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Instituto Tecnológico de Minatitlán Transformaciones Lineales Álgebra Lineal Ing. Sistemas Computacionales 2° Semestre Daniel Lara Hernández Ing. Morales Hernandez Luis Humberto

Transformaciones Lineales Trabajo

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Instituto Tecnológico de Minatitlán

Transformaciones Lineales

Álgebra Lineal

Ing. Sistemas Computacionales

2° Semestre

Daniel Lara Hernández

Ing. Morales Hernandez Luis Humberto

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Álgebra Lineal Stanley I. Grossman & Howard Anton

2 Indice 2 Indice

Indice

Indice ................................................................................................................................................... 2

Unidad 5 Transformaciones Lienales ................................................................................................. 3

5.1 Introducción a las transformaciones lineales ................................................................................ 3

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal ............................................................................ 4

5.3 La matriz de una transformación lineal ......................................................................................... 5

5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación ......... 6

Ejemplos .............................................................................................................................................. 9

Bibliografia ........................................................................................................................................ 12

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3 Unidad 5 Transformaciones Lienales 3 Unidad 5 Transformaciones Lienales

Unidad 5 Transformaciones Lienales

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

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4 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 4 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Imagen de una transformacion lineal: Sean V;W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L(V;W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicacion T: im(T) := (w 2 W : 9v 2 V tal que w = T(v)) Nucleo de una transformacion lineal: Sean V;W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L(V;W). El nucleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo: ker(T) := (x 2 V : T(x) = 0W) La propiedad fundamental del nucleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales:

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5 5.3 La matriz de una transformación lineal 5 5.3 La matriz de una transformación lineal

5.3 La matriz de una transformación lineal Cualquier transformación lineal T: V . W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W. Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )

T

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6 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación 6 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación

5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación

Reflexión Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano. Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) la matriz de transformación es sencilla, pues es similar a la matriz identidad, aunque siendo –1 el elemento que representa a la coordenada que es nula en el plano de reflexión. Así, las matrices de reflexión para los planos XY, XZ e YZ son:

Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se complica notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. En este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y lanormal al plano en ese punto. El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos: • Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas • Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia. Por ejemplo, si el eje escogido es el Z, el plano de reflexión sería el XY. • Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado • Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original. La matriz neta podría ser, por ejemplo, el resultado de la composición de las matrices [M]= [T]⋅ [G ]⋅ [G ]⋅ [R ]⋅ [G ]−1 ⋅ [G ]−1 ⋅[T]−1 x y z y x , si se opta por realizar las transformaciones para alinear el vector normal con el eje Z. En tal caso, la matriz de reflexión a utilizar sería la Rz.

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7 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación 7 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación

Rotación Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en tormo al origen. Rotación en el plano: La transformación :2→2 se define por

y hace girar cada vector, θ rad en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen.

Por ejemplo, calcularemos la imagen de (1,1) para teta =pi/2.

Rotación en torno al origen

COMPRESIONES-EXPANSIONES

Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con mas precisión: paraCC >c >0,

la transformación Cx X, =(cx,y) escala las coordenadas x en un factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas y.

Si 0< c <1 se trata de una compresión en la dirección del eje x positivo. Si c >1, se refiere a una expansión. También se

tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por Cy X, = c,y para c >0. Compresión y estiramiento a lo largo del eje x.

Otro tipo son los escalamiento simultáneos a lo largo de los ejes x y y, como C xy X, = cx,y con factoresde escala c

>0 y d >0 a lo largo de las direcciones x y y.

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8 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación 8 5.4 Aplicación de las transforamciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación

Escalamiento a lo largo de los ejes x y y.

Tanto Cx como Cy y C xy son transformaciones matriciales, con sus respectivas matrices

CORTES

Un corte o deslizamiento a lo largo del eje x es una transformación de la forma Sx x,y =(x+cy,y) En otras palabras, cada punto se mueve a lo largo de la dirección x una cantidad proporcional a la distancia al eje x. También hay cortes a lo largo del eje y:

Sy x,y =(x,cx+y)

Sx y Sy son transformaciones matriciales cuyas matrices son

Deslizamiento a lo largo del eje x.

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9 Ejemplos 9 Ejemplos

Ejemplos Transformacion Lineal

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10 Ejemplos 10 Ejemplos

Nucleo e Imagen de una transformacion lineal

La matriz de una transformacion lineal

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11 Ejemplos 11 Ejemplos

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12 Bibliografia 12 Bibliografia

Bibliografia Anton, Howard. Introducción al álgebra lineal. Balderas 95, Mexico, D.F: Limusa, S.A. de C.V., 1994 Grossman, Stanley I. Álgebra Lineal. Paseo de la reforma 1015, torre A, piso 17, colonia Santa Fe, Mexico, D.F: McGraw-Hill/Interamericana editores S.A. de C.V., 2008 Arocha, Jorge L. Álgebra Lineal. Mexico D.F. 04510: Instituto de Matematicas de la Universidad Autónoma de Mexico, 2011