of 87 /87

Utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din ...stoleriu/Probability_paradoxes(2016).pdf · Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din eoTria Probabilit µilor

  • Author
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din...

  • Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor

    Dr. Iulian Stoleriu

    Facultatea de Matematic 

    Universitatea �Alexandru Ioan Cuza� din Ia³i

    [email protected]; [email protected]

    9 aprilie 2016

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 1 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

    Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.

    Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,

    Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.

    De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

    Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

    În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Ce este un paradox?

    Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev -

    rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

    nici adev rate, nici false.

    4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

    G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac  ar � s  lu m în seam  aceast  de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c  a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 2 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

    Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).

    Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.

    Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.

    �Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).

    Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate

    Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 3 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)

    se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

    tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentelenorocoase succesive sunt probabile.

    din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

    (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    (paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

    La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 4 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!

    Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Probabilitate vs. intuiµie

    (Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi,B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ  alege A, juc torul B are ³ans  teoretic  (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

    Chiar exist  o diferenµ  semni�cativ  între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

    Presupunem c  un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s  se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  �e par?

    R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut  poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

    Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

    Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

    De ce un nanogenar nu se teme de moarte? Statistic vorbind, probabilitatea ca unom s  moar  înainte de 90 este mai mare decât cea ca un om s  moar  dup  90. ,

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 5 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

    Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

    Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.

    La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

    Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).

    O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.

    Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

    Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan ³i putem observa ce faµ  apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

    Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 6 / 25

  • Moduri de a de�ni probabilitatea

    clasic  (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni-mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv )

    frecvenµial  (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative derealizare a acestui eveniment dintr-un ³ir in�nit de încerc ri. (probabilitate empiric )

    subiectiv  (T. Bayes, 1763) reprezint  gradul de convingere personal  (subiectiv )c  acel eveniment s-ar realiza. (�traducerea bunului simµ în cifre� - M. Iosifescu etal, 1985). Nu exist  o formul  teoretic  pentru probabilitatea subiectiv , doareceaceasta re�ect  opinia personal  a unei persoane care evalueaz  ³ansa de realizare aevenimentului, bazându-se pe �erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s tr iasc  mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipa X s  câ³tige meciul.)

    axiomatic  (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur  num rabil aditiv  de�nit  pe oσ−algebr .geometric  (caz particular al probabilit µii de�nite axiomatic) raportul dintre m -sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.

    predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii �zices  genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit , de exemplu, în Mecanica Statistic .

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 7 / 25

  • Moduri de a de�ni probabilitatea

    clasic  (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni-mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv )

    frecvenµial  (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative derealizare a acestui eveniment dintr-un ³ir in�nit de încerc ri. (probabilitate empiric )

    subiectiv  (T. Bayes, 1763) reprezint  gradul de convingere personal  (subiectiv )c  acel eveniment s-ar realiza. (�traducerea bunului simµ în cifre� - M. Iosifescu etal, 1985). Nu exist  o formul  teoretic  pentru probabilitatea subiectiv , doareceaceasta re�ect  opinia personal  a unei persoane care evalueaz  ³ansa de realizare aevenimentului, bazându-se pe �erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s tr iasc  mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipa X s  câ³tige meciul.)

    axiomatic  (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur  num rabil aditiv  de�nit  pe oσ−algebr .geometric  (caz particular al probabilit µii de�nite axiomatic) raportul dintre m -sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.

    predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii �zices  genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit , de exemplu, în Mecanica Statistic .

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 7 / 25

  • Probabilitate clasic 

    • Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate � determinat  a priori prin examinarea spaµiuluituturor posibilit µilor.• Mulµimea Ω a tuturor cazurilor posibile este �nit .• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul. indiferenµei/ignoranµei).Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egal  cu raportul dintre num rul cazurilor

    favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) =card(A)card(Ω)

    .

    Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei acel puµin unei steme?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 8 / 25

  • Probabilitate clasic 

    • Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate � determinat  a priori prin examinarea spaµiuluituturor posibilit µilor.• Mulµimea Ω a tuturor cazurilor posibile este �nit .• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul. indiferenµei/ignoranµei).Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egal  cu raportul dintre num rul cazurilor

    favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) =card(A)card(Ω)

    .

    Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei acel puµin unei steme?

    * Cazuri posibile în care stema poate ap rea:1) la prima aruncare; 2) la a doua aruncare; 3) deloc.

    A³adar, avem 3 cazuri posibile, dintre care doar primele dou  sunt favorabile. Probabilitatea

    este astfel P =23.

    Unde este gre³eala?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 8 / 25

  • Probabilitate clasic 

    • Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate � determinat  a priori prin examinarea spaµiuluituturor posibilit µilor.• Mulµimea Ω a tuturor cazurilor posibile este �nit .• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul. indiferenµei/ignoranµei).Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egal  cu raportul dintre num rul cazurilor

    favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) =card(A)card(Ω)

    .

    Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei acel puµin unei steme?

    Soluµie: Cazuri posibile (echiprobabile): Ω = {SS, BS, SB, BB}, |Ω| = 4.

    Cazuri favorabile: A = {SS, BS, SB}, |A| = 3.

    Probabilitatea este P(A) =34.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 8 / 25

  • Family paradox

    (1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?

    (presupunem c  pentru �ecare copil sunt ³anse egale de a � fat  sau b iat, independent

    de sexul celuilalt copil)

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 9 / 25

  • Family paradox

    (1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?

    (presupunem c  pentru �ecare copil sunt ³anse egale de a � fat  sau b iat, independent

    de sexul celuilalt copil)

    Soluµie: Pe baza informaµiilor, putem construi spaµiul de selecµie în �ecare caz.

    (a) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , BF}.

    P1 =12.

    (b) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , FB, BF}.

    P2 =13.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 9 / 25

  • Family paradox

    (1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat  n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 9 / 25

  • Family paradox

    (1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat  n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s  �e fete?

    Soluµie:

    Noua informaµie obµinut  ne poate conducela un proces de selecµie diferit de cel anterior.

    P3 =1327≈ 0.48.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 9 / 25

  • Family paradox (reloaded)

    Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 10 / 25

  • Family paradox (reloaded)

    Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

    (presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)

    Soluµie:

    Spaµiul de selecµie:

    {FFFF, FFFB, FFBF, FBFF, BFFF, FFBB, FBFB, BFFB,

    BBFF, BFBF, FBBF, FBBB, BBFB, BFBB, BBBF, BBBB}

    Probabilitatea de a avea câte doi copii de acela³i sex este

    P1 =616

    = 0.375 (=C 2424

    )

    Probabilitatea de a avea trei copii de un sex ³i unul de altul este

    P2 =816

    = 0.5 (=C 14 + C

    34

    24)

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 10 / 25

  • Birthday problem

    Dac  într-o clas  sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unuldintre ei s  serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 11 / 25

  • Birthday problem

    Dac  într-o clas  sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unuldintre ei s  serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).

    Soluµie:Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, B, ca niciun elev s  nuserbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine. Trecând la evenimentul complementar,probabilitatea cerut  este

    P(B) = 1− P(B) = 1−(364365

    )30= 0.0790,

    adic  aproximativ o ³ans  din 12 (cota 1 : 11).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 11 / 25

  • Birthday paradox

    Dac  într-o clas  sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doidintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 12 / 25

  • Birthday paradox

    Dac  într-o clas  sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doidintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

    Soluµie:Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, A, ca oricare doi elevi s nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi. Trecând la evenimentul complementar.

    Ω = {E = (e1, e2, . . . , en), ek ∈ {1, 2, . . . , 365}}, |Ω| = 365n

    A = {E ∈ Ω, ei 6= ej}, |A| = An365Obtinem ca:

    P(A) = 1− P(A) = 1− A30365

    36523= 1− A

    30365

    36530= 0.7063.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 12 / 25

  • Birthday paradox

    Dac  într-o clas  sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doidintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 12 / 25

  • Joc întrerupt (division paradox)

    (Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumitemotive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 13 / 25

  • Joc întrerupt (division paradox)

    (Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumitemotive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

    Soluµie:

    Miza ar trebui s  �e împ rµit  proporµional cu ³ansele �ec rui sportiv de aajunge primul la 6 jocuri câ³tigate.

    Meciul ar mai � putut continua cu maximum 3 jocuri.

    Exist  8 rezultate teoretice (unele super�ue) pentru cele 3 jocuri r mase.

    Convenµie: 1 / 0 − succes / insucces pentru primul juc tor.Spaµiul de selecµie asociat:

    {111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}

    Probabilitatea ca primul sportiv s  câ³tige este78.

    Miza ar trebui împ rµit  astfel în raport de 7 : 1, i.e. 875 RON : 125 RON.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 13 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul po³ta³ului

    Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

    Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este1n.

    Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

    persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

    P =(1− 1

    n

    )n(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dac  n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic  50% ³anse s  gre³easc .

    Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic  25% ³anse.

    Ce se întâmpl , doctore?

    De fapt, probabilitatea exact  este:

    P =!n

    n!=

    n∑k=0

    (−1)k

    k!(≈ 1

    epentru n� 1).

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 14 / 25

  • Paradoxul independenµei

    Evenimentele A ³i B sunt independente d.n.d. P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Se arunc  dou  monede corecte. Consider m evenimentele:

    A − �faµa ce apare la prima moned  este stema�;B − �faµa ce apare la a doua moned  este stema� ;C − �doar la o moned  din cele dou  a ap rut faµa cu stema�.

    Se observ  c  oricare dou  dintre evenimentele A, B ³i C sunt independente:

    P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

    ; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

    P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14

    Totodat , oricare dou  dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

    Sunt sau nu sunt A, B, C independente???

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 15 / 25

  • Paradoxul independenµei

    Evenimentele A ³i B sunt independente d.n.d. P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Se arunc  dou  monede corecte. Consider m evenimentele:

    A − �faµa ce apare la prima moned  este stema�;B − �faµa ce apare la a doua moned  este stema� ;C − �doar la o moned  din cele dou  a ap rut faµa cu stema�.

    Se observ  c  oricare dou  dintre evenimentele A, B ³i C sunt independente:

    P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

    ; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

    P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14

    Totodat , oricare dou  dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

    Sunt sau nu sunt A, B, C independente???

    Morala: Independenµa dou  câte dou  a evenimentelor nu implic  independenµa înansamblu. Într-adev r, 0 = P(A ∩ B ∩ C) 6= P(A) · P(B) · P(C) = 1

    8.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 15 / 25

  • Paradoxul independenµei

    Evenimentele A ³i B sunt independente d.n.d. P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Se arunc  dou  monede corecte. Consider m evenimentele:

    A − �faµa ce apare la prima moned  este stema�;B − �faµa ce apare la a doua moned  este stema� ;C − �doar la o moned  din cele dou  a ap rut faµa cu stema�.

    Se observ  c  oricare dou  dintre evenimentele A, B ³i C sunt independente:

    P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

    ; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

    P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14

    Totodat , oricare dou  dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

    Sunt sau nu sunt A, B, C independente???

    Morala: Independenµa dou  câte dou  a evenimentelor nu implic  independenµa înansamblu. Într-adev r, 0 = P(A ∩ B ∩ C) 6= P(A) · P(B) · P(C) = 1

    8.

    În general, evenimentele {Ai}i∈I ⊂ F , (I ⊂ N), se numesc independente (în ansamblu)dac  evenimentele din orice submulµime �nit  sunt independente.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 15 / 25

  • Paradoxul monedei

    Se arunc  o moned  corect  de mai multe ori, pân  apare una dintre secvenµeleSS sau SB. În medie, SB apare înaintea secvenµei SS, de³i, la aruncarea de dou ori a unei monede corecte, ambele secvenµe au probabilitatea 1/4 de a ap rea.

    Fie NSS (resp. NSB) num rul mediu de arunc ri pân  obµinem SS (resp. SB) pentruprima oar . Atunci:

    NSS =14· (2 + NSS) +

    14· (2 + NSS) +

    14· 2 + 1

    4· 12

    (3 + 3 + NSS)

    NSB =14· 2 + 1

    4· (2 + NSB) +

    14· (2 + 2) + 1

    4· (2 + 2)

    de unde NSS = 6 ³i NSB = 4.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 16 / 25

  • Probabilitate clasic  (a priori). Critici

    Probabilitatea clasic  este o probabilitate teoretic  (a priori), calculabil  înaintea efectu riiexperimentului sau chiar în absenµa efectu rii acestuia.Critici:

    nu acoper  cazul în care Ω este in�nit (e.g. Alegem aleator un num r în [−1, 1]. Careeste probabilitatea s  �e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegând aleator unpunct în plan, acesta s  aparµin  primului cadran?)

    de�niµia este valabil  doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adic noµiunea de probabilitate se bazeaz  pe cea de. . . echiprobabilitate − cerc vicios.exist  situaµii în care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

    echiprobabilitatea se veri�c  prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar în cazul �nit. Exist  situaµii în care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate veri�ca echiprobabilitatea acestora.

    este complet determinat  de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. În general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

    în unele cazuri, fenomenul aleator nu este de�nit precis, ceea ce duce la confuzii.

    Exemple: • probabilitatea ca o pionez  s  cad  cu vârful în sus;• probabilitatea ca mâine s  plou . • probabilitatea ca soarele s  r sar  ³i mâine• exist  viaµ  pe Marte?• probabilitatea ca un num r real ales aleator s  �e pozitiv.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 17 / 25

  • Probabilitate clasic  (a priori). Critici

    Probabilitatea clasic  este o probabilitate teoretic  (a priori), calculabil  înaintea efectu riiexperimentului sau chiar în absenµa efectu rii acestuia.Critici:

    nu acoper  cazul în care Ω este in�nit (e.g. Alegem aleator un num r în [−1, 1]. Careeste probabilitatea s  �e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegând aleator unpunct în plan, acesta s  aparµin  primului cadran?)

    de�niµia este valabil  doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adic noµiunea de probabilitate se bazeaz  pe cea de. . . echiprobabilitate − cerc vicios.exist  situaµii în care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

    echiprobabilitatea se veri�c  prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar în cazul �nit. Exist  situaµii în care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate veri�ca echiprobabilitatea acestora.

    este complet determinat  de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. În general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

    în unele cazuri, fenomenul aleator nu este de�nit precis, ceea ce duce la confuzii.

    Exemple: • probabilitatea ca o pionez  s  cad  cu vârful în sus;• probabilitatea ca mâine s  plou . • probabilitatea ca soarele s  r sar  ³i mâine• exist  viaµ  pe Marte? (p = 1/2 ?. . . cazuri posibile: exist  sau nu exist );• probabilitatea ca un num r real ales aleator s  �e pozitiv.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 17 / 25

  • Paradoxul lui Bertrand

    Alegem la întâmplare o coard  a unui cerc. Care este probabilitatea ca lungimea acesteicoarde s  �e mai mare decât latura triunghiului echilateral înscris în cerc?Bertrand a dat 3 soluµii:

    [1] (alegem la întâmplare mijlocul coardei)

    Cazuri probabile:

    Ω1 = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ R2}.

    Cazuri favorabile:

    F1 =§

    (x , y) ∈ Ω1; x2 + y2 ≤(R

    2

    )2ª.

    Atunci,

    P =Aria [F1]Aria [Ω1]

    =π R

    2

    4

    R2=

    14.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 18 / 25

  • Paradoxul lui Bertrand

    [2] (aleg aleator dou  puncte pe cerc ³i observ lungimea arcului mic determinat de ele)

    Alegem aleator A ³i M pe cercul de raz  R. Ne imagin m un triunghi echilateral pentrucare un vârf al s u coincide cu A.

    Cazuri probabile: punctele cercului de raz  R.

    Cazuri favorabile: punctele din interiorul arculuiöBC .A³adar, probabilitatea va �:

    P =lungimea [öBC ]lungimea [Cerc] =

    13.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 19 / 25

  • Paradoxul lui Bertrand

    [3] (se alege aleator un diametru al cercului ³i o coard  perpendicular  pe diametru)

    Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic 

    Ω3 = {r ∈ R; r ∈ [−R, R]}.

    Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic 

    F3 = {r ∈ Ω3; −R

    2≤ r ≤ R

    2}.

    Probabilitatea va �:

    P =m s [F3]m s [Ω3]

    =R

    2R=

    12.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 20 / 25

  • Paradoxul lui Bertrand

    [3] (se alege aleator un diametru al cercului ³i o coard  perpendicular  pe diametru)

    Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic 

    Ω3 = {r ∈ R; r ∈ [−R, R]}.

    Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic 

    F3 = {r ∈ Ω3; −R

    2≤ r ≤ R

    2}.

    Probabilitatea va �:

    P =m s [F3]m s [Ω3]

    =R

    2R=

    12.

    Morala: De �ecare dat  când se alege ceva aleator, trebuie precizat  în mod clar regula(legea de probabilitate) dup  care s-a face alegerea.

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 20 / 25

  • Probabilitate frecvenµial  (a posteriori). De�niµie ³i critici

    exprim  probabilitatea cu ajutorul frecvenµelor de realizare a unui eveniment într-unnum r mare de experimente aleatoare realizate în acelea³i condiµii;

    evenimentul aleator care se poate repeta la nesfâr³it în acelea³i condiµii;

    probele sunt independente;

    pentru un eveniment A, consider mνN(A)

    N− frecvenµa relativ  de realizare a lui A

    în N probe independente. Probabilitatea de realizare a lui A este de�nit  prin

    P(A) = limN→∞

    νN(A)

    N

    d.p.d.v. teoretic, ar trebui s  dea acela³i rezultat cu probabilitatea clasic , atuncicând o putem calcula. În practic , d  rezultate diferite.

    Critici:− nu este exact  (ofer  un estimator pentru probabilitate). Cât de mare ar trebuis  �e N pentru o aproximare f bun ?− unele experimente nu pot � repetate la in�nit în condiµii similare sau chiar deloc!

    Exemple: • probabilitatea s  plou  mâine;• probabilitatea ca un asteroid s  ajung  pe P mânt.

    Atenµie la interpretarea frecvenµelor!

    Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 21 / 25

  • Probabilitate frecvenµial  (a posteriori). De�niµie ³i critici

    exprim  probabilitatea cu ajutorul frecvenµelor de realizare a unui eveniment într-unnum r mare de experimente aleatoare realizate în acelea³i condiµii;

    evenimentul aleator care se poate repeta la nesfâr³it