Unit Pelajaran 7 Penggunaan Pembezaan

Unit 7 Penggunaan Pembezaan |165

UNIT PELAJARAN 7

PENGGUNAAN PEMBEZAAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Mengira nilai hampiran sesuatu fungsi serta mengira ralat hampiran fungsi

apabila berlaku ralat pada pembolehubah tak bersandar.

2. Mengira kadar perubahan sesuatu pembolehubah apabila diketahui kadar

perubahan kuantiti yang lain tetapi berkaitan.

3. Mendapatkan halaju dan pecutan seketika sesuatu zarah pada sebarang masa

t yang diketahui persamaan gerakannya.

4. Mendapatkan titik-titik genting sesuatu fungsi.

5. Menentukan sifat titik-titik genting.

6. Melakarkan graf sesuatu lengkung.

Kalkulus Asas|166

PENGENALAN

ita telah mempelajari konsep dan teknik terbitan ataupun pembezaan dalam Unit 5 dan

Unit 6 sebelum ini. Dalam unit ini pula kita akan manfaatkan pengetahuan tersebut untuk

menyelesaikan beberapa masalah yang menggunakan konsep pembezaan dalam

kehidupan harian. Pengetahuan dalam pembezaan juga sangat penting untuk kajian lanjutan dari

segi teori ataupun penggunaannya dalam bidang matematik, fizik, kimia, kejuruteraan, biologi dan

ekonomi.

7.1 Nilai hampiran dan ralat

Kita telah bincangkan masalah terbitan sebelum ini iaitu jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan suatu

fungsi yang boleh dibezakan, maka terbitan pertama 𝑑𝑦

𝑑𝑥 atau 𝑓′(𝑥) diberikan sebagai

𝑓 ′ 𝑥 = hadδx→0𝑓 𝑥+𝛿𝑥 −𝑓(𝑥)

𝛿𝑥 (7.1)

Perhatikan bahawa 𝑓 𝑥+δx −𝑓(𝑥)

δx tidak sekali-kali sama dengan 𝑓′(𝑥) tetapi apabila δx

cukup kecil, nilai bagi 𝑓 𝑥+δx −𝑓(𝑥)

δx merupakan hampiran bagi 𝑓′(𝑥) dan kita tulis

𝑓 𝑥 + δx − 𝑓(𝑥)

δx≅ 𝑓 𝑥

atau 𝑓 𝑥 + δx ≅ 𝑓 𝑥 + 𝑓′(𝑥)δx (7.2)

atau δf x ≅ 𝑓′(𝑥) δx, δx cukup kecil (7.3)

dengan δx = 𝑓 𝑥 + δx − 𝑓(𝑥).

Rumus (7.2) dan (7.3) boleh digunakan untuk mencari nilai hampiran 𝑓 𝑥 + δx dengan

menggunakan nilai tepat 𝑓(𝑥), 𝑓 ′ 𝑥 dan 𝛿𝑥 iaitu tokokan kecil 𝑓(𝑥)yang dihasilkan

daripada tokokan kecil 𝑥, seperti yang ditunjukkan dalam contoh-contoh berikut.

K

Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai pembezaan (kalkulus):

http://www.meta-religion.com/Mathematics/Articles/timeline_of_calculus.htm

http://www.meta-religion.com/Mathematics/Articles/timeline_of_calculus.htm


Contoh 7.1

Dapatkan nilai hampiran untuk 8.023

.

Penyelesaian:

Ambil 𝑓 𝑥 = 𝑥1

3 . Oleh itu 𝑓 ′ 𝑥 = 1

3𝑥−

2

3 .

Nilai tambah 8.02 = 8 + 0.02. Kita padankan dengan 𝑥 + δx. Oleh yang demikian,

𝑥8 dan 𝛿𝑥 = 0.02. Gantikan ke dalam rumus (7.2) diperolehi,

𝑓(8.02) = 𝑓 8 + 0.02 ≅ 𝑓 8 + 𝑓′(8)(0.02)

iaitu 8.021

3 ≅ 81

3 + 1

38−

2

3 0.02

Dipermudahkan lagi, kita dapat 8.02 3

≅ 2 + 1

12(0.02)

Oleh itu 8.02 3

≈ 2.0017

Contoh 7.2

Ralat sebanyak 3% berlaku dalam mengukur jejari sebuah bulatan. Berapakah peratus ralat

bagi luas yang dihasilkan daripada ukuran ini?

Penyelesaian:

Katakan jejari bulatan ialah r.

Luas bulatan ialah 𝐴 = 𝜋𝑟2. 𝐴′ = 2𝜋𝑟.

Misalkan ralat ukuran jejari ialah 𝛿𝑟, maka 𝛿𝑟

𝑟=

3

100.

Dari (7.3) ralat bagi luas 𝛿𝐴 ≅ 𝐴′ 𝑟 𝛿𝑟 = 2𝜋𝑟𝛿𝑟.

𝛿𝐴

𝐴≅

2𝜋𝑟𝛿𝑟

𝐴=

2𝜋𝑟𝛿𝑟

𝜋𝑟2= 2

𝛿𝑟

𝑟 .

Oleh itu, ralat bagi luas bulatan itu ialah 𝛿𝐴

𝐴x 100% = 2

𝛿𝑟

𝑟x 100% = 6%.

Kalkulus Asas|168

1. Gunakan terbitan untuk mendapatkan nilai hampiran bagi:

a) 29 b) 32.21 c) 533

d) 97.14

2. Jika tan 𝑥 = 1 + tan 𝑦, cari 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dalam sebutan 𝑥 dan 𝑦. Oleh yang demikian, tunjukkan

bahawa apabila 𝑥 = 1

4𝑥 + 𝛿𝑥, maka 𝑦 ≅ 𝑦ₒ + 2𝛿𝑥, dengan 𝑦ₒ ialah nilai 𝑦 ketika

𝑥 = 1

4𝜋.

3. Sebuah silinder bulat tertutup, tinggi 16 cm dan jejari r cm, mempunyai jumlah luas

permukaan 𝐴 cm2. Buktikan bahawa 𝑑𝐴

𝑑𝑟 = 4𝜋 𝑟 + 8 . Dengan menggunakan hasil ini

dan mengekalkan ketinggian silinder, dapatkan hampiran untuk tambahan luas apabila

jejari bertambah dari 4 cm ke 4.02 cm.

4. Fungsi 𝑦 ditakrifkan sebagai 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥2. Tuliskan terbitannya dan tunjukkan bahawa

apabila 𝑥 = 5, satu tambahan kecil dalam 𝑥 sebanyak 𝑃% menyebabkan tambahan

dalam 𝑦 sebanyak 1

17𝑃%.

5. Sebuah belon berbentuk sfera dengan jejari 9 cm ditiup supaya jejari bertambah sebanyak

0.17 cm. Dapatkan hampiran peratus perubahan luas dan isi padu.

7.2 Kadar Perubahan

Kita telah pelajari bahawa terbitan pertama atau 𝑑𝑦/𝑑𝑥 bagi lengkungan 𝑦 = 𝑓(𝑥)

merupakan kecerunan tangen, dan ini dikatakan juga sebagai kadar perubahan 𝑦 terhadap

𝑥.

Contoh-contoh yang berkaitan dengan kadar perubahan diberikan seperti berikut:

a) 𝑑𝑉

𝑑𝑟 ialah kadar perubahan isipadu 𝑉 terhadap jejari 𝑟.

Latihan Formatif 7.1


b) 𝑑𝑊

𝑑𝑡ialah kadar perubahan berat 𝑊 terhadap masa 𝑡.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑡÷

𝑑𝑥

𝑑𝑡 =

kadar perubahan bagi 𝑦

kadar perubahan bagi 𝑥

Contoh 7.3

Anggap bahawa minyak yang tumpah daripada sebuah tangki yang bocor merebak dalam

bulatan dengan jejari menokok pada kadar 2 m/s. Secepat manakah tumpahan minyak itu

menyebar sesaat ketika jejari tumpahan itu 50 m.

Penyelesaian:

Rajah 7.1

Misalkan 𝑡 = masa (dalam saat) berlalu ketika minyak tumpah

𝑟 = jejari tumpahan dalam meter setelah 𝑡 saat

𝐴 = luas tumpahan dalam meter persegi setelah 𝑡 saat

Untuk setiap ketika:

Kadar jejari menokok terhadap masa ialah 𝑑𝑟

𝑑𝑡,

Kadar luas menokok terhadap masa ialah 𝑑𝐴

𝑑𝑡.

Kita ingin mencari kadar luas tumpahan menokok pada ketika 𝑟 = 50, iaitu 𝑑𝐴

𝑑𝑡 𝑟 = 50 .

Diberi jejari menokok dengan kadar malar 3 m sesaaat, 𝑑𝑟

𝑑𝑡= 3, untuk semua 𝑡.

TUMPAHAN MINYAK

Kalkulus Asas|170

Luas bulatan ialah 𝐴 = 𝜋𝑟2, maka 𝑑𝐴

𝑑𝑟= 2𝜋𝑟 dan dari rumus

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

𝑑𝐴

𝑑𝑟 .

𝑑𝑟

𝑑𝑡

= 2𝜋𝑟 𝑑𝑟

𝑑𝑡

= 2𝜋𝑟 3 = 6𝜋𝑟

Oleh itu, apabila 𝑟 = 50 luas tumpahan menokok pada kadar

𝑑𝐴

𝑑𝑡| = 6𝜋 50 = 300 𝜋 ≈ 943 m2 sesaat.

Contoh 7.4

Misalkan sejenis cecair akan ditapis dari endapan dengan menuangkannya ke dalam

penapis yang berbentuk kon. Diketahui bahawa tinggi kon ialah 15 cm dan jejari tapak kon

ialah 5 cm. Jika kadar cecair tertapis ialah 3 cm3 seminit, berapa cepat kedalaman cecair

menyusut ketika aras cecair ialah 9 cm tinggi.

Penyelesaian:

5 cm

Rajah 7.2

Misalkan t = masa berlalu daripada cerapan pertama (min)

𝑉 = isipadu cecair dalam kon pada ketika t (cm3)

𝑦 = kedalaman cecair dalam kon pada ketika t (cm)

𝑥 = jejari permukaan cecair pada masa t (cm)

𝑟 = 50

penapis

𝑥

𝑦

15 cm


Untuk setiap ketika:

Kadar isi padu cecair berubah ialah 𝑑𝑉

𝑑𝑡,

Kadar kedalaman cecair berubah ialah 𝑑𝑦

𝑑𝑡.

Kita perlu cari kadar kedalaman berubah pada ketika kedalaman ialah 𝑦 = 9 cm, iaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑦 = 9

Isi padu kon ialah 𝑉 = 1

3𝜋𝑥2𝑦.

Dari Rajah 7.2, 𝑥

𝑦=

5

15 atau 𝑥 =

1

3𝑦. Dengan demikian

𝑉 = 𝜋

27𝑦3

Dengan membezakan terhadap 𝑡: 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝜋

27(3𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑡)

atau 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

9

𝜋𝑦2

𝑑𝑉

𝑑𝑡

Oleh kerana isi padu cecair menyusut pada kadar malar 3 cm3 seminit, maka 𝑑𝑉

𝑑𝑡= −3,

dan

𝑑𝑦

𝑑𝑡| =

9

𝜋 9 2 (−3)

= −1

3𝜋 ≈ −0.11 cm seminit

Oleh itu, ketika y= 9 cm, kedalaman cecair menyusut pada kadar kira-kira 0.11 cm seminit

(tanda negatif bermaksud kedalaman air menyusut).

𝑦 = 9

Kalkulus Asas|172

1. 𝐴 ialah luas sebuah segi empat sama dengan panjang sisi 𝑥, dan dianggap 𝑥 berubah

menurut masa.

a) Bagaimana 𝑑𝐴

𝑑𝑡 dan

𝑑𝑥

𝑑𝑡 berkaitan?

b) Jika pada suatu ketika panjang sisi ialah 3 m dan menokok dengan kadar 2 m

seminit, maka secepat manakah luas menokok pada ketika itu?

2. 𝑉 merupakan isi padu sebuah silinder dengan ketinggian 𝑕 dan jejari 𝑟, dan dianggap 𝑕

dan 𝑟 berubah mengikut masa.

a) Bagaimanakah 𝑑𝑕

𝑑𝑡,𝑑𝑉

𝑑𝑡 dan

𝑑𝑟

𝑑𝑡 berkaitan?

b) Pada suatu ketika ketinggian silinder ialah 6 m dan menokok dengan kadar 1

m seminit, manakala panjang jejari 10 cm dan menyusut dengan kadar 1 cm

sesaat. Secepat manakah isi padu berubah pada ketika ini? Adakah isi padu

menokok atau menyusut pada ketika ini?

3. Rajah 7.3 menunjukkan sebatang tangga yang tersandar pada dinding tegak. Hujung

bahagian bawah terletak di atas tanah mendatar. Tangga dengan panjang 9 m ini

menggelongsor dengan hujung bawah bergerak pada kadar 1 m sesaat. Berapa cepatkah

hujung atas menuruni dinding ketika tangga berada 3 m dari dinding.

4. Seorang yang tingginya 2 m berjalan dengan kadar 1 m sesaat mendekati sebuah lampu

di jalan yang berada di atas tiang yang setinggi 10 m.

a) Berapakah kadar susutan panjang bayangnya?

b) Berapakah kadar susutan hujung bayangnya bergerak apabila dia berada

sejauh 6 m dari tiang lampu tersebut?

TANAH DATAR

Rajah 7.3


1 ms−1

DINDING TANGGA


7.3 Gerakan pada Satu Garis Lurus

Satu pencapaian yang besar dalam bidang matematik pada abad ke-17 ialah kejayaan

untuk memperihalkan gerakan secara matematik. Kalkulus telah menemukan jawapan untuk

tujuan ini. Penggabungan dengan ilmu fizik membawa kepada pemahaman yang lebih baik

dalam banyak bidang sains dan teknologi.

Setiap jasad mempunyai bentuk dan ukuran masing-masing. Jasad ini ketika bergerak boleh

berputar pada lintasannya dalam ruang. Namun demikian kita akan permudahkan

keperihalan gerakan seperti ini dengan menganggap jasad itu sebagai sebutir zarah. Secara

matematik, sebutir zarah merupakan satu titik geometri, dan kita boleh abaikan semua sifat

jasad itu kecuali gerakannya di sepanjang suatu lintasan. Kebanyakan jasad nyata, seperti

bintang, planet, roket, bola dan atom, diperlakukan sedemikian itu. Gerakan paling

sederhana yang boleh kita kaji ialah gerakan dalam garis lurus. Anjakan bagi sebutir zarah

ialah suatu kuantiti vektor dengan jarak diukur dari suatu titik atau asalan. Dalam Rajah 7.4

berikut lintasan gerakan ialah sepanjang paksi-x. Titik A mempunyai anjakan xA= 3 dari

asalan O, dan titik B mempunyai anjakan xB = -2 meter dari asalan O.

B 0 A

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x, meter

Rajah 7.4

Tanda negatif pada xB = -2 merupakan bahagian penting bagi nilai anjakan. Halaju bagi

sebiji zarah merupakan kadar anjakan berubah menurut masa. Ketika zarah itu bergerak di

sepanjang paksi –𝑥, jika anjakannya 𝑥 ditentukan pada setiap ketika bagi masa 𝑡, maka kita

dapat menulis anjakan itu sebagai suatu fungsi yang boleh dibezakan terhadap masa,

𝑥 = 𝑥 𝑡 dengan 𝑡 ≥ 0

Halaju seketika 𝑣 bagi sebutir zarah ialah terbitan 𝑑𝑥

𝑑𝑡, iaitu

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡, dengan 𝑥 merupakan anjakan dan 𝑡 ialah masa.

Kalkulus Asas|174

Halaju seketika ialah halaju zarah pada sebarang ketika bagi masa, dan tanda (positif atau

negatif) bagi halaju ini merupakan arah untuk gerakan di sepanjang suatu garisan lurus.

Gerakan ke kanan adalah positif dan gerakan ke kiri ialah negatif.

Contoh 7.5

Misalkan sebutir zarah 𝑃 bergerak di sepanjang paksi –𝑥 diberikan oleh persamaan

𝑥 𝑡 = 𝑡2 − 4𝑡 + 2

a) Dengan t diukur dalam saat dan 𝑥(𝑡) dalam meter saat. Huraikan gerakan 𝑃 dalam

tempoh 0 ≤ 𝑡 ≤ 5.

b) Cari pecutan bagi zarah tersebut.

Penyelesaian:

a) 𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑡 − 4 .

Untuk menghuraikan gerakan zarah itu kita buat jadual berikut:

Masa, 𝑡 (s) 0 1 2 3 4 5

Anjakan, 𝑥 (m) 2 -1 -2 -1 2 7

Halaju , 𝑣 ( ms−1) -4 -2 0 2 4 6

Pada awal gerakan, apabila 𝑡 = 0 s, zarah berada di 𝑥 = 2 dan bergerak ke kiri dengan

kadar 4 ms-1.

Ketika 𝑡 = 1 s, zarah berada di 𝑥 = −1 m. Zarah masih bergerak ke kiri tetapi perlahan

dengan kadar 2 ms−1.

Ketika 𝑡 = 2 s, zarah berada di 𝑥 = −2 m dan berhenti. Zarah sudah sampai kepada

penghujung gerakan ke kiri dan mula bergerak dengan arah terbalik iaitu ke kanan.

Ketika 𝑡 = 3 s, zarah berada pada 𝑥 = −1 m dan kini bergerak ke kanan dengan kadar

2 ms-1.

Ketika 𝑡 = 4 s, zarah kembali ke 𝑥 = 2 m dan bergerak ke kanan dengan kadar 4 ms-1.

Ketika 𝑡 = 5 s, zarah bergerak ke kanan sehingga ke 𝑥 = 7 m dengan kadar 6 ms-1.

Ketika 𝑡 menokok, zarah terus bergerak ke kanan, halaju menokok dengan kadar 2 ms-1

pada setiap saat yang berturutan. Apabila halaju bagi sebuah jasad yang bergerak berubah


dalam magnitud atau arah kedua-duanya, jasad itu dikatakan memecut. Pecutan sebutir

zarah ditakrifkan sebagai terbitan bagi halaju terhadap masa.

Pecutan 𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡, dengan 𝑣 merupakan halaju, dan 𝑡 ialah masa.

Untuk gerakan dalam garis lurus, 𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡. Oleh itu, pecutan merupakan terbitan kedua bagi

anjakan terhadap masa 𝑡,

𝑎 =𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡 =

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Unit terbitan 𝑑𝑣

𝑑𝑡 ialah ms-2.

b) Dapatkan persamaan bagi halaju

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡

= 2𝑡 − 4

Seterusnya, dapatkan pecutan

𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 2𝑡 − 4 = 2

= 2 ms-2

Kita dapati halaju menokok 2 ms−1 dalam setiap saat.

Contoh 7.6

Sebutir batu dilontarkan tegak ke atas dari sebuah bukit 10 m di atas permukaan tanah

dengan halaju awal 23 ms-1. Setelah 𝑡 saat, ketinggian batu dari tanah diberikan oleh

𝑠 = −5𝑡2 + 23𝑡 + 10

a) Cari masa untuk batu sampai ke kedudukan tertinggi dari tanah?

b) Berapakah ketinggian maksimum yang dicapai?

c) Cari masa batu untuk mengenai tanah?

Kalkulus Asas|176

Penyelesaian:

Rajah 7.5

Anjakan, 𝑠 = −5𝑡2 + 23𝑡 + 10

Halaju, 𝑣 = 𝑑𝑠

𝑑𝑡= −10𝑡 + 23

a) Pada kedudukan puncak, 𝑣 = 0; maka

−10𝑡 + 23 = 0

𝑡 =23

10= 2.3

b) Ketinggian maksimum dicapai dalam masa 2.3 s, oleh itu

𝑠 = −5 2.3 2 + 23 2.3 + 10

= 36.45 m

c) Ketika di tanah,

𝑠 = 0

−5𝑡2 + 23𝑡 + 10 = 0

5𝑡 + 2 𝑡 − 5 = 0

Dipilih nilai 𝑡 positif sahaja, iaitu 𝑡 = 5. Masa batu mengenai tanah ialah 5 saat setelah

loncatan.

10 m


1. Sebutir zarah bergerak di sepanjang garis lurus mengikut persamaan

𝑠 =1

2𝑡2 +

4𝑡

𝑡+1.

dengan 𝑠 merupakan jarak zarah dari asalan pada masa 𝑡. Jika halaju ialah 𝑉 cm 𝑠−1

dan pecutan ialah 𝑎 cm 𝑠−2 pada masa 𝑡 saat, cari 𝑡, 𝑠 dan 𝑉 apabila 𝑎 = 0.

2. Sebutir zarah 𝑃 bergerak di sepanjang paksi –𝑥, sehingga pada ketika 𝑡, anjakannya 𝑥 ,

dari asalan diberikan oleh 𝑥 = kos 𝑛𝑡, dengan 𝑏 dan 𝑛 merupakan pemalar. Buktikan

bahawa, jika pada ketika 𝑡, halaju 𝑃 ialah 𝑣, dan pecutan ialah 𝑎, maka

i) 𝑣2 = 𝑛2(𝑏2− 𝑥2)

ii) 𝑎 = −𝑛2

Buktikan bahawa pada ketika 𝑡 +2𝜋

𝑛, anjakan, halaju dan pecutan 𝑃 itu sama adalah

seperti 𝑡.

7.4 Kecerunan lengkung pada satu titik

Kecerunan di sebarang titik ditakrifkan sebagai kecerunan garis tangen pada lengkung di

titik tersebut. Sila lihat Rajah 7.6 berikut:

Rajah 7.6


𝑦

𝑥

O

𝐵

𝐴

𝑇

𝑃

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Kalkulus Asas|178

Andaikan 𝑃𝑇 ialah garisan tangen pada lengkung di titik 𝑃. Katakan titik 𝑃 bergerak di

sepanjang lengkung 𝐴𝐵. Kita akan dapati, apabila 𝑃 bergerak dari 𝐴 ke 𝐵, garis tangen

pada lengkung itu juga turut berubah. Dengan perkataan lain, kecerunan garis tangen pada

lengkung juga turut berubah dan boleh diperolehi dengan menggantikan koordinat titik itu

dalam 𝑑𝑦

𝑑𝑥 atau 𝑓′(𝑥).

Contoh 7.7

Dapatkan kecerunan lengkung 𝑦 = 𝑥3 + 18𝑥 − 3 di titik (4,12).

Penyelesaian:

𝑦 = 𝑥3 + 18𝑥 − 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 + 18

Apabila 𝑥 =4 , 3(4)2 + 18 = 66

Oleh yang demikian kecerunan lengkung 𝑦 = 𝑥3 + 18𝑥 − 3 di titik (4, 12) ialah 66.

7.4.1 Persamaan Garis Tangen pada Lengkung

Persamaan tangen pada suatu lengkung di suatu titik ditakrifkan sebagai persamaan garis

lurus yang menyentuh hanya pada di satu titik pada lengkung tersebut. Untuk mendapatkan

persamaan garis tangen pada lengkung di titik tertentu, kita perlu dapatkan kecerunan garis

tangen pada lengkung tersebut.

Rajah 7.7

𝐴

Normal

Tangen

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦


Contoh 7.8

Cari persamaan garis tangen pada parabola 𝑦 = 2𝑥2 − 7𝑥 + 2, di titik (2, -2).

Penyelesaian:

𝑦 = 2𝑥2 − 7𝑥 + 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥 − 7

Kecerunan lengkung di 𝑥 = 2 ialah

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥 = 2 = 4 2 − 7 = 1

Jadi kecerunan garis tangen pada lengkung di 𝑥 = 2 ialah 1. Apabila 𝑥 = 2, nilai 𝑦 =

2(2)2 − 7 2 + 2 = −4. Dengan menggunakan rumus persamaan rumus garis lurus, kita

akan perolehi persamaan garis tangen pada lengkung 𝑦 = 2𝑥2 − 7𝑥 + 2 di titik (2,-2),

iaitu

𝑦 − 𝑘 = 𝑚(𝑥 − 𝑕)

𝑦 − (−2) = 1(𝑥 − 2)

𝑦 = 𝑥 − 4

Contoh 7.9

Cari persamaan tangen di titik (1,2) pada elips 2𝑥2 + 3𝑦2 = 36.

Penyelesaian:

2𝑥2 + 3𝑦2 = 36

Bezakan persamaan secara tersirat terhadap 𝑥, 4𝑥 + 6𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

4𝑥

6𝑦

Oleh itu kecerunan tangen di titik (1,2) ialah −4

12 atau −

1

3.

Persamaan tangen di (1,2) ialah

𝑦 − 2 = −1

3(𝑥 − 1)

Kalkulus Asas|180

atau 𝑥 + 3𝑦 = 7

Contoh 7.10

Titik 𝐴(4,1) terletak pada garis yang mempunyai persamaan 3𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0. Suatu

bulatan menyentuh garis ini di 𝐴 dan melalui titik B(5,3). Cari persamaan bulatan ini, dan

tunjukkan bahawa bulatan menyentuh paksi –𝑦.

Penyelesaian:

3

Rajah 7.8

Misalkan persamaan bulatan itu ialah

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑔𝑥 + 2𝑓𝑦 + 𝑐 = 0 (1)

Di titik 𝐴(4,1) 8𝑔 + 2𝑓 + 𝑐 + 17 = 0 (2)

Di titik 𝐵(5,3) 10𝑔 + 6𝑓 + 𝑐 + 34 = 0 (3)

Bezakan (1) terhadap 𝑥, kita dapatkan

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑥+𝑔

1+𝑓 (4)

Di titik 𝐴(4,1) bulatan menyentuh garis 3𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0. Ini bererti kecerunan tangen dan

garis di 𝐴 adalah sama. Oleh yang demikian, 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

4.

Selanjutnya dari (4) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

4+𝑔

1+𝑓=

3

4

4𝑔 + 3𝑓 + 19 = 0 (5)

(3)-(2) 2𝑔 + 4𝑓 + 17 = 0 (6)

(5)-2 x (6) −5𝑓 − 15 = 0, 𝑓 = −3

Seterusnya, 𝑔 = −5

2

𝑥

𝑦

𝐵

𝐴

3𝑥 − 4𝑦 − 8


𝑐 = 9

Dari (1) persamaan bulatan ialah 𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0

Apabila 𝑥=0, persamaan bulatan memberikan 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 0

(𝑦 − 3)2 = 0

𝑦 = 3

Oleh kerana hanya terdapat satu titik persilangan di antara paksi –𝑦 dengan bulatan ini,

maka bulatan ini menyentuh paksi –𝑦.

7.4.2 Persamaan Garis Normal pada Lengkung

Persamaan garis normal pada lengkung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik tertentu ditakrifkan

sebagai suatu garis lurus yang berserenjang dengan garis tangen pada lengkung di titik

yang sama. Rujuk Rajah 7.7.

Jika kecerunan garis tangen pada lengkung 𝑦 = 𝑓(𝑥) ialah 𝑚, maka kecerunan garis

normal ialah −1

𝑚.

Catatan: (kecerunan garis tangen) x (kecerunan garis normal) = -1

Contoh 7.11

Dapatkan persamaan garis normal pada lengkung 𝑦 = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 3 di titik (1,3).

Penyelesaian:

𝑦 = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 9𝑥2 − 4𝑥

Apabila 𝑥=1, 𝑦=3 = 9(1)2 − 4 1 = 5

Kecerunan garis normal untuk 𝑥=1 ialah −1

5.

Dengan menggunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui titik (1,3), kita akan

perolehi persamaan garis normal pada 𝑦 = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 3 di titik (1,3) iaitu

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − 𝑕

Kalkulus Asas|182

𝑦 − 3 = −1

5 𝑥 − 1

5𝑦 + 𝑥 = 16

Contoh 7.12

Buktikan bahawa persamaan garis normal pada hiperbola segi empat tepat 𝑥𝑦 = 𝑐2 di titik

𝑃 𝑐𝑝,𝑐

𝑝 ialah 𝑝𝑦 − 𝑝3𝑥 = 𝑐 1 − 𝑝4 . Jika normal ini menyilang hiperbola lagi di

𝑄 𝑐𝑞,𝑐

𝑞 , buktikan bahawa 𝑞 = −1/𝑝3.

Penyelesaian:

Rajah 7.9

𝑥𝑦 = 𝑐2 (1)

Bezakan terhadap 𝑥, kita dapat 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑐2

𝑝2

Di titik P(𝑐𝑝,𝑐

𝑝)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑝2

Jadi persamaan garis normal di 𝑃 ialah

𝑦 −𝑐

𝑝= 𝑝2(𝑥 − 𝑐𝑝)

𝑝𝑦 − 𝑝3𝑥 = 𝑐(1 − 𝑝4) (2)

Dari (1) dan (2) 𝑝 𝑐2

𝑝 − 𝑝3𝑥 = 𝑐 1 − 𝑝4

O

y

x

𝑃(𝑐𝑝, 𝑐/𝑝)

𝑄(𝑐𝑞, 𝑐/𝑞)

𝑥𝑦 = 𝑐2


𝑝3𝑥2 + 𝑐𝑥 1 − 𝑝4 − 𝑝𝑐2 = 0

𝑥 − 𝑝 𝑝3𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥 = 𝑐𝑝 atau −𝑐

𝑝3

Oleh itu koordinat 𝑥 di 𝑄 ialah −𝑐

𝑝3= 𝑐𝑞 dan seterusnya 𝑞 = −

1

𝑝3, terbukti.

1. Dapatkan kecerunan bagi setiap lengkung berikut pada titik 𝑥 yang dinyatakan

a) 𝑦 = 𝑥𝑘𝑜𝑠 3𝑥 di 𝑥 = 𝜋

b) 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 di 𝑥 = −2

c) 5 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 di 𝑥 = 1

d) 𝑦 = 𝑥 −1

𝑥

3

di 𝑥 = 2

2. Dapatkan koordinat titik 𝑃(𝑥, 𝑦) pada lengkungan 𝑦 = 3𝑥2 − 8𝑥 + 5 jika kecerunan

lengkung di titik tersebut ialah 4.

3. Dapatkan persamaan garis tangen dan persamaan garis normal pada setiap lengkung

yang berlaku di titik yang dinyatakan.

a) 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 1 di (1,2)

b) 𝑦 = 𝑥 − 2 𝑥2 + 1 di −1, −6

c) 𝑦 = 2𝑥2 − 9𝑥 − 5 di 2, −15

d) 𝑦 = 2𝑥 di (2,2)

7.5 Maksimum dan minimum

Bahagian ini membincangkan mengenai ujian maksimum dan minimum, nilai maksimum dan

minimum suatu fungsi dalam suatu selang dan penggunaan maksimum dan minimum

mutlak.


Kalkulus Asas|184

7.5.1 Ujian maksimum dan minimum

Bentuk graf bagi fungsi adalah berkaitan dengan persamaan aljabar, dan daripada analisis

bagi persamaan itu kita boleh tentukan sifat- sifat graf tersebut.

Untuk sebarang dua nilai 𝑥, misalkan 𝑥1 dan 𝑥2 dengan 𝑥1<𝑥2,

𝑓(𝑥) menokok jika 𝑓(𝑥2)>𝑓(𝑥1).

𝑓(𝑥) menokok jika 𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1).

𝑓 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥2) 𝑓(𝑥2)

𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥1)

𝑥 𝑥

0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥1 𝑥2

𝑓(𝑥2)>𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1)

fungsi menokok fungsi menyusut

Rajah 7.10

Tanpa memplot graf sesuatu fungsi kita boleh tentukan di mana fungsi akan menokok dan

menyusut. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) ialah fungsi yang selanjar dan boleh beza pada selang terbuka

𝑎 < 𝑥 < 𝑏, maka petua ini berlaku :

jika 𝑓 ′ 𝑥 > 0, maka 𝑦 = 𝑓(𝑥) menokok pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

jika 𝑓 ′ 𝑥 < 0, maka 𝑦 = 𝑓(𝑥) menyusut pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.


Jika sesuatu fungsi menokok pada suatu selang, maka garis tangen kepada graf

mempunyai kecerunan positif di mana –mana pada selang itu (Rajah 7.11).

𝑦 𝑦 𝑦

0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥

Fungsi menokok

Kecerunan positif di mana - mana

Rajah 7.11

Jika fungsi menyusut pada suatu selang, maka garis tangen kepada graf mempunyai

kecerunan negatif di mana- mana pada selang itu (Rajah 7.12).

𝑦 𝑦 𝑦

0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥

Fungsi menyusut

Kecerunan negatif di mana - mana

Rajah 7.12

Kalkulus Asas|186

𝑦 menokok menyusut menokok

𝑦

0 𝑥

Rajah 7.13

Ada kemungkinan untuk suatu fungsi menokok pada satu selang dalam domainnya dan

menyusut pada satu selang lain (Rajah 7.13).

Contoh 7.13

Gunakan ujian untuk fungsi menokok dan menyusut bagi menentukan selang - selang di

mana fungsi maka 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 𝑥2 menokok atau menyusut.

Penyelesaian:

Mula- mula dapatkan terbitan 𝑓′ 𝑥 = 6 − 2𝑥.

Kemudian gunakan ujian untuk fungsi menokok,

𝑓 ′ 𝑥 > 0 memberikan 6 − 2𝑥> 0

6 > 2𝑥 atau 𝑥< 3.

Fungsi menokok pada selang 𝑥< 3.

Dengan menggunakan ujian untuk fungsi menyusut,

𝑓 ′ 𝑥 < 0 memberikan 6− 2𝑥< 0

6 < 2𝑥 atau 𝑥 > 3.

Menokok menokok

menyusut


Fungsi menyusut pada selang 𝑥> 3

Sebagai ilustrasi rujuk Rajah 7.14 di bawah:

𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥> 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥< 0

0 𝑥

menokok menyusut

Rajah 7.14

Suatu lengkung dikatakan cekung atau cembung di 𝑃 jika, pada sekitar 𝑃, lengkuk terletak,

masing- masing, di atas atau di bawah garis tangen di 𝑃 (Rujuk Rajah 7.15).

𝑦 𝑦

𝑃

cekung

𝑃 cembung

0 𝛼 𝑥 0 𝛼 𝑥

Rajah 7.15

3

Kalkulus Asas|188

Perhatikan lengkung berikut ini.

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥o)

0 a 𝑥o b 𝑥1 𝑥2 𝑥

Rajah 7.16

Lakaran menunjukkan lengkung bagi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan beberapa ciri penting yang akan

kita kaji dalam bahagian ini.

Lengkung menokok di 𝑥 = 𝑎 dan garis tangen mempunyai kecerunan positif, 𝑓 ′ 𝑎 > 0.

Keadaan ini berterusan sehingga ke 𝑥 = 𝑥o di mana garis tangen adalah mendatar iaitu

𝑓′(𝑥o) = 0.

Ketika 𝑥o <𝑥 <x1, lengkung berubah menjadi menyusut dan kecerunan garis tangen adalah

negatif, umpamanya 𝑓′(𝑏)< 0.

Pada 𝑥 = 𝑥1, 𝑓(𝑥1) = 0 tetapi had𝑥→𝑥1𝑓 ′(𝑥) tidak wujud, kerana kecerunan berubah

secara mendadak, iaitu

had𝑥→𝑥1− 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚 dan had𝑥→𝑥1

+ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛 dengan 𝑚 ≠ 𝑛.

Setelah itu kecerunan lengkung berubah semula menjadi positif iaitu lengkung kembali

menokok sehingga 𝑥 = 𝑥2 di mana kecerunan lengkung sifar, iaitu 𝑓 ′(𝑥2) = 0. Seterusnya

kecerunan lengkung sentiasa positif.

Dari segi bentuk, lengkung adalah cembung ketika 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 . Sementara itu lengkung

adalah cengkung di sekitar 𝑥 = 𝑥1. Selanjutnya pada 𝑥 = 𝑥2 lengkung berubah bentuk dari

cembung kepada cengkung. Titik – titik pada lengkung yang sepadan dengan 𝑥𝑜 , 𝑥1 dan 𝑥2

merupakan tumpuan dalam perbincangan kita.


Takrif 7.1 Titik Genting

Titik ( c, 𝑓(𝑐))pada suatu fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan titik genting jika berlaku 𝑓 ′ 𝑐 = 0 atau

𝑓 ′ 𝑐 tidak wujud.

Rujuk Rajah 7.17. Menurut takrif, titik–titik (𝑥0 ,𝑓 𝑥 ), 𝑥1,𝑓 𝑥1 dan 𝑥2, 𝑓 𝑥2 pada

lengkung ialah titik-titik genting. Seterusnya 𝑥𝑜 , 𝑥1, 𝑥2 dikatakan nilai-nilai genting.

Perlu diketahui bahawa jika𝑓 ′ 𝑥 ialah fungsi kuadratik atau peringkat lebih tinggi, maka

ada kemungkinan terdapat lebih dari satu nilai genting.Kita telah membicarakan ciri- ciri

penting untuk titik maksimum dan minimum.

Ujian Terbitan Pertama

Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑥 merupakan lengkung yang diberikan.

1. 𝑓 ′ 𝑥 = 0 atau tidak wujud, menghasilkan titik genting.

2. Titik genting ialah titik maksimum jika 𝑓 ′ 𝑥 berubah tanda dari positif kepada negatif

ketika 𝑥 menokok melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cembung (Rajah

7.17).

3. Titik genting ialah titik minimum jika 𝑓 ′ 𝑥 berubah tanda dari negatif kepada positif ketika 𝑥 menokok melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cengkung (Rajah 7.18).

𝑦 𝑦

𝑓 𝑥𝑜 = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥)

+ − + −

𝑦 = 𝑓′ 𝑥 𝑦 = 𝑓′(𝑥𝑜)

0 𝑥𝑜 𝑥 0 𝑥𝑜 𝑥

Rajah 7.17 Rajah 7.18

Kalkulus Asas|190

Contoh 7.14 Dapatkan titik-titik maksimum dan minimum bagi fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berikut:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 − 5 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥2 + 15𝑥 − 5 c) 𝑓 𝑥 = 𝑥

d) 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥2

3)3

2

Penyelesaian:

a) 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 8. Titik genting diperolehi apabila𝑓 ′ 𝑥 = 0.

Dengan demikian 𝑥 = 4 ialah nilai genting.

Untuk 𝑥 < 4, 𝑓 ′ 𝑥 < 0,

Untuk 𝑥 > 4, 𝑓 ′ 𝑥 > 0 . .

Nilai 𝑥 2 4 8

Tanda 𝑓′(𝑥) - 0 +

Lakaran kecerunan ↘ → ↗

Bentuk graf Cekung

Oleh itu titik genting (4, -21) ialah titik minimum, kerana 𝑓′(𝑥) berubah daripada negatif

kepada positif atau graf berbentuk cekung.

b) 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥2 − 18𝑥 + 15 = 3 𝑥 − 5 (𝑥 − 1).

Titik genting diperolehi apabila 𝑓 ′ 𝑥 = 0.

Dengan demikian 𝑥 = 1,5 merupakan nilai- nilai genting.

Apabila 𝑥 = 1,

Untuk 𝑥 > 1, 𝑓 ′ 𝑥 < 0.

Untuk 𝑥< 1, 𝑓 ′ 𝑥 > 0.


Nilai𝑥 1

2 1

3

2

Tanda 𝑓′(𝑥) + 0 -

Lakaran kecerunan ↗ → ↘

Bentuk graf Cembung

Oleh kerana 𝑓′(𝑥) berubah menjadi daripada positif kepada negatif, iaitu graf berbentuk

cembung, maka titik genting (1,2) ialah titik maksimum.

Apabila 𝑥 = 5,

Untuk 𝑥 < 5, 𝑓 ′ 𝑥 < 0.

Untuk 𝑥 > 5, 𝑓 ′ 𝑥 > 0.

Nilai𝑥 2 5 7



Bentuk graf Cekung

Oleh kerana 𝑓′(𝑥) berubah dari negatif ke positif, iaitu graf berbentuk cekung, maka titik

genting (5,-30) ialah titik minimum.

c) Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑥, untuk 𝑥 > 0 0, untuk 𝑥 = 0

−𝑥, untuk 𝑥 < 0

𝑓 𝑥 tidak wujud di 𝑥 = 0, sebab 𝑓′(𝑥) untuk 𝑥 > 0 dan 𝑓 ′ 𝑥 = −1 untuk 𝑥 < 0.

Dengan demikian 𝑥 = 0 ialah titik genting.

Untuk 𝑥 < 0,𝑓 ′ 𝑥 < 0.

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 ′ 𝑥 > 0.

Kalkulus Asas|192

Nilai𝑥 − 1

2 0

1

2

Tanda 𝑓′(𝑥) - ? +

Lakaran kecerunan ↘ ? ↗

Bentuk graf Cekung

Oleh kerana 𝑓′(𝑥) berubah daripada negatif kepada positif, iaitu graf berbentuk cekung, titik

genting (0,0) ialah titik minimum.

𝑦 = (1 − 𝑥23)

32

Rajah 7.19

d) 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥2

3)3

2

Untuk graf fungsi ini sila rujuk Rajah 7.19

𝑓 ′ 𝑥 = − 1 − 𝑥2

3

1

2𝑥−

1

3 tidak wujud di 𝑥 = 0, sebab kecerunan tidak sama di

sebelah kiri dan sebelah kanan 𝑥 = 0.

Dengan demikian 𝑥 = 0 ialah titik genting.

Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 ′ 𝑥 > 0.

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 ′ 𝑥 < 0.


Nilai𝑥 −1

2 0

1

2



Bentuk graf Cembung

Oleh kerana𝑓′(𝑥) berubah daripada positif kepada negatif, iaitu graf berbentuk cembung,

titik genting (0,1) ialah titik maksimum.

Nilai maksimum mutlak bagi suatu fungsi ialah titik di mana nilai terbesar bagi fungsi

dicapai untuk seluruh domain fungsi tersebut. Sebaliknya, nilai minimum mutlak bagi suatu

fungsi ialah titik di mana nilai terkecil bagi fungsi dicapai untuk seluruh domain fungsi. Graf

bagi seluruh domain fungsi merupakan lengkung di mana fungsi tersebut tertakrif.

𝑦 𝑦

titik maksimum mutlak 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑓 𝑥 titik minimum mutlak

0 𝑥 0 𝑥

Rajah 7.20

Nilai maksimum relatif atau maksimum setempat, bagi suatu fungsi berlaku di mana fungsi

itu mempunyai suatu nilai yang terbesar daripada sebarang titik berjiranan (umpamanya

selang terbuka). Nilai minimum relatif atau minimum setempat, bagi suatu fungsi berlaku di

mana fungsi itu mempunyai suatu nilai yang terkecil daripada sebarang titik berjiranan. Nilai

maksimum atau minimum sering disebut sebagai nilai- nilai ekstremum bagi fungsi tersebut.

Sebagai ilustrasi, sila lihat Rajah 7.16. Fungsi mempunyai nilai maksimum setempat di 𝑥𝑜

sebab terdapat selang terbuka yang mengandungi 𝑥𝑜 dengan 𝑓 𝑥𝑜 ≥ 𝑓(𝑥)

berlaku. Kita juga lihat pada selang ini lengkung cembung (lihat selang (a,b)). Namun

demikian 𝑓 𝑥𝑜 bukan nilai maksimum mutlak sebab 𝑓 𝑥𝑜 bukan nilai terbesar untuk

Kalkulus Asas|194

pada seluruh domain. Pada 𝑥 = 𝑥𝑜 , fungsi 𝑓(𝑥) mempunyai kedua- dua nilai minimum

mutlak dan tempatan.

Dalam perbincangan selanjutnya, istilah maksimum dan minimum akan digunakan, masing-

masing untuk maksimum setempat dan minimum setempat. Suatu fungsi mempunyai suatu

maksimum tempatan apabila lengkung cembung dengan satu garis tangen mendatar di

sebelah atas, dan suatu fungsi mempunyai suatu minimum setempat apabila lengkung

cekung dengan satu garis tangen mendatar di sebelah bawah ( Rajah 7.17 dan Rajah 7.18)

Pengetahuan ini cuba dikaitkan dengan pembezaan. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) mewakili suatu fungsi,

maka terbitan kedua ialah

𝑓 ′′ = had𝛿𝑥→𝑜

𝑓 ′ 𝑥 + 𝛿𝑥 − 𝑓′(𝑥)

𝛿𝑥

= had 𝛿𝑥→𝑜𝑓 ′ 𝑥 −𝑓 ′(𝑥−𝛿𝑥 )

𝛿𝑥

Jika 𝑥 = 𝑥𝑜 ialah nilai genting dan graf cembung, kecerunan di jiranan 𝑥 = 𝑥𝑜 berubah

daripada positif kepada negatif maka


𝑓 ′ 𝑥𝑜 − 𝑓′(𝑥𝑜 − 𝛿𝑥)

𝛿𝑥

= had 𝛿𝑥→𝑜0−𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 (+)

𝛿𝑥

= nilai (-)

Begitu juga,


𝑓 ′ 𝑥𝑜 + 𝛿𝑥 − 𝑓′(𝑥𝑜)

𝛿𝑥

= had 𝛿𝑥→𝑜𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 − −0

𝛿𝑥

= nilai (-)


Oleh yang demikian 𝑓"(𝑥𝑜) < 0.

Kesimpulannya bahawa lengkung 𝑦 = 𝑓(𝑥), untuk 𝑥 sekitar 𝑥𝑜 , berbentuk cembung jika

𝑓"(𝑥) < 0.

𝑓 ′′ 𝑥 < 0

cembung

𝑓” 𝑥 > 0

cekung

𝑥

maksimum minimum tempatan tempatan

Rajah 7.21

Sebaliknya, jika 𝑥 = 𝑥𝑜 ialah nilai genting, graf cekung, kecerunan pada kejiranan

𝑥 = 𝑥𝑜 berubah daripada negatif kepada positif maka


𝑓 ′ 𝑥𝑜 − 𝑓′(𝑥𝑜 − 𝛿𝑥)

𝛿𝑥

= had 𝛿𝑥→𝑜0−𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 (−)

𝛿𝑥

= nilai (+)

Begitu juga,


𝑓 ′ 𝑥𝑜 + 𝛿𝑥 − 𝑓′(𝑥𝑜)

𝛿𝑥

= had 𝛿𝑥→𝑜𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 + −0

𝛿𝑥

= nilai (+)

Oleh yang demikian 𝑓"(𝑥𝑜) > 0.

Kalkulus Asas|196

Kita ambil kesimpulan bahawa lengkung 𝑦 = 𝑓(𝑥), untuk 𝑥 sekitar 𝑥𝑜 , berbentuk cekung

jika 𝑓"(𝑥𝑜) > 0.

Kita ringkaskan maklumat tadi seperti berikut:

Ujian Terbitan Kedua

Katakan lengkung 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai nilai genting di 𝑥 = 𝑥𝑜 .

1. Jika 𝑓"(𝑥𝑜) < 0, graf berbentuk cembung dan 𝑓(𝑥) mempunyai nilai maksimum

pada 𝑥 = 𝑥𝑜 .

2. Jika 𝑓"(𝑥𝑜) > 0, graf berbentuk cekung dan 𝑓 𝑥 mempunyai nilai minimum

di 𝑥 = 𝑥𝑜 .

3. Jika 𝑓"(𝑥𝑜) = 0, atau tidak wujud, ujian terbitan kedua gagal dan ujian terbitan

pertama mesti digunakan untuk menentukan sifat graf tadi pada 𝑥 = 𝑥𝑜 .

Contoh 7.15

Tentukan sebarang nilai maksimum dan minimum bagi 𝑓 𝑥 =1

3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 7.

Penyelesaian:

𝑓′ 𝑥 = 0, iaitu 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 + 1 𝑥 − 5 = 0, menghasilkan nilai-nilai genting 𝑥 = −1,5.

Dengan ujian terbitan kedua,

𝑓"(𝑥) = 2𝑥 − 4

𝑓"(𝑥) < 0 untuk 𝑥 pada sekitar 𝑥 = 1 .

𝑓 1 =1

3

Jadi 𝑓(𝑥) mempunyai nilai maksimum 1

3 ketika 𝑥 = 1.

𝑓"(𝑥) > 0 untuk 𝑥 pada sekitar 𝑥 = 3.

𝑓 3 = −17

Jadi 𝑓(𝑥) mempunyai nilai minimum -17 ketika 𝑥 = 3 .


Nilai𝑥 1

2 1

5

2



Tanda 𝑓"(𝑥) - - -

Bentuk graf cembung

Nilai 𝑥 3

2 3

9

2



Tanda 𝑓"(𝑥) + + +

Bentuk graf Cekung

Contoh 7.16

Dapatkan titik maksimum dan minimum bagi fungsi 𝑓 𝑥 = 2 sin 𝑥 + 𝑘𝑜𝑠 2𝑥.

Penyelesaian:

Oleh kerana fungsi ini berkala dengan kalaan 2𝜋, maka cukuplah jika dikaji hanya dalam

selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

Terbitan pertama

𝑓 ′ 𝑥 = 2 kos 𝑥 − 2 sin 2𝑥

= 2(kos 𝑥 − 2 sin𝑥 kos 𝑥)

= 2 kos 𝑥(1 − 2 sin 𝑥)

Kalkulus Asas|198

Apabila 𝑓 𝑥 = 0, iaitu 2kos𝑥(1 − 2 sin 𝑥) = 0, memberikan 𝑥 =𝜋

6,𝜋

2,

5𝜋

6,

2𝜋

2 sebagai

nilai- nilai genting.

𝑦 = 2 sin 𝑥 + 𝑘𝑜𝑠 2𝑥

−𝜋

2

𝜋

6

𝜋

2

5𝜋

6 𝜋

3𝜋

2 2𝜋

Rajah 7.22

Dengan ujian terbitan kedua,

𝑓"(𝑥) = −2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑘𝑜𝑠 2𝑥 = −2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑘𝑜𝑠2𝑥)

Di 𝑥 =𝜋

6, 𝑓"(

𝜋

6) = −2(

1

2) − 4(

1

2) = −3 < 0

𝑓(𝜋

6) = 2(

1

2) +

1

2=

3

2.

Jadi (𝜋

6,

3

2) ialah titik maksimum.

Di 𝑥 =𝜋

2, 𝑓”

𝜋

2 = −2 1 − 4 −1 = 2 > 0

𝑓 𝜋

2 = 2 1 − 1 = 1

Jadi (𝜋

2, 1) ialah titik minimum.

Di 𝑥 =𝜋

2, 𝑓”

5𝜋

6 = −2

1

2 − 4

1

2 = −3 < 0


𝑓 5𝜋

6 = 2

1

2 +

1

2= (

3

2)

Jadi 5𝜋

6,

3

2 ialah titik maksimum.

Di 𝑥 =3𝜋

2, 𝑓”

3𝜋

2 = −2 −1 − 4 −1 = 6 > 0

𝑓 3𝜋

2 = 2 −1 − 1 = −3

Jadi 3𝜋

2, −3 ialah titik minimum.

Sekarang kita kaji keadaan di mana nilai genting di 𝑥 = 𝑥𝑜 mempunyai sifat 𝑓"(𝑥𝑜) = 0.

Jika hal ini terjadi maka terdapat tiga kemungkinan bagi titik berkenaan :

i) Titik maksimum

ii) Titik minimum

iii) Titik lengkok balas

Apabila 𝑓"(𝑥𝑜) = 0, titik genting sama ada maksimum atau minimum boleh ditentukan

dengan merujuk kembali kepada kaedah ujian pertama seperti dalam Contoh 7.19. Rajah

7.23 dan Rajah 7.24 berikut mengilustrasikan dua kes pertama di atas.

𝑦 = 1 − 𝑥4 𝑦 = 𝑥6

Rajah 7.23 Rajah 7.24

Kalkulus Asas|200

Contoh 7.17

Uji fungsi - fungsi berikut untuk maksimum dan minimum :

a) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥4

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥6

Penyelesaian:

a) 𝑓 ′ 𝑥 = −4𝑥3. Apabila 𝑓 ′ 𝑥 = 0, maka 𝑥 = 0.

𝑓"(𝑥) = −12𝑥2. Apabila 𝑥 = 0, maka 𝑓"(𝑥) = 0. Ujian gagal.

Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 ′ 𝑥 > 0 .

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 ′ 𝑥 < 0 .

Nilai𝑥 −1

2 0

1

2



Tanda graf 𝑓"(𝑥) - 0 -

Bentuk graf cembung

Oleh yang demikian di 𝑥 = 0 fungsi maksimum, iaitu 𝑓 0 = 1.

b) Dengan ujian terbitan kedua :

i) 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥5, 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥5 = 0, 𝑥 = 0

ii) 𝑓"(𝑥) = 30𝑥4, 𝑓"(𝑥) = 0.

Jadi kaedah ujian ini tidak menghasilkan sebarang keputusan.


Nilai𝑥 −1

2 0

1

2



Tanda graf 𝑓”(𝑥) + 0 +

Bentuk graf Cekung

Dengan ujian terbitan pertama,

Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 ′ 𝑥 < 0,

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 ′ 𝑥 > 0,

jadi di 𝑥 = 0 fungsi minimum, iaitu 𝑓 0 = 0.

Dalam Rajah 7.25, terdapat tiga keadaan apabila titik lengkuk balas wujud iaitu;

i) 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑓 ′ 𝑥𝑜 = 0, 𝑓"(𝑥) = 0, 𝑥𝑜 merupakan nilai genting.

ii) 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑓 ′ 𝑥𝑜 ≠ 0, 𝑓"(𝑥) = 0, 𝑥𝑜 bukan nilai genting.

iii) 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑓 ′ 𝑥𝑜 tidak tertakrif, 𝑓"(𝑥) tidak tertakrif.

𝑦 𝑦 𝑦

𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥𝑜 = 𝛼 𝑓 𝑥𝑜 = 𝛼 𝑓 𝑥𝑜 = 𝛼

𝑓′ 𝑥𝑜 = 0 𝑓′ 𝑥𝑜 ≠ 0 𝑓 ′ 𝑥𝑜 tidak tertakrif

𝑓" 𝑥𝑜 = 0 𝑓" 𝑥𝑜 = 0 𝑓"(𝑥𝑜) tidak tertakrif

Rajah 7.25

Kalkulus Asas|202

Jika diperhatikan jadual dari beberapa contoh sebelum ini, nampak bahawa di sekitar nilai

minimum atau maksimum, iaitu 𝑓(𝑥) cekung atau cembung, tanda bagi 𝑓"(𝑥) tidak

berubah. Tetapi dalam tiga keadaan dalam Rajah 7.25, di 𝑥 = 𝑥𝑜kecembungan atau

kecekungan saling bertukar, dan juga dapat kita lihat bahawa lengkung menyilang garis

tangen. Jadi suatu titik lengkok balas bukan suatu titik maksimum atau minimum.

Seterusnya, perubahan kecembungan atau kecekungan di suatu titik pada lengkung

merupakan perubahan tanda bagi 𝑓"(𝑥) di titik itu ( Rujuk perbincangan terdahulu dalam

mendapatkan ujian terbitan kedua).

Takrif 7.2 Titik Lengkok Balas

Titik yang memisahkan bahagian cembung dengan bahagian cekung bagi suatu lengkung

selanjar disebut titik lengkok balas.

Seterusnya, dari takrif dan perbincangan sebelum ini, kita dapatkan ;

Teorem 7.1

Misalkan suatu lengkung ditakrifkan oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥). Jika 𝑓"(𝑥𝑜) = 0 atau 𝑓"(𝑥𝑜) tidak

wujud dan jika terbitan 𝑓"(𝑥) berubah tanda ketika melalui 𝑥 = 𝑥𝑜 , maka titik (𝑥𝑜 , 𝑓(𝑥𝑜))

pada lengkung merupakan titik lengkok balas.

Contoh 7.18

Uji untuk maksimum dan minimum bagi fungsi 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)3.

Penyelesaian:

Dengan kaedah ujian kedua kita dapati:

𝑓′ 𝑥 = 3(𝑥 − 1)2.

Apabila 𝑓′(𝑥) = 0, maka 𝑥 = 1 ialah nilai genting.

𝑓"(𝑥) = 6(𝑥 − 1)


Apabila 𝑥 = 1, maka 𝑓"(1) = 0.

𝑦 = (𝑥 − 1)3

Rajah 7.26

Oleh yang demikian kaedah ujian terbitan kedua tidak menghasilkan apa- apa.


Untuk 𝑥 < 1, 𝑓 ′ 𝑥 > 0,

Untuk 𝑥 > 1, 𝑓 ′ 𝑥 > 0.

Nilai𝑥 1

2 0

3

2

Tanda 𝑓′(𝑥) + 0 +

Lakaran kecerunan ↗ → ↗

Tanda 𝑓"(𝑥) - 0 +

Bentuk graf Cembung Cekung

Selanjutnya, dari jadual didapati 𝑓"(𝑥) berubah tanda dan terdapat perubahan

kecembungan atau kecekungan di sekitar 𝑥 = 1, dan lengkung menyilang garis tangen

(paksi -𝑥) di titik (1,0), maka titik (1, 0) merupakan titik lengkok balas.

Kalkulus Asas|204

Contoh 7.19

Tunjukkan bahawa fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 mempunyai satu titik minimum dan dua titik

lengkok balas.

Penyelesaian:

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3

𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 = 4𝑥2 𝑥 − 3 = 0

𝑓"(𝑥) = 12𝑥2 − 24𝑥 = 12𝑥(𝑥 − 2) = 0

Apabila 𝑓 ′ 𝑥 = 0, maka 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 3 ialah nilai genting. Oleh kerana 𝑓"(3) > 0,

maka 𝑥 = 3 ialah nilai minimum. Oleh itu terdapat satu titik minimum di (3, 27).

𝑦

𝑦 = 𝑥4 − 4𝑥3

0 𝑥

(2,-16)

(3,-27)

Rajah 7.27

Tetapi 𝑓 ′ 0 = 0 dan 𝑓"(0) = 0 .


Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 ′ 𝑥 < 0,

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 ′ 𝑥 < 0,


Dengan demikian (0,0) merupakan titik lengkok balas. Perlu diingat bahawa nilai 𝑥 yang

memenuhi 𝑓"(𝑥) = 0, dan tanda bagi 𝑓"(𝑥) berubah di sekitar nilai 𝑥 tersebut, akan

menghasilkan titik lengkok balas.

Apabila 𝑓"(𝑥) = 12𝑥2 − 24𝑥 = 0, maka 𝑥 = 0 atau 2. Kita telah tunjukkan bahawa

𝑥 = 0 ialah nilai genting dan (0,0) merupakan salah satu dari dua titik lengkok balas yang

dicari. Bagi mengenal pasti satu lagi titik lengkok balas iaitu apabila 𝑥 = 2, kita tidak dapat

bergantung kepada maklumat tanda 𝑓′(𝑥) serta lakaran kecerunan sahaja. Untuk itu

maklumat perubahan tanda 𝑓"(𝑥) diperlukan.

Nilai𝑥 −1

2 0

1

2

Tanda 𝑓′(𝑥) - 0 -

Lakaran kecerunan ↘ → ↘

Tanda 𝑓"(𝑥) + 0 -

Bentuk graf Cekung Cembung

Apabila 𝑥 = 2,


Untuk 𝑥 < 0, 𝑓" 𝑥 < 0,

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓" 𝑥 > 0.

Nilai 3

2 2

5

2

Tanda - - -

Lakaran kecerunan ↘ ↘ ↘

Tanda - 0 +

Bentuk graf Cembung Cekung

Kalkulus Asas|206

Ia bersesuaian dengan Teorem 7.1, iaitu terdapat perubahan tanda bagi 𝑓"(𝑥). Oleh itu titik

(2,-16) juga merupakan titik lengkok balas.

Contoh 7.20

Kaji fungsi 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)1

3 untuk titik lengkok balas.

Penyelesaian:

𝑦

𝑦 = (𝑥 − 1)13

0 1 𝑥

Rajah 7.28

Kita dapatkan terbitan pertama dan kedua, iaitu

𝑓 ′ 𝑥 =1

3(𝑥 − 1)−

23; 𝑓"(𝑥) = −

2

9(𝑥 − 1)−

53

Bagi 𝑥 = 1, dan 𝑓 ′ 1 dan 𝑓"(1) tidak tertakrif, namun demikian

i) had𝑥→1 𝑓 ′ 𝑥 = ∞

ii) had𝑥→1− 𝑓"(𝑥) = ∞ > 0, dan had𝑥→1+ 𝑓"(𝑥) = −∞ < 0,

Dari i) kecerunan lengkung di 𝑥 = 1 adalah garis tangen mencancang. Kerana 𝑓"(𝑥) tidak

pernah sifar di mana jua, dan dari ii) dapat disimpulkan

Untuk 𝑥 < 1, 𝑓” 𝑥 > 0.

Untuk 𝑥 > 1, 𝑓” 𝑥 < 0.

Oleh itu di (1,0) terdapat perubahan kecembungan. Tangen mencancang di 𝑥 = 1 itu

menyilang lengkung. Oleh yang demikan (1,0) ialah titik lengkok balas.


Nilai 1

2 1

3

2

Tanda + ∞ +

Lakaran kecerunan ↗ ↑ ↗

Tanda + ? -

Bentuk graf Cekung Cembung

7.5.2 Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Suatu Selang

Lihat Rajah 7.29 di bawah dan cuba ikuti perbincangan selanjutnya

𝑦

P 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Q

0 𝑥

Rajah 7.29

Rajah 7.29 menunjukkan bahawa 𝑓(𝑥) mempunyai nilai maksimum tempatan dan nilai

minimum tempatan masing- masing di P dan Q. Seperti yang telah kita sebutkan bahawa

istilah tempatan bermaksud maksimum atau minimum hanya benar di kejiranan titik – titik

berkenaan sahaja, dan dalam kes ini titik p dan q. Ketika 𝑥 menyusut dari P, nilai 𝑓(𝑥)

akan menjadi lebih kecil dari pada nilai di Q. Sebaliknya, ketika 𝑥 menokok dari Q kita lihat

nilai 𝑓(𝑥)menjadi semakin besar daripada nilai di P. Tanpa mengetahui bentuk keseluruhan

graf, kita tidak akan dapat menyatakan di manakah letak titik maksimum atau minimum

mutlak. Namun demikian dengan menghadkan domain kita boleh tentukan titik maksimum

atau minimum mutlak.

Kalkulus Asas|208

Dengan berpandukan Rajah 7.30 di bawah, perhatikan nilai – nilai 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 yang

berada di antara 𝑥 = 𝑎 dengan 𝑥 = 𝑏 (selang ini ditulis (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏). Fungsi 𝑦 =

𝑓 𝑥 𝑦ang diberikan mempunyai nilai maksimum di B (iaitu 𝑥 = 𝑏) dan nilai minimum di A

(iaitu 𝑥 = 𝑎). Di dalam selang ini nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak bagi

fungsi itu masing- masing berlaku di B dan A ( iaitu di hujung – hujung selang).

𝑦

𝑃 𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑥)

A Q

0 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑥

Rajah 7.30

Dengan berpandukan Rajah 7.31 di bawah ini pula (selang diubah kepada 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑)

maksimum atau minimum mutlak suatu fungsi boleh terletak di titik genting 𝑃 dan 𝑄, bukan

di hujung – hujung selang.

𝑦

𝑃 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐶

𝐷

𝑄

0 𝑥 = 𝑐 𝑥 = 𝑑 𝑥

Rajah 7.31


Kadangkala nilai genting yang diperolehi berada di luar selang. Untuk kes 𝑒 ≤ 𝑥 ≤ 𝑕

seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 7.32 nilai – nilai 𝑓(𝑒) dan 𝑓(𝑕) masing - masing

adalah maksimum dan minimum mutlak.

y

𝑃 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐸

𝐻 𝑄

0 𝑥 = 𝑒 𝑥 = 𝑕 𝑥

Rajah 7.32

Contoh 7.21

Dapatkan nilai maksimum atau minimum mutlak 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 𝑥2 + 2 dalam selang

-2 ≤ 𝑥≤ 1.

Penyelesaian:

Dapatkan nilai-nilai genting dengan terbitan pertama :

𝑓 ′(𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥 = 2𝑥(3𝑥 − 1)

Apabila 𝑓 ′(𝑥) = 0, maka 𝑥 = 0,1

3 ialah nilai –nilai genting.

𝑓 0 = 2, 𝑓 1

3 =

53

27

Kemudian, kita dapatkan pula nilai fungsi di hujung-hujung selang, iaitu di 𝑥 = −2 dan

𝑥 = 1.

𝑓 −2 = −18, 𝑓 1 = 3

Nilai-nilai 𝑓(𝑥) yang diperolehi di titik-titik genting dan di hujung-hujung selang dinyatakan di

dalam Jadual 7.1 berikut :

Kalkulus Asas|210

Jadual 7.1

Nilai 𝑥 -2 0 1

3 1

𝑓 𝑥 -18 2 53

27 3

Dari jadual, ditentukan bahawa nilai maksimum mutlak fungsi ialah 3 dan nilai minimum

mutlak fungsi ialah -18. Hal ini berlaku di hujung-hujung selang.

Graf fungsi 𝑓(𝑥) itu di dalam selang -2 ≤ 𝑥 ≤ 1 dilakarkan (Rajah 7.3).

𝑦 = 2𝑥3 − 𝑥2 + 2

Rajah 7.33

Contoh 7.22 Tentukan nilai maksimum atau minimum mutlak bagi 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 di dalam

selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 5.

Penyelesaian:

𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥2 − 1) = 4𝑥(𝑥 + 1)

Nilai-nilai genting ialah penyelesaian untuk 𝑓 ′(𝑥) = 0, iaitu 𝑥 = -1 , 0 dan 1.

0 1 2 1 𝑥

𝑦

(-2, -18)

(0, 2) (1

3,53

27)

(1, 3)


Nilai genting 𝑥 = -1 di luar selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 5. Maka 𝑥 = -1 tidak diambil kira. Nilai-nilai 𝑓(𝑥)

di titik-titik genting dan di hujung-hujung selang ditunjukkan dalam Jadual 7.2 di bawah.

Jadual 7.2

𝑥 0 1 5

𝑓(𝑥) 1 0 576

Kesimpulannya ialah nilai maksimum dan minimum mutlak masing-masing ialah 576 dan 0.

7.5.3 Penggunaan Maksimum Dan Minimum Mutlak

Dalam bahagian ini kita akan kaji beberapa masalah yang memerlukan penentuan nilai

maksimum atau minimum pada suatu selang. Teori maksimum dan minimum boleh

digunakan dalam menentukan penyelesaian bagi masalah dalam geometri, mekanik, fizik,

industri, kejuruteraan dan sebagainya. Berikut ini diberikan contoh-contoh yang berkaitan

dengan beberapa bidang sains dan teknologi berkenaan.

Contoh 7.23 Seutas dawai panjang 2 meter dibentuk sebuah segi empat tepat dengan luas terbesar.

Dapatkan panjang sisi-sisi segi empat itu.

Penyelesaian:

1 − 𝑥

𝑥 𝑥

1 − 𝑥

Misalkan lebar segi empat tepat yang dikehendaki ialah 𝑥 meter. Oleh kerana panjang

dawai ialah 2 meter, maka panjang segi empat tepat tersebut ialah 2−2𝑥

2= 1 − 𝑥 meter.

Dalam hal ini 𝑥 berada di antara 0 dengan 1, iaitu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Misalkan 𝐿(𝑥) ialah luas segiempat itu, maka 𝐿 𝑥 = 𝑥 1 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2, dengan

0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Kita mahukan luas yang maksimum. Untuk itu kita cari nilai maksimum mutlak.

Kalkulus Asas|212

Terbitan pertama bagi 𝐿(𝑥) ialah

𝐿′ 𝑥 = 1 − 2𝑥

Nilai genting ialah penyelesaian bagi 𝐿′ 𝑥 = 0, iaitu 𝑥 =1

2.

Sekarang kita perlu tentukan sama ada 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 atau 𝑥 =1

2 yang akan memberikan

𝐿(𝑥) maksimum (Jadual 7.3).

Jadual 7.3

𝑥 0 1 1

2

𝐿(𝑥) 0 0 1

4

Maka yang dipilih ialah 𝑥 =1

2 dengan kesimpulan bahawa segiempat tepat itu merupakan

segiempat tepat sama sisi dengan panjang sisi 1

2 meter.

Contoh 7.24 Seorang pereka bentuk dari sebuah syarikat pembuat kotak ingin menghasilkan kotak tanpa

tudung daripada kepingan kertas tebal berukuran 16 cm lebar dengan 20 cm panjang.

Kotak-kotak ini dibuat dengan memotong segi empat sama yang sama besar dari setiap

penjuru kertas tersebut. Sisi-sisi kepingan kertas tadi dilipat ke atas untuk membentuk kotak

berkenaan. Dapatkan ukuran segi empat sama yang perlu dipotong supaya isi padu kotak

maksimum. Nyatakan dimensi kotak tersebut.

𝐿 = 20 cm

𝑥 𝑥

𝑊 = 16 cm 𝑊 − 2𝑥

𝑊 − 2𝑥

𝐿 − 2𝑥


Penyelesaian:

Misalkan panjang sisi-sisi segi empat yang harus dipotong iaitu 𝑥 cm. Apabila dilipat, kotak

yang terbentuk mempunyai ukuran :

Lebar = 16 − 2𝑥 cm

Panjang = 20 − 2𝑥 cm

Tinggi = 𝑥 cm

Isi padu 𝑉 𝑥 = 𝑥 16 − 2𝑥 20 − 𝑥 = 4𝑥3 − 72𝑥2 + 320𝑥

Perlu diingat bahawa nilai 𝑥 ≥ 0; dan lebar atau panjang kotak tidak boleh negatif. Di antara

lebar dengan panjang kita dapati, apabila 𝑥 menokok, lebar akan sama dengan sifar terlebih

dahulu. Jadi mestilah disyaratkan lebarnya ialah 16 − 2𝑥 ≥ 0 iaitu 𝑥 ≤ 8.

Kesimpulannya nilai 𝑥 berada di dalam selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 8.

𝑉 ′(𝑥) = 12𝑥2 − 144 + 320 = 4(3𝑥2 − 36𝑥 + 80) = 0

3𝑥 − 36𝑥 + 80 = 0

Nilai genting ialah 𝑥 ≅ 9.1 cm atau 𝑥 ≅ 2.9 cm.

Tetapi 𝑥 ≅ 9.1 cm tidak diterima sebab di luar selang. Jadi 𝑥 ≅ 2.9 cm yang memenuhi

syarat. Sekarang kita pilih nilai 𝑥 yang akan memberikan isi padu 𝑉 𝑥 maksimum. Lihat

senarai berikut:

𝑥 0 2.9 8

𝑉 𝑥 0 419.64 0

Jadi 𝑥 = 2.9 cm memberikan 𝑉 𝑥 maksimum. Oleh itu matra kotak yang dikehendaki ialah

Lebar = 10 − 2 2.9 = 10.2 cm

Panjang = 20 − 2 2.9 = 14.2 cm

Tinggi = 2.9 cm

Kalkulus Asas|214

1. Tentukan pemalar A dan B sehingga 𝐻 𝑥 = 𝑥3 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 mempunyai

titik genting di 𝑥 = -1 dan 𝑥 = 3.

2. Dapatkan titik maksimum, minimum dan titik lengkok balas setiap fungsi 𝑓 𝑥

berikut:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 −3

2𝑥2 − 6𝑥 + 2

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 3 2 − 𝑥 2

3. Cari semua titik genting untuk fungsi berikut:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3(4 − 𝑥)

Seterusnya tentukan sama ada titik-titik genting ini maksimum atau minimum.

4. Dapatkan titik-titik genting setiap fungsi berikut. Dengan menggunakan terbitan

kedua, tentukan jenis titik-titik genting ini. Lakarkan grafnya.

a) 𝑓 𝑥 =1

2sin 2𝑥 − sin 𝑥, 0 < 𝑥 < 2𝜋

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 4

5. Dapatkan titik-titik maksimum / minimum / lengkok balas bagi

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 3 𝑥 − 2 4

b) 𝑓 𝑥 = 3 − (𝑥 − 2)

c) 𝑓 𝑥 =1

𝑥2+1



7.6 Lakaran lengkung

Kita telah mempelajari cara bagi mendapatkan maksimum atau minimum tempatan untuk

suatu fungsi. Dari pengetahuan tersebut kita akan mengkaji satu aspek penting dalam

matematik iaitu lakaran lengkung.

7.6.1 Langkah untuk melakar graf fungsi polinomial adalah seperti berikut:

1. Cari 𝑓′(𝑥) dan 𝑓′′(𝑥)

2. Misalkan 𝑓 ′ 𝑥 = 0 dan selesaikan persamaan yang terhasil untuk mencari nilai-nilai

genting bagi 𝑥. Cari titik-titik genting dengan mendapatkan 𝑓(𝑥) pada setiap titik

genting.

3. Gunakan ujian terbitan kedua untuk mencari sebarang maksimum atau minimum

tempatan.

Untuk maksimum 𝑓 ′ 𝑥 = 0, 𝑓 ′′ 𝑥 < 0.

Untuk minimum 𝑓 ′ 𝑥 = 0, 𝑓 ′′ 𝑥 > 0.

Jika 𝑓 ′′ 𝑥 = 0, gunakan ujian terbitan pertama untuk menentukan maksimum atau

minimum.

4. Tentukan nilai-nilai 𝑥 untuk 𝑓 ′′ 𝑥 = 0. Gunakan nilai-nilai 𝑥 ini untuk membahagi

paksi-𝑥 kepada selang-selang. Uji kecekungan suatu titik dalam setiap selang untuk

mengetahui kecekungan graf di situ.

Jika 𝑓′′(𝑥) > 0, graf adalah cekung ke atas.

Jika 𝑓′′(𝑥) < 0, graf adalah cekung ke bawah.

5. Gunakan maklumat langkah 4 untuk mencari sebarang titik lengkok balas dan

tandakan titik-titik ini.

6. Senaraikan semua titik yang kita dapatkan dalam jadual dan gunakan maklumat ini

untuk menentukan skala yang sesuai bagi graf. Lukiskan garis tangen pada setiap

maksimum atau minimum tempatan. Lakarkan graf bermula dari sebarang titik

Kalkulus Asas|216

lengkok balas dan lukis pada titik lengkok balas berikutnya, dengan mengekalkan

kecekungan yang betul. Plot sebarang titik tambahan apabila perlu.

Contoh 7.25

Lakarkan graf untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 + 3

Penyelesaian:

1. 𝑓 0 = 3 (pintasan-𝑦)

2. 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 12

𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥

2. Nilai genting ialah apabila 𝑓 ′ 𝑥 = 0

Iaitu 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥2 − 12 = 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0

Nilai-nilai genting ialah x = -2, 2

Titik-titik genting ialah (-2, 19) dan (2, -13)

3. Gunakan ujian terbitan kedua untuk menentukan sama ada titik-titik genting itu

maksimum atau minimum.

𝑓 ′′ −2 = 6 −2 = −12 (negatif). Terdapat minimum tempatan di x =- 2

𝑓 ′′ 2 = 6 2 = 12 (positif). Terdapat minimum tempatan di x = 2.

4. Tentukan di mana 𝑓 ′′ 𝑥 = 0: 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 = 0

Pada 𝑥 = 0 berkemungkinan terdapat titik lengkok balas

Uji suatu titik di mana x< 0: 𝑓 ′′ −1 < 0

Graf adalah cekung ke bawah untuk x< 0

Uji suatu titik di mana 𝑥 > 0: 𝑓 ′′ 1 > 0

Graf adalah cekung ke atas untuk x> 0.

5. Pada 𝑥 = 0, graf mempunyai titik lengkok balas kerana 𝑓 0 wujud, 𝑓 ′′(𝑥) = 0 dan

kecekungan berubah

𝑓 0 = (0)3 − 12 0 + 3 = 3

Tandakan semua maklumat di atas dalam Rajah 7.34(a):


Rajah 7.34(a)

6. Lukiskan paksi-𝑥 dari 𝑥 = -4 ke 𝑥 = 4 dan paksi-𝑦 dari -13 ke 19. Plot beberapa titik

tambahan untuk menentukan bentuk graf. Rajah yang lengkap adalah seperti Rajah

7.34(b).

𝑥 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

𝑓′ 𝑥 -13 12 19 14 3 -8 -13 -6 19

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 + 3

Rajah 7.34(b)

𝑦

𝑥

Lengkok Balas

Cekung

Cembung

Minimum

Maksimum

10

20

-10

-2 2

𝑦

𝑥 2 4 -2 -4

20

-10

(-2,19)

(2, -13)

Kalkulus Asas|218

7.6.2 Melakar Graf Fungsi Nisbah

Langkah-langkah yang dikemukakan dalam bahagian sebelum ini cukup untuk melakarkan

graf bagi kebanyakkan fungsi polinomial. Namun demikian, kita perlu perkenalkan langkah-

langkah tambahan untuk fungsi nisbah.

1. Asimptot Mencancang

Jika 𝑓 𝑥 mempunyai nilai yang tak terhingga positif atau tak terhingga negatif ketika 𝑥

mendekati 𝑥0 dan jika

had𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) = ±∞ atau had

𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥) = ±∞

Maka garis 𝑥 = 𝑥0 disebut asimptot mencancang bagi lengkung 𝑓 𝑥 . Lengkung itu

tidak akan menyilang asimptot mencancang.

had𝑥→𝑥0− 𝑓 𝑥 = ∞

𝑦 = 𝑓(𝑥)

had𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥) = −∞

Rajah 7.35

2. Asimptot Mengufuk

Jika had bagi 𝑓(𝑥) mendekati suatu nilai 𝑎 ketika 𝑥 → +∞ atau 𝑥 → −∞, maka garis

𝑓 𝑥 = 𝑎 disebut asimptot mengufuk bagi lengkung 𝑓(𝑥). Dalam Rajah 7.36 berikut ini, di

sebelah kiri, ketika 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → 𝑎; di sebelah kanan, ketika 𝑥 → +∞, 𝑓 𝑥 → 𝑎.

𝑥

Asimptot mencancang

di 𝑥 = 𝑥0

𝑥0 0

𝑦


Perhatikan bahawa lengkung tersebut boleh menyilang asimptot mengufuk.

𝑦 = 𝑓(𝑥)

had𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝑎

had𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑎

Rajah 7.36

3. Asimptot Condong

Suatu garis lurus, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 dengan 𝑚 dan 𝑐 malar, merupakan asimptot condong bagi

lengkung 𝑦 = 𝑓 𝑥 jika dan hanya jika

had𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐

Nilai-nilai m dan c masing-masing kita dapatkan daripada

𝑚 = had𝑥→+∞𝑓(𝑥)

𝑥

dan 𝑐 = had𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥

Catatan : Perbincangan juga berlaku untuk 𝑥 → −∞.

𝑥

𝑦

Asimptot mengufuk

di 𝑓(𝑥) = 𝑎

a

0

Kalkulus Asas|220

Rajah 7.37

Contoh 7.26

Cari asimptot-asimptot mencancang dan mengufuk bagi graf fungsi

𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥−2

Penyelesaian:

Pertama, untuk mencari sebarang asimptot mencancang, kita samakan penyebut dengan

sifar dan selesaikan:

𝑥 – 2 = 0, iaitu 𝑥 = 2, maka fungsi tak selanjar di 𝑥 = 2. Oleh itu kita semak had𝑥→2 𝑓(𝑥)

untuk asimptot mencancang.

Untuk had𝑥→2−𝑥−1

𝑥−2= had𝑥→2− 1 +

1

𝑥−2 = had𝑥→2 1 + had𝑥→2

1

𝑥−2= 1 + ∞ = ∞

Graf mempunyai asimptot mencancang di 𝑥 = 2

Kedua, untuk mencari asimptot mengufuk, cari had𝑥→∞𝑥−1

𝑥−2. Kita bahagikan pengangka

dan penyebut dengan 𝑥, dan didapatkan had𝑥→∞

1−1

𝑥

1−2

𝑥

=had 𝑥→∞ 1−

1

𝑥

had 𝑥→∞ 1−2

𝑥

=1−0

1−0= 1

had𝑥→∞𝑥−1

𝑥−2= 1

𝑥

𝑦

𝑎

0

Asimptot condong

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

Asimptot condong

𝑦 = 𝑓(𝑥)


Graf fungsi tersebut di bawah ini menunjukkan bagaimana lengkung mendekati asimptot.

𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥−2

Rajah 7.38

Perhatikan bahawa pengangka sifar pada suatu titik tidak cukup untuk menentukan asimptot

mencancang wujud, umpamanya, fungsi

𝑔 𝑥 =(𝑥+1)(𝑥−2)

𝑥−2= 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 2

tidak wujud di x = 2, tetapi asimptot tidak wujud juga di sini kerana had𝑥→2 𝑔(𝑥) = 3.

Contoh 7.27

Cari asimptot mencancang dan mencondong bagi graf fungsi

𝑓 𝑥 =𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑥

Penyelesaian:

Pertama, untuk mencari sebarang asimptot mencancang, kita samakan penyebut dengan

sifar dan selesaikan:

Fungsi tak selanjar di 𝑥 = 0. Oleh itu kita semak had𝑥→0 𝑓(𝑥) untuk asimptot mencancang.

x

y

0

𝑥 = 2

Asimptot mencancang

Asimptot mengufuk

𝑓(𝑥) = 1

1 2

1

2

1

Kalkulus Asas|222

Untuk

had𝑥→0

𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑥= had

𝑥→0 𝑥 + 2 −

1

𝑥 = had

𝑥→0 𝑥 + had

𝑥→0 2 + had

𝑥→0

1

𝑥= 0 + 2 + ∞ = ∞

Graf mempunyai asimptot mencancang di 𝑥 = 0.

𝑦 = 𝑥 + 2

𝑦 =𝑥2+2𝑥−1

𝑥

Rajah 7.39

Kedua, untuk mencari asimptot condong,

m = had 𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= had

𝑥→±∞

𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑥2

= had 𝑥→±∞

1 +2

𝑥−

1

𝑥2 = 1

dan

c = had 𝑥→±∞

𝑓 𝑥 − 𝑥 = had 𝑥→±∞

𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑥 − 𝑥

= had 𝑥→±∞

𝑥2 + 2𝑥 − 1 − 𝑥2

𝑥 = = had

𝑥→±∞ 2 −

1

𝑥 = 2

Oleh itu, garis lurus 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 merupakan asimptot condong bagi lengkung yang

diberikan.

𝑥

𝑦

0


7.6.3 Langkah Melakar Graf Fungsi Nisbah

Misalkan fungsi nisbah itu ialah 𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)

𝑄(𝑥).

1. Turunkan fungsi yang diberikan kepada sebutan-sebutan terendah jika perlu.

Selesaikan persamaan 𝑃 𝑥 = 0, untuk mencari pintasan-𝑥 bagi graf. Jika 𝑃 𝑥

adalah malar, atau jika persamaan 𝑃 𝑥 = 0 tidak mempunyai punca nyata, graf

tidak menyilang paksi –𝑥.

2. Berikutnya, selesaikan persamaan 𝑄 𝑥 = 0, untuk mencari kedudukan sebarang

asimptot mencancang yang mungkin. Jika 𝑄 𝑥 = 0 di 𝑥 = 𝑥0, dan 𝑓 𝑥

mendekati +∞ atau −∞, maka graf mempunyai asimptot mencancang di 𝑥 = 𝑥0 .

3. Cari had 𝑓(𝑥)𝑥→+∞

dan had 𝑓(𝑥)𝑥→−∞

. Jika salah satu had merupakan nombor terhingga 𝑎,

maka graf mempunyai asimptot mencancang di 𝑥 = 𝑎.

4. Cari had 𝑓(𝑥)

𝑥𝑥→±∞

dan had𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 − 𝑥 . Jika had 𝑓(𝑥)

𝑥𝑥→±∞

= 𝑚 dan

had𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 − 𝑥 = 𝑐, maka garis lurus 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 merupakan asimptot

condong bagi lengkung 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

5. Fungsi 𝑓 𝑥 boleh berubah tanda hanya di titik-titik yang didapati dalam langkah 1

dan 2. Titik-titik ini membahagi paksi –𝑥 kepada dua rantau atau lebih dan 𝑓 𝑥

mestilah mempunyai tanda yang sama dalam setiap rantau. Pilih satu nilai bagi 𝑥

dalam setiap rantau, hitung nilai sepadan bagi 𝑓 𝑥 dan gunakan maklumat ini untuk

menentukan sama ada graf di atas atau di bawah paksi-𝑥 dalam setiap rantau.

6. Gunakan langkah melakarkan graf bagi fungsi polinomial untuk mencari titik genting,

maksimum dan minimum, kecekungan dan titik lengkok balas.

7. Plot sebarang titik yang diperlukan bagi melakarkan graf itu. Perlulah cermat untuk

menentukan titik-titik itu, terutama jika graf menyilang asimptot mengufuk.

Kalkulus Asas|224

Contoh 7.28

Lakarkan graf fungsi nisbah𝑓 𝑥 =𝑥−2

𝑥2 .

Penyelesaian:

1. Cari dan plot pintasan –𝑥.

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 = 0, menghasilkan 𝑥 = 2.

2. Cari asimptot mencancang.

𝑄 𝑥 = 𝑥2 = 0, menghasilkan 𝑥 = 0.

Semak

had𝑥→0

𝑥 − 2

𝑥2= −∞

Oleh itu, garis 𝑥 = 0 merupakan asimptot mencancang

3. Cari asimptot mengufuk.

had𝑥→+∞

𝑥 − 2

𝑥2= had

𝑥→+∞

𝑥𝑥2 −

2𝑥2

𝑥2

𝑥2

= had𝑥→+∞

1𝑥 −

2𝑥2

1= 0

Dengan cara serupa, had𝑥→−∞𝑥−2

𝑥2 =0

Garis 𝑦 = 0(paksi-𝑥) ialah asimptot mengufuk.

4. Cari asimptot condong.

𝑚 = had𝑥→±∞

𝑥 − 2

𝑥2= had

𝑥→−∞

1

𝑥−

2

𝑥2= 0

dan

𝑐 = had𝑥→±∞

𝑥 − 2

𝑥2− 𝑥 = ±∞

Kerana 𝑚 = 0 dan 𝑐 = ±∞ maka tidak terdapat asimptot condong.

5. Langkah-langkah 1 dan 2 mentakrifkan selang-selang berikut pada paksi-𝑥 :

𝑥 < 0, 0 < 𝑥 < 2, 𝑥 > 2


Uji titik-titik dalam setiap selang untuk menentukan tanda bagi 𝑓 𝑥 dalam setiap

selang :

Apabila 𝑥 = −1 ∶ 𝑓 −1 = −1 −2

−1 2= −3, graf di bawah paksi-𝑥 untuk 𝑥 < 0.

Apabila 𝑥 = 1 ∶ 𝑓 1 = 1 −2

1 2 = −1, graf di bawah paksi-𝑥 untuk 0 < 𝑥 < 2.

Apabila 𝑥 = 3 ∶ 𝑓 3 = 3 −2

3 2 =1

9, graf di bawah paksi-𝑥 untuk 𝑥 > 2.

6. Untuk mencari titik lengkok balas, cari terbitan pertama dan kedua.

𝑓′ 𝑥 =𝑥2 − 2𝑥(𝑥 − 2)

𝑥4=

4 − 𝑥

𝑥3

𝑓 ′ ′ 𝑥 =−𝑥3 − (4 − 𝑥)

𝑥6=

2𝑥 − 12

𝑥4

𝑓 ′ 𝑥 = 0 apabila 𝑥 = 4. Oleh kerana 𝑓 ′′ (𝑥) negatif fungsi mempunyai nilai

maksimum apabila 𝑥 = 4, iaitu 𝑓(4) =1

8. Graf mempunyai titik maksimum di (4,

1

8 ).

𝑓 ′ 𝑥 = 0 apabila 𝑥 = 6. Oleh kerana 𝑓 ′′ (5) negatif dan 𝑓 ′ ′(7) positif, maka graf

cekung ke atas untuk 𝑥 < 6 dan cekung ke bawah untuk 𝑥 > 6. Kita dapati 𝑓(6) =1

9 . Graf mempunyai titik lengkok balas di 6,

1

2 .

Rajah 7.40(a)

𝑥

𝑦

2 4 8 6 -2 -4 -8 -6

0.25

Asimptot

Mencancang f(x)negatif

untuk x < 0

f(x)negatif

untuk 0 <x < 2

Pintasan-x di

(2, 0)

Asimptot

Mengufuk

Titik lengkok balas

di (6, 𝟏

𝟐)

Maksimum di

(4, 𝟏

𝟖)

f(x) positif

untuk x < 2

Kalkulus Asas|226

7. Apabila 𝑥 = −2, 𝑓 −2 = −1, dan apabila 𝑥 = −3, 𝑓 −3 = −5

9. Lakaran yang

lengkap ditunjukkan dalam Rajah 7.40 (b).

𝑓 𝑥 =𝑥−2

𝑥2

Rajah 7.40(b)

1. Lakarkan setiap lengkung berikut dengan menentukan kecekungan, maksimum atau

minimum, titik lengkok balas:

a) 𝑦 = 3𝑥4 − 4𝑥3

b) 𝑦 = 𝑥4 − 4𝑥2 + 2

c) 𝑦 =𝑥(𝑥+1)

𝑥−1

d) 𝑦 = (𝑥 − 1)𝑥2

3

e) 𝑦 =𝑥

1+𝑥2

f) 𝑦 =𝑥2+2𝑥+3

𝑥2+3𝑥+2


𝑥

𝑦

2 4 8 6 -2 -4 -8 -6

0.25

0.50


RUMUSAN

Unit ini merupakan lanjutan daripada Unit 5 (Pembezaan) dan Unit 6 (Teknik Pembezaan). Justeru

pelajar perlu menguasai kedua-dua unit tersebut dahulu sebelum mempelajari unit ini. Unit ini

merupakan aplikasi atau lanjutan kepada dua unit sebelum ini di mana kita mempelajari

bagaimana topik pembezaan digunakan dalam kehidupan seharian.

KATA KUNCI

Nilai hampiran dan ralat, kadar perubahan, gerakan pada satu garis lurus, kecerunan lengkung

pada satu titik, persamaan garis tangen pada lengkung, persamaan garis normal pada lengkung,

maksimum dan minimum, ujian maksimum dan minimum, titik genting, ujian terbitan pertama, ujian

terbitan kedua, titik lengkok balas, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam suatu selang,

penggunaan maksimum dan minimum mutlak, lakaran lengkung, fungsi nisbah, asimptot

mencancang, asimptot mengufuk, asimptot condong.

Kalkulus Asas|228

1. Jika 𝑥 = 2 diambil sebagai hampiran awal bagi penyelesaian persamaan

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 − 5. Dapatkan penyelesaian hampiran yang lebih baik.

2. Nilai 𝑥 = 3 diambil sebagai hampiran awal bagi penyelesaian persamaan

𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0. Cari penyelesian hampiran yang lebih baik.

3. Ketika anda mengelamun di tepi tasik yang airnya tenang, tiba-tiba seekor ikan toman

menyambar seekor katak yang sedang berenang di permukaan air. Pandangan anda

tertumpu pada kocakan permukaan air yang berbentuk bulatan sepusat yang menyebar.

Jika jejari bulatan ini bertambah pada kadar 15 cm sesaat, hitungkan kadar tokokan luas

rantau apabila jejari ketika itu 5 cm.

4. Sebiji bola dilontar ke atas dengan halaju awal 20ms-1 dari permukaan tanah. Gerakan

bola ini mematuhi persamaan

𝑠 = 5𝑡2 + 20𝑡

Dapatkan,

i) Halaju ketika 1 s setelah bola dilontarkan;

ii) Halaju ketika 3 s setelah bola dilontarkan;

iii) Masa yang diambil untuk sampai ke titik tertinggi;

iv) Berapa tinggi bola ini akan naik

v) Masa yang diambil untuk jatuh semula ke tanah

vi) Halaju ketika jatuh ke tanah.

5. Dapatkan nilai 𝑏, jika garis 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 adalah normal pada lengkung 𝑦 = 2𝑥2 − 3.

6. Cari persamaan garis normal pada parabola 𝑦2 = 4𝑎𝑥 di titik (𝑎𝑝, 2𝑎𝑝). Jika garis

normal ini menyilang parabola itu lagi di 𝑄, buktikan bahawa garis-garis yang

menghubungkan asalan dengan 𝑃 dan 𝑄 adalah berserenjang jika 𝑝2 = 2.

Latihan Sumatif


7. Dapatkan nilai-nilai maksimum dan minimum mutlak untuk fungsi beserta selang berikut:

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 8𝑥2 + 16;

a) −4 ≤ 𝑥 ≤ 0

b) −3 ≤ 𝑥 ≤ 2

c) 0 ≤ 𝑥 ≤ 3

d) −1 ≤ 𝑥 ≤ 4

8. Dapatkan nilai maksimum dan minimum mutlak bagi fungsi 𝑓(𝑥) pada selang yang

dinyatakan berikut:

a) 𝑓 𝑥 =𝑥+1

2𝑥−3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

b) 𝑓 𝑥 = 2 sek 𝑥 − tan 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋

4

9. Cari jarak terdekat daripada titik (1,-2) ke garis 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0.

10. Anda ingin membina sebuah khemah berbentuk sebuah kon dengan jejari tapak 𝑟. Isi

padu khemah ini telah ditetapkan sebesar 600 m3. Juga oleh sebab tertentu tinggi khemah

ini, iaitu 𝑕 hendaklah di antara 9 hingga 11 meter. Dapatkan ukuran khemah supaya bahan

(kain kanvas) yang digunakan paling menjimatkan.

11. Seutas dawai panjang 1 meter dikerat dua untuk dibentuk sebuah bulatan dan sebuah segi

empat sama. Bagaimanakah dawai ini mesti dikerat supaya bulatan dan segi empat sama

itu mempunyai jumlah luas terkecil?

12. Lakarkan setiap lengkung berikut dengan menentukan kecekungan, maksimum atau

minimum, titik lengkok balas:

a) 𝑦 =1

−𝑥2+3𝑥+4

b) 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥2

RUJUKAN

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

Kalkulus Asas|230

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. a) 5.39 b) 5.68 c) 3.76 d) 3.14

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑠𝑒𝑘 2𝑥

𝑠𝑒𝑘 2𝑦

3. 24

25𝜋

4. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3 − 4𝑥

5. 3.78 %, 5.67 %


1. a) 𝑑𝐴

𝑑𝑕= 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 b) 12 m2 seminit

2. a) 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜋 𝑟2 𝑑𝑕

𝑑𝑡+ 2𝑟𝑕

𝑑𝑟

𝑑𝑡 b) −20𝜋 m2 sesaat, menyusut

3. −0.35 m sesaat

4. a) −1

4 meter sesaat b) −

5

4 meter sesaat


1. 𝑡 = 1 saat 𝑠 = 2.5 cm 𝑉 = 2 cms−1


1. a) -1 b) 3 c) −5

7, −

4

5 d)

135

16

2. (2,1) 3. a) 𝑦 − 5𝑥 + 3 = 0, 5𝑦 + 𝑥 − 11 = 0

b) 𝑦 − 8𝑥 − 2 = 0, 8𝑦 + 𝑥 + 49 = 0 c) 𝑦 + 𝑥 + 13 = 0, 𝑦 − 𝑥 + 17 = 0 d) 2𝑦 − 𝑥 − 2 = 0, 𝑦 + 2𝑥 − 4 = 0


1. 𝐴 = −3, 𝐵 = −9

2. a) −1, 51

2 titik maksimum 2,8 titik minimum

1

2, −

5

4 titik lengkok balas

b) 12

5, −

108

3125 titik maksimum (2,0) titik minimum (3,0) titik lengkok balas

3. a) −1

3,

5

27 titik maksimum (1,-1) titik minimum

b) 3,27 titik maksimum (0,0) titik lengkok balas

4. a) 2𝜋

3, 3

4 titik minimum

4𝜋

3,

3 3

4 titik maksimum

b) (0,1) titik maksimum (-1,0) titik minimum (1,0) titik minimum

5. a) 10

7,

6912

823543 titik maksimum (2,0) titik minimum (1,0) titik lengkok balas

b) 𝑒−2, 8𝑒−2 titik maksimum (1,0) titik minimum



1. a) b)

c) d)

e) f)

𝑥

𝑦

−1

2

4

−1 1 2

𝑦 = 3𝑥4 − 4𝑥3

𝑥

𝑦

−2

2

−1 1 2

𝑦 = 𝑥4 − 4𝑥2 + 2

𝑥

𝑦

−5

5

−2 2 4

𝑦 =𝑥(𝑥 + 1)

𝑥 − 1

−4

𝑥

𝑦

2

3

1

𝑦 = (𝑥 − 1)𝑥23

𝑥

𝑦

𝑦 =𝑥

1 + 𝑥2

5

-5

𝑥

𝑦

𝑦 =𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥2 + 3𝑥 + 2

𝑦 = 1

𝑥 = −1

𝑥=-2

Kalkulus Asas|232

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. 2.1 2. 3.2

3. 150𝜋 cm2 sesaat

4. a) 10 ms−1 b) −10 ms−1 c) 2 saat

d) 20 m e) 4 saat f) −20 s-1

5. 87

32

6. 𝑦 + 𝑝𝑥 − 2𝑎𝑝 − 𝑎𝑝3 = 0 7. Nilai maksimum mutlak Nilai minimum mutlak a) 144 0 b) 25 0 c) 25 0 d) 144 0

8. a) 𝑓 0 = −1

3 nilai maksimum mutlak

𝑓 1 = −2 nilai minimum mutlak

b) 𝑓 0 = 2 nilai maksimum mutlak

𝑓 𝜋

6 = 3 nilai minimum mutlak

9. 10 10. Jejari tapak khemah ialah 7.4 meter dan tinggi khemah ialah 10.46 meter.

11. Untuk bulatan: 𝜋

𝜋+4, Untuk segi empat sama:

4

𝜋+4.

12. a) b)

𝑥

𝑦 𝑦 =

1

−𝑥2 + 3𝑥 + 4

𝑥 = −1 𝑥=4

𝑥

𝑦 𝑦 = 𝑥 +

1

𝑥2

𝑦 = 𝑥

Documents

Unit Pelajaran 7 Penggunaan Pembezaan