of 98 /98
OPERACIONA ISTRAŽIVANJA 1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metoda linearnog programiranja?

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

Embed Size (px)

DESCRIPTION

operaciona istrazivanja..

Text of OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

OPERACIONA ISTRAIVANJA

1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metoda linearnog programiranja?Veliki broj privrednih aktivnosti se ostvaruje u uslovima ogranienog iznosa resursa, koji se na razliite naine mogu koristiti za ostvarivanje unapred postavljenog cilja. Iz niza moguih naina (programa) korienja raspoloivih resursa ekonomski subjekti su veoma zainteresovani da odaberu onaj najpovoljniji, onaj za koji e se ostvariti najvea mogua efikasnost ukupnih aktivnosti. Zbog toga optimizacija ekonomskih aktivnosti zauzima centralno mesto u okviru ekonomske analize i matematikog modeliranja ekonomskih problema. Jedan od matematikih metoda optimizacije, koji je tokom ovog veka doiveo punu afirmaciju, teorijsku razradu i iroku primenu jeste model linearnog programiranja.Linearno programiranje predstavlja model koji se veoma uspjesno koristi za resavanje velikog broja problema na nivou preduzeca. Tu spadaju:a) Proizvodno planiranje - U uslovima ogranienog iznosa resursa proizvodno preduzee moe proizvoditi razliite koliine proizvoda iz sopstvenog asortimana. U namjeri da maksimizira ukupan rezultat svog poslovanja, koji je najee izraen visinom ostvarenog profita, preduzee je veoma zainteresovano da iskoristi resurse sa kojima u odreenom periodu raspolae na najbolji mogui (optimalan) nain.S toga je za jedno preuzece veoma vazna uloga linearnog programiranja u kreiranju optimalnog programa proizvodnje koji omogucava sintezu raspolozivih resursa i pozitivnog poslovnog rezultata.b) Planiranje investicija Problem planiranja investicija javlja se prije svega na podrucju finansijskih institucija, banaka, investicionih fondova kao i raznih osiguravajucih kompanija. U ovom slucaju polazi se od pretpostavke o ogranicenosti investicionih sredstava. Uloga linearnog programiranja zasniva se na kreiranju optimalnog nivoa ulaganja u pojedine hartije od vrijednosti. c) Planiranje transporta robe Cilj svakog uspjesnog preduzeca jeste ne samo da ostvari maksimalan profit vec i da trosak poslovanja svede na minimum. U tom smislu trensport robe je veoma vazan. Naime, u uslovima teritorijalne razdvojenosti potrosaca i proizvodjaca transport robe izaziva znacajan trosak distribucije i prevoza. Metodom linearnog programiranja nastoji se odrediti optimalan vid transporta koji ce omoguciti minimizaciju troskova. Uloga linearnog programiranja u resavanju ovog problema je dvojaka jer ne samo da doprinosi ostvarenju osnovnog cilja preduzeca vec putem smanjenja troskova transporta indirektno utice i na smanjenje cijene proizvoda pa na taj nacin zadovoljava i potrebe potrosaca.d) Optimalno rasporedjivanje kadrova Optimalno rasporejivanje kadrova odnosi se na odredjivanje optimalnog rasporeda izvrsilaca za obavljanje razlicitih poslova. Optimalan raspored podrazumijeva takav raspored koji ce omoguciti maksimalnu efikasnost u radu. Pri tome efikasnost moze biti usmjerena na minimizaciju troskova, minimizaciju radnog vremena ili maksimizaciju profita. Optimalan raspored omogucava se posebnim vidom linearnog programiranja modelom asignacije, odnosno rasporedjivanja.

2. Postupak koriscenja modela operacionih istrazivanja u procesu poslovnog odlucivanja?Svakog dana ljudi donose veliki broj odluka. Prilikom donosenja odluka oni na raspolaganju imaju veliki broj alternativa a Sustina procesa odlucivanja jeste opredijeliti se za najbolju vodeci pritom racuna o ogranicenjima koja limitiraju slobodu izbora. Pored odluka koje donosimo svakodnevno postoji i posebna kategorija odlucivanja poznata kao poslovno odlucivanje.Poslovno odlucivanje predstavlja proces selekcije koji obuhvata izvestan broj uzastopnih, medjusobno zavisnih koraka, koji nam pomazu da do resenja problema dodjemo na dosledan, racionalan nacin.U okviru poslovnog odlucivanja primjenjuju se metode operacionih istrazivanja koje kvantitativnim putem nastoje odrediti najbolju mogucu alternativu, odnosno optimalno resenje. Operaciona istrazivanja predstavljanju skup metoda i tehnika koje se koriste za iznalazenje uslovnog ekstremuma funkcije sa vise promenljivih. Ona se prije svega bave problemima koji su vezani za upravljanje organizacionim , poslovnim, tehnicikim i drugim sistemima a sve u cilju pronalazenja optimalnih resenja koja su neophodna menadzerima za donosenje odluka. Operaciona istrazivanja primjenjuju se u uslovima izvjesnosti tj. u situacijama u kojim je sve unaprijed poznato. Njih karakterisu precizno odredjene alternative kao i jasno definisan cilj koji putem njih treba da se ostvari. Dakle, u procesu poslovnog odlucivanja koristi se kvantitativna analiza. Da bi analiza mogla da se koristi neophodno je da je postavljeni problem kompleksan kompleksan i da postoji veliki broj faktora koji utice na rezultat realizacije donesene odluke. . Zatim, neophodno je da postoji mogucnost obezbjedjenja neophodnih podataka za matematicko i statisticko predstavljanje poslovnog problema. Ukoliko nemamo podatke ne mozemo matematicki modelirati taj problem pa ne mozemo koristiti kvantitativnu analizu vec se dati problem resava metodama kvalitativne analize. Takodje vazno je i da se cilj realizacije donesene odluke moze kvantitativno izraziti. I na kraju kraju da bi se primjenjivala kvantitativna analiza neophodno je da postoji mogucnost definisanja odgovarajuceg matematickog modela koji predstavlja dobru aproksimaciju postavljenog problema. Naime, nije dovoljno da mi matematicki postavimo samo funkciju tj.cilj vec je potrebno da predstavimo i alternative i sve to zajedno predstavlja model neke ekonomske situacije koju zelimo da rijesimo. U tom smislu svako poslovno odlucivanje prolazi kroz nekoliko faza kvantitativne analize:Prva faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje problema. U okviru ove faze neophodno je postaviti problem koji zahtijeva resenje. Recimo, ukoliko je cilj odrediti kolicinu proizvoda koju neko preduzece treba da proizvodi onda je neophodno odrediti strukturu programa proizvodnje, profit koji se zeli ostvariti kao i nivo troskova karakteristican za ovu proizvodnju. Shodno tome, druga faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje modela. U ovoj fazi glavnu ulogu imaju strucnjaci za matematicko i statisticko strukturiranje modela. U njoj se definise cilj i to u vidu neke funkcije (npr. maksimiziranje profita) a matematicki se moraju izraziti i sva ogranjicenja koja postoje u preduzecu. Treca faza predstavlja veoma kompleksan i znacajan posao pripreme podataka, u okviru koga se moraju obezbijediti svi podaci neophodni za resavanje definisanog modela. Dakle, neophodno je kreirati informacionu osnovu. Medjutim, stalne promjene u poslovanju zahtjevaju da prikupljanje podataka bude permanentan proces koji ce omoguciti vremenski uspjesno koriscenje dfinisanog modela. Nakon prikupljanja neophodnih podataka prelazi se u fazu resavanja modela . U ovoj fazi vrsi se verifikacija rethodnih faza kvantitativne analize pri cemu se prevashodno ocjenjuje validnost modela i njegova upotrebljivost za konkretne potrebe. Ukoiko resavanjem konkretnog modela dobijemo moguca resenja koja zadovoljavaju ograniavajue uslove i matematiki izraen cilj realizacije konkretne odluke, onda takva reenja moemo smatrati optimalnim i koristiti ih kao povoljnu alternativu poslovne odluke. U suprotnom, moramo se vratiti na prethodne faze i izvrsiti prilagodjavanje modela. U poslednjoj fazi dobijena resenja koriste se za donosenje optimalnih poslovnih odluka, u procesu poslovnog odlucivanja.3. Objasniti opsti model matematickog programiranja.Matematicko programiranje je oblast matematike ciji je predmet razmatranja teorijski i numerick postupak odredjivanja ekstremne vrijednosti funkcija vise promenljivih, u kojima postoje ogranicenja mogucih vrijednosti promjenljivih.Matematicko programiranje moze biti:a) Linearnob) NelinearnoOpti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku zahteva za odreivanjem vrednosti promenljivih X1 , X2,.....Xn ,koje zadovoljavaju m nejednaina i jednaina oblika:gi(X1 , X2,.....Xn) {, =, } bi i= 1,....,mI za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije:Z = f (X1 , X2,.....Xn)Uslove nazivamo sistemom ogranienja, dok funkcija predstavlja funkciju cilja modela matematikog programiranja. U ovako predstavljenom modelu pretpostavljamo da su funkcije gi i f poznate, dok vrednosti bi predstavljaju unapred zadata ogranienja. U svakom od ogranienja pojavljuje se ili jednaina ili jedan od dva oblika nejednaina. Ukoliko su u sistemu ogranienja svi uslovi predstavljeni u vidu jednaina, takav oblik problema predstavlja klasian problem optimizacije i ne predstavlja posebno interesantan sluaj sa aspektra reavanja zadataka matematikog programiranja. Ukoliko sistem ogranienja i odgovarajuu funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku, model matematickog programiranja je:(max)Z= f( x1,x2,...,xn)g1(x)=g1(x1,x2,...,xn)b1g2(x)=g2(x1,x2,...,xn)b2.........gm(x)=gm(x1,x2,...,xn)bmSve vrijednosti promjenjivih x=(x1,x2,...,xn) za koje su zadovoljene sve nejednacine sistema ogranicenja obrazuju tzv. Skup dopustivih ili mogucih rjesenja modela.Cilj rjesavanja zadatka matematickog programiranja jeste odreivanje one kombinacije vrijednosti promjenjivih iz skupa mogucih rjesenja za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrijednost. Takvo rjesenje koje obiljezavamo sa x*=(x1,x2,...,xn) predstavlja optimalno rjesenje zadatka matematickog programiranja.Ukoliko je u modelu matematickog programiranja makar jedna funkcija gi ili f nelinearna, takav oblik modela linearnog programiranja predstavlja nelinearno programiranje. Suprotno ukoliko su sve funkcije sistema ogranicenja i funkcija cilja modela linearne (i ukoliko predpostavimo da su promjenjive nenegativne velicine), takav oblik modela predstavlja model linearnog programiranja.4. Objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja.Svaki model linearnog programiranja karakterisu odredjene pretpostavke koje se odnose Xna svaki od njih i to:a) Linearnostb) Izvjesnostc) Djeljivostd) Nenegativnost

LinearnostPretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmeu promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takoe dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost. Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog programiranja izmeu inputa i outputa. Sa druge strane osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ogranienja moe dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja.Proporcionalnost podrazumijeva da ukoliko je za jednu jedinicu nekog roizvoda potrebno utrositi 5 jedinica odredjenog resursa, za 10 jedinica proizvoda bice potrebno 50 jedinica resursa dok aditivnost podrazumijeva da ukoliko funkcija cilja pokazuje ukupan profit odreenog preduzea koji se ostvaruje od proizvodnje odreenih proizvoda, onda se ukupan profit odreuje kao suma profita ostvarenih od pojedinih proizvoda. IzvjesnostSvako odlluka moze se donijeti u uslovima izvjesnosti, neizvjesnosti ili rizika. Izvjesnost podrazumijeva da se odluka donosi u poznatim okolnostima dok je u slucaju neizvjesnosti sve nepoznato pa su ove situacije najteze za donosenje odluke. Situacija rizika podrazumijeva odredjenu vjerovatnocu optimalnog resenja i nalazi se izmedju ova dva ekstrema. U slucaju linearnog programiranja svi parametri su unaprijed jednoznacno odredjeni pa se s toga model linearnog programiranja smatra deterministickim modelom.DjeljivostOva pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog programiranja ne moraju biti celi brojevi. Prema tome, u optem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti resenja. Ukoliko je to, pak, slucaj onda se radi o specijalnom obliku zadatka modelu cjelobrojnog linearnog programiranja.NenegativnostUslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se koristi za odreene ekonomske analize predstavljaju odreene ekonomske veliine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Recimo ukoliko modelom linearnog programiranja zelimo odrediti optimalan obim proizvodnje promenljive modela pokazuju vrednost (koliinu) proizvodnje odreenih proizvoda, koja ne moe biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ogranienja (predstavljenih u vidu nejednaina i jednaina), predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.5. Koje su karakteristike standardnog problema maximuma?Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog programiranja u kome se postavlja zahtjev za odreivanjem maksimalne vrijednosti unaprijed poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednaina sa znakom .Ovakav oblik modela linearnog programiranja definie se u uslovima postojanja ogranienih resursa koje treba na najracionalniji nain utroiti radi ostvarivanja maksimalnih ekonomskih efekata.Zadatak standardnog problema maximuma predstavlja se na sljedei nain:(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXpa11X1+ a12x2 +... + a1pxp b1a21x1+a22x2+...+a2pxp b2..............................................am1x1+am2x2+...+ampxp bmx1,x2,....,xp 0Svaki problem LP mora da sadri:1.funkciju cilja2.sistem ogranienja3.uslov nenegativnostiFunkcija cilja izraava osnovni cilj koji se unaprijed definie i radi koga se formulie i reava odgovarajui model linearnog programiranja(maksimizacija ukupnog profita,maksimizacija deviznih efekata,maksimalni stepen zaposlenosti i sl.). Pri tome radi ostvarivanja cilja predstavljenog funkcijom z u problemu postoji p djelatnosti(u najirem smislu) koje su predstavljene promjenjivima x1,x2,...,xp iji su pojedinani efekti izraeni parametrima c1,c2,...,cp(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXpSistem ogranienja izraava iznos i nain korienja ogranienih resursa.Iznos resursa je izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja:b1,b2...,bm.Nain korienja resursa izraen je koeficijentima aij (i=1,...,m; j=1,...,p)Uslov nenegativnosti predstavlja obavezan elemenat modela. On osim metodolokih razloga on mora biti zadovoljen jer nijedna djelatnost ne moe biti negativna.x1,x2,....,xp0Svi elementi modela izuzev promjenjivih x1,x2,....,xp unaprijed su poznati to znai da su koeficijenti u funkciji cilja (cj), koeficijenti u sistemu ogranienja (aij) i slobodni lanovi sistema ogranienja(bi) parametri modela.6. Zato se u model LP uvode dodatne promenljive i koje je njihovo ekonomsko znaenje?U cilju rjeenja problema linearnog programiranja, sistem nejednaina koji sainjava sistem ogranienja transformiemo u sistem jednaina. Dodatne promjenjive uvodimo u svaku nejednainu da bismo izjednaili lijevu i desnu stranu, pa je s toga njihova vrijednost jednaka razlici izmeu lijeve i desne strane. Dodatne promjenjive imaju svoje metodoloko i ekonomsko znaenje. Ekonomsko znaenje odnosi se na to da pozitivne vrijednosti dodatnih promjenjivih pokazuju iznos neiskorienih resursa u nekom od rjeenja. Tako, vrijednosti dodatnih promjenjivih iz optimalnog rjeenja pokazuju koliko resursa ostaje neiskorieno u situaciji kada su vrijednosti realnih promjenjivih optimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost. Dodatne promjenjive uvode se i u funkciju cilja sa nultim vrijednostima koeficijenata.7. Koje su osnovne karakteristike skupa moguih rjeenja?Sve vrijednosti promjenjivih za koje su zadovoljene nejednaine, (jednaine) sistema ogranienja predstavljaju mogua rjeenja odnosno obrazuju skup moguih rjeenja.Skup m.r obrazovan je od taaka koje zadovoljavaju sve nejednaine(jednaine) sistema ogranienja, odnosno predstavlja presjek skupova taaka za koje su zadovoljene pojedine nejednaine. Iz linearnog karaktera ograniavajuih uslova proizilazi da take koje zadovoljavaju pojedine nejednaine obrazuju konveksan skup taaka.Dakle, vana osobina skupa moguih rjeenja jeste konveksnost. On je takoe zatvoren skup, a moze biti i prazan skup u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x= (x1,x2,...,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

8. Dokazati da je skup moguih rjeenja konveksan skup.Da bi se dokazalo tvrenje teoreme, potrebno je pokazati da konveksna kombinacija svaka dva mogua rjeenja takoe predstavlja mogue rjeenje.Neka su take x'=(x1',X2',...,Xn' ) i x"=(X1 ",X2 ",...,Xn") mogua rjeenja problema, na osnovu ega jeAx'= b i Ax"=bPosmatrajmo sada taku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju taaka x' i x", odnosno:x=x'+ (1-)x", 0 1.Ukoliko sada taku x uvrstimo u sitem jednaina problema imamo:Ax= A[x'+ (1-)x"]=Ax'+(1-)Ax"=Ax'+Ax"-Ax"=b+b-b=bNa osnovu ovoga vidimo da taka x predstavlja mogue rjeenje zadatka linearnog programiranja, tj. da sve konveksne kombinacije moguih rjeenja takoe predstavljaju mogua rjeenja. Prema tome skup moguih rjeenja je konveksan skup to je trebalo i dokazati.9. Koje reenje modela LP predstavlja bazicni a koje optimalno resenje?Reenje modela LP moze biti : moguce resenje i optimalno resenje. Sve vrijednosti promjenljivih za koji su zadovoljene nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja predstavljaju tzv. moguca resenja, odnosno obrazuju skup mogucih resenja (moguci skup). Sto se tice standardnog problema maximum u okviru kojeg je sistem ogranicenja dat nejednacinama sa znakom , skup mogucih resenja je ogranicen i zatvoren. Skup mogucih resenja moze biti i prazan skup, u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x=(x1,x2,.,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi (ogranicenja) zadatka. Skup mogucih reenja obrazovan je, prema tome, od tacaka koje zadovoljavaju sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja, odnosno predstavlja presek skupova tacaka za koje su zadovoljene pojedine nejednacine (jednacine). Iz linearnog karaktera ogranicavajucih uslova proizilazi da tacke koje zadovoljavaju pojedine nejednacine (jednacine) obrazuju konveksan skup tacaka. Na osnovu toga se izvodi veoma vana osobina skupa mogucih reenja zadatka linearnog programiranja konveksnost skupa mogucih reenja koja predstavlja osnovu postupka odredivanja optimalnog reenja zadatka linearnog programiranja. Dakle , skup mogucih resenja je konveksan i ogranicen tj postoji konacan broj ekstremnih tacaka. Osobina konveksnosti skupa mogucih resenja vazi za sve oblike zadatka linearnog programiranja standardni problem maximuma, mjesoviti problem maksimuma i problem minumuma. Na osnovu osobine konveksnosti skupa mogucih resenja odredjujemo bazicno resenje. Ukoliko takvo resenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono predstavlja bazicno moguce resenje. Osnovni cilj reavanja zadatka LP predstavlja zahtev za odredivanjem optimalnog reenja. Optimalno resenje je resenje koje pored toga sto zadovoljava sistem ogranicenja i uslov nenegativnosti, maximizira (minimizira) i funkciju cilja. Bazicno moguce reenje, x*= (x1*,x2*,.,xn*) na primjeru standardnog problema maximuma, predstavlja optimalno reenje zadatka ukoliko imamo da je z (x*) z (x), za bilo koje moguce reenje 'x . Drugim rijecima, reenje zadatka standardnog problema maksimuma je optimalno ukoliko je moguce i ukoliko daje maksimalnu vrednost funkcije cilja z .Optimalno reenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih reenja, sto se moze i algebarski dokazati. Optimalno resenje moze biti : jedinstveno i visestruko. Optimalno reenje problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj tacki (najudaljenijoj od koordinatnog pocetka) konveksnog, ogranicenog i zatvorenog skupa mogucih reenja. Slicno, samo uz inverzan kriterijum, predstavljali smo uslov za optimalnost reenja problema minimuma. To je jedinstveno optimalno resenje, gdje postoji samo jedna tacka u SMR koja zadovoljava sve uslove i u kojoj je vrijednost I SK za nebazicne promjenljive 0. Ovaj uslov predstavlja kriterijum oprimalnosti, odnosno I simplex kriterijum za izmjenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od reenja ove razlike za sve nebazine vektore negativne, tj ( Cj-Zj ) 0).II SK Kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II Dantzingov simplex kriterijum, na osnovu kojeg moemo konstatovati da iz baze treba iskjuiti onaj vektor Ak za koga bude zadovoljen uslov :

Iz baze, prema tome, izlazi onaj vektor Ak za koji ovako odreen kolinik bude minimalan pozitivan broj (manji od ostalih vrijednosti) u sluaju problema minimuma i maximuma. Nakon smjene vektora u bazi, na osnovu primene navedenih simpleks kriterijuma, izracunava se novo poboljano reenje i ispituje da li ono daje optimalnu tj maximalnu/minimalnu vrijednost funkcije cilja.

13. x14. x15. x16. x

17. Objasniti znaaj i osnovne karakteristike dualnog problema

Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem, koji takoe predstavlja problem linearnog programiranja. Izmeu osnovnog (primarnog) i izvesnog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu osnovnog zahteva, odnosno u pogledu zahteva za odreivanjem ekstremne vrednosti funkcije cilja. Tako, ukoliko se u poetnom problemu, koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu e funkcija cilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednaine ogranienja dualnog problema izvode se na osnovu nejednaina ogranienja primarnog problema.Prilikom reavanja konkretnih ekonomskih problema, na osnovu ovakvog odnosa izmeu primarnog i dualnog problema, primarne i dualne promenljive omoguavaju dobijanje znaajnih informacija o karakteru optimalnog reenja. Zbog toga, korienje dualnog problema u postupku reavanja nekog problema linearnog programiranja ima veoma znaajne analitike i metodoloke karakteriske Osim znaajnih analitikih karakteristika dualnog problema, injenica da svaki zadatak linearnog programiranja moemo transformisati u odgovarajui dualni problem ukazuje na metodoloke pogodnosti korienja prethodno predstavljene veze izmeu primarnog i dualnog problema. Naime, s obzirom da odreivanje optimalnog reenja bilo koga zadatka linearnog programiranja istovremeno znai odreivanje optimalnog reenja i njemu odgovarajueg dualnog problema, mogue je njihovo alterantivno korienje za postupak reavanja zadatka. Ovakva mogunost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem linearnog programiranja jednostavnije reavati korienjem njemu odgovarajueg dualnog problema.18. Na koji nain se formulie dualni problem nekog modela LP

Dualni problem odreenog zadatka linearnog programiranja (primarnog problema) formira se na sledei nain: 1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog problema e biti funkcija minimuma, i obrnuto; 2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednaina, i to tako da ukoliko su nejednaine primarnog problema sa znakom , nejednaine dualnog problema postaju nejednaine sa znakom , i obrnuto; 3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranienja primarnog problema, na osnovu ega ukoliko u primarnom problemu imamo m nejednaina sa p promenljivih, u dualnom problemu e biti p nejednaina sa m promenljivih;4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim lanovima sistema ogranienja primarnog problema; 5. Slobodni lanovi sistema nejednaina dualnog problema jednaki su koeficijentima koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog problema; 6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog ega je ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu.

19. Kakva meuzavisnost postoji izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema?Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m . Sada smo u mogunosti da uspostavimo vezu izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema. Ova veza, moe se izraziti na sledei nain: svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara (meusobno su povezane) jedna realna promenljiva dualnog problema, dok svakoj glavnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promenljiva dualnog problema.Ovako izraena veza (korespodencija) izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema (pri emu ona ne podrazumeva numeriku jednakost), predstavlja veoma znaajnu karakteristiku dualnog problema. Na osnovu iskazane relacije moemo konstatovati da reavajui jedan iz navedenog para zadataka (primarni ili dualni), odreivanjem optimalnog reenja jednog od njih dobijamo istovremeno i optimalno reenje njemu odgovarajueg dualnog problema.20. Kakav odnos postoji izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za bilo koje njihovo mogue reenje. Dokazati.

21. Kakav je odnos izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za njihova optimalna reenja. DokazatiSvakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem,koji takode predstavlja problem linearnog programiranja. Izmedu osnovnog(primarnog) i izvesnog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu zahtjeva za odredivanjem ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Ukoliko se u pocetnom problemu, koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu ce funkcija cilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednacine ogranicenja dualnog problema izvode se na osnovu nejednacina ogranicenja primarnog problema. Primarne i dualne promjenljive omogucavaju dobijanje znacajnih informacija o karakteru optimalnog reenja. Izmedu primarnog i dualnog problema, postoji takav odnos da u dualnom problemu ima tacno onoliko promenljivih koliko u primarnom problemu ima strukturnih ogranicenja, odnosno dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema. Isto tako, u dualnom problem postoji po jedna nejednacina ogranicenja za svaku realnu (glavnu) promenljivu primarnog problema. Ovakva veza, koja postoji izmedu dodatnih promenljivih odredenog problema linearnog programiranja i realnih promenljivih njemu odgovarajuceg dualnog problema, I obrnuto, omogucava dobijanje veoma znacajnih informacija koje se mogu koristiti u postupku donoenja odluka o nacinu optimizacije ekonomskih aktivnosti. S obzirom da odredivanje optimalnog reenja bilo kog zadatka linearnog programiranja istovremeno znaci odredivanje optimalnog reenja i njemu odgovarajuceg dualnog problema, moguce je njihovo alterantivno koricenje za postupak reavanja zadatka. Ovakva mogucnost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem linearnog programiranja jednostavnije reavati koricenjem njemu odgovarajuceg dualnog problema, to u praksi nije redak slucaj.Dualni problem odredenog zadatka linearnog programiranja (primarnog problema) formira se na sledeci nacin:1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog problema ce biti funkcija minimuma, i obrnuto;2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednacina, i to tako da ukoliko su nejednacine primarnog problema sa znakom , nejednacinedualnog problema postaju nejednacine sa znakom , i obrnuto;3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranicenja primarnogproblema, na osnovu cega ukoliko u primarnom problemu imamo m nejednacina sa p promenljivih, u dualnom problemu ce biti p nejednacina sa m promenljivih;4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim clanovima sistema ogranicenja primarnog problema;5. Slobodni clanovi sistema nejednacina dualnog problema jednaki su koeficijentima koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog problema;6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog cega je ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu.Osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

Dualni problem koji odgovara prethodnom problemu , moemo predstaviti u obliku:

Ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku

tada, njemu odgovarajuci dualni problem moemo predstaviti u obliku:

Ocigledno je da izmedu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i medusobna uslovljenost reenja. Da bi to pokazali, uvedimo u primarni problem dodatne promenljive xp+1,xp+m u njemu odgovarajuci dualni problem ym+1,ym+p , i izrazimo ih u sledecem kanonickom obliku:Primarni problem - problem maksimuma

Dualni problem - problem minimum

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m . Ova veza, moe se izraziti na sledeci nacin: svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema.A svakoj realnoj promjenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promjenljiva dualnog problema.22. Kakav je odnos izmedju optimalnih vrijednosti dodatnih promjenljivih primarnog i realnih promjenljivih dualnog problema i obrnuto. Dokazati i objasniti

Optimalne vrijednosti primarnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost razlike prvog simpleks kriterijuma,za dodatne promjenljive iy poslednjeg optimalnog rjesenja dualnog prblema tj.

Gdje m predstavlja br realnih promjenljivih u DP a j index promjenljive cija se vrijednost trazi.Optimalne vrijednosti realnih promjenljivih dualnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost raylike prvog simplex kriterijuma,za dodatne promjenljive,iz poslednjeg optimalnog rjesenja primarnog problema,tj.

Gdje je p br realnih promjenljivih u PP a I index promjenljive cija se vrijednost trazi.

Teorema Za bilo koje moguce reenje primarnog problema i bilo koje moguce reenje dualnog problemavrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti funkcije cilja dualnog problema, tj.

Dokaz Pomnoimo desnu i levu stranu i-te nejednacine sistema ogranicenja primarnog problema sa I y i sumirajmo po indeksu i=1,, m, na osnovu cega dobijamo

Ukoliko j-tu nejednacinu sistema ogranicenja dualnog problema pomnoimo sa jx , zatim sumiramo po j=1,, p, dobijamo

Kako su leve strane nejednacina jednake, konstatujemo da je sto je trebalo I dokazati.Teorema Ukoliko su moguca reenja primarnog i dualnog problema za koje su vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema jednake, tj.

Tada predstavljaju optimalna reenja primarnog i dualnog problema, respektivno.Dokaz Neka je neko moguce reenje primarnog problema, na osnovu prethodne teoreme znamo da je

Na osnovu uslova teoreme 1.4 slijedi odnosno Zakljucak ove teoreme je da je optimalno rjesenje primarnog problema a y* optimalno rjesenje dualnog problema.Teorema Ukoliko su moguca reenja primarnog idualnog problema, tada su to i optimalna reenja ako i samo ako imamo zadovoljene uslove

Zakljucak ove teoreme je da je dualna promenljiva je jednaka nuli kada je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom reenju primarnog problema, kao i ukoliko je neka realna promenljiva u optimalnom reenju primarnog problema jednaka nuli onda je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva u optimalnom reenju dualnog problema pozitivna.

23. Ekonomsko tumacenje dualnih promjenljivih. Dokazati i objasniti.Dualne promenljive, osim znacajnih metodolokih osobina, pruaju mogucnost za dobijanje veoma znacajnih informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao I ispitivanje uticaja promene nivoa koricenja raspoloivih resursa na vrednost funkcije cilja. Ako imamo problem standardnog maksimuma(max)z=cxAxbx0ciji je odgovarajuci dualni problem(min)v=b'yA'yc'y0Ako je optimalno rjesenje PP a optimalno rjesenje DP, Pretpostavimo, sada, da se elementi vektora b (resursi) primarnog problema povecavaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze. povecanje iznosa i-tog resursa za Db uticace na promenu vrednostifunkcije cilja primarnog problema za iznos od z(y*)=y*ibiDokaz prethodnog, veoma znacajnog tvrdenja proizilazi iz karakterabazicnih reenja i teorema dualnosti I na osnovu teoreme dualnosti moemo pisati:cx**=y*(b+b)cx*=y*bNakon oduzimanja druge jednacine od prve, dobijamo z(y*)= y*b. Na osnovu ovakvog rezultata, odnosno relacije moemo konstatovati da je:na osnovu cega moemo konstatovati da vrijednost dualne promjenljive pokazuje za koliko jedinica ce se povecati(smanjiti)vrijednost funkcije cilja primarnog problema,ukoliko se koriscenje resursa poveca (smanji) za jednu jedinicu.Dualne promjenljive predstavljaju tzv.obracunske cijene koriscenih resursa,odnosno tzv.cijene u sijenci.

24. Objasniti osnovne karakteristike i znacaj primjene simplex tabele

Dok se graficki metod reavanja linearnog programiranja moze koristiti samo kod zadataka kod kojih postoje dve glavne promenljive, simpleks metod predstavlja opti algoritam koji se koristi za reavanje svih vrsta zadataka linearnog programiranja, bez obzira na broj promenljivih. Osim matricnog nacina, simpleks metod za reavanje zadataka linearnog programiranja se moe veoma efikasno koristiti primenom tzv. simpleks tabele. Simpleks tabela predstavlja tabelaran nacin prikazivanja problema linearnog programiranja, koji je prilagoden za potrebe reavanja ovih problema koricenjem simpleks metoda. Slicno kao i kod matricnog nacina primene simpleks metoda, tabelarni postupak omogucava da se u nizu faza, u okviru kojih su reenja predstavljena odgovarajucim simpleks tabelama, dode do optimalnog reenja linearnog programiranja. Pocetno bazicno reenje, koje kod standardnog problema maksimuma graficki odgovara pocetku prostora, predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odredivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks tabele, primenom prethodno predstavljenih simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze, odredivanjem vrednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih reenja, preko niza simpleks tabela dolazimo do optimalnog reenja. U cilju ispitivanja postupka odredivanja optimalnog reenja problema linearnog programiranja, opti oblik simpleks tabele predstavicemo na primeru reavanja zadatka standardnog problema maksimuma.25. Objasniti nain formiranja i znaenje pojedinih elemenata inicijalne simpleks tabeleSimpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnog programiranja koji je prilagoen za potrebe reavanja ovih problema korienjem simpleks metoda. Tabelarni postupak omoguava da se u nizu iteracija (faza), u okviru kojih su reenja predstavljena odgovarajuim simpleks tabelama, doe do optimalnog reenja linearnog programiranja. Poetno bazino reenje, koje kod standardnog problema maksimuma grafiki odgovara poetku prostora, predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odreivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks tabele, primjenom simpleks kriterijuma za promjenu vektorske baze, odreivanjem vrijednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim takama konveksnog skupa moguih reenja, preko niza simpleks tabela dolazimo do optimalnog reenja.. Elementi Simpleks tabele:I kolona (Cb): U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u funkciji cilja nalaze uz bazine promenljive. S obzirom da dodatne promenljive obrazuju poetno bazino reenje, elementi prve kolone prve simpleks tabele su nule (koeficijenti uz dodatne promenljive u funkciji cilja). II kolona: U drugu kolonu tabele unosimo bazine promjenljive. U poetnom reenju to su dodatne promjenljive xp+1,,xp+m .III Kolona (Xb): Kolona Xb obuhvata vrijednosti bazinih promenljivih u svakom od reenja, odnosno u svakoj od odgovarajuih simpleks tabela. S obzirom na pretpostavku da su glavne promenljive jednake 0, u kolonu Xb prve simpleks tabele, koja predstavlja poetno bazino reenje, unosimo vrijednosti slobodnih lanova sistema ogranienja, tj. iznose raspoloivih resursa. Kolone x1xp: U kolone x1, x2,,xp prve simpleks tabele unosimo koeficijente koji se uz ove promenljive nalaze u sistemu ogranienja naeg zadatka, dok koeficijenti uz dodatne promenljive, unijeti u kolone xp+1,,xp+m obrazuju jedininu matricu. Radi preglednosti i cjelokupnosti tabelarnog prikazivanja problema linearnog programiranja, u zaglavlje tabele, tj. u prvu vrstu, unosimo vrijednosti koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz promenljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele. Vrsta Zj: Elemente vrste koju smo obiljeili sa Zj odreujemo za svaku kolonu nae tabele. Vrijednost koja se u okviru ove vrste nalazi u koloni Xb predstavlja vrijednost funkcije cilja za odgovarajue reenje i odreuje se kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i odgovarajuih vrijednosti bazinih promenljivih. Vrsta Cj - Zj: Poslednja vrsta simpleks tabele predstavlja kriterijum optimalnosti, odnosno poznati prvi simpleks kriterijum za promjenu baze u cilju optimizacije programa. Kod standardnog problema maksimuma, vrijednosti Cj - Zj koje odredimo za pojedine kolone x1,,xp+m pokazuju za koji iznos bi se poveala vrijednost funkcije cilja ukoliko bi jednu jedinicu odgovarajue promenljive (iz odgovarajue kolone) uvrstili u program (bazu).

26. Objasniti nain izraunavanja elemenata simpleks tabele u postupku odreivanja optimalnog reenja zadatka LPPostupak izraunavanja optimalnog reenja zadatka linearnog programiranja realizuje se u nekoliko uzastopnih iteracija, pri emu u svakoj narednoj iteraciji, odnosno odgovarajuoj simpleks tabeli, vrijednost funkcije cilja mora biti vea od odgovarajue vrijednosti iz prethodne simpleks tabele. U cilju dobijanja optimalnog reenja, korienjem simpleks metoda u svakoj od iteracija se vri izmjena strukture vektorske baze, odnosno neke od prethodno nebazinih promenljivih postaju bazine, i obrnuto, to predstavlja osnovu za izraunavanje niza meufaznih reenja. Pri tome, ukoliko ne postoji tzv. problem degeneracije, svaka dva uzastopna reenja moraju biti razliita (makar jedna promenljiva mora imati razliitu vrijednost). Osim promenljivih, u okviru simpleks tabele mijenjaju se i vrijednosti koeficijenata koji predstavljaju sastavni dio svakog od reenja. Prema tome, postupak izraunavanja narednog reenja, odnosno elemenata naredne simpleks tabele, podrazumijeva realizaciju narednih operacija: a) odreivanje koju od prethodno nebazinih promenljivih treba ukljuiti u bazu u cilju poboljanja reenja; b) utvrivanje koja od prethodno bazinih promjenljivih treba da napusti bazu, i time ustupi mesto novouvedenoj promjenljivoj; c) utvrivanje vrijednosti promjenljivih u novom reenju, tj. novoj simpleks tabeli; d) utvrivanje vrijednosti koeficijenata nove simpleks tabele; i e) utvrivanje vrijednosti funkcije cilja koja odgovara reenju koje je predstavljeno novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrijednosti funkcija Zj za sve promenljive.

27. Navesti i objasniti kriterijum za promjenu strukture vektorske baze (ulazak i izlazak promenljivih iz baze)

Prelazak od poetnog bazinog na prvo poboljano reenje (kao i bilo koja dva uzastopna reenja) zahtijeva opredjeljivanje promjenljive - prethodno nebazine - koju treba ukljuiti u bazu u cilju odreivanja poboljanog reenja. Ovakav zakljuak donosimo utvrivanjem vrijednosti razlika Cj - Zj za sve promenljive, koje se nalaze u poslednjoj vrsti simpleks tabele. U postupku odreivanja optimalnog reenja standardnog problema maksimuma, treba ukljuiti onu prethodnu nebazinu promenljivu za koju je u prethodnoj iteraciji razlika (Cj - Zj) najvea pozitivna. Reenje je optimalno, tj. postupak odreivanja optimalnog reenja se zavrava, kada u poslednjem redu simpleks tabele (Cj Zj) ne postoji ni jedna pozitivna vrednost.Nakon odreivanja nebazine promenljive koja treba biti ukljuena u bazu, neophodno je utvrditi koju od prethodno bazinih promenljivih treba eliminisati iz baze. U cilju odreivanja kriterijuma za iskljuivanje neke promenljive iz baze, sistem jednaina moemo predstaviti u obliku: Poetno bazino reenje smo odredili na osnovu pretpostavke da su sve glavne promjenljive jednake 0, tako da su dodatne promenljive jednake slobodnim lanovima sistema, odnosno izrazi u zagradama na desnoj strani sistema jednaine jednaki su 0. Pretpostavimo sada da je iz prve simpleks tabele konstatovano da, na primer, promjenljiva Xk treba da ue u bazu, odnosno treba da ima pozitivnu vrijednost. U tom sluaju iz sistema jednaina moemo pisati

odnosno, za sve vrijednosti

Kako mora biti zadovoljen uslov da je

Slijedi

Da bi i u novom reenju bio sauvan uslov nenegativnosti promenljivih, potrebno je iz baze eliminisati onu promenljivu za koju odredimo minimalnu vrijednost kolinika na desnoj strani relacije. Na osnovu toga, kriterijum za izlazak iz baze moemo predstaviti u obliku zahteva: iz baze treba eliminisati onu prethodnu bazinu promenljivu x za koju odredimo minimalnu vrijednost.Tabelarno, postupak eliminacije neke od prethodno bazinih promjenljivih realizuje se tako to: a) odredimo karakteristinu kolonu simpleks tabele, koja odgovara promenljivoj koja ulazi u bazu; b) odredimo vrijednosti kolinika izmeu promenljivih iz kolone xb i pozitivnih koeficijenata iz karakteristine kolone; i c) iz baze treba iskljuiti onu promenljivu kojoj odgovara najmanja vrijednost ovako odreenog kolinika, na osnovu ega vrstu simpleks tabele koja odgovara ovoj promeljivoj smatramo karakteristinom vrstom.28. ta je problem degeneracije zadatka LP i koje su njegove poslediceProblem degeneracije linearnog programiranja, koji se javlja u toku postupka reavanja zadatka simpleks metodom, predstavlja takav sluaj kod koga jedna ili vie bazinih promjenljivih imaju vrijednost jednaku 0. Ovakav problem pojavljuje se u sluaju kada u zadatku imamo suvinih ogranienja, odnosno kada su jedna ili vie nejednaina u sistemu ogranienja nepotrebne. Postojanje problema degeneracije e se manifestovati prilikom odreivanja vrijednosti kolinika , koji nam slui za iskljuivanje neke od prethodno bazinih promenljivih. Ukoliko u zadatku postoji problem degeneracije, onda e se u nekoj od iteracija, prilikom odreivanja vrijednosti kolinika drugog simpleks kriterijuma, dobiti dvije ili vie jednakih minimalnih vrijednosti. U tom sluaju, na uobiajeni nain ne moemo jednoznano odrediti koju od prethodno bazinih promenljivih treba iskljuiti iz baze. U narednoj iteraciji neka od promjenljivih e biti jednaka 0, odnosno vrijednost kolinika e biti 0, zbog ega e se dogoditi da dva ili vie uzastopnih reenja imaju jednaku vrijednost funkcije cilja. Osim toga, u sluaju postojanja degeneracije moe se pojaviti problem ciklusa, odnosno sluaj da u toku reavanja zadatka ponovo dobijemo reenje istovetno sa nekim od prethodnih.

29. Na osnovu ega se utvruje potojanje viestrukog optimalnog reenja u zadatku LP (grafiki i analitiki)

Visestruko optimalno rjesenje se javlja ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji maker jedna razlika I SK (Cj-Zj)=0 za neku nebazicnu promjenljivu Xj, dok su vrijednosti ovih razlika za ostale nebazicne promjenljive negativne, izracunato jersenje nije jedinstveno. Uvodjenjem u bazu promjenljive Xj u cilju odredjivanja novog rjesenja, i iskljucivanjem neke od prethodno bazicnih promjenljivih na osnovu II SK, dobili bi takodje optimalno rjesenje za koje funkcija cilja ima istu vrijednost. Usled osobina SKR, postojanje dva optimalna rjesenja ima za posljedicu da sve konveksne kombinacije dva dobijena rjesenja predstavljaju optimalna rjesenja, zbog veka kazemo da takav slucaj ima visestruko optimalno rjesenje.Geometrijski, slucaj postojanja optimalnog rjesenja se javlja kad su koeficijenti pravna prave koja reprezentuje neko od ogranicenja i koeficijenata pravca prave funkcije cilja jednaki.

30. Analitiki i grafiki objasniti sluaj zadatka LP u kome ne postoje mogua reenja

Prilikom formulisanja modela LP moze se dogoditi da model bude tako postavljen da ne postoje moguce rjesenja. On se desava ukoliko ne postoje vrijednosti proomjenljivih za koje su zadovoljeni svi ogranicavajuci uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup mogucih rjesenja, odnosno ne moze se naci ni jedna tacka za koju su zadovoljene sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja modela.Rjesavanjem ovakvog zadatka koriscenjem simpleks metoda nepostojanje mogucih rjesenja mozemo konstatovati u posljednoj simpleks tabeli. U njoj svi elementi vrste (Cj-Zj) pokazace postojanje optimalnog rjesenja, al ice se u optimalnom rjesenju naci vjestacka promjenljiva, sto je glavni indicator postojanja kontradiktornih uslova u zadatku.

31. Dati analitiku i grafiku interpretaciju zadatka LP u kome ne postoje konane vrednosti promenljivih i funkcije cilja

Neogranicena vrijednost f-je cilja i promjenljivih se javlja kada je :1) Model formulisan tako da tako da se jedna ili vise promjenljivih mogu povecati neograniceno, a da to ne bude narusen ni jedan od ogranicenja koji su u ulozi uslova u zadatku, i2) Funkcija cilja na skupu mogucih rjesenja nema konacnu vrijednost, tj. Skup mogucih rjesenja nije ogranicen skup.Rjesavanje problema max koriscenjem simpleks metoda, ovaj problem moemo identifikovati prije dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks tabele. Naime, problem mogucnosti postojanja neogranicene vrednosti promenljivih i funkcije cilja konstatovacemo u nekoj iteraciji u postupku odredivanja promjenljive koja treba da izadje iz baze, odnosno prilikom odredivanja vrijednosti kolicnika r . Da bi neka promjenljiva izala iz baze, potrebno je da u odnosu na ostale vrijednosti ima najmanji pozitivan kolicnik II SK. Medutim, ukoliko svi ovakvi kolicnici budu negativni ili nedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konacno reenje. Nakon dobijene tabele i nakon izracunate vrijednosti kolicnika II SK dobijamo da je beskonacnu vrijednost ili negativna vrijednost promjenljive, nemamo uslova za odredjivanje promjenljive koja treba da izadje iz baze. Ovakav slucaj upucije na cinjenicu da ovaj zadatak LP nema konacno, optimalno rjesenje.

32. Dualni simplex metodPronasao ga je Lemke, 1954. Godine, kada je trazio rjesenja primarnog problema, iz optimalnog dualnog problema i dosao do nove metode koju je nazvao dualni simpleks metod.Osnovna karakteristika ovog metoda je to polazi od nekog bazicnog rjeenja koje nije nenegativno i uslova da je simpleks kriterijum za nebazicne vektore (Cj-Zj) 0. Koristimo je kada nam je dat problem min.

Veoma cesto, koricenje dualnog simpleks metoda, u reavanju problema optimizacije ima niz prednosti u odnosu na druge algoritme simpleks metoda. Takvi su prije svega problemi minimizacije, kod kojih je potrebno uvoditi vetacke varijable, zatim problemi postoptimalne analize, celobrojnog programiranja...

Ako nam je dat problem min:(min) Z=cx ___________________ (max)Z=-cxAx>b_________________________ -Ax0__________________________ x>oNa osnovu pravila dualnog simpleks metoda, pomnozili smo sve sa (-1) i dobili sada problem maksimizacije. Sada uvodimo dodatne promjenljive i dobijamo (max) Z= -C1x1-C2X2-...-CpXp -a11x1-a12x2-...-a1pXpCj-Zj (j=1,......p)Tada reenje nije vie optimalno ve se u cilju odreivanja poboljanog reenja neophodno u bazu ukljuiti prethodno nebazini vektor Aj.PROMJENA KOEFICIJENATA BAZINIH PROMJENJIVIH (Cj Zj )Da bi ispitali kako promjena vrijednosti koeficijenata koji se u funkciji nalazi uz promjenjjive iz optimalne baze utie na optimalnost reenja , treba utvrditi vrijednosti razlika (Cj - Zj) za nebazine vektore.S obzirom da vrijednosti koeficijenta Cj (j=1,...p) za nebazine vektore ostaju neprimjenjene neophodno je izraunati i vrijednosti Zj (j=1,....p) za sve nebazine promjenjive.Neka je Cb vektor koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz bazine promjenjive iz optimalnog reenja.Pretpostavimo da je dolo do poveanja vrijednosti ovih koeficijenata za iznos Cb .Novi vektor ovih koeficijenata je Cb[footnoteRef:6] = Cb+ Cb [6: ]

Vrijednosti Zj za nebazine vektore bile su odreene iz relacije Zj = Cb j (j=1....p)Gdje je j vektor koeficijenata linearne kombinacije bazinih vektora i nebazinog vektora Aj izraunat u obliku j=1 Aj (j=1....p) ostaje nepromjenjen.Vrednosti Zj u uslovima promjenjenih koeficijenatavektora Cb odred,ujemo na sledei nain Zj[footnoteRef:7] = Cb[footnoteRef:8] j = (Cb+Cb) j = Cbj +Cbj =Zj+Zj (j=1....p) [7: ] [8: ]

Uz pretpostavku da se mjenjaju samo koeficijenti bazinih promjenjivih ,to znai da vrijednosti Cj ostaju nepromjenjene kriterijum optimalnosti reenja e biti Cj- Zj[footnoteRef:9]+Zj =Cj-(Zj+Zj) O ukoliko je Zj>(Cj-Zj) (j=1...p) [9: ]

Tada ve izraunato optimalno reenje ostaje i dalje optimalno ,tj. Vektor Aj ne treba da ue u bazu. U suprotnom sluaju kada postoji makar jedna pozitivna razlika kriterijuma optimalnosti,izraunato reenje vie nije optimalno reenje ve se u bazu novog reenja mora ukljuiti prethodno nebazini vektor Aj za koju je ova razlika maximalno pozitivna. Kombinacijom ova dva razmatrana sluaja (promjena koef. Nebazinih i bazinih ). Moemo odrediti kriterijum optimalnosti u uslovima promjena svih koeficijenata f-je cilja,kada bi imali Cj*-Zj*=(Cj+Cj)- (Zj+Zj)=(Cj-Zj)+( Cj-Zj)O (j=1.....p)Optimalno reenje se ne bi mjenjalo .Ukoliko je makar jedna od razlika pozitivna, reenje bi i dalje bilo mogue ,al ne i optimalno.40. Promjena vektora ogranienja u postupku postoptimalne analize Promjene elemenata vektora b (vektora sl.lanova sistema ogranienja) moemo oznaiti sa b , tako da e novi vektor biti b[footnoteRef:10]=b+b . Vrijednosti bazinih promjenjivih su odreene [10: ]

relacijom: Xb=1* bNa osnovu ega vrijednosti bazinih promjenjivih u uslovima izmjenjenog vektora b , tj. Vektora b[footnoteRef:11] ,odreujemo na sl. Nain: [11: ]

Xb[footnoteRef:12] = 1* b[footnoteRef:13] [12: ] [13: ]

Xb[footnoteRef:14] = 1*( b+b) [14: ]

Xb[footnoteRef:15] = 1*b+1*b [15: ]

Odakle je Xb[footnoteRef:16] = Xb+1*b [16: ]

Ukoliko je za novodobijeno reenje zadovoljen uslov Xb[footnoteRef:17]O , reenje i dalje ostaje optimalno.Ukoliko makar jedan od elemenata Xb[footnoteRef:18] bude negativan ,prethodno izraunato reenje vie nee biti mogue jer je naruen uslov nenegativnosti promjenjivih. [17: ] [18: ]

41. Promjena matrice A u postupku postoptimalne analizePromjena elemenata matrice A tj.promjena koeficijenata aij u sistemu ogranienja modela linearnog programiranja, moe izazvati neophodnost promjene optimalnog reenja, to se ispituje u postupku postoptimalne analize. U sluaju ovakve promjene u postupku postoptimalne analize optimalnost reenja u novim uslovima moe biti ispitivana za razliite promjene I to: Promjena nebazinog vektora Promjena bazinog vektora, Uvodjenje novog vektora aktivnosti (nove promjenljive) Uvodjenje novog ogranienja

a) Promjena nebazinog vektora Aj Ukoliko nakon odredjivanja optimalnog reenja modela dodje do promjene elemenata nebazinog vektora Aj postupak ispitivanja optimalnosti realizujemo korienjem kriterijuma optimalnosti.Neka Aj* predstavlja promjenjeni j-ti nebazini vektor. Da bi utvrdili da li taj vektor treba ukljuiti u bazu, odnosno da li optimalno reenje treba mijenjati izraunavamo vrijednosti:Xj*= ( Aj*

koje su nam neophodne radi odredjivanja vrijednosti Zj*, u obliku Zj*= CB Xj*nakon ega pretpostavljajui da su koeficijenti u funkciji cilja ostali nepormijenjeni primjenjujemo kriterijum optimalnosti, odnosno izraunavamo razliku Cj-Zj* . Ukoliko je (Cj-Z*j) 0 , zakljuak je suprotan prethodno reenje nee u novim uslovima biti optimalno, vec se uvodjenjem u bazu vektora Aj*moe dobiti poboljano reenje.Prikazana analiza uticaja promjene nebazinog vektora na optimalnost reenja, realizuje se i u sluaju ispitivanja uticaja uvodjenjem novog vektora aktivnosti (uz poznati koeficijent koji se u funkciji cilja nalazi uz novu promjenljivu).

b) Promjena bazinog vektora Ai Obiljeimo promjenjeni i-ti vektor , koji se nalazi u bazi opt, sa Ai*, odnosno novu bazu sa *. Reenja za novu bazu ce biti:XB*=( bXj*= ( AjZ*=CB XB*Zj*= CB Xj*

Ukoliko je XB*0 izraunato reenje je mogue, a ukoliko su za takvo reenje razlike (Cj-Zj*)0 i T0(k+1).c) Znak razlike z(k+1)-z(k) zavisi od dj na sledeci nacin: Ako je ds>0 onda je z(k+1)-z(k)>0 Ako je ds 0, tj.

Uvodimo prvu smenu po kojoj je 1/imenilac funkcije cilja >0, tj.

Tako da funkcija cilja sada ima sledeci oblik

Sada uvodimo drugu smenu po kojoj je

U pocetku smo imali funkciju razlomljenog linearnog programiranja sa promenjivom X a sada imamo funkciju linearnog programiranja sa promenjivom y. Dobijena funkcija cilja dobija oblik

Zatim pomnozimo sistem ogranicenja sa y0 pa dobijamo novi oblik sistema ogranicenja

Tj, kada uzmemo u obzir drugu smenu koju smo uveli i kada slobodne clanove prebacimo na levu stranu , sistem ogranicenja izgleda

Iz uslova prve smene dobijamo novo ogranicenje koje glasi

I koje dodajemo postojecem sistemu ogranicenja.

Na kraju dobijamo novu funkciju cilja linearnog prigramiranja koja je mesoviti problem maksimuma :

Zadatak resavamo kao mesoviti problem maksimizacije kod linearnog programiranja i kada dobijemo optimalno resenje, koristimo smenu sa pocetka da dobijemo resenja razlomljenog linearnog programiranja tj.

X1= X2= ... Xp=

53. x54. x55. x56. x

57. Dokazati da matrica koeficijenata sistema ogranienja kod TP ima r=m+n-1

Matricu koeficijenata sistema ogranicenja naeg transportnog problema moemo predstaviti u obliku :

1 1 ... 1 0 0 ... 0 .... 0 0 ... 00 0 ... 0 1 1 ... 1 .... 0 0 ... 0. . .0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 1 1 .... 1 A = 1 0 ... 0 1 0 ... 0 .... 1 0 ... 00 1 ....0 0 1 ... 0 .... 0 1 .... 00 0 ... 1 0 0 ... 1 .... 0 0 ... 1

U matrici A ima ukupno ( m + n ) vrsta, I sve su linearno zavisne. Ukoliko saberemo prvih m vrsta matrice A dobicemo vrstu ciji su svi elementi jedinice - isto takvu vrstu cemo dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A, tj.

p1 + p2 +. + pm = pm+1 + pm+2 ++ pm+n ( p1 ,., pm+n = vrste matrice A)

Ovo znaci da svaku vrstu matrice A moemo izraziti u vidu linearne kombinacije ostalih. Na primjer, za prvu vrstu je

p1 = (pm+1 + + pm+n ) (p2 +. + pm )

Isto vai za bilo koju od preostalih vrsta matrice A. Ukoliko sada iz matrice A iskljucimo poslednju vrstu, i uzmemo minor (m n 1) -og reda koji ukljucuje kolone koeficijenata uz promenljive x1n , , xmn , x11 , . , x1n-1 , dobijamo

1 0 ... 0 1 1 ... 10 1 ... 0 0 0 ... 0 ..... .. .. detM (m+n-1) = 0 0 ... 1 0 0 ... 0 = 10 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 .. ... .. 0 0 ... 0 0 0 ... 1

Kako je vrijednost dobijenog minora razlicita od nule, to konstatujemo da je r (A) m n 1, to je trebalo i dokazati.

58. Zato se u modelu transporta bazino reenje obrazuje od m+n-1 promenljivih (nisam sigurna za ovaj odg,jer ne postoji konkretno poglavlje )

Na osnovu poznatih stavova linearnog programiranja, tvrdjenje prethodne dvije teoreme (teorema 3.2.- broj linearno nezavisnih jednacina sistema ogranicenja transportnog problema je m+n-1, i teoreme 3.3. - matrica koeficijenata sistema ogranienja kod t.p. ima rang m+n-1 )ima za posledicu cinjenicu da u bilo kom bazicnom reenju mora imati tacno m n -1 bazicnih promenljivih.Tabelarno, to znaci da ce u svakoj tabeli koja reprezentuje neko bazicno moguce reenje biti popunjeno m n 1 polja, dok ce preostali mn (m n 1) polja ostati prazna, odnosno odgovarajuce promenljive ce biti jednake nuli.

59. Koji metodi se koriste za odreivanje poetnog bazinog reenja kod transportnog problema

Od razlicitih metoda koji se mogu koristiti za odredivanje pocetnog bazicnogreenja razmotricemo tri metoda:

1. metod sjeverozapadnog ugla1. metod minimalnih trokova1. Vogelov aproksimativni metod

1. Metod severozapadnog ugla (dijagonalni metod)

Metod severozapadnog ugla predstavlja takav postupak odredivanja pocetnog bazicnog reenja u kome rasporedivanje kolicina robe za prevoz preko razlicitih puteva zapocinjemo iz lijevog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1,1). Nakon toga, u m +n - 1 koraka, iduci dijagonalno, rasporedjuju se kolicine robe u razlicita polja tabele koja odgovaraju razlicitim putevima. Postupak se zavrava nakon iscrpljivanja svih ponudjenih kolicina robe u pojedinim ishoditima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tranje pojedinih odredita. Osnovna prednost primjene metoda sjeverozaoadnog ugla ogleda se u izuzetnoj jednostavnosti postupka odredjivanja pocetnog bazicnog reenja. Znacaj ove osobine posebno dolazi do izraaja kod sloenijih problema transporta u kojima imamo veliki broj ishodita i odredita.

1. Metod minimalnih trokova

Prilikom rasporedivanja kolicina robe za prevoz ne uzimaju se u obzir iznosi transportnih trokova na pojedinim putevima. Metod minimalnih trokova podrazumijeva prevashodno koricenje puteva (polja tabele) kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezene robe. Zbog toga, ovaj metod u optem slucaju obezbeduje dobijanje pocetnog bazicnog reenja koje je blie optimalnom reenju u odnosu na odgovarajuce reenje dobijeno metodom severozapadnog ugla. Postupak odredivanja pocetnog bazicnog reenja zapocinje koricenjem puta kojem odgovaraju najmanji trokovi, pri cemu u odgovarajuce polje tabele unosimo maksimalno mogucu kolicinu (manji od iznosa ponude i tranje) za prevoz. Naizmenicnim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima odgovaraju najmanji transportni trokovi, u m +n-1 koraka dolazi se do pocetnog bazicnog reenja. Odredivanje pocetnog bazicnog reenja primjenom ovog metoda podrazumijeva prethodnu i sukcesivnu analizu trokova transporta robe, to u problemima vecih dimenzija oteava postupak i povecava mogucnost pogrenog rasporedivanja. Prednost ovog metoda ogleda se cinjenici da njegova primjena obezbjeduje znacajno skracivanje postupka odredivanja optimalnog reenja.

1. Vogelov metod ( metod maksimalnih razlika )

Predstavlja najsloeniji postupak odredivanja pocetnog bazicnog reenja. Sutina ovog metoda sastoji se u izracunavanju potencijalnih gubitaka koji ce nastati ukoliko se izmedu dva polja sa minimalnim transportnim trokovima, koja se nalaze u nekoj vrsti (koloni) tabele, koristi ono polje u kome su transportni trokovi veci. Primjena ovoga metoda obezbjeduje pocetno rasporedivanje kolicina robe za prevoz, tj. izracunavanje vrednosti promenljivih bazicnog reenja koje su najblie optimalnom reenju. Zbog toga ovaj metod garantuje najkracu algoritamsku proceduru odredivanja optimalnog programa transporta robe.

I korak : Izracunavanjem vrijednosti razlika izmedu dva minimalna troka za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izracunate razlike pridruujemo vrstama i kolonama tabele, II korak : Odredujemo vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najveca vrijednost razlike. III korak : Pocetnu kolicinu rasporedujemo u polje sa najniim trokovima koje odgovara vrsti (koloni) sa najvecom izracunatom razlikom. S obzirom da se u jednom koraku eliminie ili vrsta ili kolona, nakon svakog rasporedivanja vri se izracunavanje promijenjenih razlika izmedu dva minimalna elementa (od preostalih). Postupak se, kao i kod drugih metoda za odredivanje pocetnog bazicnog reenja, zavrava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mesta tranje, tj. nakon popunjavanjam +n-1 polja tabele.

60. Koji je razlog pojavljivanja i kako se manifestuje problem degeneracije kod TP? Kako se on prevazilazi?Ukoliko u postupku reavanja transportnog problema odredimo reenje u kome nema m+n-1 bazicnih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele, konstatujemo da takvo reenje ne zadovoljava neophodan uslov za primjenu nekog od metoda optimizacije. Takav slucaj predstavlja degeneraciju transportnog problema, dok ovakvo reenje smatramo degenerativnim. Ovakav slucaj se javlja kad je neka od parcijalnih suma ponude jednaka nekoj od parcijalnihsuma tranje.Slucaj degeneracije t.p. moe se pojaviti:1. prilikom odredivanja pocetnog bazicnog reenja, 1. u postupku poboljavanja nekog programa transporta u proceduri optimizacije. Prilikom odredivanja pocetnog reenja degeneracija se javlja u slucaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno eliminiemo raspoloive kolicine odgovarajuce vrste i kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspoloivu ponudu robe i zadovoljimo ukupnu tranju koja odgovara tom odreditu. U postupku optimizacije, kada u nekoj od iteracija odredujemo poboljano reenje, slucaj degeneracije se javlja kada u jednom koraku iskljucimo iz baze dvije promenljive, a u bazu ukljucimo samo jednu prethodno nebazicnu promenljivu. Tabelarno, ovaj slucaj nastaje kada u jednom koraku dva (ili vie) prethodno popunjena polja ostaju prazna, dok popunjavamo samo jedno prethodno prazno polje.Za primjenu nekog od metoda optimizacije programa transporta neophodno je da u tabeli bude popunjeno tacno n+m-1 polja, odnosno da se toliki broj promenljivih nade u bazi. Zbog toga, slucaj degeneracije se prevazilazi tako to se u neko od praznih polja unosi kolicina od jedinica robe, gdje je infinitezimalno mali broj, koji ne naruava izraene jednakosti ponude i tranje. Obicno se ova velicina unosi u prazno polje kome odgovaraju najnii transportni trokovi po jedinici prevezene robe.

61. Stepping stone metod iliti metod skakanja s kamena na kamenZa odreivanje optimalnog rjeenja mogu se koristiti:a) Stepping stone metod (u daljem textu SSM)b) Metod potencijala (Modi metod)SSM:-Koristi se za provjeru pocetnog bazicnog rjesenja (u daljem textu PBR) tj. Da bismo mogli da koristimo SSM moramo izracunati PBR. Sustina ovog metoda sastoji se u ispitivanju NEzauzetih polja. Ako imamo u transportnoj tabeli polja preko kojih se vrsi transport zovemo ih zauzeta. Preko tih polja se vise ne moze transportovati a znamo troskove za ta polja i mi pokusavamo da ih snizimo tako sto cemo pokusati transport preko drugih polja, pa je sustina ove metode da se ispituju nezauzeta polja. Znaci, ispitujemo ta nezauzeta polja da vidimo da li ona mogu da se ukljuce u transport da bi troskovi bili nizi u odnosu na pocetne. To nezauzeto polje pokusavamo da ukljucimo u transport robe tako sto ga povezujemo sa zauzetim poljima. To se radi na taj nacin sto se crtaju poligoni (mnogouglovi) za prazna polja. Oni se formiraju tako sto se pocne od praznog polja a ostala tjemena mnogougla nalaze se na zauzetim poljima. To polje ce postati zauzeto a neko od zauzetih(preko kojih smo formirali poligon) ce postati prazno ( kao kod Simplex tabela-kad jedna promjenljiva udje u bazu, neka druga mora da napusti bazu). Kad formiramo poligone, uglovi moraju biti pravi a broj tjemena paran. Najmanji broj tjemena je 4 a najveci m+n. Metod je dobio naziv upravo po tome sto se prelazi (skae) s polja na polje.-Za nezauzeta polja treba formirati relativne troskove. Relativni troskovi pokazuju za koliko jedinica ce se ukupni troskovi transporta povecati ili smanjiti ukoliko u odgovarajuce polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Ako ti troskovi budu negativni to znaci da cemo koriscenjem tog polja smanjiti ukupne troskove a ako ti troskovi budu pozitivni to znaci da cemo koriscenjem tog polja povecati ukupne troskove. Relativne koeficijente troskova izracunavamo tako sto od transportnog troska koji odgovara pocetnom (praznom) polju naizmjenicno oduzimamo i dodajemo jedinicne troskove transporta koji se nalaze na tjemenima poligona (znaci prvi oduzmemo, sledeci saberemo itd). Postojanje makar jednog negativnog koeficijenta znaci da PBR nije optimalno!-Postupak rjeavanja odvija se tako to prvo naemo PBR. Nakon toga, na osnovu praznih polja formiramo poligone. Odredimo koeficijente relativnih trokova za prazna polja ( d ). Kad odredimo te koeficijente gledamo da li je rjeenje optimalno tj da li su sve vrijednosti relativnih koeficijenata ( d ) pozitivne. Ukoliko je makar jedna vrijednost negativna znaci da rjeenje nije optimalno tj moe da se pobolja. Ako ima vie negativnih koeficijenta, biramo najveci apsolutni jer cemo korienjem tog polja koje ima najveu apsolutnu vrijednost relativnog koeficijenta najvie smanjiti trokove i to polje ukljuujemo u transport. U to polje treba sad unijeti neku koliinu koja e se transportovati, koju obiljeavamo sa , a nee drugo moramo oduzeti istu koliinu da ne bismo naruili ravnoteu jer ukupna koliina robe ostaje ista samo je prerasporeujemo. Na tjeme praznog polja upisujemo , na polje pored od postojee koliine oduzimamo , na sledee sabiramo itd (naizmjenino). Izjednaavanjem minimalne razlike sa nulom dobijamo vrijednost (npr 50- i 150-,uzimamo 50-=0 jer je minimalna i dobijamo da je =50 jer ako bismo uzeli 150-=0, =150, dobili bismo nee negativne koliine 50-=50-150 ) i to je koliina koju emo transportovati preko polja koje je do sad bilo prazno.Crtamo novu tabelu i popunjavamo je najprije koliinama iz prethodne tabele tj popunjavamo prvo polja koja nijesu bila obuhvaena poligonom, pa tek onda polja iz poligona. Nakon toga raunamo transportne trokove i uporeujemo ih sa sa trokovima koji su odgovarali PBR. Ako su se trokovi snizili to znai da je rjeenje dobijeno ovom metodom poboljano. Razlika nam pokazuje koliko e se trokovi smanjiti ako preko ovog, do sad praznog polja transportujemo neku koliinu robe. Smanjenje trokova mozemo izraunati i preko formule z=xij*dij (xij=) koja pokazuje proizvod koliine koja e se transportovati preko odabranog polja i relativnog koeficijenta trokova za to polje.Nakon toga ponovo raunamo relativne koeficijente trokova i ponavljamo postupak sve dok sve vrijednosti d ne budu pozitivne to predstavlja optimalan program transporta robe.

62. Metod potencijala Modi metod(modifikovani simplex metod) Metod potencijala predstavlja postupak za odreivanje optimalnog programa transporta robe na osnovu ve odreenog poetnog programa transporta. Sutina ovog metoda sastoji se u ispitivanju mogunosti poboljanja ve dobijenog programa transporta, koji se u iterativnoj proceduri transformie u optimalno rjeenje. Postupak primjene metoda potencijala podrazumijeva odreivanje po jednog takozvanog mnoitelja za svaku od jednaina ponude i tranje sistema ogranienja modela transporta.Mnoitelaj ima m+n a bazinih promjenljivih m+n-1. Jednom od mnoitelja dodjeljuje se proizvoljna vrijednost, najee nula. Preostali mnoitelji se izraunavaju iz relacije: Cij=Ui+Vj odnosno Cij-Ui+Vj=0 pri emu je: i=1,...,m j=1,...n Cij su vrijednosti potencijala a Ui i Vj mnoitelji i ova relacija vai za zauzeta polja. Za nezauzeta polja potencijali se izraunavaju iz relacije: Cij'=Cij-Ui-VjUkoliko za jedno ili vie praznih polja dobijemo negativne vrijednosti potencijala (Cij'