CATEDRA: Cálculo Vectorial
Huancavelica - Perú2011
“Año de la Consolidación Económica y Social del Perú”
Integrales Dobles
CATEDRATICO: Lic. Jorge Luis Ortega Vargas
INTEGRANTES:
MENDOZA RAMOS, Angel Manuel RAMOS CORASMA, Franco Nider TINEO RUA, Ilde CARBAJAL GUILLEN, Shirley. CARTAGENA PARI, Diego A.
CARRERA PROFESIONAL DEINGENIERIA CIVIL
Ciclo: III
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
DEDICATORIA
A nuestros padres, por todo el
apoyo que nos brindan día a día
para seguir cumpliendo nuestras
metas.
2
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas en el mundo real, son bastante más complicadas que los
problemas comunes que se presentan día a día.
Las integrales se usan en el cálculo infinitesimal y para calcular areas,
utilizamos integrales dobles.
Las integrales son sumas, el símbolo integral viene de ahí, luego el objetivo
de integrales de superficie es sumar superficies infinitesimales y las de volumen,
sumar volúmenes infinitesimales.
Las coordenadas son otra cosa a parte, se usan porque no todo se puede
expresar rápido en un sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z).
Por ejemplo, si tienes un cilíndro o un cono y quieres hallar su área, por poder, lo
puedes hacer en cartesianas, pero hay herramientas matemáticas mejores, como
expresarlo en coordenadas cilíndricas e integrar.
Es por facilitar los cálculos, si un problema tiene simetría esférica, se usan
coordenadas esféricas (electromagnetismo), si tiene simetría parabólica, se usan
coordenadas parabólicas (astrofísica), si usamos cónicas, suele ser más fácil
hacerlo en polares etc.
En definitiva, que según que, hay figuras que son más fáciles de definir
matemáticamente en función del ángulos y otras magnitudes que en función de
coordenadas cartesianas.
De todos modos, estudia porque esto es básico, las coordenadas polares,
esféricas y cilíndricas son básicas.
A continuación detallamos todo lo referido a integrales Dobles.
Los alumnos
3
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
INTEGRALES DOBLES
PRE-REQUISITOS: Para la comprensión adecuada de este capítulo de las
integrales múltiples se requiere del conocimiento previo de:
Métodos de integración
Superficies
Geometría analítica
Coordenadas polares
OBJETIVOS: Establecer los fundamentos necesarios para la interpretación y
aplicación de la integral doble, al finalizar este capítulo el alumno debe estar en
capacidad de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volumen, centro de
masas, etc. así como también el cálculo de coordenadas dobles y emplear
jacobianos.
INTRODUCCION. En el estudio de las integrales ordinarias
LA INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO: Consideremos una función
f
Definida en el rectángulo.
4
c
d
0 a b
R
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
La participación P del rectángulo R, descompone al rectángulo R en m x
n rectángulos es decir :
En cada rectángulo Rij, la función f toma un valor máximo M ij, y un valor mínimo
mij, Luego se tiene:
5
Rij
d=yn
b=Xm
YiYj-1
C=Y0
0 a=XXi- Xi
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Que reciben los nombres de suma superior p de f y se denota por:
Y suma inferior p de f y se denota por:
En forma similar del caso de las funciones de una variable se tiene :
Si f es una función continúa, existe un numero I que satisface la desigualdad.
D
0 x
6
y
f
R
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
La norma de participación p representada por P se define como la longitud de la
diagonal mayor de los rectángulos contenidos en D.
Geométricamente la suma de Riemann represente el volumen aproximado del
solido bajo la superficie z=f(x,y) y que tiene como base la región cerrada D.
7
z
Z=f(x,y)
0
x
y(x,y)
D
(x,y)f(x,y)
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE INTEGRAL DOBLE:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
EJEMPLO: hallar m y M de la propiedad 5 en la integral doble
8
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
.
Luego el punto crítico es p (0,0) ahora calculamos los puntos críticos en el borde
como:
Luego el valor mínimo es f (0,0)=9 y el valores máximo es f(0,+2)=25 de
acuerdo a la propiedad 5 se tiene
9
y
x0
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Graficando la región D
Calculando los puntos críticos en el interior de la región.
INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES ITERADAS
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales
iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La
diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al
concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al
procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión
10
0
D-2
3
(-2,-2)
(3,5)
(3,-2)
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
se refiere a una integral iterada, la parte externa
es la integral con respecto a x de la función de x:
Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy.
La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son
iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada,
sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la
calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales
iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que
se tiene:
De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que
Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es
igual a la integral iterada.
11
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Esto ocurre, cuando f es una función acotada y tanto A como B son regiones
acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la
región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación
se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una
iterada.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. Funciones constantes
En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente
multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio
de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R2 esto da
el área de la región, mientras que si es una región de R3 da el volumen de
la región y así sucesivamente.
Por ejemplo:
y
Integrando f sobre D:
2. Uso de simetrías
En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de
uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una
función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya
que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo
12
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Dada y que es el
dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.
Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en
tres partes:
Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetría
tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos
integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual
únicamente a la tercera.
ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una
región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales
(8)
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la
figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después
respecto a x; es decir
(9)
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la
derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por
13
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde
g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como
(10)
Para
interpretar la
primera
integración respecto a x, como suma de todos los elementos
dA= dxdy
Situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda
hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que
expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
CAMBIO DE VARIABLES
A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable
por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región
de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido
como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una
variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un
espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
14
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Si se utiliza una transformación que siga la relación:
Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la
integral
Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a
las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y
por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la
integral original, si es que esta existe.
A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.
Coordenadas Polares
La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el
área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la
necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1
+ ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ρΔρΔθ.
15
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es
muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a
polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble
tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente
transformación:
Por ejemplo:
Si la función es
aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con
respecto a ϕ y a ρ.
Se pueden obtener funciones incluso más simples:
Si la función es
Uno tiene:
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ)
en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a θ.
Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante
jacobiano, ésta es igual a la integral original:
16
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES
Trazando rectas a través del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene
una partición P de la región D, que viene a ser una red de “n” regiones llamadas
rectangulares curvea curveados.
17
Y
X
Y
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES
18
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Consideramos dos casos para el cálculo de las integrales mediante
coordenadas polares.
Luego la integral en coordenadas polares es:
Luego la integral doble en coordenadas polares
19
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
OBSERVACIÓN: para pasar de una integral doble en coordenadas polares se
tiene la relación:
JACOBIANO DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES
a)
Ahora daremos la definición en forma general
b)
20
v
u
S
O
Y
X
S
O
F
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES
En las integrales ordinarias el método de sustitución nos permitía calcular
integrales complicadas, transformándola en otras más sencillas, es decir:
21
X
Y
Z
US
0
y= (y1,…,ym)=
X
Y
Z
Rm
0
F(y)=(x1,x2,…,xm) (y1,…,ym)=
F
g o F
gR
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
. 𝑑𝑣 extendida a una región S del plano uv.
Para esto se verá la relación entre regiones D y S y los integrandos f(x,y) y F(u,v).
El método de sustitución en las integrales dobles es más laborioso que en las
integrales simples, puesto que en lugar de una función ahora se tiene dos
funciones X e Y que relacionan a x,y con u,v en la forma siguiente X = x(u,v), Y =
y(u,v).
Geométricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una
“aplicación”
Que hace corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del
plano XY y que la aplicación puede expresarse mediante una función vectorial.
En el plano trazamos el radio vector que une el origen (0,0) con el punto (x,y)
de la región D, el vector depende de u y v, y se puede considerar como una
función vectorial de dos variables definida por la ecuación:
Esta ecuación se llama eciación vectorial de la aplicación. Como (u,v) recorre
puntos de S, el vector (u,v) describe puntos de D.
La fórmula para la transformación de integrales dobles puede escribirse así.
22
v
u
(u,v)
O
Y
X
(x,y)
O
D
X = x(u,v)Y = y(u,v)
S
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicación.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE1ro. CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA.-Consideremos una lámina que tiene la forma de una región cerrada R en el plano XY, y sea ρ la medida de la densidad de área de la lámina en cualquier punto (X,
Y) de R, donde ρ: R R es una función continua sobre R.
Entonces la masa total de la lámina R está dado por:
El momento de masa de la lamina R con respecto al eje X es:
El momento de masa de una lamina R con respecto al eje Y es:
Luego el centro de la masa de la lámina es el puno P(X,Y) donde:
;
2do. MOMENTO DE INERCIA DE UNA LÁMINA.-Consideremos una partícula de masa m que se encuentra a una distancia d unidades de una recta L, entonces llamaremos momento de inercia de la partícula respecto a L al número.
El momento de masa de una partícula, usualmente se le llama el primer momento y el momento de inercia el segundo momento de la partícula respecto a L.
Consideremos un sistema de n partículas de masa situados a
distancias respectivamente desde una recta L, tiene un momento
de inercia I que se define como la suma de los momentos de las partículas individuales.
23
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana S y
una función densidad continua, puede encontrarse respecto a
cualquier recta L.En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:
El momento polar de inercia alrededor del origen O está dado por:
OBSERVACION.- los momentos de inercia de la lámina S respecto a las rectas
son respectivamente.
OBSERVACION.- El radio de giro de un objeto respecto de un eje L es el numero
R definido por donde I es el momento de inercia respecto de L y M es la
masa total del objeto.
24
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Ejercicios Resueltos
1. donde D es un dominio acotado
por las rectas x=0 y= y=x
=
=
2. calcular la integral doble es la región del primer
cuadrante por el circulo y los ejes coordenadas
25
Y=x
y
0
Y=
D
x
D
2
0 2
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Pasando las coordenadas polares x=r cos donde jacobiano es j (r, )=r
Ahora sustituyendo en la integral dad se tiene:
)
SOLUCION:
Sea
26
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
SOLUCION:
Sea
D:
Ahora calculamos la integral doble, mediante coordenadas polares.
27
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
Ejercicio 1. Calcular la integral doble donde D es un Dominio limitado por la elipse
=1 y situado en la primer cuadrante.
Solución
=1, de donde 0
Ejercicio 2
28
b
0
S Xa
Y
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
SoluciónGraficando la región D, pasando a coordenadas polares x =r cosθ, y = r senθ, de donde el
Jacobiano es
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
29
X1
10
y r=1
Cálculo Vectorial Integrales Dobles
BIBLIOGRAFÍA
Eduardo Espinoza Ramos, Análisis Matemático III, Edición V, Editorial
EduKPERU.IRL
Moises Lazaro C, Integrales, Edición V, Editorial Moshera S.R.L
Louis Brand, Cálculo Avanzado
30