Transformaciones lineales - Universidad de Chile...Semana 9 [1/59] Transformaciones lineales 19 de septiembre de 2007 Transformaciones lineales Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana

Semana 9 [1/59]

Transformaciones lineales

19 de septiembre de 2007


Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [2/59]

TNI

Teorema Núcleo-ImagenU, V espacios vectoriales sobre K,

T : U → V transformación lineal, dim U < ∞.

Entonces:dim U = dim KerT + dim ImT .

Si dim U = n, y el rango de T es n, luego

dim KerT = 0.



TNI





dim KerT = 0.



TNI





dim KerT = 0.



TNI





dim KerT = 0.



Aplicaciones

ProposiciónSea T : U → V aplicación lineal.

1 Si dim U = dim V entonces

T inyectiva ⇔ T epiyectiva ⇔ T biyectiva.

2 Si dim U > dim V , T no puede ser inyectiva.

3 Si dim U < dim V , T no puede ser epiyectiva.

4 Como conclusión de (2) y (3)

U isomorfo a V ⇔ dim U = dim V .



Aplicaciones










Aplicaciones










Aplicaciones










Propiedades

PropiedadesT : U → V es lineal y W subespacio de U entonces

1 T (W ) es subespacio de V.

2 dim T (W ) ≤ dim U.

3 Si T es inyectiva dim T (W ) = dim W .



Propiedades







Propiedades







Propiedades






Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [14/59]

Matriz representante

U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, dim U = p, dim V = q.

βU = {u1, ..., up}, βV = {v1, ..., vq} bases de U y V respectivamente.

Una transformación lineal T : U → V está dada por su acción sobre la baseβU :

T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq

T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...

T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq

Esta información la guardamos en una matriz de q filas y p columnas.







T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq

T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...

T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq








T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq

T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...

T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq








T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq

T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...

T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq





Matriz representanteSe denomina matriz representante de T , con respecto a las bases βU y βV ala matriz:

MβUβV (T ) =

a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2p... ... ...

aq1 aq2 ... aqp

∈ Mqp(K)

donde, q = dim U, p = dim V .

ObservaciónEsta matriz depende de las bases consideradas.¿Qué pasa si cambiamos las bases?Lo veremos pronto.




Matriz representanteSe denomina matriz representante de T , con respecto a las bases βU y βV ala matriz:

MβUβV (T ) =

a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2p... ... ...

aq1 aq2 ... aqp

∈ Mqp(K)

donde, q = dim U, p = dim V .

ObservaciónEsta matriz depende de las bases consideradas.¿Qué pasa si cambiamos las bases?Lo veremos pronto.



Ejemplo

ea T : R4 → R3, definida por

T (x) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

x1

x2

x3

x4

.

β = βU = {e1, e2, e3, e4}, base canónica de R4, y

β′ = βV ={(

110

)

,(

101

)

,(

011

)}

base de R3.

Luego

T (e1) = T(

1000

)

=(

100

)

=12

(

110

)

+12

(

101

)

−12

(

011

)

T (e2) = T(

0100

)

=(

110

)

= 1(

110

)

+ 0(

101

)

+ 0(

011

)

T (e3) = T(

0010

)

=(

011

)

= 0(

110

)

+ 0(

101

)

+ 1(

011

)

T (e4) = T(

0001

)

=(

001

)

= −12

(

110

)

+12

(

101

)

+12

(

011

)



Ejemplo


T (x) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

x1

x2

x3

x4

.


β′ = βV ={(

110

)

,(

101

)

,(

011

)}

base de R3.

Luego

T (e1) = T(

1000

)

=(

100

)

=12

(

110

)

+12

(

101

)

−12

(

011

)

T (e2) = T(

0100

)

=(

110

)

= 1(

110

)

+ 0(

101

)

+ 0(

011

)

T (e3) = T(

0010

)

=(

011

)

= 0(

110

)

+ 0(

101

)

+ 1(

011

)

T (e4) = T(

0001

)

=(

001

)

= −12

(

110

)

+12

(

101

)

+12

(

011

)



Ejemplo


T (x) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

x1

x2

x3

x4

.


β′ = βV ={(

110

)

,(

101

)

,(

011

)}

base de R3.

Luego

T (e1) = T(

1000

)

=(

100

)

=12

(

110

)

+12

(

101

)

−12

(

011

)

T (e2) = T(

0100

)

=(

110

)

= 1(

110

)

+ 0(

101

)

+ 0(

011

)

T (e3) = T(

0010

)

=(

011

)

= 0(

110

)

+ 0(

101

)

+ 1(

011

)

T (e4) = T(

0001

)

=(

001

)

= −12

(

110

)

+12

(

101

)

+12

(

011

)



Ejemplo

De donde

Mββ′(T ) =

12 1 0 −1

2

12 0 0 1

2

−12 0 1 1

2

∈ M34(R)

Tomemos ahora, en R3, la base canónica, β′ ={(

100

)

,(

010

)

,(

001

)}

:

T (e1) =(

100

)

= 1e′1 + 0e′

2 + 0e′3

T (e2) =(

110

)

= 1e′1 + 1e′

2 + 0e′3

T (e3) =(

011

)

= 0e′1 + 1e′

2 + 1e′3

T (e4) =(

001

)

= 0e′1 + 0e′

2 + 1e′3



Ejemplo

De donde

Mββ′(T ) =

12 1 0 −1

2

12 0 0 1

2

−12 0 1 1

2

∈ M34(R)


100

)

,(

010

)

,(

001

)}

:

T (e1) =(

100

)

= 1e′1 + 0e′

2 + 0e′3

T (e2) =(

110

)

= 1e′1 + 1e′

2 + 0e′3

T (e3) =(

011

)

= 0e′1 + 1e′

2 + 1e′3

T (e4) =(

001

)

= 0e′1 + 0e′

2 + 1e′3



Ejemplo

De donde

Mββ′(T ) =

12 1 0 −1

2

12 0 0 1

2

−12 0 1 1

2

∈ M34(R)


100

)

,(

010

)

,(

001

)}

:

T (e1) =(

100

)

= 1e′1 + 0e′

2 + 0e′3

T (e2) =(

110

)

= 1e′1 + 1e′

2 + 0e′3

T (e3) =(

011

)

= 0e′1 + 1e′

2 + 1e′3

T (e4) =(

001

)

= 0e′1 + 0e′

2 + 1e′3



Ejemplo

Luego,

Mββ′(T ) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

¡La matriz es distinta!

La matriz representante con respecto a las bases canónicas es la matrizasociada a T .



Ejemplo

Luego,

Mββ′(T ) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1





Ejemplo

Luego,

Mββ′(T ) =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1





Relación entre T y Mββ′(T )

Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,

y por lo tanto T (u) =∑p

j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q

i=1 mijvi y por lo tanto

T (u) =

p∑

j=1

αj

q∑

i=1

mijvi =

q∑

i=1

(

p∑

j=1

αjmij)vi .

Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).

Esto permite trabajar con M en vez de T .








T (u) =

p∑

j=1

αj

q∑

i=1

mijvi =

q∑

i=1

(

p∑

j=1

αjmij)vi .










T (u) =

p∑

j=1

αj

q∑

i=1

mijvi =

q∑

i=1

(

p∑

j=1

αjmij)vi .










T (u) =

p∑

j=1

αj

q∑

i=1

mijvi =

q∑

i=1

(

p∑

j=1

αjmij)vi .










T (u) =

p∑

j=1

αj

q∑

i=1

mijvi =

q∑

i=1

(

p∑

j=1

αjmij)vi .





Espacio de transformaciones lineales

DefiniciónU, V espacios vectoriales sobre K, con dim U = p y dim V = q.

Definimos

LK(U, V ) = {T : U → V/T es transformación lineal }

LK(U, V ), dotado de las operaciones:

(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )

(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )

es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.





Definimos



(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )

(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )






Definimos



(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )

(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )






Definimos



(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )

(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )





Considerando

ϕ : LK(U, V ) → Mqp(K)

T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )

Tenemos entonces que:LK(U, V ) ∼= Mqp(K)

De donde:

dimLK(U, V ) = dim Mqp(K) = pq = dim U dim V .




Considerando


T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )


De donde:





Considerando


T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )


De donde:




Composición de transformaciones lineales

Sean T : U → V , L : V → W transformaciones lineales, luego L ◦T : U → Wes también lineal.

Sean dimU = p, dimV = q, dimW = r con basesβU = {ui}

pi=1, βV = {vi}

qi=1, βW = {wi}

ri=1, respectivamente.

¿Cuál es la expresión de MβUβW (L ◦ T )?

MβUβW (L ◦ T ) = MβV βW (L) · MβUβV (T ).






pi=1, βV = {vi}

qi=1, βW = {wi}









pi=1, βV = {vi}

qi=1, βW = {wi}









pi=1, βV = {vi}

qi=1, βW = {wi}






Matriz representante de la inversa

ProposiciónSi T es invertible entonces Mββ′(T ) es una matriz invertible y más aún

(Mββ′(T ))−1 = Mβ′β(T−1).



Matriz representante de la inversa

ProposiciónSi T es invertible entonces Mββ′(T ) es una matriz invertible y más aún

(Mββ′(T ))−1 = Mβ′β(T−1).



Una matriz y su transformación asociada

TeoremaPara toda matriz A ∈ Mnn(K), las propiedades siguientes son equivalentes

1 A es invertible.

2 TA : Kn → Kn, v 7→ TA(v) = Av es un isomorfismo.

3 El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.





1 A es invertible.







1 A es invertible.







1 A es invertible.




Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [51/59]

Matriz de pasaje

Sea entonces V un espacio vectorial sobre K , dimV = n,sean β = {vi}i=1 y β′ = {v ′

i }ni=1 dos bases de V .

Luegov ′

1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...

v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...

v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn

DefiniciónDenominamos matriz de pasaje o de cambio de base de β a β′ a la matriz:

P = Pββ′ = (pij) =

p11 ... p1j ... p1n... ... ...

pn1 ... pnj ... pnn

= Mβ′β(idV )



Matriz de pasaje



Luegov ′

1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...

v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...

v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn


P = Pββ′ = (pij) =

p11 ... p1j ... p1n... ... ...

pn1 ... pnj ... pnn

= Mβ′β(idV )



Matriz de pasaje



Luegov ′

1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...

v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...

v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn


P = Pββ′ = (pij) =

p11 ... p1j ... p1n... ... ...

pn1 ... pnj ... pnn

= Mβ′β(idV )



Matriz de pasaje



Luegov ′

1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...

v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...

v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn


P = Pββ′ = (pij) =

p11 ... p1j ... p1n... ... ...

pn1 ... pnj ... pnn

= Mβ′β(idV )



Matriz de pasaje

Dado x ∈ V .

α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α

′n) ∈ Kn, sus coordenadas con respecto

a las base β y β′ respectivamente.

Se tiene entonces:

v =

n∑

j=1

α′jv

′j =

n∑

j=1

α′j(

n∑

i=1

pijvi) =

n∑

i=1

(

n∑

j=1

pijα′j)vi

Pero, además, v =n

∑

i=1αivi .

Como la representación es única, concluímos:

αi =n

∑

j=1

pijα′j 1 ≤ i ≤ n

matricialmente:α = Pα′.



Matriz de pasaje

Dado x ∈ V .

α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α



Se tiene entonces:

v =

n∑

j=1

α′jv

′j =

n∑

j=1

α′j(

n∑

i=1

pijvi) =

n∑

i=1

(

n∑

j=1

pijα′j)vi

Pero, además, v =n

∑

i=1αivi .


αi =n

∑

j=1





Matriz de pasaje

Dado x ∈ V .

α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α



Se tiene entonces:

v =

n∑

j=1

α′jv

′j =

n∑

j=1

α′j(

n∑

i=1

pijvi) =

n∑

i=1

(

n∑

j=1

pijα′j)vi

Pero, además, v =n

∑

i=1αivi .


αi =n

∑

j=1





Matriz de pasaje

Dado x ∈ V .

α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α



Se tiene entonces:

v =

n∑

j=1

α′jv

′j =

n∑

j=1

α′j(

n∑

i=1

pijvi) =

n∑

i=1

(

n∑

j=1

pijα′j)vi

Pero, además, v =n

∑

i=1αivi .


αi =n

∑

j=1





Matriz de pasaje

Sea T : U → V lineal y consideremos cuatro bases:

β, β̃ bases de U

β′, β̃′ bases de V .

¿Cómo se relacionan Mββ′(T ) y Mβ̃β̃′(T )?

Mβ̃β̃′(T ) = Mβ̃β̃′(idV ◦ T ◦ idU) = Mβ′β̃′(idV )Mββ′(T )Mβ̃β(idU).

TU, β̃ −→ V , β̃′

idU

y Tx

idV

U, β −→ V , β′



Matriz de pasaje


β, β̃ bases de U




TU, β̃ −→ V , β̃′

idU

y Tx

idV

U, β −→ V , β′



Matriz de pasaje


β, β̃ bases de U




TU, β̃ −→ V , β̃′

idU

y Tx

idV

U, β −→ V , β′



Matriz de pasaje


β, β̃ bases de U




TU, β̃ −→ V , β̃′

idU

y Tx

idV

U, β −→ V , β′


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