Slobodne teme

Sveu£ili²te u Zagrebu

Prirodoslovno-matemati£ki fakultet

Matemati£ki odsjek

Teme diplomskih radova u 2016. godini

- Slobodne teme -

Mentor: Draºen Adamovi¢

Kona£ne grupe

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu prou£avali bi se osnovni koncepti iz teorije kona£nih grupa, testrukture vezane za njih. Ovisno o a�nitetu studenta, prou£avala bi se strukturna teorijakona£nih grupa ili teorija reprezentacija ovih grupa.

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W.A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

1


Poluprosti prstenovi

Podru£je: algebra



Opis: U dilplomskom radu bit ¢e prou¢avani poluprosti prstenovi, poluproste algebre injihovi primjeri. Oviano o a�nitetu studenta, naglasak ¢e biti dan na strukturnu teoriju,konstrukciju ili klasi�kaciju tih prstenova

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W.A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

2


Weylove algebre

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu ¢e se prou£avati osnovne konstrukcije povazane s Weylovomalgebrom. Weylova algebra bit ¢e de�nirana kao kvocijent tenzorske algebre. Ovisnoo a�nitetu studenta, bit ¢e prou£avane kvantne Weylove algebre, teorija reprezentacijaWeylovih algebri i veza s teorijom Liejevih algebri.

Literatura:

T.Y. Lam, A �rst course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts inmathematics. 2ed. Springer, 2001. p. 6J.C. McConnell, J.C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Graduate Studies inMathematics, Vol 30, AMS, 1997N. Jing, J. Zhang, Quantum Weyl algebras and deformations of U(G)), Paci�c Journalof Mathematics Vol. 171., No.2, 1995

3


Tenzorske algebre i primjene

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu prou£avale bi se algebarske strukture usko vezane s tenzor-skim produktom vektorskih prostora i modula. Naglasak ¢e biti dan na strukturnu teorijutenzorske algebre, te na vanjsku i simetri£nu algebru. Ovisno o a�nitetu studenata, pro-u£avale bi se i primjene ovih algebri u teoriji reprezentacija.

Literatura:

W. H. Greub. Multilinear algebra. Springer, 1967.S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

4

Mentor: Nenad Antoni¢

Razlomljene derivacije i primjene

Podru£je: matemati£ka analiza, matemati£ko modeliranje u �zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou£avaju od devetnaestog stolje¢a, da bitek nedavno postale izvor novih modela u �zici i inºenjerskim strukama.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scienti�c, 2000.S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of di�eren-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

5


Degenerirana difuzija

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Jednadºba provo�enja topline prototip je za paraboli£ke parcijalne diferencijalnejednadºbe. Me�utim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva,koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika ut = divgrad(um). Za m > 1 imamosporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za mc < m < 1 nadkriti£nu brzu difuziju, aza m ≤ mc podkriti£nu brzu difuziju (mc = (d− 2)+/d).Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate di�usion, EMS, 2007.

6


Tricomijeva jednadºba




Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz pod-zvu£nog toka u nadzvu£ni tok �uida.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic �ow, Wiley, 2002.J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial di�erential equations, World Scienti�c,1990.

7


Matemati£ki modeli u klimatologiji

Podru£je: matemati£ko modeliranje u geo�zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: Klimatologija prou£ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Raz-li£iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli£itim matemati£kim tehnikama, se koriste zaprou£avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu¢e vre-menske uvjete.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, 2013.A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press, 1982.

8


Matemati£ki pristup relativisti£koj elektrodinamici

Podru£je: matemati£ko modeliranje u �zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija

Opis: Neki �zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lo-rentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno seelegantno mogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

S. Parrott: Relativistic electrodynamics and di�erential geometry, Springer, 1987.P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1,2; Cam-bridge, 1988.C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman, 1973.

9

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Kona£ni bazni okviri i njihovi duali

Podru£je: linearna algebra


Preduvjeti: poloºen kolegij Vektorski prostori

Opis: Bazni okvir za Hilbertov prostor H je kona£an ili beskona£an niz (xn)n∈I u H takavda postoje konstante A,B > 0 tako da za sve x ∈ H vrijedi A‖x‖2 ≤

∑n∈I |(x|xn)|2 ≤

B‖x‖2. O£ito, svaka ortonormirana baza za H je bazni okvir za H. Obrat ne vrijedi, ato se moºe zaklju£iti ve¢ iz £injenice da nulvektor moºe biti £lan baznog okvira. Svakivektor iz H se moºe rekonstruirati pomo¢u vektora baznog okvira (xn)n∈I , to jest, postojibazni okvir (yn)n∈I tako da je x =

∑n∈I(x|yn)xn za sve x ∈ H; svaki takav bazni okvir

(yn) nazivamo dualom od (xn). U ovom radu ograni£it ¢emo se na prou£avanje kona£nihbaznih okvira, ²to implicira kona£nu dimenziju promatranog Hilbertovog prostora H.

Literatura:

O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser Boston, Inc., Bos-ton, MA, 2003.O. Christensen, Frames and bases: An introductory course, Birkhauser Boston, Inc., Bos-ton, MA, 2008.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence,AMS, 2007.

10


Fuzijski bazni okviri

Podru£je: funkcionalna analiza


Preduvjeti: poloºeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima.

Opis: Neka je I kona£an ili prebrojiv skup i vi > 0, i ∈ I. Familija zatvorenih pot-prostora (Wi)i∈I separabilnog Hilbertovog prostora H je fuzijski bazni okvir za H sobzirom na teºine (vi) ako postoje konstante A,B > 0 tako da za sve x ∈ H vrijediA‖x‖2 ≤

∑i v

2i ‖Pi(x)‖2 ≤ B‖x‖2, pri £emu je Pi ortogonalni projektor na Wi. O£ito su

fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih prostora, a pokazuje se i damnoga svojstva baznih okvira imaju svoje analogone u ovoj op¢enitijoj formulaciji. Ciljdiplomskog rada je prou£iti neka od tih svojstava.

Literatura:

P. G. Casazza, The art of frame Theory, Taiwanese Journal of Math., Vol 4 (2) (2000)129-202.P. G. Casazza, G. Kutyniok, Frames of subspaces, Wavelets, frames and operator theory,Con-temp. Math., 345, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 87�113.P. G. Casazza, J. C. Tremain, A brief introduction to Hilbert space frame theory and itsapplications.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence,AMS, 2007.

11


Uvod u C∗-algebre



Preduvjeti: poloºeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima.

Opis: C∗-algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanje involucija∗ : A → A tako da za sve a ∈ A vrijedi ‖a∗a‖ = ‖a‖2. Najjednostavniji, ali i najvaº-niji, primjeri C∗-algebri vezani su za B(H), C∗-algebru ograni£enih linearnih operatorana nekom Hilbertovom prostoru. Naglasak diplomskog rada moºe biti na upoznavanjustrukture C∗-algebri, konstrukciji reprezentacija, ili na prou£avanju posebnih klasa presli-kavanja me�u C∗-algebrama kao ²to su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ograni£enapreslikavanjima.

Literatura:

W. Arveson, An invitation to C∗-algebras, Springer, 1998.,K. R. Davidson, C∗-algebras by example, AMS, 1996.J. Dixmier, C∗-algebras, North-Holland, Amsterdam, 1982.G. J. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic Press, London, 1990.V. I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notes in mathe-matics, 146, Longman, 1986.

12

Mentor: Damir Baki¢

Bazni okviri i Rieszove baze Hilbertovih prostora


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Opis: Niz vektora (fn)n u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H akopostoje konstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈

H. Ako vrijedi samo druga od navedenih dviju nejednakosti kaºemo da je niz (fn)nBesselov. Kaºe se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1, tj. ako vrijedi ‖x‖2 =∑∞

n=1 |〈x, fn〉|2, ∀x ∈ H. Uz svaki bazni okvir prirodno se veºe tzv. operator analizeU : H → `2, Ux = (〈x, fn〉)n. Bazni okvir (fn)n je Rieszova baza prostora H ako jepripadaju¢i operator analize surjektivan.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira i Rieszovih baza. U drugomdijelu prikazat ¢e se neki napredniji rezultati poput opisa svih baznih okvira dualnihzadanome, perturbacijskih teorema, svojstava vi²ka i de�cita i drugih.

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju).

13

Mentor: Damir Baki¢

Kona£ni bazni okviri



Opis: Kona£an niz vektora (xn)Mn=1 u N -dimenzionalnom unitarnom prostoru H senaziva bazni okvir za H ako postoje konstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤∑M

n=1 |〈x, xn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H. Kaºe se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1,tj. ako vrijedi ‖x‖2 =

∑Mn=1 |〈x, fn〉|2, ∀x ∈ H. Bazni okvir (xn)Mn=1 je uniforman ako svi

xn imaju jednake norme.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna i konstrukcije kona£nih baznih okvira. U drugomdijelu prikazat ¢e se svojstva uniformnih baznih okvira, posebno uniformnih Parsevalovih,te metode njihove konstrukcije.

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju).P.G. Casazza, J. Kova£evi¢, Uniform tight frames with erasures, Advances in Computati-onal Mathematics 18, 2-4(2003), 387-430.P.G. Casazza, R.G. Lynch, A brief introduction to Hilbert space theory and its applica-tions, http://arxiv.org/pdf/1509.07347.pdf

14

Mentor: Bojan Basrak

Max�stabilni procesi

Podru£je: vjerojatnost, slu£ajni procesi


Opis: Max�stabilni procesi su se pokazali vrlo korisnim u modeliranju vremenskih iposebice prostornih ekstrema. U literaturi su se pojavile razne reprezentacije i familijeovakvih procesa. Cilj diplomskog rada je prikazati njihova osnovna teorijska svojstva ineke od ovih reprezentacija. Vaºan problem za primjenu ove teorije je simulacija ovakvihprocesa. Unatrag nekoliko godina pojavili su se algoritmi koji omogu¢uju i egzaktnusimulaciju max�stabilnih procesa. Diplomski rad bi trebao prikazati barem jedan od njihi objasniti njegovu teorijsku pozadinu.

Literatura:

Dieker, A.B. i Mikosch T. (2015) Exact simulation of Brown�Resnick random �elds at a�nite number of locations. Extremes, 1-�14.Kabluchko, Z. (2009) Spectral representations of sum- and max-stable processes. Extremes12, 401�424.Kabluchko, Z., Schlather, M. i Haan, L. de (2009) Stationary max-stable �elds associatedto negative de�nite functions. Ann. Probab. 37, 2042�2065.

15

Mentor: Mea Bombardelli

Matematika igre SET

Podru£je: matematika

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Opis: Set je igra s 81 karticom na kojima su simboli odre�eni s £etiri svojstva - bojom,brojem, oblikom i ispunom. Student ¢e u ovom radu postaviti i rije²iti mnoge kombi-natorne probleme vezane uz igru Set, ali i prepoznati apstraktne algebarske strukture upozadini.

Literatura:

https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(game)

16

Mentor: Mea Bombardelli

Aksiomi geometrije ravnine

Podru£je: geometrija


Opis: Cilj je rada izloºiti Hilbertove aksiome euklidske geometrije.

Literatura:

Prvanovi¢, Mileva: Osnovi geometrije. Gra�evinska knjiga, Beograd, 1987.

17

Mentor: Mea Bombardelli Neposredni voditelj: Stipe Vidak

Primjene Cevinog i Menelajevog teorema

Podru£je: geometrija


Opis: Tema ovog diplomskog rada su dva poznata teorema elementarne geometrije: Ce-vin i Menelajev teorem. U prvom dijelu rada prikazat ¢e se nekoliko dokaza tih teorema injihovih obrata, a u drugom dijelu neke njihove primjene. Prva primjena bit ¢e u dokazi-vanju nekih vi²e i manje poznatih teorema elementarne geometrije, a druga u rje²avanjunekih zadataka s raznih matemati£kih natjecanja.

Literatura:

Mathematical database, notes on olympiad mathematics: Ceva's Theorem and Mene-laus's Theorem, 2004.(http://mathdb.org/notes_download/elementary/geometry/ge_G1.pdf)Zadaci s natjecanja

18

Mentor: Tina Bosner

Odre�ivanje vidljivih ploha

Podru£je: ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna gra�ka

Opis: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, ºelimo odrediti koje linije ili plohe suvidljive iz sredi²ta projekcije ili duº pravaca projekcije, tako da se mogu prikazati samoone koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko razli£itih algoritamakoji se bave tim problemom.

Literatura:

J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles andPractice, Addison�Wesley (2005)

19

Mentor: Tina Bosner

Sjen£atelji u ra£unalnoj gra�ci

Podru£je: ra£unarstvo i numeri£ka matematika


Preduvjeti: Ra£unalna gra�ka

Opis: Sjen£atelji u ra£unalnoj gra�ci (graphics shaders) su prograbilni moduli koji semogu dinami£ki instalirati u 3D tok prikazivanja. Za razliku od toka prikazivanja �ksnimfunkcijama, sjen£atelji daju ve¢u �eksibilnost, a osim toga reduciraju potrebu za komu-nikaciju izme�u CPU-a i gra�£ke kartice, pove£avaju¢i brzinu gra�£kih programa. Ciljovog diplomskog rada je prikazati upotrebu sjen£atelja uz pomo¢ OpenGL sjen£ateljskogjezika GLSL.

Literatura:

M. Bailey, S. Cunningham: Graphics Shaders: Theory and Practice, Second Edition, CRCPress, Taylor & Francis Group (2012)J. F. Hughes, A. van Dam, M. McGuire, D. F. Sklar, J. D. Foley, S. K. Feiner, K. Akeley: Computer Graphics: Principles and Practice, Third Edition, Addison�Wesley (2014)D. Shreiner, G. Sellers, J. Kessenich, B. Licea�Kane: OpenGL Programing Guide, EightEdition, Addison�Wesley (2013)

20

Mentor: Tina Bosner

Algoritmi ubacivanja £vorova splajnova

Podru£je: numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Ra£unarstvo imatematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Ra£unalnagra�ka

Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajvi²e u kompjuterskoj gra�ci ipri numeri£kom rje²avanju diferencijalnih jednadºbi s rubnim uvjetima. Zato je i bitnoimati stabilne algoritme za ra£unanje njihovih vrijednosti. Ideja ovog diplomskog radaje da se de�niraju B-splajnovi, daju neka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritamabaziranih na ubacivanju £vorova i to koriste¢i polarne forme.

Literatura:

C. deBoor: B(asic)-Spline Basics, ftp://ftp.cs.wisc.edu/Approx/bsplbasic.psL. Ramshaw: Blossoms are polar forms, CAGD 6, 323�358 (1989)H. P. Seidel: A new multia�ne approach to B-splines, CAGD 6, 23�32 (1989)Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces, R. N. Gold-man, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993)

21

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modi�kacije Newtonove metode


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta £esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimiza-cijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadºbi. Za oba problema koristese skoro iste numeri£ke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda.Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalnekonvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu¢ih modi�kacijaNewtonove metode kojima se taj problem rje²ava.

Literatura:

J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimizationand Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall, Inc., En-glewood Cli�s, N.J., 1983.)

22

Mentor: Tomislav Do²li¢

Kromatski polinomi i njihovi korijeni

Podru£je: kombinatorika


Opis: Neka je zadan graf G i prirodni broj k. Ako je mogu¢e obojiti vrhove grafa Gkoriste¢i k boja tako da susjedni vrhovi budu obojani razli£itim bojama kaºemo da je tobojanje pravilno. Ozna£imo s P (G, t) funkciju koja prirodnom broju t pridruºuje brojpravilnih bojanja grafa G s t boja. Pokazuje se da je ta funkcija polinom u varijabli t £ijisu koe�cijenti cijeli brojevi koji alterniraju po predznaku. To je kromatski polinom

grafa G. Cilj rada bio bi pokazati da pojedine klase realnih brojeva ne mogu biti korijenikromatskog polinoma ni za koji graf G.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

23


Nizovi i kruºnice

Podru£je: kombinatorika, geometrija


Opis: Neka je dan kombinatorni niz (an)n≥0. Uzmimo kruºnicu K0 polumjera 1/a0 ikruºnicu K1 polumjera 1/a1 sa sredi²tima na y-osi koje se diraju u ishodi²tu. Za n ≥2 odredimo sredi²ta svih kruºnica polumjera 1/an (dakle zakrivljenosti an) koje dirajukruºnice Kn−1 i Kn−2. Cilj rada bi bio ispitati pona²anje koordinata sredi²ta za raznenizove (an)n≥0.

Literatura:


24


Vaºnost i zalihost bridova u grafovima

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Opis: Sparivanje u grafu G je skupM bridova od G takav da je svaki vrh iz G incidentans najvi²e jednim bridom izM . SparivanjeM je savr²eno ako je svaki vrh iz G incidentan sto£no jednim bridom iz M . Vaºnost brida e je broj savr²enih sparivanja od G koja sadrºee; zalihost od e je broj savr²enih sparivanja koja ne sadrºe e. U radu bi trebalo odreditivaºnost i zalihost bridova u nekim klasama grafova.

Literatura:


25


Tutteov polinom

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Opis: Tutteov polinom je jedna od najvaºnijih graf-teoreti£kih invarijanata koja kodiramno²tvo informacija o grafu. Cilj rada bi bio eksplicitno izra£unati Tutteove polinome zaklase grafova koje opisuju linearne polimere male povezanosti.

Literatura:


26

Mentor: Mihael S. Grbi¢

Utjecaj geometrije uzorka na raspodjelu izmjeni£nog magnetskogpolja

Podru£je: klasi£na elektrodinamika, �zika £vrstog stanja

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: Klasi£na elektrodinamika, Diferencijalni i integralni ra£un 1 i 2

Opis: Mikrovalna apsorpcija je jedna od uobi£ajenih tehnika kori²tenih za prou£avanjevisokotemperaturnih supravodi£a. Pomo¢u elektromagnetskih rezonantnih modova mi-krovalne ²upljine se mogu istovremeno odrediti komponente anizotropne vodljivosti ovihspojeva. Stavljanjem uzorka u osciliraju¢e magnetsko polje razli£ite polarizacije se puteminduciranih struja odredi odziv uzorka, a iz toga karakteristike ac vodljivosti. Dosad seu analizi izmjerenih podataka koristilo analiti£ko rje²enje za osciliraju¢e homogeno mag-netsko polje paralelno s povr²inom uzorka (RPU). Budu¢i je u par navrata uo£eno kakogeometrija uzorka moºe imati zna£ajan utjecaj na pona²anje izmjerenih podataka, ciljdiplomskog rada je prona¢i analiti£ko rje²enje za osciliraju¢e homogeno magnetsko poljeokomito na povr²inu uzorka (ROU) i promotriti utjecaj geometrije na mikrovalnu apsorp-ciju. Spajanjem ROU i RPU dobit ¢e se kompletno rje²enje za realnu geometriju uzoraka£ime ¢e napokon biti mogu¢e ukloniti geometrijske artefakte u analizi mjerenja.

Literatura:

Mihael S. Grbi¢. Metoda perturbacije mikrovalne ²upljinehttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~mgrbic/glavna_strana/mikroMF.php

27

Mentor: Boris Gulja²

Kompaktni operatori u Banachovim prostorima

Podru£je: funkcionalna analiza, teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranimprostorima,Metri£ki prostori

Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavajuograni£ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove £iji zatvara£ je kompaktanskup. Oni su uniformni limesi operatora kona£nog ranga i po svojstvima su najsli£nijioperatorima na vektorskim prostorima kona£ne dimenzije.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Tako�er seplanira obraditi neke njihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York,1980.Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

28


Nuklearni operatori



Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranimprostorima, Metri£ki prostori

Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatorana Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0. Operator jenuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn <∞

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu¢e je de�nirati (kona£an) trag operatora kao tragpripadne (beskona£ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnihoperatora de�nira se norma tako da je on zatvara£ u toj normi skupa svih operatorakona£nog ranga.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi nekenjihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

29


Zatvoreni operatori



Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operator ako je njegovgraf Γ(A) = {(x,Ax)|x ∈ X} ⊆ X × Y zatvoren potprostor u X × Y , gdje su X, YBanachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni£e-nih linearnih operatora na beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbogteorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni£en onda je nuºno D(A) 6= X.

Cilj rada je prou£iti koje teoreme iz teorije ograni£enih linearnih operatora je mogu¢epro²iriti na zatvorene operatore.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

30


Spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore

Podru£je: funkcionalna analiza, zeorija operatora


Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop¢enja rezultata iz kona£no dimenzionalnihvektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju¢ih klasa operatora uortonormiranim bazama. U su£aju beskona£no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radise o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. fami-lije ortogonalnig projektora {Eλ;λ ∈ K}, gdje je K = R u slu£aju hermitskih operatora iK = C u slu£aju normalnih operatora. Tada je mogu¢ prikaz operatora u obliku

A =

∫KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore i opisati nekenjegove primjene. Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

31

Mentor: Marcela Hanzer

Lokalna polja i prsten adela

Podru£je: algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: poloºeni kolegij Algebarske strukture; poºeljno je da je poloºen i kolegijAlgebra

Opis: Upotpunjenja polja Q, i op¢enitije, upotpunjenja kona£nih pro²irenja polja Qobzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od velikog interesa ne samoza algebarsku teoriju brojeva, ve¢ i za teoriju reprezentacija, automorfnih formi i mnogadruga podru£ja suvremene matematike. U klasi£noj teoriji brojeva, polje algebarskihbrojeva (kona£no algebarsko pro²irenje polja Q) se ulaºe u produkt svojih arhimedskihupotpunjenja, tj. u Euklidov prostor. Me�utim, jo² od radova Chevalleya i Weila, postaloje jasno da je za mno²tvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenja odjednom, ina takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Tako su formirani prsten adelai ideli. �esto se informacije o Q (odnosno njegovim kona£nim pro²irenjima) i²£itavajuiz informacija dobijenih iz adeli£ke slike. Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnihstrukturnih £injenica i teorema o p�adskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom,Dedekindove domene), a s druge strane uo£avanje da su takva p�adska polja, zajednos R iC jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, ²to omogu¢ava primjenu klasi£neharmonijske analize. Tako�er, trebala bi se dati de�nicija adela i idela i prou£iti njihovaosnovna svojstva.

Literatura:

Lang, Algebraic number theory, Springer 1994.Weil, Basic number theory, Springer 1995.Cassels, Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, 1986.Serre, A course in Arithmetic, Springer 1973.

32

Mentor: Marcela Hanzer

Teorija reprezentacija kona£nih grupa; Artinov teorem

Podru£je: teorija reprezentacija


Preduvjeti: poloºen kolegij Algebarske strukture,poºeljno je da je poloºen i kolegij Al-gebra

Opis: Reprezentacije kona£nih grupa su vrlo zna£ajne za primjene u �zici ili kvantnojkemiji, a u matematici su, zajedno s klasi£nom harmonijskom analizom, ishodi²na to£ka urazvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebaodati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, teoriju karaktera i osnovnekoncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnihgrupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna£ajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou£avanju L-funkcija.

Literatura:

Serre, Linear representations of �nite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of �nite groups and associative algebras, Wiley,1962.

33

Mentor: Vjeran Hari

Paralelne Jacobijeve metode na simetri£nim matricama reda 4

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica



Opis: Rad bi bio baziran na novim istraºivanjima. Postoji ukupno 6 cikli£kih Jacobijevihmetoda za simetri£ne matrice reda 4, koje su de�nirane posebnim tzv. paralelnim strate-gijama. Te metode su vrlo zanimljive jer pokazuju da konvergencija cikli£ke Jacobijevemetode za simetri£ne matrice moºe biti patolo²ki spora u nekim ciklusima. Dokazala bi seglobalna konvergencija za svih 6 paralelnih strategija, jer je u £lancima detaljno prou£enametoda pod samo jednom strategijom. Primjeri patolo²ki spore konvergencije pokazalibili bi ilustrirani i koriste¢i Symbolic toolbox u sklopu programa MATLAB.

Literatura:

E. Begovi¢, Convergence of Block Jacobi Methods. Ph.D. thesis, University of Zagreb,2014

E. Begovi¢, V. Hari, On the Global Convergence of the Jacobi Method for Symmetric Ma-trices of order 4 under Parallel Strategies, u pripremi

V. Hari, E. Begovi¢, All Cyclic Jacobi methods for Symmetric Matrix of order four areglobally convergent. U pripremi.

34

Mentor: Vjeran Hari

Konvergencija blok Jacobijeve metode za simetri£ne matrice




Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim £lancima i nekim novim istraºivanjima.Blok Jacobijeve metode su danas u centru istraºivanja dijagonalizacijskih algoritama zbogsvoje e�kasnosti i to£nosti. Rad bi vrlo detaljno elaborirao sve aspekte dokaza i koristiomogu¢nosti MATLABa za prikaz pomo¢nih matrica u dokazima.

Literatura:

Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods. Numer. Math.129 (3) (2015) 449�481.

Drma£ Zlatko, A global convergence proof of cyclic Jacobi methods with block rotations..SIAM J. Mat. Anal. Appl. 31 (3), 1329�1350 (2009)

35

Mentor: Vjeran Hari

Ispitivanje to£nosti novih algoritama za GEP




Opis: Rad bi sadrºavao teorijski i eksperimentalni dio. U teorijskom dijelu izvela bise jedna novija dvostrana dijagonalizacijska metoda za pozitivno de�nitni generaliziraniproblem vlastitih vrijednosti Ax = λBx (B pozitivno de�nitna). Zatim bi se izvela od-govaraju¢a jednostrana matoda. Napisali bi se odgovaraju¢i algoritmi i dokazali teorijskirezultati vezani uz to£nost tih metoda. U eksperimentalnom dijelu bi se napisali odgo-varaju¢i algoritmi u MATLABu i testirala to£nost metoda u usporedbi sa standardnimalgoritmima. Pritom bi se koristila aritmetika varijabi£ne preciznoti VPA u okviru Sym-bolic toolbox u MATLABu.

Literatura:

V. Hari, J. Mateja²., Accuracy of the Hari-Zimmermann variant of the Falk-Langemeyermethod. U pripremi.

V. Novakovi¢, S. Singer, S. Singer, Blocking and parallelization of the Hari-Zimmermannvariant of the Falk-Langemeyer algorithm for the generalized SVD. Objavit ¢e se u Paral-lel Computing.

V. Hari On Cyclic Jacobi Methods for the Positive De�nite Generalized Eigenvalue Pro-blem. Ph. D. Thesis, University of Hagen 1984.

36

Mentor: Vjeran Hari

Konvegrencija cikli£kih Jacobijevih metode za simetri£nu matricureda 4




Opis: Rad bi dokazao da su sve cikli£ke Jacobijeve metode za simetri£nu matricu reda4 globalno konvergentne. Dokaz bi se bazirao na nedavnim istraºivanjima opisanim uradovima u popisu literature. Kako simetri£na matrica reda 4 ima 6 elemenata iznadglavne dijagonale, postoji ukupno 6! = 720 cikli£kih pivotnih strategija koje mogu de�ni-rati cikli£ku Jacobijevu metodu. Kori²tenjem pojmova ekvivalencije, shift-ekvivalencije islabe ekvivalencije, kao i alata poput Jacobijevih anihilatora, moºe se pokazati da su sveJacobijeve metode za simetri£ne matrice reda 4 globalno konvergentne.

Literatura:

E. Begovi¢, Convergence of Block Jacobi Methods. Ph.D. thesis, University of Zagreb,2014

V. Hari, E. Begovi¢, All Cyclic Jacobi methods for Symmetric Matrix of order four areglobally convergent. U pripremi.

E. Begovi¢, V. Hari, On the Global Convergence of the Jacobi Method for SymmetricMatrices of order 4 under Parallel Strategies, u pripremi.

37

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Hahn-Banachov teorem


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegovaklasi£na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskograda je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovomdokazu.

Literatura:

S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, �kolska knjiga, Zagreb, 1990.

38

Mentor: Mladen Jurak

Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata

Podru£je: primijenjena i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Opis: Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata je vrlo �eksibilan na£in diskretiza-cije parcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnjih dva desetlje¢a.U ovom radu je potrebno prou£iti osnovne metode diskretizacije za elipti£ke i parabo-li£ke jednadºbe prema knjizi B. Rivière. Zatim je potrebno implementirati metodu udune-pdelab paketu (vidi Dune web-stranicu) i testirati e�kasnost i robusnost metode.Za implementaciju je potrebno dobro poznavanje jezika C++.

Literatura:

Béatrice Rivière, Discontinuous Galerkin Methods For Solving Elliptic And parabolic Equ-ations: Theory and Implementation (Frontiers in Applied Mathematics) SIAM, 2008.DUNE web-stranica: http://www.dune-project.org.

39


Izvod Darcyjevog zakona u periodi£noj poroznoj sredini

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I i II

Opis: Potrebno je strogo izvesti Darcyjev zakon metodom matemati£ke homogenizacijeiz Stokesovih jednadºbi. Porebno je opisati metodu homogenizacije, dvoskalne konvergen-cije te teoriju egzistencije i jedinstvenosti Stokesove zada¢e. U izvodu modela sluºiti sereferencom [1].

Literatura:

1. G. Allaire: One-Phase Newtonian Flow, poglavlje 3 u U. Hornung ed., Homogenizationand porous media, Springer 1997.2. Z. Chen, G. Huan, Y. Ma: Computational Methods for Multiphase Flows in PorousMedia, SIAM 2006.3. V. Girault, P.-A. Raviart, Finite Element Method for Navier-Stokes Equations, Sprin-ger, 1986.

40


Galerkinova metoda za paraboli£ku parcijalnu diferencijalnujednadºbu

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ka analiza


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I i II

Opis: Potrebno je dokazati teorem egzistencije i jedinstvenosti slabog rje²enje za linearnuparaboli£ku inicijalnu rubnu zada¢u Galerkinovom metodom. Zatim je potrebno pro²iritikori²tenu metodu na klasu nelinearnih paraboli£kih PDJ. Potrebno je uvesti evolucijskeSoboljevljeve prostore.

Literatura:

1. L. Lions, R. Dautray: Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology: vol 6., Springer, 1985.

41

Mentor: Matija Kazalicki

Problem broja klasa

Podru£je: algebarska teorija brojeva i modularne funkcije

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: Algebarska teorija brojeva

Opis: Problem broja klasa je slavan problem koji je postavio Gauss. Treba odreditisva kvadratno imaginarna polja s brojem klasa 1. Problem je rije²io Heegner (1952), alinjegov dokaz nije bio prihva¢en sve do 1969 (naºalost Heegner to nije doºivio). Cilj ovogdiplomskog je izloºiti Heegnerov dokaz koji koristi modularne funkcije i teoriju komplek-snog mnoºenja.

Literatura:

D.A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley &Sons, Inc., New York, 1989.

42


Teorem o 27 pravaca na kubi£noj plohi

Podru£je: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je obraditi Cayley-Salmonov teorem iz klasi£ne algebar-ske geometrije koji kaºe da svaka glatka kubi£na ploha nad algebarski zatvorenim poljemsadrºi 27 pravaca.

Literatura:

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry,https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

43


Dijeljenje tajni

Podru£je: kriptogra�ja


Opis: U kriptogra�ji, pojam dijeljenja tajni se odnosi na metode distribucije informacije(�tajne�) u grupi sudionika tako da svaki £lan grupe dobije dio informacije. Cijela infor-macija se moºe rekonstruirati tek onda kada se svi dijelovi (ili neki odre�en broj) zajednoiskombiniraju. Cilj ovog diplomskog je obraditi razne metode dijeljenja tajni (npr. Visualcryptography, Shamir's scheme, Blakey's scheme, ...).

Literatura:

M. Naor, A. Shamir Visual crytography,http://www.fe.infn.it/u/filimanto/scienza/webkrypto/visualdecryption.pdf

D. Stinsonhttp://www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/stinson.pdf

F. M. Brueckler, Kako sakriti sliku?http://www.mathos.unios.hr/~middlemath/ppt/vizualna-kriptografija.pdf

W. Trappe, L.C. Washington, Introduction to cryptography with coding theoryhttp://calclab.math.tamu.edu/~rahe/2014a_673_700720/Trappe_2006.pdf

44

Mentor: Miljenko Maru²i¢

Eksponencijalno prilago�ene diferencijske sheme



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shemakoje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problemaza ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbuoblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H.Miller, E.O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scienti�c, Singapore, 1996.

45


Matemati£ki modeli rasta tumora

Podru£je: primijenjena matematika


Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na ekspe-rimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom.

Literatura:

T.Roose, S. J. Chapman, P.K.Maini, Mathematical Models of Avascular TumorGrowth, SIAM Review, 49 (2007) 179�208

46


Eksponencijalni integratori



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalno prilago-�enih metoda koje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje inicijalnog problema za obi£nediferencijalne jednadºbe. Od posebnog je interesa primjena na krute probleme.

Literatura:

M. Hochbruck and A. Ostermann. Exponential integrators. Acta Numerica, 19:209�286,2010.

47


Prepoznavanje eksponencijalnog rasta

Podru£je: statistika, matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika, Ra-£unarstvo i matematika

Opis: Prepoznavanje eksponencijalne faze rasta populacije bitno je za odre�ivanje raz-li£itih parametara biolo²kih sustava, kao ²to je na primjer vrijeme udvostru£enja. Ciljrada bi bio prikaz metoda zasnovanih na linearnoj regresiji logaritamski transformiranihpodataka rasta. Primjenom na realne i simulirane podatke trebalo bi usporediti nekolikometoda.

Literatura:

Jianqing Fan, Irene Gijbels, Local Polynomial Modelling and Its Applications. CRCPress, 1996

48


Mjere asimetrije podataka

Podru£je: statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati naj£e²¢e kori²tene mjere asimetrije i zako²enosti.Promatrane mjere treba usporediti na simuliranim podacima.

Literatura:

Tabor, J., �Investigating the Investigative Task: Testing for Skewness - An Investigationof Di�erent Test Statistics and their Power to Detect Skewness,� Journal of StatisticsEducation, 18 (2010), 1-13.

49

Mentor: Eduard Maru²i¢-Paloka

Matemati£ko modeliranje puha£kih instrumenata



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 1 i 2 ili Dir 1

Opis: Izvod jednostavnih matemati£kih modela za puha£ke instrumente i analiza dobi-venih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: N.H.Fletcher, T.D.Rossing, The physics of musical instruments, Springer,1998.

50


Primjeri egzaktnih rje²enja Navier-Stokesovih jednadºbi

Podru£je: primijenjena matametika


Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjene metemati£ka analiza

Opis: Navier-Stokesov sustav opisuje gibanje viskoznog �uida i rijetko se kada moºe ana-liti£ki rije²iti. Cilj ovog rada je dati pregled nekoliko klasi£nih primjera kod kojih nam jepoznato egzaktno rje²enje.

Literatura:

P.Drazin, N.Riley, The Navier-Stokes equations. A classi�cation of �ows and exact so-lutions, London mathematical society lecture notes series No 334, Cambridge universitypress, 2006.

51


Topolo²ki stupanj

Podru£je: matemati£ka analiza


Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: De�nicija i osnovni pojmovi vezani uz topolo²ki (Brouwerov) stupanj glatkog pres-likavanja te neke primjene na rje²ivost nelinearnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: D.Mitrovi¢, D.�ubrini¢, Fundamentals of applied functional analysis, PitmanMonographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Vol. 91, Addison WesleyLongman, Harlow, 1998.

52


Idealni nestla£ivi �uid



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerove jednadºbe. Potencijalni bezvrtloºni tok. TeoremKutta-�ukovskog. D'Alambertov paradox.

Literatura:

C.Malchioro, M.Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous �uids, Sprin-ger, 1994.A.J.Chorin, J.E.Marsden, A mathematical introduction to �uid mechanics, Springer,2000.

53

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Izrada animacija za nastavu matematike

Podru£je: primjena ra£unala u nastavi matematike


Preduvjeti: Metodika nastave matematike, Primjena ra£unala u nastavi matematike

Opis: Ra£unala mogu biti mo¢no sredstvo za podu£avanje i u£enje matematike, akose koriste na odgovaraju¢i na£in. Mnogi matemati£ki koncepti su apstraktni i za njihovosavladavanje treba odgovaraju¢i misaoni napor. Pomo¢u ra£unalne animacije (posebice3D animacije) mnogi od ovih apstraktnih koncepata mogu postati jasniji.

Asymptote je opisni vektorski gra�£ki jezik koji pruºa razvojno okuºje za tehni£ko crtanje.To je programski jezik, za razliku od samo gra�£kih programa za crtanje. Stvara Post-Script, PDF, SVG ili 3D NRK slike visoke kvalikete, koje se mogu integrirati u LaTeXtekst.

Cilj diplomskog rada je upoznati se s Asymptote programskim jezikom, te izraditi kolek-ciju slika i animacija za kolegij Matematika II na Fakultetu strojarstva i brodogradnjeSveu£ili²ta u Zagrebu. Nastavni materijali nalaze se na web stranici Katedre za matema-tiku navedenog fakulteta.

Literatura:

http://asymptote.sourceforge.net/

http://www.fsb.unizg.hr/matematika/materijali/

54

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Generalizacije konveksne funkcije



Opis: Konveksni skupovi i konveksne funkcije su predmet mnogih istraºivanja tijekomposljednjih stotinu godina. Dobro je poznata vaºnost konveksne funkcije u rje²avanjuproblemima optimiziranja. Konveksnost se pojavljuje u mnogim matemati£kim modelimau ekonomiji, inºenjerstvu, itd., kao prirodno svojstvo razli£itih funkcija i podru£ja kojesusre¢emo u tim modelima. Neke od najpoznatijih nejednakosti dobivaju se za konveksnefunkcije. Primjerice, ako je f : [a, b] → R konveksna funkcija, onda vrijedi Hermite-Hadamardova nejednakost:

f

(a+ b

2

)≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ f(a) + f(b)

2.

Svojstvo konveksnosti je nepromjenjivo s obzirom na pojedine operacije i transforma-cije. Me�utim, za mnoge probleme koji se susre¢u u matematici, ekonomiji i inºenjerstvupojam konveksnosti nije ispunjen. Dakle, potrebno je pro²iriti pojam konveksnosti poj-movima pseudo-konveksnost, kvazi-konveksnost, s-konveks, inveks, s-inveks, h-konveks,pre-inveks, itd.

Cilj diplomskog rada je prou£iti razli£ite koncepte generaliziranja konveksne funkcije uve-dene u literaturi u posljednjih tridesetak godina i dati nejednakosti Hermite-Hadamar-dovog tipa za neke od navedenih klasa funkcija.

Literatura:

S.S. Dragomir, Ch.E.M. Pearce, Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities andApplications, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000.http://rgmia.vu.edu.au/monographs.html

S. Varo²anec, On h-convexity, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007) 303�311.X.M. Yang and D. Li, On properties of preinvex functions, J. Math. Anal. Appl. 256

(2001), 229�241.Shu-HongWanga, Xi-Min Liu, Hermite-Hadamard type inequalities for operator s-preinvexfunctions, J. Nonlinear Sci. Appl. 8 (2015), 1070�1081.

55

Mentor: �eljka Milin �ipu²

Plohe konstantne srednje zakrivljenosti u Minkowskijevomprostoru

Podru£je: diferencijalna geometrija.

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji, Teorijska matematika

Opis: Plohe konstantne srednje zakrivljenosti, H = const., sadrºe dvije velike klaseploha � tzv. minimalne plohe, H = 0, i tzv. cmc-plohe, odnosno prave plohe konstantnesrednje zakrivljenosti, H = const. 6= 0. U euklidskoj geometriji, me�u njih spadaju,primjerice, helikoid i katenoid kao minimalne plohe, te sfera i Delaunayeve plohe kaocmc-plohe. Cilj ovog diplomskog rada je analizirati analogne plohe u Minkowskijevomprostoru, tj. prostoru £ija metrika nije pozitivno de�nitna, nego op¢enito nedegenerirana(pseudo-Riemannov prostor).

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Di�erential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.

2. F. Dillen, W. Kühnel: Ruled Weingarten surfaces in Minkowski 3-space, manuscriptamathematica 98(1999), 307�320.

3. P. Mira-J.A. Pastor: Helicoidal Maximal Surfaces in Lorentz-Minkowski Space, Monat-shefte Math. 140(2003), 315�334.

4. J. Hano, K. Nomizu: Surfaces of revolution with constant mean curvature in Lorentz-Minkowski space, Tohoku Math. J. 36(1984), 427�437.

5. R. Lopez, E. Demir: Helicoidal surfaces in Minkowski space with constant mean curva-ture and constant Gauss curvature, Central European Journal of Mathematics, 12(2014),1349�1361.

6. H. Liu: Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional spaces,Jour.Geom. 64(1999), 141�149.

56

Mentor: Ante Mimica

Donskerov teorem

Podru£je: slu£ajni procesi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Slu£ajni procesi

Opis: Neka jeX = {Xn : n ≥ 1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slu£ajnih varijablitakav da je EX = 0 i EX2 = 1. De�niramo slu£ajnu ²etnju S0 = 0, Sn = X1 + . . . + Xn

za n ≥ 1 . Cilj ovog diplomskog rada je pokazati da

Snt√n

konvergira po distribuciji procesu Bt ,

tj. Brownovom gibanju koje kre¢e iz B0 = 0. Ovaj rezultat je poznat kao Donskerovteorem. Prvo ¢e se dokazati Skorohodova reprezentacija slu£ajne varijable X takve da jeEX = 0 i EX2 <∞. Naime, u tom slu£aju postoji vrijeme zaustavljanja T za Brownovogibanje takvo da je

BTd= X i ET = EX2 .

Tako�er ¢e se napraviti neke primjene Donskerovog teorema, kao ²to je konvergencija podistribuciji maksimuma slu£ajne ²etnje.

Literatura:

R. Durrett. Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Thomson, Brooks/Cole, 2005.

57

Mentor: Boris Muha

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prostorima, pri£emu je B Banachov prostor.

Literatura:

Roubi£ek, T. Nonlinear Partial Di�erential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.Simon, J. Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Applicata146. pp. 65-96 1986.

58

Mentor: Boris Muha

Lie-Trotterova produktna formula

Podru£je: funckionalna analiza


Preduvjeti: Normirani prostori

Opis: Cilj radnje je dokazati generalizaciju Lie-ove produktne formule za matrice:

eA+B = limN→∞

(eAN e

BN )N .

Promatrat ¢e se slu£aj kada suA iB odre�eni neograni£eni operatori koji su in�nitezimalnigeneratori polugrupa. U drugom dijelu radnje promatrat ¢e se primjene produktne formulena rje²avanje evolucijskih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

R. Dautray, J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology. (Vol. 5) Evolution Problems I, Springer-Verlag, Berlin, 2000

59

Mentor: Goran Mui¢

Snopovi modula na a�nim shemama

Podru£je: algebarska geometrija, algebra


Preduvjeti: Algebra

Opis: Sheme su prirodne generalizacije klasi£nih projektivnih monogostrukosti. Uvedenesu u matematiku sredinom 20. stolje¢a i od tada su standardni jezik moderne algebarskegeometrije. Diplomski rad bi trebao razviti teoriju snopova modula na a�nim shemama.

Literatura:

Shafarevich, Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds, Springer-Verlag, 1994.

60

Mentor: Goran Mui¢

Normalizacija projektivnih krivulja



Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Uvodi se pojam normalizacije projektivne mnogostrukosti. Dokazuje se niz svoj-stava te se konstruira normalizacija projektivnih krivulja koja se koristi da se dobijenesingularni model krivulje.

Literatura:

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

61

Mentor: Goran Mui¢

Regularna preslikavanja nesingularnih projektivnihmnogostrukosti




Opis: Uvodi se pojam nesingularnih projektivnih mnogostrukosti i odgovarajuci lokalniparametri u svakoj to£ki. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.

Literatura:


62

Mentor: Goran Mui¢

Racionalna preslikavanja projektivnih mnogostrukosti




Opis: Uvodi se pojam projektivnih mnogostrukosti i studiraju se svojstva racionalnihpreslikavanja i diferencijalnih formi. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.

Literatura:


63

Mentor: Ivica Naki¢

Princip jedinstvenog produljenja i njegove primjene u teorijiupravljanja


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primjenjena matematika, Matemati£ka sta-tistika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori

Opis: Princip jedinstvenog produljenja, koj tvrdi da svako rje²enje parcijalne diferen-cijalne jednadºbe koje is£ezava na maloj kugli mora biti svugdje nula je fundamentalnosvojstvo s raznim primjenama.

U diplomskom radu student bi izloºio osnovne rezultate vezane uz princip jedinstvenogproduljenja, s naglaskom na pitanja upravljivosti parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.

Postoji mogu¢nost uklju£ivanja studenta u bilaternalni hrvatsko�njema£ki projekt.

Literatura:

L. Rosier, A survey of controllability and stabilization results for partial di�erential equ-ations, Journal européen des systèmes automatisés, vol. 41, no. 3-4, str. 365.-411., (2007),S. Micu, E. Zuazua, An Introduction to the Controllability of Partial Di�erential Equati-ons, in Quelques questions de théorie du contrôle, Collection Travaux en Cours, EditionsHermann, str. 69.-157. (2005),D. Borisov, I. Naki¢, C. Rose, M. Tautenhahn, I. Veseli¢, Multiscale unique continuationproperties of eigenfunctions, u �Operator semigroups meet complex analysis, harmonicanalysis and mathematical physics�, Birkhäuser Basel, 2015.

64


Interpolacijski teoremi tipa Nevanlinna-Pick

Podru£je: kompleksna analiza, funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primjenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Kompleksna analiza, Normirani prostori

Opis: Problem koji je ishodi²te teorije o Nevanlinna-Pick interpolacijama je sljede¢i: zazadane to£ke a1, . . . , an u otvorenoj desnoj kompleksnoj poluravnini, te kompleksne to£keb1, . . . , bn, treba na¢i pravu racionalnu funkciju G koja je holomorfna u zatvorenoj desnojkompleksnoj poluravnini, te za koju vrijedi:

• G(ai) = bi, i = 1, . . . , n,

• supw∈R |G(iw)| ≤ 1.

Ovaj problem i njegova poop¢enja se javljaju u nizu matemati£kih i tehni£kih podru£ja, acilj diplomskog rada je dati rje²enje ovog i srodnih problema pomo¢u terema o podizanju.

Literatura:

M. Rosenblum, J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford University Press,1985.,N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: An Easy Reading, American Mathe-matical Society, 2009,B. Sz Nagy, C. Foias, H. Bercovici, L. Kérchy, Harmonic Analysis of Operators on HilbertSpace, Springer, 2010.

65


Spektralna teorija grafova i primjena na analizu kompleksnihmreºa

Podru£je: teorija grafova


Preduvjeti: predznanje obuhva¢eno kolegijima Diskretna matematika i Linearna algebra1,2

Opis: U 21. stolje¢u pru£avanje grafova dobilo je novi podstrek zbog £injenice da sekompleksne mreºe kao ²to su Internet, biolo²ke mreºe, infrastrukturne mreºe i sli£nomogu modelirati kao grafovi. Spektar grafa otkriva fundamentalna svojstva grafa te sepostavlja prirodno pitanje ²to nam spektar grafa moºe re¢i o spomenutim kompleksnimmreºama. Cilj diplomskog rada je izloºiti osnovne rezultate spektralne teorije grafova iprimjeniti ih na analizu dijelova Interneta koriste¢i podatke s RIPE projekta.

Literatura:

F. R. K. Chung, Spectral graph theory, AMS, 1997.P. van Mieghem, Graph spectra for complex networks, Cambridge University Press, 2011.RIPE projekt, http://www.ripe.net

66


MathBox2

Podru£je: ra£unarstvo


Preduvjeti: znanje programiranja u Javascriptu, poznavanje HTML5

Opis: MathBox2 je Javascript biblioteka bazirana na WebGL tehnologiji koja omogu¢avavizualizaciju matemati£kih pojmova koriste¢i deklaratvni pristup programiranju. Ciljdiplomskog rada je izrada priru£nika za ovu biblioteku te kreiranje prezentacije o vizuali-zaciji kompleksnih funkcija.

Literatura:

http://acko.net/blog/mathbox2/

https://gitgud.io/unconed/mathbox

E. Wegert, Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits, Birkhäuser,2012.

67


Processing

Podru£je: ra£unarstvo


Preduvjeti: znanje programiranja u Javascriptu

Opis: Processing je jednostavan programski jezik za kreiranje vizualnih uradaka s nagla-skom na animacijama. Vrlo je popularan alat kojeg koristi mno²tvo umjetnika, dizajnerai znanstevnika. Cilj diplomskog rada je izloºiti osnove Javascript ina£ice jezika Processing(originalni Processing baziran je na Javi) te izrada animacije iz nekog podru£ja matema-tike.

Literatura:

C. Reas, B. Fry, Getting Started with Processing - A Hands-On Introduction to MakingInteractive Graphics 2. izdanje, Make, 2015.C. Reas, B. Fry, Processing: A Programming Handbook for Visual Designers, 2. izdanje,MIT Press, 2014.http://processingjs.org/

68

Mentor: Goranka Nogo

Binarni polinomi

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama


Opis: Polinomi £iji su koe�cijenti binarne znamenke imaju primjenu u mnogim podru-£jima ra£unarstva (klasi£na teorija kodiranja, kriptogra�ja, ...). U uvodnom dijelu radatreba analizirati algoritme za osnovne operacije s binarnim polinomima (zbrajanje, mno-ºenje, potenciranje i dijeljenje). Nakon toga slijedi analiza e�kasnih algoritama za fak-torizaciju binarnih polinoma. Od studenta se o£ekuje da implementira neke od njih ianalizira dobivene rezultate.

Literatura:

J.Arndt, Algorithms for Programmers, 2010, http://www.jjj.de/fxt/fxtbook.pdfJ.Arndt, Matters Computational, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.

69

Mentor: Goranka Nogo

Crveno-crna stabla

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama


Opis: Crveno-crno stablo je binarno stablo traºenja u kojemu je svakom £voru pridruºendodatni atribut - njegova boja koja je crvena ili crna. Rije£ je o izbalansiranom stablutraºenja u smislu da osnovne dinami£ke skupovne operacije imaju, u najgorem slu£aju,sloºenost O(logn). Od studenta se o£ekuje da prou£i postoje¢e algoritme za operacije scrveno-crnim stablima (dodavanje, brisanje, pretraºivanje, rotacija ...), dizajnira i e�kasnoimplementira modi�kacije nekih od njih te analizira dobivene rezultate.

Literatura:

P.Brass, Advansed Data Structures Cambridge University Press, 2008. F.Pfenning, Lec-ture Notes on Red/Black Trees, 2010, https://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/15122-f10/lectures/17-rbtrees.pdf

T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edi-tion, MIT Press, 2009.

70

Mentor: Dalibor Paar

Trodimenzionalna fraktalna analiza pojava u kr²u

Podru£je: fraktalne analize, matematika, �zika

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer: nastavni£ki

Opis: Ova tema namijenjena je studentima koji ºele pro²iriti znanja koja su stekli nastudiju i promisliti o uvo�enju tih tema u nastavu �zike. Tehnika fraktalne analize omo-gu¢ava analizu uzoraka na temelju njihove makroskopske strukture. Interes primjene tetehnike u �zici okoli²a, odnosno u geoznanostima je pridruºivanje �zikalnih parametaraprirodnim pojavama kvanti�ciranjem skalno invarijantnih distribucija, £ime bi se omogu-¢ilo njihovo bolje razumijevanje i pra¢enje njihovih promjena. U okviru rada student birazvio ra£unalni program u Pythonu za prora£un fraktalne dimenzije u 3D i primijenioga na odabrane speci�£ne prirodne pojave u hrvatskom kr²u koje evidentno imaju frak-talna svojstva. Student ¢e razraditi koncepciju nastavnog sata kojom bi se u£enika krozodabrane primjere upoznalo s ovom tematikom.

Literatura:

D.L.Turcotte. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics, Cambridge Uni.Press,1997.

71

Mentor: Dalibor Paar

Analize vremenskih nizova u �zikalnim procesima

Podru£je: fraktalne analize, matematika, �zika

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer: nastavni£ki

Opis: Ovaj rad je namijenjen studentima koji se ºele upoznati s prakti£nim primjenama�zike u prou£avanju prirode. Prou£avanjem prirodnih procesa biljeºimo vremensku evo-luciju niza �zikalnih varijabli. Usporedbom vremenskih nizova dolazimo do zaklju£akao samoj �zikalnoj pojavi odnosno procesima koji mijenjaju vrijednosti varijabli. To jevaºna tematika, posebice za �ziku okoli²a gdje su pojave de�nirane velikim brojem va-rijabli. U ovom diplomskom radu ¢e se na konkretnom primjeru �zikalnih mjerenja u²piljama kao prirodnim pojavama de�niranim nizom �zikalnih varijabli razmotriti poje-dine tehnike analize vremenskih nizova, prora£una vremenskog odmaka, korelacija i dr.Odabrane analize ¢e se izvesti programskim jezikom Python. Osmislit ¢e se koncept nas-tavnog sata u okviru kojeg bi se istaknula vaºnost vremenskog pra¢enja �zikalnih varijablii njihove interpretacije.

Literatura:

Cutnell, Johnson. Physics, 8th edition, J.Willey & Sons

72

Mentor: Pavle Pandºi¢

Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije kona£nodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru kona£nih grupa. Uklju£ene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:

J.-P.Serre, Linear representations of �nite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

73


Proste kompleksne Liejeve algebre

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije Liejevih algebri te klasi�kacija kompleksnihprostih Liejevih algebri pomo¢u njihovih sistema korijena.

Literatura:

J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

74


Realne forme prostih Liejevih algebri

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi pretpostavlja klasi�kacija kompleksnih prostih Liejevih algebri ina osnovu nje se dobiva klasi�kacija realnih prostih Liejevih algebri. Osnovna metoda jekori²tenje tzv. Voganovih dijagrama.

Literatura:

A.W. Knapp, Lie groups: beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 1996.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

75


Kona£ne grupe re�eksija

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije kona£nih grupa re�eksija. Osnovni su pri-mjeri Weylove grupe sistema korijena.

Literatura:

L.C. Grove, T.C. Benson, Finite re�ection groups, Springer, 1985.J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Soergel, Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme, http://home.mathematik.uni-

freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

76

Mentor: Igor Paºanin

Asimptoti£ka analiza i primjene



Opis: Cilj ovog rada upoznati je studenta sa osnovnim metodama asimptoti£ke analizei mogu¢nostima njihove primjene. Posebna paºnja posvetila bi se primjeni asimptoti£kihmetoda pri prou£avanju vi²edimenzionalnih problema koji se javljaju u mehanici �uida.

Literatura:

J.K.Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, University of Cali-fornia at Davis, 2004.R.Kh.Zeytounian, Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena, Kluwer Academic Pu-blishers, 2002.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

77


Tok mikropolarnog �uida



Opis: Model mikropolarnog �uida osnovno je poop¢enje klasi£nog Navier-Stokesovogmodela koji uzima u obzir i mikrostrukturu samog �uida te je kao takav iznimno vaºansa stanovi²ta primjena. Polaze¢i od temeljnih zakona odrºanja, u ovom radu izveli biosnovne jednadºbe koje opisuju tok mikropolarnog �uida te diskutirali pripadne rubneuvjete. Tako�er, kako bi ilustrirali efekte mikrostrukture na tok �uida, bavili bi se iprimjerima jednostavnih tokova za koje je mogu¢e odrediti neka specijalna stacionarnarje²enja.

Literatura:

G.Lukaszewicz, Micropolar Fluids: Theory and Applications, Birkhauser, 1999.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

78


Stokesov sustav



Opis: Stokesov sustav predstavlja linearizaciju Navier-Stokesovih jednadºbi i dobro opi-suje tok newtonovskog �uida za male Reynoldsove brojeve. U ovom radu razmatrale bise stacionarne Stokesove jednadºbe u ograni£enom podru£ju. Nakon izvoda jednadºbi iztemeljnih zakona odrºanja, uveli bi se odgovaraju¢i funkcijski prostori te izloºila njihovaosnovna svojstva. Glavni dio rada bio bi posve¢en varijacijskoj formulaciji polaznog pro-blema i dokazu egzistencije i jedinstvenosti rje²enja.

Literatura:

R.Temam, Navier-Stokes equations, Vol I, North-Holland, 1977.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

79


Modeliranje obi£nim diferencijalnim jednadºbama

Podru£je: matemati£ko modeliranje


Opis: Diferencijalnim jednadºbama se najjednostavnije izraºavaju i modeliraju mnogiprirodni zakoni te razni procesi u razli£itim podru£jima znanosti i tehnike. Ovaj rad za-mi²ljen je kao pregled ve¢eg broja matemati£kih modela opisanih obi£nim diferencijalnimjednadºbama. Posebna paºnja posvetila bi se izvodu i analizi modela zna£ajnih u popu-lacijskoj dinamici, kemijskoj kinetici te newtonovoj mehanici.

Literatura:

J.R.Chasnov, Mathematical Biology, Lecture Notes, The Hong Kong University of Scienceand Technology, 2009.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Di�erential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.M.Braun, Di�erential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 1986.

80

Mentor: Mirko Polonijo

Udºbenik "Uvod u linearnu algebru" Svetozara Kurepe

Podru£je: matemati£ka edukacija


Opis: Svetozar Kurepa (1929-2010) odigrao je veliku i trajnu ulogu u hrvatskoj mate-matici. Osim vaºnih znanstvenih matemati£kih doprinosa, S. Kurepa je autor mnogihmatemati£kih udºbenika za srednju ²kolu i fakultete. Njegov udºbenik "Uvod u linearnualgebru" (1978.) bio je namjenjen studentima prve godine i nastao je kao reakcija napostoje¢e (ali i nepostoje¢e) udºbenike linearne algebre. Na taj na£in je on danas "ma-etmati£ka slika" jednog vremena. Svrha rada je detaljno prikazati taj udºbenik te gaocijeniti i usporediti s tada²njim i dana²njim odgovaraju¢im na²im knjigama .

Literatura:

Kurepa, S. (1970). Uvod u linearnu algebru, Zagreb; �kolska knjigaudºbenici Linearna algebra raznih autora

81

Mentor: Mirko Primc

Reprezentacije kona£nih i kompaktnih grupa

Podru£je: algebra, topologija i analiza


Preduvjeti: Vekorski prostori, Operatori na normiranim prostorima

Opis: Jedan od osnovnih rezultata analize i teorije grupa je Peter-Weylov teorem o aprok-simaciji neprekidne funkcije na kompaktnoj grupi matri£nim elemenatima ireducibilnihreprezentacija grupe. U su²tini je to poop¢enje klasi£nih rezultata poput razvoja peri-odi£ke funkcije u Fourierov red ili aproksimacije funkcije na sferi kuglinim funkcijama.Ovisno o sklonostima i predznanju studenta odabralo bi se gradivo koje bi uklju£ivaloPeter-Weylov teorem ili samo neke dijelove te teorije.

Literatura:

Barry Simon, Representations of Finite and Compact Groups, Graduate Studies in Mat-hematics 10, AMS, Providence R.I., 1996.

82

Mentor: Mirko Primc

Cli�ordove algebre i klasi£ne grupe

Podru£je: algebra i teorija grupa


Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija Cli�ordovih algebri te, ovisno o sklonostima i pred-znanju studenta, neke njihove primjene u teoriji reprezentacija grupa SO(n) i Spin(n) umatematici i �zici.

Literatura:

M. Postnikov, Lie Groups and Lie Algebras, Lectures in Geometry V, Mir Publishers,Moscow, 1986.

83

Mentor: Mirko Primc

Proste Liejeve algebre i njihove reprezentacije

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi opis strukture prostih kompleksnih Liejevih algebri i njihovihkona£no dimenzionalnih reprezentacija. Ovisno o sklonostima studenta biralo bi se gradivos naglaskom na strukturu algebri ili na svojstva reprezentacija.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1972.

84

Mentor: Mirko Primc

Multilinearna algebra

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija tenzorske algebre i vanjske algebre, te osnovni rezultatio strukturi vanjske algebre.

Literatura:

S. Mac Lane, G. Birkho�, Algebra, third edition, AMS Chelsea Publishing, AmericanMathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.

85

Mentor: Rajna Raji¢ Suvoditelj: Damir Baki¢

Konveksne funkcije realne varijable


Prikladno za studij: Svi studiji

Opis: U radu bi se prikazali osnovni rezultati o konveksnim funkcijama realne varijable.Dale bi se razne karakterizacije konveksnih funkcija: u terminima integralne reprezen-tacije, svojstava derivacija, geometrijskih svojstava grafa. Prou£ila bi se klasa funkcijakoje se mogu prikazati kao razlika dviju konveksnih funkcija. Poseban naglasak bio bi naulozi konveksnih funkcija u dokazivanju nekih klasi£nih nejednakosti u analizi, kao ²to suHölderova nejednakost, Minkowskijeva nejednakost, Hermite�Hadamardova nejednakost,Youngova nejednakost i dr.

Literatura:

L. Hörmander, Notions of Convexity, Modern Birkhäuser Classics, Boston, 2007.C. P. Niculescu, L.-E. Persson, Convex Functions and Their Applications. A Contempo-rary Approach, Springer, Berlin, New Yok, London, 2004.A. W. Roberts, D. E. Varberg, Convex Functions, Academic Press, Inc., New York, Lon-don, 1973.

86


Nepravi dvostruki integrali



Opis: U radu bi se obradili nepravi dvostruki integrali realnih funkcija de�niranih naneome�enim podskupovima od R2. Opisali bi se razni kriteriji za ispitivanje konvergen-cije takvih integrala. Tako�er bi se prou£ila konvergencija nepravih dvostrukih integralaneome�enih neprekidnih realnih funkcija de�niranih na ome�enim podskupovima od R2.

Literatura:

G. B. Folland, Advanced Calculus, Pearson, 2001.S. R. Ghorpade, B. V. Limaye, A Course in Multivariable Calculus and Analysis, Sprin-ger, New York, 2010.

87


Polarna forma operatora

Podru£je: teorija operatora


Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori i Operatori na normira-nim prostorima.

Opis: Ograni£en linearni operator T na Hilbertovom prostoru H moºemo prikazati upolarnoj formi T = U(T ∗T )1/2, gdje je U parcijalna izometrija. U ovom radu prou£a-vala bi se izvjesna svojstva operatora T (kao ²to su npr. pozitivnost, samoadjungiranost,normalnost, kvazinormalnost, 2-nilpotentnost) koja se prenose na parcijalnu izometrijuU iz njegove polarne forme. Tako�er bi se detaljno prou£ile normalne i kvazinormalneparcijalne izometrije.

Literatura:

T. Furuta, Invitation to Linear Operators, Taylor & Francis, London, 2001.P. R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Van Nostrand, Princeton, 1967.

88

Mentor: Nikola Sarapa

Centralni grani£ni problem

Podru£je: teorija vjerojatnosti

Prikladno za studij: inºenjerski studiji

Preduvjeti: poznavanje sadrºaja obuhva¢enih kolegijima �Teorija vjerojatnosti 1 i 2�

Opis: Obra�uje se teorija beskona£no djeljivih distribucija, koja se koristi za dokazivanjeop¢eg centralnog grani£nog teorema za in�nitezimalne sisteme slu£ajnih varijabli, iz kojegkao korolari slijede poznati klasi£ni centralni grani£ni teoremi,

Literatura:

N.Sarapa, Teorija vjerojatnosti, �kolska knjiga, Zagreb, 2002.

89


Zakoni velikih brojeva za jednako distribuirane slu£ajne elementeu Banachovim prostorima




Opis: Promatraju se slu£ajni elementi u Hilbertovim i Banachovim prostorima. Dokazujuse generalizacije nekih klasi£nih zakona velikih brojeva za separabilne Banachove prostorei Banachove prostore sa Schauderovom bazom.

Literatura:


90


Donskerov teorem u prostoru C




Opis: Promatraju se vjerojatnosne mjere na metri£kim prostorima, specijalno na prostoruC neprekidnih funkcija na segmentu [0,1] s uniformnom metrikom. Dokazuje se Donskerovteorem o konvergenciji po distribuciji prikladno de�niranih slu£ajnih elemenata u prostoruC prema Winerovoj mjeri.

Literatura:

P.Billingsley, Convergence of probability measures, J.Wiley, New York, 1968.

91


Martingali




Opis: Obra�uju se osnovni pojmovi potrebni za uvo�enje pojma martingala i submar-tingala, te se dokazuju osnovni teoremi o konvergenciji i dekompoziciji submartingala.

Literatura:


92

Mentor: Sanja Singer

Ra£unanje generaliziranih inverza



Opis: Generalizirani inverzi, kao ²to i samo ime govori, generalizacija su matri£nih inverzau slu£ajevima kad su matrice pravokutne i/ili singularne. Najpoznatiji me�u njima jeMoore�Penroseov generalizirani inverz, koji se naj£e²¢e re£una kori²tenjem singularnedekompozicije, ali ima i drugih na£ina njegovog izra£unavanja. Cilj rada je numeri£kiusporediti nekoliko algoritama za ra£unanje generaliziranih inverza.

Literatura:

P. Lancaster, M. Tismenetsky, The Theory of Matrices with Applications (second edition),Academic Press, San Diego, 1985.S. L. Campbell, C. D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transformations , Pitman,London, 1979.A. Ben�Israel, T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications (secondedition), Springer�Verlag, New York 2004.G. Zielke Report on test matrices for generalized inverses , Computing 36 (1986), 105�162.

93

Mentor: Maja Star£evi¢

Bifurkacije sustava diferencijalnih jednadºbi

Podru£je: diferencijalne jednadºbe


Opis: U prvom dijelu rada treba dati pregled osnovnih pojmova iz teorije sustava obi£nihdiferencijalnih jednadºbi te rezultata koji ¢e se koristiti u radu. Drugi dio rada ¢e bitiposve¢en teoriji bifurkacija. Promatrat ¢e se kvalitativno pona²anje rje²enja sustava priodre�enim promjenama desne strane sustava te ¢e se napraviti klasi�kacija bifurkacija.Iznijet ¢e se i vaºniji rezultati koji ¢e se primijeniti na konkretnim sustavima.

Literatura:

L. Perko, Di�erential equations and dynamical systems, Springer, 2000.W. G. Kelley, A. C. Peterson The theory of di�erential equations, Springer, 2010.

94

Mentor: Maja Star£evi¢

Polinomijalne matrice


Podru£je: linearna algebra

Opis: U radu ¢e se opisati prostor polinomijalnih matrica i osnovne operacije vezaneuz njih. Potrebno je iskazati i dokazati neke poznate rezultate poput generaliziranogBezouteovog teorema i generaliziranog Bezouteovog identiteta. Opisat ¢e se svo�enjematrica na Smithovu kanonsku formu, odre�ivanje nulto£aka polinomijalnih matrica izajedni£kog djelitelja matrica.

Literatura:

T. Kaczorek, Polynomial and rational matrices, Springer, 2007.

95

Mentor: Denis Sunko

Valne funkcije identi£nih £estica

Podru£je: matematika, �zika

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer nastavni£ki

Opis: Valne funkcije se obi£no shva¢aju sa stajali²ta funkcionalne analize, kao vektoriu Hilbertovom prostoru kvantnih stanja. Me�utim, £im je broj identi£nih £estica ve¢iod jedan, pojavi se i speci�£na algebarska struktura, koja isti Hilbertov prostor generirakao graduiranu algebru nad prstenom simetri£nih polinoma. Ve¢ i veoma mali primjeri2�4 £estice otvaraju niz zanimljivih pitanja me�uodnosa ta dva na£ina gledanja. Ovisnoo a�nitetu i predznanju studenta, u diplomskom radu bi se na£elo neko od tih pitanja,moºda i na razini samo jednog konkretnog primjera. Mogu¢a pitanja uklju£uju:(1) klasi�kaciju generatora algebre s obzirom na permutacije (preimenovanja) Kartezije-vih osi;(2) kori²tenje algebarske strukture za nalaºenje "dobrih" varijacionih funkcija;(3) vizualizaciju nodalnih hiperploha, tj. geometrijskih mjesta to£aka gdje mnogo£esti£navalna funkcija i²£ezava.

Literatura:

J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison-Wesley 1994., po-glavlja 2.3, 5.4 i 6.David J. Gri�ths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall 1995., poglavlja2.3, 5 i 7.

96

Mentor: Dragutin Svrtan

Prebrojavanje sparivanja u nekim jednostavnim grafovima

Podru£je: diskretna matematika, algebra


Preduvjeti: poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Linearna algebra, Kombinato-rika

Opis: Problem je prebrojiti savr²ena sparivanja u dvodimenzionalnim re²etkama (rezul-tati Kasteleyna i drugih) pomo¢u matrica prijelaza. Naglasak diplomskog rada moºe bitistavljen na algebarske,kombinatorne i brojevno teorijske aspekte broja svih sparivanja.

Literatura:

Stanley,Richard, www-math.mit.edu/ rstan/transparencies/tilings3.pdf,Propp, James (2005), "Lambda-determinants and domino-tilings", Advances in AppliedMathematics 34 (4): 871�879, doi:10.1016/j.aam.2004.06.005, arXiv:math.CO/0406301.

97


Dijametarski grafovi poligona




Opis: Uvesti i obraditi dijametarske grafove poligona i primjene u izodijametarskoj ge-ometrijskoj optimizaciji.

Literatura:

D.Henrion Frederic Messine, Finding largest small polygons with GloptiPoly.C.Audet,P.Hansen,F.Messine, Extremal problems for convex polygons, J. Glob. Optimi-zation, Vol.38, pp. 163�179, 2007..

98


Grozdaste algebre




Opis: Uvesti i obraditi elementarne de�nicije grozdastih('cluster') algebri, jednog od naj-brºe razvijaju¢ih podu£ja u matematici, i neke primjene.

Literatura:

http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/cluster.html

.

99


Simetri£ne funkcije i primjene




Opis: Uvesti standardne baze elementarnih, potpuno homogenih, funkcije suma poten-cija te Schurovih funkcija u prostoru simetri£nih polinoma u vi²e varijabli. Zatim obraditineke kombinatorne ali i algebarske primjene (na ra£unanje rezultanti polinoma, raciona-lizacija sume korjena i sl.

Literatura:

Stanley,Richard, Enumerative Combinatorics, Vol.2, Cambridge University Press 1999,MacDonald,Ian, Symmetric Functions and Hall Polynomials,Oxford University Press,1995.Aigner,Martin, A Course in Enumeration, GTM, Springer Verlag, 2007.

100

Mentor: Boris �irola

Osnovni teorem aritmetike za ideale

Podru£je: teorija brojeva


Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Algebarske strukture

Opis: Osnovni teorem aritmetike u prstenu cijelih brojeva Z prvi je vaºan rezultat uelementarnoj teoriji brojeva. Prirodno je pitanje o postojanju analogona za neke drugeskupove brojeva; posebno za prstene cijelih u poljima algebarskih brojeva. Cilj ovograda bio bi dokazati tzv. Osnovni teorem aritmetike za ideale u prstenima cijelih odkvadratnih pro²irenja polja racionalnih brojeva Q. Nadalje, uveo bi se jo² jedan temeljniobjekt, tzv. grupu klasa ideala (za kvadratna pro²irenja). Predloºena tema predstavljajedan od mogu¢ih elementarnih uvoda u tzv. algebarsku teoriju brojeva.

Literatura:

G. Everest and T. Ward, An introduction to number theory, Graduate Texts in Math.232, Springer, London, 2005.

101


Harmonijske funkcije

Podru£je: analiza


Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Kompleksna analiza.

Opis: Realni dio u(x, y) i imaginarni dio v(x, y), holomorfne funkcije f(z) = u+ ıv jednekompleksne varijable z = x+ ıy, zadovoljavaju tzv. Laplaceovu diferencijalnu jednadºbu;tj. vrijedi ∆u = ∆v = 0, gdje je operator ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2. Takve funkcije, klaseC2, zovu se harmonijske funkcije. Harmonijske funkcije su najklasi£nija i najosnovnijarje²enja u klasi tzv. elipti£kih parcijalnih diferencijalnih jednadºbi. Tema ovog rada jeprou£iti harmonijske funkcije metodama kompleksne analize.

Literatura:

R. E. Greene and S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, Graduate Studiesin Math., Vol. 40, Amer. Math. Soc., Providence 2006.

102


Neprekidne funkcije na kompaktima: Stone-Weierstrassov iAscolijev teorem

Podru£je: analiza


Preduvjeti: poznavanje materije iz kolegija Metri£ki prostori i Vektorski prostori.

Opis: Neka je K konmpaktan podskup od Rn. Tada je svaku realnu neprekidnu funkcijuna K mogu¢e uniformno aproksimirati polinomima od n varijabli; to je klasi£na formaslavnog Stone-Weierstrassovog teorema. U ovom se radu dokazuje generalizirana formaspomenutog teorema, i to kako za realne tako i za kompleksne neprekidne funkcije nakompaktima. U nastavku rada daje se jedan vrlo koristan kriterij kompaktnosti za pod-skupove tzv. funkcijskih prostora za neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima. Toje predmet jednog drugog vaºnog rezultata; tzv. Ascolijevog teorema.

Literatura:

S. Lang, Real and functional analysis. Third Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 142,Springer, New York, 1993.

103


Poluproste Liejeve algebre i Liejeve grupe

Podru£je: Liejeva teorija, teorija reprezentacija


Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Vektorski prostori i Algebar-ske strukture.

Opis: Vektorski prostor n × n kompleksnih matrica traga nula, uz tzv. komutatorskomnoºenje [A,B] := AB − BA, ozna£ava se sa sl(nC). To je jedan od glavnih primjera uklasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih algebri. S druge strane, grupa SL(n,C) je jedanod glavnih primjera u klasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih grupa. Pokazuje se da,po �analogiji� s parom (sl(n,C), SL(n,C)), ima i jo² nekih drugih vrlo zanimljivih parova(g, G); ovdje je G Liejeva grupa i g je �odgovaraju¢a� Liejeva algebra. Teorija Liejevihgrupa i Liejevih algebri, kao i teorija reprezentacija tih objekata, igraju vrlo vaºne ulogeu mnogim drugim matemati£kim disciplinama (npr. algebarska geometrija, diferencijalnageometrija, teorija brojeva, teorija reprezentacija,...) Cilj diplomskog rada je razumijetiosnove o Liejevim algebrama i Liejevim grupama, sa posebnim naglaskom na primjerepoluprostih algebri i grupa.

Literatura:

A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Math., vol. 140, Birkhäu-ser, Boston, 2005.

104

Mentor: Josip Tamba£a

Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Matemati£kastatistika

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanike kontinuumas uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijske rezultate vezane zaegzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rje²enja varijacijskih nejednakosti.

Literatura:

D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications. Academic Press, New York (1980).R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer Verlag,New York (1984).

105

Mentor: Josip Tamba£a

C++ implementacija metode kona£nih elemenata za Naghdijevmodel elasti£ne ljuske



Opis: Zadatak je implementirati u C++ metodu kona£nih elemenata (FEM) za problemravnoteºe Naghdijevog modela elasti£ne ljuske. Elemeti koje treba implementirati su po-linomijalni na triangulaciji poligonalne domene na trokute.

Literatura:

1. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.2. A. Valli, A. Quarteroni, Numerical Approximation of Partial Di�erential Equations,volume 23 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, 1997.3. T. Petrina, Implementacija metode kona£nih elemenata za zada¢u linearizirane elas-ti£nosti u 3D, PMF-MO, 2010, diplomski rad.4. J. Tamba£a, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, preprint.

106

Mentor: Zvonimir Tutek

Aproksimacija plohe pomo¢u tenzorskog produkta funkcija



Opis: Problem je aproksimirati plohu pomo¢u funkcija jedne varijable. Cilj rada je razvitiodgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer, 2001

107


Upravljanje linearnim sistemima

Podru£je: primijenjena matematika matematika


Opis: Problem je upravljanje linearnim sistemom obi£nih diferencijalnih jednadºbi. Ciljrada je razviti odgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

S.K. Godunov, Ordinary Di�erential Equations with Constant Coe�cients, AmericanMathematical Society, 1997

108


Modeli turbulentnog toka �uida



Opis: Cilj rada je navesti vaºne modele turbulentnog toka, razviti odgovaraju¢u teorijui ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

W. Layton, Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows,SIAM, 2008

109


Varijacijske nejednakosti



Opis: Problem je razviti teoriju za evolucijske varijacijske nejednakosti i ilustrirati ju naprimjerima

Literatura:

M. Sofonea, A. Matei, Variational Inequalities with Applications, Springer, 2009

110

Mentor: Marko Vrdoljak

Neglatka analiza i optimalno upravljanje



Opis: U radu ¢e se obraditi osnovni pojmovi i rezultati neglatke analize. Pored ko-nveksnog slu£aja, promatrat ¢e se Clarkeova derivacija i subdiferencijal. Na£init ¢e sepoop¢enje principa maksimuma u teoriji optimalnog upravljanja uz pretpostavke sma-njene regularnosti.

Literatura:

F. Clarke, Functional analysis, calculus of variations and optimal control, Springer 2013.

111

Documents

Slobodne teme