República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para La Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica

De Las Fuerzas Armadas Bolivariana.

Núcleo-Anzoátegui.

Cátedra: Algebra Lineal.

Alumna: Karina mahawech

C.I: 19.940.909

San Tome, 2011.

INTRODUCCION

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un

vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber,

sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado,

conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se

llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos.

Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden

representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen

sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las

transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y

en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones

importantes. Las transformaciones lineales

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes

tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones

lineales.

TRANSFORMACIONES LINEALES:

Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V

y w esta en W, T(v) = w donde w será la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las

imágenes se llama contradominio de T y el conjunto de v de V tales que T(v) = w se

llama preimagen de w.

La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puede

hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma

(T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación por un escalar (T(cU)= cT(u)).

Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son:

T(0) = 0

T(-v) = - T(v)

T(v-u) = T(v)-T(u)

Sí v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).

Para definir una transformacion lineal por una matriz esta se notara así: siendo a la

matriz m x n la funcion T se definirá T(v) = Av que suna transformación lineal de Rn en

Rm .

El núcleo se puede encontrar definiendo la transformada así. T(v) = 0 esto también se

denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea núcleo esta debe cumplir

que Ax = 0.

La dimensión del núcleo se llama nulidad y la dimensión del contradominio de T se

llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A).

Dimensión del dominio = dimensión del rango + dimensión del núcleo.

Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la preimagen de

W consta de un solo vector, o sea, será uno a uno para toda u y v en V, T(u) = T(v),

también hay que tomar en cuenta que ker(T) = 0. También las transformadas lineales

puede ser sobre si y solo si el rango de T es igual a la dimensión de W. Y un

transformación lineal es biyectiba si es uno a uno y sobre.

Existencia de una transformación inversa:

Sea T: Rn ! Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las siguientes

condiciones:

T es invertible

T es un isomorfismo

A es invertible

Si T es invertible con matriz standard A, entonces la matriz standard de T-1 es A-1.

Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B', don de la matriz A que se denomina

matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la transformación

identidad es simplemente In.

La matriz de transición de un transformada lineal depende del espacio V.

Las matriz de transición T con respecto a la base B es diferente a la matriz T con

respecto a otra base B'.

A'[(V)]B' ! [ T(V)]B' es la forma directa a través de la matriz A'.

P-1AP[V]B' = T[(V)]B' forma indirecta.

A' = P-1AP

Donde a es la matriz de T con respecto a B, A' es la matriz T con respecto a B', P es la

matriz de transición de B' a B, P-1 es la matriz de transición B a B'

Imagen de una transformación lineal

La imagen de una transformación lineal f : V → W, lo constituyen los vectores Y Є W,

tales que son imágenes bajo f de por lo menos un vector de V.

Simbólicamente

І ( f ) = ( y Є W / 3 X Є V ^ F ( X ) = Y )

La imagen de una transformación lineal esta formada por los vectores de el segundo

espacio ( W ) que tiene preimagen en el primer espacio ( V )

Núcleo de una transformación lineal

El Núcleo de .la transformación lineal f : V → W, lo constituyen los vectores X Є V,

tales que f ( X ) = 0w.

Simbólicamente

N ( f ) = ( X Є V / f ( X ) = 0w

El núcleo de una transformación lineal esta formado por el conjunto de vectores de

primer espacio ( V ) cuya imagen es el vector nulo del segundo espacio ( W).

Matriz asociada a una transformación lineal

Sea f : V → W una transformación lineal Si: A = ( V1, V2, …, Vn ) es una base de V y

B = ( W1, W2, …, Wm ) es una base de W, entonces existe una única matriz

A Є Kmxn tal que [ f ( x) ]b B = A [ X ]a

[ f ( X ) ] es el vector de coordenadas de f ( x ) respecto a la base de W,

mientras [ X ]a representa el vector coordenadas de x respecto a la base de

V.

Cambio de base y matriz asociada

Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos:

IV : V → V

U → U

Base A base B, en ese caso, la matriz asociada B( IV )A se llama matriz cambio de

base.

Isomorfismos entre espacios vectoriales.

En esta apartado estudiamos un tipo de aplicaciones lineales interesantes: los

isomorfismos entre espacios vectoriales. Cuando existe un isomorfismo entre V y W,

diremos que V y W son espacios isomorfos.

En el siguiente teorema caracterizamos los espacios vectoriales isomorfos:

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces, V y W son

isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.

La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una

transformación lineal

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V

y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con

unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir

T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la

base ordenada {w1,...,wm}.

Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una

columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así

una matriz de orden m × n.

Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W

da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de

t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación

matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm},

para w.

Teorema

Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una

representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos

independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...n

que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un

conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de

escalares 1,...,n que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,...,n) es una

representación de T respecto a la base

(u1,...,un).

Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una

transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes

u1,...,un y los escalares 1,...,n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k = 1, 2,...,n.

Tales elementos u1,...,un y 1,...,n, se conocen como autovectores y autovalores

respectivamente.

Teorema

Sea una matriz de n × n se dice que es un valor propio de A ssi P()=det(A " i) =

0 Esta es la ecuación característica de A, P() se llama polinomio característico

de A.

Teorema

Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C

compleja invertible de orden n × n talque

C"1 AC = J

Donde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores

propios de A.

Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base

ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan.

Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle

una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas.

Definición Sean

dos espacios vectoriales sobre

, además

bases ordenadas de

respectivamente y

una transformación lineal de

en

Se define la matriz asociada a

en las bases

a

denotada por

donde

Además si la base

del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la

transformación lineal se denota por

Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de

un sistema equivalente si:

a) Se intercambian dos renglones. Símbolo:      Ri Rj.

b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.

Símbolo: kRiRi.

c) Un  múltiplo  constante  de  un  renglón  se  suma  a  otro  renglón.  

Símbolo:     kRi + Rj

Rj.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9

4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra

matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos

símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

     (-4)R1 + R2

R2 

(-3)R1 + R3

R3

      

(-(1÷ 3))R2

R2

   

(-1)R3

R3

    

(-5)R2 + R3

R3

            

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

  

  

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede

encontrar ahora por sustitución.

La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface

estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo

de izquierda a derecha, es 1.

b)   La columna que contenga el primer número diferente de cero

en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el

primer número distinto de cero del renglón de abajo.

c)  Los renglones formados enteramente de ceros pueden

aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo:

Sea la matriz:

,      es "una matriz escalonada"

Hallar la forma escalonada de una matriz.

(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y

aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer

renglón de esa columna.

(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj

Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno

de los renglones restantes.

(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que

contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales

de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa

columna.

(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj

Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno

de los renglones restantes.

(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente

columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.

(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones

lineales.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma

escalonada, según se describe en las guías.

       R1

R4    

       R2

R3    

(1)R1 + R3

R3

(-2)R1 + R4

R4

(-1)R2

R2         

(-(1÷ 2))R2

R2

(-1)R2 + R3

R3

(-1)R2 + R4

R4

(3)R3 + R4

R4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de

ecuaciones:

(-(1÷ 2))R4

R4

  

  

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación

vemos que   w = -1;  de la tercera ecuación vemos que   z = -2 .   Sustituimos

en la segunda ecuación, y obtenemos:

y - 2z - w = 6

y - 2(-2) - (-1) = 6

y + 4 + 1 = 6

y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

x + z + 2w = -3

x + (-2) + 2(-1) = -3

x - 2 - 2 = -3

x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución:   x = 1,   y = 1,   z = -2,   w = -1.

Algebra de las transformaciones lineales

Sean

podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por

También podemos definir la multiplicación por escalar.

Sean

definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre

F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para

todos los elementos T1, T2, T3 A y F:

T1(T2+T3)=T1T2+T1T3

(T2+T3)T1=T2T1+T3T1

(T1T2)=(T1)T2=T1(T2)

Si además se cumple que

(T1T2)T3=T1(T2T3)

entonces A es un álgebra asociativa

Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F.

Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.

Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de

V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))

Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.

Demo. Sean u,v V y , F, entonces

(T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u))

= (T2T1)(v)+ (T2T1)(u)

(T2T1) es T.L.

Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

)

CONCLUSIÓN

Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan

todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos

los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir

a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad

de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas

ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica

los temas futuros.

Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya

hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro

futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los

mismo nos estarán esperando en un futuro

BIBLIOGRAFÍA

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.html

http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#

http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1

http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html

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