Click here to load reader

Problem trgovačkog putnika

  • View
    59

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Problem trgovačkog putnika. Prototip problema kombinatorne optimizacije. Opis problema. Trgovački putnik krene iz jednog grada, na svom putu posjeti preostale gradove točno jednom i vrati se u mjesto polaska. Potrebno je naći kružni put minimalne duljine. n broj gradova - PowerPoint PPT Presentation

Text of Problem trgovačkog putnika

  • *Problem trgovakog putnikaPrototip problema kombinatorne optimizacije

  • *Opis problemaTrgovaki putnik krene iz jednog grada, na svom putu posjeti preostale gradove tono jednom i vrati se u mjesto polaska. Potrebno je nai kruni put minimalne duljine. n broj gradova cij direktna udaljenost grada i od grada j

  • *Vanost problemaKarl Menger- problem glasnika (1931)Problem redoslijeda operacija u proizvodnjiProblem tekue vrpce

  • *Jedan kruni put izmeu tri grada

  • *Ako imamo tri grada, imamo dva kruna puta1-2-3-1Grad 1 je prethodnik od grada 2, grad 2 je sljedbenik od grada1Jo se koristi terminologija otac-sin1-3-2-1Grad 1 je prethodnik od grada 3, grad 3 je sljedbenik od grada1

  • *Broj krunih putova n gradova (n-1)! krunih putova 0.5 (n-1)! krunih putova ako je matrica udaljenosti simetrina

  • *Bez gubitka openitosti pretpostavljamo da je grad1mjesto polaska 1 - 2 - 3 - 4 -- n 1 1 - 3 - 2 - 4 -- n 1 1 - n - - 3 2 1

  • *Varijabla odluke

    x ij = 1 ako je grad i direktni prethodnik grada j x ij = 0 ako grad i nije direktni prethodnik grada j (inae)

  • *Ogranienja

    Prva grupa- svaki grad je direktni prethodnik tono jednog grada.Druga grupa- svaki grad je direktni sljedbenik tono jednog grada.Trea grupa- spreavanje zatvaranja krunog puta prije nego to su se obili svi gradovi.

  • Matematiki model

  • Pojanjenje (i1,,ir) je jedna permutacija brojeva (1,,r)P je skup svih permutacija brojeva (1,,r)Velik broj ogranienja u treoj grupi

  • *Primjedbe Razlikuje se od problema asignacije jer ima vie ogranienja (trea grupa ogranienja)Svako mogue rjeenje problema trgovakog putnika je mogue rjeenje problema asignacije, ali ne vrijedi obratna tvrdnja.

  • *Primjer 1Izraunajte duljinu najkraeg krunog puta izmeu etiri grada ako je poznata tablica njihovih direktnih udaljenosti.

  • *Tablica direktnih udaljenosti

    gradovi1234120203221410632010843268

  • *Postupakprva reducirana matricaAko elimo sprijeiti neku vezu meu gradovima stavljamo na odgovarajue polje velik pozitivan broj (M ili ).Traimo najmanji broj u svakom retku (ui), potom od svakog retka oduzmemo njegov minimalni element.

  • *Traimo najmanji broj u svakom stupcu (vj), potom od svakog stupca oduzmemo njegov minimalni element.Izraunamo cij-(ui+vj), za svako (i,j)Dobivamo prvu reduciranu matricu koja ima barem jednu nulu u svakom retku i svakom stupcu.

  • *Polja s nulama su kandidati za uspostavljanje direktne veze meu gradovima.Donja ograda na duljinu svih krunih putova je

  • *Postupak

    Grad 1234ui12020322021410663201088432686vj800048

  • *Prva reducirana matrica

    Grad 1234ui10012202040634208418026vj8000()

  • *Pridruivanje polja s *

    Grad 1234ui100*122020*4063420*84180*26vj8000()

  • *Ako na kandidatima (polja s nulama) za uspostavljanje veze meu gradovima dobijemo kruni put, on je minimalne duljine i ta duljina je 48.

  • *Rjeenje Optimalan kruni put je 1-3-4-2-1.Duljina optimalnog krunog puta je 20+8+6+14=48

  • *Tablica i rjeenje

    gradovi123412020*32214*106320108*4326*8

  • *Primjer 2

  • *Grafiko rjeenje

  • *Rjeenje

  • *Primjer3Na jednom stroju treba obaviti 5 poslova u jednom proizvodnom ciklusu. Nakon obavljenog jednog posla stroj treba podesiti (prilagoditi) za obavljanje drugog posla. Vrijeme podeavanja (set-up time) dano je u tablici. Odredite redoslijed obavljanja ovih 5 poslova tako da ukupno vrijeme podeavanja bude najmanje. Napomena: nakon jednog ciklusa nastavlja se drugi s istim redoslijedom poslova.

  • *Tablica

    P1 P2 P3 P4 P5 P1 01510830P2 2009148P3 1270408P4 111532025P5 352213160

  • *Tablica

  • *Optimalno rjeenje

  • *Optimalno rjeenje

  • *Broj krunih putova je(n-1)!Problem trgovakog putnika rjeavamo metodom grananja i ograivanja (Branch and Bound). Traveling Salesman Problem.

  • *Ideja metode grananja i ograivanjaSkup svih moguih krunih putova podijeli se u dva podskupa koji imaju prazan presjek. Za svaki od njih izrauna se donja ograda na duljinu krunog puta.Podskup s manjom donjom ogradom dijeli se na dva podskupaProces podjele se nastavlja dok se ne nae kruni put ija donja ograda nije vea od donjih ograda ostalih krunih putova.

  • *Dobiveni kruni put je optimalan a njegova duljina najkraa. Skupovi krunih putova prikazani su kao vorovi jednog stabla a proces podjele kao njihovo grananje.Ovo stablo zove se stablo odluivanja.

  • *Ako elimo sprijeiti neku vezu meu gradovima na odgovarajue polje stavljamo velik pozitivan broj (M)Potom raunamo prvu reduciranu matricu -(kao kod problema asignacije)- traimo minimalan broj u svakom retku (ui) te od svakog retka oduzmemo njegov minimalni element. Nakon toga traimo minimalan broj u stupcu (vj) i od svakog stupca oduzmemo njegov minimalni element. Ovim postupkom smo dobili barem jednu nulu u svakom retku i svakom stupcu. Polja s nulama su kandidati za uspostavljanje veza meu gradovima.Donja ograda na duljinu svih krunih putova je u1+ u2++un+v1+v2++vn

  • *Kazne Za svako polje s nulom rauna se kazna za nekoritenje predloene veze meu gradovima.Kazna na polju (i,j)= minimalan broj u retku i bez polja (i,j)+ minimalan broj u stupcu j bez polja (i,j).Prvo pridruivanje gradova je na polju s maksimalnom kaznom.

  • *Razne verzije TSP i je direktni prethodnik od j (xij=1) i je poetni grad, obiu se svi gradovi tono jednom i ne vraa se u grad iPolazi iz bilo kojeg grada, obiu se svi gradovi tono jednom i ne vraa se u mjesto polaska

  • *Primjer Problem trgovakog putnika dan je tablicom.Koliko ovaj problem ima krunih putova?Odredite najkrai kruni put.

    1231472510378

  • *Odgovori Ima dva kruna puta1-2-3-1, duljina je 4+10+7=21.1-3-2-1, duljina je 7+8+5=20.

  • *Jo malo pitanjaOdredite najkrau duljinu puta ako se svaki grad mora posjetiti tono jednom i trgovaki putnik se ne vraa u mjesto polaska.Ako polazi iz grada 1.Ako polazi iz grada 2.Ako polazi iz grada 3.Ako polazi iz bilo kojeg grada.

  • *Odgovori1-2-3, duljina je 14.1-3-2, duljina je 15.Umjesto nabrajanja svih moguih putova, stavljamo ci1=0 i koristimo postupak za problem trgovakog putnika s povratkom u grad 1.Ostali problemi rjeavaju se analogno, osim zadnjeg.

  • *4. Ako polazi iz bilo kojeg gradaUvodimo fiktivni grad 0, direktna udaljenost grada 0 do svakog od preostalih gradova je 0, odnosno c0j=0, (j=1,,n) i svodimo na prethodni problem.Rijeimo problem trgovakog putnika s n+1 gradova.

  • *

  • *

  • *Polazi iz grada 1 i ne vraa se u grad 1

  • *

  • *Uvodi se fiktivni grad 0

  • *Optimalno rjeenje

  • *Rijeite problem tako da je 2 sljedbenik od 1Tablica direktnih udaljenosti

    P1 P2 P3 P4 P5 P1 01510830P2 2009148P3 1270408P4 111532025P5 352213160

  • *Priprema za x12=1, iz 1 ide u 2, izostavljamo prvi redak i drugi stupac.Spreavamo zatvaranje krunog puta prije nego to su se posjetili svi gradovi. Na polje u kojem iz grada 2 se ide u grad 1 stavljamo velik broj (M).

  • *Briemo prvi redak i drugi stupac i polje (2,1) ima veliku duljinu

    P1 P2 P3 P4 P5 P1 01510830P2 100009148P3 1270408P4 111532025P5 352213160

  • *Rijeimo problem s 4 grada

  • *

  • *Moramo preimenovati vorove i dobivamo1-2-5-3-4-1, duljina je 15+72 =8715+8+13+40+11=87

  • *PrimjerKoliko krunih putova ima slijedei problem?

    gradovi123451--2--23-87332--444-1---5127--

  • *Odgovor Jedan je kruni put, 1-3-4-2-5-1, njegova duljina je 2+4+1+3+1=11