VJEZBE LINEARNA

7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

1/168


2/168

LINEARNA ALGEBRA VJEBE

______________________________________________________________________________

2__________________________________________________________________________________

UMJESTO UVODA

Ova skripta nastala je iz zabiljeki sa raunskih vjebi, kursa Linearna algebra, odranih u

prvom semestru akademske 2012/2013. godine. U toku prvog semestra odrano je ukupnopetnaest raunskih vjebi, te je skripta podijeljena u odgovarajuih petnaest segmenata. Neki odsegmenata su zapoeli ili zavrili u sredini neke tematske cjeline, to donekle daje nezgrapanoblik tekstu. Ipak, elja mi je bila da razdvojim gradivo koje je obraivano na pojedinimvjebama, kako bi se itaoci, koji e prouavati izloenu materiju, a koji su eventualno preskoilineke od vjebiobraenih u ovom kursu, mogli relativno lako da se snaui panju usmjere na tajdio gradiva.

Dui niz godina primjeuje se tendencija da se ispit iz LA jako teko polae. Gradivo zaista jesteprilino kompleksno i apstraktno ali, iako isti zadatak stoji i ispred mene, imam utisak da je ovomaterija koja nije do te mjere zahtjevna, da se ne bi mogla usvojiti u nekom razumnom vremenu.

Lino mislim da je problem u neredovnom pohaanju asova i relativno nedosljednimbiljekama sa predavanja i vjebi. Kako sam i sam propustio nekoliko asova, morao sam da sesnalazim i pozajmljujem biljeke od kolega. Prepisujui biljeke primjetio sam da moje kolegedosta turo vode biljeke, ak do te mjere da su postavke zadataka skraene i izostavljene. Takvasituacija rezultuje neminovnim nejasnoama u kasnijem spremanju ispitnog gradiva.

Stoga sam napisao ovu skriptu kao pokuaj da sistematizujem gradivo izloeno u ovom kursu, alii da na neki nain pomognem kolegama koji imaju problema sa polaganjem LA. Bilo bi mi dragokada bi kolege koje su uspjeno savladale gradivo, dale svoj prilog i objavile rjeenja ponekogispitnog roka, kako bi ostale kolege imale bolju orjentaciju u spremanju ovog, krajnje zahtjevnog

ispita. itaocima elim da to prije spreme i poloe LA, kako bi to prije mogli da se uhvate u

kotac sa strunim predmetima.

PRadoji


3/168

VJEBE LINEARNA ALGEBRA

_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________3

SADRAJ

(Vjebe br. 1.)................................................................................................................................................ 5

A1. Osnovni pojmovi matematike logike ............................................................................................ 5

A2. Elementi teorije skupova ................................................................................................................. 6

(Vjebe br. 2.).............................................................................................................................................. 11

A3. Binarne relacije .............................................................................................................................. 12

A4. Relacija ekvivalencije .................................................................................................................... 19

(Vjebe br. 3).............................................................................................................................................. 22

A.5. Relacija parcijalnog ureenja ...................................................................................................... 32

(Vjebe br.4)............................................................................................................................................... 36

A.6. Preslikavanja ................................................................................................................................. 36

A7. Invertibilnost preslikavanja .......................................................................................................... 43

(Vjebe br.5)............................................................................................................................................... 49

A8. Binarne operacije ........................................................................................................................... 49

A9. Algebarske strukture ..................................................................................................................... 50

(Vjebe br.6)............................................................................................................................................... 58

A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije ................................................................................... 58

B 1. Skup realnih brojeva ..................................................................................................................... 63

B 2. Princip matematike indukcije .................................................................................................... 67

(Vjebe br.7.)............................................................................................................................................. 70

B 3. Skup kompleksnih brojeva .......................................................................................................... 70

C. Kombinatorika ................................................................................................................................. 79

(Vjebe br.8.).............................................................................................................................................. 83

C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula) ........................................................................ 83


4/168


______________________________________________________________________________

4__________________________________________________________________________________

C.7. Princip ukljuenja- iskljuenja.................................................................................................... 85

D. Polinomi ............................................................................................................................................ 89

Dijeljenje polinoma ............................................................................................................................... 91

(Vjebe br.9.).............................................................................................................................................. 97

Vektoriski prostori i linearni operatori .............................................................................................. 97

Vektorski potprostori ......................................................................................................................... 107

(Vjebe br. 10.)......................................................................................................................................... 110

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.......................................................................................... 113

(Vjebe br.11.).......................................................................................................................................... 119

Baza i demenzija vektorskog prostora .............................................................................................. 119

(Vjebe br. 12).......................................................................................................................................... 127

Matrice ................................................................................................................................................. 127

(Vjebe br. 13.)......................................................................................................................................... 135

Linearni operatori............................................................................................................................... 135

Gausov metod eliminacije .................................................................................................................. 138

Kramerovo pravilo.............................................................................................................................. 140

Determinante ....................................................................................................................................... 141

(Vjebe br. 14.).......................................................................................................................................... 147

Matrini prikaz linearnog operatora ................................................................................................ 149

Rang matrice ....................................................................................................................................... 151

Redukovana stepenasta forma ........................................................................................................... 152

Analiza saglasnosti linearnih sistema ................................................................................................ 154

(Vjebe br.15.).......................................................................................................................................... 157

Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice ............................................................................ 157


5/168


6/168


______________________________________________________________________________

6__________________________________________________________________________________

jer u skupu realnih brojeva imamo 0, a dijeljenje nulom nije definisano!

A2. Elementi teorije skupova

Skup je osnovni matematiki pojam koji se ne definie. Skup je potpuno odreen svojimelementima.

Primjer br. 1.

A={-1,0,1} B={a,b,c,d}

Pri tome je redoslijed elemenata nebitan:

A={-1,0,1}={1,0,-1}={0,1,-1}

U skupu se svaki element zapisuje samo jednom.

A={-1,0,1}={-1,0,0,0,1}

Primjer br. 2.

Skup moemo zadavati i navodei svojstva njegovih elemenata:


7/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________7

- skup prirodnih brojeva

- skup cijelih brojeva

- skup racionalnih brojeva

- skup realnih brojeva

- skup kompleksnih brojeva

Primjer br. 3.

Napisati prosti izraz za date skupove pretpostaviti da je univerzalni skup, skup realnih brojeva:

a)

b)

c)

d)

TEOREMA 1. (kvadrat zbira)

(kvadrat razlike)

TEOREMA 2. (kub zbira)

(kub razlike)


8/168


______________________________________________________________________________

8__________________________________________________________________________________

TEOREMA 3. (razlika kvadrata)

TEOREMA 4. (zbir kubova)

(razlika kubova)

TEOREMA 5. (Njutnova binomna formula)

e)

f)

g)

DEFINICIJA: Ako su svi elementi skupa B ujedno i elementi skupa A tada kaemo da je Bpodskup skupa A i piemo

Ako je pri tome kaemo da je B pravi podskup skupa A.

DEFINICIJA: Dva skupa su jednaka akko su jedan podskup drugog i obrnuto.


9/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________9

DEFINICIJA: Skup svih podskupova skupa A zove se partitivni skup skupa A u oznaci

ili 2A.

Zadatak br. 1.

Ako je dat skup A={a,b,c} odrediti partitivni skup skupa A.

TVRENJE:Ako je skup A konaan tada vai:


10/168


______________________________________________________________________________

10__________________________________________________________________________________

Skup i nema dva ista broja iz definicije!

DEFINICIJA: Neka su Tada je komplement ili dopuna

do skupa S.

unija skupova A i B

presjek skupova A i B

razlika skupova A i B

simetrina razlika skupova A i B

Pokazuje se da vae i sledee jednakosti:

1.

2. komutativnost unije

3. komutativnost presjeka

4. asocijativnost unije

asocijativnost presjeka

5. distributivnost unije


11/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________11

distributivnost presjeka

6.

7.

8.

9. De Morganova pravila

10.

Zadatak br. 2.

(Vjebe br. 2.)

DEFINICIJA: Dekartov proizivod dva skupa X i Y u oznaci je skup ureenih parova

Zadatak br. 3.

Dati su skupovi

Grafiki predstaviti skup .


12/168


______________________________________________________________________________

12__________________________________________________________________________________

Zadatak za vjebu:

Dati su skupovi

Odrediti skup , grafiki gapredstaviti i analitiki zapisati.

A3. Binarne relacije

DEFINICIJA:Ureena trojka (X,Y,R) gdje su X i Y neprazni skupovi i R neprazan proizvoljanpodskup Dekartovog proizvoda skupova X i Y naziva se binarna relacija izmeu skupova X i Y.

Napomena: Ako je Y=X onda je

binarna relacija u skupu X.


13/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________13

Ako kaemo da je element u relaciji R sa elementom .

Primjer br.1.

Neka je X={1,2,3} i Y={2,4,6}. Tada je Dekartov proizvod ova dva skupa

TVRENJE:Ako su X i Y konani skupovi, tada je i skup konaan i vai

R1,R2 su binarne relacije.


14/168


______________________________________________________________________________

14__________________________________________________________________________________

Primjer br. 2.

Neka je X={1,2,3,4}. Tada je

i neka je

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

je binarna relacija u skupu X.

Zadatak br. 1.

Napisati sve binarne relacije na skupu S={a,b} izuzev onih ija je kardinalnost vea od 2.

Zadatak br. 2.

Neka su dati skupovi A={1,2,3,4} i B={1,2,3,4,5,6} i relacija .

Predstaviti zadatu relaciju:

a) pomou Dekartovog dijagrama,

b) nabrajanjem parova,


15/168


16/168


______________________________________________________________________________

16__________________________________________________________________________________

Zadatak br. 3.

Dati su skupovi E={2,3,4,5,6} i F={7,8,9,10,11,12}. Odrediti relaciju definisanu sa:

a)

b)


17/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________17

a)

b)


18/168


19/168


20/168


______________________________________________________________________________

20__________________________________________________________________________________

TEOREMA 1.Ako je ~ relacija ekvivalencije na skupu X tada vai

1.

2.

3.

TEOREMA 2. Neka je familija nepraznih skupova particija skupa X. Ako je

binarna relacija u skupu X definisana sa tada je relacija

ekvivalencije.

Zadatak br. 1(ispitni):

Neka je X={x1,x2,...xn}. Koliko ima binarnih relacija definisanih u skupu x?

Kako je broj elemenata partitivnog skupa jednak broju varijacija sa ponavljanjem, to e

broj elemenata ovog skupa iznositi . Poto partitivni skup, osim nepraznih podskupova sadri

i prazan skup, to e broj binarnih relacija biti umanjen za prazan skup, odnosno bie jedenak

.


21/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________21

Zadatak br. 2(ispitni):

Na skupu E={-6,-5,-4,-3,0,3,4,5,6} definisana je binarna relacija

a) Dokazati da je R relacija ekvivalencije.

b) Odrediti klase ekvivalencije.

Refleksivnost:Posmatrajmo bikvadratnu jednainu

Zakljuak: Dokazali smo da je relacija R refleksivna , to je i vie nego to je potrebno.

Naime, binarna relacija R je refleksivna na itavom skupu realnih brojeva, pa je samim timrefleksivna i na njegovom podskupu E.

Simetrinost: Neka je

Treba dokazati da je odnosno .

Ovim je dokazana simetrinost binarne relacije R.


22/168


23/168


24/168


______________________________________________________________________________

24__________________________________________________________________________________

Zadatak br.3.(trivijalni):

U skupu definisana je relacija . Ispitati da li je relacija

ekvivalencije i ako jeste, odrediti koliniki skup.

Primjetimo da je

odnosno, kae se da skup realnih brojeva ima mo kontinuuma.

Refleksivnost: (Treba dokazati )

Neka je proizvoljan. Tada vai

to je poznata osobina u skupu realnih brojeva.

Ono to vai za proizvoljan element, vai i za svaki, pa je


25/168


26/168


______________________________________________________________________________

26__________________________________________________________________________________

U skupu definisana je relacija .

Provjeriti da li je relacija ekvivalencije i ako jeste, opisati koliniki skup i klasu ekvivalencijekojoj pripada taka (0,0,0). Dati geometrijsku interpretaciju.

Refleksivnost:

Neka je proizvoljan element. Tada je

Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno time jedokazano da je relacija refleksivna.

Simetrinost:

Neka su

Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno relacija je simetrina.

Tranzitivnost:

Neka su uzete proizvoljne ureene trojke

Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno relacijaje tranzitivna.


27/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________27

Kako je relacija refleksivna, simetrina i tranzitivna, dokazano je da je ona relacijaekvivalencije.

Klase ekvivalencije:

Ako posmatramo relaciju , vidjeemo da je ona definisana sa tri uslova i to utrodimenzionalnom prostoru . Dakle, skup moemo geometrijski posmatrati kao

trodimezionalni prostor, odreen trodimezionalnim pravouglim koordinatnim sistemom.

Ukoliko bi relacija bila sastavljena samo od prvog uslova uslova( ), to bi

praktino znailo da jednoj klasi ekvivalencije pripadaju sve take trodimezionalnog prostora,ija je prva koordinata ista, a to geometrijski predstavlja ravan koja jeparalelna sa ravni y-z iudaljena je od nje za a u pozitivnom smjerux ose.

Uvede li se drugi uslov ( ), klasa ekvivalencije se suava. Imajui u

vidu da znak druge koordinate mora biti jednak, to praktino znai da ovaj uslov svodi klasuekvivalencije na poluravan, omeenu pravom p, koja istovremeno pripada klasi ekvivalencije.

Konano, trei uslov ( .) dodatno suava klasu ekvivalencije. Ovaj uslov kazuje

da cjelobrojni dio tree koordinatekod dvije take koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije, morabiti jednak. Ovaj e uslov podijeliti prijanju poluravan na trakice, koje su irinepoluotvorenog intervala [c,c+1). Da bi se ovo objasnilo, moemo iz prostora za trenutak

pobjei u jednodimenzioni prostor . Na slici e biti predstavljena prava, koja predstavlja skup

realnih brojeva. Ako se na ovoj pravoj predstavi skup cijelih brojeva , dobie se cijeli podioci

vrijednosti {...0,1,2,3,...}. Jasno je da u ovom skupu cjelobrojni dijelovi elemenata ne mogu biti

jednaki. To je meutim mogue u skupu realnih brojeva. Naime, svi brojevi od nule do jedinice,ukljuujui nulu i iskljuujui jedinicu, imae isti cjelobrojni dio(npr. 0,342 i 0,8554 imaju isticjelobrojni dio-nulu). Isto vai za bilo koji drugi interval. Dakle vidi se da su ovo poluotvoreniintervali, iji je predstavnik cijeli broj kojim zapoinje interval.


28/168


29/168


30/168


______________________________________________________________________________

30__________________________________________________________________________________

Ono to vai za proizvoljne elemente, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosnoovim je dokazano da je relacija tranzitivna.

Kako je relacija refleksivna, simetrina i tranzitivna, zakljuujemo da je ista relacijaekvivialencije.

Klase ekvivalencije i grafika interpretacija:

Primjetimo da relacija ne zavisi od tree koordinate. To znai da e svake dvije take ije prve

dvije koordinate budu zadovoljavale uslov za ispunjenje relacije, biti u relaciji , bez obzira nanjihov poloaj po visini. Drugim rijeima, bilo koje take koje se nalaze na dvije prave,paralelne sa osom z" bie u relaciji. To se najbolje vidi na sledeoj slici:

Na slici se jasno vidi da i take (a,b,c+1),(a,b,c-1),(d,e,f+1),(d,e,f-1) pripadaju istojklasi ekvivalencije. Poto klase ekvivalencije ne zavise od tree koordinate, jasno je da i take(a,b,0),(c,d,0) takoe pripadaju istoj klasi. To je dosta korisno, jer se sada razmatranje iz

prostora moe prebaciti u jednostavniji prostor.


31/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________31

Posmatrajmo sada izraz koji definie relaciju :

Izraz se na jednostavan nain moe transformisati u izraz

Grupiui koordinate taaka, uoavamo da se radi o kvadratu rastojanja od koordinatnogpoetka. To znai da sve take, koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije imaju jednaku udaljenostod koordinatnog poetka. Poto nije dat nijedan dodatni uslov, zakljuujemo da te take tvorekrunicu, to se jasno vidi na sledeoj slici, na kojoj je prikazana i trea, proizvoljna taka sakoordinatama (g,h,0):

Obzirom da trea koordinata taaka u prostoru nije bitna za njihovu pripadnost istojklasi ekvivalencije, to e kroz svaku taku ove krunice prolaziti paralelne prave, koje e sadratitake iste klase ekvivalencije. Skup ovih pravih sainjava cilindar beskonane duine, kako se tovidi na sledeoj slici:


32/168


______________________________________________________________________________

32__________________________________________________________________________________

A.5. Relacija parcijalnog ureenja

DEFINICIJA: Svaka binarna relacija koja je istovremeno

-refleksivna ,

- antisimetrina i

- tranzitivna

naziva se relacija parcijalnog ureenja i oznaava sa .

Skup X u kome je uvedena relacija parcijalnog ureenja, naziva se parcijalno ureenskup i oznaava sa .

Zadatak br.1:

Ako je i dokazati da je relacija parcijalnog ureenja.


33/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________33

Refleksivnost:

Treba dokazati , vai , to je oigledno tano. Dakle, je refleksivna.

Antisimetrinost:

Po definiciji jednakosti skupova vai

pa je time dokaz zavren, odnosno relacija je antisimetrina.

Tranzitivnost:

oigledno tano, odnosno relacija je tranzitivna.

Poto je refleksivna, antisimetrina i tranzitivna, to znai da je relacija parcijalnog

ureenja.

Napomena: Relacija


34/168


______________________________________________________________________________

34__________________________________________________________________________________

Primjer br. 2:

Ako je X={{1},{1,2},{1,2,3}} tada je relacija totalnog ureenja u skupu X.

Refleksivnost:

(

Antisimetrinost:

Tranzitivnost:

je relacija parcijalnog ureenja.

je relacija totalnog ureenja.


35/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________35

DEFINICIJA: Neka je parcijalno ureen skup, odnosno totalno ureen skup. Za

kaemo da je

- odozgo ogranien ako. (1)

Svaki element za koji vai (1) naziva se majoranta ili gornja granica skupa Y.

- odozdo ogranien ako(2)

Svaki element za koji vai (2) naziva se minoranta ili donja granica skupa Y.

Ako je M gornja granica skupa Y i ako tada se M naziva maksimum ili najvei

element skupa Y.

Ako je m donja granica skupa Y i ako je tada se m naziva minimum ili najmanji

element skupa Y.

Najmanja gornja granica skupa Y naziva se supremum skupa Y i oznaava

najvea donja granica skupa Y naziva se infimum skupa Y i oznaava

Primjer br.3:

Posmatrajmo skup i njegov podskup .


36/168


______________________________________________________________________________

36__________________________________________________________________________________

je gornja granica jer vai

Provjerimo ta se deava ako uzmemo X=[0,1):

Na kraju, otvoreni interval X=(0,1) nema ni minimum ni maksimum, ve samo supremum i

infimum.

Zadatak br. 2:

Nai inf(E)za skup E koji ine elementi

Dokaimo da 0 pripada skupu E:

Nije traeno, alil se vidi da je min(E)=0.

(Vjebe br.4)

A.6. Preslikavanja

DEFINICIJA: Svaka binarna relacija (X,Y,f) koja ima svojstvo da


37/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________37

naziva se preslilkavanje iz X u Y.

Ako je

gdje je f-funkcijay=f(x).

Primjer br.1.

Neka je X={1,2,3,4,5} i Y={a,b,c} i neka je f1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)}. Ovo jeste binarnarelacija, ali nije preslikavanje

f2={(1,a),(1,c),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)} ovo jeste binarna relacija, jer je podskup Dekartovog

proizvoda i neprazan je, ali nije preslikavanje jer

f3={(1,c),(2,a),(3,b),(4,a),(5,b)} je takoe binarna relacija, koja se drugaije moe zapisati kao

Ovo jeste preslikavanje.

Ovo je takoe preslikavanje.

Zadatak br. 1(za vjebu):Neka je

i neka je

Dokazati da je relacija R, definisana na skupu A sa

relacija ekvivalencije i odrediti koliniki skup.

Refleksivnost:

Treba dokazati da


38/168


______________________________________________________________________________

38__________________________________________________________________________________

f(1)=f(1)=a

f(2)=f(2)=af(3)=f(3)=b

f(4)=f(4)=c

f(5)=f(5)=b

Ovim je dokazana refleksivnost.

Simetrinosti:Treba dokazati da

Ovim je dokazana simetrinost.Tranzitivnost:

Treba dokazati da

...(mora se ispitati svaka kombinacija)

Ovim je dokazana tranzitivnost.Kako je relacija R refleksivna, simetrina i tranzitivna, ona je i relacija ekvivalencije.Klase ekvivalencije i koliniki skup:Za fiksirani element x=1:

Za fiksirani element x=3:


39/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________39

Za fiksiran element x=4:

te je koliniki skup

Zadatak br. 2.

Date su funkcije

definisane sa

Da li su funkcije f i g jednake?

DEFINICIJA: Ako su dvije funkcije, tada je kompozicija tih

funkcija u oznaci takoe funkcija.


40/168


______________________________________________________________________________

40__________________________________________________________________________________

Za preslikavanje kaemo da je injektivno ili 1-1 preslikavanje ako

[Paziti dobro kada koristimo zakon kontrapozicije: pravilno je a ne

!!!]

DEFINICIJA: Za preslikavanje kaemo da je surjektivno (NA preslikavanje) ako

DEFINICIJA: Za preslikavanje kaemo da je bijektivno ili bijekcija ili obostranojednoznano preslikavanje, ako je istovremeno 1-1 i NA preslikavanje.

Zadatak br.3:

Ispitati da li je

injekcija, tj. surjekcija.


41/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________41

funkcijafnije injekcija.

funkcijafnije surjekcija.

Zadatak br.4.Date su funkcije

i

Odrediti


42/168


______________________________________________________________________________

42__________________________________________________________________________________


43/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________43

A7. Invertibilnost preslikavanja

TEOREMA: neka je bijekcija. Tada postoji jedna i samo jedna bijekcija

takva da je

Ta jedinstvena bijekcija oznaava se saf-1i zove inverzna funkcija funkcijef.

DEFINICIJA: Skup naziva se grafik preslikavanja .

Zadatak br.5.

Data je funkcija . Dokazati da jefbijekcija i naif-1.

Surjektivnost:

Neka je proizvoljno. Tada vrijedi


44/168


______________________________________________________________________________

44__________________________________________________________________________________

Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki:

fje surjektivna.

Injektivnost:

Treba da vai

Neka su proizvoljni, tako da vai

Ono to vai za proizvoljne, vai za sve.

Zakljuak: Funkcijafje bijekcija, jer je istovremeno injekcija i surjekcija.

Zadatak br.6.

Za element kaemo da je fiksna taka funkcije ako i samo ako je .

Neka je S skup svih fiksnih taaka funkcijef. Ako jegfunkcija takva da je


45/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________45

dokazati da je .

Neka je proizvoljan

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai i za svaki.

Zadatak br.7.

Za svako od sledeih preslikavanja ustanoviti da li je injektivno i surjektivno i ako postoji,odrediti inverzno preslikavanje.

a)

Oigledno tano je injektivno (1).

Za

Za

Za

je surjektivno (2).

Iz (1) i (2) je bijektivno.


46/168


______________________________________________________________________________

46__________________________________________________________________________________

b)

f2 je injektivno, ali nije surjektivno.

f2 nije bijektivno i samim tim nema svoj inverz, ali ima lijevi inverz.

TEOREMA: Ako je 1-1 preslikavanje tadafima lijevi inverz ako vai

Dakle,f2 ima lijevi inverz i to ne samo jedan lijevi inverz, ve vie njih:


47/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________47

c)

nije injektivno ali jeste surjektivno:

nije bijektivno i nije invertibilno, ali ima desni inverz.

TEOREMA: Ako je surjektivno preslikavanje tadafima desni inverz , ako

vai

je desni inverz.

je takoe desni inverz.

d)


48/168


______________________________________________________________________________

48__________________________________________________________________________________

preslikavanje nije injektivno.

Zakljuak: Kada je dimenzija domena vea od dimenzije kodomena preslikavanje nijeinjektivno.

Neka je proizvoljan tako da

je surjektivno i ima desni inverz:

e)

Neka su proizvoljni, tako da


49/168


50/168


______________________________________________________________________________

50__________________________________________________________________________________

DEFINICIJA: Neka je * binarna operacija u S. Ako je:

- operacija je komutativna;- operacija je asocijativna;-

Za kaemo da je lijevi neutralni (jedinini) element u odnosu na operaciju * ako je.

- Za kaemo da je desni neutralni (jedinini) element u odnosu na operaciju * ako je.

- Za kaemo da je neutralni element u odnosu na operaciju x ako je.

- Ako postoji neutralni element , tada za i kaemo da su slijevi i desniinverzni element elementa ako je

(lijevi inverzni element)

(desni inverzni element)

- Ako je i lijevi i desni inverzni element elementa tj ako vaikaemo da jeyinverzni element elementa x i oznaavamo ga sax-1.

- Za element kaemo da je nula ako je.

A9. Algebarske strukture

DEFINICIJA: Skup koji je snabdjeven odreenim brojem operacija naziva se algebarskastruktura.

DEFINICIJA: Ako je * binarna operacija u skupu S onda se ureeni par (S,*) naziva grupoid.

Zadatak br.1.

Koje od sledeih struktura su grupoidi:a) Jeste, jer je skup prirodnih brojeva zatvoren u odnosu na sabiranje.

b) Nije, jer .

c) Jeste, jer je skup realnih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju oduzimanja.d) Jeste, jer je skup cijelih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju mnoenja.

e) Nije, jer operacija dijeljenja u skupu nije definisana za dijeljenje sa 0, pa nije ni

preslikavanje, a samim tim nije ni binarna operacija.

f) Nije, vai isto kao i u prethodnoj stavci.


51/168


52/168


______________________________________________________________________________

52__________________________________________________________________________________

Rotacija:


53/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________53

Simetrija:

ABC BCA

CAB

f1

f2f

f2f

f


54/168


55/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________55

2) Teorema A3 sa strane 309. udbenika kae:

Neka su data preslikavanja Tada je

odnosno, operacija kompozicije je asocijativna.

3) to znai da postoji neutral.

4) . Poto se radi o konanom skupu,

provjerimo za svaki element postojanje inverza:

5) Kejlijeva tablica nije simetrina u odnosu na glavnu dijagonalu, pa tako operacija nije

komutativna.

Zakljuak: (G, ) je grupa.

Zadatak br.4.

Ispitati algebarsku strukturu gdje je

a je operacija obinog mnoenja.

Prije svega treba uoiti injenicu da je skup , to e povlaiti brojne osobine bitne za

ispitivanje ove algebarske strukture.

1)Zatvorenost:

Neka su proizvoljni. Tada vai


56/168


______________________________________________________________________________

56__________________________________________________________________________________

Dakle, proizvod dva proizvoljna elementa skupa A mogue je dovesti na pogodan oblik, kakv jedat u pravilu skupa iz postavke zadatka. Treba jo dokazati da

Kako dokazati ova dva tvrenja? Jednostavno. Posmatrajmo oblik ova dva iz raza. U njima sekoriste operacije sabiranja i mnoenja i to u skupu cijelih brojeva. Kako je od ranije poznato dasu i grupoidi, odnosno skup cijelih brojeva je zatvoren u odnosu na ove dvije

operacije, to zakljuujemo da e i gornji izrazi biti takoe pripadnici skupa cijelih brojeva, imeje takoe dokazano da pripada skupu A

Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno skup A jezatvoren u odnosu na operaciju obinog mnoenja, te je struktura grupoid.

2)Asocijativnost:

Poto je mnoenje asocijativno u skupu , a kako je , slijedi da je mnoenje asocijativno u

skupu A, odnosno algebarska struktura je polugrupa.

3) Neutralni element:

Dakle, algebarska struktura je monoid.

4)Inverzni element:

Oigledno pa tako slijedi sledee:

Neka je

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, odnosno svaki element uskupu A ima svoj neutralni element, a to dalje znai da je algebarska struktura grupa.


57/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________57

Poto je operacija obinog mnoenja komutativna u skupu racionalnih brojeva, samim tim jekomutativna u skupu A, koji je podskup skupa racionalnih brojeva, pa je Abelova grupa.

Zadatak br.5.

Neka je G grupa. elementu prodruimo funkciju:

Ispitati algebarsku strukturu gdje je kompozicija funkcija.

1)Zatvorenost:Neka su proizvoljne funkcije Neka su

proizvoljne .

Ono to vrijedi za proizvoljne, vrijedi za sve, odnosno skup je zatvoren u odnosu na tj.

struktura je grupoid.

2)Asocijativnost:

Mogue je dokazati asocijativnost mnoenja pozivajui se na teoremu A3 sa strane 309. kao i ujednom od prethodnih zadataka, a mogue je i runo dokazati asocijativnost, to slijedi.

Neka su proizvoljne. Tada je

Ono to vai za proizvoljne, vai za sve, odnosno struktura je polugrupa.

3) Neutralni element:


58/168


______________________________________________________________________________

58__________________________________________________________________________________

S obzirom da

to znai da je algebarska struktura monoid.

4)Inverzni element:

Neka je proizvoljna. Tada

Dakle, algebarska struktura je grupa.

(Vjebe br.6)

A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije

DEFINICIJA: Algebarska struktura gdje je a binarne operacije naziva se

prsten ako je:

1) Abelova grupa

2) je polugrupa

3) operacija je distributivna u odnosu na operaciju , odnosno

(

DEFINICIJA: Ako je komutativna operacija, tada se algebarska struktura naziva

komutativnni prsten.

DEFINICIJA: Ako postoji neutralni element u odnosu na tada se algebarska struktura

naziva prsten sa jedinicom.

DEFINICIJA: Algebarska struktura naziva se tijelo, ako je Abelova grupa, a

je grupa i operacija je distributivna u odnosu na , odnosno


59/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________59

DEFINICIJA: Ako je jo Abelova grupa, onda je algebarska struktura polje.

Zadatak br.1(ispitni):

Dat je skup

Dokazati da je polje.

Prvi dio zadatka:

Potrebno je dokazati da je algebarska struktura grupa, odnosno Abelova grupa.

1)Zatvorenost:

Neka su proizvoljni.

Kako je skup zatvoren u odnosu na sabiranje

Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

2) Asocijativnost:

Kako je skup sabiranje je asocijativno u skupu . Osim naslijeivanja, ova osobina se

moe i dokazati, to slijedi.

Neka su su proizvoljni.


3)Neutral:

je monoid.


60/168


______________________________________________________________________________

60__________________________________________________________________________________

4)Inverz:

Treba dokazati

Neka je proizvoljan .

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, odnosno, struktura je

grupa.

5)Komutativnost:

Kako je skup komutativnost se naslijeuje.

je Abelova grupa.

Drugi dio zadatka:

Potrebno je ispitati algebarsku strukturu .

1)Zatvorenost:


Poto je skup zatvoren u odnosu na .

Ono to vai za proizvoljne, vai za sve, odnosno je grupoid.


61/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________61

2)Asocijativnost:

Poto je mnoenje asocijativno u skupu i potoje mnoenje je asocijativno u skupu

. je polugrupa.

3)Neutral u odnosu na :

Treba dokazati da

Neka je proizvoljan.

Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki.

4)Inverz u odnosu na :

Treba dokazati


Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki.


62/168


______________________________________________________________________________

62__________________________________________________________________________________

Odnosno je grupa.

5)Komutativnost:

je Abelova grupa, jer je skup , pa se ova osobina naslijeuje.

Trei dio zadatka:

Potrebno je dokazati da je mnoenje distributivno u odnosu na sabiranje.


Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve, odnosno mnoenje jedistributivno u odnosu na sabiranje (ova osobina se svakako mogla naslijediti iz skupa realnih

brojeva).

Kako je dokazano da je:

1) Abelova grupa,

2) Abelova grupa,

3) mnoenje je distributivno u odnosu na sabiranje,

Zakljuujemo da je algebarska struktura polje.

Zadatak br.2(za vjebu):

Neka su binarne operacije definisane sa

Dokazati da je ( ) polje.


63/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________63

B 1. Skup realnih brojeva

DOKAZ: Reductio ad apsurdum-svoenje na apsurd-

Pretpostavimo suprotno.


64/168


______________________________________________________________________________

64__________________________________________________________________________________

-skup racionalnih brojeva.

OSOBINE SKUPA :

[1]

(1) je Abelova grupa

(2) ( je Abelova grupa

(3) Mnoenje je distributivno u odnosu na sabiranje.

je polje.

[2] je otalno ureen skup (svaka dva elementa su uporediva).

[3] Aksioma potpunosti (neprekidnosti)

Apsolutna vrijednost u se definie kao


65/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________65

Zadatak br.1:

Pokazati da vrijedi jednakost

1) Ako je

2) Ako je .

Zadatak br.2:

Zapisati bez upotrebe znaka apsolutne vrijednosti funkcijuf(x), ako je

a)

b)

c)

a)

b)

c)


66/168


67/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________67


Dokazati da vrijedi:

a)

b)

B 2. Princip matematike indukcije

TEOREMA:

a) Inicijalni korak

b) Indukcioni korak

Zadatak br.1:

Dokazati da vai

a)

b) Pretpostavimo da je tano tvrenje T(k). To znai da je


68/168


______________________________________________________________________________

68__________________________________________________________________________________

Dokaimo da tvrenje vai za T(k+1):

Prema principu matematike indukcije tvrenje je tano .

Zadatak br.2:

Dokazati da je

a)

b)

c)

d)

...

c)


69/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________69

Pretpostavimo

Zadatak br.3:

Dokazati da je broj

djeljiv sa 64.

a) n=1

b) Pretpostavimo da je

tj.

djeljivo sa 64


70/168


71/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________71


72/168


______________________________________________________________________________

72__________________________________________________________________________________


73/168


74/168


______________________________________________________________________________

74__________________________________________________________________________________

Konano rjeenje sistema

Konano rjeenje zadatka

II nain:uopteno

Zadatak br.2:

a)


75/168


76/168


______________________________________________________________________________

76__________________________________________________________________________________

Zadatak br.4:

Rijeiti jednainu

a)

b)

a)


77/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________77

Zadatak br.5:

Odrediti

Transformiimo u trigonometrijski oblik:


78/168


______________________________________________________________________________

78__________________________________________________________________________________

Transformiimo sada u trigonometrijski oblik:

b)


79/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________79

C. Kombinatorika

DEFINICIJA:Neka je X konaan skup. Svako bijektivno preslikavanje naziva sepermutacija skupa X. Kako je bijektivno akko je injektivno, to je permutacija skupa X

svako injektivno preslikavanje .

Vai

DEFINICIJA: Neka je .Svako injektivno preslikavanje naziva se

varijacija k-te klase skpa X od n elemenata. Varijacija se moe definisati i kao ureena k-torka

razliitih elemenata skupa X.

Vai


80/168


______________________________________________________________________________

80__________________________________________________________________________________

DEFINICIJA: Neka je . Svaki njegov k-tolani podskup naziva se

kombinacija k-te klase skupa X od n elemenata.

Vai

DEFINICIJA: Svako preslilkavanje naziva se varijacija sa

ponavljanjem k-te klase skupa X od n elemenata.

Vai

Zadatak br.1:

Na ahovskom tgurniru svaki igra je odigrao po jednu partiju sa svakim igraem. Odigrano jeukupno 55 partija. Koliko je ahista uestvovalo na turniru?

Neka je broj ahista. Partiju odreuje skup od 2 igraa:

Drugo rjeenje otpada, jer je logino da broj igraa ne moe biti negativan(tanije, ),

odnosno na turniru je igralo 11 igraa.

Zadatak se mogao rijeiti na drugi nain.

Neka je broj ahista. Posmatrajmo jednog fiksnog ahistu.On e odigrati partija

sa ostalim igraima (kada se ima u vidu uslov zadatka da su igrai igrali po jednu partiju

meusobno). Sledei igrae odigrati isti broj partija, ali ne raunajui partiju odigranu saprethodnim ahistom, on e odigrati partija. Istom logikom, svaki naredni igra e

odigrati po jednu partiju manje, sve do pretposlednjeg igraa, koji e odigrati jednu partiju saposlednjim igraem.To znai da e ukupan broj odigranih partija biti


81/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________81

Zadatak br.2:

Od 30 studenata sa prve godine, 25 sa druge, 20 sa tree i 15 sa etvrte godine studijatrebaformirati delegaciju u kojoj e biti 5 studenata sa prve, 4 sa druge, 3 sa tree i 2 sa etvrtegodine studija. Na koliko se nana moe formirati delegacija?

Broj kombinacija na koji se moe izabrati 5 studenata prve godine od njih 30 je:

Analogno tome, broj kombinacija na koji se moe izabrati 4 studenta druge godine od njih 25 je:

Broj kombinacija na koji se moe izabrati 3 studenata tree godine od njih 20 je:

Broj kombinacija na koji se moe izabrati 2 studenata etvrte godine od njih 15 je:

Kako su izbori studenata po godinama nezavisni (tj. izbor studenata jedne godine ne utie naizbor studenata druge godine), vai pravilo proizvoda, te e ukupan broj naina na koji se moguizabrati kombinacije:

Zadatak br.3:

Na koliko se naina moe razmjestiti8 topova na ahovsku tablu tako da ne postoji par topovakoji se meusobno napadaju?


82/168


83/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________83

itd.

Dakle, vidimo da imamo trinaest elemenata (deset zvjezdica i tri uspravne crte). Treba primjetiti

da se ovdje radi o bijektivnom preslikavanju, odnosno kombinaciji 10 klase od 13 elementa.

Zadatak br.5:

Koliko ima 5cifrenih brojeva u ijem zapisu ne uestvuje nula i nijedna cifra se ne ponavlja?

(Vjebe br.8.)

C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula)

DEFINICIJA: Binomnim koeficijentom, u oznaci

nazivamo broj

TEOREMA:Za binomni koficijent vai:

a) Svojstvo simetrinosti

b) Pravilo sabiranja binomnih koeficijenata

Primjer br.1:


84/168


85/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________85

C.7. Princip ukljuenja- iskljuenja

To je zapravo princip prebrojav anja konanih skupova. Predstavlja uoptenje principa zbira.

Ako su konani i disjunktni, odnosno

tada je

.

Ako su konani i

tada je

TEOREMA: Ako su konani podskupovi skupa S tada


86/168


______________________________________________________________________________

86__________________________________________________________________________________

POSLJEDICA: Prebrojavamo

Zadatak br.1(ispitni):

Koliko ima prirodnih brojeva koji dijele bar jedan od brojeva

Ideja:

Kakvog oblika moraju biti svi djelioci brojeva

Istovremeno vai i

Sada primjenjujemo teoremu-princip ukljuenja/iskljuenja:


87/168


88/168


______________________________________________________________________________

88__________________________________________________________________________________

Dakle radi se o k-tolanom podskupu skupa S od n elemenata, te je broj mogunosti danapravimo skup Y

Ostalo je n-kelemenata. Biramo jedan lan n-klanog podskupa, to se moe izabrati na

Konaan broj rjeenja je:

Konano rjeenje je


Na koliko naina moemo rasporediti n jednakih kuglica u m razliitih kutija tako da tano dvijeostanu prazne?


89/168


90/168


______________________________________________________________________________

90__________________________________________________________________________________

Zadatak br.2.(za vjebu)

Napisati polinom

po stepenima (x+1) po principu identiteta.

Zadatak br.3.

Pokazati da je polinom

pozitivan .

Ukoliko grupiemo polinom drugaije (na to imamo pravo jer je mnoenje komutativno u poljurealnih brojeva) na sledei nain:

moemo posmatrati odgovarajue kvadratne jednaine:

Znajui Vietove formule:

vidimo da je

pa su odgovarajue nefaktorisane kvadratne jednaine:

Uvrstimo li dobijene izraze u gornji polinom, dobijamo:


91/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________91

Poto je

Dijeljenje polinoma

Zadatak br.1.

Neka je

Pokazati da jeP(x) djeljiv sa Q(x)i odrediti kolinik.

Ako jeP(x) djeljiv sa Q(x) onda je

Poto je


92/168


93/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________93

Odrediti kolinik i ostatak koji se dobije dijeljenjem polinoma

i binomax-5, a zatim odreditiP(5).

Rjeenje Hornerovim postupkom

5 2 -6 -17 0 1 -4

2 4 3 15 76 376

Zadatak br.4.

Dokazati da je polinom

djeljiv sa

a da pri tom ne vrimo nikakvo dijeljenje.

TEOREMA (teorema viestrukih nula): Broj je nula reda polinoma

stepena npri emu je n>0 akko

=0


94/168


______________________________________________________________________________

94__________________________________________________________________________________

Zadatak br.5.

Odredite cijele nule polinoma

TEOREMA (cjelobrojne nule): Ako polinom

ima cjelobrojnih nula, onda su one faktori slobodnog lana .

1 je nula polinoma ako jef(1)=0

1 nije nula polinoma f(x).

-1 je nula polinoma ako jef(-1)=0

-1 nije nula polinoma f(x).

Za 2

2 1 2 -4 -5 -6

1 4 4 3 0

2 jeste nula polinomaf(x).

-6 i 6 nisu kandidati za cjelobrojne nule.


95/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________95

Za -2

-2 1 4 4 3

1 2 0 3

-2 nije nula polinoma f(x).

Za 3

3 1 4 4 3

1 7 25 78

3 nije nula polinoma f(x).

Za -3

-3 1 4 4 3

1 1 1 0

- 3 jeste nula polinoma f(x).

Zadatak br.6.(Euklidov algoritam)

Odrediti polinomf(x) takav da dijeli polinome

koristei Euklidov algoritam.

Sjetimo se algoritma za pronalaenje najveeg zajednikog djelioca:


96/168


______________________________________________________________________________

96__________________________________________________________________________________

(

je najvei zajedniki djelilac zaP(x) i Q(x).

Zadatak br.7.

Zbir dva djeenja jednaine

jednak je 1. Dokazati da je tada


97/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________97

Iz (1) slijedi:

(Vjebe br.9.)

Vektoriski prostori i linearni operatori

DEFINICIJA: Neka je V neprazan skup i neka je u V definisana operacija sabiranja

takva da je (V,+) Abelova grupa. Tada vai:

S1) + je unutranja operacija u skupu V, tj.

S2) Sabiranje je asocijativno, tj.

S3) Neutralni element

S4) Svaki element ima inverz u odnosu na sabiranje

S5) Sabiranje je komutativno


98/168


______________________________________________________________________________

98__________________________________________________________________________________

Elementi ovakvog skupa nazivaju se vektori.

Neka je neko polje . elemente polja nazivamo skalari.

Definiimo operaciju mnoenje vektora skalarom:

Za skup kaemo da je vektorski prostor ili linearan prostor nad poljem ako

definisane operacije (1) i (2) zadovoljavaju svojstva S1) do S5) , kao i svojstva:

M6)

M7)

M8)

M9)

M10)

Za vektorski prostor nad poljem kaemo da je realan vektorski prostor, a za vektorski prostor

nad poljem kaemo da je kompleksni vektorski prostor.

Primjer br. 1.


99/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________99

Primjer br. 2.

Primjer br. 3.(VAAN!!!)

Neka je skup svih preslikavanja nepraznog skupa S u dato polje .

je vektorski prostor.

S1)Zatvorenost



100/168


______________________________________________________________________________

100__________________________________________________________________________________

Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

S2)Asocijativnost


Ono to vrijedi za proizvoljne, vai za sve.

S3)Neutral

Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki.

S4)Inverz

Neka je

proizvoljan.


101/168


102/168


______________________________________________________________________________

102__________________________________________________________________________________

Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

M8)

Neka su i proizvoljni. Treba dokazati


M9)

Neka su i proizvoljni. Treba dokazati


M10)


103/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________103

Neka su i .


ZAKLJUAK: Algebarska struktura je vektorski prostor.

Zadatak br.1.

U vektorskom prostoru V postoji samo jedan nula vektor. Dokazati.

Reductio ad apsurdum:

Pretpostavimo suprotno.

Tvrenje pretpostavke nije dobro.


104/168


______________________________________________________________________________

104__________________________________________________________________________________

Zadatakbr. 2:(za vjebu)

Svaki vektor ima jedinstven suprotan vektor u odnosu na operaciju sabiranja.

Zadatak br. 3.

Neka je V skup svih tablica brojeva iz polja sa tri vrste i jednom kolonom:

Dokazati da je vektorski prostor.

S1)Zatvorenost

Neka su


105/168


106/168


______________________________________________________________________________

106__________________________________________________________________________________

Slino se dokazuje i za lijevi neutral.

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, tj.

S4)Inverz

Neka je

proizvoljan.

Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki, odnosno:

S5)Komutativnost

Neka su

proizvoljni.


107/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________107

Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve, odnosno:

Svojstva M6) do M10) dokazati samostalno.

Vektorski potprostori

DEFINICIJA: Neka je vektorski prostor i neka je . Ako je U vektorski

prostor nad poljem u odnosu na operacije naslijeene iz prostora V, tada kaemo da je U

vektorski potprostor prostora V.

TEOREMA: Ako je gdje je V vektorski prostor, tada je U potprostor od v akko:

1)

tj. U je zatvoren u odnosu na sabiranje.

2) U je zatvoren u odnosu na mnoenje skalarom


108/168


______________________________________________________________________________

108__________________________________________________________________________________

1) i 2) 3)

3)

NAPOMENA: Svaki potprostor mora ispunjavati S3) tj. svaki potprostor mora sadrati nulavektor.

Zadatak br. 1.

Da li

a) skup

b)

ini potprostor od .

Oigledno i

1) Neka su proizvoljni.

2) Neka je proizvoljan i proizvoljan.


109/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________109

U je potprostor od .

Zadatak br. 2.

da li je L1

potprostor od

nije potprostor prostora .

Zadatak br. 3(ispitini).

Neka je skup U skup svih rjeenja jednaine

Ispitati da li je skup U vektorski prostor.

I)

II)


110/168


______________________________________________________________________________

110__________________________________________________________________________________

...

(Vjebe br. 10.)

Zadatak br. 4.

Neka su V1 i V2 potprostori vektorskog prostora v. Njihov presjek je takoe potprostor prostoraV. Dokazati.


su potprostori

Po teoremi 1.2. je potprostor.

TEOREMA:Presjek proizvoljnog broja potprostora je takoe potprostor od V .

Zadatak br.5.

Neka su potprostori vektorskog prostora V. Njihova unija u optem sluaju nije

potprostor.

Kontraprimjer:


111/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________111

nije potprostor.

Ne vai zatvorenost.

nije potprostor.

DEFINICIJA:Linearni omota (lineal) vektora je skup svih vektora oblika

Dakle, skup svih linearnih kombinacija od vektora sa skalarima .

Lineal se najee oznaava sledeim oznakama

TEOREMA: Ako su proizvoljni vektori iz vektorskog prostora V, tada je

vektorski potprostor od V.

Primjer br. 1.

Ako je S={(1,1),(2,2)}

Ovo je prava koja prolazi kroz koordinatni poetak i u odnosu na pozitivni dio x-ose nagnta je pod uglomod +450.


112/168


______________________________________________________________________________

112__________________________________________________________________________________

Primjer br. 2.

Ukoliko posmatramo

Dokaz:

(I)

(II)

Primjer br. 3.


113/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________113

Primjer br. 4.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

DEFINICIJA: Kaemo da su vektori linearno zavisni ako postoje skalari

takvi da je i .

Kaemo da su vektori linearno nezavisni ako su i vai

Zadatak br. 1.

Ispitati da li su vektori (1,2,0), (0,1,1) i (2,0,1) u linearno nezavisni.

Vektori su linearno zavisni.

Zadatak br.2.(za vjebu)

Ispitati da li su matrice


114/168


______________________________________________________________________________

114__________________________________________________________________________________

linearno nezavisne.

Zadatak br. 3.

Da li su u vektorskom prostoru linearno nezavisni vektori:

a)

b)

c)


115/168


116/168


______________________________________________________________________________

116__________________________________________________________________________________

tj. vektori su linearno nezavisni za , a za su linearno zavisni.

Zadatak br. 5.(VAAN!!!)

Pokazati da su vektori linearno zavisni nad poljem , ali

su linearno nezavisni nad poljem .

nad su linearno nezavisni..

Nad poljem

(10)


117/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________117

Neka je proizvoljno.

Ono to vai za proizvoljan, vai za svaki.

Dakle, to znai da su v i w nad poljem linearno zavisni.

Zadatak br. 6.

U vektorskom prostoru odrediti jedan maksimalan linearno nezavisan podniz niza vektora:

5 i 0 ne moe; 4 moe (baza); 1 ne moe- morao bi postojati koeficijent tako da su ostali vektori

proporcionalni jednom vektoru.

2,3,4 su mogue situacije.


118/168


______________________________________________________________________________

118__________________________________________________________________________________

ZAKLJUAK: je nezavisno promjenljiva a su zavisno promjenljive.

Vektori uz koje stoje zavisno promjenljive ovog sistema (to su b,c,d,e) ine jedan maksimalnilinearno nezavisan podniz datog niza.

(I) Treba provjeriti da su vektori (b,c,d,e) linearno nezavisni. (samosatalno)

(II) Pokazati da je niz (a,b,c,d,e) linearno zavisan.


119/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________119

(Vjebe br.11.)

Baza i demenzija vektorskog prostora

DEFINICIJA:Kaemo da skup Sgenerie vektorski prostorVako je

DEFINICIJA: Za ureen skup koji je linearno nezavisan i koji generie prostor V

kaemo da je baza vektorskog prostora V.

Zadatak br. 1.

za vektorski prostor .



120/168


121/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________121

Odredimo iz niza od est vektora maksimalni linearno nezavisni podniz koji

sadri vektore .


Dakle su nezavisne promjenljive, a su zavisno promjenljive.

Vektori uz koje stoji zavisno promjenljiva ine jedan maksimalni linearno nezavisni podniz

datog niza.

Iz ovoga se izvodi zakljuak da je jedna baza vektorskog prostora .

Zadatak br.3.

U vektorskom prostoru dat je potprostorS ija je prva koordinata 0 i potprostorTrazapet na

vektorima . Odrediti potprostor .

je potprostor


122/168


______________________________________________________________________________

122__________________________________________________________________________________

Ono to vai za proizvoljan, vai za svaki.

Zadatak br.4.

Neka su Ui Vpotprostori, koji zajedno ine vektorski prostor .

Odrediti baze i dimenzije potprostora

(10)Baza i dimenzija potprostora U.

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki.

Dokazati da su vektori linearno nezavisni.


123/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________123

(20) Baza i dimenzija potprostora V.

V je potprostor

(30) Baza i dimenzija (sigurno je potprostor, zbog teoreme sa prolih vjebi)

je potprostor

TEOREMA: Za potprostore Ui Vvai


124/168


______________________________________________________________________________

124__________________________________________________________________________________

(40)Baza i dimenzija potprostora .

Zadatak br.5.

Neka su Si Tpotprostori vektorskog prostora generisani vektorima

Odrediti bazu potprostora .

(10)Baza potprostora

je generisan vektorima a,b,c,d,ei njegova baza je najvei linearno nezavisan podnih datog

niza.


125/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________125

je nezavisna promjenljiva .

su zavisno promjenljive

je maksimalan linearno nezavisan podniz. tj. baza vektorskog potprostora .

(20)Baza potprostora


126/168


______________________________________________________________________________

126__________________________________________________________________________________

1)

2)


127/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________127

3)

(Vjebe br. 12)

Matrice

DEFINICIJA: Pravougaona tablica iz polja

ta kolona

naziva se matrica nad poljem .


128/168


______________________________________________________________________________

128__________________________________________________________________________________

Element koji se nalazi u presjeku i- te vrste ij-te kolone kaemo da se nalazi na poziciji (i,j).

Zadatak br.1.

Neka je

Ispitati da li postoji matrica X takva da vai

gdje je E jedinina matrica reda 2 (E2).

Da li je tada

?

Postoji li Y takva da je

?

DEFINICIJA:Mnoenje matrica: Ako je

a

Proizvod dvije matrice je definisan ako je broj kolona prve jednak broju vrsta druge matrice.

Tada je


129/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________129

Provjera za npr (a=1, b=1)

Zadatak br.2.(VRLO VAAN!!!)

Neka je skup svih matrica oblika

Ispitati algebarsku struturu .


130/168


131/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________131

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za sve.

40)Inverz



50)Komutativnost



je Abelova grupa.

Zadatak br. 3.

Ako za kvadratnu matricu A vai

gdje su skalari, tada je matrica A invertibilna i vai


132/168


______________________________________________________________________________

132__________________________________________________________________________________

Dokazati.

Zadatak br.4.

Neka su dati skupovi matrica

i neka su data preslikavanja

Dokazati da su fi gbijekcije i ispitati da li vai

DEFINICIJA: Funkcija je 1-1 ako


133/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________133

Neka su


DEFINICIJA:

Neka je proizvoljan

Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za sve.

Ostatak za vjebu...


134/168


______________________________________________________________________________

134__________________________________________________________________________________

Zadatak br.5.

Ako su

zadate, odrediti n-ti stepen

gdje je E jedinina matrica.

dokazati matematikom indukcijom


135/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________135

Zadatak br. 6.

Ako za kvadratnu matricu A vai

pri emu su zadani skalari, tada vai

Dokazati.

(Vjebe br. 13.)

Linearni operatori

DEFINICIJA: Neka su Ui Vvektorski prostori nad poljem . Preslikavanje

naziva se linearni operator ili linearno preslikavanje ili linearna transformacija ako su ispunjeni

uslovi

1) aditivnost

2) homogenost

DEFINICIJA: Preslikavanje

je linearan operator akko je slika jednaka


136/168


______________________________________________________________________________

136__________________________________________________________________________________

Zadatak br.1.

Da li je

definisan sa

linearan operator?

Neka su i proizvoljni.


Zadatak br.2.

Neka je baza prostora X i neka su dati vektori

Odrediti linearni operator

tako da

je baza vektorskog prostora X


137/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________137

Traeni linearni operator je

Zadatak br. 3.

Neka je dat linearni operator

Odrediti dimenziju jezgra linearnog operatora i slike linearnog operatora.


138/168


______________________________________________________________________________

138__________________________________________________________________________________

LEMA 1.1: Ako je

linearni operator i ako vektori generiu prostorUtada njihove slike

generiu

i ine bazu.

Gausov metod eliminacije

Zadatak br. 1.

Rijeiti sistem jednaina

Ovim je zavren direktan hod Gausove metode eliminacije. Poinjemo obrnuti hod Gausovemetode eliminacije:


139/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________139

Konano rjeenje

Zadatak br. 2.

Rijeiti sistem jednaina

Neka je proizvoljno.

Zadatak br. 3.

Rijeiti sistem Gausovim metodom eliminacije:


140/168


______________________________________________________________________________

140__________________________________________________________________________________

Kako trea jednaina sistema nema rjeenja, to sistem nije saglasan.

Kramerovo pravilo

Zadatak br. 1.

Rijeiti sistem Kramerovim pravilom


141/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________141

Konano rjeenje sistema je

Determinante

Zadatak br.1.

Izraunati vrijednost determinante

a) b)

a)

b)

Zadatak br.2.

Rijeiti jednainu


142/168


______________________________________________________________________________

142__________________________________________________________________________________

Problem smo sveli na rjeavanje kvadratne jednaine, ija su rjeenja:

Zadatak br. 2. (za vjebu)

Rijeiti jednainu


143/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________143

Zadatak br. 3.

Izraunati vrijednost determinante:


144/168


______________________________________________________________________________

144__________________________________________________________________________________

Zadatak br.4.

Izraunati determinantu


145/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________145

Zadatak br.5.(tipski)


Ovdje se moe primjetiti pravilnost koja ukazuje na Fibonaijeve brojeve, odnosno rekurzivne(rekurentne) formule:


146/168


______________________________________________________________________________

146__________________________________________________________________________________

Dobili smo, dakle, rekurzivnu formulu:

Rekurzivne brojeve mogue je pronai rjeavanjem odgovarajue kvadratne jednaine:

Tada je

n=1

n=2

Iz (1) i (2)

Zadatak br.6.



147/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________147

Potrebno je prepoznati da je determinanta reda n, a zatim pomnoiti zadnju vrstu sa (-1) ipribrojiti ostalim vrstama. Nakon toga se vrlo jednostavno dobija rezultat.

Rezultat:

(Vjebe br. 14.)

Zadatak br 7.

Ako su date matrice

odrediti

Odredimo prvo

Matematikom indukcijom moe se dokazati da je

Prvo treba odrediti .


148/168


______________________________________________________________________________

148__________________________________________________________________________________

Provjera

Zadatak br.8.

Rijeiti

ako su


149/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________149

Matrini prikaz linearnog operatora

DEFINICIJA: Ako je linearni operator i ako su

baze prostora Ui Vtada operatorA u odnosu na baze

odgovara matrici reda

Koeficijenti (koordinate) u razvoju ???A(uj) odnosu na bazu .

Zadatak br. 1.

Neka je prostor polinoma nad stepena ne veeg od 3 i neka je operator

deriviranja. Odrediti matricuD u bazi .


150/168


______________________________________________________________________________

150__________________________________________________________________________________

Zadatak br. 2.

Neka je linearni operator zadat sa . Odrediti matricuoperatora .

(10)

(20)


151/168


_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________151

Zadatak br. 3.

Neka sus i tlinearni operatori koji slikaju na nain

i neka je . Odrediti

Rang matrice

DEFINICIJA:Rang matrice A je najvei red nesingularnih (regularnih; ) kvadratnih

podmatrica matrice .

DEFINICIJA:Rang matrice A je najvei red minora matrice A koji su razliiti od nule.

Zadatak br. 1.

Odrediti rang matrice A pomou metoda Gausove eliminacije.


152/168


______________________________________________________________________________

152__________________________________________________________________________________

Dobijena stepenasta forma ima tri pivota 2,-6,2 koji se nalaze na pozicijama 11,23,34

KARAKTERIZACIJA: Rang matrice je broj njenih linearno nezavisnih vrsta(kolona).

Zadatak br. 2.

Odrediti rang i bazne kolone i ostale kolone izraziti preko baznih.

Bazne kolone

Redukovana stepe

VJEZBE LINEARNA

Text of VJEZBE LINEARNA

Elezović - Linearna Algebra

LINEARNA STATISTIČKA ANALIZA

Zbirka Linearna 1234

linearna vjezbe

Stat Vjezbe

WHDL vjezbe

Linearna Algebra i Analiti cka Geometrijaalas.matf.bg.ac.rs/~mi10103/predavanja/_laag/skripta_2.pdf · Linearna Algebra i Analiti cka Geometrija {2 ... Degenerisana linearna jedna

Linearna algebra_skripta.pdf

AutoCAD vjezbe

vjezbe instrumenti

Linearna algebra.pdf

Vjezbe kvantna

linearna regresija

Mikroekonomija VJEZBE

LINEARNA ALGEBRA - Pmf

Elektromehanika vjezbe

Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze. Vje zbe 1 Linearna algebra 1. Linearna algebra 1 Operacije zbrajanja vektora i mno zenja

Linearna spirala

Elezovic - Linearna algebra

ENERGETSKE VJEZBE

Vjezbe 1JF

Zadaci Linearna Algebra

Korelacija in linearna regresija - Študentski.net · Številska Višina Linearna regresija Teža Številska Višina, spol, izobrazba Multipla linearna regresija Kajenje (Da/Ne) Dihotomka

Mot Vjezbe

ELE - Auditorne Vjezbe 09-2015---ELE - Auditorne Vjezbe 09-2015

Vjezbe Pneumatika

Linearna algebra i geometrija - etfuni.files.wordpress.com · Linearna algebra i geometrija Berina Cocalić Linearna algebra i geometrija I parcijalni ispit 1. Definirati pojmove

matematika-linearna funkcija

9 - linearna funkcija; linearna jednacina i nejednacina

Vjezbe Sve

Documents

VJEZBE LINEARNA

Text of VJEZBE LINEARNA