Linearna spirala

7/24/2019 Linearna spirala

1/5

List za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje

ISSN 0351-6652

Letnik31(2003/2004)tevilka 6Strani 322323

Andreja Pecovnik Mencinger:LINEARNA SPIRALA

Kljucne besede: naloge, matematika.

Elektronska verzija:

c 2004 Drutvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenijec 2010 DMFA zalonitvo

Vse pravice pridrane. Razmnoevanje ali reproduciranje celote aliposameznih delov brez poprejnjega dovoljenja zalonika ni dovo-ljeno.


2/5

log e

LIN RN

SPIR L

Bralci

r

eseka gotovo po

znat

e iviljski meter glej sliko 1 ,

sa

j ste ga

verje

tn

o e zvi

ja

li v ko

lut

, kot kae slika 2.

Slika 1.

Slika 2.

a loga, ki vam jo P resek to krat nalaga, je dvo jna:

a Z d o e g maminega ali b i i n e g iviljskega metra o d i t nje-

govo dolino , s p n meri lom izmeri njegovo deb elina , lahko pa

izmer i

tud

i irino metra e

p

v

t a podatek v bistvu ni potreb en .

v n

n k

in i

zme

r i njegov

pr

emer . iviljski met er navij

na

v n n da nastane kolut slika 2 , in pretej, kolikokrat se meter

ovije okoli s v n

n

k


3/5

Naloge

b Doblj eni eksperimentaln i podatek poskusi potrditi r a

u n s k

V po

m o naj t i

bodo

naslednja navodila:

n i n

Ko met er zvijamo, se njegov volumen

tako

e k o

ne spreminj a; torej

je v

olum

en

kvadr

a ko je meter p

opolnoma

raven - slika 3 enaka

volumnu

kolobarja razlika dveh valjev - slika 4 .

e primerjamo

samo

tlorisa

t eles na slikah 3 in 4, lahko podobno sklepamo tudi za

p l o i n i

pravokotnika in kolobarja . R

Slika 3. Kvader

Slika 4. Izr ezani valj

2

n i n

Ko meter zvijamo, se njegova dolina tako

e k o

ne sp remmja.

Spiraln

o krivuljo l

ahk

o zaradi lajega r a

u n n j

priblino opi

emo

s

k o n c e n t r i n i m i

krogi glej sliki 5 in 6 .

Slika 5. Sp irala

Slika 6. o

n e

kronice

e se r a

u n s k i

rezultat od eksp

erimentaln

ega ne razlikuj e za

v e

kot

dva zavo

ja,

si verj

etno

pravilno r a u n in meril .

z r u n a j

e, koliko navojev bi priblino pri lo v

spira

lo,

e

bi 10

meterski trak debeline ~ milimetra navili na kolut prem

era

3 centimetre.

n reja

o v n i k encinger

Reitve so na strani 362.


4/5

Reitve nalog I

LINE RN

A SPIR L Re

it

ev s s

tr

322

iviljski meter, ki je

na

sliki 1, meri 150 cm, njegova debelina je 0.6

mm

,

njegova ir ina

pa

je 1 cm. Na s v i n n i k premera 2r

=

7.7 mm ga lahko

ovi

jemo

n

=

22

krat

p o t e v

j o

navodila iz

prejn

je tevilke

reseka

bomo ta e ksperiment r u n s k o potrdili na dva n a i n a

n

i n

Volum en kvadra je enak V = l . tJ. .

,

volum en izrezanega valja pa je

enak

V

= Jr

R

2

- r

2

. . Po e n a e n j u obe h volumnov dobimo

od koder sledi

= J l ~ r 2

tevilo zavojev n v spirali je

tako

priblino enako kvocientu debeline

navit

ja in debeline merskega

traku

R

-

r

JI

r

2

-

r

n

-

-

tJ.

o

22.5 .

tJ. -

2 n

Spira

lo lahko pr iblino opiemo z

t k o n c e n t r

i n

i m

kronicami. Po l

mer

prv

e kronice je enak

r

+ tJ., po

lmer

vsake naslednje kronice

pa

je od prejnjega v e za tJ., tako da polrneri tvorijo r i t m e t i n o

zaporedje

z z e t n i m

n o m aa

=

r

+ tJ. in diferenco

d

= tJ.. V tem

primeru e n i m o vsoto obsegov n k o n c e n t r i n i h kro nic in dolino

iviljskega

traku

l:

2Jr r tJ.) 2Jrr 2tJ.) . .. 2Jr r [n - 1]tJ.) = l .

e

zgornjo n a b o okrajamo z 2Jr in upotevamo,

da

je

vsota

prvih

n 1 naravnih tevil enaka ~

1) n dobimo

l

r

tJ.(1

2

. ..

n 1) = -

2Jr

r

n 1) n tJ. =

2 2Jr


5/5

Reitve nalog

od kod er sledi za kv

adr

a

tn

a

n

b

l

n ~ + r n - -

=

O.

Jr

Ena reitev je negativna , d

ruga

pa je e

naka

J

4r

2

- 4r

~ + ~

2

+

- r

+ ~

n

= ~ ~ 22.9 .

Za ra dovedne bralce na kon cu omenimo , da z obema zgornj ima

n

nom a dobimo pribliek. o

n o

vre dnost je malo teje z r u n Upora

biti je t reba formulo za

o

no dolino

p r m n o

podane krivulj e.

e

je

n m r e x

< J ,Y

Documents

Linearna spirala