Unit Pelajaran 9 Teknik Pengamiran

Unit 9 Teknik Pengamiran |251

UNIT PELAJARAN 9

TEKNIK PENGAMIRAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menilai kamiran dengan kaedah gantian.

2. Menilai kamiran dengan kaedah bahagian demi bahagian.

3. Menilai kamiran fungsi trigonometri.

4. Menilai kamiran dengan kaedah pecahan separa.

Kalkulus Asas|252

PENGENALAN

amiran, seperti juga pembezaan, merupakan konsep penting dalam matematik yang

membentuk operasi utama di dalam kalkulus. Banyak formula integrasi boleh diperolehi

secara langsung daripada formula terbitan pembezaan seperti yang tertera di bawah:

1. 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

2. 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

3. 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

4. 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

5. sin𝑥 𝑑𝑥 = − kos𝑥 + 𝐶

6. kos𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

7. sek2 𝑥 𝑑𝑥 = tan𝑥 + 𝐶

8. kosek2 𝑥 𝑑𝑥 = − kot𝑥 + 𝐶

9. sek 𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 = sek 𝑥 + 𝐶

10. kosek𝑥 kot𝑥 𝑑𝑥 = − kosek𝑥 + 𝐶

11. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

12. 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶,𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1

13. 𝑑𝑥

𝑥= ln 𝑥 + 𝐶

14. tan𝑥 𝑑𝑥 = − ln kos𝑥 + 𝐶

15. kot𝑥 𝑑𝑥 = ln sin𝑥 + 𝐶

16. sek 𝑥 𝑑𝑥 = ln sek𝑥 + tan𝑥 + 𝐶

17. kosek𝑥 𝑑𝑥 = − ln kosek𝑥 + kot𝑥 + 𝐶

18. 𝑑𝑥

𝑎2−𝑥2= arcsin

𝑥

𝑎+ 𝐶

19. 𝑑𝑥

𝑎2+𝑥2=

1

𝑎arctan

𝑥

𝑎+ 𝐶

20. 𝑑𝑥

𝑥 𝑥2−𝑎2=

1

𝑎arcsek

𝑥

𝑎+ 𝐶

Manakala masalah integrasi selain daripada yang di atas memerlukan lebih banyak cara kerja

berdasarkan beberapa teknik pengamiran. Antara teknik pengamiran yang biasa digunakan ialah:

Kaedah gantian

Pengamiran bahagian demi bahagian

Pengamiran trigonometri

Kaedah pecahan separa

K


9.1 Petua penggantian

Idea untuk menggunakan Petua Penggantian ialah dengan menukarkan kamiran yang sukar

kepada bentuk kamiran yang lebih mudah. Ini boleh dilaksanakan dengan menukar pembolehubah

asal 𝑥 kepada pembolehubah baru 𝑢 iaitu sebuah fungsi 𝑥.

9.1.1 Kamiran dengan penggantian 𝒖 = 𝒂𝒙 + 𝒃.

Kita perkenalkan kaedah ini dengan mengambil contoh yang mudah iaitu dengan mengambil

gantian linear seperti dibawah.

Contoh 9.1

Kamirkan

𝑥 + 4 5 𝑑𝑥 (9.1)

Penyelesaian:

Dalam kamiran (1) diatas, terdapat persamaan berkuasa 5 dan kamiran tersebut menjadi lebih

rumit dengan wujudnya terma 𝑥 + 4. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan

kaedah petua penggantian. Kita wujudkan pembolehubah baru 𝑢 dengan mengambil gantian

𝑢 = 𝑥 + 4. Tujuannya adalah untuk menukarkan kamiran kepada bentuk yang lebih mudah iaitu

𝑢5. Bagaimanapun kita perlu membuat penggantian yang sempurna dengan turut menggantikan

terma 𝑑𝑥.

Dengan membezakan 𝑢 = 𝑥 + 4, kita perolehi 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1 maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Gantikan ke dalam

persamaan (1) kita perolehi

𝑥 + 4 5 𝑑𝑥 = 𝑢5𝑑𝑢

Nilaikan kamiran tersebut, dengan mudah kita perolehi 𝑢6

6+ 𝐶. Gantikan semula penyelesaian

tersebut kepada pembolehubah asal, 𝑥 iaitu 𝑢 = 𝑥 + 4, maka

𝑥 + 4 5 𝑑𝑥 = 𝑥 + 4 6

6+ 𝐶

Kalkulus Asas|254

Dengan itu kita telah menyelesaikan masalah kamiran dengan menggunakan petua penggantian.

Sekarang kita ingin mencari kamiran dalam bentuk am kos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥. Gantian 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏

akan memberikan 1

𝑎 kos𝑢 𝑑𝑢 dan penyelesaian kamiran tersebut adalah

1

𝑎sin 𝑢 + 𝐶. Tukarkan

jawapan akhir kepada pembolehubah asal kita akan perolehi 1

𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶.

Contoh 9.2

Kamirkan

𝑘𝑜𝑠(3𝑥 + 4)𝑑𝑥 (9.2)

Penyelesaian:

Kita ambil gantian 𝑢 = 3𝑥 + 4. Dengan membezakan 𝑢 = 3𝑥 + 4, kita perolehi 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3 maka

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

3. Dengan menggantikan 𝑢 = 3𝑥 + 4 dan 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

3 ke dalam (2) kita akan perolehi

𝑘𝑜𝑠(3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 1

3𝑘𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢

=1

3sin𝑢 + 𝐶

Jawapan akhir digantikan semula dengan pembolehubah asal, kita akan perolehi

𝑘𝑜𝑠(3𝑥 + 4)𝑑𝑥 =1

3sin(3𝑥 + 4) + 𝐶

Penyelesaian kamiran dalam bentuk am 1

ax +b𝑑𝑥, ialah dengan mengambil gantian 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏

akan memberikan 1

𝑎

1

u𝑑𝑢. Oleh itu memberi penyelesaian kamiran sebagai

1

𝑎𝑙𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶.

Ini bermakna jika kita ingin menyelesaikan kamiran contohnya seperti 1

3x+7𝑑𝑥 kita boleh terus

menulis penyelesaiannya sebagai 1

3𝑙𝑛 3𝑥 + 7 + 𝐶.

Seterusnya kita akan melihat contoh yang melibatkan kamiran tentu. Pelajar perlu lebih berhati-hati

apabila menyelesaikan masalah kamiran tentu kerana ia melibatkan had kamiran.


Nota:

sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −1

𝑎kos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶.

kos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =1

𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶.

1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥 =

1

𝑎𝑙𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶.

Contoh 9.3

Kamirkan

(9 + 𝑥)2𝑑𝑥3

1

Penyelesaian:

Kita ambil gantian 𝑢 = 9 + 𝑥. Bezakan 𝑢, kita perolehi 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Maka kamiran menjadi

𝑢2𝑑𝑢𝑥=3

𝑥=1

dimana had kamiran masih di dalam pembolehubah 𝑥 dan bukan 𝑢. Untuk menukar had kamiran

kepada pembolehubah 𝑢, kita gunakan gantian 𝑢 = 9 + 𝑥. Dengan menggantikan 𝑥 = 1, kita

perolehi 𝑢 = 9 + 1 = 10 dan menggantikan 𝑥 = 3, kita perolehi 𝑢 = 9 + 3 = 12. Maka kita

perolehi

𝑢2𝑑𝑢 = 1

3𝑢3

10

1212

10

=1

3 123 − 103

=728

3

Kalkulus Asas|256

Nota:

Untuk menilai

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥,

ambil gantian 𝑢 = 𝑔 𝑥 , dan d𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥. Ini memberi

Kamirkan terhadap 𝑢, sebelum menukarkan semula kepada pembolehubah asal 𝑥.

𝑓 𝑢 𝑑𝑢.

9.1.2 Menilai kamiran 𝒇 𝒈 𝒙 𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 dengan mengambil gantian 𝒖 = 𝒈 𝒙 .

Cabaran utama dalam menggunakan Petua Penggantian ialah dalam memilih penggantian

yang tepat. Kita perlu memilih gantian 𝑢 yang merupakan sebahagian fungsi dalam kamiran

tersebut dan terbitannya juga wujud dalam kamiran itu (kecuali pemalar).

Contoh 9.4

Nilaikan kamiran berikut

2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥 (9.3)

Penyelesaian:

Andaikan 𝑢 merupakan kuantiti dibawah punca kuasa dua dalam (9.3), dengan tujuan

memudahkan terma punca kuasa dua seperti berikut

𝑢 = 1 + 𝑥2

Maka bezakan 𝑢, kita akan perolehi 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Perhatikan bahawa 2𝑥𝑑𝑥 wujud dalam

persamaan (9.3), dan kita boleh membuat gantian secara terus. Maka dengan menggantikan 𝑢

bagi 1 + 𝑥2,

2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 1 + 𝑥2 2𝑥𝑑𝑥

= 𝑢 𝑑𝑢


= 𝑢12 𝑑𝑢

=2

3𝑢

32 + 𝐶

=2

3(𝑥2 + 1)

32 + 𝐶

Perhatikan bahawa, jika 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥2 maka 𝑔′(𝑥) = 2𝑥. Maka kamiran 2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥

adalah dalam bentuk 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥.

Secara amnya, gantian yang digunakan ialah 𝑢 = 𝑔 𝑥 . Maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥.

Contoh 9.5

Kamirkan 𝑥

1−4𝑥2𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Ambil gantian 𝑢 = 1 − 4𝑥2 . Oleh itu 𝑑𝑢 = −8𝑥 𝑑𝑥, maka 𝑥𝑑𝑥 = −𝑑𝑢

8. Oleh itu

𝑥

1 − 4𝑥2𝑑𝑥 = −

1

8

𝑑𝑢

𝑢= −

1

8 𝑢−1

2𝑑𝑢

= −1

8 2 𝑢 + 𝐶

= −1

8 2 1 − 4𝑥2 + 𝐶

Contoh 9.6

Kamirkan 𝑥3 kos 𝑥4 + 2 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Ambil gantian 𝑢 = 𝑥4 + 2, kerana terbitannya ialah 𝑑𝑢 = 4𝑥3𝑑𝑥, wujud dalam kamiran diatas

(kecuali pemalar iaitu 4). Maka dengan mengambil 𝑥3𝑑𝑥 =𝑑𝑢

4 dan menggunakan Petua

Penggantian, kita peroleh

Kalkulus Asas|258

Nilaikan kamiran berikut;

a) (𝑥 − 2)3 𝑑𝑥

b) (𝑥 + 5)4𝑑𝑥1

0

c) sin(7𝑥 − 3)𝑑𝑥

d) 1

7x+5𝑑𝑥

Dalam setiap kamiran dibawah, kita boleh tuliskan dalam bentuk

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥. Kenalpasti fungsi 𝑓, dan 𝑔 kemudian selesaikan kamiran

tersebut.

a) 2𝑥𝑒𝑥2−5 𝑑𝑥

b) −2𝑥𝑠𝑖𝑛(1 − 𝑥2) 𝑑𝑥

c) kos 𝑥

1+sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑥3 kos 𝑥4 + 2 𝑑𝑥 = kos 𝑢 .1

4𝑑𝑢 =

1

4 kos𝑢 𝑑𝑢

=1

4sin𝑢 + 𝐶

=1

4sin(𝑥4 + 2) + 𝐶.

Perhatikan bahawa dalam jawapan akhir, kita perlu menukar pembolehubah 𝑢 kepada

pembolehubah asal 𝑥.

Latihan Formatif 9.1


9.2 Pengamiran bahagian demi bahagian

Kamiran bahagian demi bahagian merupakan suatu kaedah untuk mempermudahkan kamiran

yang melibatkan pendaraban fungsi aljabar misalnya

𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑒𝑥 kos 𝑥 𝑑𝑥

Kamiran bahagian demi bahagian diperoleh daripada rumus pembezaan hasil darab

𝑑

𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Apabila dikamirkan terhadap 𝑥 diperoleh

𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣

𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥𝑑𝑥,

dan seterusnya

𝑢𝑑𝑣

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥𝑑𝑥

atau ringkasnya

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus kamiran bahagian demi bahagian. Rumus ini

mengungkapkan kamiran 𝑢 𝑑𝑣. Dengan pemilihan yang tepat bagi 𝑢 dan 𝑣, kamiran kedua

(dalam fungsi 𝑢, 𝑣 dan 𝑥) mungkin menjadi lebih mudah untuk diselesaikan dibandingkan dengan

kamiran yang pertama (dalam fungsi 𝑥 sahaja).

(9.4)

Kalkulus Asas|260

Contoh 9.7

Selesaikan setiap kamiran berikut:

a) 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥

b) 𝑥 kos x 𝑑𝑥

c) 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

d) ln 𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian:

a) Dalam contoh ini dipilih

𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥.

Oleh itu

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 = 𝑒𝑥 .

Dengan menggunakan Rumus (9.4) diperoleh

𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶

b) Dalam contoh ini dipilih

𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = kos 𝑥 𝑑𝑥.

Oleh itu

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 = sin 𝑥.


𝑥 kos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 – sin 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 sin 𝑥 + kos 𝑥 + 𝐶


c) Dalam contoh ini dipilih

𝑢 = ln 𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥

Oleh itu

𝑑𝑢 = 1

𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑣 =

1

2𝑥2 + 𝑘

Dengan menggunakan Rumus (9.4), diperoleh

𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 1

2𝑥2 + 𝑘 ln 𝑥 −

1

2𝑥 +

𝑘

𝑥 𝑑𝑥

= 1

2𝑥2 + 𝑘 ln 𝑥 −

1

4𝑥2 + 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶

=1

2𝑥2 ln 𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 −

1

4𝑥2 − 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶

=1

2𝑥2 ln 𝑥 −

1

4𝑥2 + 𝐶

d) Dalam contoh ini ditulis ln 𝑥 𝑑𝑥 = 1 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 dan dipilih

𝑢 = ln 𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

Oleh itu

𝑑𝑢 =1

𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑣 = 𝑥 + 𝑘


𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 − 1 +𝑘

𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶

= 𝑥 ln 𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 − 𝑥 − 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶

= 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶

Kalkulus Asas|262

Catatan:

i. Perhatikan bahawa dalam contoh di atas ketika mengamirkan 𝑑𝑣 pemalar

pengamiran, 𝑘 akhirnya terhapus. Oleh itu dalam contoh seterusnya pemalar

pengamiran 𝑘 diabaikan.

ii. Jika pemilihan bagi 𝑢 dan 𝑑𝑣 terhadap fungsi dalam 𝑥 menyebabkan kamiran yang

terhasil bertambah sukar, maka pemilihan ini perlu ditukargantikan.

iii. Kadangkala pemilihan bagi 𝑢 dan 𝑑𝑣 menyebabkan kamiran tidak boleh dilakukan

dan proses penghitungan menjadi sangat rumit.

iv. Perhatikan untuk memudahkan langkah penyelesaian, penggunaan rumus (9.4) boleh

diperoleh melalui pendaraban dengan mengikuti arah anak panah.

\\\\

Selesaikan setiap kamiran berikut;

a) 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋

20

b) 𝑥 𝑒−𝑥𝑑𝑥1

0

c) 𝑥4 ln 𝑥 𝑑𝑥 d) 𝑠𝑒𝑘6 𝑥 𝑑𝑥

e) sin4𝑥 𝑑𝑥 f) 4𝑥 𝑥 + 1 3

9.3 Pengamiran menggunakan identiti trigonometri atau gantian trigonometri

Terdapat kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri boleh diselesaikan dengan menggunakan

identiti trigonometri. Ini membolehkan kamiran ditulis dalam bentuk alternatif yang mungkin lebih

mudah untuk diselesaikan. Dalam unit ini, kita akan mempelajari bagaimana menyelesaikan fungsi

trigonometri yang lebih rumit seperti sin2𝑥 𝑑𝑥 dan sin3𝑥 kos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥.



9.3.1 Pengamiran yang memerlukan penggunaan identiti trigonometri

Berikut adalah identiti trigonometri yang akan digunakan didalam bahagian ini.

2 sin 𝐴 kos 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵)

2 kos 𝐴 kos 𝐵 = kos 𝐴 − 𝐵 + kos(𝐴 + 𝐵)

2 sin 𝐴 sin 𝐵 = kos 𝐴 − 𝐵 − kos(𝐴 + 𝐵)

sin2 𝐴 + kos2 𝐴 = 1

kos 2𝐴 = kos2 𝐴 − sin2 𝐴

= 2 kos2 𝐴 − 1

= 1− 2 sin2 𝐴

sin 2𝐴 = 2 sin𝐴 kos𝐴

1 + tan2 𝐴 = sek 2𝐴

Contoh 9.8

Nilaikan kamiran sin2𝑥 𝑑𝑥.𝜋

0

Penyelesaian:

Kita gunakan identiti trigonometri kos 2A = 1−2 sin2 𝐴, oleh itu sin2 𝐴 =1

2 1 − kos 2𝐴 .

Perhatikan dengan menggunakan identiti ini kita telah menukar kamiran asal sin2 𝐴 kepada

kamiran yang tiada kuasa. Oleh itu kamiran tersebut boleh ditulis sebagai

sin2𝑥 𝑑𝑥 =𝜋

0

1

2 1 − kos 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋

0

dan hasil kamiran tersebut diselesaikan seperti berikut:

1

2 1 − kos 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋

0

= 1

2 𝑥 −

1

2sin 2𝑥

0

𝜋

Kalkulus Asas|264

= 1

2𝑥 −

1

4sin 2𝑥

0

𝜋

=𝜋

2

Contoh 9.9

Nilaikan kamiran sin 3𝑥 kos 2𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Perhatikan bahawa kamiran ini merupakan hasil darab dua fungsi iaitu sin 3𝑥 dan kos 2𝑥. Kita

gunakan identiti trigonometri 2 sin 𝐴 kos 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵). Dengan 𝐴 = 3𝑥 dan

𝐵 = 2𝑥, kita perolehi

sin 3𝑥 kos 2𝑥 𝑑𝑥 =1

2 sin 5𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥

=1

2 −

1

5kos 5𝑥 − kos𝑥 + 𝐶

= −1

10kos 5𝑥 −

1

2kos𝑥 + 𝐶

9.3.2 Pengamiran yang melibatkan hasil darab sin dan kos

Dalam bahagian ini kita akan melihat kamiran dalam bentuk sinm 𝑥 kosn 𝑥 𝑑𝑥.

Contoh 9.10

Nilaikan sin3 𝑥 kos2 𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

sin3 𝑥 kos2 𝑥 𝑑𝑥 = sin x sin2 𝑥 kos2 𝑥 𝑑𝑥

= sin x 1 − kos2 𝑥 kos2 𝑥 𝑑𝑥

Ambil gantian u = kos x, du = − sin x dx, maka kita akan perolehi

sin x 1 − kos2 𝑥 kos2 𝑥 𝑑𝑥 = − (1 − 𝑢2)𝑢2 𝑑𝑢


Nota:

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 + 𝐶

1

𝑎2 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎𝑡𝑎𝑛−1

𝑥

𝑎+ 𝐶

1

𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = sin−1

𝑥

𝑎+ 𝐶

= (𝑢4 − 𝑢2)𝑑𝑢

=𝑢5

5−

𝑢3

3+ 𝐶

=kos5𝑥

5−

kos3𝑥

3+ 𝐶

9.3.3 Pengamiran yang menggunakan penggantian trigonometri

Terdapat juga beberapa kamiran yang menggunakan gantian trigonometri. Berikut adalah

penyelesaian am kamiran dalam bentuk-bentuk tertentu sebagai rujukan pelajar. Bagaimana

kamiran pertama diselesaikan akan ditunjukkan dalam contoh seterusnya.

Contoh 9.11

Selesaikan 1

1+𝑥2 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Ambil gantian 𝑥 = tan𝜃. Kita memilih gantian ini untuk menukarkan kamiran asal kepada 1

1+tan2𝜃

dan kita boleh menggunakan identiti 1 + tan2𝜃 = sek2𝜃 . Oleh itu dengan

𝑥 = sek2 𝜃, 𝑑𝑥

𝑑𝜃= sek2 𝜃, maka 𝑑𝑥 = sek2 𝜃 𝑑𝜃 . Pengamiran akan menjadi

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

1 + tan2𝜃sek2 𝜃 𝑑𝜃

Kalkulus Asas|266

1) Gunakan identiti trigonometri dan dapatkan kamiran berikut.

a) kos2 𝑥 𝑑𝑥

b) sin 2x kos 2x𝑑𝑥

2) Kamirkan

a) kos3 𝑥 𝑑𝑥

b) sin5𝑥 kos2𝑥 𝑑𝑥

3) Dengan menggunakan gantian trigonometri, dapatkan

a) 1

4+9𝑥2 𝑑𝑥

b) 1

4−9𝑥2 𝑑𝑥

= 1

sek2𝜃sek2 𝜃 𝑑𝜃

= 1 𝑑𝜃

= 𝜃 + 𝐶

= tan−1𝑥 + 𝐶

9.4 Kaedah pecahan separa

Pengamiran yang berbentuk 3𝑥2 + 18𝑥 +3

3𝑥2+ 5𝑥−2 𝑑𝑥 adalah bukannya suatu bentuk pengamiran

yang biasa namun ianya banyak dijumpai dalam penggunaan matematik. Untuk

menyelesaikan pengamiran yang berbentuk demikian adalah satu kaedah yang sukar

dilakukan. Maka untuk mengatasi masalah pecahan ini, pecahan tersebut perlu ditukarkan

kepada beberapa pecahan separa sebelum proses pengamiran dilakukan. Justeru itu,

adalah digalakkan agar asas kepada pecahan separa diulangkaji terlebih dahulu dalam

usaha untuk memahami unit ini. Asasnya pecahan separa membolehkan pecahan tunggal

ditukarkan kepada beberapa pecahan separa. Di dalam pecahan separa ini, bahagian di



sebelah atas dikenali sebagai pengatas atau pengangka dan bahagian sebelah bawah

dikenali sebagai pembawah atau penyebut (sila rujuk contoh di dalam Rajah 9.1 ).

7𝑥 + 8

2𝑥2 + 11𝑥 + 5 =

3

𝑥 + 5 +

1

2𝑥 + 1

Pecahan tunggal Pecahan separa Pecahan separa

Rajah 9.1

Untuk pecahan separa 3

𝑥+5 , 3 ialah pengatas atau pengangka dan 𝑥 + 5 ialah pembawah

atau penyebut. Seandainya pengamiran perlu dilakukan terhadap suatu masalah matematik

melibatkan pecahan tunggal, maka pengamiran boleh dilakukan terhadap pecahan pecahan

separa yang diterbitkan daripada pecahan tunggal tersebut.

7𝑥 + 8

2𝑥2 + 11𝑥 + 5 𝑑𝑥 =

3

𝑥 + 5 𝑑𝑥 +

1

2𝑥 + 1 𝑑𝑥

Di dalam persoalan matematik ini menerbitkan pecahan separa daripada pecahan tunggal

adalah sangat mustahak. Cuba terbitkan pecahan separa bagi 6

𝑥2− 1?

Mulakan dengan memfaktorkan penyebut:

𝑥2 − 1 = 𝑥 − 1 (𝑥 + 1)

Maka:

6

𝑥2 − 1=

6

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)

Dengan mengandaikan pemalar 𝐴 dan 𝐵, maka akan terhasil

6

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)=

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

𝑥 + 1

Ia dapat dibuktikan bahawa pemalar pemalar ini sentiasa wujud untuk suatu fungsi nisbah

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) jika kedua dua syarat di bawah ini dipenuhi.

1) Kedua-dua 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah polinomial (hanya pemalar dengan

kuasa integer positif bagi 𝑥 sahaja)

Kalkulus Asas|268

2) Kuasa tertinggi bagi 𝑥 di dalam 𝑝(𝑥) lebih kecil berbanding kuasa tertinggi

bagi 𝑥 di dalam 𝑞 𝑥 .

Samakan pekali:

𝐴 (𝑥 + 1)

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)+

𝐵 (𝑥 − 1)

𝑥 + 1 (𝑥 − 1)

= 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 − 1)

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)

Maka

6

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)=

𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 − 1)

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)

Memandangkan penyebut bagi persamaan ini adalah sama, maka pengangkanya juga

adalah sama.

6 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵(𝑥 − 1)

Untuk nilai 𝐴 dan 𝐵, andaikan 𝑥 = 1, maka

6 = 𝐴 1 + 1 + 𝐵(1 − 1)

6 = 𝐴 2 + 𝐵(0)

𝐴 = 3

Seterusnya andaikan 𝑥 = −1

6 = 𝐴 −1 + 1 + 𝐵(−1 − 1)

6 = 0 − 2𝐵

𝐵 = −3

Jadi pecahan separa terbitan daripada pecahan tunggal 6

𝑥2−1 ialah

6

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)=

3

𝑥 − 1+

−3

𝑥 + 1

Contoh 9.12

Kamirkan


Selesaikan setiap kamiran berikut:

a)

2𝑥 + 3

𝑥2 − 9 𝑑𝑥

b)

𝑥2 − 1

𝑥2 − 16 𝑑𝑥

c)

𝑥5 + 1

𝑥3(𝑥 + 2) 𝑑𝑥

d)

𝑥3 + 4

(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥

1

𝑥2 − 4 𝑑𝑥

Penyelesaian:

Uraikan permasalahan matematik di atas kepada pecahan separa:

1

𝑥2 − 4 𝑑𝑥 =

1

𝑥 + 2 (𝑥 − 2) 𝑑𝑥

= 𝐴

𝑥 + 2 +

𝐵

(𝑥 − 2) 𝑑𝑥

Selepas menyamakan penyebut seperti di dalam penerangan sebelum ini, kemudian akan

diperoleh

𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 + 2 = 1

Andaikan 𝑥 = −2:𝐴 −4 + 𝐵 0 = 1 → 𝐴 = −1

4

Andaikan 𝑥 = 2:𝐴 0 + 𝐵 4 = 1 → 𝐵 =1

4

maka,

1

𝑥2 − 4𝑑𝑥 =

−14

𝑥 + 2 +

14

(𝑥 − 2) 𝑑𝑥

= − 14

1

𝑥 + 2 + 1

4 1

(𝑥 − 2) 𝑑𝑥

= −1

4ln 𝑥 − 2 − ln 𝑥 + 2 + 𝐶

atau

= −1

4ln

𝑥 − 2

𝑥 + 2 + 𝐶


Kalkulus Asas|270

RUMUSAN

Di dalam unit ini, teknik kamiran untuk masalah matematik yang melibatkan pengamiran yang tidak

boleh diselesaikan secara terus dengan menggunakan formula antiterbitan telah dibentangkan.

Empat teknik utama yang dibincangkan ialah:

1) Pengamiran melalui penggantian

2) Pengamiran bahagian demi bahagian

3) Pengamiran dengan menggunakan gantian trigonometri atau identiti trigonometri

4) Pengamiran dengan menerbitkan pecahan separa

KATA KUNCI

Kamiran, petua penggantian, kamiran bahagian demi bahagian, identiti trigonometri, penggantian

trigonometri, kaedah pecahan separa.

1. Nilaikan 𝑥 sin 2𝑥2 𝑑𝑥, dengan gantian 𝑢 = 2𝑥2 .

Latihan Sumatif


2. Nilaikan 𝑥3 𝑥4 + 15

0 dengan gantian 𝑢 = 𝑥4 + 1 .

3. Dengan mencari gantian yang sesuai, dapatkan 𝑒sin 𝑥 kos𝑥 𝑑𝑥.

4. Gunakan identiti trigonometri untuk selesaikan 2 kos 5𝑥 kos 3𝑥 𝑑𝑥.𝜋 3

𝜋 6

5. Gunakan kaedah gantian trigonometri untuk selesaikan 𝑥2

16−𝑥2𝑑𝑥 dengan mengambil

gantian 𝑥 = 4 sin𝜃.

6. Gunakan kaedah gantian trigonometri untuk selesaikan 1

1+4𝑥2 𝑑𝑥 dengan mengambil

gantian 𝑥 =1

2tan𝜃.

7. Kamirkan 𝑒𝑥

𝑒𝑥−1 (𝑒𝑥+3) 𝑑𝑥.

8. Kamirkan kos 𝑥

𝑠𝑖𝑛 3𝑥+sin 𝑥.

RUJUKAN

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF Latihan Formatif 9.1

a) (𝑥−2)4

4+ 𝐶

b) 9301

5

Kalkulus Asas|272

c) –kos (7𝑥−3)

7+ 𝐶

d) 1

7𝑙𝑛 7𝑥 + 5 + 𝐶

e) 𝑓 𝑢 = 𝑒𝑢 ,𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 5, 𝑒𝑥2−5+ 𝑐

f) 𝑓 𝑢 = sin𝑢,𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥2 ,−kos(1 − 𝑥2) + 𝑐

g) 𝑓 𝑢 =1

𝑢,𝑔 𝑥 = 1 + sin 𝑥, 𝑙𝑛 1 + sin 𝑥 + 𝑐


a) 1

b) 1 − 2𝑒−1

c) 1

5𝑥5 ln𝑥 −

1

25𝑥5 + 𝐶

d) 1

5tan5𝑥 +

2

3tan3𝑥 + tan𝑥 + 𝐶

e) 3

8𝑥 −

1

4sin 2𝑥 +

1

32sin 4𝑥 + 𝐶

f) 𝑥 𝑥 + 1 4 −1

5 𝑥 + 1 5 + 𝐶


a) 𝑥

2+

1

4sin 2𝑥 + 𝐶

b) –cos 4𝑥

8+ 𝐶

a) 1

3cos2 𝑥 sin 𝑥 +

2

3sin 𝑥 + 𝐶

b) −1

7sin4 𝑥 cos3 𝑥 −

4

35sin2 𝑥 cos3 𝑥 −

8

105cos3 𝑥 + 𝐶

a) 1

6𝑡𝑎𝑛−1 3

2+ 𝐶

b) 1

3𝑠𝑖𝑛−1 3𝑥

2+ 𝐶


a) 1

2ln 𝑥 + 3 +

3

2ln 𝑥 − 3 + 𝐶

b) 𝑥 +

15

8ln

𝑥 − 4

𝑥 + 4 + 𝐶

1)

2)

3)


c) 𝑥2

2− 2𝑥 +

1

8ln 𝑥 +

1

4𝑥−

1

4𝑥2

+31

8ln 𝑥 + 2 + 𝐶

d) −

3

4ln 𝑥 + 1 +

3

2(𝑥 + 1)

+5

12ln 𝑥 − 1

+4

3ln 𝑥 + 2 + 𝐶

e) 1

2ln 𝑥 + 3 +

3

2ln 𝑥 − 3 + 𝐶

f) kot𝑥 + ln 1 − kot 𝑥 + 𝐶

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1) –cos (2𝑥2)

4+ 𝐶

2) 2610

3) 𝑒sin 𝑥 + 𝐶

4) 2.165

5) −1

2𝑥 16 − 𝑥2 + 8 sin−1 𝑥

4+ 𝐶

6) 1

2 𝑡𝑎𝑛−12𝑥 + 𝐶

7) 1

4ln

𝑒𝑥−1

𝑒𝑥+3 + 𝐶

8) ln sin𝑥 −1

2ln sin2 𝑥 + 1 + 𝐶

Documents

Unit Pelajaran 9 Teknik Pengamiran