UNIVERZITET U SARAJEVU

EKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU

Seminarski rad

Tema:

Skupovi i operacije sa skupovima. Dekartov proizvod skupova.

Relacije i funkcije

Predmet : Matematika za ekonomiste

Studenti:

Prof. dr. Lejla Smajlović Damir Hodžić 68961

Asistent: Lamija Šćeta Mirza Hurić 70471

Haris Alispahić 69888

Denis Crvčanin 69777

Sarajevo, August, 2014.

SADRŽAJ

1. UVOD...............................................................................................................1

2. SKUPOVI..........................................................................................................2

2.1 Elementi, označavanje i određenost skupa...................................................2

2.2. Jednakost i nejednakost skupova................................................................3

2.3. Unija............................................................................................................4

2.4. Presjek.........................................................................................................5

2.5. Razlika skupa..............................................................................................6

2.6. Komplement skupa......................................................................................6

2.7. Uređeni par..................................................................................................7

2.8. Kartezijev proizvod.....................................................................................7

2.9. Konačni i beskonačni skupovi....................................................................8

3. FUNKCIJE........................................................................................................9

3.1. Pojam i osobine funkcije.............................................................................9

4. RELACIJE.......................................................................................................13

4.2 Grafovi...........................................................................................................14

4.3 Uređena relacija.............................................................................................15

5. ZAKLJUČAK.................................................................................................17

1

1. UVOD

Skup je osnovni pojam. Smatra se da je skup određen samo onda kada se za proizvoljan

element može sa sigurnošću reći da pripada ili ne pripada tom skupu. Skup se može opisati na

dva načina:

a) Daje se potpun spisak njegovih elemenata;

b) Daje se karakteristično svojstvo njegovih elemenata.

Tvorac teorije skupova je Georg Kantor, njemački matematičar, koji je prvi dao “opisnu”

definiciju skupa. Mnogi drugi matematičari su također pokušavali da definišu skup.

Po današnjem shvatanju, pojam skupa se ne definiše, već se usvaja intuitivno kao cjelina

nekih razičitih objekata. Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa. Postoje

skupovi sa konačno mnogo elemenata, koje nazivamo konačnim skupovima i skupovi sa

beskonačno mnogo elemenata, odnosno beskonačni skupovi.

Tako, na primjer, skup stanovnika u Bosni i Hercegovini predstavlja jedan konačan skup, dok

skup svih cijelih brojeva sadrži beskonačno mnogo elemenata.

Skup se uopšteno opisuje kao mnoštvo apstraktnih objekata a sama teorija se nalazi u osnovi

svih grana matematike koje se bave brojevima: algebra, matematička analiza, vjerovatnoća i

tako dalje.

2. SKUPOVI

2.1 Elementi, označavanje i određenost skupa

Skupove obično označavamo velikim slovima: A, B, C, …, X, Y, …, dok elemente skupa

označavamo malim slovima: a, b, c, …, x, y, ...

Ako se skup A sastoji od elemenata x, y, z, ... onda pišemo A = {x, y, z, ...}. Na ovaj način, tj.

nabrajanjem elemenata koji pripadaju skupu, mogu se predstaviti samo skupovi sa konačno

mnogo elemenata. Zato se skup obično zadaje nekom zajedničkom osobinom njegovih

elemenata. Dakle, pišemo A = {x│P(x)}, gdje je P(x) osobina koja karakteriše elemente x

skupa A.

2

Ako je k element skupa X, tu činjenicu ćemo označavati sa k∈X, a ako ne pripada skupu X,

označit ćemo sa k∉X. Oznake ćemo čitati: “k pripada skupu X” ili “k je element skupa X”.

Oznaku k∉X ćemo čitati kao “k ne pripada skupu X” ili kao “k nije element skupa X”.

Velikim slovima označavamo skupove kao što su:

N – skup svih prirodnih brojeva {1, 2, 3,...},

D – skup svih cijelih brojeva {...,-2, -1, 0, 1, 2,...},

Q – skup svih racionalnih brojeva {m/n : m – cijeli broj, n – prirodni broj},

I – skup svih iracinalnih brojeva,

R – skup svih realnih brojeva,

C – skup svih kompleksnih brojeva.

Isto tako i skupovi tačaka obilježavaju se na određeni način, i to:

E¹ - skup svih tačaka pravca,

E² - skup svih tačaka ravni,

E³ - skup svih tačaka prostora,

S¹ - skup svih tačaka kružnice.

Svaki skup tačaka zove se geometrijski lik, i to ravanski ako su tačke u ravni, a prostorni ako

su tačke u prostoru. Skup tačaka koje su elementi nekog pravca zove se kolinearni skup, a

skup tačaka koje su elementi neke ravni zove se komplanarni skup.

Sa znakom Ø označava se skup koji nema nijednog elementa i zove se prazan skup.

Skupovi se prikazuju grafički, crtežima ili tzv. Vennovim dijagramima. Kod Venovih

dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tačaka izvjesnih geometrijskih figura u ravni,

kao što su krugovi ili elipse, i oblasti u ravni koje nastaju presjecanjem tih geometrijskih

figura. Naredna slika predstavlja Venov diagram.

3

2.2. Jednakost i nejednakost skupova

Za skup A kažemo da je dio ili podskup skupa B, odnosno da je B nadskup skupa A,

ako je svaki element skupa A istovremeno i element skupa B.

A B <=> X A => X B

Relacija među skupovima se zove relacija inkluzije

ili sadržavanja.

A B ili B A

Za skup A kažemo da je jednak skupu B ako je svaki element skupa A ujedno i

element skupa B i obratno.

A = B <=> (X A <=> X B). Imamo da je A = B

<=> (A B B A).

Tada ti skupovi imaju iste elemente pa kažemo da su

identični i pišemo: A ≡ B.

Ako je A C i A ≠ C onda kažemo da je A pravi podskup skupa B i pišemo A C.

Uspoređujući skup A sa skupom C, kažemo da je

A pravi dio ili pravi podskup skupa C i pišemo: A

C ili C A

Za skup C kažemo, u ovom slučaju, da je

obuhvatniji od skupa A.

Svaki element x skupa A istovremeno je element

skupa C, ali u skupu C postoji barem jedan element x koji se ne nalazi u skupu A.

4

2.3. Unija

Unija predstavlja skup skupova A i B odnosno, predstavlja uniju svih elemenata skupa A i B

( A U B = {x│x A x B }).

Preciznije rečeno, pod unijom skupova podrazumijevamo novi skup koji se pojaviljuje, skup

C, i koji se sastoji od svih elemenata koji se nalaze u jednom od zadatih skupova. To se može

predstaviti kroz formulu koja glasi: C = A U B

Primjer sa slike; Skup A (3,6,9,1,4,7), Skup B (8,2,5,10,7,4,1); A U B (1,4,7)

2.4. Presjek

Presjek skupova A i B je skup svih elemenata (brojeva) koji pripadaju kako skupu A, tako i

skupu B (A ∩ B = {x: x A x B}).

Drugim riječima rečeno, presjek skupova je situacija kada se pojavljuje novi skup koji

isključivo sadrži elemete koji su zajdenički za oba primarna-zadana skupa.

Disjuktivni ili isključivi skupovi se javljaju kada je presjek skupova A i B prazan skup.

Presjek skupova

5

Primjer; Skup A (2,3,6,7,9,11,15), Skup B (1,4,5,7,8,11,15); Presjek ova dva skupa bi glasio

A ∩ B (7,11,15)

2.5. Razlika skupa

Razlika skupova predstavlja razliku skupova A i B, odnosno, razičitost svih elemenata u

skupu A, koji ne pripadaju skupu B.

A \ B = {x│x A x B},

A \ B = { x│x A ┐(x B)},

A \ B = { x A│ ┐(x B)}

Na slici možemo vidjeti proces dobijanja razlike skupova. Prva slika s lijeva predstavlja uniju

oba cjelokupna skupa. Druga slika s lijeva prestavlja razliku skupova (Zadani skupovi ostaju

simetrični). Treća slika predstavlja razliku između skupa B i skupa A, i na kraju, zadnja slika

predstavlja razliku skupova A i B i njihovi ostaci su simetrični.

2.6. Komplement skupa

Ako je A podskup skupa A B ; skup B\A se zove komplement skupa A u odnosu na skup B i

obilježava se: CB (A), tj. CB (A) = {x B │x A A B }.

6

Komplement skupa A = {3, 5}, u odnosu na skup B = {1, 2, 3, 4, 5} je skup:

CA = {1, 2, 4}

Ako je tačno određeno koji se skup traži u odnosu na komplement onda takav komplement

označavamo sa: CA ili .

Na osnovu gore navedene definicije možemo zaključiti da:

ako je i CA = {x : x B x A},onda je: A U CA = B, A ∩ CA = Ø, B \ A = CA

2.7. Uređeni par

Uređeni par; pojam koji je veoma važan u matematici pored skupa od dva elementa. Ova dva

pojma se veoma razlikuju kako u percipiranju tako i u razumijevanju i shvaćanju.

Skupove od dva elementa a i b u praksi najčešće označavamo sa velikom vitičastom

zagradom i pri tome važi pravilo komutativnosti da je {a,b} = {b,a}.

No, ukoliko skupove a i b označavamo malom zagradom, onda takav skup definiramo na

sljedeći način: (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Univerzum – sa bilo kojim skupovima da radimo možemo predpostaviti da su dio jednog

velikog skupa, univerzuma, i iz toga proizilazi da je Univerzum skup svih skupova, uopšte.

2.8. Kartezijev proizvod

Ukoliko imamo skup od od neka dva elementa, ta dva elementa naivamo par. Parom im

nazivamo samo u situaciji kada znamo koji je elemnt prvi u tom paru, a koji je drugi.

{a, b} ≠ (a, b), (a, b) ≠ (b, a), {a, b} = {b, a}

(x, y) : x – se zove prva projekcija, prva koordinata, apscisa ili prva komponenta,

y – se zove druga projekcija, druga koordinata, ordinata ili druga komponenta.

Možemo reći da su dva para uređena jedino ako su im jednake ordinate i apscise.

(x, y) = (a, b) <=> (x = a y = b)

(x, y) = (y, x) <=> x = y

(x, y) ≠ (y, x) <=> x ≠ y

7

Npr.

Ukoliko uzmemo dva skupa, skup A i skup B i okarakterišemo ih kao neprazne skupove.

Parovi koji je prva kordinata iz skupa A, a druga iz skupa B, a koji se nalaze među uređenim

parovima, nazivamo Dekartov skup.

A x B = {(x, y) │x A y B}

Skup A zove se prva projekcija ili područje definicije ili domen.

Skup B zove se druga projekcija ili područje vrijednosti ili kodomen.

Osobine operacija sa skupovima:

1) Idempotentnost

A U A = A, A ∩ A = A

2) Komutativnost

A ∩ B = B ∩ A, A U B = B U A

3) Asocijativnost

(A ∩ B)∩C = A∩(B ∩ C)

(A U B)UC = AU(B U C)

4) Distributivnost

(A ∩ B)UC = (AUC) ∩ (BUC)

(A U B)∩C = (A∩C) U (B∩C)

(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

(A U B) \ C = (A \ C) U (B \ C)

5) De morganovi zakoni

C (A ∩ B) = C(A) U C(B)

C (A U B) = C(A) ∩ C(B)

6) Involutivnost

C(CA) = A

2.9. Konačni i beskonačni skupovi

Za neki skup možemo reći da je beskonačan ako je u ekvivalenciji sa svojim pravim dijelom

(ako je ekvivalentan).

8

Skupovi mogu biti konačni ili beskonačni. Tako, na primjer, skup svih dvoznamenkastih

prirodnih brojeva ima 90 članova i zato je konačan. Skup svih prirodnih brojeva je

beskonačan.

Ako skup S sadrzi članove a , b , c i d i nema drugih elemenata, zapisujemo S = {a, b, c, d}.

Za beskonačne skupove ne možemo ispisati sve elemente, zbog čega ih drugačije

označavamo. Tako, na primjer, M = {n : n ∈ N, n 12} znači skup {12, 13, 14,...} , to jest

skup svih prirodnih brojeva većih od 11.

3. FUNKCIJE

Da bi opisao količinu u relaciji prema krivoj Gottfried Wilhelm Leibniz je 1694 godine uvo

novi matematički termin – Funkcije. uobičajena notacija za funkciju je f (x), koju je prvi

upotrebio švajcarski matematičar Leonhard Euler. Funkcije danas zovemo diferencijali.

3.1. Pojam i osobine funkcije

Funkcija je zavisnost jedne veličine od druge, npr. f (x) = y. Ovdje je f (x) funkcija jedne

promjenjljive x.

Definicija: Relacija f sa skupa A u skup B kojom se svakom elementu x iz A pridružuje tačno

jedan element y B zove se funkcija f : A → B (x A) ( ! y B) : f(x) = y

gdje je:

A – domen (definiciono područje),

B – kodomen (područje vrijednosti),

x – element x zove se orginal ili argument (nezavisno promjenljiva),

y – slika ili vrijednost (zavisno promjenljiva).

Postoji i više funkcija dvije, tri, u opštem slučaju n promjenjljivih (gdje je n prirodan broj).

Im (f ) = {f (x)│(x A)} – skup svih vrijednosti (slika funkcije) Im (f ) B

slika a) i slika b) su funkcije jer svaki element skupa A ima svoju sliku u skupu B.

9

Definicija:

Za binarnu relaciju ℓ A x B kažemo da je funkcija sa A u B

ako nema dva različita uređena para s istom prvom komponentom i ako joj je domena jadnaka

skupu A.

Definicija:

Ako je skup vrijednosti funkcije Im(f ) = B kažemo da je funkcija F

sirjektivna i kažemo da je F funkcija u B.

Ako je svaki element y iz B slika nekog x iz A, F je sirjekcija

tj. (y B) ( x B) : y = f(x)

Definicija:

Za funkciju f : A → B kažemo da je injektivna ako različitim

orginalima odgovaraju različite slike. tj. (x , x A) [x ≠ x

=> f(x ) ≠ f(x )],

(x , x A) [f(x ) = f(x ) => x = x ]

Definicija:

Funkciju koja je istovremeno sirjektivna i injektivna nazivamo

obostrano jednoznačna, bijektivna ili 1 – 1 funkcija. Sinonimi za

bijekciju su biunivoko preslikavanje ili obostrano jednoznačno preslikavanje.

Definicija: Funkcije f : A → B f : A → B su jednake ako i samo ako je A = A , B = B i

ako za svako x A vrijedi da je f(x) = f (x).

Definicija: Za funkciju f : A → B kažemo da je identična funkcija i

označavamo je sa i ako vrijedi: (x A) : f (x) = x.

10

Identična funkcija je bijekcija. Npr. Funkcija f : A → B (sa slike) je identiteta ili identično

preslikavanje.

Definicija:

Neka su date funkcije f : A → B g : B → C tada pod kompozicijom gof funkcije f sa

funkcijom g podrazumijevamo funkciju gof : A → C ; (gof) (x) = [g(f(x))] ; x A

Složena funkcija gof postoji ako je: Im (f ) B, Im (f ) D(g)

Operacija slaganja funkcija je asocijativna tj. vrijedi

ho(gof) = (hog)of ali nije komutativna fog ≠

gof,npr.

f : Z → Z f (x) = 2x

g : Z → Z g (x) = x² - 5

(gof) (x) = g [f (x)] = g (2x) = (2x)² - 5 = 4x² - 5

(fog) (x) = f [g (x)] = f [x² - 5] = 2 (x² - 5) = 2x² - 10  

Definicija: Ako funkcija f : E → F vrši preslikavanje tako da svakom elementu x E

pridružuje jedan te isti element y F, onda se funkcija zove konstanta.

sl.4

primjer:

Funkcija f : E → F (sl.4) je konstantna, jer je svakom

elementu domene E pridružen jedan isti element 4 iz

kodomene F,

tj. f (a)= f (b) = f (c) = f (d) = 4

Definicija:

Realne funkcije su one čije su domene i kodomene podskupovi skupa realnih brojeva.

Zadavanje funkcije:

a) Analitičko zadavanje funkcije

Analitičko zadavanje funkcija se može vršiti na dva načina: eksplicitno, u obliku jednakosti y

= f (x); i implicitno, u obliku jednakosti f (x, y) = 0. Funkcija f analitički je zadana ako je

zadan analtički izraz koji pokazuje kojim redom se operacije trebaju izvršiti sa svakom

vrijednošću nezavisno promjenljive x da bismo dobili odgovarajuću vrijednost funkcije y.

11

b) Grafičko zadavanje funkcije

Funkcija f : x│→ f (x), odnosno y = f (x) se može se predstaviti geometrijski u koordinatnom

sistemu.Takvo predstavljanje se sastoji u tome što svaki uređeni par (element funkcije) (a, b),

koji se sastoji od jedne vrijednosti (a) nezavisno promjenljive x i njoj odgovarajuće

vrijednosti (b) funkcije x, pri čemu je b = f (a), prihvata kao koordinate tačke u nekom

koordinatnom sistemu. Graf funkcije je skup G = {(x, f (x))│a E} gdje je E domen

funkcije f.

c) Tabelarno predstavljanje funkcije

y = f (x) sastoji se u tome što se neke vrijednosti nezavisno promjenljive

x i pripadne vrijednosti funkcije y unose u tabelu: Pri proučavanju nekih

pojava se rezultati eksperimentalnih mjerenja nekih veličina koje zavise

od drugih veličina unose u tabelu. U tim rezultatima se može naći i analitički izraz

funkcionalne zavisnosti tih veličina.

Definicija: Neka su A, A’, B, B’ neparni skupovi i f : A → B, f ‘: A’ → B’ zadane funkcije.

Za funkciju f ‘ kažemo da je restrikcija funkcije f ili suženje ako vrijedi:

A’ A, B’ B i f ‘(x) = f (x) za svako x A’.

3.2. Inverzna funkcija

Definicija: Neka je funkcija f : A → B bijekcija. Funkcija f ‾ ¹: B → A koja svakom elementu

y iz B pridružuje onaj element x iz A koji je funkcijom f prešao u y zove se inverzna funkcija

funkcije f.

f ‾ ¹: B → A : (f ‾ ¹(y) = x) <=> (y = f(x)) ; x A, y B.

Inverzna funkcija je takođe bijektivna

*Ako je funkcija zadana analitičkim izrazom y = f (x), njena se

inverzna funkcija može dobiti tako da nezavisna varijabla x i zavisna varijabla y zamijene

uloge te pišemo: x = f (y)

Teorema:

Ako je funkcija f : A → B bijekcija, onda postoji jedna i samo jedna bijekcija g : B → A sa

svojstvom da je (gof) (x) = x za svako x A.

12

Bijekciju g : B → A iz gornjeg teorema označavamo f ‾ ¹ i zovemo je inverzna funkcija

funkcije

F : A → B

Inverzna funkcija inverzne funkcije jednaka je polaznoj funkciji pa pišemo: (f ‾ ¹)‾ ¹ = f.

Ako funkcija f : A → B nije bijekcija, nego samo injekcija koja vrši preslikavanje iz A u B,

onda inverzna funkcija f ‾ ¹ preslikava sa S(f ) na D(f ) sa svojstvom da je:(f ‾ ¹o f ) (x) = x, za

svako x D(f). Grafovi funkcije f i njoj inverzne funkcije f ‾ ¹ su simetrični u odnosu na

pravu y = x.

4. RELACIJE

4.1 Binarne relacije

Ukoliko se odredi da su A i B neprazni skupovi, svaki podskup ℓ skupa A x B se zove

binarna relacija iz skupa A u skup B. Binarna relacija je skup čiji su elementi uređeni parovi.

Skup ℓ se još naziva “graf relacije iz A u B”.

Uređen par (x, y) ℓ piše se kao x ℓ y (x u relaciji sa y).

ℓ = {(x, y) A x B│x ℓ y}

Ako su dva elementa a A i B B u relaciji ℓ A x B onda se piše:

(a, b) ℓ ili a ℓ b - (element a je u relaciji ℓ s elementom b)

U uređenom paru, skup svih prvih komponenata neke binarne relacije ℓ se naziva domena ili

područje definicije binarne relacije ℓ. Skup svih drugih komponenata elemenata uređenih

parova binarne relacije ℓ naziva se slika binarne relacije.

Ako je domen neke relacije ℓ E x F jednak skupu E onda se kaže da je relacija ℓ iz skupa

E a ako je domen podskup skupa E onda kažemo da je relacija ℓ iz E.

Područje vrijednosti ili kodomena binarne relacije ℓ je svaki nadskup slike te binarne relacije.

Ukoliko je kodomen neke relacije ℓ E x F jednak skupu F onda znači da je relacija ℓ na F a

ukoliko je kodomen podskup skupa F onda kažemo da je relacija ℓ u skup F.

13

Za binarnu relaciju ℓ nepoznatog skupa A kažemo da je relacija ekvivalencije ili relacija

klasifikacije skupa ako zadovoljava sljedeće uslove:

a) Refleksivnost – za (x A) : (x, x) ℓ - svaki element iz skupa A je u relaciji sam sa

sobom,

b) Simetričnost – za (x, y A) : {(x, y) ℓ => (x, y) ℓ} - ako je x u relaciji sa y, mora

biti i y u relaciji sa x,

c) Tranzitivnost – za (x, y, z ℓ) : {[(x, y) ℓ (y, z) ℓ] => (x, z) ℓ}

Svaka refleksivna relacija sadrži dijagonalu dekartovog kvadrata, svaka simetrična relacija je

simetrična u odnosu na dijagonalu dekartovog kvadrata.

Ukoliko je A neki skup; relacija ekvivalencije na A, skup svih elemenata skupa A koji su u

relaciji sa a A zove se klasa ekvivalencije elementa A u skupu A te seobilježava sa.

Aa = {x A│x a}

Skup svih klasa ekvivalencije A / nekog skupa A čini particiju skupa A a zove se

kvocijentni ili faktorski skup (A / ).

4.2 Grafovi

Binarne relacije se mogu predstaviti uz pomoć geometrijskih figura koje se nazivaju

grafovima. Svaka binarna relacija ℓ, zajedno sa konačnim skupom X u kome je definisana,

definiše jedan graf koji se konstruiše na sljedeći način:

Sve elemente skupa X = {x , x , … , xn} predstavljamo međusobno različitim tačkama u

ravni ( ili prostoru), koje nazivamo čvorovima grafa. Ako je (x , x ) ℓ tačku koja

predstavlja čvor xi spajamo linijom sa tačkom koja predstavlja čvor xj. Ova linija se orijentiše

na crtežu strelicom u smjeru od (xi, xj) ℓ, te čvorovi xi i xj nisu na crtežu direktno

povezani. Grana koja spaja čvor sa samim sobom se zove petlja. U relaciji ℓ petlji odgovara

uređen par oblika (xi, xj).

Primjer:

Posmatramo relaciju djeljivosti cijelih brojeva u skupu X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Odgovarajući

graf je predstavljen na slikama 1 i 2.

sl.1 sl.2

14

Refleksivnim relacijama odgovaraju grafovi kod kojih je svakom čvoru pridodata petlja.

Na slici 3 kod simetričnih relacija za svaku granu koja vodi iz čvora xi prema čvoru xj postoji

u grafu i grana koja iz xj vodi u xi. (sl.4). Tranzitivne relacije karakterišu se strukturnim

detaljom koji je prikazan na (sl.4). Ukoliko postoji grana koja iz xi vodi u xj i ako postoji

grana koja iz xj vodi u xk , tada postoji i grana koja iz xi vodi u xk.

Sl. 3. Sl.4.

Za binarnu relaciju ℓ definisanu u skupu A može se reči da je antisimetrična ukoliko vrijedi:

za svako (x, y A) [(x, y) ℓ (y, x) ℓ] => x = y

(x, y) ℓ ≠> (y, x) ℓ ; (x ≠ y)

4.3 Uređena relacija

Relacija se zove relacija parcijalnog uređenja skupa S , a skup S parcijalno

uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna, tranzitivna i antisimetrična

Linearno (potpuno) uređen skup je parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa

uporediva.

Relacija je linearno uređena relacija samo ukoliko vrijedi:

a) refleksivnost: ,

b) antisimetričnost: onda je a = b,

c) tranzitivnost: ako je onda je i .

Neka je uređena relacija u skupu S. Ukoliko su „a, b“ elementi iz skupa S i vrijedi

kažemo da je „a“ predhodnik elementa „b“, a „b“ je sljedbenik elementa a s obzirom na

relaciju .

Neka je uređajna relacija u S i neka je A podskup od S. Ako u S postoji takav element

„m“ da za svako „a“ iz A vrijedi onda m nazivamo minoranta ili donja granica

skupa A.

15

Ukoliko postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi , onda M nazivamo majoranta ili

gornja granica skupa A.

Neka je uređajna relacija definisana na S i neka je A podskup od S. Skup svih minoranata

skupa A označimo sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q . Ako postoji max P,

onda se naziva infinim od A (označavamo inf A ) , a ako postoji min Q, zovemo ga supremum

označavamo supQ).

4.4 N-arna relacija

N-arna relacija ℓ u skupu X je svaki podskup skupa X .

Ukoliko je (a , a , …, an) ℓ, onda se može reči da su elementi a , a , …, an u relaciji ℓ.

Binarna relacija je specijalan slučaj n-arne relacije koji se dobije za n = 2.

Za n = 1 dobije se unarna relacija. Unarna relacija u skupu X je svaki podskup skupa X.

Za n = 3 dobije se ternarna relacija (ili trinarna) čiji se elementi uređene trojke.

16

5. ZAKLJUČAK

Glavna korist ovoga rada je ta što onaj ko ga bude čitao može razumjeti o čemu je zapravo

riječ. Skupovi kao pojam na prvi mah djeluju kao apstrakta i veoma komplikovana pojava, no

međutim nije tako. To su veoma prosti matematski sistemi i pojmovi za koje možemo reći da

se pojavljuju svakodnevno.

Također, rad bi trebao za potakne osobe koji se tek upoznaju sa ovim gradivom i barem im

djelimično „objasni“ šta su skupovi i kako oni „funkcionišu“.

Treba navesti da je pojam skupa, i općenito teorija o skupovima veoma široka i velika nauka i

kao takva zahtijeva duže i opširnije pisanje i istraživanje o istoj. Mi smo u ovom radu

pokušali u kratkom vremenu da objasnimo šta su skupovu, kako se upotrebljavaju i koja je

njihova glavna funkcija.

17

6. LITERATURA

1. B. Lučić, Matematika, Ekonomski fakultet Sarajevo

2. A. Chang, Matematika za ekonomiste

Internet:

1. Skupovi u matematici, izvor: http://bs.wikipedia.org/wiki/Skup_(matematika)

2. Skupovi brojeva, izvor: http://element.hr/artikli/file/1195

18