UAIJERZI1E1 U PRIS1IAI EKOAOMSKI FAKUL1E1 KOSOJSKA MI1ROJICA SEMINARSKI RAD PREDME1: OPERACIONA ISTRAZIVAN1A 1EMA: LINEARNO PROGRAMIRAN1E - STANDARDNI PROBLEM MAKSIMUMA Mentor: Student: Prof. dr Bozinovic Milan 1evdovic Danijela 69/09 Kosovska Mitrovica, 2010. 2 SADRZA1: 1. UVOD....................................................................................................................3 2. LINEARNO PROGRAMIRANJE........................................................................4 2.1. Osnovne karakteristike linearnog programiranja .......................................... 4 2.2. Matematicke osnove linearnog prigramiranja..................................................5 2.3. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja..................................8 3. STANDARDNI PROBLEM MAKSIMUMA.......................................................9 4. ODREDIVANJE OPTIMALNOG RESENJA ZADATKA LINEARNOG PROGRAMIRANJA............................................................................................11 4.1.GraIicki metod.................................................................................................11 4.2. Simpleks metod..............................................................................................14 5. ZAKLJUCAK.......................................................................................................25 LITERATURA......................................................................................................26 3 1.UVOD Poredklasicnihproblemaoptimizacijedocijihseresenjadolaziklasicnim proceduramadiIerencijalnogracuna,metodomLagrangeidrugim,usledilisusiri,novi problemioptimizacijekojisudobiliime,problemiprogramiranja'.Meduovim problemimanajpresuresavaniproblemilinearnogprogramiranja.Resavanjuovih problemadoprinelesuteorijskepostavkekojejeJ.B.Dantzigdaoprenestoviseod trideset godina u okviru svoje dosta popularne Simplex metode. Ovladati resenjimalinearnog programiranja znaciloje ogromannapredak unauci. U isto vreme to je otkrilo ogromno polje neresenih problema programiranja. Ti problemi svrstanisuuklasuproblema,nelinearnog'programiranja.Nastalisubrojniradovikoji su partikularno resavali pojedine probleme, ali generalna metoda nije postojala.Kasnije nastaje nova etapa u resavanju ovih problema zahvaljujuci radovima M. H. W. Kunha i A. W. Tuckera-a. Kasnije su mnogi istrazivaci usavrsavali ove metode cime su poboljsali njihovu eIikasnost. Pojavaelektronskihracunarainjihovasvevecaprimenadajesiremogucnosti resavanjaproblemaprogramiranja.Takojedanopstiproblemprogramiranjamozese predstavitikao:nacix1, x2,....,xp, takoda:f(x1x2...,xp)postizesvojoptimum (maksimumiliminumum),uzprisustvomnejednacinailijednacinakojeogranicavaju nalazenje optimuma i koje su u obliku gi(x1, x2,...., xp) _ 01 ili 0 ili _ 0 Funkciju : nazivacemo Iunkcijom cilja.U svom najopstijem obliku Iunkcije : i g su neprekidne i imaju parcijalne izvodenajmanje do drugog reda.OpstostovogoblikasuzavauprvomreduoblikIunkcijecilja,atakodei ogranicenja.TakoIunkcijamozebitilinearna,kvadratnailidrugogoblika,ogranicenja linearna ili nelinarana i slicno. Jasnoce radi posluzimo se sledecom tabelom koja objasnjava ove slucajeve: 1ABELA 1: Funkcija cilja Ogranicenja LinearnaKvadratnaDrugo Sa ogranicenjima LinearnimLinearno programiranje Kvadratnoprogramiranje NelinearnimNelinearno programiranje sa ogranicenjima Bez ogranicenjaNelinearno programiranje bez ogranicenja 1 Notacija gi (x1,...,xp) _ 0, moze se takode napisati kaogi(x1,...,xp) _ 0, odnosno gi (xi,...,xp) _ 04 2. LINEARNO PROGRAMIRAN1E 2 .1. OSNOVNE KARAKTERISTIKE LINEARNOG PROGRAMIRAN1A Linearno programiranje pojavilo se uoci Drugog svetskog rata.2 Velikibroj autora pojavulinearnogprogramiranjavezujezaclanakLeonidaKantorovica,Matematicki metodi u organizaciji i planiranju proizvodnje' koji je objavljen 1939.godine.Posle Drgog svetskog rata pocinjeintezivan rad na usavrsavanjumodelalinearnog programiranja.USAD-ujeIormiranaposebnagrupastrucnjakasaciljemdaradina razradiiprimeniovemetodologije,avec1947.Dantzingjerazradiosimpleksmetodu, sto je u velikoj meri uticalo na razvoj modela i njegovu primenu.Uleto1947.uCikagujeodrzanaprvakonIerencijaoprimenilinearnog programiranja.Dijapazonrazmatranihpitanjabiojeveomavelikiiprostiraoseod mogucnostiprimeneovogmetodakodplaniranjaproizvodnje,domogucnostiprimene kod krupnih vojnih operacija.Mnogiekonomskiproblemimoguseresitimetodimalinearnogprogramiranja.To suuglavnomproblemikojisenaaproksimativannacinmoguizrazitilinearnim zavisnostima.Pretpostavkalinearnostideterminiseizrazavanjeproblemamatematickim modelomkojijepredstavljensistemomlinearnihIunkcija.Modelsesastojiodjedne linearneIunkcijecijaoptimizacija(ekstremnavrednost)maksimumiliminimum predstavljateznju,zelju,odnosnociljistrazivaca.NekiautoriovuIunkcijunazivaju Iunkcijom kriterijuma, a drugi Iunkcijom cilja. EkstremnavrednostIunkcijeciljaodredujeseuzavisnostiodogranicavajucih uslovakojisuulinearnomprogramiranjuizrazenisistemomlinearnihnejednacinaili jednacina. SaekonomsketackegledistaIunkcijaciljajeIunkcijakojaiskazujeciljdase postigne: maksimalna eIikasnost investicija maksimalno iskoriscenje kapaciteta maksimalan ukupan dohodak maksimalni eIekti spoljnotrgovinske razmene minimalni troskovi poslovanja minimalni troskovi transporta minimalni troskovi proizvodnje i sl. Kao ogranicavajuci uslovi mogu biti na primer: ograniceni kapaciteti ogranicene sirovine ogranicen kreditni potencijal 2NekiautorinavodedajelinearnoprogramiranjenastalomnogoranijeIdasejavljauradovimaL. WarlasajerjeonIormulisaoogranicenjauIormijednacina.Nekiopetnastanaklinearnogprogramiranja vezuju za clanak madarskog matematicara J. Egervarya, koji je objavljen 1931. 5 ogranicena mogucnost plasmana robe ogranicena radna snaga i sl. Ovimmodelommogucejeresavatiproblemekakonanivoupreduzecatakoina nivou privrednih grana, pai citave privrede. Takoinput-output model, pruzamogucnost da se sagledaju relacije u privredi, a povezivanje sa linearnim programiranjem omogucuje daseoptimizirajumnogerelacije,pocevodmaterijalneproizvodnje,padoraspodele radne snage.Brojproblemakojeobuhvatalinearnoprogramiranjejeveomavelikiisvesevise povecava. Ovom rastu svakako su doprineli, sa jedne strane, nove generacije racunara sa vecimkapacitetimamemorije,asadruge,sveveciprodormatematickogmodeliranjau sveporeekonomijekadaselinearnoprogramiranjekoristiuveomaraznovrsnim situacijamauvecembrojuekonomskihoblastisarazlicitimIunkcijamakaostosu: marketing,Iinansije, distribucija, rukovodenje proizvodnjom. Sirokje dijapazon u kome serukovodilacmenadzermozeoslanjatinalinearnoprogramiranjeiposmatratiu nekoliko Iaza i to: deIinisanje problema prevodenje problema na matematicki oblik resavanje problema (modela) analizadobijenihresenjakaoosnovzadonosenjeodlukazaizboroptimalnih alternativastrategija DeIinisanjeproblemajesvakakojednaodveomavaznihIaza,jerodpreciznog deIinisanjaproblemaiinIormacijakojeunjemuucestvujuumnogomezavisitacnosti preciznost rezultata. UdrugojIaziodredujesematematickaIunkcijakaolinearnaIunkcija,a ogranicavajuciusloviizrazavajusistemomlinearnihnejednacinailijednacina.U teorijskom smislu ova Iaza ce nam predstavljati bazu za sledecu Iazu. Problem linearnog programiranjaresavacemosimpleksmetodom,auizuzetnimslucajevimakadasuu pitanju samo dve promenljivegraIickommetodom. PoslednjojIazianalizi dobijenih resenja obraticemo paznju u konkretnim numerickim primerima.Usvomnajopstijemoblikuciljlinearnogprogramiranjamozesepojavitisa matematicke tacke gledista kao: problem maksmuma problem minimuma problem dualiteta 2.2. MATEMATICKE OSNOVE LINEARNOG PROGRAMIRAN1A Objasnicemo, ukratko, osnovne karakteristike konveksnih skupova, cije poznavanje ce nam biti neophodno za razmatranje modela linearnog programiranja. U3-dimenzionalnomprostoruR,posebanslucajlinearnezavisnostijehiperravan sa jednacinom 6 _ aixi b

Ova hiperravan deli prostor R na poluprostore i to:

_ aixi b i_ aixi ~ b

Smatrajuci prostor R vektorskim, posmatracemo dva vektora ili dve tacke x1 i x2 tog prostora. Makojatackapravelinijekojaprolazikroztackex1ix2 linearnakombinacija tacaka x1 i x2 izrazena u obliku: x x1 (x2x1)ili x x2 (1)x10 _ _ 13 Ako se postuje uslov 0 _ _ 1, onda je linearna kombinacija konveksna linearna kombinacija dveju tacaka.Tako se konveksan skup moze predstaviti poligonommnogouglom u ravni (slika 1) koji pored tacaka x1 i x2 sadrzi sve tacke duzi x1 x2, za razliku od skupa koji nije konveksan (konkavan skup), a koji ne sadrzi tacke duzi x1 x2 (slika 2). Na konveksnom skupu razlikovacemo dva tipa tacaka ekstremne i neekstremne tacke. Ektremna tacka je tacka koja se ne moze izraziti kao konveksna linearna kombinacija para tacaka skupa, odnosno koja ne lezi na stranicama poliedra. Neektremna tacka, analogno ovome je tacka koju mozemo izraziti kao konveksnu linearnu kombinaciju bar dveju drugih tacaka. Sa tacke gledista linearnog programiranja u prostoru R, Iunkciju :(x) _ cixi zvacemo linearnom Iormom. Ekstremna vrednost te linearne Iorme na konveksnom poliedru dostize se u jednom temenuekstremnoj tacki konveksnog skupa. Jasnoce radi, posmatrajmo poliedar ABSDEF u trodimenzionom prostoru (slika 3). EkstremnavrednostpostizeseujednojodtacakaA,B,C,D,E,EiliF.Ili,ako posmatramopojednastavljenslucajnapoligonuABCDEFuravni(slika4),iakojeza Iunkciju cilja : c1x1 c2x2 koeIicijent pravca tgo -c2/c1 (oznacenisprekidanomlinijom),ondaseminimumpostizeutackiA,amaksimumu tacki D. Ekstremne tacke predstavljaju tacke mogucih resenja. 3 Ako je 0, x x1, a ako je 1, x x2 i najzad ako je 0 _ _ 1, tacka x lezi na duzi x1x2. Takode, ako je 0x lezi na pravoj iza tacke x1, a ako je ~ 1, na pravoj pre tacke x2. 7 Slika 1Koveksan skup Slika 2Konkavan skup Slika 3 8 Slika 4 2.3. OSNOVNE PRETPOSTAVKE MODELA LINEARNOG PROGRAMIRAN1A Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja su: 1. Linearnost. Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmedupromenljivihuzadatkulinearnogprogramiranja.Ovapretpostavka zadovoljena je tako sto su Iunkcija cilja i ogranicavajuci uslovi u modeli linearnog programiranja izrazeni linearnim Iunkcijama. Kao posledica linearnosti u modelu linearnogprogramiranjazadovoljenesutakodedveosnovnepretpostavkeito: proporcionalnostiaditivnost.Proporcionalnostpodrazumevapostojanje proporcionalnogodnosaumodelulinearnogprogramiranjaizmeduinputai outputa. Osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost Iunkcije cilja ili pojedinihogranicenjamozedobitikaozbirvrednostipojedinihaktivnostikoje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja. 2. Izvesnost. Svi parametri modela linearnog programiranja su unapred jednoznacno odredeni,stoznacidasukoeIicijentiIunkcijeciljaisistemaogranicenja deterministicki odredeni i ne menjaju se u toku resavanja modela. 3. Deljivost.Ovapretpostavkapodrazumevadapromenljiveumodelulinearnog programiranja ne moraju biti celi brojevi. . Nenegativnost. Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavkimodelalinearnogprogramiranja.Ovapretpostavkaimasvoj metodoloski i sustinski (ekonomski) znacaj. Navedenepretpostavkepredstavljajuosnovnepretpostavkemodelalinearnog programiranja,ionemorajubitiuvekzadovoljene.Ukoliko,medutim,bilokojaod navedenihpretpostavkinijezadovoljenaondailiseradiospecijalnomoblikumodela linearnogprogramiranja,ilipostavljenimodelnepredstavljamodellinearnog programiranja. 9 3.STANDARDNI PROBLEM MAKSIMUMA Standardniproblemmaksimumapredstavljatakavoblikmodelalinearnog programiranjaukomesepostavljazahtevzaodredivanjemmaksimalnevrednosti unapredpoznatelinearneIunkcije(Iunkcijecilja),poduslovimakojisupredstavljeni sistemomnejednacinasaznakom_.Ovakavoblikmodelalinearnogprogramiranja, ekonomski posmatrano, deIinise se u uslovima postojanja ogranicenih resursa, koje treba na najracionalniji nacin utrositi radi ostvarivanja maksimalnih ekonomskih eIekata. Zadatak standardnog problema maksimuma predstavicemo na sledeci nacin (max) : c1x1 c2x2 .... cpxp a11x1 a12x2 .... a1pxp _ b1 a21x1 a22x2 .... a2pxp _ b2 (3.1) ................................................. am1x1 am2x2 .... ampxp _ bm x1, x2, ...., xp _ 0 Uovakopostavljenomproblemuociglednojedasepostavljazahtevza odredivanjem nenegativnih vrednosti promenljivih x1, x2, ...., xp, za koje su zadovljene sve nejednacineogranicenjaizakojelinearnaIunkcija:ostvarujemaksimalnuvrednost. Osnovni elementi modela su: Iunkcija cilja sistem ogranicenja uslov nenegativnosti unkcifacilfaumodelulinearnogprogramiranjaizrazavaosnovniciljkojise unapreddeIiniseiradikogaseIormuliseiresavaodgovarajucimodellinearnog programiranja.Unasemoblikustandardnogproblemamaksimumakaociljsemoze postavitimaksimizacijaukupnogproIita,maksimizacijadevizniheIekata,maksimalni stepenzaposlenostiisl.Pritome,radiostvarivanjaciljapredstavljenogIunkcijom:u nasemproblemupostojipdelatnosti,kojesupredstavljenepromenljivimax1,x2,....,xp cijisupojedinacnieIektiizrazeniparametrimac1,c2,....,cp. Usledprethodnonavedene pretpostavkeoosobiniaditivnostimodela,Iunkcijaciljapredstavljaukupanzbir ekonomskih eIekata svih p delatnosti. Sistem ogranicenfa izrazava uslove i nacin koriscenja ogranicenih resursa, ciji iznos jeizrazenslobodnimclanovimasistemaogranicenja,tj.parametrimab1,b2,....,bm. Raspoloziviresursisekoristezaostavrivanjenavedenihdelatnosti,nanacinkojije predstavljenparametrima(koeIicijentima)aif (i1,...,m,f1,....,p),pricemu koeIicijenat aif pokazuje iznos koriscenja i-tog

resursa u uslovima jedinicnog ostvarivanja f-te delatnosti.Uslovnenegativnostipredstavljaobavezanelemenatmodelalinearnog programiranjaSvielementimodela(3.1),izuzevpromenljivihx1,x2,....,xp,unapredsu poznati,stoznacidakoeIicijentiuIunkcijicilja(cf),koeIicijentiusistemuogranicenja (aif) i slobodni clanovi sistema (bi) predstavlaju parametre naseg modela. 10 Uciljuodredivanjaresenjaproblema(3.1),sistemnejednacinamoramo transIormisatiusistemjednacina.SistemnejednacinatransIormisacemousistem jednacina tako sto cemolevoj strani svakenejednacine dodatinenegativnuvrednost tzv. dodatnepromenlfive,kojajejednakavrednostirazlikeizmedudesneilevestrane nejednacine.Nakonuvodenjadodatnihpromenljivih,sistemogranicenjaproblema(3.1) mozemo predstaviti u obliku a11x1 a12x2 .... a1pxp xp1 b1 a21x1 a22x2 .... a2pxp xp2 b2 ....................................................................................(3.2) am1x1 am2x2 .... ampxp xpm bm x1, x2, ...., xpm _ 0 Uvedenedodatnepromenljive,osimmetodoloskeulogeupretvaranjusistema nejednacinausistemjednacina,imajuveomaznacajanekonomskiznacajprilikom resavanjazadatakalinearnogprogramiranja.Naime,obziromdanejednacinesistema ogranicenjaproblemamaksimuma(3.1)pokazujunacinkoriscenjaogranicenogiznosa raspolozivihresursa,topozitivnevrednostidodatnihpromenljivihpokazujuiznos neiskoriscenihresursaunekomodresenja.Tako,vrednostidodatnihpromenljivihiz optimalnogresenjapokazujukolikoresursaostajeneiskoriscenousituacijikadasu vrednostirealnihpromenljivihoptimalne,tj.kadaIunkcijaciljaostvarujesvoju maksimalnu vrednost. Uslov nenegativnosti, koji se u osnovonom obliku modela odnosio na realne promenljive, prema tome, mora biti zadovoljen i za dodatne promenljive. Osim usistemogranicenja,dodatnepromenljiveseuvodeiuIunkcijucilja,nakoncegace kompletan ttransIormisani oblik problema (3.1) biti: (max) : c1x1 .... cpxp cp1xp1 .... cpmxpm a11x1 a12x2 .... a1pxp xp1 b1 a21x1 a22x2 .... a2pxp xp2 b2 ....................................................................................(3.3) am1x1 am2x2 .... ampxp xpm bm x1, x2, ...., xpm _ 0 Kaostovidimo,unasemproblemu(3.3)imamoprealnihimdodatnih promenljivih.Pritome,dodatnepromenljiveuIunkcijuciljasuuvedenesanultim vrednostimakoeIicijenata,tj.cp1 cp2 ....cpm 0,stopokazujedasuove promenljiveuIunkcijuciljauvodeiskljucivoizmetodoloskihrazloga.Ukoliko,radi jednostavnijegzapisa,prihvatimodajepmn,problem(3.3)mozemoukracem obliku izraziti na sledeci nacin: (max): _cfxf _aifxf bi(i 1,....,m)(3.4) xf _ 0(f 1,....,n) odnosno u matricnom obliku 11 (max) : cx Ax b (2.5) x _ 0 gde je c vektor vrsta koeIicijenta Iunkcije cilja ntog reda; x vektor kolona promenljivih (realnih i dodatnih) ntog reda; A matrica koeIicijenta sistema ogranicenja reda (m ,n), a bvektorkolonaslobodnihclanovasistemaogranicenjamtogreda.Ovakoizrazen standardniproblemmaksimumapredstavljatzv.kanonickioblikzadatkalinearnog programiranja. .ODREDIVAN1E OPTIMALNOG RESEN1A ZADATKA LINEARNOG PROGRAMIRAN1A .1. GRAFICKI METOD Najjednostavnijinacinodredivanjaresenjauzadatkulinearnogprogramiranja predstavljagraIickimetod.Osimtoga,graIickinacinpredstavljanjauslovasistema ogranicenja i Iumkcije kriterijuma u zadatku linearnog programiranja, pruzaju jasnu sliku o karakteru skupa mogucih resenja, nacinu odredivanja optimalnog resenja zadatka, kao i zavisnostioptimalnogresenjaodpromenepojedinihparametarauzadatku.Medutimi poredizrazitejednostavnostiipreglednosti,mogucnostikoriscenjaovogmetodau resavanjuprakticnihproblemalinearnogprogramiranjasuveomaogranicene.Naime, graIickimetodresavanjazadatkalinearnogprogramiranjamozeseprimenitisamou slucaju kada u zadatku postoje dve realne promenljive.Nacinodredivanjaoptimalnogresenjazadatkalinearnogprogramiranja predstavicemo na jednom primeru standardnog problema maksimuma. PRIMER 4.1 JednaIabrika proizvodi dva proizvoda P1iP2. U procesu proizvodnje proizvodi prolaze kroztripogona,pricemusuutrosakradnihcasovapojediniciproizvodairaspolozivi kapacitet pogona predstavljeni sledecom tabelom PogoniPotrebno vreme po jediniciRaspolozivi Iond casovaP1P2 I1242000 II3150000 III1015000 Po jednoj jedinici proizvoda P1 i P2 ostvaruje se proIit u iznosu od 80, odnosno 60 dinara. Odreditioptimalanprogramproizvodnjezakojiceposmatranagabrikaostvariti maksimalan ukupan proIit. 12 RESENJE: Neophodnoje,napocetku,deIinisatimodellinearnogprogramiranjakojiizrazava uslovepredstavljeneunasemprimeru.UkolikoobimproizvodnjeproizvodaP1iP2 obelezimo sa x1 i x2 tada Iunkciju cilja, koja izrazava zahtev za maksimizacijom ukupnog proIita Iabrike, mozemo predstaviti u obliku (max): 80x1 60x2, gdeizraznadesnojstranipokazujeukupanproIitkojiceseostvaritipoosnovu proizvodnje x1 jedinica proizvoda P1 i x2 jedinica proizvoda P2.Iznos raspolozivih resursau nasem primeru raspolozivog Ionda casova pojedinih pogonakao i nacin njihovog koriscenja predstavicemo sistemom nejednacina x1 2x2 _ 42000 3x1 x2 _ 50000 x1 _ 15000 gde, kao sto vidimo, izrazi na levoj strani nejednacina pokazuju iznos neophodnog utroska radnih casova u pojedinim pogonima za proizvodnju x1 jedinica proizvoda P1 i x2 jedinicaproizvodaP2, doknadesnojstraniimamoraspoloziviIondcasovapojedinih pogona.Osimprethodnih elemenata, neophodan uslovizrazavaizahtevzanenegativnoscu promenljivih,stojeobziromnaznacenjenasihpromenljivihociglednoveomavazan uslov.Natajnacin,modellinearnogprogramiranja,kojicenamposluzitizaodredivanje optimalnog programa proizvodnje posmatranih proizvoda, mozemo predstaviti u obliku: (max): 80x1 60x2 x1 2x2 _ 42000 3x1 x2 _ 50000 x1 _ 15000 x1, x2 _ 0 U cilju graIickog odredivanja resenja, odnosno predstavljanja skupa mogucih resenja, prvo cemo sistem nejednacina izraziti u obliku odgovarajuceg sistema jednacina: x1 2x2 42000 3x1 x2 50000 x1 50000 Nejednacine smo transIormisali u jednacine radi jednostavnijeg prikazivanja skupa mogucihvrednostipromenljivihzakojesupojedinioduslovaogranicenjazadovoljeni. Tako,ukolikoprimenimosegmentnioblikpredstavljanjapravih,nakondeljenja jednacina sa vrednoscu njihovih slobodnih clanova na desnoj strani, imamo: + = 13 + = = Sada,jednostavnomozemopredstavitipravekojereprezentujupojedine nejednacine ogranicenja: Slika 5 Sve tacke koje se nalaze na slici 5 na pojedinim segmentima pravih u okviru prvog kvadrantaiispodnjihzadovoljavajupojedinenejednacinesistemaogranicenjanaseg zadatka.SkuptacakaOABCDpredstavljakonveksanskupmogucihresenjanaseg zadatkasvetackekojesenalazeuokviruovogskupainanjegovimgranicama zadovoljavajuistovremenosvetrinejednacineogranicenja.Obziromnaprethodna razmatranja,optimalnoresenjenasegzadatkanalaziseujednojodekstremnihtacaka skupa mogucih resenja. U cilju odredivanja optimalnog resenja, tj. ekstremne tacke skupa mogucih resenja za koju Iunkcija cilja ostvaruje maksimalnu vrednost, moguce je: a) odreditivrednostIunkcijeciljausvakojodekstremnihtacakaskupaKinataj nacin algebarski utvrditi u kojoj ekstremnoj tacki se nalazi optimalno resenje b) predstaviti pravu koja reprezentuje Iunkciju ciljaoptimalno resenje naci cemo u ekstremnoj tacki najudaljenijoj od koordinantnog pocetka Prihvatajuci drugi postupak (graIicki), prvo smo predstavili pravu koja reprezentuje Iunkciju cilja i prolazi kroz koordinantni prostor. Naime, iz uslova z 0, odnosno 80x1 60x2 0 14 odakle je x2 -

* x1 dobijamo koeIicijent pravca prave koje reprezentuje Iunkciju cilja tgo -

stonamjeposluzilozakonstruisanjepraveIunkcijecilja.Translacijompocetnounete praveIunkcijeciljakojaprolazikrozkoordinatnipocetak,odnosnonanosenjem paralelnih pravih u odnosu na ovu (prave predstavljene isprekidanim linijama na slici 5), odredicemo optimalno resenje naseg zadatka. Ekstremna tacka konveksnog skupa K koja jenajudaljenijaodkoordinatnogpocetka,predstavljatackuzakojuIunkcijacilja ostvaruje maksimalnu vrednost. U nasem primeru to je tacka B u kojoj je x1 11600, x2 15200 i (max): 1840000 neposrednomproveromvrednostiIunkcijeciljazabilokojutackuskupaK,moglibi jednostavnoutvrditidanepostojemogucevrednostipromenljivihzakojeIunkcijacilja ima vecu vrednost u odnosu na njenu vrednost u tacki B. NaosnovuprethodnihrazmatranjavidimodasegraIickimetododredivanja optimalnog resenja zadatka linearnog programiranja sastoji od sledecih aktivnosti: 1. Iormulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja2. graIicko predstavljanje pravih koje reprezentuju nejednacine sistema ogranicenja 3. identiIikacijaskupamogucihresenjazakojasuzadovoljenesvenejednacine sistema ogranicenja i uslov nenegativnosti 4. nanosenje prave koja reprezentuje Iunkciju cilja za nulte vrednosti promenljivih 5. translacijapraveIunkcijeciljaslevaudesno,svedokneucrtamojednutakvu pravu koja sa skupom mogucih resenja ima samo jednu zajednicku tacku 6. utvrdivanje optimalnih vrednosti promenljivih x1 i x2 u vidu koordinata ekstremne tacke skupa mogucih resenja najudaljenije od koordinatnog pocetka 7. odredivanje vrednosti Iunkcije cilja za optimalne vrednosti promenljivih NakrajutrebanapomenutidajepostupakprimenegraIickogmetodaodredivanja optimalnogresenjaistovetansarazmatranimiuslucajuresavanjaproblemaminimuma. Uslucajuproblemaminimuma,inverzanzahtevdeIinisanodgovarajucomIunkcijom cilja,determiniseegzistencijuoptimalnogresenjau tackiskupamogucihresenjakojaje najbliza koordinatnom pocetku. .2. SIMPLEKS METOD Za razliku od graIickog metoda, koji se moze koristiti samo u resavanju problema u kojima postoje dve realne promenljive, simpleks metod predstavlja opsti algoritam koji se koristizaresavanjesvihoblikazadatkalinearnogprogramiranja.Simpleksmetod predstavljaalgoritamukomeseunizuIazadolazidooptimalnogresenjazadatka 15 linearnogprogramiranja.Pritome,usvakojodIazautvrdujusevrednostipromenljivih kojeodgovarajuekstremnimtackamaskupamogucihresenjaiispitujenjihova optimalnost. Simpleks metod obezbeduje najkraci put do optimalnog resenja, sto znaci da seupostupkuresavanjazadatkalinearnogprogramiranjaneutvrdujuresenjakoja odgovaraju svim ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih resenja.Dabiobjasnilisustinusimpleksmetodainacinizracunavanjaoptimalnogresenja zadatka linearnog programiranja, izrazicemo model u matricnom obliku:Funkcija cilja : (c1, c2,....., cpm) .p + _ Sistem ogranicenja

IIIpIIIp.. .II.Ip._ .p +p_ II.I_ x1, x2,...., xpm _ 0 gde pojedine kolonematrice koeIicijenata sistema ogranicenja predstavljaju tzv.vektore aktivnosti, koje mozemo predstaviti u obliku A1 II.I_, A2 II.I_, ..., Ap IpIp.Ip_, ...., Apm ._(4.1) odnosno Aj II.I_,kao i b II.I_ x .p + _ Ukoliko,poredtoga,koeIicijentIunkcijeciljaizrazimouoblikuvektorac(c1, c2,....., cpm), problem (4.1) mozemo izraziti u kanonicnom obliku, tj. (max): cx Ax b x _ 0 16 odnosno u skladu sa prethodnim matricnim oznacavanjem (max): _cfxf _Afxf b(4.2) xf _ 0 (f 1,..., pm) stocenamposluzitizarazmatranjekarakterasimpleksmetoda,odnosnoizvodenje simplekskriterijumakojisekoristizapromenustrukturevektorskebaze,odnosno ispitivanje optimalnosti odredenog resenja.Postupakodredivanjaoptimalnogresenjaproblema(4.2)zapocinjemo odredivanjemtzv.pocetnogbazicnogresenja.Pocetnobazicnoresenjestandardnog problema maksimuma odreduje se tako sto se predpostavlja da su sve realne promenljive jednake nuli, a dodatne promenljive slobodnim clanovima sistema ogranicenja tj. xf 0 :a f 1,..., p (4.3) xpi bi :a i 1,..., m Funkcijaciljazaovakoodredenobazicnoresenjejednakajenuli(:0).Prema tome,slicnokaokodgraIickogmetoda,resavanjezadatkastandardnogproblema maksimumazapocinjemoizpocetkam-dimenzionalnogvektorskogprostora.Navedena pretpostavka,prematome,imazaposledicudavektorskubazunaosnovukojese utvrduje pocetno bazicno resenje obrazujuvektori koeIicijenata uz dodatne promenljive, doksuvektorikoeIicijenatauzrealnepromenljivenebazicni.VektorikoeIicijenatauz dodatnepromenljiveobrazujujedinicnumatricucijainverznamatricajetakode jedinicnastopredstavljaosnovnirazlogzaotpocinjanjesimpleksprocedureresavanja zadatka na ovakav nacin.Nakon odredivanja pocetnog bazicnog resenja, na osnovu pretpostavke da su realne promenljivejednakenuli,odnosnopocetnubazuobrazujuvektorikojiodgovaraju dodatnimpromenljivim,postavljasepitanjenakojinacinsemozeodreditiresenjeza koje Iunkcija cilja ima vecu vrednost. Promena resenja i zadatku linearnog programiranja vrsi se, ukoliko za to postoji mogucnost, izmenom elemenata vektorske baze. Zbog toga, prilikomodredivanjasvakogod resenjausvakojodIaza,postavljasepitanje:dalisei kakvom primenomvektorske bazemoze odreditiresenje za kojeIunkcija ciljaimavecu (za problem maksimuma) vrednost u odnosu na odgovarajucu vrednost iz vec odredenog resenja?Dabismoodgovorilinaovopitanje,izvescemoDantzigove,odnosnosimpleks kriterijume za promenu vektorske baze.Obzirom na pretpostavku o nacinu odredivanja pocetnog bazicnog resenja, odnosno na osnovu relacije (4.3) mozemo pisati

I, p + I, p + .I, p +_xp1 ._xp1 b1,..., I, p +I, p +.I, p + _xpm ._xpm bm 17 na osnovu cega za vektore Ai (i 1,..., pm) koji obrazuju vektorsku bazu mozemo pisati _Aixi b(4.4) a za vektore Af (f 1,..., p), koji su nebazicni _Afxf 0(4.5) gdesuxi_0(ip1,....,pm),xf0(f1,....,p),dokjeIunkcijaciljazapocetno bazicno resenje, obzirom na vrednosti koeIicijenata uz dodatne promenljive, jednaka nuli, tj. : _ cixi(4.6) Naosnovuosobinaskupamogucihresenjaiprethodnihrazmatranja,svakiod nebazicnih vektora mozemo izraziti u obliku linearne kombinacije vektora baze, odnosno Af _ xifAi (4.7) gdesuxifkoeIicijentilinearnekombinacijeupocetnomresenjuxifaifdokseu narednim resenjima ove vrednosti izracunavaju nakon izmene vektorske baze.Osim toga, za svaki nebazicni vektor Af mozemo odrediti vrednost Iunkcije :f u obliku :f _ xifci (4.8) koja ce nam posluziti za ispitivanje optimalnosti resenja, odnosno za izvodenje simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze.Ispitajmo sada kako ce uvodenje nekog od prethodno nebazicnih vektora uticati na izmenuresenja,odnosnonapovecanjevrednostiIunkcijecilja.Pritome,trebautvrditi uvodenjekojaodprethodnonebazicnihvektoraceomogucitinajvecepovecanje vrednosti Iunkcije cilja. U tom cilju, predpostavimo da nebazicni vektor Af ulazi u bazu. KriterijumzaulazakvektoraAjubazuodredicemonaosnovu(4.6)i(4.8). Naime,ukolikoizraz(4.8)pomnozimokoeIicijentomp~0ioduzmemogaodizraza (4.6), dobicemo :p:f _ cixip * _ xifci (4.9)

Ukoliko levoj i desnoj strani relacije (4.9) dodamo vrednost pcf, dobijamo :p(:fcf) _ (xipxif)ci pcf (4.10) Ukoliko izrazu na desnoj strani relacije (4.10) obelezimo sa :, odnosno ukoliko : _ (xipxif)ci pcf 18 tada, nakon zamene u relaciji (4.10), dobijamo : :p(:fcf) odnosno: : p(cf:f) : pA: gdeA:predstavljapovecanjevrednostiIuncijeciljadokojejedosloukljucivanjemu bazu vektora Af, odnosno povecanje vrednosti Iunkcije cilja do koje dolazi ukljucivanjem jednejedinicepromenljivexfubazicnoresenje.Ukolikoje,prematome,vrednostA: (cf:f) veca, povecanje vrednosti Iunkcije cilja ce biti vece, uz pretpostavku da je A: ~ 0.Naosnovutoga,kriterijumzaukljucivanjejednogodprethodnonebazicnih vektoraubazusastojiseutomedatrebaodabrationajvektor(-ti)kodkogaje zadovoljen uslov .

- z max(. - z

> (4.11) Izraz (4.11) predstavljakriterijum optimalnosti, odnosno I simplekskriterijum zaizmenuvektorskebaze.Ukolikosuzanekoodresenjaoverazlikezasve nebazicnevektorenegativne,tj.(cf :f)0takvoresenjepredstavljaoptimalno resenje problema maksimuma.Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora problema (4.1) iznosi m, koliko iznosi i broj vektora baze, zbog cega jedan od prethodno bazicnih vektora mora napustiti bazu. Odredimo,zato,sadakriterijumzaizlazakvektoraAiizbaze.Utomciljulevojstrani relacije (4.4) dodajemo i oduzimamo vrednost oAf, pa imamo _ AixioAf oAf b(4.12) odnosno, nakon uvrstavanja izraza (4.7), _ Aixio _ xifAi oAf b(4.13) odakle je _ (xioxif) Ai oAf b(4.14) Obziromdajeb_0,resenjeizrazenorelacijom(4.14)cebitimoguceukolikoje o ~ 0, kao i (xioxif) _ 0 odakle imamo da je o _

, za xif > 0 ObziromnanacindeIinisanjakoeIicijentao,Iunkcijaciljacesevisepovecavati ukolikovrednostovogkoeIicijentabudestoveca.Medutim,kakousvakomodresenja morabitizadovoljenuslovnenegativnosti,gornjagranicakoeIicijentaojeodredena 19 minimalnom pozitivnom vrednoscu kolicnika xi/xif, na osnovu cega mozemo konstatovati da iz baze treba iskljuciti onaj k-ti vektor Ak za koga bude zadovoljen uslov YY min YXYX za xi > (4.15) Izraz(4.15)predstavljakriterijumzaizlazakvektoraizbaze,odnosnoII Dantzigov simpleks kriterijum. Kao sto vidimo, nakon odredivanja nebazicnog vektora At,kojiseuciljupoboljsanjaprogramatrebaukljucitiubazu,vektorkojiizlaziizbaze odredujesenakonodredivanjakolicnikavrednostiprethodnobazicnihpromenljivihi koeIicijenata na osnovu kojih je vektor At bio izrazen kao linearna kombinacija bazicnih promenljivihuprethodnomresenju.Izbaze,prematome,izlazionajvektorAkzakoji ovako odreden kolicnik bude minimalan pozitivan broj. Nakonsmenevektoraubazi,naosnovuprimenenavedenihsimplekskriterijuma, izracunavasenovopoboljsanoresenje.Vrednostipromenljivih,kojeodgovaraju vektorima nove baze, mogu se izracunati na dva nacina, i to: a) koriscenjemvrednostiizracunatevelicineonaosnovudrugogsimpleks kriterijuma, pri cemu promenljive odredujemo u obliku: novouvedena promenljiva, tj. promenljiva koja odgovara vektoru koji je ukljucen u bazu (Al) x

ostale promenljive koje su i u prethodnoj Iazi bile bazicne xi' xi - xi tj.vrednostiovihpromenljivihizracunavajusetakostoseodnjihovihvrednostiiz prethodneIazeoduzmeproizvodvrednostioikoeIicijenataprekokojihjenovouvedeni vektor (l-ti) bio u prethodnoj Iazi izrazen kao linearna kombinacija vektora baze. b) nakonodredivanjavektoranovebaze,vrednostibazicnihpromenljivihmozemo odreditiizproizvodainverznematriceodmatricebazeivektoraslobodnih clanova sistema ogranicenja, tj. xB o-1b gdexB predstavljavektor kolonubazicnihpromenljivih,o-1 inverznumatricuodmatrice baze, a b vektor kolonu slobodnih clanova sistema ogranicenja. Nakon odredivanjavrednosti promenljivihzanovo poboljsano resenje odreduje se vrednostIunkcijecilja,nanacinpredstavljenrelacijom(4.6),kaoiIunkcije:fza nebazicnevektorenanacinpredstavljenrelacijom(4.8),kojesunamneophodneza ispitivanjeoptimalnostiresenjakoriscenjemsimplekskriterijumazaulazakvektorau bazu. Pri tome, koeIicijente linearne kombinacije xif izracunavamo iz izraza x o-1A gde Af predstavlja nebazican vektor. 20 PRIMER 1. JednaIabrika proizvodi dva artiklaAiB. Proces proizvodnje seizvodi u tri pogona P1, P2, P3. Broj radnih sati po jedinici proizvoda kao i raspolozivi kapacitet pogona dati su u tabeli. PogoniA BRaspolozivi Iond casova P11221000 P23136000 P31010000 ProIit4030 Po jedinici proizvoda A ostvaruje se proIit od 40 dinara odnosno 30 dinara za prozvod B. Odrediti optimalan program proizvodnje tako da preduzece ostvaruje maksimalnu dobit. RESENJE. Oznacimo sa x1 obim proizvodnje proizvoda A, a sa x2 obim proizvodnje proizvoda B. Ukupan proIit preduzeca mozemo izraziti Iunkcijomkoja opisuje ukupan proIit koji ce se ostvariti po osnovu proizvodnje x1 jedinica proizvoda A i za x2 jedinica proivoda B: (max) 40x1 30x2 Kolicinepojedinihresursa,uovomslucajuraspolozivogvremenapopojedinim pogonima,kaoistepennjihovogiskoriscenja,predstavicemoodgovarajucimsistemom nejednacina: x1 2x2 _ 21000 3x1 x2 _ 36000 x1 _ 10000 Nakraju,ukonstrukcijimatemaickogproblemamoramouzetiuobziriuslov nenegativnosti,sobziromdaparametrikojiIigurisuupostavljenomproblemu,kao ekonomske velicine, ne mogu biti negativni:

x1, x2 _ 0 Konacno, matematicki model koji resava postavljeni problem glasi: (max) 40x1 30x2 x1 2x2 _ 21000 3x1 x2 _ 36000 x1 _ 10000 x1, x2 _ 0 21 Dabiodredilioptimalnoresenjenasegzadatka,neophodnojeuvestidodatne promenljive u sistem nejednacina (pretvoriti ih u jednacine) i u Iunkciju cilja, nakon cega dobijamo: (max): 40x1 30x2 0x3 0x4 0x5 x1 2x2 x3 21000 3x1 x2 x4 36000 x1 x5 10000x1, x2, x3, x4, x5 _ 0 Nas problem sada mozemo izraziti u matricnom obliku na sledeci nacin: A1 _A2 _A3 _A4 _A5 _A0 _ Pocetna baza je jedinicna matrica, cija inverzna matrica je takode jedinicna, odnosno 1. B1 { ] 2. B1 _ 3. B1-1 _ 4. 0 B1-1 * A0 _ * _ _ _ 5. F0 C0

0 { ] * _ 0 6. 1 B1-1 * A1 _ * _ _

2 B1-1 * A2 _ * _ _ 7. F1c1 {I I I] * 1c1 { ] * _40 0 22 F2c2 {I I I] * 2c2 { ] * _30 - 30 8. U bazu ulazi vektor A1 9. Min (

,

,

) => izlazi A5 1. B2 { ] 2. B2 _ 3. B2-1

* adj B2 - - _ 4. 0 B1-1 * A0 - - _ * _ _ _ 5. F0 C0

0 { ] * _ 400000 6. 2 - - _ * _ _

3 - - _ * _ --_ 7. F2c2 { ] * _30 30 F5c5 { ] * --_0 40 8. U bazu ulazi vektor A2 23 9. Min (

,

,

) => izlazi A3 1. B3 { ] 2. B2 _ 3. B3-1 - - -_

4. 0 -- - _ * _ _ _ 5. F0 { ] * _ 565000 6. 3 -- - _* _ - _

5 - - -_ * _ --_ 7. F3c3 { ] * -_0 15 F5c5 { ] * --_0 25 (max)F 565000 dinara x1 10000 komada proizvoda A x2 5500 komada proizvoda B x3 0 x4 500h neiskoriscenog kapaciteta P2 x5 0 Na osnovu dobijenih rezultata mozemo napraviti analizu resenja i zakljuciti: ukolikopreduzecezelidaostvarimaksimalanukupanproIituiznosuod565000 24 dinara potrebno je da artikal A proizvodi u kolicini od 10000 jedinica, dok B ne bi trebalodaproizvodiuopste.Stoseticeiskoriscenostikapaciteta,preduzece realizujesvojproizvodniprogramuzpotpunuiskoriscenostkapacitetau pogonima P1 i P3, dok u pogonu P2 ostaje 500h neiskoriscenog vremena. 25 5.ZAKL1UCAK Linearno programiranje kao metoda koja se u operacionim istrazivanjima intezivno koristi,predstavljajednuodnajvaznijihgranamatematickogmodeliranjaprimenjenuu raznimoblastimanauke,aliiuobavljanjuraznovrsnihljudskihdelatnosti.Metoda linearnog programiranja zauzima znacajno mesto u primeni kontrole i upravljanja raznih procesa i sistema gde je neophodno izvrsiti optimizacije raznih parametara. 26 LITERATURA 1. BozinovicM.,StojanovicV.:Matematikemetodeimodeiu ekonomii preduzeca, Visa ekonomska skola, Leposavic, 2005. 2. DrTourkiM.,BackovicM.:Matematikimodeiimetodiu ekonomii, Beograd, 1994. godina