Unit Pelajaran 8 Trigonometri II

Unit 8 Trigonometri II |205

UNIT PELAJARAN 8

TRIGONOMETRI II

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1) Menyelesaikan persamaan Identiti trigonometri asas dan menyelesaikan

persamaan triginometri atau membuktikan persamaan trigonometri.

2) Mengenal identiti trigonometri sudut majmuk, sudut gandaan dan sudut separuh.

3) Menyelesaikan persamaan trigonometri dan rumus faktor.

4) Masalah tiga matra: petua sinus, petua kosinus, rumus luas segi tiga.

.

Matematik Asas|206

PENGENALAN

erdapat banyak kegunaan untuk trigonometri, khususnya teknik penyegitigaan yang

digunakan dalam:

astronomi untuk mengukur jarak bintang-bintang yang dekat;

geografi untuk mengukur jarak antara tanda tempat; dan

sistem pandu arah satelit.

Bidang-bidang lain yang menggunakan trigonometri termasuk pandu arah (di lautan dan angkasa

luar, serta untuk kapal terbang), teori muzik, analisis pasaran kewangan, elektronik, teori

kebarangkalian, statistik, biologi, pengimejan perubatan (imbas tomografi berkomputer dan

ultrabunyi), farmasi, kimia, teori nombor (kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, sains

fizikal, ukur tanah dan geodesi, seni bina, fonetik, ekonomi, kejuruteraan elektrik, kejuruteraan

jentera, kejuruteraan awam, grafik komputer, kartografi, kristalografi dan pembangunan permainan.

Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131), menggabungkan trigonometri dan teori

penghampiran untuk memberikan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan algebra

melalui min geometri. Kaedah-kaedah perinci untuk membina jadual sinus untuk mana-mana satu

sudut diberikan oleh ahli matematik India, Bhaskara pada tahun 1150, bersama-sama dengan

sesetengah formula sinus dan kosinus.

T

Layari Laman Web berikut untuk mengetahui mengenai identiti trigonometri:

http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/identities.html

http://www.themathpage.com/atrig/trigonometric-identities.htm

http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/identities.html

http://www.themathpage.com/atrig/trigonometric-identities.htm


8.1 Identiti Trigonometri

a) Identiti asas

Pembuktian identiti asas

Merujuk kepada segi tiga di sebelah, dengan menggunakan Teorem Pithagoras,

x2 + y2 = r2

Bahagi kedua-dua belah persamaan dengan r2

2

2

r

x +

2

2

r

y = 1 maka

2

r

x

+

2

r

y

= 1

Tetapi r

x = kos dan

r

y = sin , maka

sin2 + kos2 = 1

Jika persamaan (1) di bahagi dengan kos2, maka

sek2 = 1 + tan2

Jika persamaan (1) di bahagi dengan sin2, maka

kosek2 = 1 + kot2

Maka kesimpulannya, identiti asas trigonometri adalah

sin2 + kos2 = 1

sek2 = 1 + tan2

kosek2 = 1 + kot2

Anda boleh gantikan

dengan sebarang

sudut dan identiti ini

masih benar.

x

P (x,y)

r

y

Matematik Asas|208

b) Rumus sudut majmuk

Pembuktian rumus sudut majmuk Dengan mengambil segitiga- segitiga disebelah,

sin( +) = OC

CE =

OC

DECD

= OC

DC

OC

AB

OC

DCAB

=

OC

BC

BC

DC

OC

OB

OB

AB

sin ( + ) = sin kos + kos sin

Seterusnya

kos( +) = kos kos – sinsin

Kemudiannya dengan menggantikan dengan (–)

Dalam identiti bagi sin ( + ) dan kos ( + )

sin( +) = sin kos + kos sin

sin( + (-)) = sin kos (– ) + kos sin(-)

sin( – ) = sin kos – kos sin dan

kos( + ) = kos kos – sin sin

kos( +(– )) = kos kos(– ) – sin sin(– )

kos( – ) = kos kos + sin sin

Rajah 8.1

kos(-) = kos dan sin

(-) = -sin

B D

C

A O

E


Maka

sin( ± ) = sin kos ± kos sin

kos( ± ) = kos kos sin sin

Manakala identiti tan (A + B) adalah dari sin ( + ) dan kos ( + )

tan( + ) = sin( +) = sin kos + kos sin

kos( +) kos kos – sin sin

sin kos + kos sin

kos kos kos kos

kos kos – sin sin

kos kos kos kos

tan ( + ) = tan + tan

1 – tan tan

Gantikan dengan (- ) di dalam tan ( + ),

tan( +( – )) = tan + tan(– )

1 – tan tan(– )

tan( – ) = tan – tan

1 + tan tan

Maka

tan( ± ) = tan ± tan

1 tan tan

=

Tahukah anda kenapa tan

(-) = - tan ?

Membahagi dengan

keseluruhan dengan

kos kos

Matematik Asas|210

Rumus sudut majmuk keseluruhannya ialah

Sin ( ± ) = sin kos ± kos sin

kos ( ± ) = kos kos sin sin

c ) Rumus sudut gandaan

Dengan menggunakan identiti- identiti sin(+), kos(+) dan tan(+), kemudian menggantikan

dengan , boleh diterbitkan identiti – identiti berikut:

sin 2 = 2 sin kos

kos 2 = kos2 – sin2

tan( + ) = 2 tan

1 – tan2

Dengan memasukkan sin2 + kos2 = 1 ke dalam kos 2, maka

kos 2 = kos2 – sin2

= ( 1 – sin2) – sin2

kos 2 = 1 – 2 sin2

ATAU

kos 2 = kos2 – (1 – kos2 )

kos2 = 2kos2 – 1

tan ( ± ) = tan ± tan

1 tan tan

Masih ingat lagi

sukuan mana yang

nilai trigonometri

asasnya positif?

Semua +

Kos +

Sin +

Tan +


1. Cari semua sudut x dengan 0 x 360 yang memuaskan persamaan kot x = 2sin 2x

(dengan menggunakan sin 2x = 2 sin x kos x).

2. Buktikan bahawa 1 +kot2 = kosek2 (dengan menggunakan sin2 + kos2 = 1)

3. Cari penyelesaian bagi persamaan sek x – 3 kos x = 2 untuk 0 x 360.

4. Cari penyelesaian bagi persamaan berikut untuk – 360 x 360

sek x - 3kos x = 2

d) Rumus sudut separuh gandaan

sin = 2 sin kos 2 2

kos = kos2 – sin2 2 2

= 2 kos2 –1 2

= 1 – 2 sin2 2

tan = 2 tan 2

1 – tan2 2

e) Rumus-rumus faktor

Dengan menambah dan menolak pasangan identiti-identiti

sin( +) = sin kos + kos sin

kos( +) = kos kos – sin sin,

Latihan Formatif 8.1

Matematik Asas|212

dan

kos( +) = kos kos – sin sin

kos( -) = kos kos + sin sin,

seperti berikut,

(Penambahan)

sin kos + kos sin = sin( +)

+ sin kos – kos sin = sin( – ) menghasilkan

2 sin kos = sin( +) + sin( – ) maka

2sin kos = sin( +) + sin( – ) (1)

(Penolakan)

sin kos + kos sin = sin( +)

– sin kos – kos sin = sin( – ) menghasilkan

2kos sin = sin( +) – sin( – ) maka

2kos sin = sin( +) – sin( – ) (2)

Manakala pasangan kos( + ) dan kos( – ) pula menghasilkan

2kos kos = kos( +) + kos( – )

2sin sin = kos( +) – kos( – ) (3)


Maka

Dengan menggantikan = x + y dan = x – y ke dalam (1), (2) dan (3) 2 2

kita menghasilkan identiti berikut:

sin x + sin y = 2 sin (x+y) kos (x – y) 2 2

sin x - sin y = 2 kos (x+y) sin (x – y) 2 2

kos x + kos y = 2 kos (x+y) kos (x – y) 2 2

kos x – kos y = – 2 sin (x+y) sin (x – y) 2 2

1. Buktikan bahawa 2 kos 2 – 3 kos + 1 = 1 – 2 kos

sin 2 1 + kos

2. Diberi sin = p dengan ialah sudut tirus, carikan dalam sebutan p,

a) kos b) tan (– )

3. Jika tan = 4

3 dengan adalah sudut tirus, cari tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,

nilai-nilai bagi

a) tan 2 b) tan 2

1


Matematik Asas|214

f) Formula Segitiga

i) Petua Sinus

Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi :

Dua sudut dan satu sisi

Dua sisi dan satu sudut bukan kandung

ii) Petua Kosinus Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi:-

Dua sisi dan satu sudut kandung

a2 = b2 + c2 – 2bc kos a

b2 = a2 + c2 – 2ac kos b

c2 = a2 + b2 – 2ab kos c

Tiga sisi

kos A = b2 + c2 – a2

2bc

kos B = a2 + c2 – b2

2ac

kos C = a2 + b2 – c2

2ab

a =

b =

c

sin A sin B sin C


g) Luas Segitiga

Luas ABC =2

1 ab sin C

= 2

1 ac sin B

= 2

1 bc sin A

Luas ABC = 2

1 x Tapak x Tinggi

Diberi sin x = 2

1 dan 0° x 360° , cari nilai bagi

a) x b) sin 2x tanpa menggunakan sifir

Penyelesaian:

a) sin x = 2

1

x = 30°, (180°-30°)

= 30°, 150°

b) kos x = 2

1,

sin 2x = 2 sin x kos x

= 2 (2

1) (

2

1) =

2

1

Tinggi

Tapak

A

B

C

a c

b

Contoh 8.1

Matematik Asas|216

Buktikan identiti kosek x – sin x = kos x kot x

Penyelesaian:

Di sebelah kiri

kosek x – sin x = xsin xsin

1

= xsin

xkos

xsin

xsin - 1 22

= kos x kot x ( terbukti )

Cari semua sudut antara 0°dengan 360° yang memuaskan persamaan

a) 2 kos 2x = 1

b) tan 2y = –1

Penyelesaian:

a) 2 kos 2x = 1

kos 2x = 2

1

2x = 60°, 300°, 420°, 660°

x = 30°, 150°, 210°, 330°

b) tan 2y = –1

2y = 135°, 315°, 495°, 675°

y = 67.5°, 157.5°, 247.5°, 337.5°

Contoh 8.2

Contoh 8.3


Selesaikan persamaan 4 tan x – 2 tan2 x = sek2 x antara 0° hingga 360°

Penyelesaian:

4 tan x – 2 tan2 x = sek2 x

4 tan x – 2 tan2 x = 1 + tan2 x

3 tan 2x – 4 tan x + 1 = 0

(tan x – 1)(3 tan x – 1) = 0

tan x = 1 atau tan x = 3

1

x = 45°,225° x = 18.43°, 198.43°

x =18.43°, 45°, 198.43°, 225°

Diberi sin = 13

5 di mana 180 0 < < 270 0 , carikan nilai bagi tan dan kos dalam bentuk pecahan.

Penyelesaian:

180 0 < < 270 0 maka terletak dalam sukuan ketiga, maka x < 0, y < 0

Diberi sin = 13

5

x 2 + y 2 = r 2

x 2 = r 2 - y 2 = 169 – 25 = 144

x = 12

x = – 12 (x < 0)

Maka tan = 12

5

Jadi, y = – 5 dan r = 13 . Dengan menggunakan teorem Pithagoras,

kos = 13

12

x

-5

(x, -5)

13

0

y

Contoh 8.4

Contoh 8.5

Matematik Asas|218

Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai dengan

tanda yang betul.

a) sin 614 0 b) kos 459 0 c) tan π4

9

Penyelesaian

a) 614 0 = 360 0 + 254 0 (sukuan ke-3)

sudut rujukan = –180 0

= 254 0 – 180 0

= 74 0

sin 614 0 = – sin 74 0

b) 459 0 = 360 0 + 99 0(sukuan ke-2)

sudut rujukan = 180 0 –

= 180 0 – 99 0

= 81 0

kos 459 0 = – kos 81 0

c) π4

9 = 2π + π

4

1 (sukuan pertama)

sudut rujukan = π4

1

π4

9tan = tan π

4

1

Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai dengan

tanda yang betul.

a) sin 0231( )

b) kos ( 0520 )

c) tan

π

8

11

Nota

Ingat bahawa π radian = 1800

,

jawapan anda selalu boleh

disemak secara menukarkan

sudut dalam radian kepada

sudut dalam darjah.

Contoh 8.6

Contoh 8.7


Penyelesaian:

Dengan rumus bagi sudut negatif,

a) sin 0231( ) = – sin 2310 (sukuan ke-3)

= – (– sin (2310 – 1800))

= sin 510

b) kos (–5200) = kos 5200

= kos (5200 – 3600)

= kos 1600 (sukuan ke-2)

= – kos (1800 – 1600)

= – kos 200

c) tan

π

8

11 = – tan

π

8

11 (sukuan ke-3)

= – tan

ππ

8

11

= – tan π8

3

Diberi A adalah satu sudut tirus dan tan A =12

5, carikan nilai bagi

a) kosek A b) kot A c) sek A

Contoh 8.8

Matematik Asas|220

Penyelesaian:

Diberi tan A =12

5, dan A tirus, maka A dalam sukuan pertama, x > 0, y > 0. Didapati x = 12, y = 5.

Dengan menggunakan teorem Pithagoras,

222 yxr

= 144 + 25

= 169

r = 13

0)(r 13r

a) Asin

1 Akosek

5

12 b)

Atan

1kot A

12

5

1

5

12 c)

12

13

13

12

1

Akos

1 Asek

a) Diberi sin x = – 0.6 dan 0 0 < x < 270 0 , carikan nilai kos 2

1x

b) Diberi kos y = – 0.72 dan 0 0 < y < 180 0 , carikan nilai sin 3y.

Penyelesaian:

a) sin x = – 0.6

x = 180 0 + 36 0 52’

x = 216 0 26’

kos2

1x = kos

2

1(216 0 13’)

= kos 108 0 13’

= – kos(180 0 – 108 0 13’)

= – 0.3162

A

5

12

Contoh 8.9


b) kos y = – 0.72

y = 180 0 – 43 0 56’

= 136 0 4’

sin 3y = sin 3 x 136 0 4’

= sin 408 0 12’

= sin 48 0 12’

= 0.665

Carikan nilai

a) sin(– 240 0 ) b) tan 860 0 c) kos (– 430 0 )

Penyelesaian:

a) sin(–240 0 ) (sukuan ke-2)

= – sin 240 0 = sin (240 0 – 180 0 )

= sin 60 0 = 0.866

b) tan 860 0 = tan 140 0 (sukuan ke-2)

= – tan 40 0 = – 0.8391

c) kos (– 430 0 ) = kos (430 0 – 360 0 ) (sukuan ke-4)

= kos 70 0 = 0.342

860°

–430°

–240°

Contoh 8.10

Matematik Asas|222

Cari semua nilai x antara 0 0 dan 360

0 yang memenuhi persamaan

a) kos 2x = 2

3 b) kos2 x = 2sin x kos x – sin2 x c) tan x + 6 kot x = 7

Penyelesaian:

a) kos 2x = 2

3

2x = 30 0,330

0,390

0,690

0

x = 15 0,165

0,195

0,345

0

b) kos2 x = 2sin x kos x – sin2 x

kos2 x + sin2 x = 2sin x kos x

sin 2x = 1

2x = 900, 450

0

x = 450, 225

0

c) tan x + 6 kot x = 7

tan2 x + 6 = 7 tan x

tan2 x – 7 tanx + 6 = 0

(tan x – 1)(tan x – 6) = 0

tan x = 1 atau tan x = 6

x = 450 , 225 0 atau x = 80.5 0 , 260.5 0

x = 45 0 , 225 0 , 80.5 0 , 260.5 0

kos2 x + sin2 x =1 dan

2sin x kos x = sin 2x

Darabkan tanx di kedua-

dua belah persamaan.

Contoh 8.11


Selesaikan persamaan kos(x + 60) = sin (x + 45 0 ) dengan memberi

semua nilai antara 0 0 dan 360 0 dan mengambil hanya punca kuasa positif.

Penyelesaian :

kos (x + 60) = sin (x + 45 0 )

kos x kos 60 0 – sin x sin 60 0 = sin x kos 45 0 + kos x sin 45 0

kos x kos 60 0 – kos x sin 45 0 = sin x kos 45 0 + sin x sin 60 0

kos x (2

1–

2

1 ) = sin x (2

1 + 2

3)

kos x(1 – 2 ) = sin x( 2 + 3 )

kosx

sinx =

32

21

tan x = ()23)(23(

2)3)(2(1

) =

1

2623 = – 0.131

x = (180 0 – 7 0 28’), (360 0 – 7 0 28’)

= 172 0 32’, 352 0 32

Diberi – 2 tan x = tan (x + 45 0 ), carikan semua nilai x antara 0 0 dan 360 0 .

Penyelesaian :

– 2 tan x = tan (x + 45 0 ) = tanxtan451

tan45tanx

=

tanx1

1tanx

– 2 tan x(1 – tan x) = tan x + 1

– 2 tan x + 2 tan2 x – tan x – 1 = 0

2

2

2

1

Contoh 8.12

Contoh 8.13

Matematik Asas|224

2 tan2 x – 3 tan x – 1 = 0

tan x = 4

(8)33 2

Bila tan x = 1.7808

x = 60 0 41’, (180 0 + 60 0 41’)

= 60 0 41’, 240 0 41’

Bila tan x = – 0.2088

x = (180 0 – 15 0 41’), (360 0 – 5 0 41’) = 164 0 19 , 344 0 19’

Tunjukkan bahawa x = 60 0 ialah salah satu penyelesaian bagi persamaan

12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0

Dengan mencari faktor-faktor lain, carikan penyelesaian lain bagi nilai x antara 0 0 dan 360 0 .

Penyelesaian :

12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0

Bila x = 60 0 , kos 60 0 = 2

1

Oleh itu 12(2

1)3 – 4(

2

1)2 – 3(

2

1) + 1 = 0

x = 60 0 ialah salah satu penyelesaian.

kos x = kos 60 = 2

1

2 kos x – 1 = 0 ialah salah satu faktor.

12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0

(2 kos x – 1)(6 kos2 x + kos x – 1) = 0

Gunakan formula untuk

mendapatkan penyelesaian

kepada persamaan kuadratik

ax2 – bx + c ialah

2a

4acbbx

2

Kenapa?

Faktorkan

persamaan

kuadratik ini.

Contoh 8.14


(2 kos x – 1)(2 kos x + 1)(3 kos x – 1) = 0

Oleh itu kos x = 2

1 x = 60 0 , (360 0 – 60 0 ) = 60 0 , 300 0

Atau kos x = 2

1 x = (180 0 – 60 0 ), (180 0 + 60 0 )

= 120 0 , 240 0

atau kos x = 3

1 x = 70 0 32’, (360 0 – 70 0 32’)

= 70 0 32’, 289 0 28’

Nilai-nilai x ialah 60 0 , 70 0 32’, 120 0 , 240 0 , 289 0 28’, 300 0 .

Diberi kos = 2

1 yang mana ialah sudut tirus. Tanpa penggunaan buku sifir, carikan

a) sin b) sin 2 c) kos 2 d) tan 2

Penyelesaian:

a) sin = 2

3

b) sin 2 = 2 sin kos = 2 (2

3 )(2

1 ) = 2

3

c) kos 2 = kos2 – sin2 = (2

1 )2 – (2

3 )2 =2

1

d) tan 2 = 2θ kos

2θ sin =

2

12

3

= 3

Jika sin A = 2

1 dan sin B =

4

1, carikan nilai sin (A + B)sin (A – B).

2

1

3

A

2 1

3

Contoh 8.15

Contoh 8.16

Matematik Asas|226

Penyelesaian:

sin A = 2

1, kos A =

2

3, sin B =

4

1, kos B =

4

15,

sin2 A = 4

1, kos2 A =

4

3, sin2 B =

16

1, kos2 B =

16

15

1 – kos2 A = 4

1 1 – kos2 B =

16

1

sin (A + B)sin (A – B) = ( sin A kos B + kos A sin B)(sin A kos B – kos A sin B)

= sin2 A kos2 B – kos2 A sin2 B

= (4

1) (

16

15) – (

4

3) (

16

1) =

64

3

64

15 =

16

3

1. Buktikan identiti berikut

a) (sek – tan )2 = θ sin 1

θ sin-1

b) θ tan 1

θ tan-12

2

= 2 kos 2 – 1

c) θ kos -θ sek

θ sek = kosek 2

d) kot (A + B) =Bkot kot A

1-Bkot Akot

e) (sin + sin 3) + (sin 5 + sin 7) = 16 sin kos 2 kos 2 2

2. Dalam suatu segi tiga ABC, BC = 20 cm, sudut B = 30 dan sudut C = 45. Cari luas ABC.

.


B

4 1

15


3. Suatu segi tiga ABC mempunyai BC = 8cm, CA = 7cm, AB = 5 cm; AN ialah garis serenjang

dari A ke BC dan NR ialah garis serenjang dari N ke AB. Hitungkan sudut B dan panjang NR

betul sehingga tiga angka bererti.

RUMUSAN

Identiti Trigonometri

a ) Identiti asas

sin2 + kos2 = 1

sek2 = 1 + tan2

kosek2 = 1 + kot2

b ) Rumus sudut majmuk

sin ( ± ) = sin kos ± kos sin

kos ( ± ) = kos kos sin sin

c ) Rumus sudut gandaan

sin 2 = 2 sin kos

kos 2 = kos2 – sin2 atau kos 2 = 1 – 2 sin2 atau kos 2 = 2kos2 –1

tan( + ) = α

α 2tan 1

tan2

tan ( ± ) = tan ± tan

1 tan tan

Matematik Asas|228

d) Rumus sudut separuh gandaan

sin = 2 sin 2

αkos

2

α

kos = kos2

2

α– sin2

2

α= 2 kos2

2

α – 1 = 1 – 2 sin2

2

α

2

α

α2

α

α2tan-1

tan2

tan

e) Rumus-rumus faktor

2sin kos = sin( +) + sin( – )

2kos sin = sin( +) – sin( – )

2kos kos = kos( +) + kos( – )

2sin sin = kos( +) – kos( – )

Dengan menggantikan = x + y dan = x – y ke dalam (1), (2) dan (3) kita menghasilkan: 2 2

sin x + sin y = )2

y)x)kos(

2

yxsin( 2

sin x – sin y = )2

y)x)sin(

2

yxkos( 2

kos x + kos y = )2

y)x)kos(

2

yxkos( 2

kos x – kos y = )2

y)x)sin(

2

yxsin( 2-


f) Formula Segitiga

i) Petua Sinus

Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi :

Dua sudut dan satu sisi

Dua sisi dan satu sudut bukan kandung

ii) Petua Kosinus

Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi:-

Dua sisi dan satu sudut kandung

a2 = b2 + c2 – 2bc kos a

b2 = a2 + c2 – 2ac kos b

c2 = a2 + b2 – 2ab kos c

Tiga sisi

kos A = b2 + c2 – a2

2bc

kos B = a2 + c2 – b2

2ac

KATA KUNCI

Trigonometri, sudut majmuk, sudut tirus, identiti asas, sinus, kosinus, kotangen, sudut rujukan.

a

=

b

=

c

Sin A Sin B Sin C

kos C = a2 + b2 – c2

2ab

Matematik Asas|230

1. Buktikan bahawa

θ kos 1

2kosθ -1

θsin

1 θ kos 3θ kos 22

2

2. Cari satu ungkapan bagi sin 3A dalam sebutan sin A

3. Buktikan bahawa

2A kos A sin 6A kos3A sin

2A sin A sin 6A sin3A sin

= tan 5A (gunakan rumus faktor)

4. Buktikan bahawa

sin 4x + kos 4x = 1 - sin2 2x

5. Buktikan identiti berikut

2θ kos 1

2θ sin

= tan

6. Untuk nilai 0° x 360°, selesaikan persamaan berikut:

a) kos 2x = kos x

b) sin x = 2 sin (60° – x)

7. Jika tan B = 5 tan C, buktikan

tan (B + C) = 6Ckosek

Ckot 62

8. Selesaikan persamaan berikut di mana 0° 360

sin 2 + sin 3 + sin 4 = 0

Latihan Sumatif


9. Diberi sin A = 5

3 dan kos B =

25

7dengan keadaan 0 A, B 90, carikan nilai

a) tan (A + B)

b) sin (A - B)

10. Buktikan bahawa

sin22 (kot2 - tan2) = 4 kos2

11. Diberi sin = m2

1 dengan keadaan ialah sudut tirus.

a) Tunjukkan bahawa sin 2 = )2m-(4m2

1

b) Carikan nilai m jika kos 2 = m6

7

12. Buktikan identiti

sin X + kos X = 2 sin (X + Y) sin Y kos Y sin 2Y

RUJUKAN

Marzita Puteh.2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Marzita Puteh.2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

Marzita Puteh. 2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

McGregor, C. 1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing, Chichester

Selamat

Mencuba.

Jangan cepat

putus asa!!!

Matematik Asas|232

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. 30, 90, 150, 210, 270, 330

3. 70.53, 180, 289.47

4. 70.53, 180, 289.47


2. a) 2p1 b) 2p1

p

3. a) 7

24 b)

3

1


2. 73.2 cm2

3. 2.17 cm

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A

6. a) x = 120, 240 b) x = 40.9, 220.9

8. = 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360

9. tan (A + B) = 44

117- sin (A – B) =

125

39-

10. m = 3

2

Documents

Unit Pelajaran 8 Trigonometri II