teme algad

  • View
    237

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of teme algad

  • 7/31/2019 teme algad

    1/12

    7Et1E1 c A 5 A I, C IJRS IJL : IfL{]/!J)[)i + /5t,/2 + / Z O f IPHI

    SEMINARUL 3 -APLICATII.

    TEMA: SPATIUL EUCLIDIAN AL VECTORILOR LIBERI

    I. Algebra vectoriala tara reper ortonormat

    1.Se dau vectorii

    a, b ~ie eu Ilall=l, Ilbll=2, Ilell=3, ~(a,b)= ~, ~(a, e)=:,~ (b,e)= ~.

    Caleuleaza norma veetorului a + b - e.2.Caleuleaza unghiul dintre veetorii m ~i n ~tiind ea a . - L b, e . - L d unde:

    a = m + n, b = 2 m - 3n, e = 3 m + n ~i d = -m + 3n .

    3.Determina volumul paralelipipedului eonstruit pe suporturile reprezentantilorveetorilor:

    IIITII=l, IIvll=2, Ilwll=3,~ (IT,v)=:, ~(IT,w)=~,

    4. Calculeaza: (a, a + b, a + b + e).

    . . (a x b) x (b x e) b5.Venfidi egahtatea: --_-_---- =

    (axb, bxe, exa) (a,b, e)

    ~(v,w)= :.

    1. Aratap. ea vectorii:

    a=21+], b=-1+3k, e=-I+]-k,

    pot eonstrui 0baza pentru 1'3' Serieti expresia analitica a vectorului V = 2 I + J + kin aceasta baza.

    - - - - -- - --2. Se dau vectorii OA=-4i+12j+3k, OB=3i+12j-4k, OC=3i+2j-4k. Ariitati cii:

    triunghiu1 OAB este isoscel ~i triunghiul AOC este dreptunghic. Determinati lungirnea iniiltimii

    duse din A pe baza BC a triunghiului ABC.

    3. Punctele A(4, -2, 2), B(3, 1, 1), C(4, 2, 0), D(l,O,O) sunt vfufurile unui tetraedru. Determinati

    lungimea iniiltirnii tetraedrului DABC, duse din D pe baza ABC.

    4. Se dau veetorii: a = AI + 4] + 6 k, b = 1+ A]+ 3k, e = AI+ 4 ].Determina A astfelindh cei trei vectori sa f ie coplanari.

  • 7/31/2019 teme algad

    2/12

  • 7/31/2019 teme algad

    3/12

    Seminarul5. Aplicafii .

    Tema: PLANUL ~I DREAPTA IN SPATIU:unghiuri ~i distante.SCHIMBARI DE REPERE IN PLAN ~I IN SPATIU

    1.Sedau dreptele:

    {

    X-Y+Z-3=0 x-I y+l z+1

    (d1): 2 2 5 0' (d2):-5 =-2-=-3- ~ipunctuIMo(-3,4,0).Secer:x+y- z+ = -

    i) Ecuatia planului (n) determinat de Mo ~i(d2).

    ii)Distanta de la Mo la (d2).

    iii)Unghiul dintre (d1) ~i(d2).

    iv)Ecuapile dreptei (d) care trece prin Mo ~i se sprijina pe (d1) ~i (d2).

    2. Sa se afle simetricul punctului M(-I, 1,0) fata de planul (n) :x + y -3 z +5 = o .3. Se dau planele (nl): x+2y+4z-1=O,(1 t2 ): 2x+4y+8z-9=O,(1t3): 2x+y-z+l0=0~i (1 t4): x+y+z-2=O.Sa

    se demonstrezedi:

    i) (1tl)1I (1t2).ii) (1tl) ~i (1t3) sunt perpendiculare~i sa se determine ecuapile dreptei (d) de intersecfiea lor, precum ~i

    masura e x a unghiului formatde planele (1tl) ~i(1 t4).

    4.Fata de un reper cartezian din & 3 se dau punctele in coordonate cilindrice:

    A ( 4 , : ' - 2 ) ' B ( 1 0 , 23n , 4 ) ' c ( 8 , : n , 6 ) ' D ( 6 , 2 ; , 3 ) -

    Sa se calculeze coordonatele carteziene ale punctelor date, precum lungimea segmentului

    [Be].

    5.Fiind date in coordonate carteziene punctele:

    A(2.J3, 6,4), B(-J2, -J2, 2.J3), C(0,-6.J3, -6), D(-16, 0, 0),

  • 7/31/2019 teme algad

    4/12

    Seminarul 6. Aplicatii .

    Terna: TRANSFORMARI LINIARE .VALORI PROPRII.

    VECTORI PROPRII

    1. Sa se verifice care din urmatoarele aplicatii sunt transformari liniare:

    )T: m .3 -7 m .3, T(x) =(Xl + X2, X2 + X3, X3 + Xl), unde X =(Xl, X2, X3).E IR 3.

    i)T: IR 3 -7 IR 4, T(x) =(Xl + X2, 0, Xl + X2 + X3, )4).ii)T: IR 3 -7 m .3, T(x) =(Xl, XI + X2, X2 . X3).

    2. Fie T E . J 1m

    (lR4) 0transformare liniara definita astfel:

    T(x) = (X2 + X3, -Xl - X2 + X4, Xl + X2 - )4, -Xl + X3 + X4).Sa se arate ca Ker T = 1mT.

    3. Sa se determine transformarea liniara T : IR 3 -7 IR 3 astfel indit T(vD = Ui,i = 1,3,unde VI = (2, 4, 6), V2 = (0,0, 1), V3 = (1,0, 1) ~irespectiv UI = (1, 0, 0), U2 = (2, 0, 1),U3 =(0, 0, 6).

    4.5A se cerceteze

  • 7/31/2019 teme algad

    5/12

    eminarul 7 ..Aplicapi ..

    ema: FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

    In spatiul vectorial I R 4 se considera urmatoarea forma biliniara:

    g: IR4

    x IR4

    -7 IR , g(x, y) = 2XIYI+ XZYI+ xz Y z + 3X3Y3+ X4YI+ X4Y4,

    oricare ar fi x = (xj, X z, X3,X4),Y= (Yj, Y z , Y3,Y4)E IR 4.i) Sa se scrie matricea lui g in baza canonica din IR 4.

    ii) Sa se gaseasca matricea lui g in baza:

    g' , = {e'l = (1,1,1,1), e'z = (0,1,2,1), e'3 = (0,1,1,0), e'4 = (1, 0, 0, 2)}.Sa se scrie forma patratica definiili de urmatoarea forma biliniara simetrica. Sa se

    determine rangul ei.

    g: ]R3 X ]R3 -7 IR , g(x, y) = XIY2+ XZYI+ XIY3+ X3Yl+ X2Y3+ X3YZ,

    oricare ar fi x = (xj, X z , X3),Y= (Yj, Y z , Y3)E ]R3.In spatiul euc1idian (IR 3,

  • 7/31/2019 teme algad

    6/12

  • 7/31/2019 teme algad

    7/12

  • 7/31/2019 teme algad

    8/12

    SEMINARUL 10"APLICATII "Tema: Cuadrice. Sfera.

    Se dau sfera: (S) : x2 + '1 + Z2 - 6x + 2y - 2z - 5 ;:::0 ~i planul: (1t) : 2x + y - 2z - 2 ;:::O.Sa se arate ea intersectia planului eu sfera este un cere real.

    Sa se serle eeuatiile aeestui cere.)Sa se afle eoordonatele eentrului ~i raza eereului.

    Sa se serle eeuatia sferei eu eentrul in C(-2, 1, -3) tangenta la planul:

    t) : x - 2y + 2z - 3 ;:::O.

    Se da sfera: (S) : 4x2 + 4'1 + 4z2 - 8x + 16y - 12z + 13 = o .

    Sa se afle coordonatele eentrului ~i raza sferei.

    Sa se gaseasea punetele de interseetie ale sferei date eu un diametru paralel eu dreapta de

    arametri direetorl 3, 4, 12.2 2

    Sa se determine generatoarele reetilinii ale euadrieei: (Hj) : x2

    - ~ + Zg - 1 ;:::0

    ontinute in planul: (1 t ) : 6x + 3y - 2z + 6 ;:::O.

  • 7/31/2019 teme algad

    9/12

  • 7/31/2019 teme algad

    10/12

  • 7/31/2019 teme algad

    11/12

  • 7/31/2019 teme algad

    12/12

    SEMINARUL 14. APLICATll.

    Tema: Elemente de geometrle diferenpaJi a suprafetelor ..

    . Sa se determine ecuatia carteziana a suprafetei a carei ecuatie vectoriala este:

    (r.): =u

    2

    .I+uv]+(au+v

    2

    ).k.

    {

    X =U2 +v+l,

    2. Se da suprafata de reprezentare parametrica: (r.): y = u2

    - V+ 1,

    z=uv+2

    ~i fie punctul M(u = 1,v = -1) pe suprafata. Sa se scrie ecuatiile carteziene ale curbelor u =onstant ~i v = constant care tree prin punctul M.

    {

    X =U2 +v2

    (r.): y= u 2 - v