Unit Pelajaran 10 Penggunaan Pengamiran

Kalkulus Asas|274

UNIT PELAJARAN 10

PENGGUNAAN PENGAMIRAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh x a dan x b sebagai

b

aydx .

2. Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh y a dan y b sebagai

b

axdy .

3. Mengira isipadu kisaran pada paksi–x sebagai 2b

ay dx

4. Mengira isipadu kisaran pada paksi–y sebagai 2b

ax dy

Unit 10 Penggunaan Pengamiran |275

PENGENALAN

amiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba lagi ca. 1800 BC, dimana Papirus

Matematik Moscow (Moscow Mathematical Papyrus) telah menunjukkan formula untuk

menyelesaikan masalah berkaitan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan

tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan (exhaustion method)

oleh Eudoxus ca. 370 BC. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan

memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui. Kaedah ini juga

boleh digunakan untuk mencari isipadu. Kaedah yang hampir sama digunakan oleh Archimedes

dan ahli matematik cina seperti Liu Hui, Zu Chongzhi dan Zu Geng serta ahli matematik India

bernama Aryabhata.

Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran adalah di Iraq apabila ahli matematik Islam

abad ke-11, Ibn Al-Haitham merancang satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-

Haitham" dalam buku fiziknya "Kitab Al-Manazir" (Book of Optics atau Buku tentang Penglihatan).

Masalah ini membawa kepada persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan

kuasa 4 atau x4). Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran

untuk mencari isipadu paraboloid. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan, beliau telah

mengasaskan kamiran untuk polinomial darjah keempat.

Di dalam unit sebelum ini, kita telah membincangkan pelbagai kaedah untuk mencari kamiran

suatu fungsi. Perbincangan diteruskan di dalam unit ini yang mana pelajar akan didedahkan

dengan penggunaan pengamiran untuk mengira luas permukaan dan isipadu suatu bongkah.

K

Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai penggunaan pengamiran:

http://ms.wikipedia.org/wiki/Kamiran

http://ms.wikipedia.org/w/index.php?title=Eudoxus&action=edit&redlink=1

http://ms.wikipedia.org/wiki/Kamiran

Kalkulus Asas|276

10.1 Luas di bawah graf

Rajah 10.1 di bawah menunjukkan bahagian suatu graf ( )y f x , paksi-x serta garis-garis

ax dan x = b. Rantau ini terletak di sebelah atas paksi-x. Luas rantau tersebut dapat

ditentukan menggunakan rumus berikut:

b

aydxA

Rajah 10.1

.

Rajah 10.2 pula menunjukkan rantau yang dibatasi oleh graf )(xgy , paksi-x serta garis-garis

ax dan x = b. Rantau ini terletak di sebelah bawah paksi-x. Dalam kes ini, kamiran tentu

b

adxxg )( , bernilai negatif. Oleh kerana luas adalah kuantiti yang positif, maka luas rantau

tersebut ditulis sebagai

b

aydxA .

y = f(x)


Rajah 10.2

Dengan menggunakan hujah yang sama, luas rantau yang dibatasi oleh graf )(yhx , paksi –y

serta garis-garis cy dan dy seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.3 dapat ditentukan

menggunakan rumus berikut:

d

cxdyA

Rajah 10.3

y = g(x)

x = h(y)

Kalkulus Asas|278

Contoh 10.1

Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan 2

1y

x , paksi- x , garis 1x dan garis 4x .

Penyelesaian:

Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.4

Rajah 10.4

A 4

1ydx

4

21

1dx

x

4

1

1

x

1

14

3

4 unit persegi.

2

1y

x


Contoh 10.2

Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan 862 xxy dengan paksi-x .

Penyelesaian:

Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.5.

Rajah 10.5

persegi.unit 3

4

16123

83248

3

64

833

)86(

4

2

23

4

2

2

xxx

dxxxA

862 xxy

Kalkulus Asas|280

Contoh 10.3

Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkunganx

y2

dengan paksi-y serta garis-garis 2y dan

garis 4y .

Penyelesaian:


Rajah 10.6

386.1

)2ln4(ln2

ln2

2

4

2

4

2

y

dyy

A

xy

2


1. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 22 xy dalam selang ]1,0[ .

2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 232 xxy dan paksi-x.

3. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 4xy , paksi-y serta garis-garis 1y dan

4y .

10.2 Luas di bawah graf secara hasil tambah

Jika suatu rantau mempunyai beberapa bahagian di atas dan di bawah paksi-x, kamiran hendaklah

dinilai secara berasingan mengikut selang kamiran yang sesuai.

Contoh 10.4

Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 3xy dengan paksi-x serta garis-garis 1x dan

1x .

Penyelesaian

Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.7. Untuk

01 x , rantau terletak di bawah paksi- x, manakala untuk 10 x , rantau terletak di atas

paksi- x.

Latihan Formatif 10.1

Kalkulus Asas|282

Rajah 10.7

Luas rantau-rantau itu masing-masing ialah

persegi.unit 2

1

4

1

4

1

04

1

4

10

44

1

0

40

1

4

1

0

30

1

3

xx

dxxdxxA

1. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf f (x) = x2 – 1, x = – 2, x = 2 dan paksi-

x.

2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 13

2

xy dengan paksi-x serta garis-garis

x = 1, dan x = 2.


3xy


10.3 Luas di antara dua graf

Andaikan diberi graf-graf )(xfy dan )(xgy dan seterusnya kita perlu mengira luas rantau

yang terletak di antara dua graf ini di dalam selang ],[ da . Andaikan juga )()( xfxg untuk

],[ ca seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.8. Luas rantau tersebut diberikan oleh:

dxxfxgdxxgxfAd

c

c

a )]()([)]()([ .

Rajah 10.8

(Nota: dxAd

a )bawahsebelah graf atassebelah graf( ).

Contoh 10.5

Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf 102 2 xy dan 164 xy serta garis-garis

2x dan 5x .

Kalkulus Asas|284

Penyelesaian:

Rantau yang dikehendaki dilakarkan dalam Rajah 10.9. Oleh kerana bahagian bawah rantau terdiri

daripada tiga bahagian graf berlainan, maka luasnya tidak dapat dibuat menggunakan satu

kamiran sahaja. Luas rantau adalah hasil tambah dari luas-luas subrantau 1R , 2R dan 3R .

Rajah 10.9

Mula-mula cari titik-titik persilangan graf-graf 102 2 xy dan 164 xy , iaitu dengan

menyelesaikan persamaan

0)3)(1(2

0642

164102

2

2

xx

xx

xx

iaitu

1x atau 3x .

R1

R3

R2

102 2 xy

164 xy


Dengan demikian

A = luas 1R + luas 2R + luas 3R

persegi.unit 3

142

3

64

3

64

3

14

623

262

3

262

3

2

)642()642()642(

)]164(102[])102(164[)]164(102[

5

3

23

3

1

23

1

2

23

5

3

23

1

21

2

2

5

3

23

1

21

2

2

xxxxxxxxx

dxxxdxxxdxxx

dxxxdxxxdxxxA

1. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 12 xy dan garis 12 xy . Dapatkan

luas rantau yang dibatasi oleh graf 3xy dan xy .

2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf 2xy , xy 2 dan 0y .


Kalkulus Asas|286

10.4 Isipadu bongkah kisaran

Jika suatu rantau diputarkan melalui satu pusingan yang lengkap sekitar satu garis, maka akan

terhasil suatu bongkah seprti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.9. Bongkah tersebut dinamakan

bongkah kisaran yang dijanakan oleh rantau dan garis tersebut dinamakan paksi kisaran.

Rajah 10.9

Katakan luas di bawah graf )(xfy di antara ax dan bx diputarkan terhadap paksi-x.

Andaikan isipadu bongkah kisaran dibahagikan kepada cakera-cakera nipis oleh satah-satah yang

dilukis bersudut tegak dengan paksi-x. Cakera-cakera ini merupakan hampir satu cakera silinder

nipis yang isipadunya hampir bersamaan dengan xxf 2)]([ dengan )(xf adalah jejari cakera

itu. Isipadu kisaran adalah hasil tambah isipadu semua cakera ini dari ax hingga bx . Ini

diberikan oleh

xxfVb

ax

2)]([


Takrif 8.3 (kamiran tentu)

Kamiran tentu ditakrifkan sebagai berikut,

dengan dan ialah pemalar. disebut sebagai had bawah kamiran manakala disebut

had atas kamiran.

Takrif 10.1 (Isipadu bongkah kisaran pada paksi-x)

Andaikan )(xf ialah fungsi tak negatif dan selanjar pada ],[ ba dikisarkan o360 terhadap

paksi-x. Maka, isipadu bongkah diberikan oleh

dxxfxxfhadVb

a

b

axx

22

0)()]([

Takrif 10.2 (Isipadu bongkah kisaran pada paksi-y)

Dengan cara yang sama, andaikan )(yu ialah fungsi tak negatif dan selanjar pada ],[ dc

dikisarkan o360 terhadap paksi-y. Maka, isipadu bongkah diberikan oleh

dyyuVd

c

2

)(

Contoh 10.6

1. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 22)( xxxf yang

terletak di atas paksi-x diputarkan terhadap paksi-x.

Penyelesaian:


Rajah 10.10

22 xxy

Kalkulus Asas|288

padu.unit 15

16

5

21

3

216

5

3216

3

32

5

1

3

4

)44

)2(

)(

2

0

543

2

0

432

22

0

2

22

0

xxx

dxxxx

dxxx

dxxfV

2. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf xy 42 yang terletak

di sebelah kanan paksi-x diputarkan terhadap paksi-y.

Penyelesaian:


Rajah 10.11

xy 42


padu.unit 15

234

5

1

3

2164

5

64

3

12864

5

32

3

6432

5

32

3

6432

5

1

3

816

)816

)4(

)]([

2

2

53

2

2

42

2

2

22

22

2

yyy

dyyy

dyy

dyyuV

3. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 2xy dengan garis

2 xy serta paksi-y yang diputarkan terhadap paksi-x.

Penyelesaian:


Rajah 10.12

P 2xy 2 xy

Kalkulus Asas|290

Mula-mula cari titik-titik persilangan graf-graf 2xy dan 2 xy , iaitu dengan menyelesaikan

persamaan

0)1)(2(

02

2

2

2

xx

xx

xx

iaitu

2x atau 1x .

Oleh kerana titik persilangan P yang dikehendaki terletak pada sukuan I, maka, kita pilih 2x .

padu.unit 5

412

5

4

3

78

5

32

3

56

3

8

5

32

3

64

53

)2(

])()2[(

2

0

2

0

53

2

0

222

xx

dxxxV


1. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 2xy dengan

garis 5x serta paksi-y yang diputarkan terhadap paksi-x.

2. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 12 xy

dengan garis-garis 1x dan 2x serta paksi-x yang diputarkan terhadap paksi-

y.

RUMUSAN

Kamiran adalah satu asas kalkulus. Ia memainkan peranan penting dalam banyak hukum fizik dan

banyak digunakan dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Dalam unit ini kita telah

membincangkan beberapa penggunaan pengamiran. Antaranya adalah mencari luas suatu rantau

dan isipadu bongkah kisaran. Adalah diharapkan agar pelajar mengukuhkan lagi kefahaman

dengan bacaan dan latihan-latihan yang banyak daripada buku-buku teks.

KATA KUNCI

Luas di bawah graf, Luas antara dua graf, Bongkah kisaran, Paksi kisaran.


http://ms.wikipedia.org/wiki/Kejuruteraan

Kalkulus Asas|292

1. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf xy 42 dan garis 4x .

2. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 2

1

xy dan garis-garis xy , 0x dan

4y .

3. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf 24xy dan xy 22 .

4. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf |1| xy dan xxy 22 ,

dengan garis-garis 0x dan 2x .

5. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf 2yx dan 22 yx .

6. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 4

2xy , 0x dan

1y yang dikisarkan terhadap paksi-y.

7. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 21 xy dengan garis-

garis 0y , 1x dan 1x yang dikisarkan terhadap paksi-x.

8. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf-graf 2yx dan

2 xy dikisarkan terhadap paksi-y.

Latihan Sumatif


RUJUKAN

Majid, M. (2002). Kalkulus Asas Untuk Pelajar Kejuruteraan dan Sains. DBP: Kuala Lumpur.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

Smith, R.T., & Minton, R.B. (2007). Calculus: Early Transcendental Functions (3rd Ed.). Mc. Graw

Hill: New York.

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Layari Laman Web

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/AreaBetweenCurves.aspx

http://www.education.com/study-help/article/area-curves/

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. persegiunit 3

7

2. persegiunit 27

4

3. persegiunit ln28

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/AreaBetweenCurves.aspx

http://www.education.com/study-help/article/area-curves/

Kalkulus Asas|294


1. persegiunit 4

2. persegiunit .5720


1. persegiunit 3

4

2. persegiunit 2

1

3. persegiunit 6

5


1. paduunit 5002

2. persegiunit 2

9

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. persegiunit 3

64 2. persegiunit

2

5

3. persegiunit 6

1 4. persegiunit

3

7

4. persegiunit 3

8 6. persegiunit 2

7. persegiunit 15

56 8. persegiunit

5

72

Documents

Unit Pelajaran 10 Penggunaan Pengamiran