OPERACIONA ISTRAIVANJA

-ispitna pitanja, k.2010/11-1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja korienjem metoda LP 2. Postupak korienja modela operacionih istraivanja u procesu poslovnog odluivanja 3. Objasniti opti oblik modela matematikog programiranja 4. Objasniti osnovne pretpostavke modela LP

5. Koje su karakteristike standardnog problema maksimuma 6. Zato se u model LP uvode dodatne promenljive i koje je njihovo ekonomsko znaenje

7. Koje su osnovne karakteristike skupa moguih reenja 8. Dokazati da je skup moguih reenja konveksan skup

9. Koje reenje modela LP predstavlja bazino a koje optimalno reenje

10. Dokazati da se optimalno reenje zadataka standardnog problema maksimuma nalazi u jednoj od ekstremnih taaka skupa moguih reenja

11. Kada se primenjuje grafiki metod odreivanja reenja u modelu LP i koji je postupak njegove primene

12. Simpleks metod-objasniti osnovne karakteristike metoda, uporediti ga sa grafikim metodom i objasniti simpleks kriterijume za promenu vektorske baze

13. Izvesti simpleks kriterijum za promenu vektorske baze kod standardnog problema maksimuma

14. Koje su osnovne karakteristike meovitog problema maksimuma-objasniti razliku izmeu standardnog i meovitog problema maksimuma

15. Dodatne i vetake promenljive-objasniti slinosti i razlike

16. Problem minimuma-objasniti osnovne karakteristike, postupak reavanja i mogunosti primene u ekonomskim istraivanjima

17. Objasniti znaaj i osnovne karakteristike dualnog problema 18. Na koji nain se formulie dualni problem nekog modela LP 19. Kakva meuzavisnost postoji izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema

20. Kakav odnos postoji izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za bilo koje njihovo mogue reenje. Dokazati

21. Kakav je odnos izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za njihova optimalna reenja. Dokazati

22. Kakav je odnos izmeu optimalnih vrednosti dodatnih promenljivih primarnog i realnih promenljivih dualnog problema i obrnuto. Dokazati i objasniti

23. Ekonomsko tumaenje dualnih promenljivih-dokazati i objasniti

24. Objasniti osnovne karakteristike i znaaj primene simpleks tabele 25. Objasniti nain formiranja i znaenje pojedinih elemenata inicijalne simpleks tabele

26. Objasniti nain izraunavanja elemenata simpleks tabele u postupku odreivanja optimalnog reenja zadatka LP

27. Navesti i objasniti kriterijum za promenu strukture vektorske baze (ulazak i izlazak promenljivih iz baze)

28. ta je problem degeneracije zadatka LP i koje su njegove posledice 29. Na osnovu ega se utvruje potojanje viestrukog optimalnog reenja u zadatku LP (grafiki i analitiki)

30. Analitiki i grafiki objasniti sluaj zadatka LP u kome ne postoje mogua reenja

31. Dati analitiku i grafiku interpretaciju zadatka LP u kome ne postoje konane vrednosti promenljivih i funkcije cilja

32. Dualni simpleks metod 33. Celobrojno programiranje-opta formulacija zadatka i metodi za reavanje

34. Gomorijevo ogranienje i potpuno celobrojno programiranje 35. Grafiki metod i dokaz teoreme kod celobrojnog linearnog programiranja 36. Delimino celobrojno programiranje

37. Teorema kod celobrojnog programiranja 38. Postoptimalna analiza

39. Promena vektora c u postoptimalnoj analizi 40. Promena vektora ogranienja u postupku postoptimalne analize

1

41. Promena matrice A u postupku postoptimalne analize

42. Parametarsko programiranja-formulacija zadatka i geometrijska interpretacija 43. Geometrijska interpretacija i grafiko reenje zadatka parametarskog programiranja

44. Varijabilnost koeficijenata u funkciji cilja kod parametraskog programiranja 45. Hiperbolino (RLP) programiranje- opti oblik zadatka

46. Dokazati teoremu o monotonosti funkcije cilja kod hiperbolinog programiranja 47. Dokazati da funkcija cilja RLP dostie ekstremnu vrednost u ekstremnoj taki skupa moguih reenja 48. Grafiki metod za reavanje zadatka kod hiperbolinog programiranja (opti oblik)

49. Grafiki metod-sluaj funkcionala bez slobodnog lana 50. Grafiki metod-sluaj funkcionala sa slobodnim lanom

51. Martoev metod za reavanje problema hiperbolinog programiranja 52. arns-Kuperov metod za reavanje problema hiperbolinog programiranja

53. Osnovna teorema hiperbolinog programiranja 54. Za koje potrebe se koristi transportni problem i koji su osnovni elementi modela TP 55. Opti oblik transpotnog problema

56. Dokazati teoremu o jednakosti ponude i tranje kod TP 57. Dokazati da matrica koeficijenata sistema ogranienja kod TP ima r=m+n-1

58. Zato se u modelu transporta bazino reenje obrazuje od m+n-1 promenljivih

59. Koji metodi se koriste za odreivanje poetnog bazinog reenja kod transportnog problema

60. Koji je razlog pojavljivanja i kako se manifestuje problem degeneracije kod TP? Kako se on prevazilazi

61. Stepping stone metod 62. Metod potencijala

63. Objasniti otvoreni model transporta i postupak njegovog reavanja 64. Osnovni pojmovi i pretpostavke teorije transportnih mrea

65. Transportni problem na mrei sa neogranienim kapacitetom komunikacija 66. Transportni problem na mrei sa ogranienim kapacitetom komunikacija 67. Teorija igara-osnovne karakteristike i vrste igara

68. Objasniti osnovne karakteristike proste matrine igre. Princip minimaksa, sedlasta taku i optimalne iste strategije

69. Matrine igre sa meovitim strategijama

70. Reavanje meovitih matrinih igara 71. Reavanje igre reda 2x2

72. Reavanje igara (2,n) i (m,2) 73. Redukcija matrice plaanja

74. Reavanje igara korienjem LP

Osnovna literatura:1.Rakoevi S., Backovi M., OPERACIONA ISTRAIVANJA Ekonomski fakultet, Podgorica, 2003.

2

1) Ekonomski problemi koji mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metoda linearnog programiranja su: proizvodno planiranje, planiranje investicija, planiranje transpotra robe, optimalno rasporedjivanje kadrova.

Proizvodno planiranje. Osnovni cilj primjene modela linearnog programiranja u domenu proizvodnog planiranja jeste optimizacija proizvodnje. U uslovima ogranienog iznosa rasursa

(sirovina ,radne snage, masina, finansiskih sredstava i sl.), proizvodno preduzee moe proizvoditi razliite koliine proizvoda iz sopstvenog asortimana. U namjeri da maksimizira ukupan rezultat svoga poslovanja preduzee je veoma zainteresovano da iskoristi resurse sa kojima u odredjenom periodu raspolae na najbolji nain. Prevodjenjem osnovnog cilja poslovanja na odgovarajucu

funkciju cilja i nacin koriscenja i iznos raspolozivih resursa na odgovarajuci sistem ogranicenja, resavanjem pogodno definisanog modela linearnog programiranja dolazi se do preciznih podataka o optimalnom nivou proizvodnje pojedinih proizvoda.

Planiranje invasticija. U uslovima ogranienog iznosa investicionih sredstava, korienjem LP moe se odrediti optimalan nivo ulaganja u pojedine hartije od vrijednosti, kao i druge vrste investicija. Optimalno planiranje ulaganja u hartije od vrijednosti, u uslovima razvijenog finansiskog trzita, predstavlja problem koji se postavlja u okviru poslovanja finansiskih institucija, banaka, investicionih fondova, osiguravajuih kompanija, i sl. Modeliranje i resavanje problema optimizacije portfolija koriscenjem linearnog programiranja moze biti realizovano na razlicite nacine, zavisno od toga koji se od poznatih kriterijuma efikasnosti ulaganja u hartije od vrijednosti koristi. Tako, npr., funkcija cilja pogodno definisanog modela linearnog programiranja za optimizaciju portfolija moze izrazavati zahtjev za maksimizacijom ukupnog prinosa na investirana sredstva, kao izahtjev za minimizacijom rizika.

Planiranje transporta robe. Transport robe od odredjenog broja proizvodjaa do potroaa, u uslovima njihove teritorijalne razdvojenosti, izaziva obino velike trokove distribucije i prevoza. Zbog toga minimizacija ovih trokova predstavlja jedan od uslova efikasne organizacije i finansiskog uspjeha velikog broja privrednih subjekata. Ukoliko se kao osnovni zahtjev optimizacije transporta robe postavi minimizacija ukupnih trokova pravoza, tada se ovaj problem moe veoma efikasno modelirati i reavati korienjem modela linearnog programiranja. Na taj nacin funkcija cilja pogodno definisanog modela izrazavala bi ukupne troskove prevoza robe, dok bi sistem ogranicenja izrazavao ograniceni iznos ponude homogene vrste robe razlicitih proizvodjaca ,odnosno iznos traznje pojedinih potrosaca. Ovaj specifican problem linearnog programiranja, koji se naziva transportni problem, resava se koriscenjem razlicitih metoda na nacin slican opstem algoritmu resavanja modela linearnog programiranja.

Optimalno rasporedjivanje kadrova je problem sa kojim se esto susrijeu proizvodna preduzeca, preduzea iz oblasti usluga, transportna preduzea, bolnice i sl. U uslovima razvijene specijalizacije brojnih izvrilaca za obavljanje pojedinih poslova, postavlja se veoma esto pitanje kako napraviti takav raspored za obavljanje odredjenog broja poslova za koji e se ostvariti maksimalna efikasnost u radu. Pri tome efikasnost moze biti izrazena kroz zahtjev za minimizacijom ukupnog radnog vremena, minimizacijom troskova, maksimizacijom profita i sl. Ovaj problem koji se resava primjenom specijalnog oblika modela linearnog programiranja, obicno se predstavlja takozvanim modelom asignacije, odnosno modelom rasporedjivanja.

2) Postupak korienja modela operacionih istrazivanja u procesu poslovnog odluivanja. Razliciti modeli kvantitativne analize koriste sa za potrebe poslovnog upravljanja u situacijama kada treba rijesiti neke kompleksne probleme, koji se mogu kvantitativno izraziti i uspjesno predstaviti

3

pogodno odabranim matematickim i statistickim relacijama. Prema tome, ovakav pristup u procesu donosenja poslovnih odluka koristi se u sledecim uslovima:

Poslovni problem je kompleksan i postoji veliki broj faktora koji uticu na rezultat realizacije donijete odluke;

Postoji mogucnost obezbedjenje neophodnih podataka za matematicko i statisticko predstavljanje poslovnog problema;

Osnovni ciljevi realizacije posmatrane odluke mogu se kvantitativno izraziti;

Postoji mogucnost definisanja odgovarajuceg matematickog modela koji predstavlja dobru aproksimaciju postavljenog problema.

Osnovni cilj koriscenja modela kvantitativne analize u procesu donosenja poslovnih odluka sadrzan je u zahtjevu da se donosiocu odluka omoguci dobijanje egzaktne informacione osnove za izbor optimalnih resenja poslovnih problema.

Postupak koriscenja kvantitativnih modela za potrebe donosenja optimalnih poslovnih odluka realizuje se u nekoliko faza:

Formulisanje problema koja predstavlja poetnu i najznaajniju fazu kvantitativne analize, u okviru koje se mora precizno definisati sutina problema koji treba rijeiti. Ovo je i ujedno najteza faza ukupne kvantitativne analize, zbog ega se i kaze da dobro formulisan problem mozemo smatrati polovonom procesa primjene modela za donoenje optimalnih poslovnih odluka. Formulacija problema je proces koji se odvija sve do konacnog dobijanja resenja koja se mogu koristiti za poslovno odlucivanje. To znaci da pocetno definisan problem moze biti modifikovan u toku realizacije narednih faza.

Definisanje modela predstavlja fazu u okviru koje strunjaci moraju definisati takav model koji na najboli moguci nain aproksimira prethodno formulisani problem. Definisanje modela zahtijeva veoma kompleksnu analizu koja mora obuhvatiti sve karakteristike problema i izraziti sve medjuzavisnosti koje postoje izmedju sastavnih djelova problema. Odnosi izmedju promjenjljivih u modelu mogu biti izrazeni preko jednacina, nejednacina, funkcija ili na neki drugi nacin, sto zavisi od karaktera samog modela. Osim toga , veoma vazan aspekt u definisanju modela predstavlja vremenska momponente njegove primjene. Naime, neke od karakteristika (ogranicenja, ciljevi, okruzenje i s.) problema mogu se u vremenu znacajno mijenjati, model mora biti definisan tako da omogucuje permanentno inoviranje osnovnih podataka kao i samog oblika modela.

Priprema podataka je faza u okviru koje se moraju obezbijediti svi oni podaci koji su neophodni za reavanje definisanog modela. ak ni idealno definisan model ne znai nita ukoliko nismo u mogunosti da formiramo informacionu osnovu potrebnu za njegovu primjenu. Zbog toga se faza definisanja modela i faza prikupljanja podataka najee paralelno odvijaju medjusobno su uslovljene. Osim toga stalne izmjene uslova poslovanja namecu potrebu da prikupljanje podataka predstavlja permanentan proces, na osnovu kojeg se obezbedjuje vremenski uspjesno koriscenje definisanog modela.

Reavanje modela je faza u okviru koje se praktino vri verifikacija prethodnih faza kvantitativne analize, pri emu se prije svega ocjenjuje validnost modela i njegova upotrebljivost za konkretne potrebe. Ukoliko reavanjem konkretnog modela dobijemo mogua reenja koja zadovoljavaju ograniavajue uslove i matematiki izraen cilj realizacije konkretne odluke, onda takva reenja moemo smatrati optimalnim i koristiti ih kao povoljnu alternativu poslovne odluke. U suprotnom slucaju, moramo se vratiti na prethodne faze kvantitativne analize i izvrsiti prilagodjavanje modela.

Korienje reenja je zavrna faza i potpuna verifikacija korisnosti i ispravnosti kvantitativne analize, u poslednjoj fazi se dobijena reenja koriste za potrebe donoenja optimalnih poslovnih

4

odluka. U okviru ove faze dobijena reenja se prihvataju od strane menadera kao dobra orjentacija za poslovno odluivanje i vri se njihova transformacija u poslovnu strategiju.

3) Matematiko programiranje predstavlja oblast matematike iji je predmet razmatranja teoriski i numeriki potupak odredjivanja ekstremne vrijednosti funkcije vie promjenjljivih, u kojima postoje ogranienja moguih vrijednosti promjenjljivih. Matematiko programiranje je veoma pogodno za modeliranje razliitih ekonomskih aktivnosti koje se realizuju u uslovima ogranienih resursa.

Opti oblik matematikog programiranja mozemo postaviti u obliku zahtjeva za odredjivanjem vrijednosti promjenjljivih x1, x2,....xn, koje zadovoljavaju m nejednaina i jednaina oblikagi (x1,x2...xn) { , = , } bii=1,....m-sistem ogranienja

i za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije

Z= f (x1, x2,...xn)-funkcija cilja.

U ovako postavljenom modelu prepostavljamo da su funkcije (gi i f) poznate, dok vrijednosti (bi) predstavljaju unaprijed zadata ogranienja. U svakom od ogranicenja pojavljuje se ili jednacina ili jedan od dva oblika nejednacina.

Ukoliko su u sistemu ogranienja svi uslovi predstavljeni u vidu jednaina, takav oblik problema predstavlja klasian problem optimizacije.

Ukoliko sistem ogranienja i odgovarajuu f-ju cilja predstavimo u razvijenom obliku, model matematikog programiranja je:

(Max)Z = f (x1, x2,...xn)

g1 (x) = g1 (x1, x2,...xn) b1 g2 (x) = g2 (x1, x2,...xn) b2...............................gm (x) = gm (x1, x2,...xn) bm

gdje smo pretpostavili odredjivanje maksimalne vrijednosti f-je cilja Z, u uslovima kada su sva ogranienja predstavljena nejednainama sa znakom .

Sve vrijednosti promjenjljivih x = (x1, x2,...xn) za koje su zadovoljene sve nejednaine sistema ogranienja obrazuju skup moguih reenja modela. Cilj resavanja zadatka matematickog programiranja jeste odredjivanje one kombinacije vrijednosti promjenjljivih iz skupa mogucih resenja za koje f-ja cilja ostvaruje ekstremnu vrijednost. Takvo resenje koje obeljezavamo x*=(x1*, x2*, ... xn*), predstavlja optimalno resenje zadatka matematickog programiranja.

4) Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja su:

Linearnost koja podrazumijeva postojanje linearnih zavisnosti izmedju promjenjljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova prepostavka zadovoljena je tako to su f-ja cilja i odgovarajui uslovi u modelu linearnog programiranja izraeni linearnim funkcijama. Kao posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takodje dvije osnovne prepostavke, proporcionalnost i aditivnost. Proporcionalnost podrazumijeva posojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog programiranja izmedju inputa i outputa, dok osobona aditivnosti podrazumijeva da se ukupna vrijednost f-je cilja moze dobiti kao zbir vrijednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja.

Izvjesnost, podrazumijeva da su svi parametri modela LP unaprijed jednoznano odredjeni, to znai da su koeficijenti f-je cilja i sistema ogranienja odredjeni i ne mijenjaju se u toku reavanja modela. S obzirom na ovu osobinu, model linearnog programiranja smatramo deterministickim modelom.

5

Djeljivost podrazumijeva da promjenjljive u modelu linearnog programiranja ne moraju biti cijeli brojevi. U optem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tkz. uslov cjelobrojnosti,

to znai da vrijednosti promjenjljivih mogu biti izrazene i u obliku decimalnih brojeva. Ukoliko se, medjutim, iz odredjenih razloga zahtijeva cjelobrojnost promjenjljivih, onda je u pitanju specijalan oblik zadatka- model cjelobrojnog linearnog programiranja.

Nenegativnost, predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Ova pretpostavka ima svoj metodoloki i sutinski (ekonomski) znaaj. Naime, kao opti algoritam reavanja modela linearnog programiranja predstavlja simpeks metod, to je za primjenu ovog metoda neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti promjenjljivih, to ini metodoloki aspekt uslova nenegativnosti promjenjljivih. S druge strane, kao promjenjljive u modelu linearnog programiranja koji se koristi za odredjene ekonomske analize predstavljaju odredjene ekonomske veliine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Zbog toga uslov nenegativnosti pored funkcije cilja i sistema ogranicenja predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.

5) Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog programiranja u kome se postavlja zahtjev za odredjivanjem maksimalne vrijednosti unaprijed poznate linearne funkcije (f-je cilja), pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednacina sa znakom . ovakav oblik linearnog programiranja, ekonomski posmatrano, definise se u uslovima postojanja ogranicenih resursa, koje treba na najracionalniji nacin utrositi radi ostvarivanja maksimalnih ekonomskih

efekata. Osnovni elementi modela su:

Funkcija cilja, koja izraava osnovni cilj koji se unaprijed definie i radi koga se formulie i reava odgovarajui model linearnog programiranja . U obliku problema maksimuma kao cilj se moe postaviti maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija deviznih efekata, maksimalni stepen zaposlenosti, i sl.

Sistem ogranienja izraava uslove i nain korienja ogranienih resursa, iji iznos je izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja.

Uslov nenegativnosti predstavlja obavezan elemanat modela linearnog programiranja. Uslov nenegativnosti mora biti zadovoljen jer nijedna djelatnost ne moe biti negativna.

Svi elementi modela, izuzev promjenjljivih x1, x2, ...,xn unaprijed su poznati, sto znaci da koeficijenti u funkciji cilja, koeficijenti u sistemu ogranicenja i slobodni clanovi sistema ogranicenja predstavljaju parametre modela.

6) Dodatne promjenjljive se uvode u model linearnog programiranja u cilju odredjivanja reenja modela, jer sistem nejednaina moramo transformisati u sistem jednaina tako to emo lijevoj strani svake nejednaine dodati nenegativnu vrijednost tkz. dodatne promjenjljive, koja je jednaka vrijednosti razlike izmedju desne i lijeve strane nejednacine. Dodatne promjenjljive osim metodoloske uloge u pretvaranju sistema nejednacina u sistem jednacina, imaju veoma vazan sustinski (ekonomski) znacaj prilikom resavanja zadatka linearnog programiranja. Naime, obzirom da nejednacine sistema ogranicenja problema maksimuma pokazuju nacin koriscenja ogranicenog iznosa raspolozivih resursa (predstavljenih slobodnim clanovima sistema ogranicenja), to pozitivne vrijednosti dodatnih promjenjljivih pokazuju iznos neiskoriscenih resursa u nekom od resenja. Tako da vrijednosti dodatnih promjenjljivih iz optimalnog reenja pokazuju koliko resursa ostaje neiskorieno u situaciji kada su vrijednosti realnih promjenjljivih optimalne.

6

7) Sve vrijednosti promjenjljivih za koje su zadovoljene nejednaine (jednaine) sistema ogranienja predstavljaju tkz. moguca resenja, odnosno obrazuju skup mogucih reenja. Osnovne karakteristike skupa moguih reenja su: da je to ogranien i zatvoren skup, da moe biti i prazan skup u sliaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji nijedna taka x = (x1, x2,...xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi (ogranicenja) zadatka,

Skup moguih reenja obrazovan je od taaka koje zadovoljavaju sve nejednaine (jednacine) sistema ogranienja,

Veoma bitna karakteristika skupa moguih reenja je i da je on konvekstan skup.

8) Skup moguih rjeenja zadatka linearnog programiranja je konveksan skup

Dokaz: Da bi dokazali tvrdjenje nae teoreme potrebno je da pokaemo da konveksna kombinacija svaka dva mogua rjeenja, takoe predstavlja mogue rjeenje. Zbog toga, uzmimo da x' (x', x', x',...x')x'' (x'', x'',..., x'')

123ni12n

predstavljaju mogua rjeenja problema, na osnovu ega je

Ax' biAx '' b

Posmatrajmo sada taku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju taaka x' i x odnosno

x x'(1 )x'' , 0 1Ukoliko sada taku x uvrstimo u sistem jednaina problema, imamoAx Ax'(1 )x" Ax'(1 ) Ax"

Ax'Ax"Ax" b b b b

Na osnovu ega vidimo da taka x predstavlja mogue rjeenje zadatka linearnog programiranja, tj. da sve konveksne kombinacije moguih rjeenja takoe predstavljaju mogua rjeenja. Skup moguih rjeenja je konveksan skup, to je trebalo dokazati.

9) Uvodjenjem dodatnih promjenjljivih, sistem od m jednacina sa n(n=p+m) nepoznatih, pri cemu je m < n . Iz linearne algebre je poznato da ukoliko matrica A ima rang m (maksimalan broj linearno nezavisnih vektor kolona) mozemo uzeti da su bilo koje n - m promjenjljive jednake nuli, a zatim odredjivati vrijednosti ostalih promjenjljivih. Bilo koje tako odredjeno reenje problema maksimuma, predstavlja bazino reenje. Ukoliko takvo reenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono predstavlja bazino mogue reenje, dok bazino mogue reenje x*= (x1*, x2*,...xk*) , predstavlja optimalno reenje zadatka standardnog problema maksimuma ukoliko imamo da je Z(x*) Z(x) , za bilo koje mogue reenje x . Drugim rijeima, reenje zadatka kod standardnog problema max je optimalno ukoliko je mogue i ukoliko daje maksimalnu vrijednost f-je cilja.

10) Optimalno rjeenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u ekstremnoj taki konveksnog skupa moguih rjeenja.

Dokaz:

Kako je skup moguih rjeenja konveksan, ogranien skup postoji konaan broj (pretpostavimo k) ekstremnih taaka koje emo oznaciti sa x1,x2,...xk . Neka

je x* taka za koju funkcija cilja ostvaruje maksimum, odnosno za koju imamo da je z(x*) z(x) za svako mogue rjeenje x.

Ako je x* ekstremna taka konveksnog skupa moguih rjeenja, teorema je dokazana.

7

Pretpostavimo suprotno, tj da x* nije ekstremna taka skupa moguih rjeenja. Tada taku x* moemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa ekstremnih taaka, tj.

x* 1 x1 2 x2 ... k xk

gdje je i 0 (i=1, ...k) i i=1Kako je funkcija z linearna, moemo pisati

z(x*) z(1 x1 2 x2 ... k xk )

1 z(x1 ) 2 z(x2 ) ... k z(xk )

Ukoliko sada u poslednjoj jednaini, od k moguih rjeenja predstavljenih ekstremnim takama mogueg skupa izaberemo taku za koju funkcija z ostvaruje maksimalnu vrijednost, na primer xk , tada moemo pisati

1 z(xk ) 2 z(xk ) ... k z(xk )

1 z(x1 ) 2 z(x2 ) ... k z(xk ) z(x*)

Obzirom da su koeficijenti 1 0 i 1 1, dobijamo:

1 z(xk ) 2 z(xk ) ... k z(xk )

(1 2 ... k )z(xk ) z(xk )

odnosno

z(xk ) z(x*) ,

to je i trebalo dokazati.

11) Grafiki metod je najjednostavniji nain odredjivanja reenja u zadatku linearnog programiranja. On se moe primijeniti samo u sluaju kada u zadatku postoje dvije realne promjenjljive. Grafikim metodom, odredjevanje optimalnog reenja zatka linearnog programiranja sastoji se od sledeih aktivnosti:

Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja, Grafiko predstavljanje pravih koje reprezentuju nejednaine sistema ogranienja,

Identifikacije skupa moguih reenja za koja su zadovoljenje sve nejednaine sistema ogranienja i uslov nenegativnosti,

Nanoenje prave koja reprezentuje f-ju cilja,

Translacija prave f-je cilja s lijeva u desno (nanosenje paralelnih pravih) sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogucih resenja ima samo jednu zajednicku tacku,

Utvrdjivanja optimalnih vrijednosti promjenjljivih x1 i x2 u vidu koordinata extremne take skupa moguih reenja najudaljenije od koordinatnog poetka

Odredjivanje vrijednosti f-je cilja za optimalne vrijednosti promjenjljivih.

Vazno je napomenuti da je postupak primjene grafickog metoda odredjivanja optimalnog resenja istovjetan i u slicaju resavanja problema minimuma, kao i mjesovitog problema maksimuma. U slucaju rjesavanja problema minimuma, inverzan zahtjev definisan odgovarajucom funkcijom cilja, determinise egzistenciju optimalnog resenja u tacki skupa mogucih resenja koja je najbliza koordinatnom pocetku.

12) Osnovne karakteristike simpleks metoda su:

Predstavlja algoritam u kome se u nizu iteracija dolazi do optimalnog reenja, pri tome se u svakoj od iteracija utvrdjuju vrijednosti promjenjljivih koje odgovaraju ekstremnim takama skupa moguih reenja i ispituje njihova optimalnost,

8

- Obezbjedjuje najkrai put do optimalnog reenja, sto znaci da se u potupku resavanja zadatka linearnog programiranja ne utvrdjuju resenja koja odgovaraji svim ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih resenja (kao sto je to slucaj kod metoda ''pretrazivanja'' koji se koristi u kombinaciji sa grafickim metodom).

Za razliku od grafikog metoda , koji se moe koristiti samo za reavanje problema u kojima postoje dvije realne promjenjljive, simpleks metod predstavlja algoritam koji se koristi za reavanje svih oblika zadatka linearnog programiranja.Simpleks kriterijumi za promjenu vektorske baze su I i II Dantzigov simpleks kriterijum.

Kriterijum za ukljuivanje jednog od nebazinih vektora u bazu kod problema maksimuma je:

Ct - Zt = max (Cj-Zj) > 0..............I Dantzigov simpleks kriterijum

Ukoliko su za neko od reenja ove razlike za sve nebazine vektore negativne, tj. (C j- Zj) < 0, takvo reenje predstavlja optimalno reenje problema maksimuma.

Izraz:

p = Xki / Xkl = min Xi / Xu, za Xil > 0

prestavlja kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II Dantzigov simpleks kriterijum. Nakon smjene vektora u bazi, na osnovu primjene simpleks kriterijuma, izraunava se novo poboljano reenje.

13) Kriterijum za ulazak vektora A j u bazu odrediemo na osnovu:

p mpm

z ci xiiz j xij ci

i p1i p1

Naime, ako drugi izraz pomnoimo koeficijentom 0 , i oduzmemo ga od prvog izraza, dobiemo:

pmpm

z z j ci xi xij ci

i p1i p1

Ukoliko lijevoj i desnoj strani ove relacije dodamo vrijednost c j , dobijamo

pmz (z j c j ) (xi xij )ci c ji p1

Ukoliko izraz na desnoj strani obiljeimo sa z, odnosno ako jepmz' (xi xij )ci c j

i p1

Tada, nakon zamjene u relaciji dobijamo:

z' z (z j c j )

tj.

z' z (c j z j ) z z

Gdje z' predstavlja poveanje vrijednosti funkcije cilja do koje je dolo ukljuivanjem u bazu vektora Aj , odnosno poveanje vrijednosti funkcije cilja do koje dolazi ukljuivanjem jedne

jedinice promjenljive x j u bazino rjeenje. Ukoliko je, prema tome, vrijednost z' (c j z j ) vea, poveanje vrijednosti funkcije cilja e biti vee, uz pretpostavku da je z' 0 . Na osnovu

9

toga, kriterijum za ukljuivanje jednog od prethodno nebazinih vektora u bazu sastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor (l-ti) kod koga je zadovoljen uslov:cl zl max(c j z j ) 0j

Ovaj izraz predstavlja kriterijum optimalnosti, odnosno I simpleks kriterijum za izmjenum vektorske baze. Ukoliko su za neko od rjeenja ove razlike za sve nebazine vektore negativne, tj. (c j z j ) 0 , takvo rjeenje predstavlja optimalno rjeenje problema maksimuma.

14) Ukoliko u sistemu ogranienja kod problema maksimuma, osim nejednaina sa znakom imamo uslove koji su predstavljeni jednainama, ili nejadnainama sa znakom takav oblik problema nazivamo mjeoviti problem maksimuma.

Da bo objasnili sutinsku i metodoloku razliku mjeovitog problema u odnosu na standardni problem maksimuma, posmatrajmo sledei oblik problema;

(max)Z = c1x1+c2x2+...+cpxp

a11x1+a12x2+....+a1pxp b1 a21x1+a22x2+....+a2pxp b2 ............................................... ak1x1+ak2x2+....+akpxp = bk ............................................... am1x1+am2x2+....+ampxp bm x1, x2,...,xp 0

Za razliku od standardnog problema max u kome su sve nejednaine sa znakom , u ovom problemu vidimo da je k-ti uslov dat u vidu jednaine, dok je m-ti uslov dat u vidu nejednaine sa znakom . Iako i u ovom sliaju maksimuma vaze karakteristike moguih ,bazinih i optimalnih reenja, razliito izraeni uslovi u sistemu ogranienja izazivaju promjenu postupka odredjivanja optimalnog reenja u odnosu na postupak kod standardnog problema maksimuma. Kod standardnog problema maksimuma, za potrebe odredjivanja optimalnog resenja, sistem nejednacina transformisemo u sistem jednacina uvodjenjem dodatnih promjenjljivih. Pocetno bazicno resenje odredjujemo na osnovu pretpostavke da su realne promjenjljive jednake nuli.

Prilikom transformisanja ograniavajuih uslova kod mjeovitog problema, osim dodatnih u sistemu se uvode i vjetake promjenjljive, kod nejednaina sa znakom , dok se samo vjestacke promjenjljive uvode u jednacine. Pored toga , za razliku od standardnog problema kod koga se funkciji cilja dodaju samo dodatne, karakteristika mjeovitog problema je da se f-ji cilja dodaju i vjetake promjenjljive i to sa koefincijentom M za problem maksimuma i +M za problem minimuma. (M, veliki konacan broj).

15) Dodatne promjenjljive se dodaju lijevim stranama nejednaina sa znakom , odnosno oduzimaju od lijevih strana nejednaina sa znakom , ime ove promjenjljive ispunjavaju svoju metodoliku i sutinsku ulogu u modelu linearnog programiranja. Vjetake promjenjljive uvodimo samo u jednaine i nejednaine sa znakom , i to iskljuivo iz metodolokih razloga. Vjetake promjenjljive za razliku od dodatnih nemaju nikakvo sutinsko znaenje, ve predstavljaju iskljuivo metodoloki postupak neophodan za odredjivanje poetnog bazinog reenja. Osim toga, u postupku reavanja zadatka vjetake promjenjljive, moraju biti eliminisane iz baze, to znai da se one ne mogu nai u optimalnom reenju zadatka linearnog programiranja. Eliminisanje

10

vjetakih promjenjljivih se obezbjedjuje njihovim uvodjenjem u f-ju cilja sa koeficijentom M (za problem maksimuma) i +M (za problem minimuma). Ukoliko se ipak neka vjetaka promjenjljiva pojavi u optimalnom reenju sa pozitivnom vrijednou, onda je to znak da je sistem ogranicenja nekonzistentan, odnosno da postavljeni problem nema reenja!!

16) Problem minimuma predstavlja takav oblik modela linearnog programiranja u kome se postavlja zahtjev za odredjivanje minimalne vrijednosti unaprijed poznate f-je cilja, uz potovanje zadatih ogranienja predstavljenih u obliku sistema jednaina i nejednaina. U okviru preduzeca , problem minimuma se najcesce koristi za odredjivanje optimalnog programa proizvodnje pojedinih proizvoda za koji ce se ostvariti minimalni ukupni troskovi (materijala, sirovina, angazovane radne snage, i sl.). Ovaj metod karakterie sistem ogranienja predstavljen iskljuivo nejednainama sa znakom , dok mjeoviti problem podrazumijeva i jednaine i nejednaine sa znakom . Prilikom transformisanja sistema ogranienja u sistem jednaina u nejednaine sa znakom uvodima samo daodatne promjenjljive, u jednaine uvodimo samo vjetake, dok u nejednaine sa znakom uvodimo i dodatne i vjetake promjenjljive. Bez obzira o kakvom problemu minimuma se radi (standardnom ili mjeovitom) optimalno reenje se nalazi u jednoj od ekstremnih taaka (najblizoj pocetku prostora), konveksnog, odozdo ogranienog skupa moguih reenja.

Problem minimuma moemo predstaviti u sledeem obliku:

(min)Z = c1x1+c2x2+...+cpxp

a11x1+a12x2+....+a1pxp b1a21x1+a22x2+....+a2pxp b2...............................................am1x1+am2x2+....+ampxp bmx1, x2,...,xp 0

u kome se postavlja zahtjev za odredjivanjem nenegativnih vrijednosti promjenjljivih za koje f-ja cilja Z ostvaruje minimalnu vrijednost. Transformisanjem sistema ogranienja iz nejednaina u jednaine , uvodjenjem dodatnih promjenjljivih, dobijamo

(max)Z = c1x1+c2x2+...+cpxp +0Xp+1 +0Xp+2 + 0Xp+m

a11x1+a12x2+....+a1pxp Xp+1=b1

a21x1+a22x2+....+a2pxp-Xp+2=b2

.................................................................................................am1x1+am2x2+....+ampxp-Xp+m=bm

x1, x2,...,Xp+m 0

i pored toga sto smo sistem nejednacina transformisali u sistem jednacina, nismo u mogucnosti da odredimo pocetno bazicno resenje problema minimuma. Naime, ukoliko bi posli od pretpostavke da su realne promjenjljive jednake nuli, s obzirom da su vrijednosti bi > 0 , vrijednosti bazicnih promjenjljivih bi bile negativne, zbog cega ne bi mogli odrediti optimalno resenje koriscenjem simpleks postupka. Zbog toga se uvode vjestacke promjenjljive, ciji vektori obrazuju jedinicnu matricu koju mozemo uzeti za pocetnu vektorsku bazu.

Nakon uvodjenja vjetakih promjenjljivih problem moemo predstaviti u obliku:

11

(min)Z = c1x1+c2x2+...+cpxp +0Xp+1 +0Xp+2 + 0Xp+m + M (Xp+1.M, Xp+2.M,...Xp+m.M)

a11x1+a12x2+....+a1pxp - Xp+1+Xp+1.M=b1

a21x1+a22x2+....+a2pxp- Xp+2+Xp+2.M=b2

..........................................................................................................................................am1x1+am2x2+....+ampxp- Xp+m+Xp+m.M=bm

x1, x2,...,Xp+m 0

17) Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem, koji takodje predstavlja problem linearnog programiranja. Izmedju osnovnog (primarnog) i izvedenog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu osnovnog zahtjeva, odnosno u pogledu zahtjeva za odredjivanjem ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Ukoliko se u poetnom problemu koji se naziva primarni problem , postavi zahtjev za maksimizacijom f-je cilja, u dualnom problemu

e f-ja cilja biti f-ja minimuma, i obrnuto. Osim toga , nejednaine ogranienja dualnog problema izvode se na osnovu nejednaina ogranienja primarnog problema. Reavanjem konkretnih ekonomskih problema na osnovu ovakvog odnosa izmedju primarnog i dualnog problema, primarne

i dualne promjenjljive omogucavaju dobijanje znacajnih informacija o karakteru optimalnog resenja. Zbog toga korienje dualng problema u postupku resavanja nekog problema linearnog programiranja ima veoma znaajne analitike i metodoloke karakteristike.

Izmedju primarnog i dualnog problema postoji takav odnos da u dualnom problemu ima tano onoliko promjenjljivih koliko u primarnom problemu ima strukturnih ogranienja. Isto tako u dualnom problemu postoji po jedna nejednaina ogranienja za svaku realnu promjenjljivu primarnog problema.

Osim znaajnih analitikih karakteristika pomenut emo i metodoloke povoljnosti korienja dualnog problema. Naime, s obzirom da odredjivanje optimalnog reenja bilo koga zadatka linearnog programiranja istovremeno znai odredjivanje optimalnog reenja i njemu odgovarajueg dualnog problema, mogue je njihovo alternativno korienje za postupak reavanja zadataka.

18) Dualni problem zadatka linearnog programiranja formulie se na sledei nain:

- Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, f-ja cilja dualnog problema e biti f-ja minimuma, i obrnuto,

- Mijenja se smjer znakova nejednakosti u sistemu nejednaina, i to tako da ukoliko su nejednaine primarnog problema sa znakom , nejednaine dualnog problema postaju nejednaine sa znakom

i obrnuto.

- Vri se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranienja primarnog problema, na osnovu ega ukoliko u primarni problem imamo (m) nejednaina se (p) promjenjljivih, u dualnom problemu e biti (p) nejednaina sa (m) promjenjljivih,

Koeficijenti uz promjenjljive u f-ji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim lanovima sistema ogranienja primarnog problema,

Slobodni lanovi sistema nejednaina dualnog problema jednaki su koeficijentima koji se uz promjenjljive nalaze u f-ji cilja primarnog problema,

Sve promjenjljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog ega je ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu.

Polazeci od navedenih pravila za formulisanje dualnog priblema nekog zadatka linearnog programiranja mozemo posmatrati osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

12

Primarni problem(max)Z = c1x1+c2x2+...+cpxp

a11x1+a12x2+....+a1pxp b1a21x1+a22x2+....+a2pxp b2...............................................am1x1+am2x2+....+ampxp bmx1, x2,...,xp 0

dualni problem(min)V = b1y1+b2y2+...+bmym

a11y1+a12y2+....+am1ym c1

a21y1+a22y2+....+am2ym c2...............................................a1py1+a2py2+....+ampym cpy1, y2,...,yp 0ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku:

(max)Z= CjXj .................Xi 0Tada njemu odgovarajuci dualni problem mozemo predstaviti u obliku:

(min)V= biYi ...................Yi 0

19) Zadaci primarnog i njemu odgovarajueg dualnog problema predstavljaju dva medjusobno povezana zadatka, tako da se svaki od njih moze smatrati primarnim odnosno dualnim problemom.

Oigledno je da izmedju promjenjljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i medjusobna uslovljenost reenja. Ta veza moze se izraziti na sledei nain: Svakoj dodatnoj promjenjljivoj primarnog problema odgovara (medjusobno su povezane) jedna realna promjenjljiva dualnog problema u obliku:

Xp+1--------Y1

Xp+2--------Y2

..

..

Xp+m-------Ym

Dok svakoj glavnoj promjenjljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promjenjljiva dualnog problema, tj.

X1-----------Ym+1X2-----------Ym+2..

..Xp-----------Ym+p

Ovako izraena veza izmedju promjenjljivih primarnog i dualnog problema predstavlja veoma znaajnu karakteristiku dualnog problema. Na osnovu iskazane relacije mozemo konstatovati da resavanjem jednog od problema (primarni, dualni) i odredjivanjem optimalnog resenja jednog od njih dibijamo istovremeno i optimalno resenje njemu odgovarajuceg dualnog problema.

Optimalno resenje dualnog problema , na osnovu vec izracunatogoptimalnog resenja primarnog problema, mozemo odrediti na dva nacina:

13

Optimalne vrijednosti realnih promjenjljivih dualnog problema yi (i=1,...m) odredjujemo kao negativnu vrijednost razlike I simpleks kriterijuma za dodatne promjenjljive iz poslednjeg (optimalnog) resenja primarnog problema, tj.

Yi = - (Cp+i - Zp+i)i=1,...m

Na osnovu optimalnog resenja primarnog problema, optimalne vrijednosti realnih promjenjljivih dualnog problema yi =(i=1,...m) odredjujemo iz relacije:

y = Cb1opt

gdje je y=(y1,...ym), Cb vektor vrsta koeficijenata koji se u funkciji cilja primarnog problema nlaze uz promjenjljive iz optimalne baze opt

20) Za bilo koje mogue rjeenje x (x1 ,..., x p ) primarnog problema i bilo koje mogue rjeenje dualnog problema y ( y1 ,..., ym ) vrijednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrijednosti funkcije cilja dualnog problema, tj. z(x) v( y) ilic j x j bi yi

pm

j 1i1

Dokaz:

Pomnoimo desnu i lijevu stranu i-te nejednaine sistema ogranienja primarnog problema sa yi

i

sumirajmo po indeksu i=1,...m , na osnovu ega dobijamo:

mm

(ai1 x1 ... aip x p ) yi bi yi

i1i1

Izraz na lijevoj strani prethodne nejednaine moemo predstaviti u obliku dvostruke sume po

i=1,...,m , i po j=1,...,p , na osnovu ega prethodnu nejednainu moemo predstaviti u obliku

mpp

aij yi x jbi yi

i 1j 1i 1

Analogno prethodnom postupku, ukoliko j-tu nejednainu sistema ogranienja dualnog problema

pomnoimo sa x j , zatim sumiramo poj=1,...,p,dobijamo:

pmp

aij yi x j c j x j

j 1i1j 1

Kada su lijeve strane prethodnih nejednaina jednake, konstatujemo da je:

pm

c j x j bi yi

j 1i1

to je trebalo i dokazati.

21) Ukoliko su x* (x* ,..., x* ) iy* ( y* ,..., y* ) , mogua rjeenja primarnog i dualnog problema, za koje

1p1m

su vrijednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema jednake, tj.

Z (x*)= V (y*)

tada x* i y* predstavljaju optimalna rjeenja primarnog i dualnog problema, respektivno.

Dokaz: Neka je xneko mogue rjeenje primarnog problema. Tada na osnovu prethodne teoreme

znamo da je z(x') v( y*) . Meutim, kako je na osnovu uslova teoreme Z(x*) = V(y*) to je

14

z(x') z(x*) . Kako je x bilo koje mogue rjeenje primarnog problema, to je Z(x*) = (max) Z

(x),

odnosno x* predstavlja optimalno rjeenje primarnog problema. Analogno se dokazuje da y* predstavlja optimalno rjeenje dualnog problema.

22) Optimalna vrijednost dualne promjenjljive istovremeno pokazuje i optimalno resenje njemu odgovarajeeg primarnog problema. Svakoj dodatnoj promjenjljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promjenjljiva dualnog problema ( i suprotno).

Izvodjenje: Primarni problem max

pmaxZ= cj xjj=1

p

aij xj +xp+i = b(i=1......m)

Xj > 0xp+i > 0(j=1.....p; i=1....m)

Dualni problem min

m

minZ= bj yi

i=1

p

aij yi +ym+j = cj(i=1......p)

yj > 0 ym+j > 0(j=1.....m; i=1....p)

23) Dualne promjenjljive osim znaajnih metodolokih osobina , pruaju mogunost za dobijanje veoma znaajnih informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao i ispitivanje uticaja promjenje nivoa korienja raspoloivih resursa na vrijednost f-je cilja. Problem standardnog maksimuma je:

(max)Z= cx Ax b

x 0odgovarajui dualni problem je:

(min)V= b' y

A'y c' y 0

Neka x* predstavlja optimalno reenje primarnog problema, za koje je Z(x*) = max Z(x) , i neka je odgovarajue optimalno reenje dualnog problema y* za koje je Z(y*) = min Z(y). Pretpostavimo, sada, da se elementi vektora b (resursi) primarnog problema poveaju za iznos b, koji ne izaziva promjenu strukture optimalne baze. Promjena vrijednosti elemenata vektora b dovese do poveanja vrijednosti funkcije cilja primarnog problema za iznos od:

Z(x*) = y*b

odnosno , poveanje iznosa i-tog resursa dovest e do promjene vrijednosti f-je cilja primarnog problema za iznos od

Z(x*) = yi*bi

15

Dokaz tvrdjenja proizilazi iz karaktera bazinih reenja i teorema dualnosti. Naime, x* i x** predstavljaju optimalne vrijednosti promjenjljivih primarnog problema u sliajevima vektora b i

b, respektivno. Na osnovu teoreme dualnosti mozemo pisati cx*=y*(b+b)

cx*=y*b nakon oduzimanja druge jednaine od prve, dobijamo

cx** - xy*=y*(b+b)-y*bodakle dobijamo da je

Z(x*) = y*b

gdje Z(x*)=cx** - cx* predstavlja poveanje vrijednosti f-je cilja izazvano poveanjem vrijednosti vektora b.

24) Simpleks metod predstavlja opti algoritam koji se koristi za reavanje svih vrsta zadataka linearnog proframiranja, bez obzira na broj promjenjljivih. Simpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnog programiranja, koji je prilagodjen za potrebe reavanja ovih problema korienjem simpleks metoda. Tabelarni postupak omoguava da se u nizu iteracija dodje do optimalnog reenja linearnog programiranja.

Poetno bazino reenje predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odredjivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks tabele primjenom simpleks kriterijuma za promjenu vektorske baze, preko niza simpeks tabela dolazi se do optimalnog reenja.

25) Inicijalna simplejs tabela je prva simpleks tabela koja predstavlja osnovu ze odredjivanje optimalnog reenja. U cilju odredjivanja optimalnog reenja, u prvom koraku se transformie sistem ogranienja iz nejednaina u jednaine. Inicijalna simpleks tabela obrazuje se na sledei nain:

U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u f-ji cilja nalaze uz bazine promjenjljive U drugu kolonu tabele unosimo bazine promjenjljive

Kolona Xb obuhvata vrijednosti bazinih promjenjljivih u svakom od reenja, odnosno u svakoj od odgovarajuih simpleks tabela.

U kolone x1, x2,...xp prve simpleks tabele unosimo koeficijente koji se uz ove promjenjljive nalaze u sistemu ogranienja zadatka.

Radi preglednosti i cjelokupnosti tabelarnog prikazivanja problema linearnog programiranja, u zaglavlje tabele, tj. u prvu vrstu, unosimo vrijednosti koeficijenata koji se u f-ji cilja nalaze uz promjenjljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele.

Elementi vrste koju obeljeavamo sa Zj odredjujemo za svaku kolonu nae tabele. Vrijednost koja se u okviru ove vrste nalazi u koloni Xb predstavlja vrijednost f-je cilja za odgovarajue reenje i odredjuje se kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i odgovarajuih vrijednosti bazinih promjenjljivih. Preostale vrijednosti u vrsti Zj odredjujemo slino, kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i odgovarajuih koeficijenata iz pojedinih kolona.

Poslednja vrsta simpleks tabele predstavlja kriterijum optimalnosti, odnosno prvi simpleks kriterijum za promjenu baze u cilju optimizacije programa.

26) Postupak izraunavanja optimalnog reenja zadatka LP realizuje se u nekoliko uzastopnih iteracija, pri emu u svakoj narednoj iteraciji (ako je problem maksimuma), vrijednost f-je cilja mora biti vea od odgovarajue vrijednosti iz prethodne simpleks tabele. Postupak izraunavanja narednog reenja, odnosno elemenata naredne simpleks tabele, podrazumijeva realizaciju narednih operacija:

16

Odredjivanje koju od prethodno nebazinih promjenjljivih treba ukljuiti u bazu u cilju poboljanja reenja,

Utvrdjivanje koja od prethodno bazinih promjenjljivih treba da napusti bazu, i time ustupi mjesto novouvedenoj promjenjljivoj.

Utvrdjivanje vrijednosti promjenjljivih u novom reenju, Utvrdjivanje vrijednosti koeficijenata nove simpleks tabele,

Utvrdjivanje vrijednosti f-je cilja koja odgovara reenju koje je predstavljeno novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrijednosti funkcija Zj za sve promjenjljive.

Vazno je napomenuti da navedeni redosled aktivnosti predstavlja opste pravilo za dobijanje narednog poboljsanog resenja, odnosno naredne simpleks tabele. Takodje, vazno je konstatovati da prelazak od pocetnog bazicnog na prvo poboljsano resenje zahtijeva odredjivanje promjenjljive prethodno nebazicne koju treba ukljuciti u bazu u cilju odredjivanja poboljsanog resenja. Ovakav zakljucak donosimo utvrdjivanjem razlika Cj Zj za sve promjenjljive koje se nalaze u poslednjoj vrsti simpleks tabele. Ukoliko je ova razlika pozitivna (negativna) , kod standardnog problema maksimuma ona pokazuje za koliko jedinica ce se povecati (smanjiti) vrijednost funkcije cilja ukoliko odgovarajuca promjenjljiva udje u bazu novog resenja. Kako se postupak odredjivanja optimalnog resenja problema maksimuma realizuje preko niza iteracija, kriterijum za ulazak promjenjljive u bazu mozemo definisati na sledeci nacin:

U naredno bazicno moguce rsenje, u postupku odredjivanja optimalnog resenja problema maksimuma, treba ukljuciti onu prethodno nebazicnu promjenjljivu za koju je u prethodnoj iteraciji razlika (Cj - Zj) najveca pozitivna. Resenje je optimalno kada u poslednjem redu simpleks tabele (Cj - Zj) za postoji nijedna pozitivna vrijednost.

27) Karakteristika simpleks metoda i simpleks kriterijuma za izmjenu vektorske baze zahtijeva odredjivanje promjenjljive koju treba ukljuiti u bazu u cilju obezbjedjivanja poboljanog reenja. Ovakav zakljuak donosimo utvrdjivanjem vrijednostio razlika Cj-Zj za sve promjenjljive , koje se nalaze u poslednjoj vrsti simpleks tabele. Ukoliko je ova razlika pozitivna kod standardnog problema maksimuma ona pokazuje za koliko jedinica e se poveati vrijednost f-je cilja u koliko odgovarajua promjenjljiva udje u bazu novog reenja. U naredno bazino mogue reenje , u postupku odredjivanja optimalnog reenja standardnog problema maksimuma, treba ukljuiti onu promjenjljivu za koju je najvea pozitivna razlika Cj-Zj.

Nakon odredjivanja nebazine promjenjljive koja treba biti ukljuena u bazu, neophodno je utvrditi koju od prethodno bazinih promjenjljivih treba eliminisati iz baze. U cilju odredjivanja kriterijuma za iskljuivanje neke promjenjljive iz baze, sistem jednaina moemo predstaviti u obliku:

Xp+1=b1-(a11X1+a12X2+...+a1pXp) Xp+2=b2-(a21X1+a22X2+...+a2pXp) ............................................................ Xp+m=bm-(am1X1+am2X2+...+ampXp)

Poetno bazino reenje smo odredili na osnovu pretpostavke da su sve glavne promjenjljive jednake 0, tako da su dodatne promjenjljive jednake slobodnim lanovima sistema ogranienja, odnosno izrazi u zagradama na desnoj srani jednaki su nuli. Ukoliko pretpostavimo da xk treba da udje u bazu, onda sistem jednacina mozemo zapisati:

17

Xp+1=b1 - a1kXkXp+2=b2 - a2kXk..............................Xp+m=bm amkXkOdnosno za sve vrijednosti:

Xp+r =br arkXk..... (r=1,....m)

Zavisno od vrijednosti koeficijenta ark(r=1,...m) doci ce do promjene vrijednosti promjenjljivih Xp+r . medjutom , kako mora biti zadovoljen sistem nenegativnosti, mozemo zapisati:

br arkXk 0.........r (1,...,m)odnosno

Xk br / ark ; ark > 0 ..........r=(1,...,m)

Iz baze treba eliminisati onu, prethodno bazicnu, promenjljivu za koju odredimo minimalni vrijednost:

= min br/ark = bl/alk,ark > 0(r=1...m)

28) Problem degeneracije linearnog programiranja javlja se u slucajevima kada jedna ili vise bazicnih promjenljivih imaju vrijednost nula.Osnovni uzrok za pojavu ovog problema jeste suvisnost nekog od ogranicenja u modelu. Problem degeneracije prepoznajemo tako sto kod sprovodjenja II Simpleks kriterijuma dobijamo jednu ili vise jednakih minimalnih vrijednosti pa ne mozemo da se odlucimo koja promjenljiva napusta bazu. Obicno se uzima ona koja ima najveci imenilac, a ukoliko su i imenioci isti onda uzimamo proizvoljno.

Posledice degeneracije su te da promjenljiva koja je ostala u bazi u narednoj iteraciji uzima vrijednost nula pa je zakljucak da je jednaina ili nejednacina u kojoj se nasla ova promjenljiva predstavlja suvisno ogranicenje.

Osim toga, u sliaju postojanja degeneracije noe se pojaviti i problem ciklusa, odnosno sluaj da u toku reavanja zadatka ponovo dobijemo reenje istovjetno sa nekim od prethodnih.

29) Geometriski posmatrano optimalno reenje problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj taki konveksnog, ogranienog i zatvorenog skupa moguih reenja. Medjutim, u nekim sliajevima moe se dogoditi da izraunato optimalno reenje zadatka linearnog programiranja nije jedinstveno, odnosno da postoji viestruko optimalno reenje.

Ukoliko postoji makar jedna razlika kod I simpleks kriterijuma Cj-Zj=0 za prethodnu nebazinu promjenjljivu Xj , dok su vrijednosti ovih razlika za ostele nebazine promjenjljive negativne, izraunato optimalno reenje nije jedinstveno.

Geometriski , sliaj postajanja viestrukog optimalnog reenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja reprezentuje neko od ogranienja i koefijent pravca prave f-je cilja jednaki.

Npr.

18

Kao sto vidimo tacke konveksnog poligona 0BMDC2 predstavljaju moguca resenja zadatka. Prava koja reprezentuje f-ju cilja podudara se sa pravom koja predstavlja gornju granicu vrijednosti promjenljivih X1 i X2 za koje je zadovoljena prva nejednacina ogranicenja (A1,A2) na kojoj se nalaze tacke M i D . Na osnovu toga konstatujemo da se optimalno resenje naseg zadatka nalazi na tackama M i D. Neposrednom provjerom tj. uvrstavanjem vrijednosti koordinata extremnih tacaka skupa mogucih resenja u f-ji cilja takodje bi se pokazalo da je predhodna tvrdnja tacna, jer bi dobili dvija ista iznosa.

30) Prilikom formulisanja modela linearnog programiranja moe se dogoditi da model bude tako postavljen da ne postoje mogua reenja. Takav sliaj se deava ukoliko ne postoje vrijednosti promjenjljivih za koje su zadovoljeni svi ograniavajui uslovi. Geometriski, takav zadatak ima prazan skup moguih reenja, odnosno ne moe se nai nijedna taka za koju su zadovoljene sve nejednaine (jednaine) sistema ogranienja modela. Raavanjem ovakvog zadatka analiticki moemo konstatovati nepostojanje mogucih resenja u poslednjem bazicnom resenju gdje svi elementi I simpleks kriterijuma (Cj-Zj) pokazuju postojenje optimalnog reenja, ali e se u bazi nai vjetaka promjenjljiva, to je glavni indikator postojenja medjusobno kontradiktornih ograniavajuih uslova u zadatku.

Grafiki prikaz:

31) Problem nemogunosti odredjivanja konanih vrijednosti promjenjljivih i f-je cilja u problemu maksimuma javlja se ukoliko je:

Model formulisan tako da se jedna ili vie promjenjljivih mogu poveavati neogranieno, a da ne bude naruen nijedan od ograniavajucih uslova zadatka i,

b) f-ja cilja na skupu mogueh reenja nema konanu vrijednost (skup moguih reenja nije

ogranien skup) Grafiki prikaz: Npr:

19

Na osnovu grafikoga prikaza vidimo da se promjenjljiva x1, a time i f-ja cilja, mogu neogranieno poveavati a da nijedan od uslova zadatka ne bude naruen. Neogranienost skupa moguih reenja ima za posledicu postojenje mogunosti neogranienih vrijednosti promjenjljivih i f-je cilja.

Rjeavajui problem maksimuma analiticki , problem mogunosti postojanja neograniene vrijednosti f-je cilja i promjenjljivih konstatovat cemo u nekoj od iteracija u postupku odredjivanja promjenjljive koja treba da izadje iz baze. Da bi neka promjenjljiva izala iz baze potrebno je da u odnosu na ostale vrijednosti ima najmanji pozitivni kolinik drugog simpleks kriterijuma. Medjutim, ukoliko svi ovakvi kolinici budu negativni ili nedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konano reenje.

Npr. analiticki:

II- Simpleks kriterijum x2 = 5 =

a25 0

x1 = 5 = -5a15 -x4 = 5 = -5a45 -1

32) Onovna karakteristika dualnog simpeks metoda je to on polazi od nekog bazinog reenja koje nije nenegativno i uslova da je simpleks kriterijum za nebazine vektore (Cj-Zj) 0 , za svako j. Ako ovaj uslov nije zadovoljen, , onda je potrebna dosta obimna procedura da bi se obezbijedio pomenuti uslov, neophodan za otpoinjanje dualnog simpleks metoda. Veoma esto, korienje dualnog simpleks metoda, u reavanju problema optimizacije ima niz prednosti u odnosu na druge

algoritme simpleks metoda. Takvi su prije svega problemi minimizacije, kod kojih je potrebno uvoditi vjetake promjenjljive, zatim problemi post-optimalne analize, cjelobrojnog programiranja i td.Neka je dat problem minimizacije

Z = cx Ax b X = 0gdje su c i b pozitivni vektori,

Ovaj problem se moe rijeiti pomou simpleks metoda uvodjenjem dodatnih i vjetakih promjenjljivih. Medjutim, mnogo je jednostavnije da se transformie u odgovarajui problem maksimizacije a zatim rijei pomou Dualnog Simpeks Metoda.

Na osnovu pravila dualnog simpleks metoda, problem minimizacije postaje problem maksimizacije,

(max)Z = -cx -Ax -b

X 0 odnosno,

(max)Z= -c1x1 c2x2-....-cpxp

-a11x1 a12x2-...-a1pxp -b1-a21x1 a22x2 - ...-a2pxp -b2...................................................-am1x1 am2x2 - ...- ampxp -bm

X1, x2,...xp 0

20

Uvodjenjem dodatne promjenjljive dobija se,

(max)Z= -c1x1 c2x2-...-cpxp + 0xp+1 +...0xp+m

-a11x1 a12x2-...-a1pxp+ xp+1= -b1

-a21x1 a22x2 - ...-a21xp+xp+2= -b2

............................................................

-am1x1 am2x2-...-am1pxp+xp+m= -bm

X1, x2,...xp 0

33) U zadacima linearnog programiranja , pored uslova nenegativnosti, moze se postaviti jo i dodatni zahtjev po kome , neke ili sve promjenjljive moraju uzimati vrijednost iz skupa cijelih brojeva. Zadaci linearnog programiranja u kojima se postavlja uslov cjelobrojnost promjenjljivih, svih ili nekih, jesu zadaci cjelobrojnog programiranja.

Marematiki model cjelobrojnog programiranja:

(max) Z= CjXj aijXj bi, (i=1,2...m) Xj 0, (j=1,2...,p)

Xj-cijo brojj=1,2...,p,

Odnosno

(max)Z = CjXj

aijXj = bi,(i=1,2...m)

Xj 0,(j=1,2,...n)

Xj-cijo broj,j=1,2...n n1 n

U zavisnosti od toga kako je postavljen uslov cjelobrojnosti, razlikuju se dva tipa problema

a) ako je n1= n tj.ako sve promjenjljive moraju biti izraene u cijelim brojevima, radi se o potpunom cjelobrojnom programiranju

b) ako je n1 < n , radi se o djeliminom cjelobrojnom programiranju.

Svi metodi koji se koriste za reavanje zadatka cjelobrojnog linearnog programiranja, mogu se svrstati u tri grupe:

Metod zaokruzivanja, ija je sutina u zaokruivanju dobijenih rezultata. Naime, najprije se izrauna optimalno reenje zadatka linearnog programiranja, zanemarujui uslov cjelobrojnosti, a zatim se izvri zaokruivanje rezultata, zbog ega ovi metodi, najee daju rezultate koji su daleko od optimalnih.

Metod enumeracije, koji se sastoji u tome da se prebroje (implicitno ili eksplicitno) sva mogua cjelobrojna reenja. Proces pronalaenja reenja sastoji se od etapa, tako da se u svakoj narednoj etapi usvaja bolje, od najboljeg reenja na svim prethodnim etapama. Poto je potrebno pretraiti veliki broj reenja, problem je obiman i velika je mogunost pojave greke.

-metod odsijecajuih ravni- GOMORIJEV METOD. Ovaj metod lei na ideji o formiranju dodatnog ogranienja koje treba da odsijee dio konveksnog skupa moguih reenja u kome nama cjelobrojnog reenja. Prvobitni sistem ogranienja se proiruje sa dodatnim ogranienjem, pa se u konanom broju iteracija dolazi do optimalnog reenja. Prema Gomorijevom metodu, prvo se, dati problem reava simpleks metodom, ne uzimajui u obzir uslov cjelobrojnosti. Ako dobijeno reenje zadovoljava i uslov cjelobrojnosti reenje je optimalno, a ako reenje ne ispunjava uslov

21

cjelobrojnosti, tada se formira dodatno ogranienje koje se prikljuuje postojeem sistemu ogranienja i primjenom Dualnog Simpleks Metoda , trai se novo optimalno reenje. Dodatno ogranienje treba da yadovolji sledee uslove:

-svako dopustivo cjelobrojno reenje zadatka cjelobrojnog programiranja, mora ostati dopustivo reenje zadatka linearnog programiranja i posle dodavanja novog reenja.

-dobijeno reenje zadatka linearnog programiranja u svim sledeimo koracima mora postati nedopustivo, za isti zadatak posle dodavanja novog ogranienja.

Ukoliko ni ovakvo raenje na zadovoljava uslov cjelobrojnosti, opet se formira , novo dodatno ogranienje i postupak se ponavlja dok se ne nadje reenje koje zadovoljava uslov cjelobrojnosti. Dodatno ogranienje se formira na osnovu teorije o ekvivalentnim brojevima.a. neki broj a kongruentan broju b , onda i samo onda ako je njihova razlika cio broj; b. b) razlomljeni dio broja a , definie se kao najmanji cio brojkongruentan broju a; c. c) ako je a kongruentan broju b, onda je i f(a) f(b)

34) Metod odsijecajuih ravni- GOMORIJEV METOD. Ovaj metod lei na ideji o formiranju dodatnog ogranienja koje treba da odsijee dio konveksnog skupa moguih reenja u kome nama cjelobrojnog reenja. Prvobitni sistem ogranienja se proiruje sa dodatnim ogranienjem, pa se u konanom broju iteracija dolazi do optimalnog reenja. Prema Gomorijevom metodu, prvo se, dati problem reava simpleks metodom, ne uzimajui u obzir uslov cjelobrojnosti. Ako dobijeno reenje zadovoljava i uslov cjelobrojnosti reenje je optimalno, a ako reenje ne ispunjava uslov cjelobrojnosti, tada se formira dodatno ogranienje koje se prikljuuje postojeem sistemu ogranienja i primjenom Dualnog Simpleks Metoda , trai se novo optimalno reenje.

Dodatno ogranienje treba da yadovolji sledee uslove:

Svako dopustivo cjelobrojno reenje zadatka cjelobrojnog programiranja, mora ostati dopustivo reenje zadatka linearnog programiranja i posle dodavanja novog reenja.

Dobijeno reenje zadatka linearnog programiranja u svim sledeimo koracima mora postati nedopustivo, za isti zadatak posle dodavanja novog ogranienja.

Ukoliko ni ovakvo raenje na zadovoljava uslov cjelobrojnosti, opet se formira , novo dodatno ogranienje i postupak se ponavlja dok se ne nadje reenje koje zadovoljava uslov cjelobrojnosti. Dodatno ogranienje se formira na osnovu teorije o ekvivalentnim brojevima. Neki broj a kongruentan broju b , onda i samo onda ako je njihova razlika cio broj;

razlomljeni dio broja a , definie se kao najmanji cio brojkongruentan broju a; ako je a kongruentan broju b, onda je i f(a)f(b)

Kod zadatak iz potpunog cjelobrojnog programiranja, postavlja se uslov da je n1 = n, tj.

Da sve promjenjljive u problemu moraju biti izraene u cijelim brojevima. Dodatno ogranienje se formire tako to se odabere bazina promjenjljiva iz optimalnog reenja linearnog programiranja , koja sadri najvei razlomljeni dio i obrazuje se jednaina u kojoj je bazina promjenjljiva Xi izraena svojom vrijednou i linearnom funkcijom nebazinih promjenjljivih Xj, tj.

Xi = bio aijXij jS

gdje je S-skup indeksa nebazinih promjrnjljivih. Mogua su tri sluaja:

a) sve vrijednosti bio, iz optimalnog reenja linearnog programiranja, su cijeli brojevi. U tom sluaju reenje zadatka linearnog programiranja je ujedno i reenje zadatka cjelobrojnog programiranja.

b) sve vrijednosti bio iz optimalnog reenja linearnog programiranja jisu cijeli brojevi, ali su koeficijenti aij cijeli brojevi za svako i, j I . u tom sluaju ne postoji cjelobrojno reenje zadatka

22

c) postoje bar neke vrijednosti bio i aij , za i, j I , koje nisu cijeli brojevi. Tada se brojevi bio i aij mogu razloiti na cjelobrojni i razlomljeni dio, pri emu je ,

bio = kio + fio aij = kij + fij gdje je

kio, kij cijeli dio brojeva bio i aijfio, fij razlomljeni dio brojeva bio i aij, odnosno

0 0, a kod problema minimuma dj < 0.

36

52) arns-Kuperov metod je analiticki metod razlomljenog linearnog programiranja. On se saatoji od standardnog simplex metoda resavanja zadataka tipa linearnog programiranja.

Neka je dat problem:

(max)Z= c1x1 + c2x2 +...+cpxp+c0 t1x1 + t2x2 +...+tpxp+t0

uz ogranienja

a11x1 + a12x2 +...+a1pxp b1 a21x1 + a22x2 +...+a2pxp b2 ...............................................

am1x1 + am2x2 +...+ampxp bm

x1, x2,.....xp 0 razmotrit cemo sluaj kada je

Z2(x)= t1x1 + t2x2 +...+tpxp + t0 > 0Uvedimo zamjenu po kojoj je1= y0

t1x1 + t2x2 +...+tpxp+t0

f-ja cilja sada ima oblik

(max)Z = c1x1y0 + c2x2y0 +...+cpxpy0+c0y0

Uvodei smjenu po kojoj je

x1y0=y1, x2y0= y2....... xpy0= yp

f-ja cilja postaje

(max) Z= c1y1 + c2y2 +...+cpyp+c0

Mnoeci ogranienja sa y0 dobija se a11x1y0 + a12x2y0 +...+a1pxpy0 b1y0 a21x1y0 + a22x2y0 +...+a2pxpy0 b2y0...............................................

am1x1y0 + am2x2y0 +...+ampxpy0 bmy0

odnosno slijedi:

a11y1 + a12y2 +...+a1pyp - b1y0 0 a21y1 + a22y2 +...+a2pyp - b2y0 0.........................................................

am1y1 + am2y2 +...+ampyp - bmy0 0

iz uslova se dobija

t1x1y0 + t2x2y0 +...+tpxpy0+t0y0 = 1

prethodne transformacije su omoguile da se problem razlomljenog linearnog programiranja transformie u sledei problem linearnog programiranja

37

(max) Z= c1y1 + c2y2 +...+cpyp+c0

a11y1 + a12y2 +...+a1pyp - b1y0 0 a21y1 + a22y2 +...+a2pyp - b2y0 0.........................................................

am1y1 + am2y2 +...+ampyp - bmy0 0 t1x1y0 + t2x2y0 +...+tpxpy0+t0y0 = 1

53) Nemoguce odkucati !

54) Transportni problem predstavlja model ijim se korienjem odredjuje optimalan program distribucije odredjene vrste robe iz mjesta ponude do mjesta tranje. Kao kriterijum za optimizaciju programa transporta robe najee se uzima zahtjev za minimizacijom ukupnih transportnih trokova, iako se i kao kriterijum moe uzeti i minimizacija ukupnog vremena transporta robe. Transportni problem se moe posmatrati kao specijelan oblik zadatka linearnog programiranja, u kome f-ja cilja izraava ukupne transportne trokove, dok su ograniavajui uslovi odredjeni ponudom pojedinih ishodita, odnosno tranjom odredita.

Osim za optimizaciju transporta robe , transportni problem se moe efikasno koristiti za reavanje problema lokacije, kao i problema rasporedjivanja. Formulisanje i reavanje problema lokacije primjenjuje se u sliaju potrebe za odredjivanjem optimalne lokacije: maina u predizeu, skladita, pojedinih slubi i sl.

Osnovni elementi transportnog problema su: koliina robe koja se transportuje transportni trokovi po jedinici prevezene robe, raspoloiva koliina robe (ponuda) iznos tranje za posmatranom robom.

55) U cilju formulisanja opteg oblika transportnog problema pretpostavimo da postoji konaan broj ishodita (mjesta ponude) P1, P2,...Pm koja raspolau odredjenom vrstom robe za kojom postoji trnja u n odredita T1, T2...Tn.

Ukoliko raspolaemo podacima o koliini ponude robe i koliini tranje, tada transportni problem zahtijeva odredjivanje kombinacije puteva i odgovarajuih koliina za prevoz robe za koje e se ostvariti minimalni trokova. Osnovni elementi transportnog problema su:

koliina robe koja se transportuje transportni trokovi po jedinici prevezene robe, raspoloiva koliina robe (ponuda) iznos tranje za posmatranom robom.

Metodoloki posmatrano osnovni cilj reavanja transportnog problema moe se formulisati kao zahtjev za odredjivanje optimalnih vrijednosti promjenjljivih , na pojedinim putevima, za koje e se ostvariti minimalna vrijednost ukupnih transportnih trokova.Pri tome moraju biti zadovoljena tri ogranienja:

1) ukupna koliina raspoloive robe svakog ishodita more biti raspodijeljena na mjesta tranje

2) tranja svakog ishodita mora biti u potpunosti zadovoljena

3) koliine prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajue promjenjljive moraju biti nenegativne veliine.

38

56) Kod otvorenog modela transporta ukupna tranja nije jednaka ukupnoj ponudi, tj. m n

ai bj

i=1j=1

s toga razlikujemo dva oblika otvorenog transportnog problema kada je ukupna ponuda vea od ukupne tranje

mn

ai >bj

i=1j=1

i kada je ukupna ponuda manja od ukupne tranje

mn

ai < bj

i=1j=1

Otvoreni model transportnog problema reava se slino reavanju zadataka Linearnog programiranja gdje su ograniavajui uslovi dati u obliku nejadnaina. Sistem nejednaina koji izraava uslove zadatka u pogledu ponude i tranje transformie se u sistam jednaina uvodjenjem dodatnih promjenjljivih. Tabelarno reava se uvodjenjem fiktivne vrste ako je ukupna ponada manja od ukupne tranje, odnosno uvodjenjem fiktivne kolone ako je obrnuto.

57) Broj linearno nezavisnih jed sistema ogranicenja transportnog problema je m+n-1 Dokaz:

Predpostavimo da imamo kombinaciju vrijednosti promjenljivih Xij za koje znamo da zadovoljavaju sve jednacine sistema ogranicenja izuzev, npr. prvu jednacinu. Ukoliko su za Xij zadovoljene svih preostalih m+n-1, tada je sigurno zadovoljena i prva jednacina. Ocigledno je da lijevu strana prve jednacine ogranicenja mozemo predstaviti u obliku:

Xij=Xij-Xij

Kako je za svako Xij zadovoljeno svih m+n jednacina sistema ogranicenja, tj Xij=ai (i=1,..,m) i Xij=bj (j=1,n) to jednakost mozemo predstaviti u obliku

xijj = Xij Xij = bj ai = a1. Na taj nacin je

xij = a1 tj zadovoljena je I prva jednacina sistema ogranicenja. Isto bi mogli dokazati za bilo koju drugu od preostalih jednacina sistema.

58) Zato sto poznati stavovi i teoreme linearnog programiranja istiu injenicu da u bilo kom bazinim reenju mora imati tano m+n 1 bazinih promjenjljivih. To znai da e u svakoj tabeli koja reprezentuje neko bazino mogue reenje biti popunjeno m+n 1 polja, dok e preostali mn (m+n- 1) polja ostati prazna, odnosno odgovarajue promjenjljive e biti jednake nili.

59) Postupak odredjevanja poetnog bazinog reenja kod problema transporta predstavlja poetno rasporedjivanje ponudjene robe od strane pojedinih ishodita na razliita mjesta tranje. Pri tome bez obzira na nain odredjivanja poetnog reenja neophodno je da ukupne koliine robe po vrstama I kolonama odgovaraju ukupno izkazanim iznosima ponude I tranje, kao I da ukupno popunjenih polja bude tano m+n-1.

Od razliitih metoda koji se mogu koristit za odredjivanje poetnog bazinog reenja moemo navesti tri:

39

Metod sjeverozapadnog ugla, koji predstavlja takav postupak odredjivanja poetnog bazinog reenja u kome rasporedjivanje koliina robe za prevoz zapoinjemo iz lijevog gornjeg ugla tabele. Nakon toga u m+n-1 koraka idui dijagonalno rasporedjuju se koliine robe u razliita polja.

Metod minimalnih trokova podrazumijeva prevashodno korienje puteva kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezene robe, ime se i zapoinje popunjavanje tabele. Neizmjeninim popunjavanjem praznih polja kojima odgovaraju najmanji transportni trokovi, u m+n-1 koraka dolazi se do poetnog bazinog reenja

Vogelov aproksimativni metod, predstavlja najsloeniji postupak odredjivanja poetnog

bazinog reenja. Sutina ovog metoda sastoji se u izraunavanju potencijalnih gubitaka koji e nastati ukoliko se izmadju dva polja sa minimalnim transportnim trokovima koristi ono polje u kojem su transportni trokovi vei.

Postupak se zapoinje izraunavanjem vrijednosti razlika izmedju dva minimalna troka za svaku vrstu I kolono, nakon ega odredjujemo vrstu ili kolonu kojoj odgovara najvea vrijednost elementa. Poetnu koliinu rasporedjujemo u polje sa nejniim trokovima, koje odgovara vrsti ili koloni sa najveom ovako izrainatom razlikom.

60) Degeneracija kod transportnog problema nastaje kada dobijeno resenje ne sadrzi (n+m-1) bazicnih promjenljivih. Ovakav slucaj se javlja kada je parcijalni iznos neke ponude jednak iznosu traznje. Prilikom odredjivanja pomenutog resenja degeneracija se javlja kada istovremeno dodje do eliminisanja i vrste i kolone.

Sluaj degeneracije moe se pojaviti prilikom odredjivanja poetnog bazinog reenja, kao i u postupku poboljavanja nekog programa transporta u proceduri optimizacije. Prilikom odredjivana poetnog bazinog reenja dageneracija se javlja u sliaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno eliminiemo raspoloive koliine odgovarajue vrste i kolone. U postupku optimizacije , kada u nekoj od iteracija odredjujemo poboljano reenje, sliaj degeneracije se javlja kada u jednom koraku iskljuimo uz baze dvije promjenjljive, a u bazu ukljuimo samo jednu prethodno nebazinu promjenjljivu.

Otklanjanje problema degeneracije se vrsi tako sto se u prazno polje unosi kolicina od (epsilon) jedinica, a (epsilon) je veoma mali pozitivni br. se najcesce unosi u prazno polje kojem odgovaraju nejnizi troskovi transporta.

61) Stepping stone metod (metod skakanja s kamena na kamen) se u literaturi moe nai i pod drugima nazivima kao: metod raspodjele, distributivni metod, metod ahovske kugle i sl. Sutina ovoga metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnog korienja nezauzetih polja tabele na kvalitet reenja, odnosno na ukupne transportne trokove. Ova metoda daje odgovor na sledea pitanja:

da li je poetno bazino reenja optimalno? koji je put izmjene poetnog bazinog reenja (ukoliko nije optimalno) koji e obezbijediti dobijanje poboljanog programa transporta robe?

Metod skakanja s kamena na kamen, primjenjuje se tako to se skakanjem za sveko prazno polje tabele koje predstavlja poetno bazino reenje obrazuje poligon ija se sve tjemena, izuzev poetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj tjemena, su pravi. Za svako prazno polje moe se formirati samo jedan poligon, u kome imamo nejmanje 4, a najvie m+n tjemena. Na osnovu ovako formiranog poligona, za sveko prazno polje tabele izraunavamo tkz. relativne koeficijente trokova koji pokazuju za koliko jedinica e se

40

ukupni trokovi transporta poveati (smanjiti) ukoliko u odgovarajue polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne koeficijente trokova izraunavamo tako to od transportnog troka koji odgovara poetnom polju naizmjenino oduzimamo i dodajemo jedinine transportne trokove koji se nalaze na tjemenima poligona. Pozitivna vrijednost ovako izraunatog relativnog koeficijenta trokova, pokazat e da bi angaovnje dovelo do poveanja ukupnih transportnih trokova, dok je u sluaju njegove negativne vrijednosti zakljuak suprotan. Prema tome, postojenje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta trokova pokazuje da poetno bazino reenje nije optimalno.

62) Metod potencijala (MODI metod) prestavlja postupak za odredjivanje optimalnog programa transporta robe, na osnovu ve odredjenog poetnog programa transporta. Sutina ovog metoda, sastoji se u ispitivanju mogunosti poboljavanja ve dobijenog programa transporta, koji se transformie u optimalno reenja. Postupak primjene metoda potencijala podrazumijeva odredjivanje po jednog takozvanog mnoitelja za svaku od jednaine ponude i tranje sistema ogranienja modela transporta. Mnoitelji za jednaine ponude ui (i=1,....m) i mnoitelji za jednaine tranje vj (j=1,...n) odnosno za odgovarajue vrsta i kolone tabele - odredjuju se tako da je za svaku bazinu promjenjljivu, tj.popunjeno polje, zadovoljen uslov

Cij=ui + vji=1,....mj=1,...n

S obzirom da ovako odredjenih mnoitelja ima m+n, dok je broj bazinih promjenjljivih u bilo kom od raenja m+n-1 , pa jednom od mnoitelja dodjeljujemo pzitivnu vrijednost (obino nula). Preostali mnoitelji se izraunavaju reavanjem m+n-1 jednaina Cij = ui + vj, pri emu je polje(i,j) popunjeno.

Postupak optimizacije metodom potencijala je: m n

Z= cijXiji=1 j=1

n

xij=ij=1

m

Xij=bji=1

ukoliko tada i-tu jednainu ponude pomnoimo mnoiteljem ui (i=1,...n), j-tu jednainu tranje mnoiteljem Vj (j=1,...m) i oduzmemo od f-je cilja dobija se

m nmn

(Cij ui - Vj)Xij = Z (aiui + bjVj)i=1 j=1i=1j=1

a sada u jednakosti izvrimo smjenu prema kojoj je

Cij ' = Cij ui- Vj

mn

ai ui + bjyj = Zoi=1j=1

moemo pisati m n

CijXij = Z- Zoi=1 j=1

41

odnosno m n

cijXij = Zi=1 j=1

da bi odredili optimalan program transporata robe metodom potencijala neophodno je : odrediti poetni program transporta robe odrediti mnoitelje za sve vrste i kolona izraunati potencijale za svako prazno polje

i koristei polje sa najmanjom negativnom vrijednou potencijala odrediti poboljani program transporta.

Ovaj postupak se realizuje uzastopnim iteracijama.

63) U situaciji kada nije zadovoljen uslov o postojanju jednakosti izmedju ponude i tranje, tj. kada je: m n ai bj i=1j=1

tada kaemo da se radi o otvorenom transportom problemu. Kako ukupna ponuda moe biti manja ili vea od ukupne tranje, razlikujemo i dva razliita oblika otvorenog transportnog problema, i to: otvoreni model transporta u kome je ukupna ponuda vea od ukupne tranje

mn

ai >bj i=1 j=1

i kada je ukupna ponuda manja od ukupne tranje m n

ai < bj i=1 j=1

otvoreni model transportnog problema reava se slino reavanju zadataka Linearnog programiranja gdje su ograniavajui uslovi dati u obliku nejadnaina. Sistem nejednaina koji izraava uslove zadatka u pogledu ponude i tranje transformie se u sistam jednaina uvodjenjem dodatnih promjenjljivih. Tabelarno reava se uvodjenjem fiktivne vrste ako je ukupna ponada manja od ukupne tranje, odnosno uvodjenjem fiktivne kolone ako je obrnuto.

64) Kod transportnog problema polazi se od prepostavke da postoji m-ishodita i n-odredita, da su sva ishodita neposredno povezana sa odreditima i da prevoz od odredota do ishodita nije mogu. Medjutim , esto navedene pretpostavke nisu realne zato to neki punktovi imaju mogunost i potrebu i da uvoze i da izvoze robu. Ovakvi i slini problemi spadaju u grupu problema transporta na mrei.

Transportna mree se definie kao skup vorova i skup veza na kojima se odvija neka transportna djelatnost. Pod vorovima se podrazumijevaju gradovi, raskrsnice ulica, aerodromi, eljeznike stanice i sl. Punktovi su u mrei povezani komunikacijama. To mogu biti ulice, drumske saobraajnice, vazduni putevi i sl.

Prilikom kretanja izmedju punktova u nekoj transportnoj mrei , problem se sastoji u odredjivanju optimalnog puta, pri emu optimalan put moe da bude definisan kao najkrai put, najdui put, put sa najveim kapacitetom, najjeftiniji put, i td.

42

Ako se sa P opznai proizvoljan skup elemenata, a sa K skup svih ureenih parova, koji su sastavljeni od razliitih elemenata skupa P, tada skupovi P i K posmatrani zajedno definiu transportnu mreu. Elementi skupa P nazivaju se tjemena, punktovi ili vorovi transportne mree. Sva tjemena transportne mree dijele se na:

Tjemena proizvodnje Tjemena potronje Tranzitna tjemena

U tjemenima proizvodnje veliina je pozitivna, u tjemenima potronje je negativna a u tranzitnime tjemenima jednaka je nuli.

Elementi skupa K nazivaju se komunikacije, grane ili lukovi transportne mree. Komunikacija kod koje je jedan te isti punkt i poetni i zavrni naziva se petlja.

Jedna od vanih osobina mree je orjentacija njenih komunikacija. Ukoliko su sve veze u transportnoj mrei orjentisane, mrea se zove orjentisana mrea.

Za svaku komunikaciju vezana su dva broja: propusna mo komunikacije- koja pokazuje kolika je maksimalna kolicina robe koja se moze prevesti tom komunikacijom i trokovi prevoza jedinice robe koja se transportuje.

65) Metodi koji se koriste za rjeavanje transportnih problema u matrinoj formi, mogu se koristiti i za rjeavanja transportnih problema na mrei. Jedan od njih je Kantorovi Gavurinov metod. Pretpostavke od kojih polazi u ovom metodu su da je: propusna mo komunikacija dovoljno velika da cijena prevoza jedinice robe po komunikaciji ne zavisi od smjera prevoza

Rjeavanje transportnog problema na mrei sa neogranienim kapacitetom komunikacija poinje odreivanjem poetnog bazinog rjeenja.

Pri odreivanju poetnog bazinog rjeenja potrebno je proizvoljno odabrati jedan punk, iz koga treba transportovati maksimalno moguu koliinu robe, komunikacijom koja je najjeftinija. Dostava robe se oznaava strelicom a njen smjer odgovara smjeru prevoza a ispod strelice se upisuje koliina robe koja se prevozi.

Osobine poetnog bazinog rjeenja su da se: Sve ponude iz punktova proizvodnje rasporeuju u punktove potronje. U svaki punkt mora da ulazi iz njega izlazi po jedna strelica. Ukupan broj strelica mora biti jednak broju tjemena, umanjenom za jedan. Strelice ne moraju da obrazuju zatvoreni poligon.

Dobijeno bazino rjeenje se provjerava u smislu da li je optimalno ili ne. U tu svrhu se koristi metod potencijala. Naime, najprije se poetnoj taki proizvoljno pridrui potencijal sa vrijednotu koja je vea od najveih trokova prevoza.Veza izmeu potencijala za dva susjedna tjemena se uspostavlja preko jednaine

Ui + Cij = uj

ukoliko je smjer kretanja od Pi ka Pj. Istim postupkom se odreuju i preostali potencijali, pri emu se uzima u obzir smjer strelica.

Ako smjer kretanja odgovara smjeru komunikacije, tada je

Uj = ui + CijA ako je smjer suprotan od smjera komunikacije tada je

Ui = Uj Cij

Uslovi optimalnosti transportnog problema na mrei su isti kao i kod klasinog transportnog problema.Rjeenje optimalno ako su ispunjeni uslovi:

43

uj ui Cij, za Xij = 0 uj ui = Cij, za Xij > 0

66) Kod transportne mree sa organienim propusnim sposobnostima komunikacija, svakoj komunikaciji se pridruuju po dva broja to su:

Trokovi prevoza jedinice robe po komunikaciji i Propusna sposobnost komunikacije. Na transportnoj mrei ova dva broja se piu u obliku razlomka Cij/dij.

Ako sa ui oznaimo potencijal tjemena Pi a sa uj potencijal tjemena Pj, smjer komunikacije koja ide od tjemena Pi ka tjemenu Pj oznaimo sa Kij, uslovi optimalnosti bazinog rjeenja na transportnoj mrei sa ogranienim sposobnostima su :

uj ui Cij, ako je Xij=0

uj ui = Cij, ako je 0 < Xij dij uj ui Cij, ako je Xij=dij

Uslov optimalnosti moe se napisati u obliku uj ui Cij + ij , za Xij=dij

67) Teorija igara predstavlja matematiku teoriju i metodologiju koja se koristi za analizu i rjeavanja konfliktnih situacija u kojima uesnici imaju suprostavljene interese. Igra predstavlja uproeni model konflikta koji obuhvata ukupnost pravila ponaanja uesnika u igri, koja opredjeljuju njihove mogue poteze kao i potencijalne rezultate njihovog izbora. Potencijalne rezultate predstavljamo funkcijom plaanja koja predstavlja numeriki izraz dobitka odnosno gubitka uesnika neke igre.

Osnovna karakteristika teorije igara sadrana je u injenici da veliina rezultata koji e pojedini igrai ostvariti u igri ne zavisi samo od njihovog izbora ve i od izbora ostalih igraa. Svaki od igraa poznaje alternative koje mu stoje na raspolaganju u toku igre, koje nazivamo straregijama. Strategija predstavlja ukupnost pravila ponaanja igraa i potencijalne rezultate izbora pojedinih alternativa u svakoj situaciji.

Svaka igra se realizuje preko poteza, pri emu potez predstavlja jedan izbor mogue alternative od strane igraa. Skup veeg broja poteza obrazuje partiju.

Zavisno od meusobnog odnosa igraa sve igre dijelimo na kooperativne i nekooperativne. Kooperativne igre predstavljaju takvu vrstu igara u kojima igrai formiraju koalicije koje im slue za meusobno usklaivanje ponaanja i izbor pojedinih strategija koje im obezbjeuju povoljan rezultat. U koliko u toku igre ne postoji koordinacija od strane igraa, takva igra predstavlja nekooperativnu, tj. Antagonistiku igru.

Prema karakteru funkcije plaanja sve igre dijelimo na igre sa nultom i igre sa nenultom sumom, dok za potrebe matematikog modeliranja se koristi igra ekstezivnog oblika.

68) Proste matine igre moemo objasniti analizirajui igru dva igraa sa nultom sumom u normalnoj formi, za sluaj kada svakom od igraa stoji na raspolaganju odreeni broj strategija. Prepostavimo da imamo igru u kojoj uestvuju dva igraa A i B, pri emu igra A raspolae sa m istih straregija dok igra B raspolae sa n istih strategija. Ukoliko pretpostavimo da je igra deterministikog tipa, izboru svakog para moguih straregija od strane igraa A i B odgovara rezultat koji pokazuje dobitak jednog (igraa A) odnosno drugog igraa (B). Tako emo rezultat igre za sluaj izbora para strategija (Aj, Bj) predstaviti vrijednou aij, koji pokazuje koliko iznosi dobptak igraa A odnosno gubitak igraa B. Ukoliko je aij < 0 ova vrijednost pokazuje da e igra A morati platiti igrau B, pa je dobitaj za igraa A negativan, to znai da termine dobitak i gubitak treba uslovno prihvatiti.

44

U cilju ostvarivanja najpovoljnijeg rezultata u igri svaki od igraa vri analizu moguih dobitaka odnosno gubitaka. Igra A za svaku svoju istu strategiju odreuje minimalan dobitak koji e ostvariti bez obzira na izbor straterije igraa B tj. opredjeljuje minimalan elemenat svake od vrsta matrice plaanja u obliku:

= minij i= 1....m

Izmeu svih ovako odreenih dobitaka za pojedine strategije, igra A bira maksimalan elemenat u obliku:

= max i = maxmin ij

Koji predstavlja maksmin vrijednost, odnosno donju granicu vrijednosti igre koja predstavlja garantovani dobitak koji e igra A ostvariti. Donja granica vrijednosti igre odreuje optimalnu strategiju za igraa A.

Slinu analizu izbora strategija vri i igra B, koji se trudi da u igri odabere strategiju koja mu obezbjeuje minimizaciju gubitka. Zato za svaku od svojih strategija igra B izraunava maksimalne gubitke a zatim bira minimalan od ovako odreenih elemenata, odnosno vrijednost

j = min j = minmax ijPredstavlja gornju granicu vrijednosti igre, odnosno minimaks vrijednosti za igraa B.

Ukoliko je u matrinoj igri donja granica vrijednosti igre jednaka gornjoj granici, takva igra je ptosta matrina igra i nazivamo je igrom sa sedlastom takom.

69) Mjeovita strategija predstavlja kombinaciju razliitih vjerovatnoa sa kojima e igrai u uzastopnom nizu poteza igrati pojedine strategije koje im stoje na raspolaganju. U koliko je igra dva lica sa nultom sumom definisana matricom plaanja (m,n), u kojoj igra A moe izabrati bilo koju od m strategija, njegovu mjeovitu strategiju moemo predstaviti u vidu vektora X= (x1, x2, ...xm) iji elementi pokazuju vjerovatnoe sa kojima igra A primjenjuje strategije. Kako su elementi vektora koji predstavlja mjeovitu strategiju igraa A vjerovatnoe izbora pojedinih strategija, to mora biti zadovoljeno.

m

Xi 0 (i=1,2....m), xi=1 i=1

Analogno, mjeovitu strategiju igraa B moemo predstaviti u obliku y = (y1 , y2 , ...yn) iji elementi pokazuju vjerovatnoe izbora igraa B neke od njegovih strategija, pri emu je

n

yj 0 (j=1,2....m), yj=1 i=1

Strategije igraa A i B za koje su vjerovatnoe Xi i Yj vee od nule predstavljaju aktivne strategije.

70) Do rjeenja mjeovitih matinih igara, dolazi se na osnovu namjere svakog od igraa da ostvari takvu mjeovitu strategiju koja e mu obezbijediti optimizaciju igre tj. Ostvarivanje najboljeg rezultata. Primjenom principa minimaksa izbor optimalne mjeovite strategije od strane igraa A, koji emo objeleiti sa X*, njemu obezbjeuje maksimizaciju oekivanog dobitka. Na osnovu toga u koliko krajni rezultat- vrijednost igre obiljeimo sa V, tada izbor optimalne mjeovite strategije X* igrau A obezbjeuje dobitak koji ne moe biti manje od vrijednosti igre tj.

nf (x*,y ) = xi*ij v j= 1...ngdje veliina f (x*,y ) = maxmin f (x,y) = predstavlja donju granic vrijednosti igre.

45

Slino, izbor optimalne mjeovite straterije Y* za igraa B znai da njegov gubitak nee biti vei od vrijednosti igre, odnosno

n

f (x,y* ) = ijyj* v i= 1...m j=1gdje je f (x,y* )= minmax f(x,y)= gornja granica vrijednosti igre.

Zadatak rjeenja matrine igre, u situaciji kada se ne radi o prostoj matinoj igri, jeste odreivanje optimalnoh mjeovitih strategija igraa i odgovarajue vrijednosti igre.

71) Igra dva igraa sa nultom sumom kod koje igra A i B mogu birati jednu od dvije strategije koje im stoje na raspolaganju definisana je matricom plaanja oblika 2x2.

P= a11 a12 a21 a22

iji elementi pokazuju dobitke igraa A odnosno gubitke igraa B. U postupku rjeavanja bilo koje igre, tako i igre 2x2, prvo se ispituje da li se mogu izborom maksmin i minmaks vrijednosti opredijeliti optimalne iste strategije i vrijednosti igre. U koliko na takav naine ne odredimo vrijednost radi se o prostoj matrinoj igri u kojoj vrijednost igre odgovara vrijednosti elemenata predstavljaju sedlastu taku. Da bi igra reda 2x2 predstavljala mjeovitu matinu igru neophodno je

da predpostavimo da su obje strategije za igrae A i B aktivne. Ovo e biti zadovoljeno ukoliko je za elemente matrice plaanja zadovoljen uslov za a11 > a12, imamo da je a21 < a22 i obrnuto. Optimalne mjeovite strategije moemo predstaviti u oblikuZa igraa A

a11 x1 + a21 x2 = v a12 x1 + a22 x2 = v x1 + x2 = 1Nakon izjednaavanja njihovih lijevih strana imamo da je

a11 x1 + a21(1-x1) = a12 x1 + a22 x2 (1-x1)Na osnovu ega jeX1= .a22- a21 .

a11 a12 a21+ a22

X2= .a11- a12 .

a11 a12 a21+ a22

Vrijednost igre koju dobijamo zamjenom izraunatih vrijednosti jeV= . a11 a22 a21 a12.

a11 a12 a21 + a22

U koliko slino prethodnom izraunamo gornju granicu igre koju e igra B ostvariti u sluaju izbora prve i druge strategije od strane igraa A dobiemo sistem jednaina:

a11y1 + a12y2 = v a21y1 + a22y2 = v

y1 + y2 =1

Odakle dobijamo optimalne mjeovite strategije za igraa B y1= . a22 - a12 .a11 a12 a21 + a22

y2= . a11 - a21 .a11 a12 a21 + a22

46

72) Rjeavanje igara kod kojih je matrica plaanja predstavljena matricom reda (2,n) i (m,2) veoma je slino sa postupkom odreivanja mjeovitih strategija 2x2. Generalno, rjeavanje ovakvih vrsta igara realizuje se tako to se grafikim predstavljanjem moguih rezultata igre za igraa koji ima dvije strategije opredjeljuju aktivne strategije njegovog protivnika, na osnovu kojih se izraunava vrijednost igre i optimalne strategije.

Posmatrajmo igru koja je definisana matricom plaanja

a11 a12 ....a1j.... a1n P = a21 a22 ....a2j......a2n

Iz koje vidimo da igra A raspolae sa dvije, dok igra B moe birati bilo koju od n strategija koje su mu na raspolaganju.

Grafik

Slian postupak rjeavanja igre primjenjujemo u sluaju mx2. Da bi predstavili postupak odreivanja