seminarski matematika

INTERNACIONALNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU FAKULTET HUMANISTICKIH NAUKA PEDAGOGIJA VASPITAC

Metodika matemarickih pojmova

INTEGRISANJE I RAZVOJ MATEMATICKIH POJMOVA KOD DJECE PREDSKOLSKOG UZRASTA(tema seminarskog rada)

MENTOR: Prof. dr Veda Kilibarda

STUDENT: Amela Sejdinovic

April, 2011. Godine Novi Pazar

UVOD

Ostvarivanje razvojnih ciljeva i zadataka u suvremenom predkolskom kurikulumu s aspekta razvoja matematikih pojmova zahtijeva dobro poznavanje osnovnih karakteristika razvoja predkolskog djeteta, naina na koji ono ui i prirodu svakog pojedinog matematikog pojma kojeg dijete usvaja u ranoj dobi. Metodika razvoja poetnih matematikih pojmova interdisciplinarno je znanstveno podruje koje koristi znanstvene spoznaje iz predkolske pedagogije, razvojne psihologije, matematike, didaktike, predkolske metodike, psihologije uenja, logike i sociologije. Zbog visokog stupnja apstrakcije, kao osnovne odlike matematikih sadraja, kao i dobi i razvijenosti djeteta, metodika razvoja matematikih pojmova posebno je upuena na teorijske i empirijske rezultate istraivanja razvojne psihologije. U teorijskim pristupima i odgojnoj praksi prisutno je nepodijeljeno miljenje da razvoj poetnih matematikih pojmova mora pratiti, odnosno, biti u skladu s razvojnim karakteristikama predkolske djece, odnosno prirodom tog razvoja, a posebno prirodom njihovog spoznajnog razvoja I karakteristikama procesa uenja predkolskog djeteta. Iz ovih saznanja proizlaze osnovne metodike smjernice koje osiguravaju uspjeno ostvarivanje odgojnoobrazovnih zadataka na planu razvoja poetnih matematikih pojmova kod predkolske djece u okviru institucionalnog predkolskog odgoja.


1. Osnovne karakteristike djejeg spoznajnog razvoja u funkciji razvoja matematikih pojmovaMatematiki sadraji su po prirodi apstraktni, ali da bi se izbjegle visoke apstrakcije i da bi razvoj ovih pojmova pratio prirodan put djejeg razvoja, nuno je poznavati osnovne karakteristike tog razvoja.Ovdje emo ukratko iznijeti neke najvanije spoznaje, znaajne s aspekta metodikog pristupa u procesu razvoja matematikih pojmova. Jedan od najpoznatijih svjetskih psihologa-epistemologa svakako je Jean Piaget (1896.-1980.). Bit njegove biologistike teorije sastoji se u tvrdnji da je uenje podreeno razvojnom procesu djeteta, da ono ovisi o razini razvoja te, da je za razvoj presudan utjecaj sazrijevanja. Predoperacijsko razdoblje (u Piagetovoj periodizaciji djejeg kognitivnog razvoja), nalazi se izmeu druge i este godine ivota. Osnovna karakteristika predoperacijskog razdoblja je tzv. situacijska inteligencija. Dijete je u ovom razdoblju pod snanim utjecajem vizualnog doivljaja stvarnosti i njegova misao je zarobljena perceptivnim mehanizmima . Dijete ove dobi shvaa samo one kvantitativne i prostorne odnose koji su perceptivno dati. Meutim, znanje nije samo kopija realnosti, to je neto vie, jer pojedinac mora objekte na odgovarajui nain transformirati na misaonom planu kako bi stekao znanje o njima. S ovog stajalita i sa stajalita egocentrinosti djeje misli Piaget istie da se predkolsko razdoblje odlikuje odsustvom konzervacije, reverzibilnosti, serijacije i inkluzije. Piaget istie znaenje razvoja govora i smatra da se u predoperacijskoj fazi razvoja govora formiraju predodbe, dolazi do interiorizacije materijalnih radnji (ono to je bilo vanjsko, akcijsko i konkretno, postaje postupno unutranje i simboliko, dakle mentalno)1. Iako je Piagetova teorija doivjela, i stalno doivljava, odreene kritike, ne moe se zanemariti injenica da je imala i jo uvijek ima znaajne pedagoke vrijednosti iz kojih se mogu izvesti sljedee pozitivne pedagoke (metodike) implikacije za razvoj poetnih matematikih pojmova2: djeje uenje je stalan proces konstruiranja znanja u kojem nezamjenjivu ulogu igra djeja vlastita aktivnost (u ovom procesu ne moemo govoriti o prenoenju znanja, nego o aktivnom stjecanju znanja kroz praktino-manipulativne i mnoge druge aktivnosti koje e se nalaziti u osnovi aktivne mentalne konstrukcije);April, 2011. Godine Novi Pazar

djetetu se mora dopustiti da ui na svoj nain; uenje predkolskog djeteta mora biti u skladu s razinom djejeg kognitivnog razvoja; pozornost treba usmjeriti na opi kognitivni razvoj, a ne samo na specifi ne vjetine; iako kognitivni razvojni proces ima odreeni slijed, ne smiju se zanemariti individualne osobnosti svakog pojedinog djeteta, jer svako dijete ima svoj ritam razvoja; u procesu uenja treba omoguiti djeci da steknu vie samopouzdanja u vlastiti nain doivljavanja stvari, da se vie oslanjaju na vlastite procese rezoniranja, umjesto da ue putem konformiranja;

logiko-matematike strukture izgrauju se odreenim redoslije dom koji je potrebno poznavati i pridravati ih se u procesu uenja u ranoj dobi; da bi se dosegao odreeni stadij razvoja, moraju se prijei prethodni koraci na kojima poiva sljedei stadij; vano je zahtijevati da djeca kau ono to misle i da verbaliziraju svoje iskustvo; mora se dopustiti djeci da se slobodno izraavaju; uloga odgajatelja ne sastoji se u prenoenju gotovih znanja on je tu da pomogne djetetu da samo izgradi svoje znanje i to tako to e voditi njegovo iskustvo.

Jerome Bruner dijeli Piagetovo miljenje o spoznaji kao aktivnoj konstrukciji subjekta. Meutim, on se protivi biologistikom shvaanju razvoja i smatra da ne postoji unutarnji pokreta uenja bez vanjskog poticaja3. Kao relevantne vanjske pojaivae procesa uenja Bruner vidi u drutvenim subjektima, obitelji i institucijama odgoja i obrazovanja. Po tome je njegova teorija mnogo blia uenju Lava Vygotskog. Objanjavajui tri faze reprezentacije stvarnosti: akcijsku, ikoniku i simboliku, Bruner naglaava da je predodba objekta u mislima neodvojiva od akcije djeteta u odnosu na taj objekt, dok je rijenajvia razina reprezentacije stvarnosti. Autor posebno znaenje pridaje govoru smatrajui da rijei olakavaju razvoj pojmova, jer stabilizacija pojmova zahtijeva svoj verbalni oslonac (Manojlovi-Arsi, prema Prentovi-Sotirovi, 1998.). Najznaajnije pedagoke implikacije njegovog uenja su istovremeno znaajne i s aspekta razvoja matematikih pojmova u ranoj dobi4: rani odgoj i obrazovanje ima pozitivan utjecaj na djeji razvoj i ono mora biti prilagoeno stupnjevima djejeg razvoja, na nain koji je istovremeno zanimljiv i ispravan;April, 2011. Godine Novi Pazar

uenje je svrhovitije, zanimljivije i uspjenije ako proizlazi iz unutranje motivacije subjekta; treba poticati one kognitivne operacije koje su primarne razvojnom stadiju na kojem se dijete nalazi i koje e omoguiti daljnji spoznajni razvoj; djeca su u stanju razumjeti mnoga znanja ako im se priblie na njima razumljiv i prihvatljiv nain; spoznajni razvoj mora se temeljiti na aktivnoj konstrukciji znanja; treba vie pozornosti posvetiti uenju opih naela i ideja i nainu pouavanja; uenje i komunikacija su po svojoj prirodi nerazdvojni; govor ima nezamjenjivu ulogu u djejem kognitivnom razvoju; pouavanje i komunikacija, i zajedniki rad djece i odraslih, imaju golem znaaj u procesu uenja i rjeavanja problema.

Lav Vygotski najpoznatiji je ruski psiholog iji su rad nastavile generacije ruskih psihologa. Tvorac je socijalnokulturne teorije koja istie da su vie mentalne funkcije socijalnog porijekla te da su determinirane imbenicima kao to su: zajednike praktine aktivnosti, socijalna interakcija, znakovni sustavi (prije svega govor, pismo i sl.) i komunikacija pomou njih5. Nie mentalne funkcije su prirodne, a vie mentalne funkcije su rezultat kulturnog razvoja. Vygotski pridaje veliko znaenje kvalitetnoj komunikaciji meu sudionicima odgojno-obrazovnog procesa, smatrajui ga jednim od osnovnih initelja i pokretaa mentalnog razvoja. Poticanje sljedee faze razvoja predstavlja kljuni moment njegove teorije razvoja i njezine primjene u praksi. Ispitivanje pokazuje da zona sljedeeg razvoja ima neposrednije znaenje za dinamiku intelektualnog razvoja i uspjeh negoli aktualna razina njihovog razvoja6. Djeji kognitivni razvoj analizira kroz sljedee razvojne stupnjeve: sinkretiko miljenje; miljenje u kompleksima; faza potencijalnih pojmova (prisutnost misaonih procesa analize i apstrakcije) i stvaranje pravih pojmova. Vygotski istie da je rani razvoj vrlo sloen i da se razni oblici miljenja ne javljaju sukcesivno, nego se mnogi od njih razvijaju paralelno.


Pedagoke implikacije njegove teorije razvoja djeteta bile bi sljedee7: pouavanje predkolskog djeteta mora se razlikovati od pouavanja kolskog djeteta; u procesu djejeg razvoja potrebno je uvaavati razvojne razine misaonih sposobnosti djeteta; uenje treba prethoditi razvoju; u suradnji dijete moe uvijek uiniti vie nego samostalno ne beskrajno vie, nego samo u izvjesnim granicama, strogo odreenim njegovom razvojnou i njegovim intelektualnim mogunostima; dijete u suradnji lake rjeava zadatke najblie svojoj razini razvitka; ono to dijete sada moe uiniti u suradnji, sutra e moi samostalno; treba poticati funkcionalnu upotrebu rijei poticanjem djeteta na verbalizaciju radnji, relacija i dr. djeji razvoj treba se zbivati u okviru igrovne ili praktine aktivnosti djeteta, a uloga odgajatelja je da organizira i aranira sredinu i da utjee tako da potie i odrava aktivnost djeteta/djece.


2. Metodiki put razvoja matematikih pojmovaMoe se zakljuiti da svi spomenuti psiholozi dijele sljedei jedinstven stav o spoznajnom razvoju predkolskog djeteta: djeji razvoj u ranoj dobi odlikuje se odreenim specifi nostima s obzirom na osnovnokolsko dijete i odraslog ovjeka, i svaka etapa djejeg razvoja predstavlja bazu budue razvojne faze.

U tom smislu Piaget govori o fi zikoj spoznaji kao uvjetu za razvoj logikomatematike spoznaje; Bruner govori o akcijskoj fazi kao osnovi za vie stupnjeve prezentacije stvarnosti; Vygotski istie znaenje djejeg praktinog, a posebno socijalnog iskustva u tom procesu; Zaporoac i Eljkonjin istiu da verbalno-pojmovnom miljenju prethodi opaajno-praktino i opaajno-predodbeno miljenje. Upravo na tim spoznajama izgraen je osnovni metodiki put razvoja matematikih pojmova koji se moe izraziti na nain kako je to prikazala Liebeck P. (1995.): I iskustvo fi zikih predmeta; G govorni jezik koji opisuje to iskustvo; S slike koje prikazuju to iskustvo; i Z pismeni znakovi koji generaliziraju to iskustvo. Takav redoslijed metodikog pristupa u skladu je sa shvaanjem uzajamnog odnosa fi zike i logiko-matematike spoznaje te odnosa socijalne i logiko-matematike spoznaje. Dakle, zajedniko za sve autore/psihologe je isticanje da se svi matematiki pojmovi grade na predmetima, objektima i pojavama realnog svijeta dovodei ih u veze i odnose na mentalnom planu, a uz pomo simbolikih struktura kakvi su govor i drugi pisani znakovi. To je vano metodiko uporite u razvoju matematikih pojmova koje govori o tome da je neposredna okolina ne samo neposredna fi zika okolina nego i djeja socijalna sredina nezamjenjiva u procesu razvoja logiko-matematikih struktura.


3. Kako djeca usvajaju matematike pojmoveStjecanje predmatematikih i matematikih znanja zapoinje vrlo rano. Istraivanja pokazuju da ve i kod beba starih oko 6 mjeseci moemo uoiti neka od tih znanja. Tako su primjerice bebe sposobne uoiti jednakost ili razliku meu skupovima koji imaju do etiri elementa8. Do tog zakljuka dolo se ispitujui habituaciju. Habituacija je vrijeme koje bebe provedu gledajui u neki podraaj ukoliko im je podraaj poznat, gledaju ga krae, a ako je nov, dulje zadravaju pozornost na njemu. Bebama su prikazivali slike na kojima su bili skupovi od primjerice tri objekta. Slika se od slike razlikovala po veliini objekata, njihovom obliku, meusobnoj udaljenosti, teksturi i svjetlini, no na svakoj slici su bila tri objekta. Nakon nekog vremena bebe su sve krae obraale pozornost na prikazane slike jer su im one bile ve poznate (dolo je do habituacije). Meutim, ukoliko bi se nakon toga u nizu pojavila slika s dva ili etiri objekta, bebe su dulje gledale u novu sliku pokazujui time da uoavaju razliku izmeu nje i onih prethodno prikazanih. Zanimljivo je da bebe, ukoliko je broj objekata na slici bio vei od etiri, nisu bile vie sposobne za razlikovanje, dakle jednako dugo promatraju nizove od 6 objekata kao i novu sliku od 5 objekata. Tek s tri ili etiri godine ivota djeca mogu razlikovati skup od etiri elementa od skupa od pet ili est elemenata9. Tijekom druge godine ivota djeca naue nazive brojeva, roditelji ili bake i djedovi ih spominju penjui se s malianima uza stube, odbrojavaju korake u etnji, recitiraju brojalice. No u toj dobi djeca ne pridruuju tim imenima uobiajeno znaenje koje im pridruuju odrasli10

. Djeca su u stanju ponavljati ili samostalno govoriti: znae, odnosno

jedan, dva, tri, jedan dva, tri a da im pritom nazivi brojeva nita ne predstavljaju samo dio rituala penjanja uza stube. Tijekom tree godine poinje stvarno uenje brojenja. Iako odraslima

zvui sasvim

jednostavno, brojenje je sloena aktivnost koja ukljuuje itav niz naela 11: naelo pridruivanja jedan prema jedan svakom predmetu moe se pridruiti samo jedan broj; naelo ordinalnosti brojevi su poredani od manjeg prema veem (poloaj u nizu je stalan); naelo kardinalnosti zadnji izgovoreni broj predstavlja ukupan broj predmeta u skupu; naelo prebrojivosti bez obzira koliko je elemenata u skupu, oni se mogu prebrojiti;April, 2011. Godine Novi Pazar

naelo nevanog redoslijeda promjena redoslijeda pridruivanja brojeva ne mijenja nita moe se poeti brojati s bilo koje strane; naelo konzervacije bez obzira na prostorni raspored, broj predmeta je stalan; naelo tranzitivnosti stalnost u usporedbi izmeu tri ili vie predmeta (A> B, B > C, A> C ili Ako je Iva nia od Petra i Petar je nii od Ane, onda je i Iva nia od Ane); naelo reverzibilnosti razumijevanje reverzibilnog odnosa zbrajanja i oduzimanja

(5+2-2=5), dakle ako nekom skupu dodamo i odmah oduzmemo isti broj, stanje se ne mijenja. Naela brojenja ne usvajaju se istodobno; neka prethode drugima pa tako tek etverogodinjaci razumiju princip kardinalnosti, tj. da je broj elemenata u skupu jednak zadnjem broju izreenom tijekom brojenja. Mlaa djeca mogu uspjeno prebrojiti elemente u skupu, ali ne znaju odgovoriti na pitanje: Koliko ovdje ima autia (pikula, bombona)?Otprilike u dobi od etiri do pet godina djeca postaju sposobna odgovoriti i na probleme ordinalnosti: to je vie: pet ili est jabuka? to su spomenuti brojevi pritom meusobno blie na brojevnom pravcu, to im vie vremena treba za odgovor olovaka. Ko ima vie? Takoer, kad je rije o naelima brojenja, mnoga djeca ih nisu u stanju verbalizirati ali ih uspjeno primjenjuju, a ta je vjetina vrlo vana za kasnije matematiko postignue. Prije poetka formalnog kolovanja djeca usvoje mnoga matematika znanja: obino svladaju brojanje do 10, razlikuju glavne i redne brojeve, te naue pisane simbole za jednoznamenkaste brojeve 13i. Predkolska djeca znaju i zbrajati i oduzimati u skupu do 10, a pritom za zbrajanje rabe razliite strategije (Fuson, 1990.): prebrojavanje elemenata (1, 2, 3, 4 7); nastavljanje prebrojavanja na jedan od pribrojnika, pri emu djeca brzo naue da je lake nastaviti od veeg pribrojnika (4 + 3 kao etiri, pet, est, sedam); rastavljanje pribrojnika na jednake brojeve i pribrajanje ostatka (3 + 3 = 6 i jo 1 je 7); dozivanje informacije iz dugoronog pamenja). oduzimanje (Siegler, 1987.):April, 2011. Godine Novi Pazar12

. Dakle, djeca e puno bre odgovoriti na problem: Petar ima 3

olovke, a Igor ima 8 olovaka. Tko ima vie? nego na pitanje Petar ima 6 olovaka, a Igor ima 8

Sline su i djeje strategije za

podizanje u zrak prstia koji predstavljaju umanjenik, sputanje onoliko prstia koliko iznosi umanjitelj i prebrojavanje ostatka; ista operacija bez konkretnih objekata, samo brojei naglas; uporaba prstia za prikazivanje umanjenika i umanjitelja, ali preostale prstie ne prebrojavaju ve samo izriu njihov broj; dozivanje rezultata iz dugoronog pamenja.

4. Posao i uloga vaspitacaIstraivanja djejih matematikih postignua pokazuju da su konstruktivisti bili u pravu govorei da je posao odgajatelja: pomoi djetetu da nadograuje na postojee znanje (djeca imaju neformalna matematika znanja i na njima treba graditi nova); omoguiti djetetu slobodu za njegove vlastite konstrukcije (preesto u matematici doputamo samo odreeni nain rjeavanja problema a ne uvaavamo da djeca mogu imati svoje vlastite strategije koje mogu odlino funkcionirati); osigurati atmosferu u kojoj rasprava pomae izgradnji djetetovih znanja (atmosfera u kojoj se raspravlja o putovima rjeavanja problema moe pridonijeti djetetovim matematikim spoznajama); uenje se moe odigravati i kroz kognitivni konfl ikt pred koji odgajatelji stavljaju dijete kao bi preispitalo svoja znanja (preesto pouavamo tako da izravno serviramo rjeenja umjesto da djeci ponudimo situacije u kojima sami moraju nai odgovore na nejasnoe i dvojbe) pripremiti manipulativne materijale ili ilustracije nune za pouavanjes razumijevanjem (u pouavanju matematike rabimo manipulativne materijale, ali relativno brzo odustajemo od njih iako su djeca sve negdje do 6. razreda u razvojnoj fazi konkretnih operacija);


osigurati socijalnu interakciju dijete e biti potaknuto reakcijama druge djece (matematika se u kolama vrlo esto pouava kao samostalno rjeavanje zadataka, a djeca bi mogla puno nauiti u meusobnoj interakciji i razmjeni strategija);

omoguiti djeci bogatu okolinu, sloene situacije koje e potaknuti rjeavanje problema (raunanje nije izazov ali rjeavanje sloenih problema jest, a to je ujedno i priprema za onakvu matematiku s kojom emo se susretati u stvarnom ivotu).


ZAKLJUCAK

Osnovni metodoloski postupak na koji se metodika nastave matematike oslanja pri formiranju matematickih pojmova jeste: od opaianja ka apstraktnom pojmu. Saznanje o pojmu pocinje posmatranjem primera (neposredno okruzenje, slike, modeli itd.) vezanih za taj pojam. To saznanje se neposredno zasniva na opazanju (culnom saznanju) na osnovu kojeg se stice predstava (mentalna slika) o pojmu. Ovaj proces, koji pocinje posmatranjem i zavrsava se formiranjem mentalne slike (predstave) zove se razvijanje matematickog pojma. Ovako stecena "znanja" su na nivou prepoznavanja. Dalja, misaona obrada culno-iskustvenog saznanja uz pomoc misaonih operacija dovodinas do izgradivanja matematickog pojma. Ako se misaona obrada ne zasniva direktno na neposrednom opazanju, vee je to obrada culnog iskustva koje je steceno ranijim opazanjem (predstave secanja) onda govorimo o formiranju matematickog pojma. Iznete faze u saznajnom procesu o matematickom pojmu predstavljaju matematicko rasudivanje o pojmu. Veza metodike nastave matematike sa drugim naukama, koju smo izneli, osim sto ukazuje na njen interdisciplinami i multidisciplinami karakter, ukazuje i na posebne probleme, kojima se sarno ona bavi. Ovo ide u prilog tvrdnji da je metodika nastave matematike autonomno naucno podrucje.


LITERATURA

1. Bandic I.: Znaca] metodike matematicke nauke, Problemi nastave matematike (Zbomik), Savezni zavod za proucavanje skolskih i prosvetnih pitanja, Beograd, 1961. 2. Barker S.: Filozofija matematike, Nolit, 1973. 3. Vilotijevic M.: Odnos didaktike i metodike, Metodicka praksa 3(1999),5-14, Beograd. 4. Pretraga po internetu 5.

i

(Prentovi-Sotirovi, 1998.). (Prentovi-Sotirovi, 1998., Kamii, 1971.) 3 (Prentovi-Sotirovi, 1998., Bruner, 2000.) 4 (Prentovi-Sotirovi, 1998., Wood , 1995., Stojakovi, 1981.) 5 (Prentovi-Sotirovi, 1998.) 6 (Vygotski, 1983.) 7 (Vygotski, 1983., Prentovi-Sotirovi, 1998.) 8 (Klein i Starkey, 1987.) 9 (Starkey i Cooper, 1980.) 10 (Wynn, 1992.) 11 (Gelman i Meck, 1986., Nunes i Bryant, 1996.) 12 (Donaldson i Balfour, 1968.) 13 (Sinclair i Sinclair, 1986.)2


Documents

seminarski matematika