Wykład 1

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

1

Wykład 1


2

ZbiórPrzykłady:

• zbiór studentów 1go roku PJWSTK

• zbiór książek w bibliotece

• zbiór liczb naturalnych (ozn. N)

• zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R)

• zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*)

Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów nazywamy Teorią Mnogości.

Za jego twórcę uważa się George Cantora.

Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5N.

Symbol nazywamy relacją należenia.

Jeśli element nie należy do zbioru, np. -2.5 nie jest liczbą naturalną, tzn. -2.5 nie należy do zbioru N, tzn. -2.5 N.


3

Definiowanie zbiorów

• przez wymienienie ich elementów

• przez podanie własności, które muszą spełniać elementy

• przez podanie sposobu wyliczania elementów

A = {a,b,c,d,e,f,g}

B = {x : xN oraz x<6}

C = {x2 + 1 : xN}Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez .

Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A , bo aA.

Jeśli jakiś obiekt nie należy do zbioru, to używamy symbolu , np. h A.

Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego!

Przykład Jeśli A= {0,1}, to000 A*, 010101 A*.Do zbioru A* zalicza się też ciąg pusty ozn.


4

Równość zbiorówDefinicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają dokładnie te same elementy. A = B wttw dla dowolnego x, jeżeli x A, to x B i odwrotnie jeżeli x B, to x A .

Przykład

A = {5,50,500,5000} = {5* 10x: xN i x<4}

A = {5000,5,50,500}

Uwaga : Jeżeli A = B i B= C , to A = C.

AB wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A.


5

Relacja zawierania

Definicja

Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to x B.

Jeśli A=B, to również AB.

O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B, a o B mówimy, że jest nadzbiorem A.

Jeśli AB i A B, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. A B.

inkluzja

BA

Przykłady: N R, Q R, Z R

{d, a} {a,b,c,d,e,f}

A jest zawarty w zbiorze B

Zbiór B zawiera zbiór A


6

Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zboru A i jednocześnie nie należy do zbioru B.

A B AB

A B wttw istnieje takie x, że xA i x B.

A B Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2 a nie jest podzielne przez 5.

Relacja zawierania


7

Własności inkluzji

Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

• A

• A A

• Jeśli A B oraz B C, to A C.

• Jeśli A B oraz B A, to A = B.

• Jeśli A B, to non A B lub non B A.

Uwaga Jeśli xA, to { x} A.

Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A nazywa się zbiorem potęgowym. Ozn. P(A)

Niech A={1,2,3}. Wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3}, {1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}}

P() = {}


8

Suma zbiorów

Definicja

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez A B .

x A B wttw x A lub x B

Uwaga Kiedy x A B?

x A B wttw x A i x B

Przykład. A={3k: k N}, B= {2k : k N}. A B = {n: n jest liczbą,, która

dzieli się przez 2 lub przez 3.

A B


9

Własności sumyTwierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

• A = A

• A A = A

• A B = B A

• (A B) C = A (B C)

Uwaga Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeżeli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie.

łączność

przemienność


10

Inkluzja a suma

Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C:

• A A B oraz B A B

• Jeśli A C i B C , to A B C

• Jeśli A B i C D , to A C B D

• A B wttw A B = B

Niech A B oraz x A B . Wtedy x należy albo do A lub do B. Na mocy założenia , jeśli x A, to x B. Zatem x B .Ponieważ powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x więc udowodniliśmy, że jeśli A B to A B= B.

Odwrotnie, załóżmy, że A B = B. Jeżeli x A wtedy x A B, a ponieważ zbiory A B i B są równe więc x B. Czyli A B.


11

Iloczyn zbiorów

Definicja

Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A , które są równocześnie elementami zbioru B.

x A B wttw x A i x B

A B

Kiedy element nie należy do iloczynu?

x A B wttw x A lub x B

Przykład. A={2i : i<16} B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6}


12

Własności iloczynu


• A =

• A A = A

• A B = B A

• (A B) C = A (B C) łączność

przemienność

A B

C

A B

C=


13


• A (A B) = A (A B) B = B

• A (B C) = (A B) (A C)

• A (B C) = (A B) (A C)

A B

C

A B

C=

Prawaabsorbcji

Prawa rozdzielnosci

A (B C) (A B) (A C)

Iloczyn a suma


14

Różnica symetryczna

Róznicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że

x A lub x B ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie.

Przykład A= {2i : i<6} B= {3i : i<6}

A B = {2, 3,4,8,9,10,15}

A B = {0,2,3,4,6,8,9,10,12,15}


15

Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B.Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B.

x A\B wttw x A i x B

x A\ B wttw x A lub x B .

A B

Przykład

A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5}

wtedy

A\B = {2,4,6} B\A = {7,9}

Uwaga

x A B wttw x A\B lub x B\A.

Różnica zbiorów


16

Własności różnicyTwierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

• A\B A

• A B wttw A\B =

• Jeśli A B, to C\B C\A

• Jeśli A \(B C)= (A\B)\C.

Dowód (4): x A \(B C) wttw x A i x (B C) wttw x A i xB i xC wttw x A\B i xC wttw x (A \B)\C.

A

B

C

A

B

C

C\B C\A

A\(B C) = (A\B) (A\C)

A\(B C) = (A\B) (A\C)


17

Definicja Dopełnieniem(Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U:

x- A wttw x A

W zastosowaniach algebry zbiorów bardzo często ograniczamy się do podzbiorów pewnego ustalonego zbioru. Nazywać go będziemy uniwersum, lub przestrzenią.

Oczywiście mamy U\A = -A

Przykład Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych.

UA

Dopełnienie zbioru


18

Własności dopełnień

Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U :

• - = U -U =

• -(-A ) = A

• Jeśli A B, to - B -A.

-(A B) = -A -B

-(A B) = -A -B


19

Działania nieskończone(tego nie było trzeba zrobić później)

Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {Ai : i I}.

Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór Ai taki, że x Ai wttw istnieje takie i I, że x Ai .

Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór Ai taki, że x Ai wttw dla wszystkich i I, x Ai

Przykład. 1.Niech dla i N, Ai = zbiór ciągów długości i o elementach z pewnego zbioru Wtedy zbiór Ai =

2. Ai = {x R : x<i} dla i N Ai = R Ai = {x R : x<0}0 x +

Documents

Wykład 1