1

Bab 3 : PENGAMIRAN

Sesi 1

Jika 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = f(x) , maka ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑦

Kamiran bagi pemalar

∫ 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑐 , dengan a ialah pemalar.

Kamiran bagi axn

∫ 𝑎𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑐 , dengan a ≠ 0, n ≠ 1.

Contoh 1

Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

(a) ∫ 5 𝑑𝑥

(b) ∫ −4

7 𝑑𝑥

(c) ∫ 2.7 𝑑𝑥

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

Contoh 2

Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

(a) x7 (c) 5

𝑥3

(b) 3x4 (d) 3

4𝑥2

Penyelesaian

(a)

2

(b)

(c)

(d)

Contoh 3

Tentukan kamiran bagi setiap yang berikut :

(a) ∫(6𝑥3 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥

(b) ∫(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) 𝑑𝑥

(c) ∫𝑥3− 1

𝑥2 𝑑𝑥

(d) ∫𝑥2 −25

𝑥 −5 𝑑𝑥

Penyelesaian

(a)

(b)

3

(c)

(d)

Sesi 2

Pengamiran jenis ∫(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏 𝒅𝒙

∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1

𝑎(𝑛 + 1)+ 𝑐 , 𝑛 ≠ −1

Contoh

Cari kamiran bagi setiap yang berikut :

(a) ∫(3𝑥 + 2)4 𝑑𝑥

(b) ∫12

(2𝑥 −3)4 𝑑𝑥

Penyelesaian

(a)

4

(b)

Penentuan pemalar suatu kamiran

Contoh 1

Diberi 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 2 dan y = 6 apabila x = -1, ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian

Contoh 2

Diberi 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (4 − 𝑥)2 dan y = 16 apabila x = 1, carikan nilai y apabila x = -1.

5

Penyelesaian

Penentuan pemalar suatu lengkung daripada fungsi kecerunan

1. Fungsi kecerunan = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

2. Persamaan lengkung : y = ∫𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥.

Contoh

Fungsi kecerunan suatu lengkung yang melalui titik A (1, -12) adalah 3x2 – 6x. Carikan

persamaan lengkung itu.

6

Penyelesaian

Sesi 3

Kamiran Tentu

Contoh

Nilaikan setiap yang berikut :

(a) ∫ (4𝑥 − 3𝑥2) 𝑑𝑥3

1

(b) ∫5

(𝑥+3)2

0

−1 𝑑𝑥

Penyelesaian

(a)

7

(b)

Aplikasi kamiran tentu

Nota :

(i) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

(ii) ∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

(iii) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎

𝑏= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

(iv) ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

(v) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑐

𝑏

𝑏

𝑎= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑐

𝑎

Contoh 1

Diberi ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 43

2, cari nilai

(a) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥2

3 (c) ∫ [𝑓(𝑥) + 5] 𝑑𝑥

3

2

(b) ∫ 5𝑓(𝑥) 𝑑𝑥3

2 (d) k apabila ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑘𝑥] 𝑑𝑥 = 5

3

2

8

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

(d)

Contoh 2

Diberi ∫ (2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 6𝑘

−1 dengan keadaan 𝑘 > −1, carikan nilai k.

9

Penyelesaian

Sesi 4

Luas di bawah lengkung

y

x 0 a b

y

x 0

Luas = ∫ 𝑦 𝑑𝑥𝑏

𝑎 Luas = ቚ∫ 𝑦 𝑑𝑥

𝑏

𝑎ቚ

a b

10

Contoh 1

Tentukan luas kawasan berlorek.

Penyelesaian

Contoh 2

Tentukan luas kawasan berlorek.

y

x 2 3 0

𝑦 = 4𝑥3

0 2

y

x

11

Penyelesaian

Contoh 3

Penyelesaian

y

x

A

B 0 1 2

12

Luas di bawah lengkung dengan paksi-y

y

x

c

d

x

y

c

d

Luas = ∫ 𝑥 𝑑𝑦𝑑

𝑐

Luas = ∫ 𝑥 𝑑𝑦𝑑

𝑐

Luas = ቤ∫ 𝑥 𝑑𝑦𝑑

𝑐

ቤ

13

Contoh 1

Hitungkan luas rantau berlorek.

Penyelesaian

𝑦2 = 4𝑥

y

3

0 x

14

Luas antara lengkung dengan suatu garis lurus

Contoh

Cari luas rantau berlorek.

Penyelesaian

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝑥(4 − 𝑥)

𝑦

𝑥 0

15

Sesi 5

Isipadu janaan antara lengkung dengan paksi-x

Isipadu janaan antara lengkung dengan paksi-y

Contoh 1

Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan 360˚ pada paksi-x.

y

x

𝑦 = 𝑓(𝑥)

a b 0

I = 𝜋 ∫ 𝑦2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

y

x

c

d

0

I = 𝜋 ∫ 𝑥2𝑑

𝑐

𝑑𝑦

y

x 2 0

𝑦 = 𝑥3

16

Penyelesaian

Contoh 2

Cari isipadu yang dijanakn apabila rantau berlorek dikisarkan 360˚ pada paksi-y.

Penyelesaian

y

x

2

0

𝑦 = 𝑥2

17

Contoh 3

Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan 360° pada paksi-y.

Penyelesaian

𝑦 = 𝑥2 + 2

𝑦 = −3𝑥 + 6

y

x

2 3

6 A

B