PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA

(24.5.2017.)

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

1. Pojam i model problema trgovačkog putnika

• Problem trgovačkog putnika javlja se u situacijama kad je potrebno

odabrati najpovoljniju rutu (rutu s najmanjim troškovima

putovanja) kojom se treba kretati osoba (trgovački putnik) koja

obilazi više gradova krećući se iz jednog grada u drugi, a da pri

tome svaki grad posjeti samo jedanput.

• Kao troškove putovanja obično uzimamo udaljenosti između

gradova izražene u km, mada to mogu biti i cijene voznih karata

javnog prijevoza.

• Pretpostavimo da problem trgovačkog putnika sadrži 1, 2, ... , N

gradova. Neka je cij udaljenost od grada i do grada j, a neka je cii =

M izrazito veliki broj. cii = M osigurava nam da u grad i ne idemo

odmah čim napustimo grad i.

• Neka je 1 ako osoba ide iz grada u grad

0 u ostalim slučajevima ij

i jx

9.5.2017. 2

• Rješenje problema trgovačkog putnika može se naći rješavanjem

sljedećeg modela cjelobrojnog linearnog programiranja

• Funkcija cilja (1) daje ukupnu udaljenost između gradova

uključenih u rutu. Ograničenje (2) osigurava da osoba u svaki grad

stigne samo jedanput, dok ograničenje (3) osigurava da osoba svaki

grad napusti samo jedanput. Ograničenje (4) je ključno u modelu a

ono osigurava sljedeće:

min ij ij

i j

z c x

1

p.o. 1 ( 1,..., )n

ij

i

x j n

1

1 ( 1,..., )n

ij

j

x i n

1 (za ; , 2,3,..., )i j iju u nx n i j i j n

0 ili 1, , 0.ij i jx u u

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

9.5.2017. 3

1. Bilo koji skup xij koji sadrži podrutu bit će nemoguć (narušit će

ograničenje (4)).

2. Bilo koji skup xij koji formira rutu (sa svim gradovima) bit će

moguć (tu će postojati skup od uj) koji zadovoljava (4)).

• Pokažimo na sljedećem primjeru da će bilo koji skup od xij koji

sadrži podrutu narušiti ograničenje (4). Pretpostavimo da osoba

treba obići 5 gradova i da imamo x15 = x21 = x43 = x34 = x52 = 1.

Ova ruta sadrži dvije podrute 1-5-2-1 i 3-4-3. Odaberimo podrutu

koja ne sadrži grad 1 (3-4-3) i napišimo ograničenja u (4) koja

odgovaraju pravcima u toj podruti. Dobivamo u3 – u4 + 5x34 4, i

u4 – u3 +5x43 4. Zbrajanjem tih ograničenja dobivamo 5(x34 +

x43) 8. Jasno je da ovo isključuje mogućnost da je x43 = x34 = 1.

• Sada pokažimo da za bilo koji skup od xij koji ne sadrži podrutu

postoje vrijednosti za uj koje će zadovoljiti ograničenja u (4).

• Pretpostavimo da je grad 1 prvi koji će posjećen. Neka je ti =

pozicija u ruti gdje je grad i posjećen.

9.5.2017. 4

• Onda stavljajući ui = ti bit će zadovoljena sva ograničenja u (4).

• Razmotrimo rutu 1-3-4-5-2-1. Odabirom u1 = 1, u2 = 5, u3 = 2, u4

= 3, u5 = 4 treba pokazati da će s ovim odabirom za ui sva

ograničenja u (4) biti zadovoljena.

• Prvo razmotrimo bilo koje ograničenje koje odgovara pravcu koji

ima xij = 1. Na primjer ograničenje koje odgovara x52 je u5 – u2 +

5x52 4. Pošto grad 2 odmah slijedi grad 5, u5 – u2 = -1. Onda se

ograničenje za x52 u (4) reducira na -1 + 5 4, što je istinito.

• Sada razmotrimo ograničenje koje odgovara onom xij za koji je xij

= 0. Za x32 dobivamo ograničenje u3 – u2 + 5x32 4. Ovo se

reducira na u3 – u2 4. Pošto je u3 5 a u2 > 1, u3 – u2 ne može

nadmašiti 5 – 2.

• Ovo pokazuje da formulacija definirana modelom (1) do (5)

eliminira iz razmatranja sve nizove od N gradova koji počinju u

gradu 1 i uključuju podrutu. Pokazali smo također da ova

formulacija ne eliminira iz razmatranja bilo koji niz od N gradova

koji počinju u gradu 1 a ne uključuju podrutu.

9.5.2017. 5

• Model (1) do (5) može se riješiti primjenom metode grananja i

ograđivanja za rješavanje cjelobrojnih linearnih programa s 0-1

varijablama.

• Ovdje ćemo za rješavanje problema trgovačkog putnika prikazati

algoritam metode grananja i ograđivanja koji uključuje mađarsku

metodu za nalaženje optimalne asignacije.

• Algoritam metode ćemo prikazati na 2 primjera.

• Primjer 1. Poduzeće “X” locirano u Zagrebu ima predstavništva u

sljedeća 4 grada: Varaždin, Osijek, Rijeka i Split. Glavni menadžer

poduzeća jednom mjesečno obilazi sva svoja predstavništva.

Odrediti optimalnu rutu putovanja. Udaljenosti između gradova u

km dane su u sljedećoj tablici:

9.5.2017. 6

2. Metoda grananja i ograđivanja za rješavanje problema trgovačkog

putnika

• Potrebno je odrediti redoslijed posjećivanja gradova tako da

minimiziramo ukupan broj prijeđenih km, a da svaki grad

posjetimo jedanput.

• Definirajmo

• Za i j, cij = razdaljina između gradova i i j, a cii = M, gdje je M

izrazito veliki pozitivni broj.

ZG VŽ OS RI ST

ZG 0 120 350 190 400

VŽ 120 0 450 300 500

OS 350 450 0 550 750

RI 190 300 550 0 400

ST 400 500 750 400 0

Tablica 1

1 ako osoba odlazi iz grada i putuje prema gradu

0 u ostalim slučejevima ij

i jx

9.5.2017. 7

• Model trgovačkog putnika podsjeća nas na problem asignacije.

Razlika je jedino u tome što optimalna asignacija može imati

podrute.

• Algoritam rješavanja problema trgovačkog putnika sastoji se iz

nekoliko koraka.

• Korak 1. Početni problem označiti kao podproblem 1. Primjenom

mađarske metode pronaći najpovoljniju asignaciju za taj

podproblem. Ako se u dobivenom rješenju ne pojavljuju podrute,

dobiveno rješenje je optimalno, a ako se pojavljuju podrute, prijeći

na korak 2.

• Korak 2. Arbitrarno blokirati jednu podrutu i formirati dva

podproblema. Potom mađarskom metodom pronaći optimalnu

asignaciju jednog podproblema. Ako dobivena asignacija nema

podrute, računamo vrijednost funkcije cilja za to rješenje i to

rješenje zapisujemo kao potencijalno optimalno rješenje problema

trgovačkog putnika. Zatim računamo optimalnu asignaciju za drugi

podproblem. 9.5.2017. 8

• Ovdje također provjeravamo ima li dobivena optimalna asignacija

podrute i ako nema izračunatu vrijednost funkcije cilja

uspoređujemo s potencijalnim optimalnim rješenjem. Asignacija s

manjom vrijednošću je optimalno rješenje problema trgovačkog

putnika. Međutim, ako optimalna asignacija ima podrute, tada je

potrebno formirati dva nova podproblema s jednom arbitrarno

blokiranom rutom. Postupak se nastavlja sve dok se ne dobiju

optimalne asignacije za sve podprobleme koji nemaju podrute.

Optimalno rješenje je ona optimalna asignacija koja nema podrute,

a daje najmanju vrijednost funkcije cilja.

• Optimalna asignacija našeg problema prikazana je u tablici 2.

ZG VŽ OS RI ST

ZG M 0 0 70 70

VŽ 0 M 0 80 70

OS 0 0 M 100 90

RI 100 110 130 M 0

ST 100 100 120 0 M

Tablica 2

9.5.2017. 9

• Optimalna asignacija podproblema 1 ima dvije podrute :

1-2-3-1 i 4-5-4. z = 1720 km.

• Sada ćemo arbitrarno odabrati i blokirati jednu podrutu. Neka je to

podruta 4-5-4. Formirajmo dva podproblema.

• Podproblem 2 = podproblem 1 + (x45 = 0 i c54 = M)

• Podproblem 3 = podproblem 1 + (x54 = 0 i c45 = M).

• Optimalna asignacija za podproblem 2 izgleda ovako:

ZG VŽ OS RI ST

ZG M 0 0 0 70

VŽ 0 M 0 10 70

OS 0 0 M 30 90

RI 100 110 80 M 0

ST 0 0 20 M M

Tablica 3

9.5.2017. 10

• Dobiveno je rješenje 1-4-5-2-3-1. Ovo rješenje nema podrute.

Vrijednost funkcije cilja za ovo rješenje iznosi z = 1890 km. Ovo

rješenje zapisujemo kao potencijalno optimalno rješenje našeg

problema trgovačkog putnika.

• Rješavanje nastavljamo pronalaženjem optimalne asignacije za

podproblem 3. Optimalna asignacija za podproblem 3 prikazana je

u sljedećoj tablici.

ZG VŽ OS RI ST

ZG M 0 0 70 0

VŽ 0 M 0 80 0

OS 0 0 M 100 20

RI 0 10 30 M M

ST 100 100 120 0 M

Tablica 4

9.5.2017. 11

• Dakle, rješenje podproblema 3 je 1-3-2-5-4-1, koje nema podrute s

vrijednošću funkcije cilja z = 1890 km. Ako usporedimo ovo

rješenje s potencijalno optimalnim rješenjem dobivenim

rješavanjem podproblema 2, vidimo da oba rješenja imaju istu

vrijednost funkcije cilja. Oba rješenja su optimalna. Drugo rješenje

je identično prvom kad se ruta čita s desna na lijevo. Ovo se uvijek

dešava kad je početna matrica simetrična

• Grafički prikaz algoritma rješavanja problema dan je kako slijedi:

Podproblem 1

z = 1720 km

x12 = x23 = x31 = x45 =

x54 = 1

Podproblem 3

z = 1890

x13 = x25 = x32 = x41 = x54

= 1

Podproblem 2

z = 1890

x14 = x23 = x31 = x45 = x52

= 1

c54 = M c45 = M

9.5.2017. 12

• Primjer 2. Odrediti optimalnu rutu za problem trgovačkog putnika

prikazan u sljedećoj tablici. Udaljenosti su izražene u km.

• Iz tablice 5 formiramo podproblem 1 koji na glavnoj dijagonali

umjesto nula ima broj M, dok se ostali elementi ne mijenjaju.

• Optimalna asignacija dobivena rješavanjem podproblema 1 izgleda

kako slijedi:

Tablica 5

1 2 3 4 5

1 0 62 108 82 30

2 62 0 145 100 40

3 108 145 0 56 152

4 82 100 56 0 98

5 30 40 152 98 0

9.5.2017. 13

• Optimalna asignacija ima dvije podrute: 1-2-5-1 i 3-4-3. Vrijednosti

varijabli su: x12 = x25 = x34 = x43 = x51 = 1. Vrijednost funkcije cilja z

= 290 km.

• Blokirat ćemo podrutu 3-4-3. Formiramo dva podproblema:

• Podproblem 2 = podpeoblem 1 + (x43 = 0 i c34 = M)

• Podproblem 3 = podproblem 1 + (x34 = 0 i c43 = M).

Tablica 6

1 2 3 4 5

1 M 0 56 30 0

2 0 M 83 38 0

3 52 79 M 0 118

4 26 34 0 M 64

5 0 0 122 68 M

9.5.2017. 14

• Optimalna asignacija za podproblem 2 izgleda kako slijedi:

• Vrijednost varijabli su: x14 = 1, x25 = 1, x31 = 1, x43 = 1, x52 = 1, a

vrijednost funkcije cilja je: z = 326 km.

• Ovdje imamo dvije podrute:

1-4-3-1 i 2-5-2.

• Rješavanje nastavljamo blokiranjem podrute 2-5-2. Formiramo dva

nova podproblema:

Tablica 7

1 2 3 4 5

1 M 22 78 0 0

2 22 M 105 8 0

3 0 27 M M 44

4 26 34 0 M 42

5 0 0 122 16 M

9.5.2017. 15

• Podproblem 4 = podproblem 2 + (x52 = 0 i c25 = M)

• Podproblem 5 = podproblem 2 + (x25 = 0 i c52 = M).

• Optimalna asignacija za podproblem 4 izgleda ovako:

• Vrijednosti varijabli su: x15 = 1, x24 = 1, x31 = 1, x43 = 1, x52 = 1.

Vrijednost funkcije cilja je: z = 334. Navedena asignacija nema

podrute pa je možemo sačuvati kao potencijalno optimalno rješenje

našeg problema trgovačkog putnika.

• Rješavanje nastavljamo nalaženjem optimalne asignacije za

podproblem 5.

Tablica 8

1 2 3 4 5

1 M 22 78 14 0

2 0 M 83 0 M

3 0 27 M M 44

4 26 34 0 M 42

5 0 0 122 30 M

9.5.2017. 16

• Optimalna asignacija za podproblem 5 izgleda ovako:

• Vrijednosti varijabli su: x14 = 1, x25 = 1, x32 = 1, x43 = 1, x51 = 1.

Vrijednost funkcije cilja je: z = 353. Navedena asignacija nema

podrute, a odbacujemo je pošto ima veću vrijednost funkcije cilja

od potencijalnog optimalnog rješenja našeg problema trgovačkog

putnika.

• Rješavanje nastavljamo nalaženjem optimalne asignacije za

podproblem 3.

Tablica 9

1 2 3 4 5

1 M 0 78 0 0

2 27 M 105 8 0

3 0 0 M M 39

4 27 12 0 M 42

5 0 M 117 11 M

9.5.2017. 17

• Optimalna asignacija za podproblem 3 izgleda ovako:

• Vrijednosti varijabli su: x13 = 1, x25 = 1, x34 = 1, x41 = 1, x52 = 1.

Vrijednost funkcije cilja je: z = 326. Navedena asignacija ima dvije

podrute:

1-3-4-1 i 2-5-2.

• Blokiramo podrutu 2-5-2 i formiramo nova dva podproblema:

• Podproblem 6 = podproblem 3 + (x52 = 0 i c25 = M)

• Podproblem 7 = podproblem 3 + (x25 = 0 i c52 = M).

Tablica 10

1 2 3 4 5

1 M 22 0 52 0

2 22 M 27 60 0

3 52 79 M 0 96

4 0 8 M M 16

5 0 0 44 68 M

9.5.2017. 18

• Optimalna asignacija za podproblem 6 izgleda ovako:

• Vrijednosti varijabli su: x15 = 1, x23 = 1, x34 = 1, x41 = 1, x52 = 1.

Vrijednost funkcije cilja je: z = 353. Navedena asignacija nema

podrute, a odbacujemo je pošto ima veću vrijednost funkcije cilja

od vrijednosti funkcije cilja potencijalnog optimalnog rješenja

našeg problema trgovačkog putnika.

• Rješavanje nastavljamo nalaženjem optimalne asignacije

podproblema 7.

Tablica 11

1 2 3 4 5

1 M 22 0 52 0

2 0 M 0 33 M

3 57 79 M 0 96

4 0 3 M M 11

5 5 0 44 68 M

9.5.2017. 19

• Optimalna asignacija za podproblem 7 izgleda ovako:

• Vrijednosti varijabli su: x13 = 1, x25 = 1, x34 = 1, x42 = 1, x51 = 1.

Vrijednost funkcije cilja je: z = 334. Navedena asignacija nema

podrute, a ima istu vrijednost funkcije cilja kao i potencijalno

optimalno rješenje našeg problema trgovačkog putnika. U stvari

pošto je početna matrica simetrična, dobili smo dva optimalna

rješenja, koja se razlikuju jedino po tome kako čitamo redoslijed

putovanja (s lijeva na desno ili s desna na lijevo).

Tablica 12

1 2 3 4 5

1 M 14 0 52 0

2 22 M 27 60 0

3 52 71 M 0 96

4 0 0 M M 16

5 0 M 44 68 M

9.5.2017. 20

Grafički prikaz algoritma rješavanja dan je kako slijedi:

Podproblem 1

x12 = x25 = x34 =

x43 = x51 = 1, z =

290, podrute

Podproblem 2

x14 = x25 = x31 =

x43 = x52 = 1, z =

326, podrute

Podproblem 3

x13 = x25 = x34 =

x41 = x52 = 1, z =

290, podrute

Podproblem 4

x15 = x24 = x31 =

x43 = x52 = 1, z =

334, pot. opt. rj.

Podproblem 5

x14 = x25 = x32 =

x43 = x51 = 1, z =

353, odbač. rj.

Podproblem 6

x15 = x23 = x34 =

x41 = x52 = 1, z =

353, odbač. rj.

Podproblem 7

x13 = x25 = x34 =

x42 = x51 = 1, z =

334, optim. rj.

x43 = 0 x34 = 0

x52 = 0 x25 = 0 x52 = 0 x25 = 0

9.5.2017. 21

3. Heuristika za rješavanje problema trgovačkog putnika

• Kad je potrebno pronaći najpovoljniju rutu za problem koji sadrži

veliki broj gradova, upotreba metode grananja i ograđivanja uzima

puno vremena i računalima s najboljim performansama.

• Zbog toga su u rješavanju problema trgovačkog putnika velikih

dimenzija sve popularnije heurističke metode koje se zasnivaju na

principu pokušaj – pogreška. Primjena ovih metoda uvijek ne

dovodi do optimalnog rješenja.

• Međutim, one se primjenjuju zbog toga što daju zadovoljavajuće

rješenje za puno kraće vrijeme.

• Jedna od heurističkih metoda koja se često koristi u rješavanju

problema trgovačkog putnika je najbliža susjedna heuristika

(NNH).

• Ova heuristika radi na taj način da se najprije izabere grad iz kojeg

se kreće na put. Potom se kreće prema gradu koji mu je najbliži.9.5.2017. 22

• Zatim se iz tog grada ide prema najbližem gradu vodeći računa da se

ne vratimo u grad iz kojeg smo krenuli. Postupak se nastavlja sve

dok trgovački putnik ne obiđe sve gradove.

• Postupak rješavanja našeg primjera 2 izgleda ovako: trgovački

putnik kreće iz grada 1. Najbliži mu je grad 5 pa imamo rutu 1-5.

Gradu 5 je najbliži grad 2 pa je ruta 1-5-2. Gradu 2 je najbliži grad 4

pa imamo 1-5-2-4. Gradu 4 najbliži je (jedini ostao) grad 3 pa

imamo 1-5-2-4-3. Ruta se završava kad trgovački putnik iz grada 3

dođe u grad 1. Dobili smo rutu 1-5-2-4-3-1 koja ima z = 334, koja je

identična optimalnoj ruti dobivenoj metodom grananja i ograđivanja.

• Međutim, rješenje primjenom heuristike NNH ovisi o tome iz kojeg

grada kreće trgovački putnik. Tako, ako u našem primjeru 2

trgovački putnik krene iz grada 3, ova metoda daje rutu 3-4-1-5-2-3

sa z = 353, a to nije optimalno rješenje.

• Rješenje ovog problema nalazi se tako da se izračunaju heuristike u

kojima se svaki grad uzme kao početni, a potom se izabere ruta koja

ima najmanje troškove. 9.5.2017. 23