transformaciones lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

ÁREA DE TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO

UNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 3

Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios

Realizado por:

Prof. Edgar Pérez

Junio, 2012

Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios

Transformaciones Lineales,

Valores y Vectores Propios

Introducción

En esta Unidad abordaremos una clase especial de funciones que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y en otras ramas de las matemáticas denominadas transformaciones lineales, las definiremos y estudiaremos algunas de sus propiedades y ejemplos. También estudiaremos los valores y vectores propios determinados a partir de las transformaciones lineales y su aplicación para diagonalizar matrices.

Objetivos Didácticos

Identificar y aplicar las transformaciones lineales a problemas de

ingeniería.

Aplicar el concepto de valores y vectores propios de una matriz a

situaciones específicas.

2

UNIDAD

3


Transformaciones Lineales

Dados los espacios vectoriales U y V sobre un cuerpo Φ, una aplicación

T : U V es una transformación lineal u homomorfismo de U en V si se

cumplen las siguientes condiciones:

a. T (U 1+U 2 )=T (U 1 )+T (U 2 ) ;U 1 ,U 2∈U

b. T (αU1 )=αT (U 1 ) ;α ,U 1∈U

c. T (α1U 1+α 2U 2 )=α1T (U 1 )+α2T (U 2 ) ;α 1 , α 2 ,U 1 ,U 2∈U

El conjunto de todas las transformaciones lineales de U en V es un espacio

vectorial respecto de las operaciones de adición y del producto por un escalar

definidas por:

a. (T 1+T2 )(X )=T1 (X )+T 2 (X )

b. (αT )( X )=α T (X ) para todo x∈U y α∈Φ

Este espacio se puede designar mediante L (U,V) o bien Hom (U,V)

Clasificación de las Transformaciones Lineales

Las transformaciones lineales inyectivas se llaman transformaciones

regulares

Las biyectivas se llaman isomorfismos. Si existe un isomorfismo de U en

V se dice que dichos espacios son isomorfos

Las transformaciones lineales de un espacio U en si mismos se llaman

endomorfismos, y el espacio vectorial de los endomorfismos de U se

designa por L (U)

Las transformaciones lineales biyectivas sobre U se llaman automorfismos

3


Las transformaciones lineales de U en K se llaman funciones o formas

lineales y el espacio de las funciones lineales definidas en U se designa : L

(U).

Por ejemplo:

Verifica que la transformación T : R2 R3 tal que T(x, y) = (x + y, y, x –y), es una

transformación lineal

Verificamos las condiciones:

Sean U 1= (x , y ) ,U 2=(p ,q )∈R2 , entonces:

T (U 1+U 2 )=T ( x+ p , y+q )

¿ ( ( x+ p )+( y+q ) , y+q , (x+ p )−( y+q ))=( ( x+ y )+( p+q ) , y+q , (x− y )+ (p−q ) )=( x+ y , y , x− y )+( p+q ,q , p−q )=T (x , y )+T ( p ,q )=T (U 1 )+T (U 2 )

Sean U=( x , y ) ,∈ R2 , k∈ R , entonces:

T ( kU )=T (kx , ky )=(kx+ky , ky , kx−ky )=k ( x+ y , y , x− y )=kT (x , y )

¿k (TU )

Asi, T es una transformación lineal

Núcleo de una Transformación Lineal

Se llama núcleo de una transformación lineal T : U V y se designa por K de T

al subespacio de U: K de T ( u⃗ )={u∈U /T ( u⃗ )= 0⃗}

Teorema

4


Una transformación lineal es regular si y sólo si K de T = {0}, es decir, si su

núcleo se reduce al vector nulo.

Teorema

La independencia lineal de un conjunto finito y no vacío de vectores significa que

no puede darse una combinación lineal de dicho conjunto que dé el vector nulo,

con algún escalar distinto de cero.

Imagen de una Transformación Lineal

Se llama imagen de la transformación lineal T : U V y se designa mediante

lm de T al subespacio de V: lm V = T (u )={v∈V /u∈U ,T (u )=v }

Éste constituye un subespacio como puede ser fácilmente comprobado. Cuando

lm T = V entonces es una transformación lineal de U sobre V, o sea, una

sobreyección.

Ejemplos:

1. Sea T : U V una transformación definida por: T⃗ (a )=0 , ∀V , demuestre

que T es una transformación lineal (denominada transformación nula)

Para que T⃗ (a )=0 , ∀V sea transformación lineal debe cumplir con la

propiedad: T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ ), donde

T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ )=0 por definición

Entonces, si:

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T ( a⃗ )=0⃗→αT ( a⃗ )=0⃗T ( b⃗ )= 0⃗→βT ( b⃗ )=0⃗

Se cumple:

αT ( a⃗ )+ βT (b⃗ )=0

2. Sea T : U V una transformación definida por: T ( a⃗ )= a⃗ ,∀V , demuestre

que T es una transformación lineal (denominada transformación identidad)

Para que T⃗ (a )=0 , ∀V sea transformación lineal debe cumplir con la

propiedad: T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ ) y por definición se sabe que:

T ( a⃗ )=a∧T (b⃗ )=b, por lo que se cumple la Transformación.

3. Sea T : R2 R3 una transformación definida por: T ( i⃗ )=i⃗+ j⃗ ;T ( j⃗ )=2 i⃗− j⃗,

calcule T (3 i⃗−4 j⃗)

Aplicando la transformación:

T (3 i⃗−4 j⃗)=3T ( i⃗ )−4T ( j⃗ )

Sustituimos:

3T ( i⃗ )−4T ( j⃗ )=3 ( i⃗+ j⃗ )−4 (2 i⃗− j⃗ )

Resolviendo nos queda:

−5 i⃗+7 j⃗

4. Sea T : R3 R2 una transformación, encuentre el núcleo de T sabiendo

que está definida por: T ( x , y , z )=( x− y ; y−z )

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Por definición de núcleo de una transformación

T ( u⃗ )={u∈U /T ( u⃗ )= 0⃗}

Donde: ( x , y , z )∈N (T )↔ ( x− y ; y−z )=(0 ;0 )

Así que: x = 0, y = 0, z = 0

Por lo tanto el núcleo es: N(T) = (0, 0, 0)

Teorema de la Dimensión

Sea T: V W una transformación lineal tal que dim(V), dim(W) < ∞, entonces:

dim (V )=dim (K (T ) )+dim (ℑ (T ))

Demostración:

Determinamos una base de K(T) y una base de Im(T) y postulamos que el

conjunto formado por los elementos de K(T) junto con pre-imágenes de los

elementos de Im(T) forman una base V.

Sea {v1 , v2 , v3 ,⋯ , vn } base de K(T) y {w1 ,w2 ,w3 ,⋯ ,wn } base de Im(T),

entonces dim (K (T ) )=n y dim (ℑ (T ) )=m, debemos demostrar que dim(V)=n+m

Como {w1 ,w2 ,w3 ,⋯ ,wn }∈ℑ(T ) entonces existen u1 ,u2 , u3 ,⋯um∈V tal que

T (u i )=w i ,∀i=1,2,3 ,⋯ ,m.

Postulamos queB= {v1 , v2 ,⋯ , vn ,u1 , u2 ,⋯ um } es base de V, entonces B es

linealmente independiente (L.I), en efecto,

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a1 v1+a2 v2+⋯+an vn+c1u1+c2u2+⋯ cmum=0

Debemos demostrar que los escalares ai y cj son nulos y únicos.

Aplicando la transformación lineal a la última combinación lineal tenemos:

a1T (v1 )+a2T (v2 )+⋯+anT (vn )+c1T (u1 )+c2T (u2 )+⋯ cmT (um )=0

Pero T (v i )=0 ,∀i=1,2,⋯ , n, de donde la ecuación anterior queda:

c1T (u1 )+c2T (u2 )+⋯ cmT (um )=0, como {T (u j )=w j

j=1,2 ,⋯ ,m} es base de Im(T)

entonces cj = 0, únicos, ∀i=1,2 ,⋯ ,m

Remplazando esto último tenemos: a1 v1+a2 v2+⋯+an vn=0, y como

{v ii =1,2,⋯ , n} es base concluimos que ai = 0, únicos ∀i=1,2 ,⋯ , n

⟨B ⟩=V , en efecto:

Sea v∈V entonces, T ( v )∈ℑ(T ) de donde T ( v )=d1w1+d2w2+⋯+dmwm,

definiendo vr como: vr=v−d1u1−d2u2−⋯−dmum y aplicando la transformación lineal

obtenemos:

T (vr )=T ( v )−d1T (u1 )−d2T (u2 )−⋯−dmT (um )

¿d1w1+d2w2+⋯+dmwm−d1w1+d2w2+⋯+dmwm=0

Asi, vr∈K (T ), luego este vector se escribe como combinación lineal de los

vectores de la base del K(T) obteniendo vr=α 1 v1+α2 v2+⋯+αn vn=0; tenemos

entonces:

vr=v−d1u1−d2u2−⋯−dmum=α 1 v1+α2 v2+⋯+α n vn

De donde, al despejar conseguimos:

v=α 1 v1+α2 v2+⋯+α n vn+d1u1+d2u2+⋯+dmum

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Esto último indica que: ⟨B ⟩=V

Teorema

Sea T : V W una transformación lineal, entonces:

1. dim(Im(T)) ≤ dim (V): como dim(V) = dim(K(T)) + dim(Im(T)) ≥ dim(Im(T)),

entonces: dim(Im(T)) ≤ dim (V)

2. Si dim(W) < dim(V) entonces K(T) > 0, es decir, en esas condiciones la

transformación de T no es un monomorfismo. Como Im(T) < W entonces

dim(Im(T)) ≤ dim(W), como se tiene la hipótesis que dim(W) < dim(V)

entonces dim(Im(T)) ≤ dim(W) < dim(V). Despejando dim(K(T)) tenemos:

Dim(K(T)) = dim(V) – dim(Im(T)) > 0

3. Si dim(V) = dim(W) entonces T inyectiva ↔ T sobreyectiva: como la

dim(Im(T)) + dim(K(T)) = dim(V) = dim(W), entonces:

dim(K(T)) = dim(W) – dim(Im(T))

Si T es inyectiva entonces dim(K(T)) = 0 donde dim(W) = dim(Im(T))

y T es sobreyectiva

Si T es sobreyectiva entonces dim(W) = dim(Im(T)) de donde

dim(K(T)) = 0 y entonces T es inyectiva.

9


Por ejemplo:

Determine una transformación lineal T :R3→R3 tal que K (T )=⟨ {(1,2,0 ) } ⟩ e

ℑ (T )= ⟨ {(0,1,2 ) , (0,0,3 ) }⟩. Determine además T(-1,2,3)

Como ya sabemos una transformación lineal queda completamente

determinada cuando conocemos lo que ella le hace a una base del espacio

dominio

Usando la demostración del Teorema de la Dimensión, debemos agregar

dos vectores a la base de K(T) para transformar una base de RR3; si

escogemos v1=(0,1,0 ) tal que T (0,1,0) = (0,1,2) y v2=(0,0,1 ) tal que T

(0,0,1) = (0,0,3) entonces el conjunto {(1,2,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) } es base de RR3,

observe que el conjunto es linealmente independiente ya que:

(1 2 00 1 00 0 1)

Está escalonada con las tres filas no nulas y es entonces un conjunto

máximo de vectores L.I.

Sea v=( x , y , z )∈RR3 entonces, existe escalares únicos a1 , a2 , a3∈R tal que

( x , y , z )=a1 (1,2,0 )+a2 (0,1,0 )+a3 (0,0,1 ), de donde se deduce el sistema lineal:

x=a1

y=2a1+a2

z=a3

De donde: a1=x ,a2= y−2 x ,a3=z; luego:

( x , y , z )=x (1,2,0 )+ ( y−2 x ) (0,1,0 )+z (0,0,1 )

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Aplicando la transformación lineal T, tenemos:

T ( x , y , z )=xT (1,2,0 )+( y−2 x )T (0,1,0 )+zT (0,0,1 )

¿ x (0,0,0 )+( y−2 x ) (0,1,2 )+z (0,0,3 )=(0 , y−2x ,2 y−4 x+3 z )

Ahora: T(-1,2,3) = (0,4,17)

Transformación Matricial

Una transformación matricial se define de la siguiente manera: Sea T : Rn

Rm una transformación lineal, entonces existe una matriz A ∈M (m, n, R) tal que:

T(U) = A.U, ∀U∈Rn.

Nota: Cuando se trabaja para ambos Espacios Vectoriales con las bases

canónicas (o naturales) a la matriz de la Representación Matricial se la llama

Matriz Estándar, y a la representación "Matricial Canónica".

Sea E={E1 ,E2 ,⋯ , En } la base canónica de Rn y E¿={E¿

1 ,E¿2 ,⋯ , E

¿m }base canónica

de Rm.

Sea U=(x1 , x2 ,⋯ , xn )∈Rn, entonces U se escribe como combinación de los

vectores de E: U=x1 E1+x2E2+⋯+xn En , así aplicando una transformación lineal T

se obtiene:

T (U )=x1T (E1 )+x2T (E2 )+⋯+xnT ( En ) (1)

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Por otro lado, cada vector T (E j )∈Rm se escribe como combinación lineal de la

base canónica E* como: T (E j )=a1 j E1¿+a2 jE2

¿+⋯+amj Em¿

Sustituyendo lo anterior en ecuación (1) obtenemos:

T (U )=x1 (a11E1¿+a21 E2¿+a31E3¿+⋯+am1 Em¿ )+x2 (a12 E1¿+a22E2¿+a32E3¿+⋯+am2 Em

¿ )+⋯+xn (a1n E1¿+a2n E2¿+a3nE3¿+⋯+amnEm¿ )

De donde se deduce que la i-ésima componente de T(U) es

a i1 x1+ai2 x2+ai3 x3+⋯+a¿ xn

Definiendo a la matriz A=(aij )∈M (m,n , R ) entonces, dado que la i-ésima

componente de

A .U=( a11 ⋯ a1n⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn

) .(x1⋮xn)

es: a i1 x1+ai2 x2+ai3 x3+⋯+a¿ xn concluimos que T(U) = A.U

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AUTOEVALUACIÓN

1. En cada uno de los siguientes casos, determine cuáles de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales:

a. T : R3 R2 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1−x2, x1+2x2 , x3−x2 )b. T : R2 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(0 x1−x2 , x1+ x2 )c. T : R2 R3 definida por: T (x1 , x2 )=(3 x1+2 x2 ,−x1−2x2 )d. T : R3 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1 , x1+ x2 , x1+x2+x3 )

2. Encuentre el núcleo de las siguiente transformaciones lineales:a. T : R3 R3 definida por: T ( x , y , z )=( x+2 y , y−z , x+2 z )b. T : R3 R3 definida por: T ( x , y , z )=( x , x− y , z )c. T : R3 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1 , x3 ,+ x1 )

3. Sea T : R2 R2 una transformación lineal tal que T(x,y) = (x+y, 2x-y), determine:

a. K(T)b. dim(K(T))

4. Sea T : R3 R3 una transformación tal que: T(1,-1,1) = (-1,0,3); T(0,2,0)= T(4,2,2); T(1,0,0) = T(1,1,2)

a. Demuestre que A={(1,-1,1),(0,2,0),(1,0,0)} es base de R3R

b. Determine la transformación lineal T(x,y,z)c. Determine dim(K(T))

Valores y Vectores Propios

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Sean V un espacio vectorial sobre un campo K y una transformación lineal

T : V V. En la relación:

T ( v )=λ v ,∀ λ∈K ,∀ v ≠0∈V

a λ se le conoce como valor propio, y a v como vector propio, ambos de la

transformación lineal T

Propiedades de los Valores y Vectores Propios

En la transformación identidad I : V V los vectores propios están

asociados al valor 1

En la transformación nula 0 : V V todos los vectores propios se asocian

al valor cero

Si N(T) ≠ {0} entonces, todos sus elementos son vectores característicos

del valor 0

El valor propio λ = 0 indica que la transformación no tiene inversa

Para vectores propios u , v de T asociados al valor propio λ:

1. El escalar λ es único para esos vectores

2. El vector α v es un vector propio correspondiente a λ

3. El vector u+v también es un vector propio correspondiente a λ

Esta última propiedad establece las características de un subespacio vectorial.

En consecuencia el conjunto de vectores propios asociados a un valor propio

determinado constituye un espacio vectorial llamado espacio característico o

propio. Si T : V V es una transformación lineal y λ es un valor característico de

T, entonces el conjunto

E ( λ )={v∨v∈V ,T ( v )=λ v }

Se llama espacio característico asociado al valor λ.

Por ejemplo:

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Para la transformación lineal H : P1 P1 = H(ax + b) = (4a – 5b) + (2a – 3b) se

tiene que un vector p(x) = x +1 se transforma al multiplicarlo por -1.

H ( x+1 )=(4−5 ) x+(2−3 )=−x−1

En tanto que vectores como q(x) = -5x – 2 se obtienen al multiplicarlos por 2

H (−5 x−2 )=(4 (−5 )−5 (−2 ) )x+(2 (−5 )−3 (−2 ) )=(−20+10 ) x+(−10+6 )

¿−10x−4

En este ejemplo, los valores propios son λ = -1 y λ = 2 que están asociados

a los vectores v1=x+1 y v2=−5x−2, respectivamente.

Polinomio Característico; obtención de Valores y Vectores Propios

Los valores característicos se obtienen del determinante (det|A−λI|=0), el cual se

calcula con base a una matriz cuadrada A (que puede ser la matriz asociada a la

transformación lineal). El resultado será un polinomio conocido como ecuación

característica, cuyas raíces serán los valores propios. El grado del polinomio

característico es igual al orden de la matriz.

|A−λ|=0=an λn+an−1 λn−1+⋯+a2 λ2+a1 λ+a0

Considerando que la matriz asociada se multiplica por un vector de coordenadas,

el producto matricial ( A−λI ) [ v ]T=[T ( v ) ]T permite calcular el vector de coordenadas

del espacio característico asociado a λ .

Por ejemplo:

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Dada la transformación lineal T : C C => T(x+yi) = (-2x + 4y) + (x + y)i se

obtiene la matriz asociada referida a la base B = {1, i}

T (1 )=−2+i→−2 (1 )+1 ( i )

T (i )=4+i→4 (1 )+1 (i )

Construyendo la matriz asociada a la transformación lineal:

A (T )=(−2 41 1)

Calculando la ecuación característica: |A−λI|=0

|(−2 41 1)−(λ 0

0 λ)|=0|(−2− λ) 4

1 (1−λ)|=0

Aplicando el determinante a la matriz anterior:

(−2− λ ) (1−λ )−4=0

Resolviendo, obtenemos la ecuación característica de un polinomio de

grado 2 equivalente al grado de la matriz:

−2+2 λ−λ+λ2−4=0→λ2+ λ−6=0

Factorizando el polinomio, obtenemos los valores propios:

( λ−2 ) ( λ+3 )=0

λ1=2 y λ2=−3

Para determinar los vectores propios que corresponden a los valores

encontrados de λ, aplicamos la siguiente ecuación: ( A−λI ) v=0

o Para λ=2

((−2 41 1)−(2 0

0 2))(x1x2)=(00)

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Resolviendo:

(−4 41 −1)(x1x2)=(00)

Dado que cualquier vector característico correspondiente a λ=2 satisface

las ecuaciones:

−4 x1+4 x2=0

x1−x2=0

De donde se deduce que x1=1 y x2=1→v1=(11)=E1

o Para λ=−3

((−2 41 1)−(−3 0

0 −3))( x1x2)=(00) Resolviendo:

(1 41 4)( x1x2)=(00)

Dado que cualquier vector característico correspondiente a λ=2 satisface

las ecuaciones:

x1+4 x2=0

x1+4 x2=0

De donde se deduce que x1=−4 y x2=1→v2=(−41 )=E2

v1 y v2 son L.I, ya que como se observa uno no es múltiplo del otro

Realizando la combinación lineal con la base propuesta:

E1= (x , x )→x (1 )+x (i )=x+xi∴E1={x+xi ,∨x ϵ R }

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E2= (−4 y , y )→−4 y (1 )+ y (i )=−4 y+ yi∴ E2= {−4 y+ yi ,∨ y ϵ R }

Estos últimos son los espacios característicos de la transformación lineal

Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz es una raíz de su propio polinomio característico; es decir, al evaluar

un polinomio característico con su matriz se obtendrá como resultado una matriz

nula.

Por ejemplo:

Sea la matriz A=(1 −22 3 ), compruebe que A es raíz de su polinomio característico

Calculando la ecuación característica: |A−λI|=0

|(1 −22 3 )−(λ 0

0 λ)|=0|(1−λ ) −22 (3−λ)|=0


(1− λ ) (3−λ )−(−2 )2=0



3−λ−3 λ+λ2+4=0→λ2−4 λ+7=p(λ)

Evaluando el polinomio con la matriz A:

p ( λ )=λ2−4 λ+7

p (A )=(1 −22 3 )

2

−4 (1 −22 3 )+7(1 0

0 1)18


p (A )=(−3 −88 5 )+(−4 8

−8 −12)+(7 00 7)

p (A )=(−7 00 −7)+(7 0

0 7)p (A )=(0 0

0 0)

Queda comprobado que A es raíz de su polinomio característico

Diagonalización de Matrices

Dos matrices A y D son similares si: D = C-1AC. Su principal propiedad es que sus

determinantes son iguales y tienen el mismo polinomio característico. Una

transformación lineal puede tener matrices asociadas similares, donde una de

ellas es diagonal. Localizar dicha matriz diagonal es lo que se conoce como

diagonalización.

La matriz C está formada con una base de vectores propios dispuestos en

columna; la matriz diagonal D contiene a los valores propios de la transformación

lineal. No todas las matrices pueden diagonalizarse.

Las condiciones generales para que una matriz sea diagonalizable son:

A es una matriz simétrica

Los valores propios son diferentes entre si

La suma de las dimensiones de los espacios característicos es igual al

orden de la matriz

Existe una base del espacio vectorial formada por vectores propios

A es un múltiplo de la matriz identidad

Por ejemplo:

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Determine si la matriz A=(1 −1 43 2 −12 1 −1) es diagonalizable

Primero debemos encontrar los valores propios de la matriz a través de la

ecuación característica

|(1 −1 43 2 −12 1 −1)−(

λ 0 00 λ 00 0 λ)|=0

|(1−λ ) −1 43 (2−λ) −12 1 (−1−λ)|=0


((1− λ ) (2−λ ) (−1−λ )+12+2)−¿



−(λ3−2 λ2−5 λ+6 )=0

Factorizando: λ1=1 , λ2=−2 , λ3=3

Para determinar los vectores propios que corresponden a los valores

encontrados de λ, aplicamos la siguiente ecuación: ( A−λI ) v=0

o Para λ1=1 ( A−λI ) v=0

((1 −1 43 2 −12 1 −1)−(

1 0 00 1 00 0 1))(

xyz )=(000)

Resolviendo:

(0 −1 43 1 −12 1 −2)(

xyz )=(

000)

20


Aplicando las operaciones correspondientes a la matriz ampliada, nos

queda:

(0 −1 43 1 −12 1 −2|

000)→(1 0 1

0 1 −40 0 0 |

000)

Dado que la matriz obtenida presenta solución no trivial, el sistema

equivalente genera la siguiente solución: x=−z ; y=4 z

Asignándole z=1, se obtiene el vector característico correspondiente a

λ1=1→v1=(−141 ) El espacio generado para λ1=1 queda definido por: E1={(−141 )}

o Para λ2=−2 ( A+2 I ) v=0

((1 −1 43 2 −12 1 −1)+(

2 0 00 2 00 0 2))(

xyz )=(

000)

Resolviendo:

(3 −1 43 4 −12 1 1 )( xyz )=(000)


queda:

(3 −1 43 4 −12 1 1 |

000)→(1 0 1

0 1 −10 0 0 |

000)

21



equivalente genera la siguiente solución: x=−z ; y=z

Asignándole x=1, se obtiene el vector característico correspondiente a

λ2=−2→v2=( 1−1−1)

El espacio generado para λ2=−2 queda definido por: E2={( 1−1−1)}o Para λ3=3 ( A−3 I ) v=0

((1 −1 43 2 −12 1 −1)−(

3 0 00 3 00 0 3))(

xyz )=(000)

Resolviendo:

(−2 −1 43 −1 −12 1 −4)(

xyz )=(000)


queda:

(−2 −1 43 −1 −12 1 −4|

000)→(1 0 −1

0 1 −20 0 0 |

000)


equivalente genera la siguiente solución: x=z ; y=2 z

22


Asignándole x=1, se obtiene el vector característico correspondiente a

λ3=3→v3=(121)

El espacio generado para λ3=3 queda definido por: E3={(121)} Una vez obtenidos los 3 vectores característicos: v1=(−141 ), v2=( 1−1−1),

v3=(121), se construye la matriz C

C=(−1 1 14 −1 21 −1 1)

Para obtener diagonalizar la matriz A debemos aplicar la ecuación:

D = C-1AC

Aplicando conocimientos anteriores:

C−1=(−16

13

−12

13

13

−1

12

012)

23


D=(−16

13

−12

13

13

−1

12

012)(1 −1 43 2 −12 1 −1)(

−1 1 14 −1 21 −1 1)

D=(−16

13

−12

13

13

−1

12

012)(−1 −2 34 2 61 2 3)

D=(1 0 00 −2 00 0 3)

La matriz dada (A) es diagonalizable (D) y sus valores característicos son:

1, -2 y 3

AUTOEVALUACIÓN

1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:a. Los valores característicos de una matriz triangular son los números

en la diagonal de la matrizb. Si det A = 0, entonces 0 es un valor característico de Ac. Si la matriz real A de 3x3 tiene valores característicos distintos,

entonces los vectores característicos correspondientes a esos valores característicos distintos constituyen una base para R3

d. Si la matriz real A de 3x3 tiene valores característicos distintos, entonces A tiene al menos dos vectores característicos linealmente independientes

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2. Determine los valores propios y los vectores asociados para la función

f ∈ R3 definida por f(x,y,z) = (-x-z, -7x+4y+13z, x-3z).

3. Calcule los valores característicos y los espacios de la matriz dada:

a. [−2 −2−5 1 ] c. [−12 7

−7 2]b. [ 0 −3

−3 0 ] d. [5 4 24 5 22 2 2]

4. Encuentre la matriz similar C que diagonaliza la matriz simétrica dada. Después verifique que D=C-1AC, una matriz diagonal cuyas componentes diagonales son los valores característicos de A

a. [3 44 −3] c. [2 1

1 2]b. [3 2 2

2 2 02 0 4] d. [ 1 −1 0

−1 2 −10 −1 1 ]

Referencias Bibliográficas

Howard Antón (1980), Introducción al Algebra Lineal, Editorial Limusa.

Kenneth Hoffman-Ray Kunze (1981), Algebra Lineal, Editorial Prentice

Hall.

Richard Hill (1996), Algebra Lineal Elemental con Aplicación, Editorial

Prentice Hall.

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