SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 9

II. Integrala definit

COMPETENE SPECIFICE 1. Identificarea unor date i relaii matematice si corelarea lor n funcie de contextul n care au fost definite 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse n enunuri matematice 3. Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea local sau global a unei situaii concrete 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora 5. Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaii problem n scopul gsirii de strategii pentru optimizarea soluiilor 6. Modelarea matematic a unor contexte problematice, prin integrarea cunostinelor din diferite domenii

CONINUTURI Definirea integralei Riemann a unei funcii continue prin formula

Leibniz-Newton Proprieti ale integralei definite : liniaritate , monotonie ,

aditivitate n raport cu intervalul de integrare BIBLIOGRAFIE BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil

M2 , Editura MATHPRESS Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere de

exerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 10

1. Formula Leibniz-Newton

BREVIAR TEORETIC DEFINIIE Fie : ,f a b o funcie care admite primitive pe ,a b i F o primitiv oarecare a lui f . Se numete integral definit de la a la b

a lui f expresia F b F a i se noteaz ( )b

a

f x dx F b F a

OBSERVAII

1) Formula ( )b

a

f x dx F b F a se numete formula Leibniz-

Newton ; 2) Funcia f care admite primitive pe ,a b spunem c este integrabil ( n sensul lui Newton);

3) Dac 0f atunci ( )b

a

f x dx reprezinta aria regiunii delimitate

de graficul funciei f , axa Ox i dreptele verticale x a , x b .

4) Pentru a calcula ( )b

a

f x dx se parcurg 2 pai :

I. Se determin o primitiv F a lui f II. Se calculeaz F b F a ;

5) Din definiie rezult : 1. ( ) 0a

a

f x dx ; 2. ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

3. a

a

dx b a ;

6) n loc de F b F a se folosete notaia baF x ( citim F x luat ntre a i b ) ;

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 11

7) Formula Leibniz-Newton d o regul simpl de calcul a integralei

definite . Formula face legtura ntre integrala definit ( )b

a

f x dx i

integrala nedefinit ( )f x dx prin primitiva F . 8) Integrala nedefinit este o mulime de primitive

( ) ( )f x dx F x C iar integrala definit este un numr real

( )b

a

f x dx F b F a

9) Capetele intervalului ,a b , deci a i b se numesc limitele sau capetele de integrare n integrala definit , a limita inferioar , iar b limita superioar . Intervalul ,a b se numete intervalul de integrare . Funcia f se numete integrand .

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 12

EXERCIII PROPUSE 1) S se aplice formula Leibniz-Newton pentru calcularea urmtoarelor integrale definite :

a) 1

2

0

3x x dx ; b) 2

3

21

2 1x dx

x x

; c)

12

1

13

2x x dx

;

d) 4

31

12 x x x dx

x

; e)

3

1

53x x dx

x

; f)

12

20 1

dx

x ;

g) 1

21 4

dxx ; h)

5

24 9

dx

x ;

2) S se calculeze integralele :

a) 1

2 3

0

3 4 11x x dx ; b) 0

sin 3cosx x dx

; c) 342

1

x x dx

d) 2

2

1

6 8 3x x dx ; e) 12

2 313

1 1 dxx x

; f)

4

1

32 x dx

x

;

g) 4

6

3sin 4cos 2x x tgx dx

; h) 1

0

1 12 4

2 4

x x

x x dx ;

i)

23

20

59 4

dxx

; j) 1

20

34dx

x ; k)

32

20

1

9dx

x ;

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 13

EXERCIII PROPUSE

1) Se consider funcia :f , 3 21 3 1f x x x . S se

calculeze 1

0

f x dx .

2) Se consider funcia : 1,f , 1

1 lnf x

x x

. S se

calculeze 1

e

f x dx .

3) Se consider integralele 1

0

11

n

n

xI dx

x

, pentru orice n

. S

se calculeze 1

I .

4) Se consider funcia : 0,f , lnxf x xx

. S se

calculeze 1

lne xf x dx

x

.

5) Fie funciile : 0;1mf , 2 2 2 1 1mf x m x m m x , unde

m . S se calculeze 1

10

f x dx .

6) Pentru fiecare n se consider 2

lne nn

e

xI dx

x . S se verifice

c 0 1I .

7) Se consider funcia : 4,4f , 216f x x . S se

calculeze 4

2

0

f x dx .

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 14

8) Se consider funcia :f , 2 1xf x e x . S se verifice

c 12

0

11

f xdx e

x

.

9) Se consider 3

22 1

n

n

xI dx

x

, n . S se verifice c 0

1 3ln

2 2I

10) Se consider funcia : 0,f , lnf x x x . S se

calculeze 2

2

1

lnx f x x dx ;

11) Se consider funcia : 0,f , 2 2

1 1

1f x

x x

. S se

calculeze 21

1

1

e

x f x dxx

.

12) Se consider funcia : 2;f , 1 1

1f x

x x

. S se

calculeze 2

11

e

f x dxx

.

13) Fie 2

1

n xnI x e dx , pentru n . S se calculeze 0I .

14) Se consider funcia :f , 3 2f x x mx nx p , unde

, ,m n p . Pentru 0m , 3n , 2p , s se calculeze 1

0

f x dx .

15) Se consider funcia :f , 1004 2009xf x x . S se

determine 1

0

f x dx .

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 15

2. Proprieti ale integralei definite

BREVIAR TEORETIC P1 ( Proprietatea de linearitate ) Dac , : ,f g a b sunt dou funcii continue i , atunci :

1) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

2) b b

a a

f x dx f x dx

P2 ( Proprietatea de aditivitate la interval ) Fie : ,f a b

funcie continu i ,c a b . Atunci :

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx ( Relaia lui Chasles )

OBS. f este integrabil pe ,a b f este integrabil pe ,a c i

pe ,c b i b c b

a a c

f f f

P3 ( Integrarea n inegaliti Proprietatea de ordine ) 1) Inegalitatea fundamental pentru integrale . Fie : ,f a b

continu , 0f x , ,x a b . Atunci : 0b

a

f x dx .

Consecin : 0f i 0b

a

f x dx 0f .

2) : ,f a b , f continu , 0f x , ,x a b i

, ,c d a b , c d , atunci d b

c a

f x dx f x dx

3) (Monotonia integralei) Fie , : ,f g a b dou funcii continue

astfel nct f x g x , ,x a b atunci b b

a a

f x dx g x dx

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 16

Consecin ( Funcie mrginit ) Dac f continu i m f x M ,

,x a b atunci b

a

m b a f x dx M b a .

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 17

EXERCIII PROPUSE

1) S se calculeze integrala 2

32

21

1 13 4

1I x x dx

x x

;

2) S se calculeze 1

1

f x dx , unde

1 , 1,01 sin , 0,1

x xf x

x x

;

3) S se calculeze 2

2

2

1x dx

;

4) Se consider funcia :f , , 12 , 1

xe e xf x

x x

. S se

calculeze 0

2

xf xdx

e

5) S se arate c : a) 1 3

20

10

3x

dxx

; b)

3

50

sin0

sin 5x dxx

;

6) S se demonstreze inegalitile de mai jos , utiliznd proprietatea de ordine a integralei :

a) 2 2

5 6

0 0

sin sinxdx xdx

; b) 7

4

1 31

3 5x

dxx

;

c) 1

2

1

2 2 4 5 2 10x x dx

; d) 2

1

1

22xe dx

e

;

7) Folosind eventual inegalitile date s se demonstreze :

a) 2 2

1 11

1 1nx x

,

10,

2x

12

20

12 61 n

dx

x

;

b) 2 13

2 22

1 1x x

xx x

, 0,1x 1 1302

n2 11

l x dxx

;

c) 1xe x , 0x i apoi 21

0

43

xe dx ;

SUPORT DE CURS XII / II.Integrala definit/P a g e | 18

8) Se consider irul 1n n

I

, unde 1

20 3 2

n

n

xI dx

x x

, n .

S se arate c : a) 1n nI I , 1n ; b) 2 11

3 21n n n

I I In

,

n ; c)

1 16 1 6 1n

In n

, 2n ; d) 1

lim6nn

nI

;

9) S se calculeze :

a) 4

1

2x dx ; b) 2

2

2

1x dx

; c) 2

3

2

x x dx

;

d) 4

0

f x dx unde 2 1 , 0,1

4 , 1,4

x xf x

x x

;

e) 1

1

f x dx unde

2 , 1,0

1 , 0,1

x xf x

x x

;

10) S se calculeze folosind proprietatea de liniaritate a integralei :

a) 1

2

0

6 14x x dx ; b) 0

5sin 3cosx x dx

;

c) 2 3

1

5 4x xdx

x

; d) 1 2

20

111

xdx

x

;

11) Folosind faptul c 22 1xx e , pentru orice x , s se

demonstreze c 2

1

0

23

xe dx .

12) Se consider integralele 1

0

11

n

n

xI dx

x

, pentru orice n

.

Folosind , eventual , faptul c 2x x pentru orice 0;1x , s se

demonstreze c 2 1

I I .