REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIN SUPERIORUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAR SIMN RODRGUEZ.NUCLEO: VALLES DEL TUY CURSO: ALGEBRA LINEAL

VECTORES. TRANSFORMACIONES LINEALES

INTEGRANTES: Jonathan Pealoza. C.I: 14.609.982

FACILITADOR: Lic. Ernesto M. Aquino.

Santa Teresa de Tuy, 01 Noviembre 2013 INDICE Pp

NDICE..02

VECTORES en Rn..03CONCEPTOS BSICOS......................................................................03

OPERACIONES CON VECTORES..08COMBINACIN LINEAL Y CONJUNTOS GENERADO Y GENERADOR................................................................10PRODUCTO AX...12INDEPENDENCIA LINEAL.15PRODUCTO ESCALAR..18RECTAS, PLANOS E HIPERPLANOS.....................................23TRANSFORMACIONES LINEALES.................................28DEFINICIN Y PROPIEDADES BSICAS29ESPACIOS VECTORIALES ASOCIADOS A UNA TRANSFORMACIN LINEAL................................32MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIN LINEAL36ISOMORFISMOS.38ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES.39

BIBLIOGRAFA42

VECTORES en Rn

Una vez tenemos claro lo que es un Sistema de Ecuaciones Lineales y su representacin matricial, el significado de su solucin, el tipo de conjunto solucin y un mtodo para calcular y/o analizar dicho conjunto, queremos formalizar uno de los conceptos matemticos que intuitivamente utilizamos en el captulo anterior. En este captulo, estudiaremos las n-plas como vectores de Rn, las principales operaciones entre ellos y sus aplicaciones e interpretaciones geomtricas, bien sean relacionados con un sistema de coordenadas o como vectores libres, particularizando a los casos de R2 y R3. Dado que una ecuacin lineal con n variables representa geomtricamente un hiperplano en Rn, siendo un punto, una recta y un plano casos particulares para n =1, 2 y a 3, respectivamente, aprovecharemos estas operaciones y sus propiedades algebraicas para hacer una introduccin a la geometra analtica. Tambin introducimos conceptos bsicos del lgebra lineal tales como combinacin lineal, independencia lineal, espacio generado y conjunto generador, lo cual esperamos sirva de base para su generalizacin en el captulo de Espacios Vectoriales.

CONCEPTOS BSICOS

En el mundo real, existen cantidades como longitud, volumen, masa y temperatura que pueden determinarse slo con su magnitud. Pero, tambin existen otras como la posicin, la aceleracin y la fuerza que adems de la magnitud, requieren de una direccin y un sentido para determinarse; u otras como las notas de un semestre de un estudiante que cursa 6 materias y la produccin de una empresa que tiene 10 lneas de productos, las cuales requieren de una lista ordenada de nmeros. Estos ltimos casos los conocemos como cantidades vectoriales a diferencia del primero que son cantidades escalares. Con base en esta diferencia intuitiva, veamos la definicin de vector y sus operaciones bsicas.

Definicin 1 [Vector de Rn]. Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nmeros reales, la cual denotamos como

Lo llamamos primera componente, a x2 segunda componente y en general, a xk lo llamamos k-sima componente del vector x. Cualquier vector cuyas componentes sean cero lo llamamos vector nulo o vector cero y lo denotamos 0.

Ejemplo 1. El vector

Es un vector de R4 y su primera, segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 0, -3 y 5, en ese orden. El vector

Es un vector de R2 y su primera y segunda componentes son -1 y 1/5, respectivamente.

Ejemplo 2. Los vectores e1 =

Son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores cannicos de Rn.1

Diremos que dos vectores son iguales si todas sus componentes correspondientes son iguales. As, para que el vector Sea igual al vector , a debe ser -2, b debe ser 1 y c debe ser 3 y, por razones similares, el vector es diferente del vector , ya que 1 6= 3.

Geomtricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar como puntos; en particular, cuando n = 2 n = 3, son puntos del plano o del espacio, respectivamente. Ejemplo 3. Representemos los vectores , y en el plano (R2) y los vectores y en el espacio (R3).

En las aplicaciones fsicas, es importante que pensemos en un vector, no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccin y sentido.

Definicin 2 [Vector libre]. Un vector libre es un objeto matemtico que podemos determinar por su direccin, sentido y magnitud.

Geomtricamente, podemos representar los vectores libres como segmentos dirigidos2, los que denotamos con letras en negrilla, tales como u, v, etc., o bien como PQ, RS, donde las primeras letras corresponden a los puntos iniciales y las otras a los puntos finales de estos segmentos. Si dos segmentos dirigidos PQ y RS tienen igual magnitud, direccin y sentido, decimos que son iguales. De esta forma, para cada vector dado, hay infinitos vectores libres iguales a l, como lo muestra la grfica siguiente.

Al vector cuyo punto inicial coincide con su punto final lo llamamos vector nulo o vector 0. Este vector no tiene direccin, ni sentido y su magnitud es 0.

Queremos resaltar que, dado un sistema de coordenadas (o sistema de referencia), podemos representar geomtricamente un vector como un punto y un vector libre como un segmento dirigido. As, dado un vector} libre PQ, existe un vector OM = PQ, donde O es el origen del sistema de coordenadas y M es el punto cuyas coordenadas son la diferencia de las coordenadas de los puntos Q y P. Observemos que las coordenadas del vector OM coinciden con las del punto M. La siguiente seccin nos dar ms elementos para entender esta observacin.

OPERACIONES CON VECTORES

Al igual que con las cantidades escalares, dadas unas cantidades vectoriales, es deseable obtener otras a partir de ellas. Para empezar, esto es posible usando las operaciones bsicas entre vectores: la suma y la multiplicacin por escalar que definiremos a continuacin.

Definicin 3 [Suma de vectores]. Definimos la suma entre dos vectores u y v de Rn como el vector u+v, cuyas componentes son la suma de las componentes respectivas de los vectores u y v; es decir, dados u = y v = , definimos u + v = En trmino de vectores libres, el vector u + v es el vector que va desde el punto inicial del vector u hasta el punto final del vector v, despus de mover paralelamente el vector v de tal manera que su punto inicial coincida con el punto final de u. En otras palabras, el vector u + v es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son u y v, como lo ilustramos en la siguiente grfica.

Definicin 4 [Producto por escalar]. Definimos el producto por escalar de un vector u por un nmero real como el vector u, cuyas componentes son el producto de por las componentes respectivas del vector u; es decir, dados, u = y R, definimos u =

En trmino de vectores libres, el vector u es el vector que tiene igual direccin que el vector u y que dependiendo del signo de , tiene igual sentido (>0) o sentido opuesto (