Unit 3 Set |37

UNIT PELAJARAN 3

SET

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menyatakan tata tanda dalam set seperti { }, , , , dan .

2. Melukis gambar rajah Venn berdasarkan daripada maklumat yang diberi.

3. Mentakrif kesamaan dua set, set semesta, set kosong, set terhingga dan set

terbilangkan.

4. Menentukan bilangan unsur dalam sesuatu set: melalui rumus n(AB).

5. Mengenal beberapa operasi seperti persilangan (), kesatuan (), beza di antara

dua set ( – ) dan pelengkap (‘ ).

6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan set.

7. Menyatakan hukum aljabar seperti tukar tertib, sekutuan, taburan,

identiti, songsangan.

8. Mentakrif hasil darab Cartesan untuk menyelesaikan masalah yang

melibatkan hasil darab set.

Matematik Asas |38

PENGENALAN

onsep set sering digunakan dalam matematik di mana pelajar mempelajarinya dalam

pelbagai bentuk teori set dari peringkat sekolah rendah hinggalah sekolah menengah.

Secara umumnya set ialah pungutan objek-objek yang tertakrif dengan jelas. Objek-

objek ini dinamakan unsur. George Cantor dikenali sebagai bapa teori set kerana beliau adalah

orang pertama yang mempelopori cabang matematik ini terutamanya mengenai set nombor tak

terhingga (infinite). Dalam seharian, konsep set juga boleh digunakan seperti buku-buku rujukan

seorang pelajar, perkakasan komputer, buah-buahan tempatan di Malaysia dan bulan-bulan dalam

setahun. Dalam matematik pula, seperti set penyelesaian sesuatu persamaan kuadratik, set

nombor integer dan set koordinat-koordinat.

3.1 SET

Takrif

Sesuatu set boleh ditulis dengan cara perihalan atau tanda kurung { } dan ia boleh dilabelkan

dengan huruf abjad besar seperti A, B, C… Unsur-unsur dalam suatu set diwakili oleh huruf kecil

seperti a, b, c,... dan diasingkan dengan koma dan unsur-unsur yang sama tidak perlu diulang.

Contoh Set

Contoh

X ialah set nombor-nombor perdana yang kurang daripada 10.

X = {nombor-nombor perdana yang kurang daripada 10}

= { 2, 3, 5, 7 }

B = {x :15 < x < 24, x ialah nombor ganjil}

= { 17, 19 ,21, 23 }

K

Unit 3 Set |39

Sesuatu set haruslah ditakrif dengan jelas dan tepat supaya unsur-unsur dalam set itu dapat

ditentukan.

Contoh set yang ditakrif dengan jelas dan tepat:

a) Set pelajar dalam Program Matematik yang memakai cermin mata.

b) P = {segi tiga, segi empat, pentagon, heksagon }.

c) Q = { 6, 9, 12, 15, 18 }.

d) R = { 17, 19, 21, 23 }

Contoh set yang tidak ditakrif dengan jelas dan tepat:

a) Set pelajar dalam Program Sains yang rajin.

b) Set poligon yang mempunyai kurang daripada 7 sisi.

Contoh pewakilan unsur

Menulis set

Setiap objek dalam satu set dikenali sebagai unsur dan simbolnya . Bagaimana agaknya bukan

unsur diwakili?

A ialah set huruf-huruf dalam perkataan STATISTIK.

A = { s, t, a, i, k }

Contoh 3.1

Matematik Asas |40

B ialah set nombor genap antara 5 dan 14.

B = { 6, 8, 10, 12 }

Menulis unsur set

A = { s, t, a, l, k }

s A, t A, a A, tetapi 2 A

Jika sesuatu set mengandungi banyak unsur, kita gunakan tiga titik, … untuk menyatakan bahawa

ada unsur yang tidak dituliskan.

= {1, 2, 3, 4,… }, B = {2, 4, 6, 8,… }, W = {0, 1, 2, 3, 4,… }, A = {1, 2, 3, 4,…98, 99, 100 }

Set Terhingga dan Terbilangkan

a) Set Terhingga

Satu set itu terhingga sekiranya ianya set kosong atau mengandungi n unsur di mana n Z+

i) M adalah set hari-hari dalam seminggu.

set terhingga.

ii) P = {x : x adalah bilangan sungai di bumi}

set terhingga.

iii) Y = set integer positif yang genap.

= {2, 4, 6, 8, 10, ..}

set tak terhingga.

Contoh 3.2

Contoh 3.3

Unit 3 Set |41

iv) I adalah selang unit nombor nyata.

I = {x : 0 x 1}

set tak terhingga.

b) Set Terbilangkan

Suatu set itu terbilangkan sekiranya ia terhingga atau boleh disusun.

Merujuk kepada Contoh 2.3,

(i), (ii) – terbilangkan

(iii) – tak terhingga secara terbilang

(iv) – tak terbilangkan

A ialah set bulan-bulan dalam setahun. – set terhingga, terbilang

B ialah set integer positif yang ganjil - set tak terhingga, terbilangkan

Perwakilan set dengan Gambar Rajah Venn

Sesuatu set boleh diwakili dengan sebuah Gambar Rajah Venn dengan setiap unsur dalam set itu

dikurung dalam suatu rajah tertutup. Rajah itu biasanya berbentuk elips, segi empat tepat atau

bulatan (bentuk rajah tertutup yang lain boleh juga digunakan). Perhatikan titik-titik digunakan

untuk mewakili unsur. Siapa agaknya yang mencipta Gambar Rajah Venn? John Venn (1834–

1923) adalah seorang ahli falsafah dan pakar mengenai logik yang berbangsa Inggeris. Dia

terkenal kerana memperkenalkan Gambar Rajah Venn yang digunakan dalam pelbagai bidang,

termasuklah Teori Nombor, Kebarangkalian, Logik, Statistik dan Sains Komputer.

Contoh 3.4

Matematik Asas |42

S = { 1, 3, 5, 7 } Contoh: P = { p, q, r, s }

Bila titik tidak digunakan apakah makna 20 di dalam set M ini?

Bilangan Unsur

Tatatanda n(A) digunakan untuk mewakili bilangan unsur dalam set A. Tahukan anda kenapa

huruf n digunakan untuk mewakili bilangan unsur?

Apabila melukis Gambar Rajah Venn, bilangan unsur diwakili dengan menuliskan nombor di dalam

gambar rajah tanpa titik seperti di sebelah.

Nyatakan bilangan unsur dalam setiap set yang berikut.

a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 12}

b) B = {huruf-huruf vokal}

c) C ={bulan-bulan dalam setahun yang mempunyai 31 hari}

Penyelesaian :

a) n(A ) = 6

b) B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

c) C = {Januari, Mac, Mei, Julai, Ogos, Oktober, Disember}, n(C) = 7

20

M

.1 .7

.5 .3

S

.p .q

.r .s

.t

.s .t

R

Contoh 3.5

Contoh 3.6

Unit 3 Set |43

Set Kosong

Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur. Set kosong diwakili oleh symbol

atau { }.

A= {Set nombor-nombor ganjil yang boleh dibahagikan dengan 2} = { }

Z = { bulan yang mengandungi 32 hari } = .

Bagaimana pula dengan { }? Apa maknanya? Adakah { } = { 0 }?

Cuba anda bincangkan dengan rakan anda.

Set Sama

Dua set A dan B dikatakan set sama jika setiap unsur dalam A adalah unsur dalam B dan setiap unsur

dalam B adalah unsur dalam A tanpa mengira susunan.

Diberi X = {15, 20, 35, 60, 75}

Y = {75, 20, 35, 15, 2+m}

Jika X = Y, cari nilai m.

Penyelesaian :

Setiap unsur X adalah unsur Y dan sebaliknya.

Oleh itu, 2 + m = 60

m = 60 – 2 maka m = 58

Contoh 3.7

Contoh 3.8

Matematik Asas |44

Set Semesta,

Set Semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan perbincangan.

Simbol yang mewakili set semesta ialah . Dalam sebuah Gambar rajah Venn, set semesta

biasanya diwakili oleh sebuah segi empat tepat.

= { semua integer positif }

A = { semua nombor kuasa dua sempurna yang kurang daripada 70}

= {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64}

Nyatakan satu set semesta yang mungkin bagi setiap set yang berikut.

a) P = {bunga raya, orkid, bunga melor}

b) Q = {Malaysia, Brunei, Singapura, Indonesia}

Penyelesaian :

a) = {jenis-jenis bunga}

b) = {negara-negara di Asia Tenggara}

Cuba namakan satu contoh set semesta dan set-set yang berkaitan dengannya.

Contoh 3.9

Unit 3 Set |45

Tunjukkan set berikut dengan Gambar rajah Venn.

= { x ialah integer dan x2 25 }

A = { x ialah integer ganjil dan x2 25 }

Penyelesaian :

Maka, = { −5, – 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

A = { −5, −3, −1, 1, 3, 5}

Hubungan Set Semesta Dengan Set dan Gambar Rajah Venn

= {a, b, c, d, e, f, g, h}

A = {b, d, e, h}

A .d

.a .e .h .c .b .f .g

Tahukah anda siapa yang mencadangkan bulatan digunakan untuk mewakili set?

Bolehkan set diwakili dengan bentuk yang lain seperti segi tiga atau segi empat?

.– 4

.−2 .5

.0 . 1 . 2 .3 . 4

Contoh 3.10

Contoh 3.11

.−5 .−3 .−1

.1 .3 .5

A

Matematik Asas |46

1. Nyatakan sama ada penyataan berikut betul atau salah.

a) n,a,m,e= (m,a,n,e

b) a,b,c adalah sama dengan x,y,z

c) a,b,c,…,z ialah set yang tertakrif

2. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;

a) Set negeri-negeri di Malaysia yang bermula dengan huruf P

b) Set bulan yang mempunyai 31 hari

c) Set bulan yang mempunyai 30 hari

3. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;

a) xx ialah hari di dalam seminggu

b) xx ialah negara di Asia Tenggara yang bermula dengan huruf B

c) xx ialah negeri di Malaysia

4. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;

a) xx + 2 = 8

b) x x + 1 = 5

c) xx + 1 =2x

3.2 Subset ( atau )

Set A ialah subset set B, sekiranya semua unsur set A terdapat dalam. set B. Hubungan ini ditulis

sebagai AB. AB bermakna jika xA, maka xB.

Latihan Formatif 3.1

Unit 3 Set |47

P A

-- subset tak wajar

-- subset wajar

-- bukan subset

A = B jika dan hanya jika A B dan B A

A = {2, 4, 6, 8}

B = {2, 8, 6, 4}

{1,2,4,7} {1,2,4,7,9} subset wajar

{a,b,c,} {a,b,c,} subset tak wajar

Sesuatu subset boleh diwakili dengan gambar rajah Venn.

Lukis satu gambar rajah Venn untuk mewakili setiap yang berikut.

a) P = {nombor-nombor ganjil}

N = {nombor Tabii}

b) A = {huruf-huruf vokal}

B = {huruf-huruf abjad}

Penyelesaian :

a) P N b) A B

N B

Contoh 3.12

Contoh 3.12

Matematik Asas |48

Sesuatu set boleh dilukis dengan menggunakan pelbagai bentuk asalkan garisannya bercantum.

Tahukah anda bahawa:

Subset bagi suatu set

Set kosong dan set itu sendiri juga merupakan subset bagi set yang diberikan. Bilangan subset

yang mungkin bagi sesuatu set dengan n unsur ialah 2n. Set kosong dan sebarang set adalah

setnya sendiri: X X dan X.

Bolehkah anda tunjukkan bagaimana formula untuk jumlah bilangan unsur, 2n

terbentuk? Bincangkan dengan rakan anda.

1. Nyatakan bilangan subset bagi set A = {2,3,6}

2. Nyatakan semua subset yang mungkin bagi set-set yang berikut:

a) P = {0,1}

b) Q = {3,5,7}

A

AA

A ialah subset tidak wajar A

A

A B

A ialah subset wajar B

B

Contoh 3.13

Unit 3 Set |49

Penyelesaian :

1. Bilangan subset bagi A = 23 = 8

2. a) Subset bagi P ialah ,{0},{1} dan {0,1}.

b) Subset bagi Q ialah ,{3},{5},{7},{3,5},{3,7},{5,7} dan {3,5,7}.

i) X = { i, j }

Subset bagi A ialah , {i,j}, {i}, {j} - ada 4.

ii) A = { x, y, z }

Subset bagi A ialah , {x}, {y}, {z}, {x,y},{x,z},{y,z}, {x,y,z} - ada 8.

Suatu set dengan n unsur mempunyai 2n subset.

M = {1, 2, 3, 4}

Bilangan subset bagi M, n(M) = 24 = 16. Subsetnya ialah:

, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}.

Jika A = { a, {a} }, nyatakan bilangan subset dan senaraikan semua subsetnya.

Bilangan subset untuk A, n(A) = 22 = 4.

Subsetnya ialah: , {a}, { {a} }, { a, {a} },

Contoh 3.14

Contoh 3.15

Contoh 3.16

Matematik Asas |50

Perbezaan dan

Kesilapan yang selalu dilakukan ialah menggunakan simbol dan dengan salah. mewakili

unsur manakala mewakili subset.

P = {a,b}

aP, bP, {a} P, {b} P

1. Nyatakan samada penyataan berikut betul atau salah.

a) 2 (2,5,7

b) d (a,b,c,…z

c) A (a,b,c

2. Senaraikan subset yang mungkin untuk setiap set berikut.

a) 15,20

b) a,b,c

c) b,a,t,u 3. Senaraikan subset yang mungkin untuk setiap set berikut.

a) 4,8

b) m,a,t,h

c) 1,3,5

4. Jika U =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,cari

a) 0,1,2

b) 2,4,6,8

c) U d)

5. Jika A =m,e,t,r,i,c,cari

a) m,e,t b) c) m,e,t,r,i,c

Contoh 3.17

Latihan Formatif 3.2

Unit 3 Set |51

3.3 OPERASI KE ATAS SET

Set pelengkap

Set pelengkap bagi satu set A dalam. set semesta ialah satu set yang mengandungi semua

unsur yang bukan unsur A. Simbol yang digunakan ialah A’ yang mana A’ = { x : x, xA }.

Kawasan berlorek ini ialah pelengkap kepada A.

i) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {3, 5, 7, 9}

A’ = {4, 6, 8}

ii) = {nombor perdana yang kurang daripada 15}

B = { 3, 5, 7 }

B’= { 2, 11, 13 }

Diberi = {nombor-nombor bulat yang kurang daripada 10}

P = {nombor-nombor kuasa dua sempurna}

Q = {nombor-nombor ganjil} dan

R = {gandaan 3}

A

Contoh 3.18

Contoh 3.19

Matematik Asas |52

Senaraikan unsur-unsur bagi set

a) P’ b) Q’ c) R’

Penyelesaian :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a) P = {1,4,9}, maka P’ = {0,2,3,5,6,7,8}

b) Q = {1,3,5,7,9}, maka Q’ = {0,2,4,6,8}

c) R = {3,6,9}, maka R’ = {0,1,2,4,5,7,8}

Persilangan ()

Persilangan 2 set A dan B ialah satu set yang semua unsurnya merupakan unsur sepunya bagi set A dan

set B.

A B = {x| xA dan xB}

Cari A B bagi set berikut

A = {a, e, i, o, u} B = {a, b, c, d, e}

Penyelesaian:

A B = {a, e}

Diberi P = {a, b, c, d, e}, Q = {e, f, g, h}, R = {a, b, f, g, i}. Senaraikan unsur-unsur bagi set:

a) P Q b) Q R c) P R

Contoh 3.20

Contoh 3.21

Unit 3 Set |53

Penyelesaian:

a) P Q = {e}

b) Q R = {f,g}

c) P R = {a,b}

Persilangan diwakili dengan Gambar Rajah Venn

Persilangan antara set boleh diwakili dengan melukis Gambar rajah Venn.

A

B A B

A B A dan A B B (A B) A dan A B B A B =

Diberi = { integer-integer antara 20 dan 37}

A = { nombor-nombor gandaan 7}

B = {nombor-nombor kuasa dua sempurna}

C = { nombor-nombor ganjil}

Senaraikan

a) A b) B c) C d) A B e) A C f) B C

Penyelesaian:

= {21, 22, 23,…,36}

a) A = {21, 28, 35}

b) B = {25, 36}

Contoh 3.22

A

B

Matematik Asas |54

A

B

C

c) C = {21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35}

d) A B =

e) A C = {21, 35}

f) B C = {25}

Diberi ialah semua segi tiga.

A = {segi tiga sama kaki}

B = {segi tiga sama sisi}

C = {segi tiga bersudut cakah}

i) Tentukan samada operasi di bawah adalah set kosong atau bukan.

a) A B b) A C c) B C

ii) Tunjukkan set A, B dan C dalam satu gambar rajah Venn.

Penyelesaian:

i) a) A B , A B=B ii)

b) A C

c) B C=

P dan Q adalah dua set dan bilangan unsurnya ditunjukkan dalam gambar rajah Venn. Di beri

n() = 25, Cari nilai bagi

a) n(P’) b) n( P Q’ ) c) n( P’ Q’ )

Bagaimana hendak mendapat

persilangan ini? Kenapa C tidak

bersilang dengan B? (B A).

P

Q

5

8

9 3

Contoh 3.23

Contoh 3.24

Unit 3 Set |55

Penyelesaian:

a) n(P’) = 9 + 8 =17 b) n( P Q’ ) = n(P) = 5 c) 8

Persilangan Tiga set

Persilangan tiga set A, B dan C diwakili sebagai A B C. Persilangan tiga set dapat ditentukan

dengan mencari set yang mengandungi semua unsur sepunya bagi set-set tersebut.

Apakah beza di antara (A B) C, A (B C) dan A B C ?

(A B) C = A (B C) =A B C

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan unsur-unsur dalam set X, Y dan Z. Tentukan

a) X Y b) Y Z c) X Y Z

b)

Contoh 3.25

Kawasan ini

ialah A BC

A

B

C

. 4 . 5

. 4 . 5

X Y

Z

. 11 . 11

.3

.3

.6 . 0

.7 . 9

.10

.1 ..1

Matematik Asas |56

Penyelesaian :

a) X Y = {0, 9, 10}

b) Y Z = {3, 9, 10}

c) X Y Z = {9, 10}

Bolehkah anda lorekkan kawasan untuk mewakili (PQ)?

P Q

Pelengkap persilangan dua set

Pelengkap bagi persilangan dua set P dan Q boleh ditentukan dengan mencari satu set yang

mengandungi semua unsur set semesta yang bukan unsur bagi P Q. Pelengkap bagi

persilangan set P dan Q diwakili dengan simbol (P Q)’.

Diberi = {nombor-nombor bulat yang kurang daripada 10}

P = {faktor-faktor bagi 9}

Q = {gandaan 3} dan

R = {faktor-faktor sepunya bagi 6 dan 12}

Senaraikan unsur-unsur bagi setiap set yang berikut.

a) (P Q)’ b) (Q R)’

Contoh 3.26

Unit 3 Set |57

Penyelesaian :

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , P = {1, 3, 9}, Q = {3, 6, 9}, R = {1, 2, 3, 6}

a) P Q = {3, 9}

(P Q)’= {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

b) Q R = {3, 6}

(Q R)’ = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}

Diberi ={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={2, 3, 5,7} dan B={1, 3, 5, 8}.

Tentukan

a) A’ b) B’ c) A’B d) AB’ e) A’B’

Penyelesaian:

a) A’={1, 4, 6, 8} b) B’={2, 4, 6, 7} c) A’ B={1, 8}

d) A B’={2, 7} e) A’ B’={4, 6}

Kesatuan set ( )

Kesatuan dua set ialah set yang setiap unsurnya terkandung dalam salah satu atau kedua-dua set

itu. Kesatuan dua set A dan B diwakili oleh simbol A B. A B = { x | xA atau xB }.

Diberi P = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Q = {4, 6, 7, 8, 10, 12} R = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 10}

Contoh 3.27

Contoh 3.28

Matematik Asas |58

Cari unsur-unsur bagi

a) P Q b) P R c) Q R

Penyelesaian:

a) P Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}

b) P R = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

c) Q R = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}

Kesatuan diwakil dengan Gambar Rajah Venn

A = A AB = B A (AB)

A (AB) A (AB) B (AB)

B (AB) B (AB) AB =

Tahukah anda bahawa n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) dan

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)?

Ini ialah bilangan unsur untuk persilangan dan kesatuan dua set.

A B

B

A A B

Unit 3 Set |59

Subset Kepada Kesatuan Set

Sesuatu set A atau B ialah subset kepada set A B iaitu A(A B) dan B(A B).

Lorekkan kawasan mewakili A B.

a) Apabila AB = , b) Apabila AB ,

c) A (AB) d) B (AB)

Kesatuan tiga set

Kesatuan tiga set ialah set yang setiap unsurnya terkandung dalam salah satu atau kedua-dua set

atau ketiga-tiga set yang diberikan.

Diberi A = {6, 7, 9, 10, 12}, B = {--1, 0, 4, 6, 7}, C = {3, 4, 5, 9, 10, 17} , D = {2}

Senaraikan unsur-unsur bagi set

a) A B C b) B C D

A B

A B

Contoh 3.29

Contoh 3.30

A

B

A

B

Matematik Asas |60

Penyelesaian:

a) A B C = { --1, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 17}

b) B C D = { --1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 17}

Beza antara dua set

A tolak B, ditulis sebagai A – B ialah set yang terdiri daripada unsur dalam set A tetapi bukan

unsur dalam set B, iaitu A – B = {xA dan xB}. A – B ialah set terdiri daripada unsur dalam set

A tetapi bukan unsur dalam set B. A – B boleh juga dituliskan sebagai A\B. Perhatikan juga

bahawa

A – B = A B’.

Diberi A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}, C = {1, 3}, D = {2, 3}.

Tentukan yang berikut:

a) A – B b) (C– A) D

Penyelesaian:

a) A – B = {1, 2, 3} – {1, 2} = {3} b) C – A = {1, 3} – {1, 2, 3} = { },

(C – A) D = { } {2, 3} = { }.

Pelengkap Kesatuan Set

Pelengkap bagi kesatuan dua set A dan B dapat ditentukan dengan mencari satu set yang

mengandungi semua unsur set semesta yang bukan unsur AB.

Contoh 3.31

Contoh 3.32

Unit 3 Set |61

Diberi set semesta = {x:10 x 26, x ialah nombor bulat}

P = {x: x ialah nombor perdana}

Q = {x: x ialah nombor yang mempunyai digit yang sama}

R = {x: x ialah nombor dengan keadaan jumlah digit-digitnya sama dengan 8}

Senaraikan unsur-unsur bagi set

a) (P Q)’ b) (P R)’ c) (Q R)’

Penyelesaian :

= {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}

P = {11, 13, 17, 19, 23}

Q = {11, 22}

R = {17, 26}

a) P Q = {11, 13, 17, 19, 22, 23}

(P Q)’ = {10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 26}

b) P R = {11, 13, 17, 19, 23, 26}

(P R)’ = {10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25}

c) Q R = {11, 17, 22, 26), maka

(Q R)’ = {10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25}

Latihan Formatif 3.3

Matematik Asas |62

1. Untuk pasangan berikut, dapatkan A B dan A B.

a) A =2, 4, 6, 8, B =1, 3, 4, 6, 7

b) A =s, u, k, a, B =d, u, k, a

c) A =a, e, I, o, u, B =a, e, i

d) A =m, i, s, t, e, r, B =p, o, s, t

2. Diberi = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, A =3, 5, 7, 8, B =2, 4, 5, 6, 7

Senaraikan

a) A b) B c) A B d) (A B)

3. Diberi = 0, 1, 2, 3,…,9, A =1, 2, 3, 4, B =3, 4, 5, 6, 7 dan C =3, 5, 6, 7, 8,

Senaraikan

a) (A B) b) A B c) (A B) C d) (A B) C

4. Jika diberi = a, e, i, o, u, A =i, o, u, B =e, i,o dan C =a,i,o, nyatakan benar atau

salah setiap penyataan berikut.

a) A B = C b) A B = c) B C = d) (A B) C

5. Jika diberi = s,e,n,a,t,o,r, A =s,e,n, B =t,o,r dan C =s,n,r, nyatakan benar atau

salah setiap penyataan berikut.

a) B C = b) A B= c) (A B) = A B d) (A B) = A B

6. Lukiskan gambar rajah Venn dan lorekkan kawasan yang dikehendaki untuk setiap satu yang

berikut.

a) A B b) A B c) A B d) (A B)

Unit 3 Set |63

7. Lukiskan gambar rajah Venn dan lorekkan kawasan yang dikehendaki untuk setiap satu yang

berikut.

a) A B b) A B c) A B d) (A B)

8. Lukiskan gambar rajah Venn dan lorekkan kawasan yang dikehendaki untuk setiap satu yang

berikut.

a) A (B C) b) A (B C) c) (A B) C d) (A B) (A C)

9. Lukiskan gambar rajah Venn dan lorekkan kawasan yang dikehendaki untuk setiap satu

yang berikut.

a) (A B) C b) (A B) C c) (A B) (B C) d) (C A) B

Gabungan Operasi ke atas Set

Operasi tindanan dan kesatuan boleh digabungkan dan ianya mematuhi beberapa peraturan:

Hukum Taburan

A ( B C) = (A B) (A C)

A ( B C) = (A B) (A C)

Lorekkan i) (A B) C ii) A’ (B C)

Penyelesaian:

i) ii)

A

B

C

A

B

C

Contoh 3.33

Matematik Asas |64

Dalam sebuah kelas yang tertentu, kesemua pelajar mengambil satu atau lebih daripada 3 mata

pelajaran matematik, fizik dan kimia seperti berikut:

31 orang mengambil matematik

36 orang mengambil fizik

32 orang mengambil kimia

2 orang mengambil fizik sahaja

5 orang mengambil matematik sahaja

6 orang mengambil matematik dan fizik sahaja.

8 orang mengambil fizik dan kimia sahaja.

Tentukan bilangan pelajar yang mengambil ketiga-tiga mata pelajaran dan bilangan pelajar yang

mengambil kimia sahaja.

Penyelesaian:

Lukiskan Gambar rajah Venn dilukis seperti di bawah.

Katakan x mewakili bilangan pelajar yang menambil ketiga-tiga mata pelajaran.

z mewakil bilangan pelajar yang mengambil matematik dan kimia tetapi tidak fizik.

y mewakili bilangan pelajar yang menambil kima tetapi tidak matematik dan tidak fizik.

Oleh kerana bilangan yang mengambil Fizik ialah 36, maka

x + 16 = 36

x = 20

Oleh kerana bilangan yang mengambil Matematik ialah 31, maka

z + 11 + 20 = 31

z = 0

Contoh 3.34

5 31

z y

x 8

y

8

y

K

6

2

2

F

32

36

F

M

K

8 x

5

z y

6

2

Unit 3 Set |65

Oleh kerana bilangan yang mengambil Kimia ialah 32, maka

y + 28 = 32

y = 4

Diberi n(A) = 18, n(B) = 25 dan n(A B) = 11. Cari n(A B) ;

Penyelesaian:

n(A B) = 7 + 11 + 14

= 32

Hukum-hukum Aljabar Operasi Set

i) Hukum Idempoten

a) A A = A

b) A A = A

ii) Hukum Sekutuan

a) (A B) C = A (B C)

b) (A B) C = A (B C)

iii) Hukum Tukar-Tertib

a) A B = B A

b) A B = B A

Contoh 3.35

7

11

7

14

14

B

A

11

Matematik Asas |66

iv) Hukum Taburan

a) A (B C) = (A B) (A C)

b) A (B C) = (A B) (A C)

v) Hukum Identiti

a) A = A

b) A =

c) A =

d) A = A

vi) Hukum Pelengkap

a) A A’=

b) A A’=

c) (A’)’ = A

d) ’ = , ’ =

vii) Hukum De Morgan

a) (A B)’ = A’ B’ dan (A B)’ = A’ B’

Teorem Set

i) Keadaan-keadaan di bawah adalah sama dengan A B.

a) A B = A

b) A B = B

c) B’ A’

d) A B’ =

e) B A’ =

Unit 3 Set |67

ii) A = B jika dan hanya jika A B dan B A

iii) Jika A B dan B C, maka A C.

1. Dengan menggunakan Rajah 2.1, cari bilangan unsur untuk setiap berikut.

a) n(A)

b) n(A B)

c) n()

d) n(A B)

2. Dengan menggunakan Rajah 2.1, cari bilangan unsur untuk setiap berikut.

a) n(B)

b) n(A B)’

c) n(A B)’

d) n(A’ B’)

3. Dengan menggunakan Rajah 2.2, cari bilangan unsur untuk setiap berikut.

a) n(A)

b) n(B)

c) n(B C)

b) n(A B C)

4. Dengan menggunakan Rajah 2.2, cari bilangan unsur untuk setiap berikut.

a) n(A)

b) n(C)

c) n(B C)

d) n(A B C)

Latihan Formatif 3.4

Rajah 2.2

3 13

A B

22

4

8 9

C

10 7

Rajah 2.1

13

A B

12 7 14

Matematik Asas |68

5. Nyatakan penyataan untuk setiap kawasan berlorek untuk Gambar rajah Venn yang berikut.

a) b) c)

d) e) f)

6. Gunakan Rajah 2.3 untuk menentukan sama ada penyataan berikut benar atau salah.

a) B A

b) x A

c) y

d) (B C) A

7. Gunakan Rajah 2.4 untuk menentukan sama ada penyataan berikut benar atau salah.

a) z C

b) x (A B C)

c) y (B C)

d) w A

8. Gunakan Rajah 2.5 untuk menentukan sama ada penyataan berikut benar atau salah.

a) A B =

b) x B

c) B C = C

d) y (B C)

9. Gunakan Rajah 2.5 untuk menentukan sama ada penyataan berikut benar atau salah.

a) w (A B) b) A C = c) (A C) B d) w (A C)

A

B

A

.z .y .x

.w

Rajah 2.5

C

A

Rajah 2.3

B C

.y

.x

Rajah 2.4

.z

B C

.w .y

.x

Unit 3 Set |69

Hasil Darab Set (hasil darab Cartesan)

Katalah A dan B adalah dua set. Hasil darab set A dan B, AB adalah set yang mengandungi

semua pasangan tertib (a,b) di mana aA dan bB.

AB = {(a,b) : aA, bB } dan AA ={(a,a) : aA }

Diberi A={1,2,3} B={a,b}, cari A x B dan B x A.

Penyelesaian:

AB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B x A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}

A1A2…..Am = {(a1,a2,…,am): a1A1, a2A2,….,amAm}

Diberi C={a,b,c} D={a,b}. Cari hasil darab CD

Penyelesaian:

a (a, a) a

b (a, b)

a (b, a) b b (b, b) a (c, a) c b (c, b)

C D = {(a, a), (a, b), (b, a),(b, b), (c, a), (c, b)}.

Pasangan koordinat

Cartesian ini juga boleh

digunakan untuk

mencari penyelesaian.

a

b

a b c

D

C

Contoh 3.36

Konsep ini boleh digunakan untuk mana-mana set yang terhingga.

Contoh 3.37

Perhatikan bahawa A x B ≠ B xA

Matematik Asas |70

Katalah A = {a, b}, B = {2, 3} dan C = {3, 4}. Cari,

i) A(B C)

ii) A(B C)

Penyelesaian:

i) B C = {2, 3, 4}

A(B C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}.

ii) B C = {3}

A(B C) = {(a, 3), (b, 3)}

Diberi A={1, 2, 3}, B={2, 4}, C={3, 4, 5}. Cari hasil darab ABC.

Penyelesaian:

3 (1, 2, 3)

2 4 (1, 2, 4)

5 (1, 2, 5)

1

3 (1, 4, 3)

4 4 (1, 4, 4)

5 (1, 4, 5)

3 (2, 2, 3)

2 4 (2, 2, 4)

5 (2, 2, 5)

2

3 (2, 4, 3)

4 4 (2, 4, 4)

5 (2, 4, 5)

Contoh 3.38

Contoh 3.39

Unit 3 Set |71

3 (3, 2, 3)

2 4 (3, 2, 4)

5 (3, 2, 5)

3

3 (3, 4, 3)

4 4 (3, 4, 4)

5 (3, 4, 5)

ABC = {(1, 2, 3), (1, 2, 4),(1, 2, 5), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 4, 5),(2, 2, 3),(2, 2, 4),(2, 2, 5),

(2, 4, 3), (2, 4, 4),(2, 4, 5),(3, 2, 3), (3, 2, 4),(3, 2, 5), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5)}.

1. Jika A = 5, 10 dan B = x, y, z,cari

a) A x B b) B x A c) B x B d) n(A x B)

2. Jika M = 4, 6, 8 dan N = 3, 5, 7,cari

a) M x N b) N x M c) M x M d) n(M x N)

3. Jika C = a, e, i, o, u dan D = x, y, z,cari

a) C x D b) D x C c) C x C d) n(C x C)

4. Jika M = x, y dan H = 1, 2, 3, 4, 5,dengan menggunakan gambar rajah pokok cari

a) M x H b) H x M c) M x M d) H x H

5. Di beri A = a, b dan B = b, c, d dan C= c, d, e, cari

a) A x B b) n(B x C) c) (A x B) x C d) A x (B C)

Latihan Formatif 3.5

Matematik Asas |72

RUMUSAN

1. Set ialah suatu kumpulan benda ( unsur).

2. Sesuatu set boleh diwakili dengan sebuah gambar rajah Venn.

Misalnya:

3. Tata tanda n(A) digunakan untuk menunjukkan bilangan unsur dalam set A.

4. Set kosong diwakili oleh Ø atau { }.

5. Dua set, A dan B ialah set sama jika setiap unsur A adalah unsur B dan sebaliknya.

6. Set B ialah subset bagi set A, sekiranya semua unsur B terdapat dalam A. Hubungan ini

ditulis sebagai B A.

7. Subset () wajar dan subset tak wajar () boleh diwakili seperti berikut:

A B A A

8. Set semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan

perbincangan.

9. Set pelengkap bagi set A dalam set semesta ialah satu set yang mengandungi semua unsur

yang bukan unsur A.

x y

z

z

A΄ Set Semesta

Pelengkap Set

B A B

A

A A

B

Unit 3 Set |73

10. Bilangan subset yang mungkin bagi sesuatu set dengan n unsur ialah 2n.

11. Persilangan dua set, A dan B, ialah satu set yang semua unsurnya merupakan unsur

sepunya set A dan set B.

12. Persilangan tiga set A, B dan C ialah set yang semua unsurnya merupakan unsur sepunya

set A, B dan C.

13. Kesatuan dua set ialah set yang setiap unsurnya terkandung dalam salah satu atau kedua-

dua set itu.

14. Kesatuan tiga set ialah set yang setiap unsurnya terkandung dalam salah satu atau kedua-

dua set atau ketiga-tiga set yang diberikan.

A

B

A

A B

B B

A B A B

AB

A B

B A

C

ABC

ABC

A

B C

B C

C

Matematik Asas |74

15. Hasil darab Cartesian dengan menggunakan gambar rajah pokok.

Contohnya jika A = a,b dan B = 1,2, maka A x B = (a,1),(a,2), (b,1),(b,2)

a b

KATA KUNCI

Set, subset, subset pelengkap, unsur, bukan unsur, set kosong, gabungan set, tindanan set, hasil

darab Cartesian, gambar rajah pokok, kesatuan, persilangan,set semesta, set pelengkap.

1 (a,1)

2 (a,2)

1 (b,1)

2 (b,2)

Unit 3 Set |75

1. Diberi = 1, 2, 3, …, 12 ,

P = x : 10< 2x< 22

Q = y: y ialah nombor genap

R = z: z ialah integer.

a) Senaraikan unsur-unsur bagi setiap yang berikut.

i) P ii) Q’ iii) P Q iv) ( Q R)’

b) Cari nilai

i) n ( P Q) ii) n ( Q’ P) iii) n ( P Q’ R)

2. Diberi bahawa set semesta = F G J dimana

F = K, E, L, A, S G = K, O, M, P, U, T, E, R dan J = S, E, K, O, L, A, H.

a) Senaraikan unsur bagi G J

b) Carikan

i) n(F G J)

ii) n ( J’)

3. Gambar rajah Venn menunjukkan bilangan pelajar yang menjadi ahli set K, set M, dan set R,

bagi sekumpulan 30 orang pelajar.

Diberi bahawa set semesta = K M R,

K=pelajar yang menjadi ahli Persatuan Kerjaya,

M=pelajar yang menjadi ahli Persatuan Matematik,

R=pelajar yang menjadi ahli Persatuan Rekacipta.

Diberi bilangan ahli persatuan matematik melebihi

bilangan ahli persatuan kerjaya sebanyak 3 orang.

Hitungkan

a) Nilai x dan nilai y

b) Bilangan pelajar yang menjadi ahli ketiga-tiga persatuan.

c) Bilangan pelajar yang menjadi ahli hanya dua persatuan.

Latihan Sumatif

K M

1 x

y

2 4

5 6

R

Matematik Asas |76

4. Diberi n() =30, carikan

a) n( P) b) n( P Q’)

c) n (P’ Q’) d) n( P Q R)

.

5. Diberi A = 3, 4, 5 B=a, b

Cari A B

6. Tuliskan set berikut dengan menyenaraikan unsur-unsurnya

a) { x : x nombor perdana yang kurang dari 50 }

b) { x : 10x2 – 13x – 3 = 0 }

7. Diberi set semesta S = { Jan, Feb, Mac, Apr, Mei, Jun }, A = { Jan, Mac, Mei }, B = { Feb,

Mac, Apr } dan C = { Jan, Jun }.

Cari

a) A d) A C g) (A C) (A C)

b) (A B) e) (A B) h) (A B) (B C)

c) A B f) (A B)(A C) i) (A B) (A C)

8. Diberi A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}, C = {1, 3}, D = {2, 3}, E = {1}, F = {2}, G = {3} dan H = {}.

Tentukan yang berikut

a) A (B C) d) A ( (B – C) – F)

b) A – B e) ( (B C) E) H

c) (C – A) D f) (D – F) (E – G)

P

Q

R

2

3

4

6

7

Unit 3 Set |77

9. A dan B adalah 2 set. Hasil darab A dan B ditakrifkan seperti berikut:

A x B = { (a, b) | aA, bB }.

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, tuliskan

a) A x B b) B x A c) A x A d) B x B

10. Di beri A B = {1, 2, 3, 4}, A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A B = {2, 4}, A C = dan B C =

{1, 3}. Dapatkan A, B dan C.

11. Dalam satu tinjauan terhadap 100 mahasiswa, didapati bilangan mahasiswa yang

mengambil pelbagai kursus adalah seperti berikut:

Matematik 45, Matematik dan Falsafah 18

Bahasa Inggeris 62, Bahasa Inggeris dan Falsafah 9

Falsafah 25, Matematik dan Bahasa Inggeris 23

Ketiga-tiga kursus tersebut 6

a) Berapakah bilangan mahasiswa yang mengambil HANYA Matematik sahaja.

b) Berapakah bilangan mahasiswa yang mengambil Matematik DAN Bahasa Inggeris

tetapi TIDAK mengambil Falsafah.

c) Berapakah bilangan mahasiswa yang mengambil Matematik DAN falsafah tetapi

TIDAK mengambil Bahasa Inggeris.

d) Berapakah bilangan mahasiswa yang TIDAK mengambil satu pun daripada kursus

tersebut.

12. Dalam gambar rajah Venn di sebelah, bilangan unsur dalam set P, Q dan R adalah seperti

yang ditunjukkan. Diberi bahawa set semesta E = P Q R dan n(P R) = 15, cari

a) n(P Q R)

b) n(Q R’)

c) n(P Q’)

8

R

P

Q

2 t

t +3 4

5

Matematik Asas |78

13. A dan B adalah 2 set. Hasil darab A dan B ditakrifkan seperti berikut.

A x B = { (a,b) | aA, bB }

Jika A = { p,q r } dan B = { 2,3,5 }, tuliskan

a) A x B

b) B x B

14. Diberi n(A B) = n(A) + n(B) – n( A B). Tunjukkan bahawa:

n( A B C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n( A B) - n( A C) – n( B C) + n( A B C)

15. Diberi ξ = {integer positif}, A = { x | x2 < 16}, B = { x | x ialah nombor Perdana; x < 20}

a) Senaraikan ξ , A dan B.

b) Nyatakan set berikut selengkapnya

i) ( A B )´

ii) A B

iii) ξ – (A B).

Unit 3 Set |79

RUJUKAN

Marzita Puteh (2010). Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Marzita Puteh (2002). Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall

Marzita Puteh (2002). Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

McGregor, C. (1994). Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing, Chichester

LAMAN INTERNET

http://ourworld.compuserve.com/homepages/andaleeling/setheory.htm

http://hebb.cis.uoguelph.ca/~deb/27190/set.html

http://www.math.csusb.edu/notes/sets/sets.html

http://www.visualmath.com

http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/boole/boolea.html

http://www.purplemath.com/modules/numtypes.htm

LAMAN INTERNET LATIHAN INTERAKTIF

http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book7/bk7i1/bk7_1i3.htm

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_4_t_1.html?open=instructions

http://www.purplemath.com/modules/venndiag2.htm

http://math.gmu.edu/~eobrien/Venn4.html

http://www.onlinemathlearning.com/venn-diagrams.htm

Matematik Asas |80

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF

Jawapan Latihan Formatif 3.1

1. a) Betul b) Salah c) Betul

2. a) {Pahang, Perak, Pulau Pinang, Perlis}

b) {Jun, Mac, Mei, Julai, Ogos, Okt, Dis}

c) {Feb, April, Jun, Sept, Nov}

3. a) Ahad, Isnin, Selasa, Rabu, Khamis, Jumaat, Sabtu}

b) {Brunei}

c) {Perlis, Kedah, Pulau Pinang, Kelantan, Perak, Selangor, Terengganu, Pahang, Negeri

Sembilan, Melaka, Johor, Sabah, Sarawak, Wilayah Persekutuan}

4. a) {6} b) {4} c) {1}

Jawapan Latihan Formatif 3.2

1. a) Betul b) Betul c) Salah

2. a) , {15}, {20}, {15,20} b) , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b, c}, {a,c}, {a,b,c}

c) , {b}, {a}, {t}, {u}, {b,a}, {b,t}, {b,u}, {a,t},{a,u}, {t,u},{b,a,t}, {b,a,u}, { a,t,u}, {b,t,u}, {b,a,t,u}

3. a) { }, {4}, {8}, {4,8} b) { }, {m}, {a}, {t}, {h}, {m,a}, {m,t}, {m,h}, {a,t},{a,h}, {t,h},

{m,a,t}, {m,a,h}, {a,t,h}, {m,t,h}, {m,a,t,h}

c) { }, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}

4. a) {3,4,5,6,7,8,9} b) {0,1,3,5,7,9} c) { }

5. a) {r,i,c} b) {m,e,t,r,i,c} c) { }

Jawapan Latihan Formatif 3.3

1. a) A B = {4,6} A B = { 1,2,3,4,6,7,8}

b) A B = {u,k,a} A B = {s,u,k,a,d}

c) A B = {a,e} A B = {a,e,l,o,u,i}

d) A B = {s,t} A B = {m,i,s,t,e,r,p,o}

2. a) {2,4,6} b) {3,8} c) { } d) { }

3. a) {0,1,2,5,6,7,8,9} b) {0,8,9} c) {3,4,0,1,2,9} d) {0,9}

4. a) salah b) salah c) salah d) benar

5. a) salah b) benar c) salah d) salah

Unit 3 Set |81

6. a) b)

ξ ξ

c) d)

ξ ξ

7. a) b)

ξ ξ

c) d)

ξ ξ

8. a) ξ b) ξ

c) ξ d) ξ

9. a) b)

ξ ξ

A B A B

A B

A B A B

A B

A B B A

A B

C

A B

C

A

B C

B C

C

A

B C

B C

C

C

B

A B

C

Matematik Asas |82

c) d)

ξ ξ

Jawapan Latihan Formatif 3.4

1. a) 19 b) 33 c) 46 d) 7

2. a) 21 b) 39 c) 13 d) 13

3. a) 22 b) 50 c) 56 d) 13

4. a) 54 b) 34 c) 20 d) 13

5. a) B’ b) A B c) (A B)’ d) (A B)’ B

e) (A B) B f) (A B C)’ (A B)

6. a) benar b) salah c) benar d) benar

7. a) salah b) benar c) benar d) benar

8. a) salah b) salah c) benar d) salah

9. a) salah b) benar c) benar d) benar

Jawapan Latihan Formatif 3.5

1. a) {(5,x), (5,y), (5,z), (10,x), (10,y), (10,z)}

b) {(x,5), (x,10), (y,5), (y,10), (z,5), (z,10)}

c) {(x,x), (x,y), (x,z), (y,x), (y,y), (y,z), (z,x), (z,y), (z,z)}

d) 6

2. a) {(4,3), (4,5), (4,7), (6,3), (6,5), (6,7), (8,3), (8,5), (8,7)}

b) {(3,4), (3,6), (3,8), (5,4), (5,6), (5,8), (7,4), (7,6), (7,8)}

c) {(4,4), (4,6), (4,8), (6,4), (6,6), (6,8), (8,4), (8,6), (8,8)}

d) 9

3. a) {(a,x), (a,y), (a,z), (a,x), (e,y), (e,z), (i,x), (i,y), (i,z), (o,x), (o,y), (o.z), (u,x), (u,y), (u,z)}

b) {(x,a), (x,e), (x,i), (x,o), (x,u), (y,a), (y,e), (y,i), (y,o), (y,u), (z,a), (z,e), (z,i), (z,o), (z,u)}

c) {(a,a), (a,e), (a,i), (a,o), (a,u), (e,a), (e,e), (e,i), (e,o), (e,u), (i,a), (i,e), (i,i), (i,o), (i,u), (o,a),

(o,e), (o,i), (o,o), (o,u), (u,a), (u,e), (u,i), (u,o), (u,u)}

d) 25

A B

C

A B

C

Unit 3 Set |83

4. a) {(x,1), (x,2), (x,3), (x,4), (x,5), (y,1), (y,2), (y,3), (y,4), (y,5)}

1 (x,1) 2 (x,2) x 3 (x,3) 4 (x,4) 5 (x,5) 1 (y,1) 2 (y,2) y 3 (y,3) 4 (y,4) 5 (y,5)

b) {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y), (4,x), (4,y), (5,x), (5,y)}

1 x (1,x) y (1,y) 2 x (2,x) y (2,y) 3 x (3,x) y (3,y) 4 x (4,x) y (4,y) 5 x (5,x) y (5,y) c) {(x,x), (x,y), (y,x), (y,y)} x x (x,x) y (x,y) y x (y,x) y (y,y)

d) {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}

1 (1,1) 2 (1,2)

1 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5)

Matematik Asas |84

1 (2,1) 2 (2,2)

2 3 (2,3) 4 (2,4) 5 (2,5) 1 (3,1) 2 (3,2)

3 3 (3,3) 4 (3,4) 5 (3,5)

1 (4,1) 2 (4,2)

4 3 (4,3) 4 (4,4) 5 (4,5)

1 (5,1) 2 (5,2)

5 3 (5,3) 4 (5,4)

4 (5,5)

5. a) {(a,b), (a,c), (a,,d), (b,b), (b,c), (b,d)}

b) 9

c) {(a,b,c), (a,b,d), (a,b,e), (a,c,c), (a,c,d), (a,c,e), (a,d,c), (a,d,d), (a,d,e), (b,b,c), (b,b,d),

(b,b,e), (b,c,c), (b,c,d), (b,c,e), (b,d,c), (b,d,d), (b,d,e)}

d) {(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)}

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) i) P = { 6,7,8,9,10

ii) Q = { 1,3,5,7,9,11

iii) PQ = { 6,8,10

iv) (QR) = { 3,5,7,11

b) i) PQ = { 6,7,8,9,10 { 2,4, 6,8,10,12 = { 6,8,10

n(PQ) = 3

ii) QP = { 1,3,5,7,9,11 { 6,7,8,9,10 = { 7,9,10

n (QP) = 3

Unit 3 Set |85

iii) PQR = { 6,7,8,9,10 { 1,3,5,7,9,11{ 1,4,9 = { 9

n (PQR) = 1

2. a) GJ = K,O,E

b) i) n(FG J) =12

ii) n(J) = 5

3. a) 2 + 4 + 5 + 1 + x + 6 + y = 30

18 + x + y = 30

x + y = 12 (1)

4 + x + 1+ 6 = 2 + 4 + 5 + 1 + 3

x + 11 = 15

x = 15 -11

x = 4 (2)

Masukkan (2) dalam (1)

x + y = 12

4 + y = 12

y = 12 - 4

y = 8

b) KMR = 1

4. a) 5

b) 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + x = 30

22 + x = 30

x = 8

n (PQ) = 2 + x

= 2 + 8

x = 10

c) 15

d)

5. A B = { (3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(5,a),(5,b)

6. a) { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41,43,47 }

b) 10x2 − 13x – 3 = 0

Matematik Asas |86

(5x+1)(2x – 3) = 0

x = 5

1 @ x =

2

3 maka, {

5

1 ,

2

3 }

7. S = { Jan, Feb, Mac, April, Mei, Jun }, A = { Jan, Mac, Mei }, B= { Feb, Mac, April }

C = { Jan, Jun }

a) A’ = { Feb, April, Jun }

b) AB = { Mac} , (AB)’ = {Jan, Feb, April, Mei, Jun }

c) A’B = {Feb, April}

d) C’ = { Feb, Mac, April, Mei}, A’C’ = { Feb, April }

e) AB = = { Jan, Feb, Mac, April, Mei }, ( AB)’ = { Jun }

f) (AB)’( A’C’) = { Jan, Feb, April, Mei, Jun }

g) A’C’ = { Feb, Mac, April, Mei, Jun}, A’C’= { Feb, April }

( A’C’)(A’C’) = { Feb, April }

h) B’ = {Jan, Mei, Jun}, B’C’ = { Mei }

(AB)( B’C’)= { Jan, Feb, Mac, April, Mei }

i) (A’B’) = { Jan, Feb, April, Mei, Jun}

(A’B’)(A’C’)= { Feb, April, Mei, Jun }

8. a) BC = { 1 } A(BC ) = { 1 }

b) A – B = { 3 }

c) C – A = { } ( C – A)D = { }

d) B – C = { 2 }, ( B – C) – F = { } , A((B – C) – F) = { 1,2,3 }

e) BC= { 1,2,3 }, (BC)E = {1}, ((BC)E)H = { 1 }

f) D – F = { 3 }, E – G = { 1 }, (D – F) B(E – G) = { 1, 3 }

9. A = {1,2,3} B = { a,b,c }

a) A x B = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), {(3,a), (3,b), (3,c) }

b) B x A = { (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) }

c) A x A = { (1,1), (1,2),(1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }

d) B x B = { (a,a), (a,b),(a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) }

10. AB = { 1,2,3,4 }, AC = { 1,2,3,4,5,6,7 }, AC = { }, BC = { 1,3 }

A = { 2,4 }, B = {1,2,3,4 }, C = {1,3,5,6,7 }

AB = { 2,4 }

Unit 3 Set |87

11.

12.

a) n(P Q R) = 6 + 3 = 9

b) n(Q R’) = 12

c) n(P Q’) = 8

13. a) A x B = {p,q r} x {2,3,5}

= {(p,2),(p,3),(p,5),(q,2)(q,3),(q,5),(r,2)(r,3),(r,5)}

b) B x B = {2,3,5} x {2,3,5}

= {(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)(3,3),(3,5),(5,2)(5,3),(5,5)}

Jika x mewakili bilangan pelajar mengambil Matematik, y mewakili bilangan pelajar

mengambil Falsafah dan z mewakili bilangan pelajar mengambil Bahasa Inggeris

a) x = 45 – 35 =10 pelajar

b) 23 – 6 = 17

c) 18 – 6 = 12

d) Bilangan pelajar yang tidak mengambil mana-mana kursus ialah

100 – (10 + 35 + y + 3 + z) = 100 – 88 = 12 pelajar

M

I

F 45

62

25

6

12

17 3

x

z

y

z = 62 − 26 = 36

y = 25 − 21 = 4

8

R

P

Q

2 t

t +3 4

5

Matematik Asas |88

14.

.

C)Bn(AC)n(AB)n(AC)n(Bn(B)n(A)

C))Bn(AC)n(AB)n(AC)n(Bn(C)n(B)n(A)

C))(AB)((A nC))n(Bn(C)n(Bn(A)

C))(Bn(AC)n(Bn(A)C))(Bn(AC)Bn(A

(

(

15. a) = { 1,2,3, ....}

A = { 1,2,3}

B = { 2,3,5,7,11,13,17,19}

b) i) A B = { 2,3}

(A B)’ = {1,4,5,6,7….}

ii) A B = { 1,2,3} { 2,3,5,7,11,13,17,19}

= { 1,2,3,5,7,11,13,17,19}

iii) - (A B) = { 1,2,3,4....} - {1,2,3,5,7,11,13,17,19}

= { 4,6,8,9,10,12,14,15, 16,18,20,21,22 ....}

16. a) Q x P = (3,1), (3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)

Q x Q = (3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)

(Q x P) (Q x Q) = (3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,3),(5,4)

d) n() = 150

e)

f) B (i) 10 ii) 18

z

12

35 16

24 y x

Geografi (62) Sejarah (85)

Ekonomi (50)