ima skup parnih prirodnih brojeva manjih od 17?

    8. Koliko elemenata ima skup 1, 3, 5,...,17 ?

    9. Koji su elementi skupa 5, 8 ?

    10. U naoj koli postoje tri esta razreda. Ismet je uenik VI a, Hasan VI b, Vesna VI c.Jesu li imenovaniuenici elementi skupa VI a, VI b, VI c?

    11. Uzmimo da VI arazred ine uenici: Asima, Bahrudin, Zahid,..., an ( toliko uenika koliko naaabeceda ima slova ), tj. da je

    VI a= Asima, Bahrudin, Zahid,..., an .Skup V aima samo jedan elemenat. Koliko elemenata ima skup VI a?

    12.

    Skup 3, 4 ima samo jedan element: to je skup 3, 4 . Koliko elemenata ima skup3, 4 ,5, 6, 7?

    13. Elementi skupa S su dui. Je li taka T lan skupa S ?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    2/33

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    3/33

    2. SKUPOVI

    22

    10.Na slici je Ojler-Venov dijagram skupa B = {0, 3, 7, 20}. Nacrtaj Ojler-Venov dijagram za skupove:

    a) S = {a, b, v, g} ; b) T = {0, 1} ; c) W = { , , O , * }.

    11.Na osnovu nacrtanih Ojler-Venovih dijagrama , zapii nabrajanjem elemenata skupove A , B, C i D.

    12. Predstavi nabrajanjem elemenata i Ojler-Venovim dijagramom skup:

    a) A = {a|aN i a < 3}; b) B = {b|bNoi (5b)N} ; c) V = {v|vN i v + 3 10} ;

    d) G = {g|gNoi (11g) je jednocifren prirodni broj} ;e) M = {mN i m = pq , gdje je pP i qQ} , a zadati su skupovi P = {p|pN i p 7} i Q = {q|qNi 4 q < 9} .

    13. Venovim dijagramom predstavi skupove:

    a) A = a, b, c, d;b) Bskup svih prirodnih brojeva manji od 6;c) Cskup svih parnih brojeva izmeu 8 i 20.d)

    14.Nacrtaj Venov dijagram skupa:

    a) A iji su elementi parni prirodni brojevi manji od 20;b) B iji su elementi neparni prirodni brojevi ne vei od 15.

    c)

    15.

    Analiziraj reenicu:x je grad u Cazinskoj krajini. Ako umjesto slovaxpiemo, na primjer, rije Cazin,dobit emo reenicu: Cazin je grad u Cazinskoj krajini . Je li ta reenica istinita? Hoemo li dobitiistinitu reenicu ako umjesto slovaxstavimo rijeDoboj?

    16. Promotri reenicu:x je prirodan broj manji od 7. Ako slovoxzamijenimo, na primjer, brojem 6,dobiemo reenicu: 6 je prirodan broj manji od 7. Je li to istinita reenica? A ako slovoxzamijenimo,na primjer, brojem 8, hoemo li tada dobiti istinitu reenicu?

    17. Zadrimo se na reenici:x je prirodan broj manji od 7. Samo onda ako umjestoxpiemo jedan odbrojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6 dobiemo istinitu reenicu. Zato skup 1, 2, 3, 4, 5, 6 zovemo istinitosniskupreenice:x je prirodan broj manji od 7. Napii istinitosni skup reenice:x je prirodan broj manjiod 10.

    18. Skup 1, 2, 3, 4, 5, 6 je istinitosni skup reenice:x je prirodan broj manji od 8. Taj skup moemozapisati ovako:

    x : x je prirodan broj manji od8 .( itaj:skup svih elemenata x sa svojstvom da su to prirodni brojevi manji od 8). Napomena: Umjestoznak ( : ) = ( koji se ita sa svojstvom), esto se koristimo znakom ( ), a koji ima isto znaenje kaoi prethodni.

    Dakle, objektxpripada tom skupu onda i samo onda ako je istinita reenica:x je prirodan broj manji od8.Drugim rijeima, objektxpripada tom skupu onda i samo onda ako ima svojstvo da je prirodan brojmanji od 8. To svojstvo imaju samo brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Broj 11, na primjer, nema to svojstvo, jer

    nije manji od 8. Napii nekoliko elemenata skupax : x je grad u Cazinskoj krajini.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    4/33

    2. SKUPOVI

    23

    19.Napii pet elemenata skupax : x je grad u Bosni i Hercegovini.

    20. Uzmimo da nam slovo P oznaava neko svojstvo koje posjeduju neki objekti ( elementi ). Skup svihelemenata koji posjeduju to svojstvo oznaavamo sa x : P . Napii nekoliko elemenata skupa

    x : x je rijeka u B i H.

    21. Skup 10, 11, 12, ... moemo pisati i ovako:x : x je prirodan broj veii od 9.

    Koje svojstvo imaju elementi ovog skupa?

    22.Napii nekoliko elemenata skupa:x : x je prirodan broj veiod 3, a manji od 20.

    23. Kod zadavanja skupa moramo paziti da se za svaki element moe utvrditi pripada li ili ne pripada tomskupu. Uprotivnom se kae da skup nije dobro definisan ( dobro odreen, dobro zadan ). Na primjer,skup x : x jeveoma zanimljiv kolski predmetnije dobro definisan jer e za nekog uenika bitimatematika u tom skupu, a za nekog drugog nee.Analiziraj skupove: x : x je automobil marke mercedes

    x : x je automobil veoma lijepog oblikax : x je dobar djeak

    Koji od datih skupova nisu dobro definisani?

    24. Data je istinitosna reenica:x je parni prirodni broj manji od 20.

    Napii istinitosni skup date reenice:a) ispisujui sve elemente skupa;

    b) ispisujui svojstvo koje posjeduju elementi skupa.

    25.Napii istinitosni skup reenice: x je neparni prirodni broj manji od 20, na dva naina.

    26. Skup x : x je prirodan broj manji od10moemo zapisati i ovako:x : x je elemenz iz N i x 10.

    Na ovakav nain zapii skup x : x je prirodan broj manji od7.

    27. Skup x : x je prirodan broj veiod 10moemo pisati ovakox : x je element iz N i x 10.

    Na isti nain zapii skup x : x je prirodan broj vei od 7.

    28. Skup x : x jeprirodan broj vei od 3, a manji od 10moemo zapisati i ovako:x : x je element iz N i 3 x 10.

    Na isti nain zapii skupx : x jeprirodan broj vei od 5,a manji od 12.

    29.

    Data je istinitosna reenicax je element izN ix8. Napii istinitosni skup ove reenice na dva naina.

    30. Ispii elemente skupa x : x je element iz N i 7 x 15.

    31. Skup x : 2 + x = 5 ima samo jedan element; to je broj 3, jer samo zax= 3 vrijedi jednakost2 +x= 5. Koliko elemenata ima skup x :3 + x = 10 ?

    32.Napii istinitosni skup reenice: zbir brojeva 4 i x je 12 , ili krae pisano 4 + x = 12.

    33. Koliko elemenata ima skup x : x je element iz N i 2 + x 5?

    34. Skup x : x jeprirodan broj koji nije vei od 5ima pet elemenata. Koji su to? Ovaj skup moemo

    zapisati i ovako x : x je element iz N i x 5.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    5/33

    2. SKUPOVI

    24

    35.Napii istinitosni skup reenice: x je prirodan broj koji nije vei od 7.36. Skup 5, 6, 7, ...je istinitosni skup reenice:x je prirodan broj koji nije manji od 5. Taj skup moemo

    pisati i ovako: x : x je element iz N i x 5. Na isti nain zapii skup 10, 11, 12,....

    37.Napii istinitosni skup reenice:x je element izN ix8.

    38.Nabrajanjem elemenata ispii skupove:a) Askup prirodnih brojeva manjih od 10;

    b) B- skup prirodnih brojeva veih od 7, a manjih od 12;

    2.3. ZNACI i

    1. Neka slovoxoznaava neki element, a slovo S neki skup. Elementxmoe pripadati skupu S, a moe nepripadati skupu S. Da elementxpripada skupu S zapisujemo ovako

    x S

    ( itamo: x je element skupa S ili x pripada skupu S. ),a da element x ne pripada skupu S zapisujemo ovako

    xS

    ( itamo: x nije element skupa S ili x ne pripada skupu S.)Imajui u vidu prethodno naznai meusobni odnos taaka A, B i C i skupa P na slici:

    P

    2. Je li broj 2 element skupa 1, 2, 3, 4, 5 ? Zapii to.3. Je li broj 5 element skupa 1, 2, 3, 4, 5 ? Zapii to.4. Je li broj 11 pripada skupu 2, 4, 6, ..., 18? Zapii to.Zato?

    5.

    Kojem od ova dva skupa 1, 3, 5, ..., 17 i 2, 4, 6, ..., 16pripada broj 8, a kojem ne pripada? Zapiito iobrazloi odgovor.6. Ispii za svaki od naznaenih brojeva pripada li ili ne pripada skupu S.

    7. Skup gradova u B i H oznaimo sa G. Da li slijedei elementi pripadaju skupu G? Na praznoj liniji upii

    odgovarajui znak.

    Zenica _____ G; Rim _____ G;

    Neretva _____ G; Velika Kladua ______ G;

    Mars _____ G; Banja Luka _____ G;

    Drina _____ G; Brko _____ G.

    8. Nacrtali smo dva pravca; jedan smo oznaili slovom a, a drugi slovom b. Odredi koja od tvrdnji nije tana izato.A a; A b;C a; C b;

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    6/33

    2. SKUPOVI

    25

    B a, b

    9. Dat je Venov dijagram skupova A i B.

    Da li su tana tvrenja:1 A, 2 A, 5, 7 B,1 B, 2 A, 5, 7 B?

    10. Odredi elemente skupova:

    a) A = x x N0i x 8 ,b)

    B = x x N0i x 7 ,c) C = x x N i 3 x 9 .

    11. Koji elementi pripadaju:

    a) skupu S,

    b) i skupu S i skupu T,

    c) skupu T?

    2.4. JEDNAKOST SKUPOVA, PRAZAN SKUP

    Za dva skupa kaemo da su jednaki ako se sastoje od istih elemenata.

    1. Dati su skupovi: A = 1, 23 , B = 1, 2, 3 , C = 12, 3 , D = 3, 2, 1 i E = 23, 1. Pronaimeusobno jednake skupove.

    2. U skupovima A = x, 2, 4, 5 i B = 2, 0, 4,yodredixiytako da bude A = B.

    3. Dati su skupovi A = 0, 2, 4, 6, 8, 10 i B = 2, 4, 6, 8, 10 i skupovi C i D tako da skup C ineparni brojevi iz prve desetice, a skup Dparni jednocifreni brojevi. Odredi meusobno jednake skupove.

    4. Dati su skupovi: A = {1, 23} , B = {1, 2, 3} , C = {12, 3} , D = {3, 2, 1} i E = {23, 1}. Pronai jednake.

    5. Koje od datih tvrdnji nisu istinite:

    a) 1, 2, 3, 4 = x : x N i x 4 ;b) 4, 5, 6, ... = x : x N i x 4 ;c) 3, 4, 5 = x : x N i 2 x 5 ;d) 3, 4, 5, 6 = x : x N i 2 x 7 ;e) 251 + 1527, 25 : 5, 6251 : 25 = 5, 156275, 1778

    f) 4, 5, 6 = 51 + 2772, 24 244, 125 : 5 + 0 ;

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    7/33

    2. SKUPOVI

    26

    g) 2561 31 + 29, 5672 : 2, 4421 26719 + 517, 451 295 ;h) 1, 1, 2, 2, 2, 3 = 2969 : 2969, 42 : 42, 5 : 5, 64 : 32, 99 : 33 .

    6. U skupovima A = {x, 2, 4, 5} i B = {2, 0, 4, y} odrediti x i y tako da je A = B.

    Za skup koji nema niti jednog elementa kaemo da je prazan skup.

    7. Da li slijedei skupovi imaju elemenata?a) x : x je ovjek visok 4 m;

    b) x : x je uenik mase 300 kg;c) x : x N i 2 x 3 ;d) x : x N i 2 + x 3 . Obrazloi odgovore.

    2.5.PODSKUP, PARTITIVNI SKUP

    1. Neka su nam zadani skupovi S i P i neka je svaki element skupa P ujedno i element skupa S. Tada za

    skup P kaemo da je podskup skupa S i piemo

    P S.Venovim dijagramom to predstavljamo ovako

    Da li je skup1, 5, 8 podskup skupa 1, 2, 5, 8 ? Zato?

    2.

    Zaokrui tana tvrenja:a) 1, 2 0, 1, 2, 3 ;

    b) 3 0, 1, 2, 3 ;c) 3 0, 1, 2, 3 ;d) 0 0, 1, 2, 3 ;e) 0, 1, 2, 3 .

    3. Nacrtaj Vennove dijagrame skupova A = 1, 2, 3 i B = 1, 2, 3, 4, 5 . U kom odnosu su tiskupovi. Napii to znakovima.

    4. Je li P S ?

    5. Neka je skup A skup uenika nae kole, a skup B skup uenika estog razreda nae kole. U komodnosu su skupovi A i B. Simboliki to zapii.

    6. Jedan od skupova A = 1, 3, 5 , B = 1, 2, 4 , C = 2, 4 , D = 4 nije podskup skupaM = 1, 2, 3, 4 . Koji je to skup?

    7. Zadani su skupovi A = 1, 2, 3 , B = 2, 3, 5 i C = 2, 3, 4, 5 . Prikai te skupove dijagramom.Koja od slijedeih tvrdnji nije tana:

    a) A B;b)

    A C;

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    8/33

    2. SKUPOVI

    27

    c) B C?

    8. Napii sve dvolane podskupove skupa 1, 2, 3, 4 .

    9. Napii sve trolane podskupove skupa 1, 2, 3, 4 .10. Posmatraj sliku, a zatim zaokrui broj ispred tanog zapisa:

    1) aB ; 2) bA ; 3) cA ; 4) cB , 5) A B ; 6) B A .

    11.Na Venovom dijagramu prikai skupove A i B , ako je A = {a, b} i B = {a, b, c, d}.Koji od zapisa je taan: 1) BA ; 2) AB .

    12. Dati su skupovi A = {1, 2, a} , B = {a, b} i C = {a}. Koji od zapisa je taan: BA , CA , BC ,

    CB ?

    13. Skup A ine sve cifre , a skup B svi brojevi prve desetice. Da li je AB ?

    14.Napii po jedan jednolani , dvolani i trolani podskup skupa A = {1, 2, 3} .

    15. Odredi sve dvolane podskupove skupa S, ako je S = {11, 22, 33}.

    16. Odredi sve podskupove skupa A = {a, b, c} .

    17. Koja od navedenih reenica je tana?1) Svaki skup je svoj podskup.

    2) Svaki jednolani skup je podskup ma kog skupa.

    3) Prazan skup je podskup svakog skupa.4) Skup parnih prirodnih brojeva je podskup skupa dvocifrenih prirodnih brojeva.

    18. Dati su skupovi A i B tako da je: A = {3, 4, 5} i B = {5, 3, 4}. Koji od slijedeih zapisa je taan:1) A B ; 2) B A , 3) A = B .

    19. Skup A ine slova rijei marama, a skup B slova rijei ram. Koje od tri navedena tvrenja je tano:1) A B ; 2) A = B ; 3) B A .

    20. Posmatraj Venov dijagram, a zatim zaokrui tanu tvrdnju:1) A B ; 2) B A ; 3) C B ; 4) C A ; 5) xA ; 6) xA ; 7) A = B ;8) C = B.

    21. Dati su skupovi A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} , B = {2, 4, 6, 8, 10} i skupovi C i D tako da skup C ine parnibrojevi iz prve desetice , a skup D parni jednocifreni brojevi. Ima li meu tim skupovima jednakih?Dati su skupovi: A = {2, 3, 4} , B = {x|xN, x 4} , C = {x|xN , 2 < x 4} ,D = {x|xN0, 0 < x < 5}.Za koje od zadatih skupova vai da ako je jedan podskup drugog onda je i drugi podskup prvog?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    9/33

    2. SKUPOVI

    28

    2.6.PRESJEK SKUPOVA

    Neka su A i B neki skupovi. Pod presjekom ili zajednikim dijelom tih skupova smatramo skup to ga

    sainjavaju oni elementi koji pr ipadaju istovremeno i skupu A i skupu B. Pr ikazano Venovim di jagramom to

    izgleda kao na slici .

    1. Na osnovu slike, odredi elemente skupa C.

    A B C.4 .2

    .2 .6 .1 .3 =.8 .4

    2. Neka je P = 0, 1, 4, 5, 7 , Q = 0, 7, 4, 9 . Napii skup P Q.

    3. Na osnovu Venovog dijagrama odredi presjek skupova.

    4. Neka je A = a, b, c, d, e , B = b, c, e . Napii skup A B.

    5. Za dva skupa kaemo da su disjunktni ako im je presijek prazan skup. Da li su skupovi A = 1, 2, 3 i B = 5, 6, 7, 8 disjunktni?

    6. Neka je A = x : x 5 , B = x : x 5 . Koliko elemenata ima skup A B?

    7. Neka je A = x : x N i x 5 , B = x : x N i x 11 . Napii skup A B?

    8. Skup A je skup slova u rijei OBALA, a skup B skup slova u rijei OLUJA. Odredi A B.

    9. Koji uenici u tvom razredu ue engleski jezik i pohaaju matematiku sekciju? Prikai to Venovimdijagramom.

    10.Neka je A = 1, 2, 3 , B = 3, 4 . Postoji li skup X takav da je A X = B?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    10/33

    2. SKUPOVI

    29

    11.Neka je A = 1, 2, 3 , B = 2, 3 . Za svaki skup X 2, 3 , 2, 3, 4 , 2, 3, 4, 5 vrijedijednakost A X = B. Napii jo nekoliko skupova X za koje je A X = B.

    12.Neka je A = 1, 2, 3, 4 , B = 1, 2 . Analiziraj reenicu: X je podskup od A tako da je B X = B.Ova reenica je istinita onda i samo onda ako je X jedan od skupova 1, 2 , 1, 2, 3 , 1, 2, 4 ,1, 2, 3, 4. Zato se skup 1, 2 , 1, 2, 3 , 1, 2, 4 , 1, 2, 3, 4zove istintosni skup te reenice.Prikai to grafiki.

    13.Neka je A = 1, 2, 3, 4, 5 , B = 2, 4 . Napii istinitosni skup reenice: X A i A X = B.

    14. Za svaki A postoji jedan ( i samo jedan ) X A tako da je A X = A. Koji je to?

    15.Neka je A = 1, 2 . Napii nekoliko pari skupova X i Y tako da je X Y = A.

    16.Na slici su prikazani skupovi A, B, C i istaknut dio ( A B ) C.

    Ako je A = a, b, c, d, e, B = a, c, e, r, s, C = a, b, c, p, s, t, pokai da vrijedi jednakost( A B ) C = A ( B C ).

    17.Napii skup AB C, ako je A = 1, 2, 3, 4 , B = 1, 2, 3, 5 , C = 2, 3, 4, 5 .

    18.Na osnovu slike napii skup A B C.

    19.Neka je

    A = x : x N i x 9 B = x : x N i x 4 C = x : x N i 2 x 15 .Prikai skupove grafiki i napii skup A B C.

    20.Na kojoj slici je prikazan presjek , a na kojoj unija skupova A i B ?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    11/33

    2. SKUPOVI

    30

    21. Ako je A = {a, b, c, d} i B = {a, c, x, y} , znacima i popuni prazna mjesta:

    1) a ___AB ; 2) b ___ AB ; 3) c ___ AB ; 4) d ___ AB ; 5) x ___ AB ;6) y ___ AB .

    22. Odredi presjek skupova A i B , ako je:

    1) A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {0, 2, 4, 6, 8} ; 2) A skup brojeva prve desetice , a B skup cifara.

    23.

    Presjek skupova A = {1, 23, 4, 5} i B = {1, 2, 34, 5} je:1) dvolani ; 2) trolani ; 3) etverolani ; 4) petolani skup.

    24. Odredi presjek skupova A i B , ako je:

    1) A = {1, 2, 3} , B = {2, 4, 6} ; 2) A = {1, 3, 5, 7} , B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 3) A = {a, b, c, 1, 2, 3} ,

    B = {1, a, 2, b, c, d} .

    25.Nacrtaj Venov dijagram skupova A = {x|xN0, x < 6} i B = {x|xN , x 7} , a zatim odredi njihovpresjek.

    26. Venovim dijagramom dati su skupovi A , B i C. Odredi: 1) AB ; 2) BC ; 3) AC .

    27. Odredi presjek skupova M i N , gdje je M skup slova koja uestvuju u rijei matema , a skup N slovarijei meteor.

    28. Popuni prazna mjesta:

    1) {1, 2, 3, a, b, c}{ __ , 3 , __ } = {2, c, 3} ; 2) {x, __ , y , __ } { __ , y , z} = {a, __ , z} .

    29. Odredi: 1) AA ; 2) A; 3) N0N .

    30.

    Odredi dvolani skup X tako da vai: {m, n, p, q} X = X .

    31.Neka je

    A = 53 + 859, 1574925, 249 57, 6535 : 123 B = 1085173, 14927 : 23, 223 85, 7400 : 100 C = 480 + 169, 10032 : 11, 531 0 .

    Napii skup AB C.

    32.Napii skup ab.a) b)

    33. Dati su Ojler-Venovi dijagrami skupova A i B. Nabrajanjem elemenata odredi skupove A , B , AB iBA. Da li je presjek skupova komutativna operacija?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    12/33

    2. SKUPOVI

    31

    34. Dati su Ojler-Venovi dijagrami skupova A , B i C. Koristei se slikom odredi skupove A , B, C , AB ,BC , AC , A(BC) i (AB)C :a) opisom elemenata ; b) rafiranjem dijelova Ojler-Venovih dijagrama.

    35. Da li vai jednakost X{0, 1, 2, 3, 4} = {1, 2} , ako je zadatskup X, i to:a) X = ; b) X = {0, 1} ; c) X = {1, 2, 3} ; d) X = {1, 2} ; e) X = {1, 3, 4} ;

    f) X = {1, 2, 5, 10} ?

    36. Ako je A bilo koji skup , utvrdi koja od jednakosti vai:a) A= A ; b) A = ; c) AA = A ; d) A(A) = ; e) A(A) = A ?

    2.7.

    UNIJA SKUPOVA

    1. Pod unijom dva skupa A i B podrazumjevamo skup koji sainjavaju svi elementi iz skupa A i svielementi iz skpa B.

    Venovim dijagramom predstavljena unija dva skupa izgleda ovako

    Napii skup AB za sluaj kada je A= 1, 2, 3 i B = 5, 8 i predstavi ga Venovim dijagramom.

    2. Neka je A = 1, 2, 3, 4 i B = 1, 3, 5 .

    Napii skup AB.

    3. Neka je A = 1, 2, 3, 4 i B = 1, 3, 5 . Napii skup A B.4. Neka je A = x : x N i x 5 , B = x : x N i x 4 . Napii skup A B.5. Ako je A = a, b, c , B = b, c, d, e i C = a, b, e, f uz pomo Venovog dijagrama

    pokai da vrijedi jednakost ( AB ) C = A ( B C ).

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    13/33

    2. SKUPOVI

    32

    6. Ako je A = 1, 3, 5 , B = 2, 4, 6 i C = 4, 5, 6, 7 pokai da vrijedi jednakost( A B ) C = A ( B C ).

    7. Neka je

    A = 1, 2, 3 B = 1, 2, 5, 6

    C = 2, 3, 4, 5 Napii skup AB C.

    8. Neka je A = x : x N i x 4 , B = x : x N i 3 x 10 i C = x : x N i x 9 . Napii skupA B C.

    9. Neka je A = 1, 2 , B = 1, 2, 3 . Analiziraj reenicu: X je skup tako da je A X = B. Hoemo lidobiti istinitu reenicu ako za X uzmemo jedan od skupova 3 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3 ? Ima li

    jo koji skup X za koi je AX = B?10.

    11.

    Procrtanim dijelom slike prikazan je skup ( A B ) C.

    Da li vrijedi jednakost ( A B ) C = ( A B ) ( A C )?

    12.Neka je A = 1, 2, 3 , B = 3, 4, 5, 6 , C = 1, 4, 6, 9. Pokai da vrijedi jednakost( A B ) C = ( A B ) ( A C ).

    13. Procrtanim dijelom prikazan je skup ( A B ) C.

    Da li vrijedi jednakost ( A B ) C = ( A C ) (B C )?

    14.Neka je A = a, b, c, d , B = b, d, f , C = a, e, f, g . Pokai da vrijedi jednakost( A B ) C = ( A C ) (B C ).

    15. Procrtanim dijelom prikazan je skup A ( B C ).

    Da li vrijedi jednakost A ( B C ) = ( A B ) (A C)?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    14/33

    2. SKUPOVI

    33

    16. Procrtanim dijelom prikazan je skup A ( B C ).

    Da li vrijedi jednakost A ( B C ) = ( A B ) ( A C )?

    17. Ako skup A ima 10 elemenata, skup B 17 elemenata, a skup A B 8 elemenata, koliko elemenata imaskup A B?

    18. U estom razredu nae kole 9 uenika ima odlian uspjeh i12 uenika primjerno vladanje. U razredu ukupno ima 27 uenika,a 11 njih nema niti odlian uspjeh, niti primjerno vladanje. Kolikouenika, u tom razredu ima i odlian uspjeh i primjerno vladanje?

    Za rjeavanje zadatka korisi Venov dijagram.

    19. Je li istinita tvrdnja: Ako skup A ima melemenata, a skup B ima nelemenata, tada skup A B imam + nelemenata?

    20. Vrijedi li jednakost A ( A B ) = A?

    21. Vrijedi li jednakost ( A B ) C = A B?

    22.Na datim dijagramima osjeni AB:

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    15/33

    2. SKUPOVI

    34

    23. Odredi uniju skupova A i B, ako je:

    1) A = {1, 3, 5, 7} i B = {0, 2, 4, 6, 8} ; 2) A = {0, 1, 2, 3, 4} i B = {0, 2, 4} ;

    3) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} i B = {5, 4, 3, 2, 1, 0} .

    24. Skup A ine svi dvocifreni brojevi iji je zbir cifara 6, a skup B svi dvocifreni brojevi iji je proizvodcifara 6. Odredi uniju skupova A i B.

    25. Odredi uniju skupova A i B, ako je:

    1) A = {x|xN0i x < 3} i B = {x|xN i x 4} ;2) A = {x|xN i 2 x < 10} i B = {x|xN0i x + 1 < 4}.

    26. Ako je A = {1, 2, 3, a, b} i B = {a, b, c, 1, 2}, koji od zapisa je taan:1) 1AB ; 2) 2AB ; 3) 3AB ; 4) 4AB ; 5) cAB ; 6) dAB .

    27. Prvo odredi elemente skupova A i B, A = {x|xN , 2 < x < 7} i B = {x|xN0, 2 x < 7}, a zatimnjihovu uniju i presjek.

    28. Ako je A = {x|xN0i x < 3} i B = {x|xN0i x 6}, nacrtaj njihov Venov dijagram i odredi:1) AB ; 2) BA ; 3) AA ; 4) BB .

    29. Odredi skupove C i D tako da vai C = AB i D = AB ako je A = {x|xN0, x2 25} i B = {x|xN ,

    100x2 36}. Koji od slijedeih zapisa je taan:1) CD = C ; 2) CD = C ; 3) DC = D ; 4) DC = D ?

    30. Skup A je petolan, a njegov podskup B je trolan. Koliko elemenata ima skup:1) AB ; 2) AB ; 3) AA ; 4) BB ?

    31. Odredi skup X tako da vai:1) {1, 2} X = {1, 2} ; 2) {1, 2} X = {0, 1, 2} .

    32. Odredi:

    1) AA ; 2) AA ; 3) A;4) A; 5) NN0; 6) NN0.33. Ako je AB = {1, 2} , AB = {1, 2, 3} i skup B dvolan, odredi skupove A i B.

    34. Dati su skupovi A = {6, 8, 10, 12} , B = {3, 4, 5, 6} i C = {3, 6, 9, 12}. Odredi skupove:

    a) AB = b) BC = c) BA = d) (AB)C = e) A(BC) = . ta se moe zakljuitina osnovu rezultata a) i c) ? Do kakvih zakljuaka dolazi na osnovu rezultata d) i e) ?

    35. U jednom VI razredu svi uenici su lanovi makar jedne od sekcija: sportske , matematike ili dramske.Skupove uenika koji formiraju sve sekcije oznaimo sa S , M i D. ta predstavlja skup SMD ?

    36. Skup P ima elemente parne prirodne brojeve. Skup neparnih brojeva oznaimo sa Q. Neka je S = {0}.

    Odredi skupove PQ i (PQ)S .

    37. Odredi skupove AB , AC i A(BC) , ako su dati skupovi:

    A = {a|aNoi a 5} , B = {b|bN i 3 b 6} i C = {c|cN i 5 < c < 8}.

    38.Na osnovu Ojler-Venovog dijagrama odredi skupove: M , N, P, M P , NP .

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    16/33

    2. SKUPOVI

    35

    39. Dati su skupovi A i B, tako da je BA. Odredi skup AB. Analiziraj ovaj rezultat i skup NP iz

    prethodnog zadatka. Kakvu vezu uoava izmeu podskupa i unije? Ako je PQ = Q kakva vezapostoji izmeu P i Q ?

    40. Ako su P i Q proizvoljni skupovi izraunaj: A, P , , (P)Q .

    41.

    Odredi skupove AB i AB ako je:1) A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5, 6} ; 2) A = {0, 2, 3} , B = {2, 3, 4, 5} ; 3) A = {1, 3, 5, 7} ,

    B = {4, 5, 6} ; 4) A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} ; 5) A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} ;

    6) A = {1, 3, 5, 7} , B = {2, 4, 6} ; 7) A = {a|aN i a > 3} , B = {b|bNoi b < 9} ;

    8) A = {a|aN i 1 < a < 6} , B = {b|bN i 3 b 10} .

    2.8.PARTICIJA SKUPA

    1. Neka je S = 1, 2, 3, ..., 9 . Skupovi A = 1, 2 , B = 3, 4, 5, 6 , C = 7, 8, 9 su podskupoviskupa S. Moemo se uvjeriti da vrijedi

    A B C = SA B = A C = B C = , ( skupvi A, B i C su disjunkni ).

    Vrijedi tvrdnja da se svaki x S nalazi u jednom i samo jednom od skupova A, B, C. Zbog togakaemo da ti skupovi ine jednu particiju ili podjelu skupa S.

    2. Neka je S neki skup. Pod particijom ili podjelom skupa S podrazumjevamo svaki skup nepraznih i

    disjunktnih podskupova od S ija je unija skup S. Da li skupovi A = 1, 2 , B = 3, 4, 5 ,

    C = 6, 7 , D = 8, 9, 10, 11 ine jednu particiju skupa S = 1, 2, 3, ..., 11 ?

    3. Ako je A, B, C, ...particija skupa S, tada se skupovi A, B, C, ... zovu klase ili razredi te particije.Napii jednu particiju skupa S = 1, 2, 3, 4, 5 koja ima dvije klase.

    4. U jednoj koli postoje tri esta razreda: VI a, VI b, VI c. Neka je skup S skup svih uenika ta tri razredatj. S = V a V b V c. ine li skupovi V a, V b, V c particiju skupa S?

    5. Neka je A = 1, 3, 5, 7, ..., B = 2, 4, 6, 8,.... ine li dati skupovi particiju skupa N?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    17/33

    2. SKUPOVI

    36

    6. Neka je S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Skupovi A = 1, 2, 3, 4 , B = 4, 5, 6 ne ine particiju skup S. Zato?

    7. Neka je S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Skupovi A = 1, 2, 3, B = 5, 6 , C = 7, 8, 9 ne ineparticiju skupa S. Zato?

    8.

    Skup S = 1, 2, 3 ima pet particija:a) 1 , 2 , 3

    b) 1 , 2, 3 ,c) 2 , 1, 3 ,d) 3 , 1, 2 ,e) 1, 2, 3 .

    Prva od tih particija ima tri klase, a peta samo jednu. Napii sve particije skupa 1, 2, 3, 4 .

    2.9.RAZLIKA SKUPOVA

    1. Pod razlikom dva skupa A i Bpodrazumjevamo skup kojeg sainjavaju elementi koji se nalaze u skupuA, a nema ih u skupu B tj. A = x : x A i x B .

    Neka je A = 1, 2, 3, 4, 5 , B = 4, 5, 6 . Napii skup A \B.

    2. Neka je A = 3, 4, 5, 6 , B = 7, 8, 9 . Napii skupA \B.

    3. Ako je A B = , tada je A \B = A. Zato?

    4. Neka je A = a, b, c , B = a, b, c, d . Napii skup A \B.

    5. Neka je A = 3, 4, 5, 6 i B = 1, 2, 3, 4, 5 . Napii skupove A \B i B \A. Da li je A \B = B \A?

    6. Da li su istinite slijedee tvrdnje?

    a) A \B = A \( A B )b) ( A \B ) B = c) A ( A \B ) = A \B

    7. Na slici osjeni A \ B.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    18/33

    2. SKUPOVI

    37

    8. Koristei sliku odredi: 1) AB ; 2) AB ; 3) A\B ; 4) B\A .

    9. Odredi A\B i B\A, ako je A = {a, b, c, d} i B = {a, b, x, y}.

    10. Ako je A = {x|xN0, x < 15} i B = {x|xN , x < 20} , bez ispisivanja elemenata skupa A i B odredi:A\B i B\A .

    11. Odredi A\B i B\A, ako je A skup brojeva prve desetice koji u svom nazivu imaju slovo e, a skup B

    ine oni brojevi prve desetice koji u svom nazivu imaju slovo a.

    12. Dati su skupovi A , B i C: A = {x|xN , x + 5 < 10} , B = {x|xN0, 5x 10} i C = {x|xN, x2< 16}.

    Odredi: 1) A\B ; 2) B\C ; 3) C\B ; 4) A\C .

    13. Odredi: {x|xN i 3x > 6} \ {x|xN i 3x 3} .

    14. Odredi: 1) N \ {x|xN i x > 5} ; 2) N0\ N ; 3) N \ N0.

    15. Kada je razlika dva skupa jednaka:

    1) prvom skupu; 2) drugom skupu; 3) praznom skupu ?

    16. Za koje skupove A i B vai jednakost:1) A\B = AB ; 2) A\B = AB ; 3) A\B = B\A ?

    17. Odredi skupove A i B, ako je:

    1) A\B = {1, 2} , AB = {3, 4} i AB = {1, 2, 3, 4, 5} ;2) B\A = {4, 5} , A\B = {1, 2} i AB = {0, 3, 6}.

    18.

    Procrtanim dijelom prikazan je skup A \ ( B C ). Da li je A \ ( B C ) = ( A \B ) ( A \C ) ?

    19. Procrtanim dijelom prikazan je skup A \( B C ).

    Da li vrijedi A \( B C ) = ( A \B ) ( A \C ) ?

    20. Za svaki A vrijedi A \A = . Obrazloi.21.Neka je A bilo koji zadani skup. Je li\ A = . Obrazloi odgovor.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    19/33

    2. SKUPOVI

    38

    22. Koji je skup odreen precrtanim dijelom slike?

    Da li vrijedi ( A B ) \C = ( A \C ) ( B \C ) ?

    23. Pomou date slike provjeri da li vrijedi( A B ) \C = ( A \C ) ( B \C ).

    24. Provjeri tvrdnju: Ako je A = 1, 2, 3 , B = 4, 5 , C = 1, 2, 3, 4, 5 , tada je A B = C, ali nijeA = C \B.

    25. Je li procrtanim dijelom ravnine

    prikazan skup ( A B C ) \( A B C ) ?

    26. Odredi skupove A\B i B\A , ako je:

    a) A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2} ; b) A = {1, 2, 3} , B = {3, 2, 1} ; c) A = {a, e, o, u} ,

    B = {a, b, c, d, e} ; d) A = {a|aN i a 5} , B = {0, 1, 2, 3} ; e) A = {a|aNoi a < 10} ,

    B = {b|bNoi b je paran jednocifren broj} .

    27. Dati su skupovi A = {x|x2 = 0 ili 2x = 6} , B = {b|bNoi b 3} , C = {c|c < 6 i cN}. Odrediskupove: a) A\B = b) B\C = c) (A\C)B = d) (CB)\A = e) (AB)\C =

    28. Dati su skupovi A = {x|x je slovo rijei banana} , B = {a, b, c} , C = {c|c je slovo rijei ananas}. Odrediskupove: A = {a, b, n} , C = {a, n, s}

    a) A\B = {n} b) B\A = {c} c) C\B = {n, s}

    d) (A\C)B = {b} e) (CA)\B = {n} f) A(B\C) = {b}

    29. Dati su skupovi: A = {a|aN, a = 1 ili 6 a < 10} , B = {b|(b 2)A} i C = {c|(c + 1)B}. Odrediskupove: A = {1, 6, 7, 8, 9} , B = {3, 8, 9, 10, 11} , C = {2, 7, 8, 9, 10}

    a) A\C = {1, 6} b) AB = {8, 9} c) C\B = {2, 7}d) A(C\B) = {7} e) (A\C)(B\A) = { } .

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    20/33

    2. SKUPOVI

    39

    30. Dati su skupovi A = {a|aN0i a < 4} , B = {b|bN i 0 b < 3} i C = {c|cN0i 0 < c 5}. Odrediskupove:

    a) C\A = {4, 5} b) A\(BC) = {0, 3}c) B\(AC) = d) (AB)\(AB) =

    31. Da li vae jednakosti:

    a) A\= A ; b) \A = A ; c) (AB)\B = A ; d) (AB)\A = ; e) A\(A\A) = A ?

    32. Dati su skupovi: A = {a|aN0i a 9} , B = {b|bN i 2bA} , C = {c|cN i c je neparan broj manji od7} i D = {2, 3, 4}. Utvrdi da su B, C i D podskupovi skupa A i odredi komplemente svakog od njih u

    odnosu na skup A.Na primjer, B = {1, 2, 3, 4} i CAB = {0, 5, 6, 7, 8, 9} itd.

    33. Dati su skupovi A = {2, 3, 4, 7} , B = {x|xN i x < 5}, M = {m|mN0i 0 < m < 8}. Odredi skupove:B = {1, 2, 3, 4} i M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    a) AB = b) A\B = c) B\A = d) AB = e) CMB = {5, 6, 7}f) CM(AB) = g) CM(A\B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} h) CM(B\A) = i) CM(AB) = j)CMM =

    34.

    Dati su skupovi M = {x|x je slovo rijei vatra} , N = {x|x je slovo rijei strava} , P = {x|x je slovo rijeimarta}. Odredi elemente skupa S = M(NP) , pa nai skup:a) M'S= b) N'S= c) P'S= d) CS(MB) = e) CS(NP) =

    35. Dat je skup A = {a|aNoi a < 8}.

    a) Izaberi skupove M i N, tako da je MN = A i MN ;b) izaberi dva disjunktna skupa P i Q, tako da je PQ = A ;c) Odredi skupove CAM , CAN , CAP i CAQ ;

    d) Odredi skupove A\M , A\N , A\P , A\Q ;

    e) Provjeri da li je CAM = A\N , CAQ = A\P , CAP = A\Q , CAN = A\N .

    ta se na osnovu toga moe zakljuiti?

    36.

    Ako su A i B dati skupovi , takvi da je A

    B , utvrdi koja od jednakosti je tana:a) AA'B = A ; b) AA'B= ; c) AA'B= A ; d) AA'B= B .

    37. Dati su skupovi A = {a|aN0i a < 10} , B = {b|bN i 5 b < 12} i C = {c|cN0i c je paran broj manjiod 15}.

    a) Odredi skupove A\B , A\C , BC i BC .b) Provjeri da li je A\(BC) = (A\B)(A\C) .c) Da li je ispravna jednakost: A\(BC) = (A\B)(A\C) ?a) A\B = {0, 1, 2, 3, 4} , A\C = {1, 3, 5, 7, 9} , BC = {6, 8, 10} , BC = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12, 14} b) Tano ; c) Tano (De Morganovi zakoni)

    38.Na osnovu Ojler-Venovog dijagrama skupova M , N i P odredi skupove:

    M , N , P , M\N , P\M , P\(MN) , (MN)\(MN) , M'P, CP(MN) .

    Na primjer: M = {a, b, c, d} , N = {c, d, g} , M\N = {a, b} , M'P= P\M = {e, f, g} .

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    21/33

    2. SKUPOVI

    40

    39. Osjenene dijelove na dijagramima izraziti preko skupovnih operacija i skupova A , B i C.

    1) (AB)\C 2) (A\(BC))(BC) 3) ((A(BC))(BC))\(ABC)

    40. Odredi k(A) i k(B), tj. odredi koliko elemenata imaju skupovi A i B, ako je:

    a) k(A\B) = 5 i k(B\A) = 6 i k(AB) = 3 ;b) k(A\B ) 4 i k(B\A) = 8 i k(AB) = 18 ;c) k(A\B) = 10 i k(AB) = 7 i k(AB) = 24.Uputstvo: koristi Ojler-Venov dijagram.a) k(A) = 8 , k(B) = 9 ; b) k(A) = 10 i k(B) = 14 ; c) k(A) = 17 i k(B) = 14 .

    41. Koliko elemenata ima skup A\B , tj. odredi k(A\B), ako je k(B\A) = 34 i unija skupova A i B ima 100

    elemenata, od kojih je 28 zajednikih za A i B ?Slino prethodnom zadatku. Rjeenje: 38.

    42. Poznato je da skup A ima 26 elemenata, skup B ima 29 elemenata i skup C ima 39 elemenata.

    Osim toga je k(AB) = 14, k(AC) = 16, k(BC) = 18 i k(ABC) = 6. Koliko elemenata imaskup: a) A\(BC) , b) B\(AC) , c) C\(BA), d) (AB)\C , e) (BC)\A ,f) (AC)\B ?Rjeenje: a) 2 b) 3 c) 11 d) 8 e) 12 f) 10 .

    43. Dati su skupovi A = {1, 2, 3, 4} , B = {2, 4, 6}.

    a) Izrazi preko A i B skupove: M = {1, 3} , N = {2, 4} i P = {6} ;

    b) Izrazi preko M , N i P skupove A i B.

    Rjeenje: a) M = A\B , N = AB , P = B\A b) A = MN , B = NP .

    44. Odredi skupove MN , M i N, ako je M\N = {0, 1} , N\M = {4, 5} i MN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.Rjeenje: MN = {2, 3, 6} , M = {0, 1, 2, 3, 6} , N = {2, 3, 4, 5, 6} .

    45. Ako je AB = {x|xN i x 9} , AB = {1, 3}, odredi skupove A i B, znajui da svi neparni brojevi izskupa AB, koji nisu elementi skupa AB, ine skup A\B.Rjeenje: A = {1, 3, 5, 7, 9} , B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

    46. Dati su skupovi A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3, 6} , C = {2, 4, 5, 6, 7} i D = {1, 6, 7, 8}.

    Odrediti skup S, ako je S A, zatim (AC)\S = i (BD)\S = BD.

    Rjeenje: S = {2, 4, 5}

    47. Odrediti elemente skupa A ako je ABC = {x|xN0i x < 9} , B\A = {4, 5} , C\A = {2, 7}, a skupoviB i C su disjunktni.

    Rjeenje: A = {0, 1, 3, 6, 8}

    48. Skupovi A, B i C imaju zajednike elemente brojeve 1 i 4. Ako je ABC = {x|xN i x < 7}, odreditielemente skupa C, znajui da je B \C = {2, 5, 6} i C\A .Rjeenje: C = {1, 3, 4}

    49. Dati su skupovi: A = {x| x je slovo rijei ekspres}, B = {x|x je slovo rijei spas}, C={x|x je slovo rijeiruka} i D={x|x je slovo rijei papua}. Odredi podskup S skupa A ,ako je eS i (AC) \ S = , askupovi A i BD su disjunktni.Iz {k, p}\S = slijedi da kS i pS itd. Rjeenje: S = {k, p}.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    22/33

    2. SKUPOVI

    41

    50. Ako je ABC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a C\B = {4} i A\B = {0, 1}, odredi skup B znajui da su brojevi 5i 6 zajedniki elementi skupova A , B , C.Rjeenje: B = {2, 3, 5, 6}

    2.10. KOMPLEMENT SKUPA

    1. Neka je S neki skup. Za svaki podskup P od S odreen je skup S \P. Taj se skup zove komplement ilidopuna skupa P u skupu S ili dopuna od P s obzirom na S. Neka je S = 1, 2, 3, 4, 5 , P = 1, 2, 3 .

    Napii komplement od P s obzirom na S.

    2. Neka je S = N, P = 1, 3, 5, 7, .... napii komplement od P u S.

    3. Skupove A = 1, 2, 3, 4, 5 i B = 2, 3 predstavi Venovim dijagramom i odredi CA( B ).

    2.11. RJEAVANJE PROBLEMSKIH ZADATAKA VENOVIM DIJAGRAMOM

    1. Ako je A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 3, 5, 7, 9}, odredi: AB = AB = A\B = B\A =

    2. Ako je AB = {x|xN0, x 7} , A\B = {0, 2, 4} i B\A = {1, 3, 7}, odredi elemente skupova A i B.

    3. Ako je AB = {x|xN0, x < 5} , AB = {2, 4} i B\A = { }, odredi elemente skupova A i B.

    4. U odjeljenju od 31 uenika, 17 prima Matematiki list, a 12 Male novine. Koliko uenika prima oba lista,ako 7 uenika ne uzima ni jedan list?

    5. U jednom birou radi 10 prevodilaca koji govore ruski, francuski i engleski. Svaki jezik zna po 5 prevodilaca,

    samo jedan jezik govori po 2 prevodioca. Koliko prevodilaca govori po 2 jezika, a koliko sva tri jezika?

    6. Na olimpijadi sportisti su osvojili 47 medalja. Od toga broja je 36 srebrenih i bronzanih, a 27 zlatnih i

    srebrenih medalja. Koliko je kojih medalja bilo?

    7. U odjeljenju ima 35 uenika od kojih 20 su lanovi sportske sekcije, a 11 matematike sekcije, dok 10uenika nisu lanovi nijedne sekcije. Koliko uenika je lanova obe sekcije?

    8.

    Od 27 uenika u fudbalskoj sekciji je 14 uenika, 3 uenika su lanovi samo matematike sekcije, a 5uenika su lanovi folklorne, matematike i sportske sekcije. Koliko uenika ima u svakoj sekciji ako samou sportskoj i folklornoj sekciji ima 6 uenika, a samo sportom i folklorom se ne bavi nijedan uenik i sviuenici su obuhvaeni radom sekcija?

    9. U naselju od 8 ulica elektrinu struju ima 6 ulica, kanalizaciju 4 ulice, a vodovod 6ulica. Prve tri uliceimaju samo po jednu od komunalnih potreba. Koliko ulica ima sve tri komunalne potrebe?

    10. Od 100 turista svaki govori jedan od tri jezika: ruski govori 57, engleski 58, ruski i francuski 28, engleski i

    francuski 34. Samo po 2 strana jezika govori 49, a sva tri jezika govori 11. Koliko turista govori francuski, a

    koliko samo ruski?

    11. Dvanaest uenika ui tri strana jezika. Svaki jezik ui po 8 uenika. Po dva uenika ue 2 jezika. Po koliko

    jezika ue ostali uenici?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    23/33

    2. SKUPOVI

    42

    12.Na pismenoj vjebi iz matematike su data tri zadatka. Niko nije rijeio trei zadatak. Prvi zadatak je rijeilo25, drugi 27 uenika, a 20 uenika je rijeilo i prvi i drugi zadatak. Koliko uenika ima u tom odjeljenju?

    13.Na olimpijadi je osvojeno 43 srebrene i bronzane medalje, 27 srebrenih i zlatnih i 28 zlatnih i bronzanih

    medalja. Koliko je bilo kojih medalja?

    14. U odjeljenju od 31 uenika, 5 uenika je dobilo ocjenu iz matematike, bosanskog i engleskog, 16 izmatematike i bosanskog, 11 iz bosanskog i engleskog, a preostali uenici iz matematike i engleskog. Koliko

    je uenika dobilo ocjenu iz matematike i engleskog?

    15. Od 28-oro djece, etvero jede jabuke, kruke i ljive, po dvije vrste voa voli po dvoje djece, jedna

    etvrtina djece jede samo jabuke,jednaplovina djece jede kruke, a ostatak jede samo ljive. Koliko djece

    jede samo ljive?16. Doputovalo je 100 turista, od kojih 10 nije znalo ni njemaki ni francuski jezik. Njemaki je znalo 75

    turista, a francuski 83 turista. Koliko je turista u grupi znalo oba jezika?

    17. U ljetnjoj koli mladih matematiara svaki uenik se bavio bar jednim od sportova: koarkom, nogometom,rukometom ili odbojkom. Znamo:

    a) Onaj koji igra koarku ili odbojku igra i nogomet.b) Onaj koji igra rukomet igra i odbojku.

    c) Onaj koji igra nogomet i rukomet, igra i koarku.Kojim od ovi sportova se bavi najvie, a kojim najmanje uenika ljetnje kole?

    18. U koli ima 60 nastavnika. Od tog broja njih 39 pije kafu, 28 pije aj, 16 pije aj i kafu. Ima li nastavnikakoji ne piju ni aj ni kafu?

    19.Na pismenoj vjebi iz matematike postavljena su tri zadatka. Svaki uenik je rijeio bar jedan zadatak, aniko nije rijeio trei zadatak. Prvi zadatak je rijeilo 25 uenika, drugi zadatak je rijeilo 27 uenika.

    a) Koliko je uenika radilo pismenuvjebu?b) Koliko je uenika rijeilo samo prvi zadatak?

    20. U estokoj borbi 70 od 100 gusara je izgubilo jedno oko, 75 jedno uho, 80 jednu ruku i 85 jednu nogu.Koliko je najmanje gusara izgubilo i oko, i uho, i ruku, i nogu istovremeno?

    2.12.MJEOVITI ZADACI

    1. Skup A ine brojevi prve desetice. Nabroj elemente skupa A. Zapii skup A pomou zagrada.

    2. Skupove date Venovim dijagramom zapii pomou zagrada.

    3. Prikai Venovim dijagramom skupove A i B , ako skup A ine prirodni brojevi manji od 5 , a skup Bprirodni brojevi vei od 5 i manji od 10.

    4. Nacrtaj Venov dijagram skupa:

    1) A iji su elementi parni prirodni brojevi manji od 20 ;2) B iji su elementi neparni prirodni brojevi ne vei od 15 .

    5.

    Elementi skupa A su prirodni brojevi vei od 7 i ne manji od 14. Koliko elemenata ima skup A ?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    24/33

    2. SKUPOVI

    43

    6. Skup M ine prirodni brojevi koji nisu manji od 3 , a nisu ni vei od 7. Popuni prazna mjesta znacima, : 5 ___ M ; 3 ___ M ; 1 ___ M ; 7 ___ M ; 8 ___ M .

    7.

    Nacrtaj Venov dijagram skupa A , A = {x|xN , x < 6}. Zaokrui tanu tvrdnju:1) 3A ; 2) 4A ; 3) 0A ; 4) 6A .

    8. Koliko elemenata ima skup M ako je: M = {0, 1, 2, 3, 456789} ?

    Koji od zapisa je taan: 0M , 2M , 4M , 5M ?

    9. Odredi elemente skupa M, ako je:

    1) M = {x|xN0, x < 3} ; 2) M = {y|yN , y 13} ;3) M = {a|aN , 4 a 9} ; 4) M = {m|mN0, m > 10} .

    10. Odredi skup P = {x|xN , x < 1} . Koliko elemenata ima skup P ? Kako ga obiljeavamo?

    11.Na Venovom dijagramu su prikazani skupovi A i B. Odredi njihove elemente.

    12. Slino prethodnom zadatku prikai skupove A i B , ako je:1) A = {7, 8, 9, 10} , B = {2, 4, 6, 8, 10} ; 2) A = {a, b, c, d, e} , B = {a, b, d, e, j} ;

    3) A = {1, 2, x, y} , B = {a, b, 3, 4, 5} ; 4) A = {x|xN0, x + 1 < 6} , B = {x|xN , x1 6} .

    13. Skupovi A , B i C su dati Venovim dijagramom.

    1) Zaokrui tanu tvrdnju: 1A , 1B , 1C , 3C , 2B , 7B , 6B , 4A , 4B , 4C ;2) Odredi elemente skupova A , B i C.

    14.

    Prikai Venovim dijagramom skupove A , B i C , ako je:1) A = {a, b, c, d} , B = {a, b, x, y} i C = {a, x, c, y, e} ;2) A = {x|xN0, x 2} , B = {x|xN , x < 7} , C = {x|xN , 1 < x < 9} .

    15. Elementi skupa A su vrijednosti izraza:

    300200 + 100 ; 30002000 : 1000 ; 2(50100) 2100 : 7 i 4 + 1996 : (5004 4) .Odredi skup A i nacrtaj njegov Venov dijagram.

    16. Odredi elemente skupova A , B, C i D ako je: A skup svih prirodnih jednocifrenih brojeva ; B skup svih

    dvocifrenih brojeva prve desetice ; C skup onih brojeva pete desetice koji poinje sa 5 ; D skup svihtrocifrenih brojeva iji je proizvod cifara 3.

    17. Skup A ima 5 elemenata , skup B 6, a skup C 7. Koliko najmanje , a koliko najvie elemenata moe biti

    na njihovom Venovom dijagramu?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    25/33

    2. SKUPOVI

    44

    18. Izvri naznaene operacije:a) 7, 9, 11 5, 6, 7, 8, 9 ,

    b) 5, 6, 7, 8, 9 6, 8, 10 .

    19. Skupovi su zadani Venovim dijagramom:

    Odredi skupove A B i A B.

    20. rafiraj skupove A B i A B.

    21.

    Ako su dati skupovi A = 1, 3 i B = 2, 4, 6 , odredi presijek ovih skupova, i predstavi ga Venovimdijagramom.22. Sa Venovog dijagrama proitaj i zapii elemente skupova A i B, a zatim ispii elemente skupova A B

    i A B.

    23. Ispii, koristei zagrade elemente skupova prikazanih Venovim dijagramom.

    24. Dati su skupovi A = x : x N, 6 x 12i B = x : x N, 8 x 16 . Odredi elemente skupovaA, B, A B i A B.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    26/33

    2. SKUPOVI

    45

    25. Da li su tano zapisani rafirani dijelovi skupova?

    26. Zapii ta predstavlja osjeneni dio Venovog dijagrama.

    27. Skupovnim operacijama zapii osjenene dijelove na Venovom dijagramu.

    28. Osjeni dio koji odgovara skupu:

    a) ( A B ) \C b) B \( A C )

    29. Dati su skupovi A = 1, 2, 3 i B = 1, 4 . Odredi elemente skupova A \B i B \A.

    30.

    Zapii elemente skupova A, B, A B, A B, A \B i B \A, koji su predstavljeni Venovimdijagramom.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    27/33

    2. SKUPOVI

    46

    31. Pomou Venovog dijagrama odredi elemente skupova A \B, B \A, ( A \B ) ( B \A ).

    32. Dati su skupovi A = x : x N, 2 x 9 , B = y : y N0, y 7 . Odredi elemente skupova: A, B,A B, A \B, B \A, A B.

    33. Dati su skupovi A = x : x N, 3 x 10 , B = x : x N0, x 7 . Da li je B A?34. Dati su skupovi: A = x : x N, 2 x 7 , B = x : x N0, x 5 . Nacrtaj Venove dijagrame za:

    A B, A B, A \B i B \A.

    35. Dati su skupov A = 1, 2, ..., 10 i B = 2, 6, 8, 10 . Odredi skup koji skup B dopunjuje do skupa A.Da li je ta dopuna komplement skupa B do skupa A?

    36. Dat je skup A = a, b, c, d, e . Odredi dva podskupa B i C tako da je B C = A. Da li vaiCA ( B ) = C i CA( C ) = B?

    37. Pomou skupovnih operacija zapii skupove rafirane na slikama.

    38. Dat je skup P ={0, 2, 4, 6, 8}. Nai sve jednocifrene brojeve n , za koje vai uslov:a) nP ; b) (n + 3)P ; c) (152n)P .

    39. Dat je skup P = {0, 2, 4, 6, 8} i Q = {q|qNoi 0 q 3 < 7}. Odredi prirodni broj n koji zadovoljavauslove: a) nP i nQ ; b) nQ i nP ; c) nP i nQ ; d) n 10 i nP i nQ ; e) n je neparan

    broj u nP.

    40. Dat je skup A opisom elemenata A = {a|aN i a + 5 11} i skup B Ojler-Venovim dijagramom.Odredi skup X nabrajanjem njegovih elemenata x , koji zadovoljavaju posljednje uslove.

    (npr., ako xB i xA , onda je X = {0, 9}).

    a) xA i xB ; b) xB i x > a , za svako aA ; c) xA i xB ; d) xA i xB ;

    e) xNoi (2xa)B , gdje je aA ; f) xN i xA i xB i x < 10 .

    41. Rijei formule, tj. odredi nepoznat broj x, iz uslova:a) x{1, 2, 3} ; b) x > 3 i x{2, 3, 4, 6} ; c) x < 1 i x{1, 2, 3{ ; d) 3{1, 2, x, 4} .

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    28/33

    2. SKUPOVI

    47

    42. Koje od navedenih tvrdnji su tane:a) 2{1, {2, 3}, 4} ; b) 3{1, {2, 3}, 4} ; c) {2, 3}{1, {2, 3}, 4} ; d) {2}{1, {2, 3}} ?

    43. Dati su skupovi A = {a, b, v, g, d} , B = {b, g, d} , C = {x|x je slovo iz rijei baba}, Dje dat dijagram.Koji od datih skupova su:

    a) podskupovi skupa B ; b) podskupovi skupa C ; c) nadskupovi skupa D ?

    44.Navedi sve podskupove skupa M = {m, n, p, q} koji imaju:

    a) dva elementa ; b) tri elementa.

    45. Koliko razliitih podskupova ima skup {10, 20, 30} ?

    46.Nai sve podskupove skupa {0} .

    47.

    Odredi sve prave podskupove skupa S = { , , }. Pazi! Ima ih tano est!

    48. Umjesto zvjezdice stavi jedan od znakova , , , tako da bude zaan zapis:1) 0 * ; 2) 2 * {{1} , {2} , {3}} ; 3) * {1, 2} ; 4) {1} * {1, 2, 3} ;

    5) {1} * {{1} , {2} , {3}} ; 6) * {0} ; 7) {1, 2} * {{1, 2} , 3} .

    49.Neka je R skup svih riba, G skup svih riba grabljivica i S skup svih tuka. (tuka je jedna od najveihrijenih grabljivica). Koja od slika pravilno predstavlja dijagrameskupova R , G i ?

    50. Rijeiti po nepoznatoj x formulu:a) x {1, 2, 3} ; b) {1, x} {1, 2, 3, 4} ; c) {x, 2x} {1, 2, 3, 4} ;

    d) {x} {1, 2, 3} ; e) {1, 5} {1, 2, x, 3, 10} ; f) {1, 5}{1, 2, x, 3}.

    51. Rijeiti po nepoznatoj x i y formulu:a) {x, y}{1, 2, 3} ; b) x, y{0, 1} ; c) {1, 3} {4, x, y, 6} ; d) {{1}, 2} {1, x, y, 3} .

    52. Dati su skupovi A = {1, 2, 3} , B = {b|bNoi 0 < b < 4} , C = {c|c je cifra broja 3000200} , D = {0, 2} ,

    E = {0, 2, 3} , F = {f|fN i j 3} , G = {g|g = 2n i nNoi n < 2} , H je dato dijagramom , slika. Da limei zadatim slupovima ima jednakih?

    53. Dati su skupovi: P = {m, n, p, s} , Q = {M,n , p, c} , R = {a, m, n , p} , S = {s|s je slovo rijei panama} ,T = {m, n}. Koje od navedenih relacija su tane:a) Q = S , b) S = R ; c) P = Q ; d) P T ; e) T S ?

    54. Koliko elemenata ima skup (tj. odredi kardinalni broj):

    a) A = {0, 10, 100} ; b) S = {s| s je slovo rijei panama} ; c) B = {b|bNoi 0 < b < 5} ;d) G = {g|g je rimska cifra} ; e) D je skup svih praznih skupova ?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    29/33

    2. SKUPOVI

    48

    55. Koji od navedenih skupova su beskonani? Za svaki od konanih skupova odredi kardinalni broj:A = {a|aN i a 9} ; B = {b|bNoi b 13} ; C = {c|cNo} ; D = {d|dNoi d je jednocifren broj} ;

    N = {n|nN i n je neparan broj} ; P = {p|pNoi p je paran broj i p < 12} .

    56. Da li su ekvivalentni skupovi P i Q ako je:

    1) P = {1, 1, 1, 2, 3, 5, 5, 5} i Q = {1, 2, 3, 4} ; 2) P =

    i Q = {0} ; 3) P =

    i Q = {

    } ;4) P = {} i Q = {a} ; 5) P = {2, 4} i Q = {1, 3} ; 6) P = {2, 2, 3, 2} i Q = {1, 2, 3, 4} ;

    7) P = {p|pNoi p je paran broj , p 10} i Q = {q|q je slovo rijei matematika} ;8) P = {p|pN} i Q = {q|qNo} ; 9) P = {p|pN i p je paran broj} i Q = {q|qN} ?

    57. Da li su disjunktni skupovi M i P , ako je:

    a) M = {m|m2 = 0} , P = {p|pn i p 2} ; b) M = {m|mNoi m 3} , P = {p|pN i p > 3} ;c) M = {m|mNoi m < 2} , P = {p|pN i p 2} ; d) M = {m|mN i m < 5} , P = {p|pN i p > 4} .

    58. Dati su skupovi A = {a|aN i a je neparan broj manji od 7} , B = {1, 2, 3, 6} i C = {c|cN i 3 < c < 8}.

    Odredi skupove:

    a) AB = b) AC = c) (AB)C = d) (AB)(AC) = e) A(BC) =

    59. Koristei se datim Ojler-Venovim dijagramima odredi elemente skupova A , B, AB , AB ,(AB)A , (AB)A .

    60. Preslikaj Ojler-Venov dijagram skupova M i N sa datih slika , i to za svaki od sluajeva napravi po trikopije. U svim sluajevima osjeni skupove AN , NM i M(NM) .

    61. Dati su Ojler-Venivi dijagrami skupova A , B, C.

    a) Preslikaj u pet primjeraka dijagrame sa slike 1) i osjeni dijelove koji odgovaraju skupovima AC ,AB , A(BC) , (AC)(BC) , (AB)C. Za svaki koristi novu sliku.

    b) Prema slikama 2) , 3) i 4) opii osjenene dijelove dijagrama koristei se operacijama i izagradama.

    62. Odredi podskup X skupa A = {2, 3, 4, 5}, tako da je {2, 3, 4} X = {2, 3} .Rjeenje: Iz datog uslova slijedi: 2X , 3X i 4X. Rjeenja su: X = {2, 3} i X = {2, 3, 5} .

    63. Odredi skup Y tako da vai jednakost: Y{2, 3, 4} = {3, 4} i {1, 2, 3, 4, 5}Y = S , gdje jeS = {s|sN i s < 7}. Slino prethodnom zadatku:Kako je S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, iz drugog uslova slijedi da je obavezno 6Y.Rjeenja su: Y = {3, 4, 6} , Y = {1, 3, 4, 6} , Y = {3, 4, 5, 6} i Y = {1, 3, 4, 5, 6}.

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    30/33

    2. SKUPOVI

    49

    64. Odredi skup X tako da je X{2, 3, 4, 7} = {2, 4} i XS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , gdje jeS = {s|sN0i 1 < s 7}. Slino prethodnom zadatku:Rjeenja su: X = {2, 4, 8, 9} ili X = {2, 4, 5, 8, 9} ili X = {2, 4, 6, 8, 9} ili X = {2, 4, 5, 6, 8, 9} .

    65. Odredi skup A = {x, y} iz uslova:

    a) {0, 1, 2, 3, 4} {x, 2, 3, y} = {0, 1, 2, 3} ;b) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {x, y, 1, 4, 6} = {0, 1, 3, 4, 6} ;c) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {x, 1, y, 3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} .Rjeenje: a) {0, 1} ; b) {0, 3} ; c) Ne postoji takavskup X.

    66. Dati su skupovi A = {1, 3, 5, 7} i B = {b|bN i b < 5}. Rijei po nepoznatim x i X formule:a) xA i xB ; b) X A i X B ; c) xB i x 2 ;d) x(AB) i x 3 ; e) (XA)B = i n(X) = 2 .Rjeenje: a) x = 1 ili x = 3 ; b) X = ili X = {1} ili X = {3} ili X = {1, 3} ;c) x = 1 ili x = 3 ili x = 4 ; d) x = 1 ; e) X = {5, 7} .

    67. Odredi (kardinalni) broj skupa:

    a) AB, ako je k(A) = 62, k(B) = 53 i k(AB) = 100;

    b) AB, ako je k(A) = 42, k(B) = 58 i k(AB) = 25;c) B, ako je k(AB) = 60, k(AB) = 7 i k(A) = 22.Rjeenje: a) Iz k(A) + k(B) = 115 = 100 + 15 i k(AB) = 100 slijedi da je k(AB) = 15.

    b) Slino zadatku a) : k(AB) = 42 + 5825 = 75 ; c) k(B) = 45 .

    68. Ako je A = {a, b, 1, 2} , B = {0, 1, 2, 3, 4} i C = {a, b, c, 2, 3} odredi:

    1) (AB)C = 2) (AB)C = 3) (BC)\A = 4) (A\B)(C\B) = 5) (AB)\(BC) =

    69. Odredi (AB)(B\A):1) A = {1, 2, 3} , B = {2, 4, 6} ; 2) A = {1, 3, 5, 7} , B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 3) A = {a, b, c, 1, 2, 3} ,

    B = {1, a, 2, b, c, d} .

    70. Ako je A = {2, 4, 6, 8} , B = {0, 4, 6, 8} i C = {0, 2, 4} , odredi:

    1) (AB)\C = 2) B\(AC) = 3) (AC)\(BC) =

    71. Ako je A = {x|xN , x < 6} , B = {x|xN0, x < 4} , C = {x|xN , 3 x < 9} , odredi:1) BC = 2) AB = 3) (AB)C = 4) (AC)(BC) =

    72. Koristei sliku odredi:1) A\C = 2) B\C = 3) (AC)\B = 4) (BC)\A =

    73. Dati su skupovi: A = {a, b, c, d, e} , B = {a, c, d, f} i C = {a, c, e, f, g} .

    Prikai ih Venovim dijagramom , a zatim odredi:1) A\(B\C) = 2) (A\B)\C = 3) (A\C)(C\B) =4) (AB)\C = 5) C\(AB) = 6) (AC)\(BC) =

    74. Dati su skupovi R = {x|xN0i 3 x < 9} , S = {x|xN i x + 1 5} , T = {x|xN0i 5x > 1}.Nacrtaj njihov Venov dijagram i odredi:

    1) (RS)T = 2) R(ST) = 3) (RS)T = 4) (RS)T =

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    31/33

    2. SKUPOVI

    50

    75. Ako je A = {x|xN0, x + x 4} , B = {x|xN , xx < 16} , C = {x|xN0i 2 x < 7} , koja odnavedenih jednakosti je tana:1) A(BC) = (AB)C ; 2) (AB)C = A(BC) ;3) (AB)C = (AC)(BC) ; 4) (A(BC) = (AB)(BC) .

    76. Ako je A = {x|xN0, x < 4} , B = {x|xN , x + 4 < 10} i B = B\A , odredi:

    1) (AB)\C = 2) (A\B)(B\C) =

    77. Ako je A = {a|aN i a + 2 10} , B = {b|bN0i 2b < 12} , C = {c|cN0 i c : 3 < 5 , (c :3)N} ,odredi: 1) (AC)\(BC) = 2) A\(B\C) = 3) (A\C)(C\B) =

    78. Osjeneni dio skupova A , B i C izrazi koristei skupovne operacije:

    79.Na Venovom dijagramu skupova A , B i C osjeni:1) (AB)\C ; 2) (AC)\(BC) ; 3) (AC)\(ABC) .

    80. Ako je AB = {1, 2, 3, 4, 7} , AB = {1, 2} , BC = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , AC = i BC = ,odredi skupove A , B i C.

    81. Odredi skupove A , B i C ako vai: ABC = {x|xN0, x 8} , BC = {x|xN , x < 4} , B\A = {7, 3}, A\(BC) = {6} , AC = {1, 2, 5} i AB = {1, 2, 4} .

    82. U hotel je stiglo 100 turista. Od njih 53, govori francuski i 63 govori njemaki. Koliko turista govori ifrancuski i njemaki jezik?Vidjeti prethodni zadatak.

    Rjeenje: 53 + 63 100 = 16 . Francuski i njemaki jezik govori 16 turista.

    83. Od 125 uenika VI razreda 87 se pretplatilo na pecivo za uinu u kolskoj kuhinji. Na jogurt sepretplatilo 38 uenika, pa je njih 10 uplatilo i kiflu i jogurt. Da li ima uenika (i koliko) koji ne uzimajuuinu u kolskoj kuhinji?Ako skup onih koji jedu pecivo oznaimo sa P, a one koji piju jogurt sa Q, onda nalazimo, k(PQ) =115. Dakle, 10 uenika ne uzima uinu u kolskoj kuhinji.

    84.

    Trideset uenika VI razreda je radilo dva zadatka na kontrolnoj vjebi. Oba zadatka su rijeili deseterouenika, a prvi, laki zadatak je uradilo jo 12 uenika. Meutim, tri uenika nisu uspjela nita da urade.Koliko je uenika rijeilo tei zadatak , a laki nisu uspjeli da urade?

    85. U jednom odjeljenju VI razreda ima 30 uenika. Od njih 15 je pretplaeno na asopisMATEMATISKOP , 7 kupuje MATEMATIKI LIST , a 12 uenika ne ita matematike asopise.Uesnici matematikih takmienja kupuju i MATEMATISKOP i MATEMATIKI LIST. Koliko jeuenika iz ovog odjeljenja uestvovalo na matematikim takmienjima?

    86. ef recepcije, koji govori engleski jezik (i bosanski) , prihvatio je grupu od 40 turista , koji ele daprovedu vikend u hotelu. Utvrdio je da meu njima ima 15 domaih turista (koji govore bosanski) , asvega 13 od njih 40 govori engleski. Pri tome , meu ovih 13 su 6 domaih turista , koji govore i

    bosanski. Turisti pristigli iz Brazila , ne govore ni bosanski, ni engleski. Koliko je turista stiglo iz

    Brazila? Koliko je domaih turista koji nee moi da razgovaraju sa strancima?

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    32/33

    2. SKUPOVI

    51

    87.Na pismenoj vjebi svaki uenik je rijeio bar jedan zadatak , ali od tri postavljena zadatka , trei nikonije uspio da rijei. Prvi zadatak je rijeilo 20 uenika , a drugi je rijeilo 27 uenika. Trideset uenikasu dobili ocjenu vrlo dobar , jer su tano uradili po dva zadatka. Koliko je uenika radilo pismenuvjebu? Koliko je uenika rijeilo samo drugi zadatak?

    88.

    Od 126 uenika VI razreda 38 ui njemaki jezik, 42 ui francuski i 55 ui engleski. Pri tom 8 uinjemaki i francuski, 16 engleski i njemaki, a 18 francuski i engleski. Ukupno 25 uenika ui smaoengleski jezik. Koliko uenika ui sva tri jezika, a koliko ih ui neki etvrti jezik?Rjeenje: 5 uenika.

    89. U jednoj grupi djece njih 6-ero voli samo jabuke , 5-ero samo kruke, a 10-ero i jedno i drugo voe.Koliko djece: 1) ima u toj grupi ; 2) voli jabuke ; 3) voli kruke ?

    90.Na jednom slavlju okupilo se 30-ero djece. Njih 16-ero je jelo krofne, a od njih 7-ero je jelo i mekike.

    Koliko je uenika jelo mekike , ako se svako dijete posluilo mekikama ili krofnama?

    91. U jednom odjeljenju 25 uenika se bavi sportom i to: 17 koarkom , a 15 odbojkom. Koliko se uenikabavi i koarkom i odbojkom?

    92. Svi uenici jednog odjeljenja , njih 30 , ulanjeni su u matematiku ili sportsku sekciju. Samo usportsku sekciju ulanjeno je 7 puta vie nego to je samo u matematikoj. Koliko uenika pohaasportsku sekciju , ako 6 uenika pohaa obe sekcije?

    93. Svi uenici jednog odjeljenja , njih 30 , je danas odgovaralo matematiku ili bosanski jezik. Od 20uenika koji su dgovarali bosanski jezik , 17 nije odgovaralo matematiku. Koliko je uenikaodgovaralo:

    1) oba predmeta ; 2) samo matematiku ; 3) samo iz jednog predmeta?

    94. U odjeljenju koje ima 24 uenika , 6 uenika ne voli kruke, a 5 uenika ne voli jabuke. Koliko uenikavoli jabuke , a koliko kruke , ako 1 uenik ne voli ni jabuke ni kruke?

    95. Jednog dana u odjeljenju koje ima 30 uenika: 5 uenika je dobilo ocjenu iz historije, likovnog imatematike, 16 iz historije i likovnog, 11 iz likovnog i matematike , a preostali samo i iz matematike i

    iz historije. Koliko je uenika dobilo ocjenuiz matematike i historije?

    96. U jednom odjeljenju matematiku je odgovaralo 10 , biologiju 12 , a geografiju 15 uenika. Oni uenicikoji su odgovarali matematiku nisu geografiju , 6 je odgovaralo matematiku i biologiju , a 1 biologiju igeografiju. Koliko je uenika odgovaralo ta tri predmeta , a koliko samo jedan predmet?

    97.Na jednom balu bilo je 100 dama , od kojih je 60 imalo i narukvicu i ogrlicu , a bez toga je bilo 10

    dama. Ostale dame su imale ili narukvicu ili ogrlicu. Koliko je bilo dama s ogrlicom a koliko s

    narukvicom , ako je broj dama samo s narukvicom 4 puta vei od broja dama samo s ogrlicom?

    98.

    Od 50 turista samo Meho zna engleski jezik, ruski i francuski jezik, a Damir i Rasim ne znaju ni jedanod ovih jezika. Samo engleski i ruski zna 10 turista; ruski i francuski 5; engleski i francuski 20; engleski

    zna 35, a samo francuski dvoje turista. Koliko turista govori:

    1) samo ruski ; 2) francuski i engleski jezik ; 3) samo po dva od ovih jezika?

    99. Dat je skup A = {1, 23, 4}. Koji zapis je taan:1) 2A ; 2) 3A ; 3) 4A ; 4) 23A ; 5) 23A ; 6) {23}A ; 7) A = {1, 2, 3, 4} ;

    8) {4, 1, 23} = A .

    100.Odredi sve dvolane podskupove skupa A = {a, b, c, d} .

  • 7/26/2019 2. SKUPOVI

    33/33

    2. SKUPOVI

    101.Nacrtaj Venov dijagram slupova A i B , ako je A = {m, n, a, b} i B = {a, b, c, d, e} , a zatim odredi

    AB , AB , A\B i B\A .

    102.Skup A ine dvocifreni brojevi iji je zbir cifara 4 , a skup B dvocifreni brojevi iji je proizvod cifara 4.Odredi: AB , AB , A\B i B\A .

    103.Ako je A = {x|xN0, 5x 3} , B = {x|xN i 5x 20} , odredi (A\B)(BA) .

    104.Ako je A\B = A , odredi AB .

    105.Odredi sve trolane podskupove skupa S , ako je S = AB , gdje je A = {x|xN , x ' 1 > 3} iB = {x|xN0, x

    2 36} .

    106.Odredi elemente skupova M , S i P , ako je: M = {x|xN i x 6} , S = {x|xN0, x < 4} iP = {x|xN0i 3 x < 10} . Nacrtaj Venov dijagram tih skupova i odredi:1) (MS)\(PS) = 2) P\(MSP) = 3) (MSP)\(P\M) =

    107.

    Skup A ima 20 elemenata , a skup B e0. Koliko najvie , a koliko najmanje elemenata moe imati:1) AB ; 2) AB ; 3) A\B ; 4) B\A ; 5) (AB)\A ; 6) (AB)B ; 7) (AB)A ;8) (AB)A .

    108.Odredi skup X ako je:

    1) {1, 2, 3}X = {1, 2, 3, 4} i X etverolani skup ; 2) {a, b, c, d}X = {X i X dvolani skup ;3) X\{1, 2, 3} = {5, 6} i X trolani skup .Koliko ima rjeenja svaki sluaj?

    109.Izrazi osjenene dijelove skupovnim operacijama.

    110.Ako je ABC = {x|xN i x 8} i AB = {x|xN i x < 6} , odredi C\(AB) .

    111.U jednom odjeljenju 18 uenika ima plave oi , 16 crnu kosu , a 10 prast nos. etiri plavooka uenikaimaju crnu kosu i prast nos , 1 crnokosi uenik ima prast nos a nema plave oi, 6 uenika sa prastimnosem ima plave oi, dok 5 crnokosi nema ni plave oi ni prast nos. Koliko uenika ima u tomodjeljenju?

    112.U jednoj koli u 24 odjeljenja izuavaju se tri jezika: ruski , francuski i engleski. U jednom odjeljenjuizuavaju se najvie 2 jezika , i takvih odjeljenja ima 9. U 4 odjeljenja ui se samo ruski, u 6 samofrancuski , u 15 odjeljenja ui se samo jedan jezik, a u 3 odjeljenja ui se engleski i francuski. Engleski iruski izuava 2 puta vie odjeljenja nego to ui ruski i francuski. Koliko odjeljenja ui koji jezik?