Materia Transformaciones Lineales

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica V 0.1

Transformaciones Lineales

En lo que sigue denotaremos por K al conjunto R o C.

Definicion 1.1. Sean V y W dos K-ev (espacios vectoriales sobre K). Se llama transformacion lineal de V en Wa toda funcion T : V →W que verifica:

1. Para cada v1, v2 ∈ V , T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2).

2. Para cada v ∈ V y α ∈ K, T (αv) = αT (v).

Observacion 1.1. Note que una transformacion lineal se “comporta bien” con las operaciones de espacio vectorial,transforma suma en suma y producto por escalar en producto por escalar.

Observacion 1.2. Las transformaciones lineales “T. L.” se suelen denotar por letras mayusculas T, L, S . . . etc.

Observacion 1.3. Las condiciones 1 y 2 de la definicion de transformacion lineal son equivalentes a pedir: Paracada α, β ∈ K y para cada v1, v2 ∈ V se cumple

T (αv1 + βv2) = αT (v1) + βT (v2)

Ejercicio 1.1. Muestre que si T : V → W es una transformacion lineal y v1, v2, . . . , vn ∈ V , a1, a2, . . . , αn ∈ Kentonces

T

(n∑

i=1

αivi

)=

n∑i=1

αiT (vi)

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales.

Ejemplo 1.1. T : R2 → R4, (x, y)→ T (x, y) = (x− y, 2x, x+ y, 2y) es una transformacion lineal. En efecto:

1. Para cada (a, b), (u, v) ∈ R2 se tiene

T ((a, b) + (u, v))= T (a+ u, b+ v)= (a+ u− b− v, 2a+ 2u, a+ u+ v + b, 2b+ 2v)= ((a− b) + (u− v) , 2a+ 2u, (a+ b) + (u+ v) , 2b+ 2v)= (a− b, 2a, a+ b, 2b) + (u− v, 2u, u+ v, 2v)= T (a, b) + T (u, v)

2. Para cada (u, v) ∈ R2 y α ∈ R se cumple

T (α (u, v)) = T (αu, αv)= (αu− αv, 2αu, αu+ αv, 2αv)= α (u− v, 2u, u+ v, 2v)= αT (u, v)

de esta forma T verifica las condiciones de transformacion lineal.

Ejemplo 1.2. T : R→ R2, x→ T (x) = (x, 2x+ 1) no es una transformacion lineal. En efecto,

T (x+ y) = (x+ y, 2x+ 2y + 1)= (x, 2x+ 1) + (y, 2y)6= T (x) + T (y)

Nelson Cifuentes F. 1


basta usar un contraejemplo:T (1 + 2) = T (3) = (3, 7)

peroT (1) + T (2) = (1, 3) + (2, 5) = (3, 8)

de esta formaT (1 + 2) 6= T (1) + T (2)

luego no es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.3. Si V y W dos K-espacios vectoriales.

1. La funcion identidad de V en V es una T. L. (Id : V → V, v → I (v) = v)

2. La funcion nula de V en W es una T. L. (θ : V →W, v → θ (v) = θW )

3. Si α ∈ K entonces T : V → V, x→ T (x) = αx es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.4. T : R [x]→ R [x],

p→ T (p) =d2p

dx2+ p

es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.5. T : R [x]→ R, p→ T (p) =∫ 1

0p (x) dx es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.6. Si A ∈M2×3 (R) entonces

T : R3 → R2

x → T (x) = Ax

es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.7. Si R3 [x] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor igual a 3 entonces

T : R3 [x] → M2×2 (R)

p → T (p) =(

p (0) p′ (0)p′′ (0) p′′′ (0)

)Es una transformacion lineal. En efecto:

1. Si p, q ∈ R3 [x] entonces

T (p+ q) =(

(p+ q) (0) (p+ q)′ (0)(p+ q)′′ (0) (p+ q)′′′ (0)

)pero recordar que (p+ q)′ (x) = p′ (x) + q′ (x), (p+ q)′′ (x) = p′′ (x) + q′′ (x) y (p+ q)′′′ (x) = p′′′ (x) + q′′′ (x)se sigue

T (p+ q) =(

(p+ q) (0) (p+ q)′ (0)(p+ q)′′ (0) (p+ q)′′′ (0)

)=

(p (0) + q (0) p′ (0) + q′ (0)p′′ (0) + q′′ (0) p′′′ (0) + q′′′ (0)

)=

(p (0) p′ (0)p′′ (0) p′′′ (0)

)+(

q (0) q′ (0)q′′ (0) q′′′ (0)

)= T (p) + T (q)



2. Si α ∈ R y p ∈ R3 [x] entonces

T (αp) =(

(αp) (0) (αp)′ (0)(αp)′′ (0) (αp)′′′ (0)

)=(

αp (0) αp′ (0)αp′′ (0) αp′′′ (0)

)= α

(p (0) p′ (0)p′′ (0) p′′′ (0)

)= αT (p)

Note que no es necesario considerar la expresion del polinomio p (x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 en estademostracion de que es transformacion lineal, lo que utilizamos son las propiedades de la derivada y matrices.

De las propiedades anteriores concluimos que T es una transformacion lineal.

Ejercicio 1.2. ¿Es verdad que T (pq) = T (p)T (q) en el ejemplo anterior?

Ejercicio 1.3. Si A ∈ Mn×n (R) es una matriz fija. Estudiar si T : Mn×n (R) → Mn×n (R), X → T (X) =AXT +XA es una transformacion lineal.

Proposicion 1.1. Sean V,W dos K espacios vectoriales, T : V → W y L : V → W transformaciones lineales yα ∈ K entonces:

i) T (θV ) = θW (Toda transformacion lineal envıa el nulo en el nulo)

ii) Para todo v ∈ V se cumple T (−v) = −T (v)

iii) T + L es una transformacion lineal.

iv) αT es una transformacion lineal.

Proposicion 1.2. Si T : V → W y L : W → Z son dos transformaciones lineales entonces L ◦ T : V → Z es unatransformacion lineal.

Observacion 1.4. Denotaremos por L (V,W ) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W . Noteque por las proposiciones enunciadas obtenemos que L (V,W ) es un espacio vectorial (suma de lineales es lineal yproducto por escalar es lineal, es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones de V en W ).

En lo que sigue V y W son dos K-espacios vectoriales.

1.1 Inyectividad y sobreyectividad de transformaciones lineales

En lo que sigue estudiaremos dos conjuntos relacionados a una transformacion lineal dada. Tales conjuntos estanrelacionados de manera natural a la inyectividad y sobreyectividad de una transformacion lineal.

Definicion 1.2. Si T : V → W es una transformacion lineal. Llamaremos Nucleo o Kernel de la transformacionlineal al conjunto

ker (T ) = {v ∈ V : T (v) = θw} ⊆ V

este corresponde a todos los vectores de V que tienen por imagen el neutro de W .

Definicion 1.3. Si T : V → W es una transformacion lineal. Llamaremos Imagen de la transformacion lineal alconjunto

Im (T ) = {w ∈W : existe v ∈ V con T (v) = w}= {T (v) : v ∈ V } ⊆W

este corresponde al recorrido de la transformacion lineal.



Proposicion 1.3. Si T : V →W es una transformacion lineal entonces ker (T ) es un subespacio de V e Im (T ) esun subespacio de W .

Dem.: Vamos a demostrar que ker (T ) es un subespacio de V . En efecto, primero notemos que ker (T ) 6= ∅ yaque T (θv) = θW luego θV ∈ ker (T ). Si α, β ∈ K y u, v ∈ ker (T ) entonces

T (αu+ βv) = αT (u) + βT (v)= αθW + βθW

= θW

(note que T (u) = T (v) = θW porque u, v ∈ ker (T )) de esta forma αu+ βv ∈ ker (T ).

Ejercicio 1.4. Sea T ∈ L (V,W ) muestre que si S < V entonces T (S) < W . En particular Im (T ) = T (V ) < W .

Definicion 1.4. Llamaremos nulidad de T a la dimension del kernel de T y lo denotaremos por η (T ). Llamarenosrango de T a la dimension de Im (T ) y la denotaremos por ρ (T ).

Ejemplo 1.8. Sea T : R2 → R3

(x, y)→ T (x, y) = (x+ y, x, x− y)

entonces:

ker (T ) ={

(x, y) ∈ R2 : T (x, y) = (0, 0, 0)}

={

(x, y) ∈ R2 : (x+ y, x, x− y) = (0, 0, 0)}

=

(x, y) ∈ R2 :x+ y = 0x = 0

x− y = 0

=

{(x, y) ∈ R2 : x = 0, y = 0

}= {(0, 0)}

se sigue que la nulidad es cero Dim (ker (T )) = η (T ) = 0.

Im (T ) ={

(α, β, γ) ∈ R3 : existe x, y ∈ R con T (x, y) = (α, β, γ)}

={

(α, β, γ) ∈ R3 : existe x, y ∈ R con (x+ y, x, x− y) = (α, β, γ)}

=

(α, β, γ) ∈ R3 :x+ y = αx = β

x− y = γtiene solucion

ahora usamos la teorıa de mate2 para analizar cuando este sistema tiene solucion: Usamos la matriz ampliada 1 1

1 01 −1

∣∣∣∣∣∣αβγ

∼ operaciones elementales

1 10 10 0

∣∣∣∣∣∣α

α− βγ + α− 2β

es compatible si y solo si γ + α− 2β = 0 entonces

Im (T ) ={

(α, β, γ) ∈ R3 : γ + α− 2β = 0}

={(

α,γ + α

2, γ

)∈ R3 : α, γ ∈ R

}=

⟨(1,

12, 0),

(0,

12, 1)⟩

se sigue que el rango de T es Dim (Im (T )) = ρ (T ) = 2.Notar que Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = 0 + 2 = Dim

(R2)



Ejemplo 1.9. Si T :M2×2 (R)→ R2(x yz w

)→ T

(x yz w

)= (x+ y, z + w)

entonces T es una transformacion lineal, ademas

ker (T ) ={(

x yz w

)∈M2×2 (R) : T

(x yz w

)= (0, 0)

}=

{(x yz w

)∈M2×2 (R) : (x+ y, z + w) = (0, 0)

}=

{(x yz w

)∈M2×2 (R) :

x+ y = 0z + w = 0

}=

{(x −x−w w

)∈M2×2 (R) : x ∈ R, w ∈ R

}=

{x

(1 −10 0

)+ w

(0 0−1 1

)∈M2×2 (R) : x ∈ R, w ∈ R

}=

⟨(1 −10 0

),

(0 0−1 1

)⟩se sigue que la nulidad es 2, Dim (ker (T )) = η (T ) = 2. Calculemos el rango:

Im (T ) ={T

(x yz w

)∈ R2 :

(x yz w

)∈M2×2 (R)

}=

{(x+ y, z + w) ∈ R2 :

(x yz w

)∈M2×2 (R)

}= R2

se sigue que el rango de T es Dim (Im (T )) = ρ (T ) = 2.Note que nuevamente se cumple Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = 2 + 2 = 4 = Dim (M2×2 (R))

Ejercicio 1.5. Considere T : R4 → R2, (x, y, z, w)→ T (x, y, z, w) = (x− 2y, z − 3w) Encontrar imagen y kernel.

La relacion entre nulidad y rango de los ejemplos anteriores se cumple en general:

Teorema 1.1 (De las dimensiones). Si T ∈ L (V,W ) entonces

Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = Dim (V )

Buscaremos un metodo que nos permita calcular con rapidez Im (T ).

Proposicion 1.4. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V y T ∈ L (V,W ) entonces{T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn)} generaIm (T ).

Dem.: Suponga que y ∈ Im (T ) entonces, por definicion, existe un x ∈ V tal que T (x) = y, como {v1, v2, . . . , vn}es una base de V existiran escalares α1, α2, . . . , αn tales que

x =n∑

i=1

αivi

se sigue que

y = T (x) = T

(n∑

i=1

αivi

)=

n∑i=1

αiT (vi)

es decir, y es una combinacion lineal de los elementos T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn), luego T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn)genera Im (T ).



Ejemplo 1.10. Considere la transformacion lineal T : R2 [x]→ R, p→ T (p) = p (1) como sabemos x2, x, 1 formanuna base para R2 [x] se sigue que

T(x2)

= 12 = 1T (x) = 1T (1) = 1

generan la imagen, es decir, la imagen esta generada por {1}, como la imagen esta contenida en R que es dedimension 1 se sigue

Im (T ) = R

entonces η (T ) = 2.

Ejemplo 1.11. Si T :M2×2 (R)→M2×2 (R)(x yz w

)→ T

(x yz w

)=(

1 11 1

)(x yz w

)sabemos que (

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

)y(

0 00 1

)forman una base de M2×2 (R) luego

T

(1 00 0

)=

(1 11 1

)(1 00 0

)=(

1 01 0

)T

(0 10 0

)=

(1 11 1

)(0 10 0

)=(

0 10 1

)T

(0 01 0

)=

(1 11 1

)(0 01 0

)=(

1 01 0

)T

(0 00 1

)=

(1 11 1

)(0 00 1

)=(

0 10 1

)generan la imagen, se sigue

Im (T ) =⟨(

1 01 0

),

(0 10 1

),

(1 01 0

),

(0 10 1

)⟩=

⟨(1 01 0

),

(0 10 1

)⟩de donde obtenemos ρ (T ) = 2 y del teorema de las dimensiones obtenemos η (T ) = 2.

La proposicion NO afirma que {T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn)} sea una base de la imagen, solo que genera laimagen. Como vemos en el ultimo ejemplo puede resultar que los vectores obtenidos sean L.D. Para que sea unabase necesitamos del concepto de inyectividad.

Teorema 1.2. Si T ∈ L (V,W ) entonces T es inyectiva si y solo si kerT = {θv}

Dem.: Suponga que T es inyectiva. Si x ∈ kerT entonces T (x) = θw pero sabemos que T (θv) = θw luego

T (x) = T (θv)

por inyectividad se siguex = θv

luego se debe tener kerT = {θv}. (θV es su unico elemento)



Si kerT = {θv} yT (x) = T (y)

entoncesT (x− y) = θw

se sigue x− y ∈ kerT pero kerT = {θv} ası x− y = θv ⇒ x = y luego T es inyectiva.

Proposicion 1.5. Si {v1, v2, . . . , vp} es l.i en V y T ∈ L (V,W ) es inyectiva entonces {T (v1) , T (v2) , . . . , T (vp)}es l.i.

Dem.: En efecto, sip∑

i=1

αiT (vi) = θw

se sigue

T

(p∑

i=1

αivi

)= θw

luego∑p

i=1 αivi ∈ kerT , pero T es inyectiva entonces kerT = {θv} luego

p∑i=1

αivi = θv

por hipotesis v1, v2, . . . , vp es l.i, se sigue α1 = α2 = · · · = αp = 0. Ası T (v1) , T (v2) , . . . , T (vp) es l.i.

Proposicion 1.6. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V y T ∈ L (V,W ) es inyectiva entonces {T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn)}es una base de Im (T ).

Ejercicio 1.6. Si T ∈ L (V,W ) y v1, v2, . . . , vp es L. D. muestre que T (v1) , T (v2) , . . . , T (vp) es L. D.

Ejercicio 1.7. Si T ∈ L (V,W ) y T (v1) , T (v2) , . . . , T (vp) son L. I. muestre que v1, v2, . . . , vp son L. I.

Definicion 1.5. Diremos que T ∈ L (V,W ) es un isomorfismo si es biyectiva, en tal caso diremos que los espaciosV y W son isomorfos y pondremos V ≈W .

Observacion 1.5. Si V ≈W entonces Dim (V ) = Dim (W ). El argumento se basa en el teorema de las dimensionespara una trasnformacion lineal. Notar que si T : V → W es biyectiva entonces ker (T ) = {θv} y Im (T ) = W sesigue

η (T ) + ρ (T ) = 0 + Dim (Im (T )) = Dim (V )⇒ Dim (W ) = Dim (V )

el reciproco de este resultado es verdadero como veremos mas adelante...

Teorema 1.3. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Suponga que B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de Vy {w1, w2, . . . , wn} un conjunto arbitrario de n vectores de W entonces existe una unica transformacion linealT ∈ L (V,W ) tal que T (vi) = wi para i = 1, 2, . . . , n.

Dem.: Sea x ∈ V un vector, por definicion de base existen escalares α1, α2, . . . , αn tales que

x =n∑

i=1

αivi



es decir, el vector de coeficientes con respecto a la base B es

[x]B =

α1

α2

...αn

definamos

T : V →W

x → T (x) =n∑

i=1

αiwi

se sigue:

• La funcion esta bien definida pues cada x ∈ V tiene unicos escalares asociados en esa base tales que

x =n∑

i=1

αivi

• T ∈ L (V,W ), en efecto, si x, y ∈ V y λ, γ ∈ K entonces

x =n∑

i=1

αivi y =n∑

i=1

βivi

se sigue

T (λx+ γy) = T

(n∑

i=1

(λαi + γβi) vi

)

=n∑

i=1

(λαi + γβi)wi

=n∑

i=1

λαiwi +n∑

i=1

γβiwi

= λT (x) + γT (y)

ası T es lineal.

• Como

[vi]B =

0...010...0

en la i-esima fila

entonces T (vi) = wi.

• Veamos que T es la unica transformacion lineal con tal propiedad T (vi) = wi para i = 1, 2, . . . , n. En efecto,suponga que L tiene esa propiedad, si x ∈ V entonces

x =n∑

i=1

αivi



y ası

T (x) =n∑

i=1

αiT (vi) =n∑

i=1

αiwi

=n∑

i=1

αiL (vi) = L (x)

se sigue queT = L

(coinciden en todo elemento del espacio).

Observacion 1.6. Si dos transformaciones lineales coinciden en una base estas transformaciones deben ser iguales.

Observacion 1.7. Para determinar una transformacion lineal completa y unicamente, basta conocer los valoresque esta toma en una base.

Ejemplo 1.12. Construir una transformacion lineal T : R3 → R2 tal que

T (1, 1, 1) = (1, 1)T (1, 1, 0) = (−1, 2)T (1, 0, 0) = (0, 1)

Desarrollo: Como {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)} es una base y conocemos los valores que la transformacion en ella,tenemos determinada la transformacion lineal. Sea (x, y, z) ∈ R3 entonces

(x, y, z) = α (1, 1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (1, 0, 0)= (α+ β + γ, α+ β, α)

se sigue

α = z

β = y − zγ = x− y

luego(x, y, z) = (z) (1, 1, 1) + (y − z) (1, 1, 0) + (x− y) (1, 0, 0)

aplicamos TT (x, y, z) = zT (1, 1, 1) + (y − z)T (1, 1, 0) + (x− y)T (1, 0, 0)

y como

T (1, 1, 1) = (1, 1)T (1, 1, 0) = (−1, 2)T (1, 0, 0) = (0, 1)

se obtiene

T (x, y, z) = z (1, 1) + (y − z) (−1, 2) + (x− y) (0, 1)= (2z − y, x+ y − z)

es decirT : R3 → R2

(x, y, z) → T (x, y, z) = (2z − y, x+ y − z)



Ejercicio 1.8. Encontrar una transformacion lineal T ∈ L(R4,R3

)tal que Im (T ) = 〈(2,−1, 0) , (−1, 2, 2)〉 y la

nulidad sea 2.

Ejercicio 1.9. Encontrar una transformacion lineal T ∈ L(R3,R2

)tal que ker (T ) =

{(x, y, z) ∈ R3 : x− y + 2z = 0

}.

Observacion 1.8. Si Dim (V ) = Dim (W ) entonces ambos espacios tienen bases con la misma cantidad de elemen-tos, podemos construir una transformacion que lleve los elementos de la base de V en los elementos de la base deW , trivialmente esta transformacion es sobreyectiva y como las dimensiones del espacio de partida son iguales latransformacion es inyectiva (recordar que Si T : V →W es una transformacion lineal Dim (V ) = Dim (W ) entoncesT es inyectiva si y solo si es sobreyectiva) De esta forma V ≈W .

Teorema 1.4. Sean V y W dos K-ev. V ≈W ⇔ Dim (V ) = Dim (W )

1.2 Matriz asociada a una transformacion lineal

Definicion 1.6. Coordenadas de un vector: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de un espacio vectorial V y seav ∈ V . Los coeficientes αi en la expansion

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

son llamadas coordenadas de v con respecto a B y desde ahora usaremos la notacion

[v]B =

α1

α2

...αn

Observacion 1.9. El orden en el cual se considera la base es importante. Si B′ es una permutacion de B entonces[v]B′ es la correspondiente permutacion de [v]B.

Ejemplo 1.13. Calcular las coordenadas del vector −1+2x+3x2 en la base de R2 [x] dada por B ={

1 + x, x2, 1}.

Desarrollo: Tenemos que encontrar escalares α, β, γ tales que

−1 + 2x+ 2x2 = α (1 + x) + βx2 + γ1

desarrollando−1 + 2x+ 3x2 = (α+ γ) + αx+ βx2

ası

−1 = α+ γ

2 = α

3 = β

se sigue γ = −3 entonces−1 + 2x+ 3x2 = 2 (1 + x) + 3

(x2)− 3 (1)

de donde obtenemos [−1 + 2x+ 3x2

]B =

23−3



Observacion 1.10. Note que dado en vector de coordenadas [v]B y conocida la base B se puede recuperar el vectorv. Por ejemplo: Si el determinado vector v en M2×2 (R) tiene vector de coordenadas

[v]B =

1−12−2

en la base B =

{(1 11 1

),

(1 11 0

),

(1 10 0

),

(1 00 0

)}entonces

v = 1(

1 11 1

)+ (−1)

(1 11 0

)+ 2

(1 10 0

)+ (−2)

(1 00 0

)=

(0 20 1

)Sea A ∈Mm×n (R) dada por

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

entonces T : Rn → Rm, x→ T (x) = Ax (vectores como columnas) es una transformacion lineal. ¿Como podemosrecupera la matriz A si tenemos la transformacion lineal?

Sean B1= {e1, e2, . . . , en} y B2= {e′1, e′2, . . . , e′m} bases canonicas de los espacios vectoriales Rn y Rm respectiva-mente. Sabemos que una transformacion lineal queda determinada por los valores que toma en una base, veamosdonde envıa esta transformacion la base canonica

T (e1) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

m×n

10...0

n×1

=

a11

a21

...am1

m×1

= a11e′1 + a21e

′2 + · · · am1e

′m

⇒ T (e1) =

a11

a21

...am1

m×1

= [T (e1)]B2

repitiendo el calculo

T (e2) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

m×n

010...0

n×1

=

a12

a22

...am2

m×1

= a12e′1 + a22e

′2 + · · · am2e

′m

⇒ T (e2) =

a12

a22

...am2

m×1

= [T (e2)]B2



y ası hasta

T (en) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

m×n

00...01

n×1

=

a1n

a2n

...amn

m×1

= a1ne′1 + a2ne

′2 + · · · amne

′m

⇒ T (en) =

a1n

a2n

...amn

m×1

= [T (en)]B2

entonces podemos recuperar la matriz como

A =(

[T (e1)]B2

∣∣ [T (e2)]B2

∣∣ · · · | [T (en)]B2

)(vectores de coordenadas como columnas). Con esto en mente hacemos la siguiente definicion:

Definicion 1.7. Sean B1= {v1, v2, . . . , vn} y B2= {w1, w2, . . . , wm} bases de los espacios vectoriales V y W respec-tivamente. La matriz asociada a la transformacion lineal T ∈ L (V,W ) respecto a las bases B1 y B2 esta definidapor

[T ]B2B1

=(

[T (v1)]B2

∣∣ [T (v2)]B2

∣∣ . . . | [T (vn)]B2

)m×n

se sigue que [T ]B2B1

es una matriz de orden m×n donde m es la dimension del espacio de llegada y n es la dimensiondel espacio de partida.

Observacion 1.11. En ocasiones se usa la notacion [T ]B cuando se usa la misma base en el espacio de partida yllegada.

Observacion 1.12. Vectores coordenadas como columnas.

Ejemplo 1.14. Sea T : R3 → R2 la transformacion lineal definida por

(x, y, z)→ T (x, y, z) = (2x− y, y + z)

y consideremos las bases de R3 y R2 respectivamente

B1 = {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)}B2 = {(2, 0) , (0, 1)}

Entonces

T (1, 1, 1) = (1, 2) =12

(2, 0) + 2 (0, 1)

⇒ [T (1, 1, 1)]B2=(

1/22

)

T (1, 1, 0) = (1, 1) =12

(2, 0) + 1 (0, 1)

⇒ [T (1, 1, 0)]B2=(

1/21

)T (1, 0, 0) = (2, 0) = 1 (2, 0) + 0 (0, 1)

⇒ [T (1, 0, 0)]B2=(

10

)luego

[T ]B2B1

=[

1/2 1/2 12 1 0

]



Ejemplo 1.15. Sea D : R3 [x] → R3 [x] el operador lineal derivada, es decir, p → D (p) = p′ y considere las basesde R3 [x] dadas por

B1 ={

2x3, 3x− x2, 1− x, 1}

B2 ={

1, x, x2, x3}

luego

D(2x3)

= 0 · 1 + 0x+ 6x2 + 0x3

D(3x− x2

)= 3 (1)− 2 (x) + 0x2 + 0x3

D (1− x) = −1 (1) + 0x+ 0x2 + 0x3

D (1) = 0 (1) + 0x+ 0x2 + 0x3

entonces

[D]B2B1

=

0 3 −1 00 −2 0 06 0 0 00 0 0 0

usted puede calcular [D]B1

B2 y vera que es una matriz diferente.

El siguiente resultado es muy importante, nos dice que las imagenes de una transformacion lineal quedandeterminadas por una multiplicacion de matrices.

Teorema 1.5. Sea T ∈ L (V,W ) una transformacion lineal. Sean B1 y B2 bases de V y W respectivamente. Paracada v ∈ V la accion de T en v esta dada por la multiplicacion de la matriz asociada a T y por el vector decoordenadas en el siguiente sentido:

[T (v)]B2= [T ]B2

B1[v]B1

Observacion 1.13. Recuerde que si se conocen las coordenadas y la base, se conoce el vector. Si tenemos B2,el valor de T (v) quedara determinado por el producto [T ]B2

B1[v]B1

(conoceremos las coordenadas en la base B2

“[T (v)]B2” y ası podremos recuperar el vector T (v)).

Dem.: Sea v ∈ V entonces v =∑n

i=1 αivi, luego

[v]B1=

α1

α2

...an

Supongamos

[T ]B2B1

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

am1 am2 amn

entonces

T (vi) =m∑

j=1

ajiwj



(en las columnas de la matriz asociada estan las coordenadas T (vi) en la base B2) ası

T (v) = T

(n∑

i=1

αivi

)

=n∑

i=1

αiT (vi)

=n∑

i=1

αi

m∑j=1

ajiwj

=m∑

j=1

(n∑

i=1

αiaji

)wj

se sigue

[T (v)]B2=

(∑n

i=1 αia1i)(∑n

i=1 αia2i)...

(∑n

i=1 αiami)

por otro lado

[T ]B2B1

[v]B1=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

am1 am2 amn

α1

α2

...an

=

(∑n

i=1 αia1i)(∑n

i=1 αia2i)...

(∑n

i=1 αiami)

entonces [T ]B2

B1[v]B1

= [T (v)]B2.

Ya que tenemos esta importante relacion entre transformaciones lineales y matrices veamos que otras buenaspropiedades tiene la matriz asociada a una transformacion lineal.

Proposicion 1.7. Si T, L ∈ L (V,W ) y B1, B2 son bases de V y W respectivamente entonces:

1. [αT ]B2B1

= α [T ]B2B1

para escalares α.

2. [T + L]B2B1

= [T ]B2B1

+ [L]B2B1

3. Si T ∈ L (V,W ), S ∈ L (W,Z), B1, B2 y B3 bases de V,W,Z respectivamente entonces S ◦ T ∈ L (V,Z) y

[S ◦ T ]B3B1

= [S]B3B2

[T ]B2B1

Ejemplo 1.16 ((El senor ejemplo)). Considere

• T :M2×2 (R)→ R3,(x yz w

)→ T

(x yz w

)= (x− y, z + 2w, y)

• B1 ={(

1 00 1

),

(1 00 0

),

(0 0−1 0

),

(0 20 0

)}



• B2 = {(−2, 2, 2) , (1, 0, 0) , (1, 1, 0)}

entonces

1. Calcular [T ]B2B1

2. Si v =(

3 0−1/2 4

)calcular [v]B1

3. Verificar [T (v)]B2= [T ]B2

B1[v]B1

4. Encontrar ker (T ) directamente y luego a traves de [T ]B2B1

5. Calcular Im (T ) directamente y luego a traves de [T ]B2B1

1. Encontremos [T ]B2B1

. Como T(x yz w

)= (x− y, z + 2w, y)

T

(1 00 1

)= (1, 2, 0) = α (−2, 2, 2) + β (1, 0, 0) + γ (1, 1, 0)

= (β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α)

tambien tenemos que resolver

T

(1 00 0

)= (1, 0, 0) = α (−2, 2, 2) + β (1, 0, 0) + γ (1, 1, 0)

= (β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α)

y

T

(0 0−1 0

)= (0,−1, 0) = α (−2, 2, 2) + β (1, 0, 0) + γ (1, 1, 0)

= (β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α)

finalmente

T

(0 20 0

)= (0, 0, 2) = α (−2, 2, 2) + β (1, 0, 0) + γ (1, 1, 0)

= (β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α)

en el fondo hay que resolver

(β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α) = (1, 2, 0)(β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α) = (1, 0, 0)(β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α) = (0,−1, 0)(β − 2α+ γ, 2α+ γ, 2α) = (0, 0, 2)

(con soluciones de escalares diferentes en cada sistema) son 4 sistemas pero que podemos resolver de una vez −2 1 1 1 1 0 02 0 1 2 0 −1 02 0 0 0 0 0 2

∼ (Gauss) ∼

1 0 0 0 0 0 10 1 0 −1 1 1 40 0 1 2 0 −1 −2

de donde obtenemos

[T ]B2B1

=

0 0 0 1−1 1 1 42 0 −1 −2



2.(

3 0−1/2 4

)= α

(1 00 1

)+ β

(1 00 0

)+ γ

(0 0−1 0

)+ δ

(0 20 0

)=(α+ β 2δ−γ α

)α+ β = 3

2δ = 0−γ = −1/2α = 4

se sigue α = 4, β = −1, γ = 1/2 y δ = 0, por eso

[(3 0−1/2 4

)]B1

=

4−11/20

3. Notemos que [T ]B2

B1[v]B1

= 0 0 0 1−1 1 1 42 0 −1 −2

4−11/20

=

0− 9

2152

de donde se deberıa tener

Tv = 0 (−2, 2, 2)− 92

(1, 0, 0) +152

(1, 1, 0)

=(

3,152, 0)

y efectivamente, si calculamos directamente

T

(3 0−1/2 4

)=(

3,−12

+ 8, 0)

=(

3,152, 0)

4. Calculemos el ker (T ) directamente(x− y, z + 2w, y) = (0, 0, 0)

si y solo si x = 0 = y y si z = −2w entonces

ker (T ) ={(

x yz w

)∈M2×2 (R) : x = 0 = y ∧ z = −2w

}=

{(0 0−2w w

)∈M2×2 (R) : x = 0 = y ∧ z = −2w

}=

⟨(0 0−2 1

)⟩otra forma serıa determinar las soluciones no nulas de la ecuacion ([T ]B2

B1[v]B1

= θ)

0 0 0 1−1 1 1 42 0 −1 −2

αβγδ

=

000

pues estas nos entregara las coordenadas [v]B1

de los vectores v ∈ V que estan en el ker (T ) (ver discusionmas adelante), escalamos 0 0 0 1

−1 1 1 42 0 −1 −2



reducimos

1 0 − 12 0

0 1 12 0

0 0 0 1

⇒δ = 0 ∧ α =

12γ ∧ β = −1

2γ

entonces (x yz w

)=

12γ

(1 00 1

)− 1

2γ

(1 00 0

)+ γ

(0 0−1 0

)+ 0

(0 20 0

)=

(0 0−γ 1

2γ

)entonces

ker (T ) =⟨(

0 0−1 1

2

)⟩lo mismo dado anteriormente ya que ⟨(

0 0−1 1

2

)⟩=⟨(

0 0−2 1

)⟩5. Para calcular la imagen directamente ya lo sabemos, la imagen esta generada por{

T

(1 00 1

), T

(1 00 0

), T

(0 0−1 0

), T

(0 20 0

)}= {(1, 2, 0) , (1, 0, 0) , (0,−1, 0) , (0, 0, 2)}

es facil ver en este caso que

〈{(1, 2, 0) , (1, 0, 0) , (0,−1, 0) , (0, 0, 2)}〉 = R3

por el teorema de las dimensiones es claro que se cumple esto pues el teorema de las dimensiones nos dice

ρ (T ) + η (T ) = Dim (M2×2 (R)) = 4

pero η (T ) = 1 se sigue ρ (T ) = Dim (Im (T )) = 3 se sigue Im (T ) = R3. Por otro lado, de la matriz podemoscalcular Im (T ) recuerde que

[T ]B2B1

=(

[Tv1]B2

∣∣ [Tv2]B2

∣∣ · · · [Tvn]B2

∣∣)ası, si conocemos B2 podrıamos recuperar {Tv1, T v2, T v3, . . . , T vn} que sabemos genera Im (T ).

En efecto, note que [Tv1]B2=

0−12

y [Tv2]B2=

010

etc luego

0 (−2, 2, 2)− 1 (1, 0, 0) + 2 (1, 1, 0) =(

1 2 0)

0 (−2, 2, 2) + 1 (1, 0, 0) + 0 (1, 1, 0) =(

1 0 0)

0 (−2, 2, 2) + 1 (1, 0, 0)− (1, 1, 0) =(

0 −1 0)

1 (−2, 2, 2) + 4 (1, 0, 0)− 2 (1, 1, 0) =(

0 0 2)

y esto genera la imagen de la transformacion.

El ejemplo es muy ilustrativo y nos muestra como podemos calcular Im (T ) y ker (T ) directamente de la matriz,podemos entonces enunciar lo siguiente:

Teorema 1.6. Si T ∈ L (V,W ) entonces el rango de T , ρ (T ) es igual al rango de la matriz [T ]B2B1

. (entoncescalcular la dimension de la imagen es buscar el numero de filas no nulas despues de escalonar la matriz asociada auna T. L.)



Observacion 1.14. Si queremos calcular el ker (T ) directamente desde la matriz asociada a la transformacionlineal, notemos lo siguiente

ker (T ) = {v ∈ V : Tv = θW }

entonces v ∈ ker (T ) si y solo si[Tv]B2

= [θW ]B2= θ

pero[T (v)]B2

= [T ]B2B1

[v]B1

entonces v ∈ ker (T ) si y solo si[T ]B2B1

[v]B1= θ

es decir, si B1 = {v1, v2, . . . , vn}, v ∈ ker (T ) si y solo si el vector de coordenadas de v en la base B1 “[v]B1” es

solucion del sistema homogeneo[T ]B2B1

[v]B1= θ

luego, si

[v]B1=

α1

α2

...αn

se sigue

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn ∈ ker (T )

ver el ejemplo.

1.3 Matrices de cambio de base

Pareciera que todos estos calculos son muy dependientes de las bases que estemos considerando, ahora investigaremoscomo estan relacionadas las matrices calculadas en diferentes bases.

Consideremos una transformacion lineal T : V → W , si es biyectiva (una transformacion lineal biyectiva sellama isomorfismo) entonces en inyectiva (ker (T ) = {θv}) y sobreyectiva Im (T ) = W entonces por el teorema delas dimensiones

Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = Dim (V )

peroDim (ker (T )) = 0

y Im (T ) = W implicaDim (Im (T )) = Dim (W )

se sigue0 + Dim (W ) = Dim (V )

entonces Dim (W ) = Dim (V ). Esto nos dice que para que una transformacion T : V →W sea biyectiva necesitamosque por lo menos Dim (W ) = Dim (V ), por ejemplo no hay transformaciones lineales biyectivas T :M2×2 (R)→ R2.

Ejercicio 1.10. Muestre que si T : V → W es una transformacion lineal biyectiva entonces T−1 : W → V es unatransformacion lineal biyectiva.



Ejemplo 1.17. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V , Muestre la matriz asociada a I : V → Ves la transformacion identidad entonces

[I]BB = In×n (la matriz identidad)

En efecto, Iv1 = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 + · · ·+ 0vn se sigue

[Iv1]B =

10...0

similarmente Iv2 = v1 = 0v1 + 1v2 + 0v3 + · · ·+ 0vn se sigue

[Iv2]B =

010...0

ası [I]BB = ([Iv1]B| [Iv2]B| · · · [Ivn]B|) es

[I]BB = In×n

Ahora supongamos que T : V →W es in isomorfismo con bases B1 y B2 en V y W respectivamente (T−1 : W →V ) entonces

In =[T ◦ T−1

]B2

B2= [T ]B2

B1

[T−1

]B1

B2

(recuerde que [S ◦ T ]B3B1

= [S]B3B2

[T ]B2B1

) tambien

In =[T−1 ◦ T

]B1

B1=[T−1

]B1

B2[T ]B2B1

se sigue que: Si T : V →W es in isomorfismo entonces la matriz [T ]B2B1

es invertible ademas([T ]B2B1

)−1

=[T−1

]B1

B2

recordemos que vectores no nulos soluciones de

[T ]B2B1

[v]B1= θ

son las coordenadas de los elementos de ker (T ) si A = [T ]B2B1

es invertible entonces

Ax = 0

tiene solucion unica x = 0 se sigue que [v]B1= 0 son los unicos escalares entonces ker (T ) = {θv} y ası T es inyectiva,

si Dim (W ) = Dim (V ) sabemos que T es inyectiva si y solo si es biyectiva y ası T : V →W es invertible.

Teorema 1.7. Sea T : V →W una transformacion lineal, bases B1 y B2 en V y W respectivamente. Supongamosademas que Dim (W ) = Dim (V ) entonces T es biyectiva si y solo si [T ]B2

B1es invertible y ademas(

[T ]B2B1

)−1

=[T−1

]B1

B2

(recordar que [T ]B2B1

es invertible si y solo si el determinante de [T ]B2B1

es distinto de cero).



Ya estamos en condiciones de investigar la relacion entre las matrices asociadas a diferentes bases.Supongamos entonces que B1 y B2 son dos bases de un espacio vectorial V . Note que

[v]B2= [Iv]B2

= [I]B2B1

[v]B1

(donde I : V → V es la transformacion identidad) ademas

[v]B1= [Iv]B1

= [I]B1B2

[v]B2

las matrices [I]B2B1

y [I]B1B2

son llamadas matrices de cambio de base o matriz de paso, la razon del nombre esclara, al multiplicar por ellas cambian las coordenadas de una base a la otra, ademas tienen la propiedad de sermatrices inversas, es decir (

[I]B1B2

)−1

= [I]B2B1

la demostracion de esto es simple, recordar de la clase anterior que(

[T ]B2B1

)−1

=[T−1

]B1

B2pero en este caso I−1 = I.

Ejemplo 1.18. Considere las bases de R3

B1 = {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)}

yB2 = {(0, 0, 1) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0)}

1. Calcular [I]B2B1

y [I]B1B2

2. Calcular [v]Bipara i = 1, 2 donde v = (3, 1, 3)

Desarrollo:

1. Notemos que

I (1, 1, 1) = (1, 1, 1) = 1 (0, 0, 1) + 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0)I (1, 1, 0) = (1, 1, 0) = 0 (0, 0, 1) + 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0)I (1, 0, 0) = (1, 0, 0) = 0 (0, 0, 1) + 1 (1, 0, 0) + 0 (0, 1, 0)

entonces

[I]B2B1

=

1 0 01 1 11 1 0

como

([I]B1B2

)−1

= [I]B2B1

se sigue que [I]B1B2

=(

[I]B2B1

)−1

lo calculamos con Gauss 1 0 0 1 0 01 1 1 0 1 01 1 0 0 0 1

∼ 1 0 0 1 0 0

0 1 0 −1 0 10 0 1 0 1 −1

ası

[I]B1B2

=

1 0 0−1 0 10 1 −1

2. Notemos que (3, 1, 3) = 3 (0, 0, 1) + 3 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0)

[(3, 1, 3)]B2=

331



luego

[(3, 1, 3)]B1= [I]B1

B2[(3, 1, 3)]B2

=

1 0 0−1 0 10 1 −1

331

=

3−22

Pues bien, suponga que T : V → V y consideramos la base B1 en V entonces tenemos [T ]B1B1

. Si consideramos lamisma transformacion pero con la base B2 en V entonces tenemos [T ]B2

B2, estas dos matrices estan relacionadas de

la siguiente forma[T ]B1B1

= [I]B1B2

[T ]B2B2

[I]B2B1

y[T ]B2B2

= [I]B2B1

[T ]B1B1

[I]B1B2

ası, si ponemos P = [I]B2B1

se sigue[T ]B2B2

= P [T ]B1B1P−1

y[T ]B1B1

= P−1 [T ]B2B2P

esta expresion la conocemos de diagonalizacion.

1.4 Diagonalizacion

Dada una transformacion lineal T : V → V la pregunta es ¿Existe una base B de V en la cual [T ]BB sea una matrizdiagonal ?

Supongamos que si existe y llamemosle B = {v1, v2, v3, . . . vn}, pongamos

[T ]BB = Diag (λ1, λ2, . . . , λn) =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

como

[Tv1]B =

λ1

0...0

se sigue

Tv1 = λ1v1

similarmente

[Tv2]B =

0λ2

...0

se sigue

Tv2 = λ2v2



razonando de manera similar tenemos Tvi = λivi para i = 1, . . . , n (la imagen de tales vectores son un escalamientodel vector original). Entonces exitira una base B en la cual la matriz asociada sea diagonal si y solo si existe unabase de vectores {v1, v2, v3, . . . vn} que tiene la propiedad Tvi = λivi. Vamos a darle nombres a tales vectores yescalares:

Definicion 1.8. Diremos que λ es un valor propio de una transformacion lineal T : V → V si existe un vectorno nulo v ∈ V tal que Tv = λv, a tal vector lo llamaremos vector propio asociado al valor propio λ.

Note que Tv = λv ⇔ (T − λI) v = θv entonces v ∈ ker (T − λI) recıprocamente si v ∈ ker (T − λI) entonces(T − λI) v = θ y ası Tv = λv.

Definicion 1.9. Suponga que λ es un valor propio de la transformacion lineal T : V → V . Llamaremos subespaciopropio asociado al valor propio λ al subespacio de V dado por ker (T − λI).

Tenemos el siguiente teorema que nos permitira buscar lo valores propios:

Teorema 1.8. Sea T : V → V una transformacion lineal. Son equivalentes:

1. λ es valor propio de T .

2. ker (T − λI) 6= {θv}

3. T − λI no es invertible

4. Det(

[T − λI]BB)

= 0 para cada base B de V .

La expresion Det(

[T − λI]BB)

es independiente de la base (demostrado en clases mediante las matrices de cambiode base y propiedades del determinante) y la llamaremos polinomio caracterıstico de T .

PT (λ) = Det(

[T − λI]BB)

buscar los valores propios de T consiste en buscar las raıces del polinomio PT (λ).

Observacion 1.15. Recordemos de mat022 que una matriz es diagonalizable si y solo tiene una base de vectorespropios si y solo si las multiplicidades algebraicas y geometricas coinciden para cada valor propio (multiplicidadgeometrica es la dimension del subespacio asociado y multiplicidad algebraica es la multiplicidad como raız)

Ejercicio 1.11. Encontrar una base es la cual la transformacion

T : R3 → R3

(x, y, z) → T (x, y, z) = (x− 4y − 4z, 8x− 11y − 8z, 8y − 8x+ 5z)

tenga una matriz asociada diagonal y establecer la relacion de esta con la matriz asociada a las bases canonicas.

Desarrollo: Calculemos la matriz asociada con respecto a las base canonica C:

T (1, 0, 0) = (1, 8,−8)T (0, 1, 0) = (−4,−11, 8)T (0, 0, 1) = (−4,−8, 5)



entonces

[T ]CC =

1 −4 −48 −11 −8−8 8 5

el polinomio caracterıstico es

PT (λ) =

∣∣∣∣∣∣ 1− λ −4 −4

8 −11− λ −8−8 8 5− λ

∣∣∣∣∣∣ = − (λ− 1) (λ+ 3)2

entonces los valores propios son λ = 1 con M.A. = 1 y λ = −3 con M.A. = 2.Calculando

ker (T − I) =

⟨ − 12−11

⟩y

ker (T + 3I) =

⟨ 110

,

101

⟩entonces

B =

− 1

2−11

,

110

,

101

es una base en la cual la matriz es diagonal ademas

P =

− 12 1 1−1 1 01 0 1

= [I]CB

entonces

P−1 =

−2 2 2−2 3 22 −2 −1

= [I]BC

y asıy

[T ]BB =

−2 2 2−2 3 22 −2 −1

1 −4 −48 −11 −8−8 8 5

− 12 1 1−1 1 01 0 1

=

1 0 00 −3 00 0 −3

es una representacion diagonal.

Observacion 1.16. Por la estricta relacion entre matrices y transformaciones lineales la representacion diagonalnos permite rapidamente identificar rango, kernel, si es invertible, etc.

Observacion 1.17. Como usted ya sabe, si la matriz asociada es simetrica entonces es diagonalizable y mejor aunpodemos calcular la matriz P de una forma especial tal que P−1 = PT .


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Materia Transformaciones Lineales