Valores Esperados y Momentos

7/25/2019 Valores Esperados y Momentos

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212|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS

CAPTULO10VALORESESPERADOS,FUNCIONESGENERADORASDEMOMENTOSYMOMENTOS

10.1Introduccin

Despusde

haber

estudiado

las

bases

de

la

teora

de

la

probabilidad,

las

variables

aleatorias,lasfuncionesdeprobabilidadylasfuncionesdedensidad,enestecaptuloestudiaremos la otra forma de caracterizar a dichas distribuciones a partir de susparmetros mediante los cuales es posible representar la localizacin de ladistribucin, la dispersin de la variable aleatoria, el sesgo y el aplanamiento; estosparmetros que pueden encontrarse si se conocen las funciones generadoras de losmomentos. Iniciaremos este captulo con un concepto central de la teora de laprobabilidad conocido como la esperanza matemtica o el valor esperado de lavariable aleatoria. Conviene indicar desde ahora que distinguiremos dos tipos deparmetros; a los primeros las llamaremos los parmetros particulares que estn

comprendidosdentro

de

las

funciones

de

probabilidad

osea

que

forman

parte

de

ella

lo que hace ver que son familias de distribuciones y cada conjunto de valores, quepuedeserunoovarios,seleccionanunmiembrodelafamilia.

Porotrolado,lossegundosparmetros,sonlosparmetrosgeneralescaracterizanlasmedidasdelocalizacin,dispersin,sesgoyaplanamiento;debencalcularseapartirde los momentos y contienen a los parmetros particulares, como se ver en eldesarrollodelostemasdeestecaptulo.

10.2Valores Esperadoso EsperanzasdeVariablesAleatorias yde FuncionesdeVariablesAleatorias

En general, el valor esperado es una suma pesada de los valores de la variablealeatoria o de una funcin de variables aleatorias, por las probabilidades de dichasvariableso de las funcionesver figura10.1; quese denota por,significa que ES UN OPERADOR que acta sobre la VA o sobre la funcin de la VA y,dependiendodeltipodevariablealeatoria,sedefinecomo:

,paralasVAsdiscretas;y (10.1)

,paralasVAscontinuas. (10.2)

Desde el punto de vista matemtico es necesario tener presente que: a) lasumatoria o la integral puede no converger a un valor finito, en cuyo caso, el valoresperadonoexiste;sinembargo,paralospropsitosdeeste libro,siempreexistir laconvergencia y b) el valor esperado es un operador que acta sobre variablesaleatoriasofuncionesdevariablesaleatorias.


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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|213

Figura10.1 DistribucindeprobabilidaddeunaVAdiscreta

Una primera interpretacin del valor esperado se ilustra con los siguientesejemplos.

Ejemplo10.1 SupngasequeelDirectordePEMEXExploracinProduccindebedecidirsiendeterminadaregin,debeonoperforarunpozo.LoseventosposiblessinA={sexistepetrleo} yB={noexistepetrleo},sinimportarelvolumen.Sitomaladecisindeperforaryencuentra petrleoelvalordelpetrleoobtenidoserde$250,elcostodelaperforacincostar$50yelbeneficionetoserentoncesde$200.Porelcontrario, si decide no perforar, puede someter a concurso con las compaaspetroleraslaperforacinconlassiguientesbases:$25porlosderechosdeperforacinms otros $25 si se descubre petrleo. El Director tiene la incertidumbre sobre el

hallazgodel

petrleo

por

lo

que

se

asesora

del

grupo

de

gelogos

de

PEP

que

son

ms

expertosquelen laexploracinquienes,basadosen la informacinexistente y laspruebas geolgicas que practican, asignan la probabilidad de 0.25 de que s seencontrar petrleo en dicha regin (todos los precios son figurados y estn enmillonesdepesos).

Conestainformacinseobtienelasiguientetabladepagos,comnmenteutilizadaenlateoradedecisiones:

TablaX.matrizdepagos

Estadode

la

naturaleza

( )

I:Sexistepetrleo

II:NOexistepetrleo

Decisinportomar

Sperforar

200 50

Noperforar

50 25

Paraevaluarestasituacin,seaplicaelvaloresperadopara lasdosalternativasdedecisin:


3/35


Sidecideperforar:/I 2000.25 500.75 12.50Sidecidenoperforar:/II 500.25 250.75 31.25Por lo tanto, a la luz de estos resultados, la decisin debe ser No perforar. Cabe

observarque unacosaeselvaloresperadoyotraeselvalordeseado.

Ejemplo 10.2 La proporcin de impurezas de una muestra de petrleo crudo semodelaporlafuncindedensidad:

, 0 10 Para poder determinar el valor esperado de X, necesitamos primeramente

encontrarelvalordec.

Sabemosque

1

Conlo

cual,

para

nuestro

caso:

0 1 ,entonces .Sustituyendoelvalordecenlafuncindedensidad,calculemoselvaloresperado:

32

32

32 4

3 10 38 13 1724 0.71

Que corresponde a la proporcin de impurezas esperadas, que en la estadsticamatemtica significa el valor promedio de cualquier variable aleatoria sobre unnmeroindefinidodemuestreos,comosevermsadelante.

10.2.1Ellgebradelosvaloresesperados

Comoseobservaen(10.1)y(10.2),elvaloresperadoEesunasumaponderadadelos valores de X por sus probabilidades correspondientes, por lo que las reglasalgebraicasde losvaloresesperadossonextensionesdelasreglasde lassumatorias lasintegralessonsumas queseaplicanalasVAdiscretasycontinuas.Porlautilidadque tienen en la probabilidad, es altamente recomendable que se familiaricen con

ellas.

Regla1Si c es una constante real, entonces, el valor esperado de la constante es la

constantemisma:

(10.3)Demostracin:


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Usando (10.2), 1 , puesto que 1. Ejemplo 10.3 Si se ganar $10 independientemente del evento que ocurra, la

gananciaesperada

es

$10.

Regla2Sicesunaconstanterealyelvaloresperadode Xes,entonces: (10.4)

Demostracin:

Usando(10.2),

Ejemplo10.4 SielvaloresperadodeltiempodearribodelosavionesalaeropuertodelaCiudaddeMxicoesysesabequeunapersonaarribarelquintoaterrizaje,entonceselvaloresperadodeltiempodeesperaes5.

Regla3SicesunaconstanterealyXesunavariablealeatoria,entonces:

(10.5)Demostracin:

Usando(2)ylaRegla1:

Ejemplo10.5 Sielcostode laproduccindeunartculodependedelcostode losartculos fabricados X y de un costo fijo, representado por 2, se tiene 2 2

;esdecir,elvaloresperadodelcostodependedelvalor

esperado

de

los

artculos

fabricados

ms

el

costo

fijo

de

los

indirectos

que

para

nuestrocasoes2.

Las siguientes reglas devienen de uso del valor esperado como operador que seaplica sobre su argumento una prueba ms formal implica la transformacin devariables.

Regla4Si X e Y son variables aleatorias y sus valores esperados son y ,

respectivamente,entonces:

(10.6)


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Ejemplo 6. Si un caballero invita a su novia a comer en un restaurante, y si lasfunciones dedistribucindelpreciodelosplatillosson:

Costodelosplatillos Paraelcaballero: Parasunovia:Y

120

0.2

0.1

150 0.5 0.35200 0.3 0.55

Elvaloresperadodeloquetendrquepagarelcaballeroes

120 0.2 150 0.5 200 0.3 159 120 0.1 150 0.35 200 0.55 174.5 ,conlocual: 159 174.5

333.5

Si,ademspaga10%depropina,entonces:

1.1 1.1 1.1 1.1 159174.5 1.1 333.5 366.85Cabe observar dos cosas: a) que porque las distribuciones de X e Y

sondiferentesyb)laregla4semantieneparacualquierrelacinentreXeY.

Ejemplo10.7LafuncindecostosdelejemplodelaRegla3fuera

5,entonces

5 5 5DebetenersecuidadoalaplicareloperadorvaloresperadoE asuargumento,pues

en el ejemplo anterior5 5, igual sucede con funciones tales como 5 5y .Regla5SiesunafuncindeX,entonces,paravariablesaleatoriasdiscretas

(10.7)yparalascontinuas,

(10.8)Ejemplo 10.8 Si la funcin de costos del ejemplo anterior es 2 ,

entonces:

2 2 2Regla6


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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|217Dadounnmerofinitodevariablesaleatorias,elvaloresperadode lasumade las

variablesaleatoriasesigualalasumadesusvaloresesperados,osea,

(10.9)Engeneral,paracualquiercombinacinlinealdevariablesaleatorias ,dondelas sonconstantes,setiene (10.10)

Ejemplo10.9

Si

4, 3 2setiene 4 3 2 4 3 2.ObsrveselaaplicacindeEcomooperadormatemtico.

10.3FuncionesGeneradorasdeMomentos

Lametodologaparagenerarmomentosesunaherramientapotentedelateoradela probabilidad, porque es menos complicada que el clculo directo a partir de las

funcionesde

probabilidad.

Existenmuchosmtodosparagenerar losmomentosquesontilesparadiversastiposdevariablesaleatorias;as, laFuncinGeneradoradeMomentosFactorialesestil para las variables aleatorias no negativas y enteras; a su vez, la FuncinGeneradoradeMomentosseusaparalasvariablesaleatorias discretasocontinuasynegativasononegativas,paralascualessepuededefinirestafuncin;entantoquelaFuncin Caracterstica est definida para todas las variables aleatorias. Todas estasFunciones son tiles para encontrar la distribucin y los momentos de sumas ypromedios pesados de variables aleatorias independientes; finalmente, con laTransformada de Mellin es posible determinar la distribucin y los momentos de

productosorazones

de

variables

aleatorias

no

negativas

oindependientes.

Por

otro

lado. Aqu presentaremos la Funcin Generadora de Momentos Factoriales y laFuncinGeneradoradeMomentosporsusbastasaplicaciones.

10.3.1LaFuncinGeneradoradeMomentosFactoriales(FGMF) Comoyaseanticip,silavariablealeatoria(VA)X esdiscretacuyosvaloresposibles

son enteros y no negativos, como sucede con las distribuciones binomial, binomialnegativa,geomtrica,hipergeomtrica,Poissonyotras todaslasculesseestudiarnen otro captulo posterior; entonces, para cualquier nmero real

para el cual

0 1, se define la Funcin Generadora de Momentos Factoriales de ladistribucindelaVAXcomo:


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(10.11)Como

0 1,

0

1 y

0 ; con lo cual

0 1 es una

funcin

bien

definida.

Cabe

observar

el

valor

esperado opera sobre . A losmomentosgeneradosporestafuncinselesrepresentancon .

Ejemplo10.10CalculemoslaFGMFdeladistribucinBinomial.

Si/, 1esladistribucinBinomialconparmetrosnyp,al sustituirlaen(3):

1 = 1

1 (10.11)

Ejemplo10.11Calculemos laFGMFde ladistribucinde ladistribucindePoisson

! .Alsustituirlaen(10.3)tenemos: ! ! ! (10.12)10.3.1.1Propiedades

Propiedad 1:Unicidad

La Funcin Generadora de Momentos Factoriales determina unvocamente lafuncinmasadeprobabilidaddecualquierVAdefinidasobre losnmerosenterosnonegativos:

0 Si 0, 0 0ypuededemostrarseque:

! 0, 1,2,3;Donde 0 0; es decir, se encuentra calculando la

derivadadeordenk derespectoaevalundolapara 0ymultiplicndolapor

!.

Ejemplo10.12Paraladistribucinbinomial(4)encontremossuFMP.

Vimosde(10.4) que

1

Calculandolaprimeraderivadadeyavalundolaen 0setiene:


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0 0 1 | 1 |

1

Conlocual: 1 !0 !1 1 .0 0 1 | 1 1

220

0 1 1,conlocual:

2 !0 11 .Siguiendoelmismoprocedimiento:

3 !0 1 21Engeneral:

!

0

!

!

!

1

(10.13)

Propiedad2:Losmomentosfactoriales

Si X es una VA entera no negativa con FMP cuya Funcin Generadora deMomentosFactorialeses ,ysielrmomentofactorialdeX

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

esfinito,

entonces:

1 2 1Ejemplo 10.13 Para la distribucin de Poisson se obtuvo

ecuacin(10.5) setiene:


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Y,engeneral:

Entonces1 1 2 1 y

1 1 1 1 1 2 ;y 1 Propiedad3:Combinacioneslineales

Siaybsonconstantesenteraspositivas,entonces:

(10.14)Ejemplo 10.14 Si X se distribuye conforme una distribucin geomtrica con

parmetrop, su FGMF es ; ahora bien, SI 1 tiene unadistribucinbinomialnegativaconparmetros 1y,setiene

YlaFGMFdeladistribucinBinomialNegativacondichosparmetroses:

(10.15)

Propiedad4:Convolucin

Dadas las VAs X e Y independientes, enteras y no negativas con FuncionesGeneradorasdeMomentosFactorialesy,respectivamente,entoncessesatisface:

(10.16)Ejemplo 10.15 Si, , , , son VAs mutuamente independientes que se

distribuyenconformeaunadistribucindePoissonconparmetros

, 1,2,3. . ; y


10/35

CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|221FGMFs , , , respectivamente; la suma de las VAs es ;aplicandolapropiedaddelaConvolucinsetiene:

La VA Y se distribuye conforme la distribucin de Poisson con parmetro Propiedad5:Preservacindeloslmites

Paracada 1,2,3,sea/lafuncinmasadeprobabilidaddelosenterosnonegativosdeky/sucorrespondienteFGMF;entonces,si

lim /

(10.17)

Donde eslaFGMFcorrespondientea laFMP,secumpleque:lim / , 0,1,2,Ejemplo 10.16 Ya vimos arriba que para la distribucin Binomial 1 ecuacin (10.4) y, para la de Poisson ecuacin

(10.5); aplicando esta propiedad de preservacin de los lmites demostremos que,cuando es muy grande, entonces la probabilidad Binomial |, conparmetros

ny seaproximaa lasprobabilidadesde ladistribucindePoisson ! conparmetro .

ParalaBinomial,/ 1 1 1 Cuando| 1| 1,/ 1 1

1 1

2 1

3

Comolim ,lim 0 1 : lim/ 1,dedonde:

lim

y,comoconsecuenciadeestapropiedad:


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lim/, !

Lo que muestra que las probabilidades Binomiales /,para n grandes seaproximanalasdePoisson

.Cabeobservarqueestapruebanousaelhechoque

, sinosolamentelaconsideracin lim .10.3.2FuncinGeneradoradeMomentosOrdinarios (FGM)AdiferenciadelaFGMF,estafuncingeneralosmomentosordinariosdecualquier

variablealeatoriaX,yaseadiscretaocontinua,quesondesumautilidadparacalcularlosparmetroscaractersticosdelasdistribuciones;ysedefinecomosigue:

(10.18)ParatodoslosvaloresdeenlosqueexistelaFGM.AplicandoeloperadorvaloresperadoE:

SiXesunaVAdiscreta: (10.19)SiXesunaVAcontinua: (10.20)LosmomentosordinariosgeneradosporestaFGMsellamanmomentosrespectoal

origen yserepresentancon

Obsrvesequepara 0: 0

1 1

Y,cuandoestdefinidaenelintervaloabierto, quecontiene 0,la FGM tiene las propiedades que describen la distribucin de X, similares a lasdescritaspara laFGMF;cuandoXesunaVAenteranonegativa,entonces existepara

0,y

(10.21)Laprincipalventajade laFGMsobrelaFGMFeselsignificadoquetienesobreuna

ampliagama devariablesaleatorias, en tanto quesu desventajaconsisteen quenosiempre existe en el intervalo abierto , de valores que contiene a ; sinembargo, esto no sucede en las distribuciones de probabilidad que analizaremos enestetexto.

Ejemplo10.17CalculemoslasFGMdelasdistribucionesBinomial,dePoissonydelaGeomtrica.


12/35

CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|223ComosevioenelEjemplo10.12,laFGMFdeladistribucinBinomiales(10.4):

1 ;Entonces,aplicando(10.9)setiene:

1

(10.22)

De igual forma, en el Ejemplo 10.12 se demostr que, para la distribucin dePoisson:

ysuFGMes aplicando(10.9) (10.23)

Ypara ladistribucinGeomtrica

,con lacual aplicando(10.9)

nuevamente:

(10.24)Ejemplo10.18SiZesunavariablealeatoriacontinuacon funcindedensidadde

probabilidad

;entonces,sufuncingeneradorademomentoses:

(10.25)Al igual que para la FGMF, la FGM tambin tiene propiedades similares que se

enunciarnacontinuacin.

10.3.2.1PropiedadesdelaFGM

Propiedad1:Unicidad

A lecorrespondeunaysolounadistribucin;esdecir,laFGMcaracterizaaunaysolounadistribucin.Puestoque laFuncindeDistribucinAcumulativadetermina la distribucin de cualquier VA, a le corresponde una y solo una.


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Ejemplo 10.19 A la distribucin Binomial /, 1 , lecorresponde nicamente la FGM: 1 . Y para ladistribucin

,sunicaFGMes

.

Propiedad2:Momentos

(10.26)Donde .Enefecto, Para

0 Propiedad2LosMomentosrespectoalorigen

Adems de las funciones de distribucin de las VAs, los momentos de unadistribucin de probabilidades son extremadamente tiles para encontrar losparmetros que la caracterizan conocidos como medidas de localizacin, dispersin,sesgoyaplanamiento.Losmomentossedefinenentrminosdelosvaloresesperados

de

las

diferentes

potencias

de

las

distancias

al

origen

de

los

valores

de

la

variablealeatoriaX,encuyocasoselesllaman losmomentosrespectoalorigenverlaTabla

1; o bien, con respecto a otro punto c diferente del origen, conocidos comomomentos respecto a c o momentos centrales. La siguiente tabla muestra losmomentosrespectoalorigendelasVAsdiscretasycontinuas.

Cabe observar que la dificultad en el clculo de los momentos estriba en lacomplejidaddelasfuncionesdedensidad, queciertamentenosonsencillas olocomplicado de los clculos de las sumatorias, por lo cual muchas veces se prefiereutilizar las funciones generadoras de momentos de las distribuciones que lascaracterizan; es decir, para cada Funcin Masa de Probabilidad FMP o Funcin de

Densidad

de

Probabilidad

FDP

le

corresponde

una

y

solo

una

Funcin

Generadora

de

Momentos.Antesdedefinirdichasfuncionespresentamosalgunosejemplos.

Tabla10.1Momentosrespectoalorigen

Momento Notacin ParaVAsdiscretas ParaVAscontinuas

primer

segundo


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tercer

Deordenr

Ejemplo 10.20 Para el ejercicio del caballero que invita a comer a su novia, setienenlos segundosmomentos:

Paralanovia: / 120 0.1 150 0.35 200 0.55 26,130 Parael novio: / 120 0.2 150 0.5 200 0.3 31,315 Ejemplo10.21Paraelejemplode laproporcinde impurezasenunamuestrade

petrleocrudo,

el

tercer

momento

es:

32

32

32 6

5 10 14 15

920Ejemplo10.22 EnelEjemplo10.20demostramosquesiZesunavariablealeatoria

continuacon funcindedensidaddeprobabilidad

quees la funcindedensidad normal estndar; su funcin generadora de momentos es

, calculemossus cuatroprimerosmomentos: |

| 0

|

| | 1

|

| 2 | 0

| 2 | 33 3 | 3 6 | 3 Propiedad3:TransformacinLineal

Si esunatransformacinlinealdeX,

(10.27)

Enefecto,


15/35


Propiedad4:Convolucin

ParalasVAsXeYconFGMs

setiene:

(10.28)Enefecto,siXeYsoncontinuaseindependientes:

;obien:

Y, en general, para , , , , variables aleatorias mutuamente

independientesy, , , , constantes, setieneque

Ejemplo 10.23 Sean X y Z VAs que se distribuyen normalmente con medias y

varianzas~, y ~0,1 ;comovimosenelejemplo10.20expresin(10.19)

y,adems, ;entonces,porlapropiedad3:

Ejemplo10.24CalculemosloscuatroprimerosmomentosdelavariablealeatoriaX

quesedistribuyeconformeladistribucinNormal~, ,apartirdefuFGM.

,avaluandoen 0, 0 ;

;evaluandoen

0,


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0 Deigualforma,

3 ;y

0 3 Finalmente:

3 6 ;evaluandoen 0,

0 3 6 Ejemplo10.25Sean X e YdosVAsquese distribuyen conformea ladistribucin

Normal, con medias y varianzas~ , y ~ , ; por la propiedad deconvolucin:

Porlapropiedad1setiene,

~ , La propiedad 4 puede generalizarse para , , , , VAs mutuamente

independientes y

, , , , constantes, para la combinacin lineal

setiene: (10.29)Ejemplo10.26.SilasVAs, , , , sonmutuamenteindependientesconla

mismadistribucindeprobabilidades,entonces,porlapropiedaddeunicidadtienenla

mismaFGM ;ylaFGMdelamedia ,porlapropiedad4,es:

YlaFuncingeneradoradeMomentosparalapoblacintotal es:


17/35


Propiedad5:Preservacindelmites

Paracada

1,2,3,sea/laFuncindeDistribucinAcumulada(FDA)consu correspondiente FGM / definida sobre un intervalo abierto , quecontienea,paralacual:

lim , paratodocontenidoen , ;entonces: (10.30)lim / paratoda |escontinuaenx} (10.31)eslaFDAcorrespondientea.10.4FuncionesCaractersticas

HemosvistoquetantolaFGMFylaFGMnoestndefinidasparatodaslas variablesaleatorias;situacinquenosucedeconlaTransformadadeFourier,conocidatambincomolaFuncinCaracterstica,lacualsedefine paralasvariablesaleatoriasdiscretascomo

(10.32)O

para

variables

aleatorias

continuas

(10.33)En las cules 1 es la unidad imaginaria, de donde se desprende que los

valoresdelafuncincaractersticapuedensernmerocomplejosy,parasuestudio,serequieredelconocimientodelasvariablescomplejas;porellonoseestudiarnaqu.

10.5Momentosconrespectoaunpuntoylavarianza

Los momentos que hasta ahora hemos estudiado, corresponden a los momentosrespectoalorigenverFigura1.1;Ahorageneralizaremosestosconceptosestudiandolos momentos con respecto a un punto c diferente del origen, tambin conocidoscomomomentoscentralesparacuando .

Ya vimos como calcular el valor esperado de las variables aleatorias discretas ycontinuas respecto al origen; ahora ampliemos estos conceptos para el caso de lafuncin particular , donde a y r son constantes, entonces a laexpresin:

(10.34)


18/35


19/35


Enefecto:

Si 1 ,

y,porlaspropiedadesdelosvaloresesperados: 0 ;Cuando 2: (10.35)Esta expresin se conoce como la varianza de la VA , que se simboliza con ,,, o , y es la desviacin esperada al cuadrado de con

respecto a la media, o el promedio de las desviaciones con respecto a lamedia;constituye uno de los parmetros de dispersin de dicha variable porque es ladesviacinmspequeaqueseobtiene,cuandosecalculaapartirdelamedia .

Enefecto,siseeligeunvalorarbitrarioycalculamosunapseudovarianza/ /

2 2 0

/ Porloque

/

.

Ycuando setiene / Loquedemuestraquelavarianzarespectoalamediasiempreesmspequeaque

lapseudovarianzarespectoacualquierotropunto.10.6lgebradelasVarianzas

Al igual que para los valores esperados, es de mucha utilidad establecer algunasreglasparalavarianzaqueseaplicanalasvariablesaleatoriasdiscretasycontinuas,a

partirde

la

aplicacin

del

valor

esperado.


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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|231Regla1.Lavarianzaentrminosdelosvaloresesperados

La varianza de una variable aleatoria es igual al segundo momento ordinariorespecto al origen al cuadrado menos el cuadrado del primer momento ordinariorespecto al origen; es decir, es igual al valor esperado del cuadrado de la variable

aleatoria

menos

el

cuadrado

del

valor

esperado

de

la

variable

aleatoria.

(10.36)Enefecto:

2 2 2

Regla2.LaVarianzadeunaconstante

Comounaconstantenovara,suvarianzaescero;esdecirsi ,entonces: 0 (10.37)Enefecto:

0

Regla3.LaVarianzadeunaconstanteporunavariablealeatoria

Si yesunavariablealeatoriaconvarianza,entonces lavarianzade lavariablealeatoriaes

(10.38)Enefecto:

Lo que significa que al multiplicar cada valor de la variable aleatoria por una

constantesemultiplicalavarianzaporelcuadradodelaconstante,yactacomounfactordeescalayporlotantouncambioenladispresin.

Regla4.LaVarianzadeunacombinacinlineal

Si y es una variable aleatoria con valor esperado y varianza ,entonceslavarianzadelavariablealeatoria es:

(10.39)


21/35


Enefecto:

Loquesignificaquealaadirunaconstanteacadavalordelavariablealeatoriasuvarianzapermanecesincambioyactacomounaconstantededesplazamientodeladistribucindelavariablealeatoriaalolargodelejex.

Ahorabien,Para 3tenemos: 3 3

Aplicandolaspropiedadesdelvaloresperado:

3 3 3 2

Siguiendoelmismoprocedimientopara

4seobtiene:

4 6 3 Ejemplo 10.29 Para Ejemplo 10.1 calculemos los cuatro momentos centrales,

recordandoqueelsegundomomentocentraleslavarianza.Conestainformacinseobtienelasiguientetabladepagos,comnmenteutilizada

enlateoradedecisiones:

Tabla10.1.matrizdepagos

Estadode

la

naturaleza

( )

I:Sexistepetrleo

II:NOexistepetrleo

Decisinportomar

Sperforar

200 50

Noperforar

50 25


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Paraevaluar

esta

situacin,

se

aplica

el

valor

esperado

para

las

dos

alternativas

de

decisin:Sidecideperforar:/I 2000.25 500.75 12.50Sidecidenoperforar:/II 500.25 250.75 31.25E[X/I] E[X/II] E[/I] E[/II] E[/I] E[/II] E[/I] E[/II

]

12.5

1187 1906250

404687500

31.251093.75

42968.7 1855468.7

5

/ / / / / /11718.7

51464843.75 19818627930

117.1875

1464.84375 32043.457

Ejemplo10.30

Para

el

Ejemplo

10.2

La

proporcin

de

impurezas

de

una

muestra

de

petrleocrudosemodelaporlafuncindedensidad:

, 0 10 0.71 ;

0.55

0

0.2

0.4

0.6

0.8

100 50 0 50 100 150 200

p(x)

x

Distribucindepagos/perfora

probabilidades


23/35


0.45 0.38

0 ; 0.55 0.71 .046 3 2 3 2 0.45 30.710.55 20.45 0.32 4 6 3 4 6 3

0.38 40.710.45 6 0.710.55 3 0.71 0.33

La potencialidad de los momentos se ver con claridad cuando estudiemos lasdistribucionesdeprobabilidaddelasvariablesaleatoriascontinuasydiscretas.

10.7MomentosdeDistribucionescondicionalesyconjuntas

Losmomentosde lasdistribucionescondicionales sebasanen losconceptosdevaloresperadoydeladistribucincondicional.

ParalasVAdiscretas

| | o | | (10.40)ParalasVAcontinuas

| | o | | (10.41)Y,porelconceptodevariablesaleatorias independientes,setienequesiXyY

sonindependientessedebercumplirque

| o | (10.42)Esteconceptodemomentospuedeextendersealasfuncionesconjuntasdedoso

ms variables; SI Y son VA conjuntas con funcin de probabilidad conjunta, paraelcasodiscretoofuncindedensidad , paraelcasocontinuoysi, esunafuncindeY,setieneParaelcasodiscreto

, , , (10.43)


24/35

CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|235Yparaelcasocontinuo

, , , (10.44)As,

para

una

distribucin

conjunta

de

dos

variables

aleatorias

y,parayenterosnonegativoslosvaloresesperadosdeproductosdepotenciassonEnparticular,siY sonindependientes

, (10.45)Yporextensinparaelcasode , 1,2,3, , VAindependientessetiene

(10.46)

10.8Lacovarianza

ElmomentodeladistribucinconjuntadelasvariablesYquereflejelafuerzadeladireccindelarelacineslacovarianza,quesedefinecomo

, (10.47)Cuando

Y

sondiscretassetiene

, (10.48)Ysisoncontinuas

, (10.49)

Como Por

las

propiedades

de

los

valores

esperados,

se

tiene

, (10.50)CuandoYsondiscretassetiene , (10.51)Yparacuandosoncontinuas

, (10.52)


25/35


YsiYsonindependientes , 0 (10.53)Loquesignificaque ladireccinde la interrelacinde lasvariables

Y

notiene

ningnpatrn

positivo

onegativo.

Si

Yestnpositivamenterelacionadasentoncesvalores mayores de tienden a corresponder con valores mayores de y la, es positiva; en cambio, si valores menores de se corresponden convaloresmenoresdesetieneque la, esnegativa.Ensuma,elsignodelacovarianzanosproporciona informacina cercade ladireccinde la interrelacinexistenteentreY.

La covarianza es particularmente til en la determinacin de la suma, de ladiferenciaoelcoeficientedecorrelacindedosvariablesaleatorias.As,si ,

Conformea(10.35)

se

tiene

Como ,setiene

2 Por

las

propiedades

de

valor

esperado

2 2 (10.54)Siahora ,porelmismoprocedimientosetiene 2 (10.55)Y,

si

las

VA

son

independientes

se

tiene

(10.56)Esconvenienteobservarlainfluenciadelacovarianzasobrelavarianzadelasumao

diferenciadelasvariablesaleatorias,salvocuandosonindependientes;silarelacinespositivalavarianzadelasumaesmayorylavarianzadeladiferencia esmenorquesifueran independientes.Encontrapartesi larelacinentreyesnegativa,setienequelavarianzadelasumaesmenorylavarianzadeladiferenciaesmayorquesilasvariablesquesiellasfueranindependientes.


26/35

CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|23710.9ElCoeficientedeCorrelacin

Siseobserva,lacovarianzatienecomounidadeslascorrespondientesaY;porejemplosiestmedidaenmetrosyenkgsusunidadessonmkgyesdifcildeinterpretar

la

fuerza

de

la

relacin

entre

Y

.

Esta

dificultad

se

resuelve

dividiendo

la

covarianza por el producto de las desviaciones estndar de estas variables y dando por resultado un parmetro adimensional, que es uno de los parmetrosgeneralesdelasFuncionesdeprobabilidadconjuntas,yseconocecomoelcoeficientedecorrelacinysedefinecomo

, (10.57)Puededemostrarseque1 1 As

pues,

el

coeficiente

de

correlacin

corrige

el

escalamiento

de

Yyrepresentaapropiadamente la fuerza de y la direccin de la relacin que existe entre dichasvariables. Si 1 los valores de las variables estn perfectamentecorrelacionadaspositivamentecomosemuestraen lafigura10.2(a);encambiopara 1 los valores de las variables estarn perfectamente correlacionadasnegativamente como se indica en la figura 10.2 (b); y si 0 se dice que lasvariablesNOestncorrelacionadascomoseilustraen(c)delafigura.Paralosdemsvaloressiestcercanoa1oa1setieneunainterrelacinfuerte,encambiosiestcercanoa 0implicaunarelacinmuydbil.

Ennecesario

tener

en

cuenta

que

el

coeficiente

de

correlacin

midelafuerzadelarelacinlinealentrelasvariables bajoestudioY;porejemplo,si 3 1 las variables estn perfectamente correlacionadas positivamente, en cambio para . lasvariablesnoestnperfectamenterelacionadasporque larelacinnoeslineal,comoseilustraenlafigura10.2.

Y=3X+1; XY= +1

X

0 1 2 3 4 5 6

Y

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Y=-3X+1; XY = -1

X

0 1 2 3 4 5 6

Y

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

(a) (b)


27/35


XY

= 0.0174

X

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

0

1

2

3

4

5

6

Y=e0.5X

X

0 2 4 6 8 10 12

Y

0

20

40

60

80

100

120

140

160

(c) (d)Figura10.2Relacioneslinealynolineal

Ejemplo10.31SieselnmerodelibrosdeTeoradelaProbabilidadquesetienenenunabibliotecayeldelibrosdeEstadsticaAplicada,yladistribucinconjuntadela seleccin de un estudiante es la que aparece en el cuadro interior con la cual setienelosiguiente:

a) Lasdistribucionesmarginalesdeyqueson losvaloresde lasvariablesconjuntamenteconlasprobabilidadesqueaparecenenelmargenderechopara yenelinferiorpara.

X

1

2

3

p(y)

1 0.000 0.167 0.083 0.250Y 2 0.200 0.111 0.000 0.311

3 0.133 0.250 0.056 0.439

p(x) 0.333 0.528 0.139 1.000

b) Laprobabilidad 3| 2 , .. 0.474 c) Lacovarianzadey Y , E X, Y

, 110 120.167 13 0.083 33 0.056 3.828 1 0.333 20.528 30.139 1.806 Conelmismoprocedimiento 2.189 .Porlotanto, 3.828 1.8062.189 0.124

d) Para calcular el coeficiente de correlacin necesitamos calculas las

desviacionesestndar

de

las

variables,

lo

que

asu

vez

requiere

del

clculo

delasvarianzas.


28/35


29/35


I. Con las densidades marginales podemos calcular las medias y lasdesviacionesestndardey.LaFDMde

es

150

150 3 4 1 150 3 21

Calculemoslamediade 150 3 21

150 1242 1.08 Ahora

150 3 21

150 3 21 2.08

Lavarianzavale 2.08 1.08 0.9136

Y

0.9136 0.9558

II. SiguiendolosmismosprocedimientosparalavariablealeatoriatenemosLaFDMdees 2 Calculemoslamediade

1

50 2 8

3

1

50147.5 2.95

Ahora 150 2 83

150 2 83 9.304

Lavarianzavale 9.304 2.95 0.6015

Yladesviacinestndar

0.6015 0.7755


30/35


III. Lavarianzaconjuntavale

IV.

3150027.5363.753.15Conlosvaloresanteriorestenemos

V. , ..... 0.0485 Lo que indica que prcticamente no existe correlacin lineal entre las variables

aleatoriasy.10.10

La

curva

de

regresin

yel

Coeficiente

de

Determinacin

Comosevioenlaseccinanterior,elcoeficientedecorrelacindaunamedidadelafuerzadeasociacinlinealentrelasvariablesaleatoriasy;porlotanto,sidichocoeficiente de correlacin es satisfactorio, entonces es deseable buscar unprocedimiento para poder pronosticar el valor de suponiendo que sta es lavariabledependiente entrminosde losvaloresde queparanuestrocasoes lavariableindependiente.Puestoqueesunvalorconocido,paralaprediccinde seutilizaladistribucincondicionaldedadoelvalorde;esdecir,|o|segnsetratedeunaVAdiscretaocontinua,cuyovaloresperado| | eselmejor

estimador

oel

ms

razonable

predictor

de

.Como el valor esperado| | vara para los diferentes valores de, lafuncinformadaporlasparejasdevalores ,|sellamalacurvaderegresinde ;lacualserepresentaenlafigura10.3.

0

20

40

60

80

100

-5

0

5

10

15

-5

0

510

f(y|x)

X

E[Y|x]

FDP Normal Bivariable

f(y|x1)

f(y|x2)

f(y|x3)

Curva de regresin

x3x2

x1

E[Y|x]

Figura10.3CurvadeRegresinE[Y|X=x]


31/35


En este caso muy particular | 5 ; lo que significa que y sonindependientesoseaquenopredicea,noobstante, lassiguienteexplicacionesson vlidas. En la figurase observa que lasuperficie correspondea una distribucinconjunta normal bivariable generada por un nmero infinito de FDP condicionales

| unaparacadavalorde; paraestecasoparticular lacurvaderegresinesunarectaderegresinsobreelplanoXE[Y|x];estacurvaseencuentragraficandolasparejasdevalores ,|,donde|son losvaloresesperadoso lasmediasde laFDPcondicionales|;sehan dibujadosolamente3valoresdeXpara loscualessetienen las3FDPcondicionales| 1,2,3;y cadaunatienesuvalor esperado | sobre el plano |; la infinidad de estos puntos,|definelacurvaderegresincomoseilustraenlafigura10.4.

E[y |x]= 5

X

0 1 2 3 4 5 6

y = E[Y|x]

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Figura10.4laRectadeRegresin| 5 Caberecordarqueeslavariabledependientede lavariableindependiente y

lacurvaderegresinde sobreesdiferentealacurvaderegresindesobre.Ejemplo10.33Conrelacinalejemploanteriordeterminemoslacurvaderegresin|.Sabemosque

, 0 2; 1 40 Yencontramosque

3 21 0 2 ConestasFDPencontremoslaFDPcondicional|.

| , 150 150 3 21 3 21


32/35

CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|243Comoyavimos, lacurvaderegresindesobreeselvaloresperadode laFDP

condicional|.|

|

3

21

13 21

13 21 2

4 4 1 7.5

63.753 21 Lacurvaderegresinsemuestraenlafigura10.5

E[Y|x]=(7.5x2+63.75)/(3x

2+21)

X0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

E[Y|x]

0

1

2

3

4

5

6

Figura10.5CurvaderegresindeYsobrex:

|

El clculo de la curva de regresin de | se hace siguiendo el mismoprocedimiento.

| , 150 150 2 83

2 83

|

|

2 83

=

| 2 42 83

La representacin grfica de esta curva de regresin aparece en la figura 10.6 y,

similar

a

la

anterior,

no

es

til

para

predecir

los

valores

de

X

dado

los

diferentes

valoresqueYpuedetomar.


33/35


E[X|y]=2(y2+4)/(2y

2+8/3)

Y

0 1 2 3 4 5

E[X/y]

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura10.6CurvaderegresinXsobre |10.11 ElCoeficientedeDeterminacin

Elcoeficientedecorrelacinnosdaunvalordelafuerzadeasociacinlinealentrelasvariablesy,entantoque lacurvaderegresineselmodelomatemticoo lafuncin

de

la

relacin

entre

las

variables,

que

puede

o

no

ser

lineal,

y

otro

parmetro

querelacionatantoalapotenciadeasociacincomoalaregresineselcoeficientededeterminacin que nos da una medida de la varianza explicada por la curva deregresinysedefinecomoelcuadradodelcoeficientedecorrelacin.

(10.58)Ejemplo10.34Comoeradeesperarse,lascurvasderegresindelejemploanteriorno

sontilesparapredecirlosvaloresdeYconlosdiferentesvaloresquepuedetomar,nilos de los valores deY;yaque,delejemploanterior, elcoeficiente decorrelacin

resultiguala

0.0485yelcoeficientededeterminacines

0.0485 0.0024Loquesignificaqueel0.24%delavarianzadeodeesexplicadaporlascurvas

deregresin.

Enlapartedeestadsticaaplicaremosestosconceptosalosdatosdelasmuestrasydedicaremosuncaptuloaellos.


34/35


10.12BibliografayReferencias

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