Algebra Teme

  • View
    236

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Algebra Teme

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    1/23

    Tema 1

    Exercitiul 1. Scrieti elementele urmatoarelor multimi:

    1. Multimea literelor din cuvantulmatematician.

    2. Multimea numerelor prime mai mici decat 20.

    3. {x R | x2 + x 6 = 0}

    Exercitiul 2. Puneti sub forma{x| x are proprietateaP}fiecare dintre urmatoarelemultimi:

    1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

    2. {. . . , 5, 3, 1, 1, 3, 5, . . .}.

    3. {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}.

    4. Multimea vida.

    Exercitiul 3. Descrieti fiecare din multimile de mai jos prin enumerarea ele-mentelor sale:

    1. {x| x este o vocala}.

    2. {3k+ 1 | k este un ntreg impar cuprins ntre1 si10}.

    3. {x| x este numar prim par}.

    4. {x| x este numele unei luni ce se termina cu litera e }.

    Exercitiul 4. FieA = {a, }. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata?

    1. a A.

    2. {a} A.

    3. a A.

    4. {a} A.

    5. A.

    6. A.

    7. {} A.

    8. {} A.

    Exercitiul 5. Scrieti toate submultimile multimii{x,y,z}si relatiile de incluz-

    iune ntre acestea.Exercitiul 6. Determinati multimea partilor asociata fiecarei dintre urmatoarelemultimi:

    1

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    2/23

    CC-Matematica 2 2

    1. P(P()).

    2. {x,y,z,w}.3. {x, {x, y}}.

    4. {{a}, }.

    5. {a, {}}

    Exercitiul 7. Fiecare dintre multimile de mai jos contine la randul sau altemultimi. Determinati cea mai mica multime posibila A pentru care multimeadata este inclusa n multimea partilorP(A):

    1. {{a}, {b, c}}.

    2. {{a}, {}}.

    3. {{a}, {{a}}}.

    4. {{a}, {{b}}, {a, b}}.

    Exercitiul 8. Definim diferenta a doua mult imi A, B M prinA \ B= {x M |x A six /B}. Aratati ca au loc urmatoarele identitati:

    1. A \ B = A Bc

    2. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

    3. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

    4. A \ (A B) = (A B) \ B= A \ B = Bc \ Ac

    5. A (B\ C) = (A B) \ C= (A B) \ (A C) = (A \ C) B

    6. (A \ B) C= (A C) \ (B\ C)

    7. A B = A \ (A \ B)

    8. A \ (B\ C) = (A \ B) (A C)

    9. A \ A=

    10. \ A=

    11. A \ = A

    pentru oriceA, B,C M.

    Exercitiul 9. Diferenta simetrica a dou a mult imi se defineste prinAB= (A B) \ (A B). Aratati ca urmatoarele identitati sunt adevarate:

    1. AB= (A \ B) (B\ A)

    2. AB= BA

    3. (AB)C= A(BC)

    4. A= A, AA=

    5. A (BC) = (A B)(A C)

    6. A= B AB=

    pentru oriceA, B,C M.

    Exercitiul 10. FieA, B M. Atunci urmatoarele sunt echivalente:

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    3/23

    CC-Matematica 2 3

    1. B= Ac 2. A B= , A B= M

    Exercitiul 11. FieA, B doua multimi. Atunci urmatoarele relatii sunt echiva-lente:

    1. A B

    2. Bc Ac

    3. A B = A

    4. A B= B

    5. A \ B =

    Exercitiul 12. ScrietiA B Cca reuniune a 7 multimi disjuncte doua catedoua.

    Exercitiul 13. Aratati ca:

    1. (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A)2. A B C= (A \ B) (B\ C) (C\ A) (A B C)

    Exercitiul 14. Aratati caP(A B) = P(A) P(B)pentru orice multimiA, B.Ramane valabil si pentru reuniuneP(A B) = P(A) P(B)?

    Exercitiul 15. Pentru fiecare k numar ntreg, fie Ak multimea {x | x Z si|x| > k}, pentru k impar, respectiv {x | x Z si k < x < k} pen-truk par.

    1. Determinati multimileA0, A1, A2, A3, A2, siA3.

    2. Aflati reuniunea multimilorA1, A3, A5, A7, A9.

    3. Aflati reuniunea multimilor(Ak)k impar.

    4. Aflati reuniunea multimilor(Ak)k par.

    5. Aflati reuniunea tuturor multimilor(Ak)kZ.

    6. Determinati intersectia multimilorA1, A3, A5, A7, A9.

    7. Determinati intersectia multimilor(Ak)k impar.

    8. Determinati intersectia multimilor(Ak)k par.

    9. Determinati intersectia tuturor multimilor(Ak)kZ.

    Exercitiul 16. FieA,B doua multimi. Atunci(A B) (B A) = (A B)

    (A B).

    Exercitiul 17. Aratati ca:

    1. A B= B AA = B

    2. A1 A2 siB1 B2 =A1 B1 A2 B2.

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    4/23

    CC-Matematica 2 4

    3. A (B C) = (A B) (A C)

    4. A (B C) = (A B) (A C)

    5. (A B) (C D) = (A C) (B D)

    6. (A B) (C D) (A C) (B D) (Aratati ca incluziunea inversanu are loc n general).

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    5/23

    Tema 2

    Exercitiul 1. Explicati de ce fiecare dintre urmatoarele corespondente nu de-fineste o functief : R R:

    1. f(x) = 1x

    2. f(x) =x

    3. f(x) =x2 + 14. f(x) = cosx+i sinx

    Exercitiul 2. Decideti care dintre urmatoarele expresii defineste o functief : Z R:

    1. f(n) =n2. f(n) = n

    3. f(n) =n

    4. f(n) =|n|

    5. f(n) = 1n24

    6. f(n) = 1n2+4

    Exercitiul 3. Datele stocate n memoria unui calculator suntreprezentate sub forma unor siruri de octeti (bytes). De cati octeti este nevoiepentru 100 de biti de informatie?

    Exercitiul 4. Aratati ca pentru orice numar realx are loc relatia [2x] = [x] +[x+ 1

    2].

    Exercitiul 5. Este adevarat ca[x] + [y] = [x+y] pentru oricex, y R?Exercitiul 6. Fie functiaf :A Rdata def(x) = x

    x21 , undex A R.Determinati domeniul maxim de definitie al functiei f. Cine este imaginea

    functiei?

    Exercitiul 7. Fie M o multime. Pentru fiecare A M, consideramA : M {0, 1} functia caracteristica asociata. Atunci au loc urmatoarelerelatii:

    1. 2

    A = A,AM.2. = 0.

    3. M= 1.

    4. A = B A = B,

    A,BM.5. AB =AB,A,BM.

    6. Daca A B = , atunciAB =A+B.

    1

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    6/23

    CC-Matematica 2 2

    7. AB = A + B AB,

    A,B

    M.

    8. Ac = 1 A,AM.

    9. A\B = A(1 B),

    A,B

    M.

    10. AB = A + B 2AB,A,BM.

    Exercitiul 8. Functia f : Z Z, f(n) = 12

    [1 + (1)n] este functia carac-teristica a unei submultimi a multimii numerelor ntregi. Determinati acestasubmultime.

    Exercitiul 9. Fief :AB o functie. Cand are sensf f?Exercitiul 10. Aratati ca orice functief : A B se poate descompune sub

    formaf=g h, undeg este o functie injectiva sih este o functie surjectiva.Exercitiul 11. Dati un exemplu de functie de laN laN care:

    1. Este injectiva, dar nu este surjectiva.

    2. Este surjectiva, dar nu este injectiva.

    3. Este injectiva si surjectiva (dar diferita de functia identitate1N).

    4. Nu este nici injectiva, nici surjectiva.

    Exercitiul 12. Determinati care dintre urmatoarele functii f : Z Z Zeste surjectiva:

    1. f(m,n) = 2mn.

    2. f(m,n) = m2n2.

    3. f(m,n) = m+n+ 1.

    4. f(m,n) =|m| |n|.5. f(m,n) = m2 4.

    6. f(m,n) = m+n.

    7. f(m,n) = m2 +n2.

    8. f(m,n) = m.

    9. f(m,n) =|n|.10. f(m,n) = m n.

    Exercitiul 13. Determinati care dintre urmatoarele functii f : R R suntbijective:

    1. f(x) =3x+ 4.

    2. f(x) =3x2 + 7.

    3. f(x) = x+1x+2

    .

    4. f(x) = x5 + 1.

    Exercitiul 14. Fief :AB sig: BCdoua functii. Aratati ca:1. Dacaf sig sunt injective, atunci sig f este injectiva.2. Dacag feste injectiva, atuncifeste injectiva. Dati un exemplu n care

    g f este injectiva, darg nu este.

  • 7/25/2019 Algebra Teme

    7/23

    CC-Matematica 2 3

    3. Dacaf sig sunt surjective, atunci sig feste surjectiva.

    4. Daca g f este surjectiva, atunci g este surjectiva. Dati un exemplu ncareg feste surjectiva, darfnu este.

    5. Dacaf sig sunt bijective, atunci sig feste bijectiva.6. Dacag feste bijectiva, atuncifeste injectiva sig este surjectiva. Dati

    un exemplu n careg feste bijectiva, darf sig nu sunt.Exercitiul 15. Aratati ca functiaf : NN N,

    f(m,n) =(m+n)(m+n+ 1)

    2 +m

    este bijectiva.

    Exercitiul 16. Dati un exemplu de functie surjectiva care admite doua inversela dreapta.

    Exercitiul 17. Fief ,g ,h: Z Z, f(n) = 3n, g(n) = 3n+ 1, h(n) = 3n+ 2.Construiti o inversa la stanga comuna pentru cele trei functii.

    Exercitiul 18. Scrieti toate functiile partiale{x,y,z} {1, 2}.Exercitiul 19. Determinati reuniunea si intersectia urmatoarelor multiseturi:

    1. A={x, y}, B ={x,y,z}2. A={x,y,x}, B={y,x,y,x}3. A=

    {a,a,a,b

    }, B=

    {a,a,b,b,c

    }4. A={1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}, B={2, 3, 3, 4, 5}5. A={x,x, {a, a}, {a, a}}, B={a,a,x,x}6. A={a,a, {b, b}}, B={a}

    Exercitiul 20. Determinati un multisetA care verifica simultan urmatoarelerelatii:

    A {2, 2, 3, 4} = {2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}A {2, 2, 3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}

    Exercitiul 21. De citit pag. 338-344 din articolul lui L. Zadeh, Fuzzy sets,

    disponibil la adresahttp://www-bisc.cs.berkeley. edu/ Zadeh-1965. pdf.

    http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdfhttp://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdfhttp://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf
  • 7/25/2019 Algebra Teme

    8/23

    Tema 3

    Exercitiul 1. FieR1 siR2 relatii pe multimea {1, 2, 3, 4} reprezentate prinmatricile

    MR1 =

    1 1 0 11 0 1 00 1 1 11 0 1 1

    siMR2 =

    0 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0

    1. Verificati daca relatiileR1 siR2 sunt reflexive / simetrice / antisime-trice / tranzitive;

    2. Aflati relatiileR1 R2, R1 R2, R1 R2, R2 R1, Rc1

    , Rop1

    .

    Exercitiul 2. FieA o multime siR1, R2 relatii pe multimeaA. Atunci:

    1. DacaR1 siR2 sunt reflexive / simetrice/ tranzitive, ce puteti spune despreR1 R2?

    2. Dar dacaR1 siR2 sunt relatii de echivalent a / relatii de ordine?

    Exercitiul 3. Cate relatii reflexive / simetrice / antisimetrice exista pe omultime cun elemente? (n N)

    Exercitiul 4. FieM o multime. PeP(M) consideram relatia de ordine datade incluziune. Determinati elementele minimale si maximale. Aflatisup{X, Y}siinf{X, Y} nP