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Espacio Vectorial y Transformaciones Lineales

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Repblica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educacin Superior Instituto Universitario Politcnico del Estado Bolvar Seccin 1M Electricidad

Espacio vectorial y Transformaciones lineales

Profesor: Wilmer Colmenares

Integrantes: Randy Hernndez C.I.19.728.287 Aleandre Martnez C.I.19.369.664

Ciudad Bolvar, julio de 2010

Definicin

Representacin grafica

Vectores

Propiedades

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas caractersticas que son:

Origen:O tambin denominado Punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el vector.

Mdulo:Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector,.

Direccin:Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido:Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accin se dirige el vector.

PropiedadesSuma y restaLa suma y resta se hace componente a componente Consideremos los vectores y . y

Multiplicacin por un escalarUn escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo nmero real Consideremos el vector entonces y el escalar

Grficos y ejemplos:EJEMPLO 1 Sea y , entonces

Suma de vectores

Resta de vectores

EJEMPLO 3 Sea entonces

Multiplicacin por un escalar

Los vectores en la ELECTRICIDADGran parte del desarrollo matemtico con seales elctricas se hace con fasores y notacin compleja. A efectos matemticos un nmero complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. El mundo elctrico es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores. Un ejemplo que demostrar la necesidad de recurrir a vectores de dos o tres componentes, aunque este caso slo es una aproximacin de la realidad. Suponte que quieres encontrar una sub-estacin elctrica. Necesitars saber dnde est, pero si solo sabes que se encuentra a 1 km de t, no podrs encontrarla con esa nica informacin. Necesitars saber en que direccin has de empezar a andar, y en que sentido, es decir, un vector de dos dimensiones. En este caso hemos considerado que la Tierra es plana y slo nos movemos por su superficie. Pero si al llegar exactamente al punto que te han indicado, y te encuentras un edificio con 10 plantas, an te falta saber una tercera coordenada ms, y eso te llevara a un vector de tres dimensiones. Con el vector completo ya tienes la ubicacin exacta del lugar.

Definicin

Transformaciones lineales

Propiedades

Definicin

Son todas las aplicaciones cuyos dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definicin:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una funcin de V en W. T es una transformacin lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

T(ku)= kT(u)

T(u+v)=T(u)+T(v)

Donde k es un escalar

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que:

Si T:V W es lineal, se define el ncleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Ker(T) ={xE V:T(x)=0w

0v

ker(T) Dado que T(0v)= 0w

El ncleo de toda transformacin lineal

esDados u,v ker(T): T(u+v)= T(u)+T(v)=0w+0w=0w u+v ker(T) Dados u ker(T) k Kt(u) T(ku) =k0w=0w R:T(ku)= ku ker(T) un subespacio del dominio

Es decir el ncleo de una transformacin lineal est formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio

Se denomina nulidad a la dimensin del ncleo null(T)= dim{ker(T)}

la imagen de una transformacin lineal esta formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imgenes de al menos algn vector del dominio.

La imagen de toda transformacin lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformacin lineal es la dimensin de la imagen. ran(T)= dim{Im(T)}

Ejemplo:

Sea:

,

Tal que

. Entonces T es lineal, ya que

, y por otro lado,

Por lo tanto, vemos que

Esta transformacin recibe el nombre de la transformacin cero y se denota como

Aplicacin de la transformacin lineal en espacios vectoriales.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los nmeros reales o los nmeros complejos) es un conjunto V no vaco, dotado de dos aplicaciones:

Suma

Producto

la relacin entre dos espacios vectoriales se expresa por las aplicaciones entre ellos.

Aplicacin

En el contexto de los espacios vectoriales, el concepto correspondiente se denomina aplicacin lineal o transformacin lineal.

Se tratan de funciones f : V W que son compatibles con la estructura relevante, i.e., preservan la suma de vectores y el producto por un escalar:

f(v + w) = f(v) + f(w) y f(a v) = a f(v).

Ejemplos:

Operacin interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro 0, es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir d)

Operacin externa tal que: a) b) c)

Los elementos de K se llaman escalares. Los elementos de V se llaman vectores.

Mtodo de Gauss-Seidel Y Jacobi

La iteracin de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal

Si definimos la matriz R=A-Q

y la ecuacin se puede escribir en la forma:

Qx(k) = -Rx(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendr dado por la ecuacin:

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces:

= =

De donde despejando xi(k), obtenemos:

En el mtodo de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el mtodo de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitucin. Por contra, en el mtodo de Gauss-Seidel los clculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.

incluyendo un algoritmo para la iteracin de Gauss-Seidel

Algoritmo para la iteracin de Gauss-Seidel.

consiste en construir una sucesin convergente definida iterativamente.

es un mtodo iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b

Mtodo de Jacobi

El lmite de esta sucesin es precisamente la solucin del sistema.

A efectos prcticos si el algoritmo se detiene despus de un nmero finito de pasos se llega a una aproximacin al valor de x de la solucin del sistema.

La sucesin se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:

A= D+L+U

donde

D, es una matriz diagonal, L, es una matriz triangular inferior U, es una matriz triangular superior

Partiendo de Ax = b , podemos reescribir dicha ecuacin como:

Luego,

Si aii 0 para cada i. Por la regla iterativa

El Mtodo de Jacobi puede ser expresado de la forma:

k es el contador de iteracin, Finalmente tenemos

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el mtodo Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor ser necesario para el resto de los clculos. Esta es la diferencia ms significativa entre los mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mnima de almacenamiento es de dos vectores de dimensin n, y ser necesario realizar un copiado explcito.

Bibliografa

www.google.com http://es.wikipedia.org http://www.uv.es http://www.ugr.es Matemtica de 8vo grado E. Navarro

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