konveksni skupovi

Senada Čokić

KONVEKSNI SKUPOVI, KONVEKSNE FUNKCIJE I UOPŠTENJA

- diplomski rad -

Novi Sad, 2007.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI

FAKULTETDEPARTMAN ZA INFORMATIKU I

MATEMATIKU

Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja

PREDGOVOR

Motivacija za ovaj rad bila je ta da se opiše značaj konveksnosti, tačnije

konveksnih skupova, konveksnih funkcija, njihova uopštenja i njihova primena u

ispitivanju ekstrema.

Na samom početku izložene su oznake, osnovne definicije, teoreme i osobine

topološke strukture skupa R koje će se koristiti. Nakon toga date su definicije i osnovne

osobine konveksnih skupova i njihova primena u ispitivanju ekstremnih tačaka. U

narednom poglavlju dat je pregled konveksnih funkcija. Na kraju ovog diplomskog rada

data su uopštenja konveksnih skupova i konveksnih funkcija.

Zahvaljujem se svim profesorima i asistentima, posebno mom mentoru prof. dr

Ljiljani Gajić, na svemu što su me naučili.

Novi Sad, 2007. Senada Čokić

2


SADRŽAJ

1. Uvod.....................................................................................................................4

2. Topološka struktura skupa R................................................................................5

2.1 Definicija i osnovne osobine.........................................................................5

2.2 Kompaktnost u R...........................................................................................8

2.3 Metrička struktura skupa R i skupa Rn..........................................................9

3. Konveksni skupovi.............................................................................................12

3.1 Definicije i osnovne osobine konveksnih skupova.....................................12

3.2 Ekstremne tačke..........................................................................................17

4. Konveksne funkcije............................................................................................21

4.1 Poluneprekidnost, teorema Vajerštrasa i uopštenja.....................................21

4.2 Definicije i osnovne osobine.......................................................................26

5. Uopštenja pojma konveksnosti...........................................................................33

5.1 Za konveksne skupove................................................................................33

5.2 Za konveksne funkcije................................................................................33

6. Zaključak............................................................................................................37

7. Literatura............................................................................................................38

8. Biografija............................................................................................................39

3


1.Uvod

Konveksnost je jedan od najznačajnijih pojmova u mikroekonomiji. U teoriji izbora potrošača bez konveksnosti skupa preferencija funkcije ponude i tražnje nisu neprekidne, pa konkurentno tržište u opštem slučaju, nema ravnotežnu tačku. Interpretacija konveksnosti skupa preferencija u teoriji potrošača (konzumenta) je opadajuća stopa prinosa pri zameni jednog proizvoda drugim.Pretpostavimo da potrošač kupuje dva proizvoda, a i b. Kriva indiferentnosti predstavlja geometrijsko mesto tačaka raspodele potrošnje proizvoda a i b koje obezbeđuju isti nivo zadovoljenja potreba. Krive indiferentnosti imaju sledeća svojstva:

1. opadaju sa leva na desno2. konveksne su u odnosu na kordinatni početak3. ne seku se4. kriva koja je „više udaljena“ od koordinatnog početka predstavlja viši nivo

zadovoljenja potreba (utiliteta)

Slika 1. Krive indiferentnosti

Osenčenu oblast čini potrošnja sa većim nivoom utiliteta u odnosu na nivo definisan „najvišom“ krivom indiferentnosti. U nastavku će biti dokazano da se svaka dva disjunktna skupa mogu razdvojiti sa hiperravni. Ovo značajno svojstvo se koristi za decentralizaciju sistema cena pri monopolskoj konkurenciji. Štaviše, većina najkorisnijih rezultata matematičkog programiranja i teorije dualnosti ne važi bez pretpostavke konveksnosti.

4

Slika 2. Maksimalna proizvodnja dva artikla

omeđuje konveksan skup.Posledice ove činjenice su

značajne u teoriji ravnoteže.


2. Topološka struktura skupa R

U ovom poglavlju uvodimo osnovne pojmove koji su neophodni za dalji rad.

2.1 Definicije i osnovne osobine

Definicija Okolina tačke xoR je svaku podskup skupa R koji sadrži otvoren interval koji sadrži

tačku xo.

Drugim rečima, R je okolina tačke xo ako postoji interval (a,b) tako da je xo (a,b) . Prema tome, važi sledeća teorema:

TeoremaOtvoren interval (a,b) je okolina svake svoje tačke.

Za svako > 0 skup oblika (xo- , xo+ ) je okolina tačke xo. Okoline ovog oblika nazivaju se - okoline tačke xo i označavaju sa (xo ; ). Sa druge strane, svaka okolina

tačke xo sadrži neku - okolinu tačke xo (recimo za ). Iz ovog

razmatranja sledi definicija koja je ekvivalentna prethodnoj definiciji.

DefinicijaOkolina tačke xo R je svaki podskup skupa R koji sadrži - okolinu tačke xo za neko

> 0.

Definicija *Otvoren skup je skup koji je okolina svake svoje tačke.

PrimerNa osnovu gore navedene teoreme svaki otvoren itnerval (a , b) je otvoren skup. Otvoreni skupovi su i otvoreni intervali oblika (a, + ) i (- , b).

Teorema *Označimo sa skup svih otovrenih podskupova skupa R. Tada važi:

1. skup R i prazan skup pripadaju ,,2. presek dva elementa iz je takođe u ,3. svaka unija elemenata iz je u . .

5


NapomenaKao posledicu ove teoreme, dobijamo da su otvoreni skupovi u R otvoreni intervali (bilo ograničeni ili neograničeni) i njihove proizvoljne unije.

DefinicijaNeka je X neprazan skup, a podskup partitivnog skupa (X) sa osobinama:

1. skup X i prazan skup pripadaju skupu ;2. presek dva elementa iz je takođe u 3. svaka unija elemenata iz je u .

Elementi skupa su otvoreni skupovi, (X , ) je topološki prostor sa topologijom definisanom skupom .

Ako se setimo Teoreme* skup R relanih brojeva sa skupom otvorenih skupova u smislu Definicije* je topološki prostor. Ovako definisana topologija naziva se uobičajena topologija na R.

DefinicijaZatvoren skup je skup čiji je komplement otvoren skup.

TeoremaNeka je skup svih zatvorenih podskupova skupa R. Tada važi

1. skup R i prazan skup pripadaju skupu 2. unija dva elementa iz je u 3. svaki presek elemenata iz je u .

DefinicijaTačka je unutrašnja tačka skupa A ako postoji > 0 tako da je

.

DefinicijaSkup svih unutrašnjih tačaka skupa naziva se unutrašnjost skupa A i

obeležava sa .

Napomena

Iz definicije direktno sledi da je .

DefinicijaTačka b R je adherentna tačka skupa ako svaka okolina tačke b sadrži bar

jednu tačku skupa A tj. za svako > 0 je

DefinicijaSkup svih adherentnih tačaka skupa A naziva se adherencija (zatvaranje) skupa A i

obeležava sa .

6


DefinicijaTačka cR je tačka nagomilavanja skupa ako svaka okolina tačke c sadrži bar jednu

tačku skupa A različitu od C, tj. za svako > 0 je

( ) .

Možemo zaključiti da je svaka tačka nagomilavanja skupa A i adherentna tačka supa A, dok obrnuto ne važi.

TeoremaTačka cR je tačka nagomilavanja skupa A ako i samo ako svaka okolina tačke c

sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa A.

TeoremaPodskup je zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja.

DefinicijaTačka e R je rubna tačka skupa ako svaka okolina tačke e sadrži bar jednu

tačku skupa A i bar jednu tačku komplementa skupa A. Skup svih rubnih tačaka skupa A naziva se rub skupa A i označava sa Fr(A).

DefinicijaTačka d je izolovana tačka skupa A ako postoji okolina tačke d u kojoj nema

drugih tačaka skupa A sem tačke d tj. postoji > 0 tako da je

Topološku strukturu sa R proširićemo na tako što ćemo pod okolinom tačke + smatrati svaki skup koji sadrži skup oblika

, za neko ,

a okolinom tačke - svaki nadskup skupa oblika

za neko .

Sada možemo definisati topološke pojmove i na .

Za proizvoljno > 0 skup naziva se leva - okolina tačke x, a skup

desna - okolina tačke x.

Skup R sa uobičajenom topologijom ima sledeće, za dalja ispitivanja veoma važno svojstvo:

7


TeoremaZa svake dve različite tačke u R postoje njihove disjunktne okoline.

NapomenaTopološki prostori u kojima svake dve različite tačke imaju disjunktne okoline nazivaju se Hausdorfovi. Dakle, R je Hausdorfov topološki prostor.

Teorema (Bolcano-Vajerštraova teorema)Svaki beskonačan i ograničen podskup A skupa R ima bar jednu tačku nagomilavanja

u R.

2.2 Kompaktnost u R

DefinicijaPodskup je kompaktan skup ako je zatvoren i ograničen.

TeoremaPodskup je kompaktan ako i samo ako svaki njegov beskonačan podskup ima

bar jednu tačku nagomilavanja koja pripada skupu K.

TeoremaKompaktan skup sadrži svoj infimum i supremum tj. ima minimalan i maksimalan

elemenat.

Definicija

Familija skupova = i je pokrivač skupa ako svaki elemenat

skupa A pripada bar jednom članu te familije, tj. ako važi da je i.

Ako su svi skupovi i otvoreni, tada se familija zove otvoren pokrivač skupa A.

DefinicijaPodskup ima Hajne-Borelovu osobinu ako svaki otvoren pokrivač skupa A ima

konačan potpokrivač.

To znači da ako familija otvorenih skupova i pokriva skup A tj.

i, postoji konačan broj skupova te familije i1, i2,...,in takvih da je ik.

TeoremaInterval a,b, a,bR ima Hajne-Borelovu osobinu.

8


TeoremaPodskup je kompaktan ako i samo ako ima Hajne-Borelovu osobinu.

2.3 Metrička struktura skupa R i Rn

DefinicijaMetrički prostor je uređen par (M,d) gde je M neki neprazan skup, a

preslikavanje sa osobinama da za svako x,y,zM važi:1. d(x , y) 0, d(x , y) = 0 x = y ,2. d(x , y) = d (y , x) ,3. d(x , y) d (x , z) + d(z , y) (nejednakost trougla).

Funkcija d naziva se metrika a broj d( x , y) rastojanje tačaka x i y.

DefinicijaOtvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnika r, r > 0 je skup

L ( x; r) = yM d(x,y) < r

Svaka metrika indukuje topologiju na skupu M u kojoj su otvoreni skupovi oni koji sa svakom svojom tačkom sadrže i otvorenu loptu sa centrom u toj tački (tj. koji su unija otvorenih lopti).

Ako posmatramo skup R realnih brojeva kao metrički prostor sa metrikom d(x , y) = x - y, x,yR, otvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnika r dobija oblik L (x ; r ) = yR x - y < r = yRx - r < y < x + ršto znači da je ta otvorena lopta u R interval, da je to -okolina tačke x za = r i da je -okolina tačke x zapravo skup svih tačaka koje su od tačke x na rastojanju manjem od r.

Slika 3 Otvorena lopta u R

Dakle, bez obzira da li topologiju na R definišemo preko -okolina ili preko metrike d dobijamo istu topologiju.

9


Kao što znamo, rastojanje dve tačke i je realan broj koji se

izračunava po formuli

Na ovaj način definisana funkcija je metrika. Sa ovako definisanom metrikom je metrički prostor u kome su otvorene lopte krugovi (bez ruba) sa centrom u datoj tački i datog poluprečnika.

Slika 4 Otvorena lopta u

U sa običajenim rastojanjem dve tačke, naziv otvorena lopta postaje opravdan.

Najznačajniji primer metričkog prostora potreban za ovaj rad je sa euklidskom

metrikom .

Definicija

Struktura X je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ( R , + , · ) ako je

( X, + ) komutativna grupa i ako je definisano preslikavanje R , tako da za

svako , važi

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

pri čemu je slika para označena sa .

Neophodno je još navesti definicije normiranog prostora i skalarnog proizvoda.

10


Definicija

Mera rastojanja od referentne tačke u vektorskom prostoru X određuje se normom.

Prostor (X, ) je normiran ako preslikavanje ispunjava sledeće uslove:

1. ,

2. ,

3. .

Svaki normiran prostor je metrički, jer normom možemo definisati metriku na sledeći

način: . Kažemo da je metrika indukovana normom .

U opštem slučaju, metrički prostor nije normiran.

Napomena

Algebarska i topološka struktura u normiranom prostoru su saglasne jer su + i skalarno

neprekidne operacije.

Ako je normiran prostor (X, ) kompletan, onda se on zove Banahov prostor.

Definicija

U vektorskom prostoru X nad poljem realnih brojeva, preslikavanje

za koje važi

1.

2. ,

3. ,

naziva se skalarni proizvod. Skalarni proizvod indukuje normu na sledeći način

, .

Vektorski prostor (X, ) zove se predHilbertov prostor, ali i unitarni vektorski prostor.

Ako je on kompletan, onda se zove Hilbertov prostor.

Primer

Prostor ( ) je kompletan, normiran, metrički vektorski prostor sa skalarnim

proizvodom

11


3. Konveksni skupovi

3.1 Definicije i osnovne osobine konveksnih skupova

DefinicijaNeka je , gde je X vektorski prostor. Skup A je konveksan ako za sve x, y A i

sve (0,1) važi x + (1- ) y ADefinicija

Neka je dato m tačaka x1,x2,...,xm vektorskog prostora X. Tačka je

konveksna kombinacija tačaka x1,x2,...,xm ako je k 0 za sve k = 1,...,m i .

PrimeriNavodimo par primera konveksnih skupova:

1. Prazan skup, čitav , kao i skup koji se sastoji od jedne tačke su konveksni.Ako skup sadrži više od jedne tačke i bar jednu izolovanu tačku, on ne može biti konveksan.U kružnica nije, a lopta jeste konveksan skup.

2. Za fiksiran ne-nula vektor c IRn i broj , hiperravan Hc, se definiše sa

Hiperravni u su tačke, u prave linije, a u ravni. Takođe važi da je hiperravan konveksan skup. Ovu činjenicu ćemo i pokazati:

Neka su x,yHc, . Tada iz

sledi

Skupovi

i

zovu se otvoreni poluprostori, koje ćemo takođe zvati i gornji, odnosno donji poluprostor respektivno.

12


Njihova zatvaranja

su zatvoreni poluprostori.

Otvoreni poluprostori i zatvoreni poluprostori su konveksni.

3. Za zadatu matricu A formata m n i vektor b , linearna mnogostrukost

definisana sa je konveksan skup

4. Klasa neprekidnih funkcionela f nad a,bR za koje je f(x) 1, xa,b je konveksan skup u vektorskom prostoru C a,b svih neprekidnih funkcionela nad a,b.

Naredne teoreme dovode u vezu svojstva konveksnih skupova sa njihovom topološkom strukturom.

TeoremaZatvaranje konveksnog skupa je konveksan skup.

DokazNeka a,b , gde je A konveksan skup. Tačke a i b ne mogu biti izolovane, pa su one tačke nagomilavanja skupa A. To znači da postoje nizovi elemenata skupa A, akbk koji konvergiraju tačkama a i b respektivno. Za dato (0,1) i svako kN važi ak + (1 - )bk Aza niz elemenata ck: = ak + (1 - )bk , kN

Prema tome, a + (1 - )b je tačka nagomilavanja skupa A, pa konveksna kombinacija a + (1 - )b što je i trebalo dokazati.

13


U vektorskom prostoru X, otvoreni, poluotvoreni i zatvoreni intervali (duži) se definišu na običajen način.

Na primer, za zadate tačke (krajeve intervala) x i y, važi

odnosno

slično se definišu (x,y), x,y i (x,y.

Sledeća teorema pokazuje da se proizvoljnom elementu zatvaranja konveksnog skupa neprazne unutrašnjosti možemo „približiti“ pomoću unutrašnjih tačaka posmatranog skupa.

Teorema *Neka je A konveksan skup neprazne unutrašnjosti.Tada za proizvoljne x0 i y

važi x0 , y) .

DokazPošto je x0 unutrašnja tačka skupa A sledi da postoji > 0 tako da je L(x0) A. Neka je, za proizvoljno (0,1) z: = (1 - )x0 + yPokazaćemo da proizvoljna tačka z0 L(1-)(z) pripada skupu A. U svakoj okolini tačke y

postoje elementi skupa A, pa ako definišemo: , sledi da postoji

odnosno .

Posmatramo sada rastojanje tačke z0 od tačke (1 - )x0 + y0:

Odavde, deljenjem sa 1 - dobijamo

odnosno .

Dakle, sada imamo dve tačke, i y0 konveksnog skupa A. Njihova

konveksna kombinacija je z0:

pa je tvrđenje dokazano.

14


TeoremaUnutrašnjost konveksnog skupa je konveksan skup.

Dokaz.Primenom prethodne teoreme sledi direktno, jer je .

Teorema

Neka je A konveksan skup neprazne unutrašnjosti. Tada je i

Dokaz

Unutrašnjost nekog skupa je uvek njegov podskup, pa je . Dokažimo obrnutu

inkluziju. Neka je i x0 proizvoljna tačka iz . Iz Teoreme* sledi da

x0 , y) , pa je y tačka nagomilavanja skupa , odnosno y .

Takođe, svaki skup je podskup svog zatvaranja, pa je . Za obrnutu inkluziju

dajemo „intuitivni“ dokaz, koji se oslanja na primenu teoreme*. Pretpostavimo da je y

) i neka je x0 proizvoljna tačka iz . Označimo sa p(x0 , y) pravu koja prolazi kroz

tačke x0 i y:

Iz y sledi da > 0 tako da je L(y) A, pa je i . Neka je z tačka

preseka kružnice i prave p(x0, y) koja ne pripada duži x0 , y. Jasno, tada važi

y(x0 , z). Iz Teoreme * sledi x0 , z) , pa y , što je i trebalo dokazati.

Napomena

U opštoj topologiji otvoren skup sa osobinom naziva se regularno otvoreni,

a zatvoreni sa osobinom = A regularno zatvoreni. Dakle, otvoreni konveksni

skupovi su regilarno otvoreni, a zatvoreni konveksni skupovi su regularno zatvoreni.

U primenama se često javljaju skupovi koji nisu konveksni. Da bismo bili u mogućnosti da iskoristimo znanja o konveksnim skupovima, posmatraćemo konveksni skup koji je, u izvesnom smislu „najbliži“ datom skupu i ispitati njihov međusobni odnos.

15


DefinicijaNeka je , gde je X vektorski prostor. Presek svih konveksnih skupova koji

sadrže skup A naziva se konveksni omotač (obvojnica) skupa A i označava sa coA.

Naravno, konveksni omotač nekog skupa je konveksan skup, a ako je posmatrani skup konveksan, on je jednak svom konveksnom omotaču.

PrimerKonveksni omotač skupa x1,x2, gde su x1,x2 , je duž koja ih spaja, a konveksni

omotač tri nekolinearne tačke u je trougao čija su temena date tačke, uključujući njegovu unutrašnjost. Konveksni omotač konačnog broja tačaka u ravni je odgovarajući mnogougao.

Za proizvoljne skupove A,B direktno se pokazuje da važi1. A coA ,2. A B coA coB ,3. co (coB) = coA .

DefinicijaNeka je dato m+1 tačaka u , x0, x1,...,xm takvih da su vektori (xk-x0), k=1,...,m

linearno nezavisni. Konveksni omotač datih tačaka zove se m dimenzioni simpleks i označava se sa Sm.

Teorema (Karateodorijeva teorema)Neka je . Tada se svaka tačka xcoA može prikazati kao konveksna

kombinacija najviše (n+1) elemenata skupa A.

TeoremaKonveksni omotač otvorenog skupa je otvoren skup. Konveksni omotač zatvorenog

skupa ne mora biti zatvoren skup.

DokazNeka je A neprazan otvoren skup u . Naravno, A coA, pa je A = (coA) . Dakle, konveksan skup je sadržan u unutrašnjosti svog konveksnog omotača. Sa druge strane, (coA) je konveksan. Pošto je coA presek svih konveksnih skupova koji sadrže skup A sledi coA (coA) . Obratna inkluzija je uvek tačna, pa je coA = (coA) , što je i trebalo dokazati. Pokažimo primerom da konveksni omotač zatvorenog skupa ne mora biti zatvoren skup. Skup

je zatvoren u (lako se pokazuje da je njegov komplement otvoren skup). Njegov

16


konveksni omotač

c0U= >0 ,

nije zatvoren skup jer ne sadrži tačke nagomilavanja oblika (x,0), x > 0.

TeoremaZatvoren konveksni omotač skupa A je najmanji zatvoren i konveksan skup koji sadrži

skup A, u oznaci .Važi konveksni omotač skupa A je zatvoren konveksni omotač

skupa A tj. coA je .

DokazJasno, . Sa druge strane, po definiciji je coA , pa važi , što

znači da je = .

3.2 Ekstremne tačke

U ovom poglavlju posmatraćemo posebne tačke konveksnih skupova, ekstremne tačke, i pokazati da se njihova konveksna obvojnica poklapa sa datim konveksnim skupom.

DefinicijaTačka x0 konveksnog skupa je ekstremna tačka tog skupa ako ne postoje tačke

x,y K, x y, ni t (0,1) takve da je x0 = (1 - t)x + ty.

Ekstremna tačka, dakle, ne pripada nijednom intervalu čije su krajnje tačke u K. Jasno, unutrašnja tačka skupa nikad nije ekstremna tačka tog skupa. Mi ćemo pokazati da svaki neprazan, konveksan i kompaktan podskup skupa ima ekstremnu tačku.

Definicija

17

Slika 5. Trougao ima tri

ekstremne tačke. Sve tačke

na rubu zatvorene lopte su

njene ekstremne tačke.


Neka je K neprazan konveksan podskup u . Podskup A K je ekstremni

(pod)skup skupa K ako i samo ako iz a,b K i sledi a,b A.

LemaNeka je K neprazan konveksan podskup u . Presek proizvoljne familije ekstremnih

podskupova skupa K je ili prazan skup ili ekstremni podskup skupa K.

Dokaz

Pretpostavimo da je , gde je familija ekstremnih podskupova skupa

K. Tada za svako važi: a,b K i iz sledi da a,bA. Kako je

iz sledi da a,bA, za svako

, pa je a,b , te je ekstremni skup skupa K.

LemaNeka je K neprazan konveksni podskup u i neka je A jednočlan ekstremni podskup

skupa K. Tada je (jedini) element skupa A ekstremna tačka skupa K.

DokazNeka je A=a. Ako a nije ekstremna tačka skupa K onda postoje k1,k2K i t(0,1) tako da važi a = (1-t) k1 + k2. Tada (k1, k2) A, pa k1, k2 A, što je kontradikcija. Dakle, ako je ekstremni skup jednočlan onda je ta tačka ekstremna tačka. Lema

Neka je K neprazan konveksan podskup u i neka je A konveksan ekstremni podskup skupa K. Ako je skup B ekstremni podskup skupa A onda je B i ekstremni podskup skupa K.

DokazNeka k1 ,k2 K i (k1, k2) B . Pošto B A, sledi (k1, k2) A , pa, kako je A ekstremni skup skupa K važi k1, k2 A. Sada, iz činjenice da je B ekstremni skup skupa A sledi da k1, k2 B, odnosno, B je ekstremni skup skupa K.

18


U dokazu sledeće leme, koristiće se sledeće činjenice teorije skupova:

o Relacija „biti podskup“ je relacija poretka, pa u familiji skupova imamo parcijalno uređenje ( , c).

o Minimalni elemenat parcijalnog uređenja ( , c) je A ako ne postoji skup B takav da je B A, B A

o Podfamilija je lanac ako i samo ako za svako A1 , A2 važi A1 A2 ili A2 A1.

o Kolekcija skupova ima svojstvo konačnog preseka ako je presek svake njene konačne potkolekcije neprazan skup.

o Lema Corna glasi: Ako je ( , c) parcijalno uređenje u kojem svaki lanac ima donje ograničenje onda u postoji minimalni element.

LemaNeka je K neprazan, konveksan i kompaktan skup u i neka je familija zatvorenih,

konveksnih i nepraznih ekstremnih podskupova skupa K. Tada familija ima minimalni element.

Dokaz jer K . Posmatrajmo proizvoljan lanac u . On je „rastući“ ili „opadajući“. Ako je A1 A2 ... onda je A1 njegovo donje ograničenje i minimalni element, to jest A1 =

. Posmatrajmo sada „opadajući“ lanac A1 A2 .... Za ma koji konačan skup

indeksa 1 , 2 , ... , m važi A1 A2 .... Am, pa je Am donje ograničenje ove podfamilije. Iz svojstva kompaktnosti sledi da je presek čitave familije A1 A2 ... neprazan i da je on element familije . Dakle, svaki lanac u ima donje ograničenje, pa na osnovu leme Corna sledi da i čitava familija ima minimalni element. Zaključak

Za dati neprazan, konveksan i kompaktan skup postoji minimalni ekstremni podskup skupa K koji je neprazan, zatvoren i konveksan.

TeoremaNeka je K neprazan, konveksan i kompaktan u . Skup K ima ekstremnu tačku.

Teorema (Krein - Milman)Neka je K neprazan, konveksan i kompaktan skup u i neka je B skup njegovih

ekstremnih tačaka. Tada važi K = . Teorema

Neka je A neprazni podskup skupa i neka je f linearna funkcionela nad A.

19


a) ako je x0 tačka strogog minimuma funkcije f nad A onda je x0 ekstremna tačka skupa A.

b) ako je A konveksan i kompaktan, a f neprekidna, onda se među tačkama minimuma funkcionele f nalaze ekstremne tačke skupa A.

Dokaza) Neka je f(x0) < f(x), x A. Ako x0 nije ekstremna tačka skupa A onda postoje

a1, a2 A i t (0,1) tako da je x0 = t a1 + (1 - t) a2. Tada je f (x0) = t f(a1) + (1 - t) f(a2) > t f(x0) + (1 - t) f(x0) = f(xo), što je kontradikcija. Dakle, x0 je ekstremna tačka skupa A.

b) Označimo sa B skup tačaka minimuma funkcionele f nad A. Iz linearnosti funkcionele f i konveksnosti skupa A sledi da je B konveksan skup. Iz neprekidnosti funkcionele f i zatvorenosti skupa A sledi da je B zatvoren skup. Jasno, B je kompaktan pa on, na osnovu prethodne teoreme ima ekstremnu tačku, označimo je sa x0. Preostaje da pokažemo da je x0 ekstremna tačka skupa A.Ako x0 nije ekstremna tačka skupa A onda postoje tačke x1,x2 A, x1 x2 i postoji broj t (0,1) tako da važi x0 = t x1 + (1 - t) x2. Tada, izf(x0) f(x1) i f(x0) f(x2) sledi f(x0) = tf(x1) + (1 - t) f(x2) t f(x0) + (1 - t) f(x2), odnosno (1 - t) f(x0) (1 - t) f(x2) pa je f(x0) = f(x2).

Slično se pokazuje da je i f(x0) = f(x1). Odavde x1, x2 B, pa njihova konveksna kombinacija x0 ne može biti ekstremna tačka skupa B. Ovo je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom o x0 .

NapomenaNa prethodnoj teoremi se zasnivaju metode linearnog programiranja koje se, kao što je

poznato, koriste u teoriji upravljanja i pri rešavanju raznih ekonomskih problema. Na primer, optimalna raspodela resursa je jedan od problema koji su zajednički za teoriju upravljanja i za ekonomiju.

20


4. Konveksne funkcije

Pre nego što pređemo na definisanje konveksnih funkcija i njihovih osobina potrebno je osvrnuti se na pojam poluneprekidnosti, teoremu Vajerštrasa i njenim uopštenjima.

4.1 Poluneprekidnost, teorema Vajerštrasa i uopštenja

Osnovna teorema Vajerštrasa kaže da neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom dostiže svoj infimum i supremum. Cilj ovog poglavlja je da se pokaže na koji način se uslov neprekidnosti može zameniti slabijim uslovom poluneprekidnosti.

Definicija Tačka u* U je tačka apsolutnog (globalnog) minimuma funkcionele J nad skupom

U d ako je J(u*) J (u) za sve u U. Veličina J(u*) naziva se minimalna vrednost funkcionele J nad U. Skup svih tačaka minimuma ćemo označavati sa U*. Tačka u* U je tačka lokalnog minimuma funkcionele J nad skupom U ako postoji r > 0 tako da je J(u*) J(u) za sve u U Lr(u*).

Podsetimo se, funkcionela J je ograničena sa donje strane na skupu U d ako postoji M tako da je J(u) M za sve uU. Funkcionela J nije ograničena sa donje strane na U ako i samo ako postoji niz ukkN, ukU, kN, tako da važi

Neka je . Ako funkcionela J nije ograničena sa donje strane na U onda je

J* = -. Dakle, J* > - ako i samo ako važi

1) J* J(u), za sve u U,

2) > 0, uk U tako da važi J(u) < J* + .

Primetimo, ako je U* onda je .

DefinicijaNiz ukkN, uk U, k N je minimizirajući niz funkcionele J nad U ako važi

.

21


Na osnovu definicije infimuma sledi da minimizirajući niz funkcionele J nad skupom U uvek postoji.

DefinicijaPretpostavimo da je niz realnih brojeva ukkN ograničen sa donje strane. Broj a je

limes inferior tog niza, u oznaci , ako važi

1. postoji barem jedan podniz tog niza, ukmmN koji konvergira ka a ,2. ne postoji tačka nagomilavanja tog niza koja je manja od a.

Drugim rečima, ako i samo ako za svako > 0

1. postoji N N tako da je uk > a- za sve k > N ,2. za sve m N, postoji km N tako da je ukm a + .

Naravno, i ovde se nejednakosti posmatraju po koordinatama. Ako posmatrani niz nije ograničen sa donje strane, onda je po definiciji, njegov limes inferior jednak sa -, a ako

je onda je i

DefinicijaData je funkcionela J nad nepraznim skupom U . Funkcionela J je

poluneprekidna odozdo (sa donje strane) u tački uU ako za svaki niz ukkN koji

konvergira ka u i važi . Funkcionela J je poluneprekidna odozdo na skupu

U ako je poluneprekidna odozdo u svakoj tački tog skupa.

Analogno se definiše poluneprekidnost odozgo (sa gornje strane).

Definicija

Data je funkcionela J nad skupom U. Skup nazivamo

Lebegovim skupom funkcije J.

LemaNeka je U zatvoren podskup u . Potreban i dovoljan uslov da J : U bude

poluneprekidna odozdo na U je da su svi Lebegovi skupovi M, , funkcije J nad U zatvoreni.

Šta više, ako je J poluneprekidna odozdo na U onda je skup u* tačaka minimuma funkcije J nad U zatvoren skup.

22


TeoremaNeka je U neprazan i kompaktan podskup od i nekaje J : X poluneprekidna

sa donje strane na U. Tada važi

1. J*= ,

2. Skup u* = je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz

konvergira ka U* .

DokazPokazaćemo istovremeno prvi deo tvrđenja i U* . Znamo da minimizirajući niz uvek

postoji. Neka je unnN U proizvoljan minimizirajući niz, to jest neka je .

Pošto je U kompaktan, sledi da postoji konvergentan podniz posmatranog niza.

Neka je granica tog podniza označena sa u.Iz poluneprekidnosti funkcije J sledi

Jasno J* J(u0) uvek važi. Ovim je dokazan prvi deo tvrđenja i u* .Pokažimo da je U* kompaktan skup, odnosno da svaki niz njegovih elemenata sadrži

konvergentan podniz čija granica pripada U*. Neka je proizvoljan niz. Kao

niz elemenata kompaktnog skupa U on sadrži konvergentan podniz koji

konvergira u U. Neka je granica tog podniza u0. Jasno, J(unk)=J*, a iz poluneprekidnosti

funkcije J sledi . Odavde je J(u0) = J*, odnsono u0 , što je i

trebalo pokazati.

Preostaje još da pokažemo da svaki minimizirajući niz konvergira ka skupu

tj.

Jasno, d (un , ) 0, pa je i .

Neka je a:= . Jasno, postoji podniz kojim se dostiže a,

odnosno, . Iz kompaktnosti skupa U iz tog podniza možemo izdvojiti

konvergentan podniz . Neka je . Iz poluneprekidnosti funkcije J

sledi

(jer posmatramo podniz podniza minimizirajućeg niza), pa U. Iz neprekidnosti

funkcije rastojanja tačke od skupa sledi

jer . Sa druge strane jer posmatramo podniz

d(unke, ) konvergentnog niza d(unk,U*).

Odavde sledi da je

23


0= a = .

Ovim je teorema dokazana.

Naredne teoreme su uopštenja upravo dokazane osnovne teoreme Vajerštrasa.

TeoremaNeka je U neprazan i zatvoren skup u , neka je J : U poluneprekidna sa donje

strane na U i neka je, za neko u0 Lebegov skup ograničen. Tada važi:

1. ,

2. skup je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz iz M konvergira ka U* .

DokazJasno, za u UM važi J(u ) > J(u0), pa J ne dostiže minimalnu vrednost nad skupom UM, što znači da možemo posmatrati restrikciju JIM funkcije J na skup M. Na osnovu leme M je zatvoren. Pošto je i ograničen, možemo primeniti prethodnu teoremu na JIM.

Napomena

Za minimizirajuće nizove iz U, koji nisu elementi skupa M prethodno tvrđenje, u opštem slučaju, ne važi.

TeoremaNeka je U neprazan i zatvoren skup u , neka je J:U poluneprekidna sa donje

strane na U i neka za svaki niz unnNU za koji je važi

Tada važi:

1.

2. skup je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz

konvergira ka U*.

DokazAko je U ograničen skup, tvrđenje sve svodi na osnovnu teoremu Vajerštrasa. Tada,

naravno, ne postoji niz unnN takav da je . Pretpostavimo da U nije

24


ograničen. Tada sigurno postoji barem jedan niz njegovih elemenata za koji važi

. Po pretpostavci, važi . Neka je uo U izabrana tako da je

J(u0) > J*. Ovo je moguće jer . Tada postoji no N tako da je J(uno) > J*.

Stavimo uo: = uno.Posmatrajmo Lebegov skup M=uUJ(u) J(uo)Pokažimo da je M ograničen. U suprotnom, postojao bi niz znnN M, za koji važi

. Tada je i pa znM za dovoljno veliko nN, što je

kontradikcija. Sada tvrđenje sledi direktno iz prethodne teoreme.

Napomena

Način izbora tačke u0, J(u0)>J* implicira da za svaki ograničen minimizirajući niz unnN

postoji n0N tako da je unM za sve nn0. Sa druge strane, iz uslova teoreme je jasno da nijedan neograničen niz ne može biti minimizirajući.

PosledicaAko je U neprazan i zatvoren u onda za svako x postoji uU tako da važi d

d(x,U)=d(x,u).

Dokaz

Neka je x proizvoljan vektor. Posmatrajmo neprekidnu funkciju g(z)= , z . Za

dovoljno veliko važi g(z)= - . Ovo sledi iz nejednakosti ,

ako, na primer, uzmemo . Odavde je za svaki niz znnN za koji

važi . Dakle, posmatrana funkcija ispunjava uslove prethodne teoreme nad

proizvoljnim nepraznim zatvorenim skupom U, pa je U* i g* > -. Prema tome,

postoji uU tako da je d(x,U)= .

4.2 Definicije i osnovne osobine konveksnih funkcija

Definicija

25


Funkcija J definisana nad konveksnim skupom U je konveksna na U ako za sve u,v U i sve (0,1) važi J( u + (1 - ) v) J(u) + (1 - ) J(v) .

Ako za sve u,v U, i sve (0,1) važi

J( u+ (1 - ) v) < J(u) + (1 - ) J(v)

onda kažemo da je J strogo konveksna funkcija.

Geometrijska interpretacija gornjih definicija je očigledna. Tačke na sečici krive koja spaja J(u) i J(v) nalaze se „iznad“ tačaka na grafiku krive J sa odgovarajućim argumentom.

Definicija

Nadgrafik funkcije je skup oblika .

TeoremaFunkcija f je konveksna ako i samo ako je njen nadgrafik konveksan skup.

Bez dokaza navešćemo sledeće činjenice o konveksnim funkcijama nad podskupovima skupa realnih brojeva. U njima se prepliću svojstva konveksnosti funkcionele J, monotonosti njenog prvog izvoda i nenegativnosti njenog drugog izvoda.

1. Konveksna funkcija J nad intervalom a,b je neprekidna na (a,b) i u svakoj tački u (a,b) ima konačan levi izvod J'(u), konačan desni izvod J'+(u) i važi J'-(u) J'+(u).

2. Neka je J diferencijalna na a,b. Potreban i dovoljan uslov za konveksnost f-je J na a,b je da J' ne opada na a,b.

3. Da bi dva puta diferencijabilna funkcija J na a,b bila na tom intervalu konveksna, potrebno je i dovoljno da je J(u) 0, za sve u a,b.

4. Neka je J konveksna funkcija na a,b i neka je , kao i

. Tada je skup tačaka minimuma funkcije J nad a,b neprazan i

sve tačke lokalnog minimuma su tačke globalnog minimuma.

26

Slika 6. Grafici konveksne i

strogo konveksne funkcije


TvrđenjeKonveksna funkcija ne može imati strogi maksimum u tački .

DokazPretpostavimo da je tačka strogog maksimuma funkcije J:DR. Tada postaje

u1,u2 takve da je (jer postoji lopta u D sa centrom u , pa za u1 i u2

možemo birati rubne tačke na toj lopti). Iz konveksnosti funkcije J sledi

što je kontradikcija.

Skup tačaka minimuma konveksne funkcije je konveksan, a ako je J strogo konveksna onda je taj skup jednočlan ili prazan.

U nastavku se ispituje konveksnost u Rn, uz pretpostavke o diferencijabilnosti posmatrane funkcije. Koristićemo uobičajene oznake

C1(U)=JJ je neprekidna diferencijabilna funkcija na U C2(U)=JJ je dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija na U

Teorema Neka je U neprazan i konveksan skup u i neka je neprekidno

diferencijabilna funkcionela na . Potreban i dovoljan uslov za

konveksnost funkcije J na U je dat sa

.

Dokaz

Neka je J konveksna i neprekidno diferencijabilna na U. Iz konveksnosti sledi

Iz formule konačnog priraštaja (Lagranžova teorema srednje vrednosti) sledi

, , za neko

Odavde je , pa iz neprekidnosti prvog izvoda,

kada , dobijamo traženu nejednakost.

27


Neka je i neka važi , za sve .

Neka su date tačke i . Neka je, dalje . Važi:

.

Ako prvu nejednakost pomnožimo sa , a drugu sa i saberemo ih, dobijamo

odnosno , što je i trebalo pokazati.

Sledeća teorema, kriterijum optimalnosti za konveksne funkcije, daje potreban i dovoljan uslov minimuma glatkih konveksnih funkcija (nad konveksnim skupovima, naravno) .

Teorema

Neka je U neprazan i konveksan skup u , neka je , a U* skup tačaka

minimuma funkcije J nad U.

1. Za sve i sve u U važi

2. Ako onda je

3. Za U ne mora da važi

4. Ako je J konveksna funkcija onda iz , za sve u U i neko

U, sledi .Dokaz

1. Neka . Iz definicije gradijenta sledi

Dakle, . Odavde, kada , dobijamo traženo

rešenje.

2. Ako je unutrašnja tačka skupa U, onda postoji > 0, tako da u : = +h U

za sve h za koje je . Iz prethodno dokazanog tvrđenja sledi

, odnosno , a takođe i ,

odakle sledi

3. Kontraprimer je funkcija J(u) = u2, nad skupom U = , Jasno, >0, za

sve u U a posebno, . Ovde je U* =1.

4. Na osnovu prethodne teoreme znamo da je , za sve

28


. Posebno, ako stavimo v = u* iz sledi

, za sve u U, što je i trebalo dokazati.

Teorema

Neka je konveksan i neprazan skup u i neka je . Funkcija J je konveksna

na U ako i samo ako važi: , za sve .

Dokaz

Iz konveksnosti funkcije J sledi , kao i

. Sabiranjem ovih nejednakosti dobijamo

odnosno , za sve .

Neka je i neka važi , za sve .

Koristićemo sledeću formulu konačnog priraštaja

Za proizvoljne i važi

=

+ =

= =

=

po uslovu zadatka, gde je

, a

.

Dakle, J je konveksna funkcionela.

29


Teorema

Neka je U konveksan skup u neprazne unutrašnjosti i neka je .Funkcija

J je konveksna na U ako i smo ako važi , za sve i sve u U.

Dokaz

Za proizvoljno i postoji > 0 tako da je . Iz prethodne

teoreme sledi pa iz formule konačnog priraštaja imamo

za neko . Odavde je

, pa kada dobijamo traženo rešenje.

Neka je sada . Tada postoji niz unutrašnjih tačaka skupa U koji

konvergira ka U pa iz neprekidnosti drugog izvoda sledi

.

Neka su u i v proizvoljne tačke skupa U. Tada postoji tako da važi

Ako stavimo , iz uslova zadatka sledi pa je J

konveksna funkcija na osnovu prethodne teoreme.

Komentar

Funkcionela je konveksna nad skupom , ali uslov

nije ispunjen za sve . Prethodna teorema se ne može primeniti

jer je prazan skup.

Podsetimo se dovoljnog uslova da strogi minimum dva puta neprekidno diferencijabilne funkcionele J, definisane nad .Potreban uslov je da funkcionela J ima

ekstrem u tački je . Ako je u tački >0 , za sve ,

, onda je tačka strogog minimuma funkcionele J. Potreban I dovoljan uslov za

gornju nejednakost je da postoji >0 tako da važi , ,

30


.

Na osnovu gore navedenog lako možemo pokazati sledeći dovoljan uslov za lokalni minimum funkcionele.

Teorema

Neka je U konveksan skup u neprazne unutrašnjosti i neka je u nekoj

okolini tačke , u kojoj je . Ako je , za sve x iz

posmatrane okoline tačke i sve onda je tačka lokalnog minimuma funkcije

J.

DokazUslov zadatka implicira konveksnost funkcionele J na posmatranoj okolini tačke .

Odatle je , za sve x iz posmatrane okoline. Dakle, iz

dobijamo , odnosno je tačka lokalnog minimuma.

Posmatrajmo funkciju .

Ona je konveksna, neprekidna (i diferencijabilna) nad zatvorenim i konveksnim skupom U, ali ipak ne dostiže svoj infimum ni u jednoj tački skupa U.

Ovakve funkcije su motivisale uvođenje potklase konveksnih funkcija kod kojih navedena situacija nije moguća. To su jako konveksne funkcije.

DefinicijaFunkcija J je jako konveksna na konveksnom skupu U ako postoji konstanta >0

tako da važi:

, za sve , i

Teorema

1. Za jaku konveksnost funkcije na skupu U potrebno je i dovoljno da

postoji konstanta > 0 tako da važi

2. Za jaku konveksnost funkcije na skupu U potrebno je i dovoljno da

postoji konstanta > 0 tako da važi

31


3. Ako za jako konveksnu funkciju J na U važi

za neko L 0 i sve onda je .

Očigledno, svaka jako konveksna funkcija je i konveksna dok obrnuto ne važi.

32


5. Uopštenja pojma konveksnosti

5.1 Za konveksne skupove

Pojam konveksnosti za skupove, zbog svoje važnosti, predmet je uopštavanja.

Navedimo jednu od mogućih generalizacija.

Definicija

Podskup , , je gotovo konveksan ako za svaku loptu koja ne seče

skup A postoji lopta proizvoljnog poluprečnika koja ne seče A a sadrži loptu L.

Svaki konveksan skup je i gotovo konveksan dok obrnuto ne važi što ilustruje sledeći

primer.

Primer

Neka je , , konveksan skup i neka je a proizvoljna tačka skupa K. Skup

K nije konveksan ali je gotovo konveksan.

5.2 Za konveksne funkcije

Osnovni prostor za nas će biti metrički prostor (bez algebarske i vektorske strukture),

ali obogaćen nekim dodatnim osobinama, nekom strukturom koja ima za cilj da preuzme

tu ulogu .

Postoje razni pokušaji uvođenja takvih struktura. Jedan od njih je sledeći.

Za metrički prostor ( X , d ) kažemo da ima konveksnu strukturu L 2X ako su

zadovoljeni sledeći uslovi :1. ,

2. ,

3. Presek proizvoljno mnogo elemenata skupa L je elemenat skupa L ,gde je sa označena otvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnija > 0.

Međutim, pokazalo se da ovako definisana konveksna struktura ne omogućava

dobijanje finijih rezultata i da ju je potrebno obogatiti.

33


U tom smislu vrlo uspešnim pokazao se pojam konveksnog metričkog prostora koji je

uveo japanski matematičar Vataru Takahaši (Wataru Takahashi).

Definicija

Neka je I zatvoren jedinični interval. Funkcija sa osobinom

da za sve i sve t I važi

naziva se konveksna struktura na X. Metrički prostor zajedno sa konveksnom

strukturom W naziva se Takahašijev konveksan metrički prostor.

Svaki konveksan podskup normiranog prostora je Takahašijev konveksan metrički

prostor sa konveksnom strukturom oblika .

Naravno, interesantno je pitanje postojanja konveksnih metričkih prostora koji nisu

tog tipa, tj. koji se ne mogu potopiti u normirani prostor. Odgovor je pozitivan kao što je

pokazuje i sledeći primer.

Primer

Neka je X skup svih zatvorenih intervala oblika I. Za dva takva

intervala Ii = i Ij = definišemo rastojanje

.

je metrički prostor sa konveksnom strukturom definisanom na sledeći način

.

Ovakve i slične strukture posmatraju se u intervalnoj matematici koja ima važnu ulogu

u numeričkoj matematici.

Vratimo se opštoj teoriji Takahašijevih konveksnih metričkih prostora. Lako se

proverava da konveksna struktura W ima sledeće osobine :

Za sve i I važi:

1. ,

2. ,

3. .

34


Definicija

Za podskup K konveksnog metričkog prostora X reći ćemo da je konveksan ako za

sve i sve I važi da je .

Svaka, bilo otvorena bilo zatvorena lopta u Takahašijevom konveksnom prostoru je

konveksan skup u smislu ove definicije. Isto tako važi i da je presek proizvoljno mnogo

konveksnih skupova konveksan skup. Pošto su i svi jednočlani skupovi konveksni svaki

Takahašijev konveksan metrički prostor je i prostor sa konveksnom metričkom

strukturom L, gde je L skup konveksnih podskupova od X.

Ispitujući dalje osobine funkcije W može se pokazati da za sve i I važi da

je

što povlači da je svaki Takahašijev konveksan metrički prostor i metrički prostor sa

konveksnom strukturom koju je definisao Menger, koji se nazivaju metričkim

konveksnim prostorima.

Ipak i pored vih ovih dobrih i korisnih osobina funkcija W ima veliki nedostatak – u

opštem slučaju nije neprekidna. Naime, poznato je da je funkcija W neprekidna u svim

tačkama oblika ali da tek uz neke dodatne pretpostavke (među kojima je i

kompaktnost prostora X) ona postaje neprekidna i u svim preostalim tačkama. Primetimo

samo da ukoliko W nije neprekidno ne možemo tvrditi ni da je zatvaranje konveksnog

skupa konveksan skup.

U cilju prevazilaženja ove i još nekih teškoća L. Talman uvodi pojmove striktno

konveksnog i strogo konveksnog metričkog prostora. Ovi poslednji, strogo konveksni

prostori, zadovoljavaju uslove C. Horvata i spadaju u klasu takozvanih pseudokonveksnih

prostora.

Definisati konveksnu obvojnicu nekog skupa u prostoru sa konveksnom strukturom ne

pretstavlja problem – jednostavno to je najmanji konveksan skup koji ga sadrži, tj. presek

svih konveksnih skupova koji ga sadrže. Međutim, to ne rešava problem karakterizacije

elemenata konveksne obvojnice koja je važna za dobijanje rezultata u tim prostorima.

Kao što znamo u vektorskim topološkim prostorima važi da je

35


Prirodno se postavlja pitanje neke karakterizacije elemenata konveksne obvojnice u

opštijem slučajevima. Pokazaćemo da je ovaj problem pozitivno rešen rešen za klasu

Takahašijevih konveksnih metričkih prostora.

Definicija

Za proizvoljan podskup A Takahašijevog metričkog prostora ( X , d ) neka je

.

Na taj način definisana je funkcija sa sledećim osobinama:

1. ,

2. ,

3. povlači da je ,

4. ,

5. ako je A konveksan skup tada je .

Neka je , za . Ako je skup konveksan

za sve . Označimo , . Niz skupova je rastući te

postoji i šta više važi da je

.

Skup je konveksan te je kao najmanji konveksan skup koji sadrži skup A i njegova

konveksna obvojnica.

Dobijena karakterizacija elemenata konveksnog omotača omogićava dobijanje novih rezultata iz teorije optimizacije i teorije nepokretne tačke u nekim klasama metričkih prostora.

36


6. Zaključak

Klasa konveksnih funkcija je nadskup klase linearnih funkcija koja sačuvava neke

osobine linearnih funkcija. Zbog te osobine klase konveksnih funkcija su posebno

interesantne u teoriji optimizacije, u teoriji nepokretne tačke sa primenom u ekonomiji.

37


7. Literatura

1. Ljiljana Gajić, Predavanja iz uvoda u analizu, Univerzitet u Novom Sadu, N. Sad

2004.

2. Nenad Teofanov, Ljiljana Gajić, Predavanja iz optimizacije, Univerzitet u Novom

Sadu, N. Sad 2006.

3. Ф. П. Васильев. “Численные методы решения экстремальных задач” ,

Наука, Москва, 1980.

38


8. Biografija

Novi Sad, 2007. Senada Čokić

39

Senada Čokić rođena je

24.03.1984. godine u Tuzli, od majke

Verunke i oca Šefkije. Osnovnu školu

"Ivan Milutinović" u Subotici završila je

sa odličnim uspehom, kao i gimnaziju

"Svetozar Marković", takođe u Subotici.

Studije je upisala 2003. godine na

prirodno-matematičkom fakultetu u

Novom Sadu, smer matematika finansija.

Sve ispite predviđene planom i

programom dala je do septembra 2007.

godine.


UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET

KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA

Redni broj:

RBRIdentifikacioni broj:

IBRTip dokumentacije: Monografska dokumentacija

TDTip zapisa: Tekstualni Stampani materijal

TZ

Vrsta rada: Diplomski rad

VR

Autor: Senada Čokić

AUMentor: Prof. dr Ljiljana Gajić

MNNaslov rada: Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja

NRJezik publikacije: Srpski (latinica)

JPJezik izvoda: s / e

JIZemlja publikovanja: Srbija

ZPUže geografsko područje: Vojvodina

UGPGodina: 2007.

GOIzdavač: Autorski reprint

40


IZMesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, PMF, Trg

Dositeja Obradovića 4

MAFizički opis rada: (6, 37, 0, 0,6,0,0)

FONaučna oblast: Matematika

NONaučna disciplina: matematička analiza

NDKljučne reči: konveksni skup, konveksne funkcije

PO

UDK:Čuva se: U biblioteci Departmana za matematiku i informatiku

ČUVažna napomena:

VNIzvod:

IZU radu su navedene osobine konveksnih skupova, konveksnih funkcija, njihova

uopštenja i njihova uloga u ispitivanju ekstrema.

Datum prihvatanja teme od strane NN veća: 11.09.2007.

DPDatum odbrane: 04.10.2007.

DOČlanovi komisije:

KOPredsednik: Dr. Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor

Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu Član: Dr. Ljiljana Gajić, redovni profesor Prirodno-matematičkog

fakulteta u Novom Sadu, mentor Član: Dr. Nenad Teofanov, redovni profesor Prirodno-matematičkog

fakulteta u Novom Sadu

41


UNIVERSITY OF NOVI SAD

FACULTY OF SCIENCE KEYWORDS DOCUMENTATION

Accession number:

ANOIdentification umber:

INODocument type: Monograph type

DTType of record: Printed text

TRContents Code: Graduation thesis

CCAuthor: Senada Čokić

AUMentor: Prof. dr Ljiljana Gajić

MNTitle: Convex sets,convex functions and generalization

XILanguage of text: Serbian

LTLanguage of abstract: English

LACountry of publication: Serbia

CPLocality of publication: Vojvodina

LPPublication year: 2007.

PYPublisher: Author's reprint

PU

42


Publ. place: Novi Sad, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Trg

Dositeja Obradovića 4.

PPPhysical description: (6, 37, 0, 0,6,0,0)

PDScientific field: Mathematics

SFScientific discipline: Mathematics analysis

Key words: Convex sets, convex functions

UC:Holding data: In library of Department of Mathematics and Informatics

HD Note:

Abstract:

AB Convex sets, convex functions and generalization and theirs applied has

been described within this graduation thesis.

Accepted by the Scientific Board on: September 11, 2007.

Defended: October , 4 2007.

Thesis defend board:

DBPresident: Dr. Zagorka Lozanov-Crvenković, Full Professor, Faculty of

Natural Sciences and Mathematics, University of Novi Sad

Member: Dr. Ljiljana Gajić, Full Professor, Faculty of Natural Sciences

and Mathematics, University of Novi Sad, menthor

Member: Dr. Nenad Teofanov, Full Professor, Faculty of Natural

Sciences and Mathematics, University of Novi Sad

43


44

Documents

konveksni skupovi