Unit Pelajaran 6 Teknik Pembezaan

Unit 6 Teknik Pembezaan |145

UNIT PELAJARAN 6

TEKNIK PEMBEZAAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menentukan terbitan pertama untuk sesuatu fungsi yang merupakan hasil

tambah atau hasil tolak dua sebutan algebra.

2. Menentukan terbitan pertama hasil darab atau hasil bahagi dua fungsi.

3. Menentukan terbitan pertama fungsi gubahan dengan menggunakan petua

rantai.

4. Menentukan terbitan pertama untuk fungsi tersirat.

5. Mencari terbitan peringkat lebih tinggi untuk fungsi .

Kalkulus Asas|146

PENGENALAN

nit ini akan membincangkan teknik pembezaan hasil tambah, darab dan bahagi

fungsi algebra. Selain itu, teknik untuk mendapatkan terbitan bagi fungsi gubahan

yang melibatkan petua rantai juga akan di bincangkan dalam unit ini. Sebelum ini

pelajar hanya didedahkan dengan terbitan pertama sesuatu fungsi, maka di sini

pelajar akan mempelajari bagaimana untuk mencari terbitan kedua dan

seterusnya terbitan peringkat lebih tinggi bagi fungsi tersebut. Pengetahuan mengenai pembezaan

suatu fungsi amat penting dalam kehidupan seharian kita dan perkara ini akan dibincangkan dalam

Unit 7 nanti.

6.1 Pembezaan hasil tambah dan hasil tolak fungsi

Jika fungsi dan boleh dibezakan, maka fungsi juga boleh dibezakan.

Contoh 6.1

Bezakan persamaan-persamaan berikut:

a) c)

b)

d)

U Layari Laman Web untuk mengetahui lebih lanjut teknik pembezaan:

http://www.sosmath.com/calculus/diff/der02/der02.html

Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka 𝐸′ 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥


Penyelesaian:

a)

b)

c)

d)

6.2 Pembezaan hasil darab fungsi

Jika fungsi dan boleh dibezakan, maka hasil darab fungsi, , juga boleh dibezakan.

Latihan Formatif 6.1

Bezakan setiap persamaan berikut:

a) 𝑦

𝑥 𝑥 d) 𝑦

𝑥2:6𝑥;8

𝑥2

b) 𝑠

𝑡

𝑡3 e) 𝑟

𝜃 ta 𝜃

c) 𝑝 𝑞 𝑞 f) 𝑦 l 𝑥5 𝑥

Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka 𝐸′ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥

𝑦′ 𝑢𝑣′ 𝑣𝑢′

Secara mudahnya, petua hasil darab boleh ditulis seperti berikut:

Jika 𝑦 𝑢𝑣 dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi-fungsi bagi 𝑥, maka

Kalkulus Asas|148

Contoh 6.2

Bezakan persamaan-persamaan berikut terhadap :

a)

b) ta

Penyelesaian:

a) Andaikan dan

Maka ′ ′

Seterusnya, masukkan ke dalam rumus pembezaan:

′ ′ ′

′

′

b) Andaikan dan ta

Maka ′ ′

Masukkan , , dan ke dalam rumus pembezaan:

′ ′ ′

′ ta

′ ta


6.3 Pembezaan hasil bahagi fungsi

Jika fungsi dan boleh dibezakan di mana , maka

juga boleh dibezakan.

Contoh 6.3

Bezakan setiap fungsi berikut:

a) 3

; 4 b)

5 3: 2

4:


Carikan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 bagi setiap persamaan berikut:

a) 𝑦 𝑥 𝑥5 d) 𝑦

𝑥 𝑥 𝑥

b) 𝑦

𝑥

𝑥2 e) 𝑦 𝑥 𝑒 𝑥

2

c) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑥 𝑥 7

Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 maka 𝐸′ 𝑥

𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 ;𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥

𝑔 𝑥 2

𝑦′ 𝑣𝑢′ 𝑢𝑣′

𝑣

Secara mudahnya, petua hasil bahagi boleh ditulis seperti berikut:

Jika 𝑦 𝑢

𝑣 dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi-fungsi bagi 𝑥, maka

Kalkulus Asas|150

Penyelesaian:

a) Andaikan dan

Maka ′ ′

Seterusnya, masukkan ke dalam rumus pembezaan:

′

′ ′

′

′

6

6

b) Andaikan dan

Maka ′ ′

Seterusnya,

′

′ ′

′

′

6 5 6 5

′

6 5


6.4 Pembezaan fungsi gubahan

Jika fungsi boleh dibezakan terhadap dan juga boleh dibezakan terhadap , maka

fungsi gubahan juga boleh dibezakan terhadap . Ringkasnya,

Contoh 6.4

Bezakan terhadap .

Penyelesaian:

Ambil , maka

Seterusnya,

9


Dapatkan terbitan bagi setiap persamaan berikut:

a) 𝑦 𝑥;5

𝑥: c) 𝑟

𝑡;2

𝑡

sin 5𝑡

b) 𝑣 𝑡3

;𝑡4 d) 𝑦

𝑒5𝑥;𝑒−5𝑥

𝑒5𝑥:𝑒−5𝑥

Jika 𝑢 𝑔 𝑥 da 𝑦 𝑓 𝑢 , maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

Rumus ini juga dikenali sebagai Petua Rantai.

Kalkulus Asas|152

Sekarang, cuba bezakan persamaan di atas dengan menggunakan rumus

′ ′ ( ) ;

Diberi , , , a a

Seterusnya,

′ 9

Contoh 6.5

Dapatkan

untuk

5; 3:6 .

Penyelesaian:

a) Menggunakan petua rantai

Ambil 5 , maka ;

Seterusnya,

;

5

Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘(𝑔 𝑥 )𝑛

di mana 𝑘

adalah pemalar, maka 𝑦′ 𝑘𝑛𝑔′ 𝑥 (𝑔 𝑥 )𝑛;


b) Menggunakan rumus ′ ′ ( ) ;

Tulis 5 ;

Maka, , , 5 ,

Seterusnya, ′ 5 ;

Contoh 6.6

Bezakan l 5 terhadap .

Penyelesaian:

Ambil 5, maka l .

Menggunakan Petua Rantai:

5

Contoh 6.7

Dapatkan

jika (

3: ).

Sekarang, cuba selesaikan Contoh 6.6 ini

menggunakan rumus di atas.

𝑦′ 𝑘𝑔′ 𝑥

𝑔 𝑥

Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘l (𝑔 𝑥 ) di mana 𝑘 adalah

pemalar, maka

Kalkulus Asas|154

Penyelesaian:

Ambil , maka .


3:

Contoh 6.8

Dapatkan terbitan bagi .

Penyelesaian:

Persamaan yang diberi boleh ditulis sebagai

Ambil , , maka .




𝑦′ 𝑘𝑔′ 𝑥 𝑒𝑔 𝑥

Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘𝑒𝑔 𝑥 di mana 𝑘 adalah

pemalar, maka

Kadangkala petua rantai melibatkan

lebih dari dua fungsi. Contohnya, 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑤 𝑑𝑤

𝑑𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥



1. Bezakan setiap persamaan berikut:

a) 𝑦 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑡 𝑡

b) 𝑦 8

𝑥2; 3 f) 𝑦

𝑥: 3

𝑥:

c) 𝑟 ta 𝜃 𝜃 g) 𝑦 l :𝑥

;𝑥

d) 𝑠 𝑡 𝑡 h) 𝑦 𝑒 𝑡3 𝑡7 𝑡

2. Diberi 𝑦 𝑡 𝑡 da 𝑥 𝑡 𝑡 Carikan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dalam sebutan 𝑡.

𝑦′ 𝑐𝑛𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑛; (𝑔 𝑥 )

𝑦′ 𝑐𝑛𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑛; (𝑔 𝑥 )

Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk:

𝑦 𝑐 𝑛(𝑔 𝑥 ) di mana 𝑐 adalah pemalar, maka

𝑦 𝑐 𝑛(𝑔 𝑥 ) di mana 𝑐 adalah pemalar, maka



Kalkulus Asas|156

6.5 Pembezaan fungsi tersirat

Setakat ini kita hanya membincangkan teknik pembezaan yang melibatkan persamaan atau

fungsi yang boleh diungkapkan secara langsung dalam sebutan iaitu . Akan

tetapi, tidak semua persamaan boleh diungkapkan secara langsung dalam sebutan .

Sebagai contoh,

i)

ii) l

Persamaan-persamaan ini dikenali sebagai fungsi tersirat. Oleh itu, bahagian ini

membincangkan bagaimana untuk membezakan fungsi tersirat, di mana ia boleh

dilaksanakan dengan membezakan sebutan demi sebutan dengan menganggap sebagai

suatu fungsi untuk .

Contoh 6.9

Dapatkan

bagi persamaan-persamaan berikut:

a)

b) pada titik (4, 0)

Penyelesaian:

a)

Bezakan sebutan demi sebutan,


b)

[

]

Maka,

di titik (4, 0) ialah


1. Bezakan setiap fungsi berikut terhadap 𝑥:

a) 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 c) 𝑦 𝑦 l 𝑥 𝑥 l 𝑦

b) 𝑥5 𝑦5 𝑎𝑥 𝑦 d) 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥

2. Diberi 𝑥 𝑦 . Dapatkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 untuk titik (4, 3) pada lengkung tersebut.

Kalkulus Asas|158

6.6 Peringkat pembezaan lebih tinggi

Terbitan kedua bagi fungsi ialah terbitan bagi fungsi ′ , dan ia ditanda sebagai

′′ Secara matematiknya,

′′

′

[

]

Seterusnya, jika ′′ mempunyai terbitan maka terbitan itu ditulis sebagai ′′′ dan

dinamakan terbitan ketiga bagi iaitu

′′′

′′

[

]

Proses ini boleh diteruskan untuk mendapatkan terbitan yang lebih tinggi. Secara amnya,

, dengan ialah suatu integer positif, bermaksud terbitan ke bagi fungsi di

mana terbitan tersebut diperolehi dengan membezakan fungsi berturut-turut sebanyak

kali. Umumnya, terbitan-terbitan bagi ditandakan dengan

′

, ′′

, ′′′

,

, ,

,

dan simbol-simbol berikut menandakan nilai terbitan di suatu titik tertentu, ,

′′ , 5 ,

| <

,

| <

Contoh 6.10

Jika 5 , cari tiga terbitan pertama bagi persamaan tersebut.

Penyelesaian:

′

′′

′′′


Contoh 6.11

Cari 2

2| <

jika .

Penyelesaian:

| <


1. Cari 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 bagi setiap persamaan berikut:

a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑥 𝑥

b) 𝑦

𝑥: f) 𝑦

:𝑥3

𝑥2

c) 𝑦 𝑥

𝑥: g) 𝑦 𝑥

3

𝑥2

d) 𝑦 𝑥

𝑥

h) 𝑦 𝑥

2. Cari semua terbitan bukan sifar untuk 𝑦 𝑥6 𝑥 𝑥 .

3. Diberi 𝑓 𝑥 𝑥;

𝑥: dapatkan 𝑓′′′ .

Kalkulus Asas|160

RUMUSAN

Unit ini adalah lanjutan dari unit sebelum ini di mana ia melibatkan pembezaan fungsi yang lebih

kompleks di samping pembezaan di peringkat yang lebih tinggi. Berikut adalah kesimpulan yang

boleh dibuat:

1. Jika di mana dan adalah fungsi dalam sebutan , maka

.

2. Jika

di mana dan adalah fungsi dalam sebutan , maka

;

2 .

3. Terbitan bagi fungsi gubahan ialah

; .

4. Jika di mana , maka

. Ini dikenali sebagai petua rantai.

5. Terbitan peringkat kedua fungsi ialah terbitan pertama bagi fungsi .

KATA KUNCI

Petua hasil darab fungsi, Petua hasil bahagi fungsi, Fungsi tersirat, Fungsi gubahan, Petua rantai,

Pembezaan peringkat tinggi.

Latihan Sumatif

1. Dapatkan terbitan pertama bagi persamaan-persamaan berikut:

a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑟 (𝑠 𝑠 𝑠 )

b) 𝑦 𝑥 ta 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑒𝑥 𝑥 𝑥

c) 𝑦 kos 𝜃;5

sin𝜃:5 g) 𝑦 𝑥 𝑥

d) 𝑦 l 𝑥 𝑒𝑥 𝑥3

h) 𝑦 𝑒𝑥 ta 𝑥

2. Bezakan fungsi-fungsi berikut:

a) 𝑓 𝑥

𝑥2; 𝑥: e) 𝑓 𝑥

𝑒2𝑥:

𝑒2𝑥;


b) 𝑔 𝑥 𝑥 3

f) 𝑓 𝑥 𝑥

c) 𝑓 𝑥 𝑒(𝑥2: ) g) 𝑓 𝜃 𝜃 𝜃

d) ℎ 𝑥 l 𝑥 h) 𝑔 𝑥 𝑒 𝑥; 𝑥

3. Diberi

a) 𝑦 𝑢 𝑢 , 𝑢 𝑥 𝑥

b) 𝑦 𝑢 , 𝑢 𝑥 𝑥

Dapatkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 bagi persamaan-persamaan tersebut.

4. Dapatkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 bagi setiap fungsi berikut:

a) 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 e) 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦

b) 𝑦 𝑥 𝑦 f) 𝑥 𝑦 𝑦

c) 𝑥𝑦 𝑒 𝑥:𝑦 g) 𝑦 𝑥 𝑥

d) 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 h) 𝑥 𝑦6 𝑥𝑦

5. Dapatkan 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 bagi yang berikut:

a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑥

𝑥:

b) 𝑦 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑥 𝑒; 𝑥 l 𝑥

c) 𝑦 𝑒 𝑥 𝑥 𝑥 g) 𝑦 𝑒( ; 𝑥3)

d) 𝑦 𝑥 𝑥 h) 𝑦

𝑥;

6. Cari 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3|𝑥<

jika 𝑦 𝑥3

7. Dapatkan 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 bagi 𝑦 𝑥𝑦 .

Kalkulus Asas|162

RUJUKAN

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


a) b) ; ; c)

d) 6

2 6

3 e)

f)

5


a) 5 b) 6

4

3

2 c)

d) ; sin ; : kos

2 e)

2 f) 6


a)

: 2 b)

2 ; 4 : 6

; 4 2

c) :

2

2 sin 5 ; ;

2

kos 5

sin 5 2 d)

: 2


1. a) b) ; 6

2; 4

c) d)


e) f) : 2 :5

: 2

g)

; 2 h)

3 9 6

2. 2;

: .


1. a) sin2 :

; sin kos ; b)

2; 3

2; 3

c) ; ; n

: n d)

5: 2

: 3

2.


1. a) b) 6

: 3 c)

;8

: 3

d) 7

4 e) f) 8

4

g)

9 ;5 ; h) ( )

;

2. ′ 5 ′′

′′′

5 6

3. 2.3203

Kalkulus Asas|164

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) b)

c) 5 kos ;sin ;

sin :5 2 d)

2 3

e) f)

g) h) ta

2. a) ;

2; : 2 b)

2: 2 3 c) (

2: )

d) ta e) ; 2

2 ; 2 f)

: 2 : : 2

g) h) ;

3. a) b)

4. a) :

: b)

;kos

:sin c)

;

;

d) kos

: ; kos e)

:6

2: f)

kos :

;kos :

g) 2:6

h)

( : 6): − 2 2

6 2 5: 2 − 2

5. a) b) c)

d) e)

: 2

: 3

f) ; ; g) 8 ;

6 4; 3: 2:8 :

6. -209.4

7. 2;

; 3

Documents

Unit Pelajaran 6 Teknik Pembezaan