3 Generacin de variables aleatorias. Ingeniera Esmeralda
Elizabth Rodrguez Rodrguez
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Generar variables aleatorias discretas, continuas y empricas,
realizar pruebas de ajuste de bondad y determinar tamao de
muestra.
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Un modelo de simulacin permite lograr un mejor entendimiento de
prcticamente cualquier sistema. Para ello resulta indidpensable
obtener la mejor aproximacin a la realidad, lo cual se consigue
componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interacten
entre s.
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Las variables aleatorias son aquellas que tienen un
comportamiento probabilstico en la realidad.
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Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el
tipo de variables aleatorias que representan. Por ejemplo, si
hablramos del nmero de clientes que solicitan cierto servicio en un
periodo de tiempo determinado, podramos encontrar valores tales
como 0,1,2,,n, es decr, un comportamiento como el que presentan las
distribuciones de probabilidad discretas.
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Este tipo de variables deben cumplir con estos parmetros:
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Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la
uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeomtrica, la de
Poisson y la binomial.
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Si nuestro propsito al analizar un muestreo de calidad consiste
en decidir si la pieza bajo inspeccin es buena o no, estamos
realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es
buena o la pieza es mala. Este tipo de comportamiento est asociado
a una distribucin de Bernoulli.
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Si lo que queremos es modelar el nmero de usuarios que llamarn
a un telfono de atencin a clientes, el tipo de comportamiento puede
llegar a parecerse a una distribucin de Poisson. Podra ocurrir que
el comportamiento de la variable no se pareciera a otras
distribuciones de probabilidad conocidas. Si ste fuera el caso, es
preferiblemente vlido usar una distribucin emprrica que se ajuste a
las condiciones reales de probabilidad. Esta distribucin puede ser
una ecuacin o una suma de trminos que cumplan con las condiciones
necesarias para ser consideradas una distribucin de
probabilidad.
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Si hablramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona,
nuestra investigacin tal vez arrojara resultados como 1.54 minutos,
0,028 horas o 1.37 das, es decr, un comportamiento similar al de
las distribuciones de probabilidad continuas.
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Este tipo de variables se representan mediante una ecuacin que
se conoce como funcin de densidad de probabilidad. Dada esta
condicin cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral
para conocer la funcin acumulada de la variable aleatoria.
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Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir
los siguientes parmetros:
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Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme
continua, la exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-
cuadrada y la de Earlang.
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El tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una
distribucin de probabilidad muy semejante a la exponencial.
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El tiempo que le toma a un operario realizar una serie de
tareas se comporte de manera muy similar a la dispersin que
presenta una distribucin normal.
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La variabilidad de eventos y actividades se representa a travs
de funciones de densidad para fenmenos continuos, y mediante
distribuciones de probabilidad para fenmenos de tipo discreto. La
simulacin de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de
la generacin de variables aleatorias.
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El mtodo de la transformada inversa puede utilizarse para
simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante
la funcin acumulada f(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios.
El mtodo consiste en: 1. Definir la funcin de densidad F(x) que
represente la variable a modelar. 2. Calcular la funcin acumulada
F(x). 3. Despejar ka variable aleatoria x y obtener la funcin
acumulada inversa F(x) -1. 4. Generar las variables aleatorias x,
sustituyendo valores con nmeros pseudoaleatorios en la funcin
acumulada inversa.
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El mtodo de la transformada inversa tambin puede emplearse para
simular variables de tipo discreto, como en las distribuciones de
Poisson, de Bernoulli, binomial, geomtrica, discreta general, etc.
La generacin se lleva a cabo a travs de la probabilidad acumulada
P(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios. El mtodo consiste
en: 1. Calcular todos los valores de la distribucin de probabilidad
p(x) de la variable a modelar. 2. Calcular todos los valores de la
distribucin acumulada P(x). 3. Generar nmeros pseudoaleatorios. 4.
Comparar con el valor de P(x) y determinar qu valor de x
corresponde a P(x).
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A partir de la funcin de densidad de las variables aleatorias
uniformes entre a y b. x i =a+(b-a)r i Ejemplo: La temperatura de
una estufa se comporta uniformemente dentro del rango de 95 a 100.
Una lista de nmeros pseudoaleatorios y la ecuacin x i =95+5r i nos
permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que
simula la temperatura de la estufa.
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Medicinriri Temperatura 10.4897.40 20.8299.10 30.6998.45
40.6798.35 50.0095.00
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A partir de la funcin de densidad de las variables aleatorias
exponenciales con media 1/.
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Los datos histricos del tiempo de servicio en la caja de un
banco se comportan de forma exponencial con media de 3
minutos/cliente. Una lista de nmeros pseudoaleatorios y la ecuacin
generadora exponencial nos permiten simular el comportamiento de la
variable aleatoria.
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Clienteriri Tiempo de servicio (min) 10.643.06 20.835.31
30.030.09 40.502.07 50.210.70
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A partir de la distribucin de probabilidad de las variables
aleatorias de Bernoulli con media p(x) = p x (1-p) 1-x para x=0,1
Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener X01
p(x)1-pp X01 P(x)1-p1
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Generando nmeros pseudoaleatorios se aplica la regla: X i = si
r i (0,1-p) x=0 si r i (1-p,1) x=1 Ejemplo Los datos histricos
sobre la frecuencia de paros de cierta mquina muestran que existe
una probabilidad de 0.2 de que sta falle (x=1), y de 0.8 de que no
falle (x=0) en un da determinado. Generar una secuencia aleatoria
que simule este comportamiento. A partir de la distribucin de
probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con media 0.8,
p(x) = (0.2) x (0.8) 1-x para x=0,1 Se calculan las probabilidades
puntuales y las acumuladas para x=0 y x=1, y se obtienen los
datos:
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X01 P(x)0.80.2 P(x)0.81 La regla para generar esta variable
aleatoria estara dada por: X i = si r i (0,0.8) x=0 si r i (0.8,1)
x=1 Con una lista de nmeros pseudoaleatorios y la regla anterior es
posible simular el comportamiento de las fallas de la mquina a lo
largo del tiempo, considerando que: Si el nmero pseudoaleatorio es
menor que 0.8, la mquina no fallar, y Si el nmero pseudoaleatorio
es mayor que 0.8 ocurrir la falla Dariri XiXi Evento: la mquina
10.4530No falla 20.8231falla 30.0340No falla 40.5030No falla
50.8911falla
