Unidad 2. Transformaciones Lineales

lgebra lineal II Unidad 2. Transformaciones lineales

Ciencias exactas, Ingenieras y tecnologas | Licenciatura en Matemticas

1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

4 semestre

Algebra lineal II

Unidad 2. Transformaciones lineales

Clave:

05142420/06142420



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Unidad 2. Transformaciones lineales

Presentacin de la unidad

En esta unidad se abordar el tema de transformacin lineal. En la unidad anterior

estudiaste los espacios vectoriales y la transformacin lineal es, justamente, una funcin

entre espacios vectoriales.

Hay que comenzar describiendo lo que en lgebra lineal se considera una transformacin

lineal, posteriormente se dar su definicin formal.

Propsitos de la unidad

El estudio de esta unidad te permitir:

Propsitos

Identificar una transformacin lineal.

Determinar, por medio del uso de los axiomas, si una transformacin es lineal.

Determinar la matriz transformacin.

Competencia especfica

Competencia especfica

Utilizar las propiedades de la transformacin lineal para resolver problemas matemticos mediante representacin matricial.

2.1. Definicin y transformaciones bsicas lineales

Recuerda que, de manera genrica, al espacio vectorial se abrevia como EV. En caso de

tener dos o ms espacios vectoriales, se utilizan las ltimas letras del alfabeto (r, s, t, u, v,

w, x, y, z).

Es necesario aclarar que no todas las transformaciones son lineales, habr algunas que

no lo sean.



3

Una transformacin lineal se aplica de Rn a Rm; existen muchas transformaciones pero no todas son lineales, recurdese que el

trmino lineal es equivalente al de proporcional.

2.1.1. Definicin de una transformacin lineal

Para que una transformacin sea llamada transformacin lineal, necesita cumplir con dos

condiciones.

Sea T una transformacin de Rn a Rm (esto se puede simbolizar de la manera siguiente:

T: Rn Rm, y es una regla que asignan a cada vector s en Rn, un nico vector t en

Rm ).

T se llama transformacin lineal, si se cumple que:

T (x + y) = T(x) + T(y) axioma 1

Si se suman dos vectores (en el espacio original)

Y despus se transforman

El resultado debe de ser igual, si se transforman primero y despus se suman.

T (k x) = k T (x) axioma 2

Esta propiedad, de la multiplicacin por escalar, est indicando que la transformacin del

producto del escalar por el vector debe ser igual a primero, obtener la transformacin del

vector y despus, multiplicarlo por el escalar.

Nota: Tambin se puede utilizar la notacin f: V W (o, f: U V), etc.

Las dos propiedades anteriores (o axiomas) se pueden expresar de manera compacta de

la siguiente manera:

f(k1 x+ k2 y)= k1f(x)+ k2f(y)

Donde k1, k2 son escalares en el campo de los reales.



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En una transformacin es importante tomar en cuenta la direccin, esto es: toda

transformacin es una operacin que le asigna a elementos del conjunto de partida,

ciertos elementos del conjunto de llegada.

Se podra representar de la siguiente manera:

Por otra parte, es muy importante sealar que a una transformacin lineal tambin se le

conoce con los nombres de: aplicacin lineal, funcin lineal, mapeo lineal,

homomorfismos, entre otros trminos.

Las transformaciones lineales tienen muchos usos importantes, entre los que se pueden

destacar:

Las coordenadas en la pantalla del display de un punto son funcin de las coordenadas

(x,y,z) del punto en el mundo real y de las coordenadas (x, y, z) del observador.

Una de sus aplicaciones est en las empresas, ya que la produccin de una serie de

bienes y servicios depende de varios factores. Una empresa puede concebirse como un

objeto que relaciona un conjunto de entradas (el input) -capital, productividad de los

operarios, parmetros de operacin, inventarios, etc.- con un conjunto de salidas o

resultados (el output) que son funcin de las entradas, entre ellas: produccin de

diferentes productos, ganancias, capital acumulado, etc.

Tambin se pueden encontrar transformaciones lineales en el mbito de la computacin.

Al realizar grficas por computadora se disponen de innumerables recursos: se desplaza

la imagen de un diseo hacia la derecha o hacia la izquierda, se puede girar la imagen

para apreciar otro de sus lados, tambin es muy til reducirla, ampliarla, etc. Las opciones

que mediante un software proporciona una computadora, se llevan a cabo a travs de

transformaciones lineales.



5

En resumen, se puede decir que una transformacin lineal es una transformacin que se establece entre espacios vectoriales. Por ejemplo,

sean v, w dos espacios vectoriales sobre R, se deben respetar las operaciones de suma de vectores y el producto de un escalar por un vector.

Se tiene de ejemplo en R2 las reflexiones sobre uno de los ejes, las rotaciones sobre un punto, las proyecciones o las deformaciones elsticas,

entre otras.

Veamos los ejemplos de reflexin de Transformaciones Lineales.

Esta imagen muestra una reflexin de las

casas, que es una transformacin lineal. La

figura representa una transformacin

denominada reflexin sobre el eje x.

Otro ejemplo de reflexin se observa en la

representacin de las molculas de una

sustancia qumica. Este tipo de

transformacin se denomina reflexin

sobre el eje Y, pero eso se ver ms

adelante.

Veamos ahora ejemplos matemticos de Transformaciones Lineales.

Grficamente se tiene una reflexin respecto al eje Y. En R2 se considera la aplicacin f,

tal que f(x, y) = (-x, y). Es fcil probar que es una transformacin lineal. Es la imagen

especular en R2 sobre el eje Y; es como si se colocase un espejo en el eje Y, la imagen

reflejada sera como la mostrada.



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Se trata de probar que, en efecto, es una transformacin lineal.

Se tienen los siguientes datos:

T X -x

y = y

Si se dan datos numricos para el ejemplo anterior, por ejemplo:

T 3 -3

5 = 5

Ser una transformacin lineal?

Solucin:

Lo que se debe hacer es verificar si cumple con las dos propiedades de linealidad,

descritas anteriormente.

Lo primero es revisar para la suma

T (x + y) = T(x) + T (y)



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Para ello se recurre al uso de dos vectores.

Vector v1 y vector v2. Como son de dos dimensiones sern:

v1 = x1

y1

v2 = x2

y2

Se tiene entonces, para la primera propiedad:

T (x + y) = T(x) + T (y)

Y para nuestro ejemplo:

T (v1 + v2) = T (v1 ) + T(v2)

As, primero se sustituyen los elementos de los vectores v1 y v2

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)

Ahora se resuelve la suma que est entre las llaves (el lado izquierdo de la igualdad)

Y se realiza la transformacin para el lado derecho de la igualdad

Se realiza la transformacin para el lado izquierdo de la igualdad



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Se realiza la suma del lado derecho de la igualdad

Cumple para la propiedad de la suma.

Y para la propiedad de la multiplicacin por escalar se tiene:

T (k x) = k T (x)

Para este caso, sera:

Y se realiza la transformacin para el lado derecho de la igualdad

Se realiza la transformacin para el lado izquierdo de la igualdad

Se realiza la multiplicacin por el escalar (lado derecho de la ecuacin)

Cumple para ambas propiedades, por lo tanto, la reflexin es una transformacin lineal.



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Actividad 1. Identificacin de transformaciones lineales Propsito Identificar el concepto de transformacin lineal y las propiedades que la integran. Instrucciones.

1. Ingresa al foro de discusin que lleva por nombre Identificacin de

transformaciones lineales.

2. Participa activamente contestando las preguntas que tu Docente en lnea te har llegar a travs del foro Planeacin didctica.

3. Comenta tu conclusin con dos de tus compaeros(as), argumentando tu postura.

En caso de utilizar informacin textual de una fuente, es indispensable que la cites segn el estilo APA. Consulta la Rbrica general de la participacin en foros.

2.1.2. Transformaciones bsicas del plano al plano

Una transformacin (aplicacin, funcin, mapeo, homomorfismos) T de Rn a Rm consiste

en asignar cada uno de los vectores de Rn a un vector de Rm.

Una transformacin entre dos conjuntos (el conjunto origen y el conjunto imagen) es una

operacin que consiste en mandar los vectores de un espacio vectorial a otro espacio

vectorial, respetando las dos reglas anteriores. Dicho en otras palabras, es una

correspondencia de elementos entre ambos conjuntos que emparejan los elementos del

conjunto origen con los del conjunto imagen. Es importante comentar que los elementos

del conjunto origen solamente pueden tener una imagen en el conjunto imagen. En

cambio, los elementos del conjunto imagen s pueden ser imagen de ms de un elemento

del conjunto origen. Pero mejor obsrvalo grficamente:



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En esta imagen se trata de representar una transformacin que empareja los vectores t

de un plano R2 con vectores s de otro plano R2.

Todos los vectores de R2 del plano de la izquierda se emparejan con algn elemento del

conjunto imagen. Puede suceder, como es el caso del vector s3 del plano de la derecha,

que es imagen de dos elementos del conjunto origen. Y tambin puede suceder que no

todos los vectores del conjunto imagen estn emparejados con algn elemento del

conjunto origen, como es el caso, en este ejemplo, del vector s2.

Ejemplos de transformaciones lineales:

Como ya se ha visto en pginas anteriores, la reflexin respecto al eje Y en R2 , se

considera la aplicacin f, tal que f(x, y) = (-x, y).



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Otro tipo de trransformaciones lineales son los operadores de proyeccin.

La transformacin definida por T(x,y,z) = (x,0,z) proyecta un vector de R3 a un vector de

sta en el plano XZ. En este caso se tiene una transformacion de R3 a R2.

Esto es lo que sucede, por ejemplo, cuando se filma una escena en un programa de

televisin, la cual est en 3D y se proyecta en una pantalla que est en 2D.

La transformacin definida por T(x,y,z) = (x,0,0) proyecta un vector de R3 a un vector de

sta en el eje X. En este caso se tiene una transformacin de R3 a R1 (de R3 a R).



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Aqu, la transformacin es ms radical. En la toma de una fotografa se pierde una

dimensin, la persona est en 3D y la foto, que no es ms que un plano en R2, tiene tan

slo 2D. Pasar de un 3D a un 2D implica reducir el plano a slo uno de sus ejes

(X,Y,Z).

Realiza el siguiente ejercicio y los ejemplos de transformaciones de plano a plano.

Ejercicio

Cul de las siguientes imgenes es producto de una transformacin lineal?

Si respondiste que la imagen de la derecha, muy bien! En efecto, esta fotografa ha sido

modificada tomando nicamente la parte derecha del rostro, se le hizo la transformacin

lineal tomando como base el eje Y y posteriormente se unieron las partes. Ntese la

perfecta simetra en todos los aspectos, sobre todo en las ondas que forma su cabello en

la parte del cuello.



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Ejemplo 1 de Transformaciones bsicas del plano al plano

En este ejemplo se va a determinar si la transformacin es lineal.

Se tienen los siguientes datos:

T X 2x

y = x + y

La pregunta: ser una transformacin lineal?

Solucin:

Lo que se debe hacer es verificar si cumple con las dos propiedades de linealidad,

descritas anteriormente.

Lo primero es revisar para la suma

T (x + y) = T(x) + T (y)

Para ello se recurre al uso de dos vectores.

Vector v1 y vector v2. Como son de dos dimensiones, sern:

v1 = x1

y1

v2 = x2

y2

Se tiene, entonces, para la primera condicin:

T (x + y) = T(x) + T (y)

Y para nuestro ejemplo:

T (v1 + v2) = T (v1 ) + T(v2)

As, primero se sustituyen los elementos de los vectores v1 y v2

T (v1 + v2) = Tv1 + Tv2



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Cumple para la propiedad de la suma.

Por otro lado, para todo escalar k.


T (k x) = k T (x)



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Para nuestro ejemplo sera:

T (k v1) = k T (v1)

T (k(x1, y1))= k T(x1, y1)

T (k x1, k y1)=k T(x1, y1)

Realizando la transformacin:

(k2 x1, k(x+y))=k (2 x1,(x+y))

Realizando la multiplicacin del lado derecho de la igualdad se tiene:

T (k v1) = kT (v1)

Como se cumplen las dos condiciones:

T (v1 + v2) = T(v1)+T(v2)

T (k v1) = kT(v1)

Por lo tanto, la T es lineal.

Ejemplo 2 de Transformaciones bsicas del plano al plano

Se tiene que:

T: R3 R

2

T (x, y, z)

=(x+ z, yz)

Hay que demostrar que la transformacin es lineal.

Para darle solucin, se requieren de dos vectores; as, se dice que sean

r =(x1, y1, z1) y s =(x2, y2, z2)

.

Igual que para el ejemplo anterior, se tiene que verificar que cumpla con las dos

propiedades de linealidad.

Lo primero es verificar para la suma

T (x + y) = T(x) + T (y)



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Para nuestro ejemplo queda como:

T(r + s) = T(r) + T(s)

Si se realiza la suma para T(r + s), se tiene:

T(r + s)= T(x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)

Ahora se realiza la transformacin:

= ((x1+ x2)+ (z1+ z2),( y1+ y2)( z1+ z2))

En tanto que para T(r) + T(s):

T(r) + T(s) = (x1+ z1, y1 z1)+ (x2+ z2, y2 z2)

Por lo tanto,

T(r + s) == T(r)+T(s)

Por otro lado, para todo escalar k.


T (k x) = k T (x)

Para nuestro ejemplo sera:

T (k r) = k T (r)

Para T (kr) se tiene:

T (kr)= T (k x1, k y1, k z1)


= (k x1+ k z1, k y1k z1)

Sacando a k como factor:



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= k(x1+ z1, y1 z1)

Por otro lado se tiene que:

= kT(x1, y1, z1)


= k(x1+ z1, y1 z1)

Por lo tanto:

T (k r) = kT(r)

Como se cumplen las dos condiciones:

T(r + s) = T(r) +T(s)

T(kr) = kT(r)

Por lo tanto, la transformacin es lineal.

Siguen dos conceptos importantes:

Ncleo y rango.

Para explicar lo que son el ncleo y rango, es importante recordar que una

transformacin lineal

T: Rn Rm

define un subconjunto de salida del Rn y un subconjunto de llegada del Rm muy

importantes, llamados ncleo y rango respectivamente.

Una posible definicin de ncleo es la siguiente:

Dada una transformacin lineal T: Rn Rm, el ncleo de T se denota como Ker (T) y se

define como el subconjunto de vectores v del Rn de salida, cuya imagen es el vector

nulo del Rm de llegada.



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Observa la siguiente ilustracin:

En la ilustracin se tienen dos espacios vectoriales: V, y W. El crculo externo representa

todos los vectores del espacio vectorial. V vendra siendo el Rn y W el Rm, donde 0

es el vector nulo de Rm :0 = (0,0,,0).

Una imagen o rango se define como el subconjunto de vectores w del Rm de llegada,

que son imagen de algn vector v del Rn de salida.

Obsrvalo en forma grfica:

Actividad 2. Reglas de transformacin lineal Propsito Comprobar una transformacin lineal, de acuerdo a los axiomas propuestos en los temas anteriores. Instrucciones:



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1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar tu Docente

en lnea a travs del foro planeacin didctica.

2. Resuelve cada uno de los requerimientos que en el documento se mencionan. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu Docente en lnea te brindar durante la realizacin de la actividad.

3. El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que tu Docente en lnea te

brindar y debers entregarlo en un documento de texto o PDF si utilizas algn editor de texto cientfico.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MALI2_U2_A2_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Enva tu archivo a tu Docente en lnea mediante la seccin de Tareas.

Criterios de evaluacin: Revisa la escala de evaluacin a partir de la cual ser evaluada tu actividad y con la que podrs ver las observaciones que hace tu Docente en lnea en torno a tu actividad.

2.2. Representacin matricial de una transformacin lineal

El lgebra lineal tiene su parte medular en los sistemas de ecuaciones lineales. En

general, se puede decir que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una

ecuacin vectorial y a una ecuacin matricial.

A toda transformacin lineal se le puede asociar una matriz. La relacin entre ambas es

tan estrecha que se puede usar una o la otra indistintamente.

Dicho lo anterior, cabe sealar que las matrices pueden ser de varios tamaos como se

ver a continuacin.

Una matriz (m*n) es un conjunto de nmeros organizados en n columnas y en m filas.



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A continuacin algunos ejemplos de matrices:

Para multiplicar dos matrices, se tiene que una matriz mxn puede multiplicarse por otra

nxp y como resultado se obtendr una matriz mxp. El nmero de columnas de la primera

matriz debe coincidir con el nmero de filas de la segunda matriz. As, una matriz 3x2

podr ser multiplicada por otra matriz 2x4 y se generar una matriz 3x4.

Revisa los ejemplos de matriz de transformacin.

Los puntos en el plano y las filas y columnas de una matriz pueden considerarse como

vectores.

Si se tienen los vectores:

La multiplicacin se puede escribir de la siguiente forma:



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El producto de vectores es:

Otro ejemplo

El producto de los vectores es:

(3x2) + (2x4) = 6+8 = 14

Dicho lo anterior, se tiene que la manera ms prctica de llevar vectores de un Rn a un Rm

se har mediante matrices.

Si se tiene por ejemplo, el siguiente vector (2, 3,1) de Rn y se multiplica por una matriz

4x3:

El producto de los vectores es:

Para la primera fila: (2x2) + (3x0) + (1x1) = 4+0+1 = 5

Para la segunda fila: (2x1) + (3x1) + (1x1) = 2+3+1 = 6



22

Para la tercera fila: (2x1) + (3x0) + (1x0) = 2+0+0 = 2

Para la cuarta fila: (2x1) + (3x (-1)) + (1x1) = 2+(-3)+1 = 0

En el ejemplo anterior se puede apreciar la actuacin de la matriz A sobre el vector (2,

3,1). Es de notarse cmo la matriz multiplic al vector (2, 3,1) de R3 y lo convirti en el

vector (5, 6, 2, 0) de R4. Lo observado en este ejemplo ocurrir para todo vector de R3, al

ser multiplicados por la matriz A, sern convertidos en vectores R4. As, se tendra de

forma genrica:

Es evidente que la matriz ha convertido al vector de R3 a R4 o, dicho de otro modo, la

matriz manda el vector (x, y, z) al vector (2x+z, x+ y+ z, x, x- y +z)

Entonces, la matriz A es una matriz de transformacin y se simboliza AT. A la matriz AT se

le llama representacin matricial de T.

Es importante sealar que el vector (2x+z, x+ y+ z, x, x- y +z) es la imagen del vector (x,

y, z) por la matriz A.

Ejemplo1:

Se tiene:

y se pide encontrar la representacin matricial AT

Para resolverlo hay que fijarse en los coeficientes de los elementos que conforman

la matriz.

As se tiene que para este caso los coeficientes son:

x+ y 1 1

x- y 1 -1



23

2x+ 3y 2 3

Y por lo tanto, la matriz transformacin es:

1 1

AT = 1 -1

2 3

Existen algunas matrices de transformacin comunes por el efecto que producen al

multiplicar a los vectores.

Matriz de reflexin en x

1 0

0 -1

Matriz de reflexin en y

-1 0

0 1

Matriz de reflexin en x=y

0 1

1 0

Matriz de reflexin expansin en x, y

K1 0

0 K2

Donde:

K1 y K2 son mayores a 1. Conforme aumente el valor de K1, aumentar la expansin en el

eje X; si aumenta el valor de K2, aumentar la expansin sobre el eje Y. Si ambas

aumentan, se tendr una expansin en ambos ejes.



24

2.2.2. Geometra de las transformaciones lineales

A continuacin, se construye una idea de lo que es la geometra de la transformacin

lineal en espacios de R2 y R3.

Esto se puede observar, por ejemplo, al tener una persona que es grabada por una

videocmara. La persona se encuentra en R3, sin embargo, el video -producto de la

videograbacin- est en R2 debido a que la pantalla es plana, es decir, es un plano en R2.

Aunque se utilice la tecnologa de pantallas en 3D (y que, por cierto, es necesario usar

lentes especiales), la pantalla sigue siendo un plano en R2, se puede decir que la imagen

sufri una transformacion lineal de R3 a R2.

Hay que empezar con las expansiones y compresiones a lo largo de los ejes. Es decir, se

puede alargar sobre el eje X o se alarga sobre el eje Y, o contraer sobre el eje X o

sobre el eje Y.

Revisa los ejemplos de geometra de las transformaciones.

Ejemplo:

Hay que considerar un punto en un plano cartesiano como una matriz del tipo 1x2, y se

transforma multiplicndolo por una matriz del tipo 2x2.

As, se tiene el punto [ 3 2 ]

Y se multiplica por la matriz 2 0

0 1

El resultado es [6 2]

La operacin completa puede denotarse de la siguiente manera:

3 2 0 = 6

2 0 1 2



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Grficamente se representa de la siguiente manera:

Donde se observa claramente que la imagen sufri un alargamiento. Originalmente, la

imagen estaba en (3 2) y se alarg hasta (6 2), es decir, sufri una expansin sobre el

eje X.

Utilizando imgenes ms cotidianas para que el (la) estudiante se familiarice, es como si

se tomara la imagen de un chico que hace ejercicio con un resorte, y se alarga siguiendo

el eje X.

La altura en el eje Y sigue siendo la misma pero en el eje X sufri una transformacin.

Imagen original



26

Imagen alterada

Se puede apreciar el efecto de alargamiento de los hombros mientras el tamao del brazo

permanece igual.

Bien, pasa al eje Y. El mismo punto se va a expandir ahora sobre el eje Y.



0 2

El resultado es [3 4]


3 1 0 = 3

2 0 2 4

Grficamente se representa como sigue:

Se observa que la imagen sufri un alargamiento. Originalmente la imagen estaba en

(3 2) y se alarg hasta (3 4), es decir, sufri una expansin sobre el eje Y.



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Nuevamente observa una imagen ms cotidiana, para que te familiarices.

Se toma la imagen de un chico que hace ejercicio con una liga, y se alarga siguiendo el

eje Y.

La altura en el eje X sigue siendo la misma pero en el eje Y sufri una transformacin.

En esta imagen se aprecia claramente que el tamao de los brazos se increment en

tanto el ancho de los hombros permanece idntico.

Imagen original

Imagen alterada

Ahora se mostrar un ejemplo de una contraccin sobre el eje X y otro sobre el eje Y.



28

Es el turno de las rotaciones.



-1 0

El resultado es [-2 3 ]


3 0 1 = -2

2 -1 0 3


Y se ver en seguida las reflexiones.

Las reflexiones se pueden realizar sobre el eje X o sobre el eje Y, tambin se conocen

como imgenes especulares, dado que es el mismo efecto que se produce al mirarse al

espejo. Si el espejo se coloca sobre el eje x se producir la reflexin en X, si el espejo

se coloca sobre el eje y, se producir la reflexin en Y.



29

Revisa un ejemplo de reflexin.

Ejemplo:

Hay que ejemplificar una reflexin. Para eso se toma nuevamente el mismo punto y se

multiplica por una matriz.

As se tiene el punto [ 3 2 ]


0 -1

El resultado es [3 -2]


3 1 0 = 3

2 0 -1 -2


La siguiente figura ilustra una reflexin en el eje X, los rboles y su reflejo en el lago (el

lago acta a manera de espejo, producindose la imagen especular).



30

Un claro ejemplo de la importancia de las reflexiones en el eje Y se encuentra en el

estudio de la qumica. Existen molculas en la qumica orgnica que son molculas

quirales y se caracterizan por ser imgenes especulares. La molcula y su imagen no son

superponibles. Algo semejante ocurre con nuestras manos, son imgenes especulares y

de ninguna forma pueden ser superponibles.

Los ejemplos anteriores sobre las transformaciones lineales podran llevar al error de

pensar que todas las transformaciones lineales pueden ser interpretadas fcilmente

mediante representaciones geomtricas, pero no es as. Los ejemplos anteriores son

movimientos sencillos en el plano, pero existen otras transformaciones lineales que

presenta una enorme dificultad para ser interpretadas grficamente.

2.2.3. Tipos de representaciones de una transformacin lineal

Existen tres tipos de representaciones de una transformacin lineal:

Inyectiva: se dice que una transformacin lineal es inyectiva, o uno a uno, si elementos

diferentes de A tienen imgenes diferentes.

Suprayectiva: se dice que una transformacin lineal es suprayectiva o sobre, si todo b > B

es la imagen de, al menos, un elemento a A.



31

Biyectiva: se dice que una transformacin es biyectiva si es simultneamente inyectiva y

suprayectiva.

Actividad 3. Unicidad de matriz de correspondencia Propsito Determinar la unicidad de correspondencia de una matriz. Instrucciones:

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar tu Docente en lnea a travs del foro planeacin didctica.

2. Resuelve ada uno de los requerimientos que en el documento se mencionan. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu Docente en lnea te brindar durante la realizacin de la actividad.

El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que tu Docente en lnea te brindar y debers entregarlo en un documento de texto o PDF si utilizas algn editor de texto cientfico.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MALI2 _U2_A3_XXYZ.


4. Enva tu archivo a tu Docente en lnea mediante la seccin de Tareas.

Criterios de evaluacin: Revisa la escala de evaluacin a partir de la cual ser evaluada tu actividad y con la que podrs ver las observaciones que hace tu Docente en lnea en torno a tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Resolucin de problemas Propsito Determinar una transformacin lineal, utilizando u argumentando a travs de los axiomas o propiedades de las transformaciones lineales. Instrucciones:

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar tu Docente en lnea a travs del foro planeacin didctica.

2. Resuelve cada uno de los requerimientos que en el documento se mencionan.



32

Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu Docente en lnea te brindar durante la realizacin de la actividad.

El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que tu Docente en lnea te brindar y debers entregarlo en un documento de texto o PDF si utilizas algn editor de texto cientfico.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MALI2_U2_EA_XXYZ.


4. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu

Docente en lnea, atiende sus comentarios y renva la nueva versin de tu evidencia para su evaluacin final.

Criterios de evaluacin: Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu

trabajo.

Cierre de la unidad

En esta unidad revisaste las transformaciones lineales como modificacin de una funcin,

la forma de agrandar, desplazar, achicar, mediante mtodos conocidos como la

transformacin.

Adems, revisaste la manera de establecer una correspondencia entre dos conjuntos, de

forma similar, si se hacen un poco ms precisas las condiciones, se dice que la

transformacin lineal es una funcin entre dos conjuntos.

Sigue revisando los contenidos de la siguiente unidad para fortalecer tu conocimiento

dentro de esta asignatura.

Para saber ms

Para profundizar ms sobre el tema de esta unidad, es recomendable que revises las

siguientes pginas:

Conceptos bsicos de Transformaciones lineales

Conceptos de algebra lineal

Diversas aplicaciones de las transformaciones lineales

Aplicaciones de las transformaciones lineales



33

Fuentes de consulta

Grossman, S. (2008). lgebra lineal (6 ed.). Mxico: Mc Graw Hill.

Hill, K. (2006). lgebra lineal (8 ed.). Mxico: Pearson.

Kreyszig. (2003). Matemticas avanzadas para ingenieria. vol. 1: Limusa Wiley.

Lay, D. (2003). lgebra lineal con aplicaciones (2 ed.). Prentice Hall.

Williams, G. (2002). lgebra lineal con aplicaciones (4 ed.). Mxico: Mc Graw Hill.

Ahora da clic en Unidad 3. Valores y vectores propios.

Documents

Unidad 2. Transformaciones Lineales