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1 2009 Introducción y Revisión de Conceptos Básicos Objetivos: establecer la necesidad del estudio de sistemas físicos desde el punto de vista estocástico; brindar una revisión de algunos temas ya vistos en asignaturas previas; 1.1 INTRODUCCION En los sistemas eléctricos y electrónicos, en general, se utilizan señales de tensión y de corriente, tanto para recolectar, procesar y transmitir información, como para controlar y pro- veer energía a diversos dispositivos. Estas señales son funciones del tiempo y pueden ser cla- sificadas en dos grandes categorías: determinísticas y aleatorias. Una señal determinística puede ser definida como una que atraviesa una trayectoria predeterminada en el tiempo y en el espacio; esto es así pues las fluctuaciones de una señal determinística pueden ser completamente descriptas mediante una función del tiempo y cual- quier valor que pueda asumir la señal es predecible a partir de la descripción funcional de la misma y de su historia. Por el contrario, una señal aleatoria tiene fluctuaciones impredecibles; es decir, no es posible formular una ecuación que permita conocer el valor futuro exacto de la señal a partir de su historia. Muchos tipos de señales son, al menos parcialmente, aleatorias; tal el caso de una señal de voz o el ruido presente en un canal. El concepto de aleatoriedad está íntimamente ligado a los conceptos de información y ruido. De hecho, mucho del trabajo sobre el procesamiento de señales aleatorias está relacio- nado con la extracción de información a partir de observaciones ruidosas. Si una señal tiene capacidad de transportar información, debe poseer cierto grado de aleatoriedad pues una señal predecible no transporta información. Luego, la parte aleatoria de una señal es: ruido, infor- mación, o una combinación de ambos. Usualmente, se clasifican como señales aleatorias a las formas de onda que contienen información, mientras que se denomina ruido a la parte no deseada de la señal y que interfiere en nuestro intento de extraer información. A modo de ejemplo, considérense las formas de onda presentes en un sistema típico de transmisión de datos, en que cierto número de terminales intercambian información binaria mediante un enlace ruidoso con un servidor (figura 1.1). En este sistema, una interfase en cada nodo convierte los datos binarios a transmitir en una forma de onda eléctrica de forma tal que los dígitos binarios son convertidos en pulsos de T segundos de duración y de una amplitud ± A. La forma de onda recibida en el otro extremo del enlace es una versión distorsionada y con ruido de la forma de onda original, en la que el ruido refleja las perturbaciones eléctricas o interferencias presentes en el sistema. A partir de esta forma de onda distorsionada, el recep- tor intenta extraer la información binaria transmitida, en un proceso que, ocasionalmente, puede dar lugar a errores. Cuando se observa el conjunto o ensamble de formas de onda recibidas (mostradas en la figura 1.1), es evidente el carácter aleatorio de las mismas; así, si dirigimos nuestra aten- ción sobre cualquiera de las formas de onda miembros del ensamble, digamos y i (t), en cierto intervalo temporal [t 1 , t 2 ], vemos que es imposible deducir, a partir de lo observado, cual será el valor de la onda en cualquier otro punto fuera del intervalo. Más aún, el conocimiento de cualquier forma de onda miembro del ensamble, tal como y i (t), no nos permite en absoluto conocer los valores que asumirá otra función miembro como y j (t). En estas condiciones, cabe preguntarse:

Senales aleatorias

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  • 1 2009

    Introduccin y Revisin de

    Conceptos Bsicos Objetivos:

    establecer la necesidad del estudio de sistemas fsicos desde el punto de vista estocstico; brindar una revisin de algunos temas ya vistos en asignaturas previas;

    1.1 INTRODUCCION

    En los sistemas elctricos y electrnicos, en general, se utilizan seales de tensin y de

    corriente, tanto para recolectar, procesar y transmitir informacin, como para controlar y pro-veer energa a diversos dispositivos. Estas seales son funciones del tiempo y pueden ser cla-sificadas en dos grandes categoras: determinsticas y aleatorias.

    Una seal determinstica puede ser definida como una que atraviesa una trayectoria predeterminada en el tiempo y en el espacio; esto es as pues las fluctuaciones de una seal determinstica pueden ser completamente descriptas mediante una funcin del tiempo y cual-quier valor que pueda asumir la seal es predecible a partir de la descripcin funcional de la misma y de su historia.

    Por el contrario, una seal aleatoria tiene fluctuaciones impredecibles; es decir, no es posible formular una ecuacin que permita conocer el valor futuro exacto de la seal a partir de su historia. Muchos tipos de seales son, al menos parcialmente, aleatorias; tal el caso de una seal de voz o el ruido presente en un canal.

    El concepto de aleatoriedad est ntimamente ligado a los conceptos de informacin y ruido. De hecho, mucho del trabajo sobre el procesamiento de seales aleatorias est relacio-nado con la extraccin de informacin a partir de observaciones ruidosas. Si una seal tiene capacidad de transportar informacin, debe poseer cierto grado de aleatoriedad pues una seal predecible no transporta informacin. Luego, la parte aleatoria de una seal es: ruido, infor-macin, o una combinacin de ambos. Usualmente, se clasifican como seales aleatorias a las formas de onda que contienen informacin, mientras que se denomina ruido a la parte no deseada de la seal y que interfiere en nuestro intento de extraer informacin.

    A modo de ejemplo, considrense las formas de onda presentes en un sistema tpico de transmisin de datos, en que cierto nmero de terminales intercambian informacin binaria mediante un enlace ruidoso con un servidor (figura 1.1).

    En este sistema, una interfase en cada nodo convierte los datos binarios a transmitir en una forma de onda elctrica de forma tal que los dgitos binarios son convertidos en pulsos de T segundos de duracin y de una amplitud A.

    La forma de onda recibida en el otro extremo del enlace es una versin distorsionada y con ruido de la forma de onda original, en la que el ruido refleja las perturbaciones elctricas o interferencias presentes en el sistema. A partir de esta forma de onda distorsionada, el recep-tor intenta extraer la informacin binaria transmitida, en un proceso que, ocasionalmente, puede dar lugar a errores.

    Cuando se observa el conjunto o ensamble de formas de onda recibidas (mostradas en la figura 1.1), es evidente el carcter aleatorio de las mismas; as, si dirigimos nuestra aten-cin sobre cualquiera de las formas de onda miembros del ensamble, digamos yi(t), en cierto intervalo temporal [t1, t2], vemos que es imposible deducir, a partir de lo observado, cual ser el valor de la onda en cualquier otro punto fuera del intervalo. Ms an, el conocimiento de cualquier forma de onda miembro del ensamble, tal como yi(t), no nos permite en absoluto conocer los valores que asumir otra funcin miembro como yj(t). En estas condiciones, cabe preguntarse:

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    Cmo afecta el ruido al desempeo de tal sistema? (en trminos de habilidad del re-ceptor para recuperar correctamente los datos transmitidos).

    Cmo podemos establecer un modelo para el ensamble considerado? Cules son las propiedades espectrales del ensamble mostrado en la figura 1.1?

    Figura 1.1: Ejemplo de proceso aleatorio y secuencia aleatoria Para responder a esas preguntas, se debe poder describir, o caracterizar, al conjunto de

    formas de onda, para lo cual utilizaremos un modelo denominado proceso aleatorio. En efecto, aun cuando una seal aleatoria no es predecible, frecuentemente exhibe un

    conjunto de caractersticas estadsticas bien definidas, tal como un mximo, un mnimo, valor medio, mediana, varianza y densidad espectral de potencia. As, un conjunto de formas de onda provenientes de un sistema dado, constituye un proceso aleatorio que puede describirse a partir de sus propiedades de conjunto en trminos de momentos o, en forma ms completa, en trminos de modelos probabilsticos para los cuales pueden establecerse todos sus estads-ticos.

    Frecuentemente, a las funciones aleatorias dependientes del tiempo se las denomina seales estocsticas. El trmino proceso estocstico es ampliamente utilizado para describir procesos aleatorios que generan seales secuenciales: ejemplos de este tipo de seales inclu-yen la voz, la msica, las imgenes, canales variantes en el tiempo, video y ruido. En la ter-minologa de procesamiento de seales, un proceso estocstico es un modelo probabilstico de cierta clase de seales aleatorias; por ejemplo: procesos Gaussianos, procesos de Markov, de Poisson, etc.; sin embargo, para fines prcticos, puede ser suficiente una descripcin en trmi-nos de algunos estadsticos simples tales como la media, la funcin de autocorrelacin y den-sidad espectral de potencia. Tales descripciones (o modelos) son utilizados para desarrollar algoritmos de procesamiento de seales que permitan recuperar la informacin presente en observaciones fsicas. Ejemplos tpicos de este tipo de trabajo lo constituyen la recuperacin de informacin que arriba por un canal de comunicaciones ruidoso, la estimacin de la ten-dencia de variacin de la carga instantnea en un sistema elctrico de potencia, la estimacin de la ubicacin de un avin a partir de los datos entregados por un radar, la estimacin de una variable de estado en un sistema de control sobre la base de mediciones ruidosas, etc.

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    El ejemplo clsico de proceso aleatorio es el denominado movimiento Browniano de partculas en un fluido: en el, las partculas en el seno de un fluido se mueven aleatoriamente debido al bombardeo de partculas de fluido a que estn sometidas. El movimiento aleatorio de cada partcula es una realizacin del proceso estocstico y el movimiento de todas las par-tculas en el fluido forma el ensamble o el espacio de realizaciones del proceso.

    Otro ejemplo de seal estocstica es el ruido que puede escucharse en un receptor AM cuando no est sintonizada ninguna emisora. Si reemplazamos el altavoz con un osciloscopio, la seal de tensin visualizada, en funcin del tiempo, tendr caractersticas irregulares no peridicas y cuyos valores no son predecibles. Tambin son seales aleatorias las fluctuacio-nes instantneas de carga en un sistema elctrico de potencia, la salida de un micrfono cuan-do alguien est hablando frente a l, etc.

    En los prximos apartados, se define con cierta formalidad lo dicho y, luego de esta introduccin, lo que sigue en el captulo es una revisin de algunos conceptos bsicos de pro-babilidad y variables aleatorias ya estudiados.

    1.2 SEALES ESTOCASTICAS

    Como ya se ha dicho, podemos dividir las seales en dos grupos: aquellas que presen-tan un comportamiento fijo y aquellas que varan aleatoriamente (figura 1.2).

    SEAL DETERMINSTICA

    SEAL ALEATORIA

    Figura 1.2: Ejemplo de seales determinsticas (sinusoide) y estocsticas (la seal mostrada resulta de

    adicionar ruido a la sinusoide) A diferencia de las seales determinsticas, las seales aleatorias no pueden ser carac-

    terizadas mediante expresiones matemticas o reglas fijas que permitan establecer unvoca-mente que valor asumirn en un momento dado; entonces en estos casos se trata de establecer propiedades que satisfagan un conjunto de seales en lugar de analizar las seales individual-mente. Se hace uso entonces, tal como ya se ha dicho, de las herramientas de probabilidad y estadstica para analizar su comportamiento.

    Proceso aleatorio.

    Al estudiar probabilidad, se asoci un punto de muestra con cada resultado de un ex-

    perimento y a la coleccin de todos los puntos de muestra se la denomin espacio muestral del experimento. Luego, a cada punto de muestra en el espacio muestral se le asign un nme-ro real X de acuerdo con alguna regla, y una probabilidad de ocurrencia P[X(x)], en lo que constituye la definicin de variable aleatoria.

    Un proceso aleatorio es una extensin del concepto de variable aleatoria. En el caso de un proceso aleatorio, a cada punto de muestra, que distinguiremos con la notacin , le corresponde una forma de onda que es funcin del tiempo t, de acuerdo con alguna regla

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    x(t,). Por lo tanto, el espacio muestral tendr asociada una cierta coleccin de formas de onda y cada una de ellas corresponde a un punto de muestra . Esta coleccin de formas de onda se conoce con el nombre de conjunto aleatorio o ensamble y cada forma de onda individual co-mo funcin de muestra o realizacin. El sistema de probabilidades, que comprende el espacio de las muestras, el conjunto aleatorio (o conjunto de realizaciones) y las funciones de probabi-lidad asociadas, constituyen el proceso aleatorio o, ms precisamente, proceso estocstico.

    A modo de sntesis de todo lo expresado, podemos definir un proceso aleatorio de la siguiente forma:

    Un Proceso Aleatorio es una familia o ensamble de seales que corresponden a cada posible resultado de la medicin de cierta seal. Cada seal de este en-samble es denominada realizacin o funcin muestra del proceso. En la figura 1.3 se muestra un conjunto aleatorio de seales producido por el ruido en

    un sistema elctrico. Este conjunto se puede obtener repitiendo las observaciones en el mismo sistema, u observando simultneamente los resultados o seales de varios sistemas idnticos.

    Figura 1.3: Representacin de un proceso estocstico, en que se explicita la dependencia del tiempo y de las realizaciones del proceso.

    Notacin.

    Un proceso estocstico, tal como se ha definido, puede ser denotado como X(t,), en la

    que t representa al tiempo y representa a un resultado de cierto experimento aleatorio en el espacio muestral. Asociado a cada resultado especfico, digamos i, existe una funcin miem-bro del ensamble xi(t). Cada funcin miembro o realizacin del proceso es una funcin deter-minstica del tiempo (an cuando no pueda ser expresada en forma analtica cerrada).

    Para un valor especfico del tiempo, digamos t = t1, X(t1,) representa una coleccin de los valores numricos que asumen las funciones miembros del ensamble para t = t1. El valor concreto depender de los resultados del experimento aleatorio y sus formas de onda asocia-das; es decir, X(t1,) es una variable aleatoria y las funciones de distribucin de probabilidad asociadas dependern de las probabilidades de los resultados del experimento aleatorio aso-ciado.

    Cuando tanto t como estn fijos en valores tales como t = t1 y = 2, X(t1,2) represen-ta el valor numrico de la funcin 2 del ensamble en el tiempo t1; es decir: X(t1,2) = x2(t1).

    De acuerdo a la notacin establecida en los prrafos precedentes, resulta clara la forma en que X(t,) representa al proceso aleatorio; sin embargo, la notacin usual para los procesos aleatorios introduce un factor de confusin al omitir y representar al proceso aleatorio sim-plemente con X(t), cuyo significado es una coleccin de formas de onda (o ensamble) que

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    ocurren con una cierta medida de probabilidad. En este contexto, una funcin de muestra (o realizacin) individual se representar simplemente con x(t). En lo que resta de la asignatura se utilizar esta ltima notacin por ser la utilizada en prcticamente la totalidad de la biblio-grafa sobre el tema.

    Clasificacin.

    Los procesos estocsticos se clasifican de acuerdo a las caractersticas del tiempo t y

    de los estados X(t); as, en muchos textos se utiliza la nomenclatura indicada en la tabla 1.1 para diferenciar los diferentes tipos de procesos estocsticos.

    t X(t) continuo discreto

    continuo proceso aleatorio continuo secuencia aleatoria

    continua

    discreto proceso aleatorio discreto secuencia aleatoria

    discreta

    Tabla 1.1: Clasificacin de procesos aleatorios Otros atributos utilizados para clasificar los procesos aleatorios se relacionan con la

    dependencia temporal de la estructura probabilstica de X(t), lo que los identifica como esta-cionarios o no estacionarios, tal como se ver ms adelante en este captulo. Tambin se toma en consideracin si son valuados reales o valuados complejos, predecibles o impredecibles, etc.

    Definicin Formal.

    Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio y sea t una variable que puede

    tomar valores en el conjunto (la lnea real). Un proceso aleatorio valuado real X(t), con es, entonces, una funcin mensurable sobre

    1Rt S que mapea S sobre R1. En caso que

    el conjunto sea la unin de uno o ms intervalos sobre la lnea real, entonces X(t) ser un proceso aleatorio; en cambio, si es un subconjunto de enteros, entonces X(t) es una secuen-cia aleatoria.

    Un proceso aleatorio valuado real X(t) queda descrito por sus funciones de distribucin de orden n-simo:

    [ ]nntXtXtX xtXxtXPxxxF n = )(,,)(),,,( 11121)(,),(),( 21 LLK nttn ,, y 1 K (1.1) Estas funciones satisfacen todos los requerimientos de las funciones de distribucin de

    probabilidad conjuntas. Ntese que, si consiste en nmero finito de puntos, digamos , la secuencia

    aleatoria quedar completamente descripta por la funcin de distribucin conjunta del vector aleatorio n-dimensional en que T denota al vector transpuesto.

    nttt ,,, 21 K

    [ TntXtXtX )(,),(),( 21 L ]

    1.3 PROCESOS ALEATORIOS: METODOS DE DESCRIPCION

    En general, decimos que un proceso aleatorio puede ser descrito en trminos de un ex-perimento aleatorio y su mapeo asociado; dado que tal descripcin es una extensin natural del concepto de variables aleatorias, existen diversos mtodos que pueden ser utilizados, tanto para caracterizar los procesos aleatorios, como para el diseo de sistemas que procesan este tipo de seales para diversas aplicaciones. As, consideraremos:

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    Descripcin Analtica utilizando Variables Aleatorias. En ciertas ocasiones, es posible utilizar las formas analticas de descripcin utilizadas

    en lo determinstico para expresar procesos aleatorios con una o ms variables aleatorias. A modo de ejemplo, se puede considerar el caso de cierta emisora que transmite un tono del tipo x(t) = 100 cos (108t) a un gran nmero de receptores aleatoriamente distribuidos en un rea metropolitana. La amplitud y fase de la forma de onda recibida por el i-esimo receptor depen-de de su distancia al emisor, resultando un conjunto de formas de onda del tipo de las mostra-das en la figura 1.4. Dado que existe un gran nmero de receptores aleatoriamente distribui-dos, podemos modelar la distancia como una variable aleatoria; por otra parte, dado que la atenuacin y fase de la seal son ambas funciones de la distancia, tambin son variables alea-torias. As, puede representarse el ensamble de formas de onda recibidas como un proceso aleatorio Y(t) de la forma:

    Y(t) = A cos(108t + )

    en la que A y son variables aleatorias representativas de la amplitud y la fase de las formas de onda recibidas. A partir de los supuestos considerados, parece razonable asumir distribu-ciones uniformes, tanto para A como para .

    Este tipo de representacin de procesos aleatorios en trminos de una o ms variables aleatorias cuya ley de probabilidad es conocida, es utilizado en diversas aplicaciones relacio-nadas con sistemas de comunicaciones.

    Figura 1.4: Proceso aleatorio sinusoidal, en que tanto la fase como la amplitud de cada realizacin son aleatorias

    En el ejemplo anterior, sin embargo, el tratamiento se simplifica pues no se considera

    la presencia de ruido ni la transmisin de informacin. Los mtodos de descripcin ms gene-rales son, entonces, los que se mencionan a continuacin.

    Distribuciones Conjuntas.

    Dado que se ha definido un proceso aleatorio como un conjunto indexado de formas

    de onda que a su vez son funciones del tiempo, el proceso puede ser descrito mediante fun-ciones de distribucin de probabilidad conjunta. As, para cierto proceso aleatorio X(t), se ob-tendra una descripcin que requiere el conocimiento de, al menos, una funcin de distribu-

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    cin de orden n-simo tal como se ha definido mediante la (1.1), para cada valor de n que se deba establecer. Sin embargo, para aplicaciones de telecomunicaciones, sera suficiente el conocimiento de las funciones de distribucin de primer y segundo orden (n = 1 y n = 2 res-pectivamente. La funcin de distribucin de primer orden, de forma:

    [ ]111 )()( xtXPxF =

    describe la distribucin de amplitud instantnea del proceso, mientras que la de segundo or-den, de forma: [ ]221121)(),( )(,)(),(21 xtXxtXPxxF tXtX =

    permite conocer algunas caractersticas de la estructura de la seal en el dominio del tiempo y, consecuentemente, su contenido espectral.

    Figura 1.5: funciones de distribucin de probabilidad asociadas a t1 y t2

    Destaquemos que, si bien las funciones de distribucin conjunta de un proceso pueden

    ser eventualmente obtenidas a partir de una descripcin del experimento aleatorio y su mapeo, no existen tcnicas que permitan construir alguna de las funciones miembro del proceso a partir de las funciones de distribucin conjunta. Dos procesos diferentes pueden tener la mis-ma distribucin conjunta de orden n sin que exista correspondencia uno a uno entre las fun-ciones miembro de los procesos. Valores Medios.

    Al igual que el caso de variables aleatorias, los procesos aleatorios pueden ser descrip-

    tos en trminos de valores medios o esperados. Como ya se mencion en el apartado anterior, en muchas aplicaciones solo resultan de inters ciertos valores medios derivados de distribu-ciones de primer o segundo orden de X(t). Estos valores medios se definen de la siguiente ma-nera:

    Media: La media de X(t) es el valor esperado de la variable aleatoria X(t). { } )()( tXEtX = (1.2)

    As, la media del proceso aleatorio es el promedio de los valores del todas las funciones miembros del ensamble en el tiempo t.

    Autocorrelacin: La autocorrelacin de X(t), denotada por RXX(t1,t2), es el valor esperado del producto X*(t1) X(t2). { } )()(),( 21*21 tXtXEttRXX = (1.3)

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    en la que * denota conjugado.

    Autocovarianza: La autocovarianza de X(t) se define como:

    )()(),(),( 21*

    2121 ttttRttC XXXXXX = (1.4)

    La funcin de autocovarianza es la varianza de la variable aleatoria X(t1) ),( 11 ttCXX

    Coeficiente de correlacin: El coeficiente de correlacin de X(t) se define como:

    ),(),(),(

    ),(2211

    2121 ttCttC

    ttCttrXXXX

    XXXX = (1.5)

    Para t1 t2, los segundos momentos: RXX(t1,t2), y describen par-cialmente la estructura del proceso aleatorio en el dominio del tiempo. Veremos luego el uso de estas funciones para establecer las propiedades espectrales de X(t).

    ),( 21 ttCXX ),( 21 ttrXX

    Estas definiciones, con un cambio adecuado de argumentos, se aplican al caso de se-cuencias aleatorias.

    1.4 ESTACIONARIEDAD

    Hasta ahora, apenas se ha hecho uso de la dimensin temporal del proceso aleatorio X(t); sin embargo, como se ha dicho, un proceso aleatorio (u estocstico) es una funcin del tiempo. En efecto, mientras que en el caso de una variable aleatoria se observa su valor sin tener en cuenta el instante en que la lectura tiene lugar, un proceso aleatorio queda constituido por la observacin de la evolucin temporal de formas de onda. Veremos algunas propiedades tiles a partir de este hecho.

    Al estudiar seales y sistemas, se han establecido los conceptos de sistema invariante en el tiempo y de anlisis en estado estacionario, los cuales involucran ciertas propiedades tiles para el anlisis del comportamiento de los sistemas. En la descripcin de procesos alea-torios, la estacionariedad juega un rol similar al describir la invariancia en el tiempo de cier-tas propiedades.

    Si bien las funciones miembro de un proceso aleatorio pueden, individualmente, fluc-tuar en funcin del tiempo, ciertas propiedades de conjunto tales como la media del proceso pueden permanecer constantes en el tiempo. En trminos generales, se puede decir que un proceso aleatorio es estacionario si sus funciones de distribucin o ciertos valores esperados permanecen invariantes respecto a una traslacin del eje del tiempo.

    Se definen varios grados de estacionariedad, desde la estacionariedad en sentido es-tricto hasta la forma menos restrictiva, denominada estacionariedad en sentido amplio (o d-bil). Si bien se definen, adems, otros tipos de estacionariedad, a lo largo de la asignatura se har uso principalmente de las formas de estacionariedad mencionadas. Estacionariedad en Sentido Estricto.

    Se dice que un proceso aleatorio X(t) es estacionario en el tiempo o estacionario en

    sentido estricto (abreviado como SSS por Strict-Sense Stationarity) si todas las funciones de distribucin que definen el proceso son invariantes ante una traslacin en el tiempo. Es decir que:

    LLL 1,2,y )(con ,,,,,,, 2121 =+++ ktttttt kk [ ] [ ]kkkk xtXxtXxtXPxtXxtXxtXP +++= )(,,)(,)()(,,)(,)( 22112211 LL (1.6)

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    Si esta definicin es vlida para todas las funciones de distribucin de orden k-simo, con k = 1,, N pero no necesariamente para k > N, se dice que el proceso es estacionario de orden k.

    A partir de la ecuacin (1.6) se ve que, para un proceso SSS resulta: [ ] [ ]xtXPxtXP += )()( (1.7)

    para todo ; en consecuencia, la distribucin de primer orden es independiente de t. Dado que esto describe la distribucin de la amplitud instantnea, se cumple que para un proceso SSS es: { } constante )( == xtXE (1.8)

    De la misma forma, se ve que: [ ] [ ]22112211 )(,)()(,)( xtXxtXPxtXxtXP ++= (1.9)

    para todo , lo que implica que la distribucin de segundo orden es, estrictamente, una funcin de la diferencia de tiempos t1 t2. Como consecuencia de lo visto, dado que la (1.9) establece la relacin entre X(t1) y X(t2), se concluye que la funcin de autocorrelacin ser una funcin de la diferencia de tiempos t1 t2. La funcin de autocorrelacin de un proceso SSS se denota como RXX(t2 t1) y se define como: { } )()()( 1221* ttRtXtXE XX = (1.10)

    Se debe, en este punto, dejar sentado que un proceso aleatorio con media constante y funcin de autocorrelacin que depende nicamente de la diferencia de tiempos t1 t2 no ne-cesariamente es estacionario en sentido estricto. Estacionariedad en Sentido Dbil.

    Dadas las dificultades prcticas que se pueden presentar al pretender establecer la

    (1.6), se puede definir una forma menos restrictiva de estacionariedad a partir del conocimien-to de la media y de la funcin de autocorrelacin, de la siguiente forma: se dice que un proce-so aleatorio X(t) es estacionario en sentido amplio o dbilmente estacionario (WSS por Wi-de-Sense Stationarity) si su media es constante y su funcin de autocorrelacin depende ni-camente de la diferencia de tiempos; es decir:

    { } xtXE =)( (1.11a) { } )()()(* XXRtXtXE =+ (1.11b) Es fcil mostrar, de acuerdo a lo visto, que SSS implica WSS, aunque, en general, no

    as a la inversa. Uno de los pocos casos en que WSS implica SSS es el proceso aleatorio Gaus-siano.

    Otras Formas de Estacionariedad.

    Se dice que cierto proceso aleatorio X(t) es asintticamente estacionario si la distri-bucin de )(,),(),( 21 +++ ntXtXtX L no depende de cuando es grande.

    Un proceso X(t) es estacionario en un intervalo si la ecuacin (1.6) es vlida para to-do tal que +++ kttt ,,, 21 L permanezcan en un intervalo que sea un subconjunto de .

    Se dice que un proceso X(t) posee incrementos estacionarios si sus incrementos )()()( tXtXtY += forman un proceso estacionario para cada . Los procesos de Poisson y

    Wiener son ejemplos de procesos con incrementos estacionarios.

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    Finalmente, se dice que un proceso es ciclo estacionario o peridicamente estacio-nario si es estacionario cuando el origen es desplazado en mltiplos enteros de cierta constan-te T0 (que es el perodo del proceso).

    Procesos No Estacionarios.

    De acuerdo a lo visto, un proceso aleatorio X(t) es no estacionario si las distribucio-

    nes que lo definen varan con el tiempo. Muchos procesos estocsticos, tales como seales de video o audio, datos meteorolgicos, seales biomdicas, etc. son no estacionarios pues son generados por sistemas cuyo entorno y parmetros varan en el tiempo. Por ejemplo, la seal de voz constituye un proceso no estacionario generado por un sistema articulador que es va-riante en el tiempo; tanto la intensidad como la composicin espectral de la seal varan con el tiempo, a veces abruptamente. Este tipo de procesos no estacionarios suele ser modelado mediante combinaciones de procesos aleatorios estacionarios, tal como se muestra en la figura 1.6. En la figura 1.6.a se muestra un proceso no estacionario modelado como la salida de un sistema variante en el tiempo cuyos parmetros son controlados por un proceso estacionario. En la figura 1.6.b, un proceso no estacionario es modelado mediante un a cadena finita de estados invariantes en el tiempo, cada uno de esos estados posee funciones de distribucin de probabilidad diferentes.

    +

    excitacin de estado

    Modelo de Estado(estacionario)

    Modelo de sealvariante en el tiempo

    ruido

    S1

    S3S2

    (a) (b)

    Figura 1.6: Modelos para procesos no estacionarios: (a) un proceso estacionario da valores a los parmetros de un proceso continuamente variante en el tiempo. (b) un modelo de estados finitos;

    cada estado posee diferentes distribuciones

    1.5 AUTOCORRELACION DE PROCESOS WSS REALES Al considerar procesos aleatorios estacionarios, la funcin de autocorrelacin RXX()

    permite conocer la tasa de cambio en funcin del tiempo que se puede esperar de un proceso aleatorio. En efecto, si la funcin de autocorrelacin decae rpidamente a cero, significa que se puede esperar que el proceso cambie rpidamente en el tiempo; por el contrario, si la fun-cin de autocorrelacin decae lentamente, el proceso presentar cambios lentos en el tiempo. Adems, si la funcin de autocorrelacin posee componentes peridicas, el proceso subyacen-te tambin las poseer. De aqu puede concluirse, correctamente, que la funcin de autocorre-lacin contiene informacin sobre el contenido de frecuencias esperado del proceso aleatorio. El principal tema a considerar en este apartado, es la relacin entre la funcin de autocorrela-cin y el contenido de frecuencias de un proceso aleatorio. En todo lo que se diga, se conside-ra que los procesos aleatorios mencionados son valuados reales. Sin embargo, los conceptos pueden ser extendidos a procesos aleatorios valuados complejos.

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    Propiedades de la Funcin de Autocorrelacin de procesos WSS.

    La funcin de autocorrelacin de un proceso aleatorio WSS valuado real se define como: { })()()( += tXtXERXX

    Discutiremos brevemente ciertas propiedades generales que son comunes a todas las

    funciones de autocorrelacin de procesos aleatorios estacionarios. 1. Si se considera que X(t) es una tensin a travs de una resistencia de 1 , el valor

    medio de X2(t) es la potencia media disipada en dicha resistencia por X(t): { }

    0)0( Media Potencia )(2

    ==

    XXRtXE (1.12)

    2. RXX() es una funcin par de : RXX() = RXX(-) (1.13)

    3. RXX() est acotada por RXX(0): |RXX()| RXX(0)

    4. Si X(t) contiene componentes peridicas, entonces RXX() tambin contendr com-

    ponentes peridicas.

    5. Si RXX(T0) = RXX(0) para cierto T0 0, entonces RXX es peridica con perodo T0.

    6. Si CRXX = )(Lm , entonces C = 2

    X

    7. Si RXX(0) < y RXX() es continuo en = 0, entonces lo ser para todo . Las propiedades 2 a 7 establecen que no cualquier funcin arbitraria puede ser una

    funcin de autocorrelacin.

    1.6 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

    Hasta aqu, todo lo dicho acerca de los procesos aleatorios ha sido en el dominio del tiempo. Es decir, hemos caracterizado los procesos en trminos de valores esperados y hemos utilizado funciones tales como la autocorrelacin, autocovarianza y correlacin cruzada sin considerar sus propiedades espectrales.

    En este punto, se llevar a cabo una caracterizacin espectral de los procesos estocsti-cos en el dominio de Fourier; es decir, en el dominio de la frecuencia. Como es sabido, el do-minio de las transformadas hace que ciertas operaciones, en particular la de filtrado, sean ms intuitivas que en dominio temporal original. El motivo es que la convolucin es una operacin de cierta complejidad, mientras que equivalente en el dominio transformado es un simple pro-ducto entre transformadas. As, en el caso de un filtro, si efectuamos el producto entre la transformada de Fourier (TF) de la seal de entrada y la TF de la respuesta impulsiva del fil-tro, podemos conocer, directamente, qu extensin espectral tendr la seal de salida del fil-tro.

    Para poder hacer uso de esta herramienta, debemos relacionar la teora de los procesos estocsticos con la teora de los sistemas lineales. Una manera inmediata de hacerlo sera lle-var a cabo el siguiente razonamiento: dado que los procesos aleatorios son una coleccin de funciones temporales, podramos limitarnos a calcular las TFs de las infinitas posibles realiza-ciones del mismo (suponiendo que estas existan) y as tendramos la caracterizacin del pro-ceso en el dominio espectral. Este razonamiento es correcto, aunque poco prctico; el motivo es obvio, nos obligara a trabajar con una coleccin de funciones transformadas. Sera mucho

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    ms til poder definir una nica funcin espectral que caracterizase conjuntamente a todas las posibles realizaciones del proceso. En cierta manera, sera algo equivalente a un espectro promedio del proceso. Con esa funcin, a la que denominaremos densidad espectral de poten-cia del proceso, podramos ver, por ejemplo, si el discurso de un locutor puede pasar sin dis-torsin a travs de un determinado sistema lineal (un amplificador) con independencia de lo que el locutor diga en concreto, haciendo uso de las caractersticas globales de la voz de dicho locutor.

    Establecimiento de la Densidad Espectral de Potencia

    Las propiedades espectrales de una seal determinstica x(t) quedan contenidas en su

    transformada de Fourier X(), la que se define como: = dtetxX tj )()( (1.14)

    La funcin X(), a veces denominada simplemente espectro de x(t), tiene unidades de

    volt por hertz cuando x(t) tiene unidades de volts y describe el modo en que se distribuye una seal de tensin con la frecuencia. La TF puede, consecuentemente, ser considerada como la densidad espectral de tensin de x(t). Dado que en la descripcin dada por X() est presente tanto la amplitud como la fase de x(t), si conocemos X() podemos recuperar x(t) mediante la transformada inversa de Fourier, definida como:

    = deXtx tj)(21)( Ahora bien, si intentamos aplicar la (1.14) a un proceso estocstico, nos enfrentaremos

    inmediatamente a diversos problemas. El primero de ellos es que no se puede garantizar la convergencia de la integral, y por lo tanto la existencia de X(), para todas las realizaciones del proceso. As, en principio, no podemos hacer uso de las TF para obtener las caractersticas espectrales de los procesos aleatorios a menos que podamos asegurar, de alguna forma, que la integral de Fourier converge.

    A tal fin consideremos, en principio, cierto proceso aleatorio X(t) a partir del cual defi-nimos otro proceso XT(t) el cual coincidir con el primero en una parte del eje temporal y ser nulo en el resto; es decir:

    >=

    Tt

    TttXtXT 0

    )()(

    Consideraremos que el proceso as definido, dado que T es finito, satisface:

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    una variable aleatoria. Dado que xT(t) es transformable, en virtud del teorema de Parseval para seales continuas, podemos escribir:

    == dXdttxTE TTT 22 )(21)()(

    Si dividimos esta expresin por la longitud del intervalo considerado, obtenemos la potencia promedio contenida en x(t) en el intervalo considerado; es decir:

    == dTXdttxTTP TTT 2 )(21)(21)(2

    2 (1.16)

    En este punto, podemos ver que el integrando del ltimo trmino de (1.16) es una den-sidad espectral de potencia pues su integracin da por resultado una potencia. Sin embargo, no es la funcin buscada por varias razones. Una es que la (1.16) no representa la potencia de toda la realizacin; para que lo sea, resta el paso de considerar T arbitrariamente grande. Otra es que (1.16) es solo la potencia de una funcin miembro y no representa la del proceso.

    En sntesis, para obtener la funcin de densidad espectral de potencia debemos tomar el lmite de T y considerar los valores esperados a fin de obtener la expresin buscada, es decir:

    [ ] [ ] dTXEdttXETP TTTTTXX == 2 )(lim21)(21lim2

    2 (1.17)

    La expresin (1.17) establece dos hechos importantes; en primer trmino, la potencia promedio PXX en un proceso aleatorio X(t) est dada por el promedio temporal de su segundo momento, es decir:

    [ ] [ ]T

    T

    TTXXtXEdttXE

    TP )()(

    21lim 22 ==

    en caso que el proceso sea WSS, resulta que E[X2(t)]= ; es decir, una constante y PXX= . En segundo trmino, PXX puede ser obtenida a partir de una integracin en el dominio de la frecuencia; en efecto, si definimos la Densidad Espectral de Potencia para el proceso aleato-rio como:

    2X 2X

    [ ]T

    XES T

    TXX 2)(

    lim)(2 = (1.18)

    la integral en cuestin es:

    = dSP XXXX )(21

    En sntesis, se denomina a SXX() Densidad Espectral de Potencia del proceso X(t) pues es una funcin que, integrada en el eje de las frecuencias proporciona la potencia media desarrollada por el proceso sobre una resistencia normalizada de 1 . Por lo tanto, mide como se reparte la potencia media del proceso en cada una de las frecuencias que contribuyen a la formacin del mismo.

    Relacin entre Funcin de Densidad Espectral de Potencia y funcin de Autocorrelacin

    Si utilizamos la (1.15), definicin de XT(), para introducirla en la (1.18) que define la

    densidad espectral de potencia, tenemos:

    [ ] )()(21lim

    )()(21lim)(

    2121

    2211

    21

    21

    =T

    T

    tjtjT

    TT

    T

    T

    tjT

    T

    tj

    TXX

    dtdteetXtXET

    dtetXdtetXT

    ES

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    La esperanza indicada en el integrando se identifica como la funcin de autocorrela-cin de X(t), de modo que resulta:

    ),(21lim)( 21

    )(21

    12 = TT ttjXXTTTXX dtdtettRTS (1.19)

    Si introducimos ahora un cambio de variables de la forma:

    t = t1 dt = dt1

    = t2 t1 = t2 t d = dt2 la expresin dada por (1.19) se transforma en:

    ),(21lim)( += TT jXXtT tTTXX dedtttRTS

    Si a continuacin tomamos lmite con respecto a la integral en , podemos intercam-biar las operaciones de lmite e integracin para tener:

    ),(21lim)( dedtttRT

    S jT

    TXXTXX

    +=

    As, la cantidad encerrada entre llaves se reconoce como el promedio temporal de la funcin de autocorrelacin del proceso, resultando:

    ),()( T dettRS jXXXX +=

    Esta ltima expresin muestra que la funcin de densidad espectral de potencia y el promedio temporal de la funcin de autocorrelacin del proceso forman un par en el campo de las TF.

    En el caso en que X(t) es, al menos, WSS, se verifica que )(),( XXTXX RttR =+ con lo que se obtiene:

    = deRS jXXXX )()( = F [RXX()] (1.20a) y

    = deSR jXXXX )(21)( = F -1 [SXX()] (1.20b)

    Las expresiones (1.20a) y (1.20b) son conocidas como relaciones de Wiener Khin-chine y forman el nexo bsico entre las descripciones en el dominio del tiempo (funciones de autocorrelacin) y en el dominio de la frecuencia (espectro de potencia). A partir de lo visto, es evidente que el conocimiento del espectro de potencia de un proceso permite la recupera-cin completa de la funcin de autocorrelacin cuando X(t) es, al menos, WSS. En caso de procesos no estacionarios, solo pueden recuperarse promedios temporales.

    Propiedades de la funcin de densidad espectral de potencia

    1.- SXX() es una funcin real. Ntese que, de acuerdo a la (1.18), se calcula a partir de la es-

    peranza de un mdulo al cuadrado de un nmero complejo; por lo tanto, es una esperanza de una magnitud real y, en consecuencia, real.

    2.- 0)(XXS . En efecto, siendo la esperanza de una magnitud no negativa, no puede ser negativa.

    3.- Si el proceso X(t) es real y estacionario, SXX() = SXX(-), es decir, es una funcin par. Esto es debido a que es igual a la TF de RXX(), funcin que, segn se ha visto, es real y par si el proceso X(t) es real y estacionario. Si el proceso X(t) fuese complejo, SXX() sera una fun-cin hermtica, puesto que tambin lo sera la autocorrelacin RXX().

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    4.- Habida cuenta de la relacin entre el valor cuadrtico medio de un proceso estocstico WSS y su funcin de autocorrelacin, se verifica que:

    [ ] === )()0()(21 2 tXERdSP XXXX

    5.- Si X(t) tiene componentes peridicas, entonces SXX() tendr impulsos. 6.- Si X(t) es, al menos, WSS, la funcin de densidad espectral de potencia y la funcin de

    autocorrelacin forman un par de TF de la forma:

    = deRS jXXXX )()( y = deSR jXXXX )(21)(

    Ejemplo:

    Hallar la funcin de densidad espectral de potencia del proceso aleatorio:

    X(t) = 10 cos(2000t + ) en el que es una variable aleatoria con una funcin de distribucin de probabilidad uniforme en el intervalo [-, ]

    Solucin:

    RXX(t1,t2) = E[X(t1)X(t2)] = E[10 cos(2000t1 + ) 10 cos(2000t2 + )] haciendo: t1 = t y t2 = t + es:

    [ ][ ]

    [ ])2000cos(50 )(

    )220004000cos(50)2000cos(50

    )220004000cos()2000cos(2

    10

    )20002000cos(10)2000cos(10),(2

    =

    +++=

    +++=

    +++=+

    XX

    XX

    R

    tE

    tE

    ttEttR

    La funcin de autocorrelacin resultante se muestra en la figura 1.7. La funcin de densidad espectral de potencia buscada se obtiene por simple transformacin, haciendo:

    SXX(f)= F [RXX()] = 50[ (f - 1000) + (f + 1000)] = 25[ (f - 1000) + (f + 1000)]

    Figura 1.7: Funcin de autocorrelacin del ejemplo

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    la funcin de densidad espectral de potencia del proceso, que se muestra en la figura 1.8, posee dos componentes discretas en el dominio de las frecuencias en f = 1000 Hz. Ntese, que:

    == dffSR XXXX )(210)0(2

    Puede verificarse que si consideramos X(t) = 10 sen(2000t + ); se obtiene la misma funcin de densidad espectral de potencia, lo cual ilustra que la funcin de densidad espectral de potencia no contiene ninguna informacin de la fase del proceso original.

    Figura 1.8: Funcin de densidad Espectral de Potencia del ejemplo A continuacin, brindaremos una serie de definiciones que sern de utilidad en captu-

    los posteriores. Procesos pasabajos y pasabanda.

    Se dice que un proceso aleatorio es pasabajos, con ancho de banda B, si su funcin de

    densidad espectral de potencia (psd por sus iniciales en ingles) es cero cuando |f | > B. Por otra parte, se dice que un proceso aleatorio es pasabanda si su psd es cero fuera de la banda defi-nida por:

    22BffBf cc +

    Usualmente, se conoce a fc como frecuencia central y a B como ancho de banda del

    proceso. En la figura 1.9 se muestran ejemplos de espectros pasabajos y pasabanda. Ntese que se utilizan tanto valores de frecuencia positivos como negativos y que la psd se muestra a ambos lados de f = 0. Tal caracterizacin espectral se denomina psd bilateral.

    Figura 1.9: Ejemplos de Densidades Espectrales de Potencia

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    Clculos de Potencia y Ancho de Banda. Tal como ya se ha expresado en la propiedad 4, el rea bajo la psd representa la poten-

    cia total en X(t). La potencia en una banda finita de frecuencias f1 a f2 estar dada por el rea bajo la psd entre f2 y -f1 ms el rea entre f1 y f2; as, para X(t) real:

    [ ] = 21

    )(2, 21f

    fXXX dfSffP

    La demostracin de esta expresin se deja para el prximo captulo; sin embargo, la

    figura 1.10 muestra que, al menos, es razonable. El factor 2 aparece en la ecuacin al conside-rar una funcin de densidad espectral de potencia bilateral y SXX() es una funcin par.

    Figura 1.10: Clculos de Potencia Ciertos procesos presentan funciones de densidad espectral de potencia con valores no

    nulos para cualquier valor no nulo de ; en estos casos, se utilizan algunos indicadores como medida de la dispersin de la densidad espectral de potencia en el dominio de la frecuencia. Una medida usual es, para estos casos el ancho de banda efectivo (o ancho de banda equiva-lente) Beff, el que se define, para procesos aleatorios de media nula con densidad espectral de potencia continua, como (ver figura 1.11):

    [ ])(max)(

    21

    fS

    dSB

    XX

    XX

    eff

    =

    Figura 1.11: Definicin de Ancho de Banda equivalente para un proceso pasabajos

    El ancho de banda efectivo se relaciona con una medida de la dispersin de la funcin de autocorrelacin denominada tiempo de correlacin c:

    )0(

    )(

    XX

    XX

    c R

    dR= Si SXX() es continuo y tiene un mximo en f = 0, puede demostrarse que:

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    ceffB 2

    1= Otras medidas de dispersin del espectro incluyen, entre otras, al ancho de banda

    RMS, definido como la desviacin standard de la SXX():

    =

    dS

    dSW

    XX

    XX

    RMS)(

    )(22

    1.7 ERGODICIDAD En el anlisis y diseo de sistemas que procesan seales aleatorias, frecuentemente se

    asume que se posee conocimiento previo de cantidades tales como medias, funciones de auto-correlacin y densidad espectral de potencia de los procesos estocsticos involucrados. En muchas aplicaciones, sin embargo, tal conocimiento previo no existe y, para que la teora de procesos aleatorios sea til, debemos ser capaces de estimar los valores mencionados a partir de datos disponibles.

    Desde un punto de vista prctico, resulta muy atractiva la idea de poder hacer esti-maciones a partir de datos registrados de una realizacin del proceso aleatorio. En efecto; si se desea estimar la media X(t) del proceso aleatorio X(t), el procedimiento usual es observar los valores de X(t) a travs de cierto nmero de realizaciones y calcular la media de los mis-mos para usar este valor como una estimacin de la media del ensamble X(t) ya que, como sabemos, la media est definida como un promedio de todo el ensamble. En cambio, si ni-camente se tiene acceso a una nica realizacin del proceso, digamos x(t), se puede obtener un promedio temporal de la forma:

    dttxT

    txT

    TT)(1)(

    2/

    2/= (1.21)

    el que sera deseable poder usar como estimacin de la media del proceso X(t). Ntese que, dada una realizacin del proceso, su media temporal

    Ttx )( es una constante, mientras que si consideramos el conjunto de valores tomados de todas las realizaciones posibles, E{X(t)} es una variable aleatoria de la cual el valor obtenido en (1.21) puede ser un valor particular. Ahora bien, si el proceso subyacente es WSS, X(t) es una constante (es decir, independiente de t) y la bondad de la estimacin obtenida mediante la (1.21), depender de la forma en que la esperanza de la media temporal tienda a X(t) y la varianza de la media temporal tienda a cero cuando T . As, si:

    { } XTT tXE = )(Lim y { } 0)(varLim = TT tX

    podemos concluir que la media temporal converge a la media del ensamble. En general, las media temporal y las medias del proceso aleatorio no son iguales, excepto en una clase muy especial de procesos, llamados ergdicos.

    El problema de determinar las propiedades de un proceso aleatorio a partir de una nica funcin miembro del proceso de duracin finita, pertenece a la Estadstica y ser tratado ms adelante. En lo que sigue, se vern las condiciones bajo las cuales los promedios tempo-rales igualan las medias de proceso. Centraremos la atencin en la media y las funciones de autocorrelacin y densidad espectral de potencia de procesos estocsticos estacionarios.

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    Definicin de Ergodicidad.

    Se llama ergdico a un proceso aleatorio estacionario X(t) si sus propiedades de con-junto igualan a las homlogas temporales. Esto significa que cualquier media del proceso X(t) puede ser obtenida a partir de una funcin miembro cualquiera de X(t). En la mayor parte de las aplicaciones, solo estamos interesados en ciertas propiedades de conjunto tales como me-dia y funcin de autocorrelacin, de modo que solo suele definirse la ergodicidad respecto a estas propiedades. Al presentar estas definiciones, se consideran promedios temporales en intervalos finitos (-T/2, T/2) y las condiciones bajo las cuales la varianza de los promedios temporales tiende a cero cuando T .

    Debe consignarse que la ergodicidad es una condicin ms restrictiva an que la es-tacionariedad y que no todos los procesos estacionarios son ergdicos. Ms aun, usualmente la ergodicidad se define en relacin con uno o ms momentos especficos y el hecho que un proceso sea ergdico con relacin a determinada media del proceso, no implica que lo sea respecto a otra. Ergodicidad de la Media. Se dice que un proceso X(t) es ergdico en la media si se verifica que:

    XTXT =

    L.i.m.

    en la que L.i.m. indica convergencia en el sentido medio cuadrtico, el cual requiere que: { } XTXT E =Lim y { } 0varLim = TXT

    Ahora bien, el valor esperado de TX para un valor finito de T est dado por:

    { } { } XTT

    X

    T

    T

    T

    TTX dtT

    dttXET

    dttXET

    E ===

    =

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1)(1)(1

    mientras que la varianza de TX puede ser obtenida a partir de la expresin general de la

    varianza para una media temporal, la cual se demuestra que es:

    { } dCTT XX

    T

    TTX )( 1

    1var

    = Si la varianza dada por la ecuacin precedente tiende a cero, entonces X(t) es ergdica en la media. Ntese, que { }

    TXE , para procesos WSS, es siempre igual a X; luego, un proce-so X(t) es ergdico en la media si:

    0)( 11lim =

    dCTT XX

    T

    TT (1.22)

    Si bien la (1.22) establece la condicin para la ergodicidad en la media de X(t), no es de mucha utilidad prctica; en efecto, a fin de utilizar la (1.22), debemos tener conocimiento de la CXX(). Sin embargo, la (1.22) puede ser de utilidad en aquellos casos en que se posee un conocimiento parcial de CXX(); por ejemplo, si se sabe que |CXX()| decrece exponencialmente para valores grandes de | |, podemos considerar que la (1.22) se satisface y, por lo tanto, el proceso es ergdico en la media.

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    Ergodicidad de la Funcin de Autocorrelacin. Se dice que un proceso X(t) es ergdico en la funcin de autocorrelacin si se verifica que:

    )()(L.i.m. XXTXXT RR = Puede demostrarse que: { } )()( XXTXX RRE = y que:

    { } dCTT

    R ZZT

    TTXX )( 1

    1)(var

    = (1.23) en la que Z(t) = X(t)X(t+). Como en el caso de la media temporal, el valor esperado de la funcin de autocorrela-cin temporal iguala a la del proceso independientemente del perodo T considerado. Por otra parte, si el lado derecho de la (1.23) tiende a cero a medida que T , entonces la funcin de autocorrelacin temporal iguala a la del proceso. En consecuencia, para cualquier dado,

    )()(L.i.m. XXTXXT RR = si

    { }[ ] 0)(()( 11lim 2 =+

    dRtZtZETT XX

    T

    TT

    siendo Z(t) = X(t)X(t+). Ntese, que para verificar la ergodicidad de la funcin de autocorrelacin es necesario el conocimiento de momentos de cuarto orden del proceso. Ergodicidad de la Funcin de Densidad Espectral de Potencia. La densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio WSS juega un rol muy im-portante en el anlisis y diseo de sistemas de procesamiento de seales; por lo tanto, la de-terminacin de las caractersticas espectrales de los procesos aleatorios a partir de datos expe-rimentales es un problema corriente de la ingeniera. La densidad espectral de potencia puede ser estimada a partir de tomar la TF de la fun-cin de autocorrelacin temporal. Un mtodo ms rpido de estimacin involucra a la media temporal; en efecto, se puede hacer:

    22

    2

    )2exp()(1)(

    =T

    TTXX dtftjtXT

    fS

    que recibe el nombre de periodograma del proceso. Ntese que la integral representa la trans-formada finita de Fourier; el mdulo de la TF elevada al cuadrado representa la funcin de densidad espectral de energa (teorema de Parseval) y 1/T es el factor de conversin para pa-sar del espectro de energa al de potencia. Desafortunadamente, esta densidad espectral de potencia temporal no converge a la funcin homloga del proceso cuando T . Por otra parte, tal como se mostrar en el lti-mo capitulo, cuando: { } )()(Lim fSfSE XXTXXT =

    la varianza de TXX fS )( no tiende a cero cuando T . El problema de la estimacin de

    funciones de densidad de potencia se ver en el captulo 7; entre tanto, apuntaremos aqu que

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    en este caso, la sustitucin directa de la funcin temporal TXX fS )( por la del proceso

    es incorrecta. )( fS XX

    Otras Formas de Ergodicidad. Se han definido varias formas de ergodicidad adems de las ya estudiadas; mencione-mos, entre ellas, las siguientes:

    Procesos Dbilmente Ergdicos. Se dice que un proceso aleatorio es Dbilmente Ergdico (WSE) si es ergdico en la media y en la funcin de autocorrelacin.

    Procesos con Distribucin Ergdica. Se dice que un proceso aleatorio es de Distribucin Ergdica si las funciones de distribucin temporales estimadas son iguales a las funciones de distribucin apropiadas del ensamble.

    Verificacin de Ergodicidad.

    Las condiciones de ergodicidad, tal como han podido definirse, son de uso limitado en aplicaciones prcticas dado que su verificacin requiere el conocimiento previo de parme-tros que, usualmente, no estn disponibles. Excepto en ciertos casos simples, usualmente es muy dificultoso establecer cuando cierto proceso estocstico cumple las condiciones de ergo-dicidad para determinado parmetro en particular. En la prctica, se est forzado a considerar el origen fsico del proceso aleatorio para extraer conclusiones sobre ergodicidad.

    Para que un proceso sea ergdico, cada una de las funciones miembro del ensamble debe permitir deducir que el proceso subyacente genera seales ergdicas, an cuando lo que se observa es una simple seal temporal. Por ejemplo; si consideramos las funciones miem-bros de una forma de onda binaria aleatoria, el carcter aleatorio y ergdico es evidente en cada una de ellas y es razonable pensar que el proceso sea, en algn sentido, ergdico. Por el contrario, si observamos una realizacin de un proceso que presenta un valor aproximadamen-te constante en el tiempo, no podemos intuir nada acerca de cmo lucir otra realizacin del mismo proceso (un promedio temporal de tal seal no aporta nada acerca de, por ejemplo, la media del proceso). En sntesis, una justificacin intuitiva acerca de la ergodicidad de un pro-ceso, reside en decidir si una funcin miembro luce como una verdadera seal ergdica cuyas variaciones en el tiempo pueda considerarse que representan una variante tpica de las del ensamble. Bibliografa. Papoulis, A.; Probability, Random Variables and Stochastic Process. 3rd Ed. (1991) McGraw-Hill. Shanimugan, K. & Breipohl, A.; Random Signal: Detection, Estimation and Data Analysis. (1988) John Willey & Sons Ltd. Vaseghi, Saced V.; Advanced Digital Processing and Noise Reduction 2nd Ed. (2000) John Willey & Sons Ltd. Briceo Mrquez, J.; Principios de las Comunicaciones. 3ra Ed. (2005) Publicaciones ULA

    Introducciny Revisin de Conceptos Bsicos Propiedades de la Funcin de Autocorrelacin de procesos WSS.Definicin de Ergodicidad.Ergodicidad de la Media.Ergodicidad de la Funcin de Autocorrelacin.Ergodicidad de la Funcin de Densidad Espectral de Potencia.Otras Formas de Ergodicidad.Verificacin de Ergodicidad.Bibliografa.