OPERACIONA ISTRA IVANJA*SKRIPTA ZA ZAVR NI 2012*

1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metoda linearnog programiranja? Veliki broj privrednih aktivnosti se ostvaruje u uslovima ograni enog iznosa resursa, koji se na razli ite na ine mogu koristiti za ostvarivanje unapred postavljenog cilja. Iz niza mogu ih na ina (programa) kori enja raspolo ivih resursa ekonomski subjekti su veoma zainteresovani da odaberu onaj najpovoljniji, onaj za koji e se ostvariti najve a mogu a efikasnost ukupnih aktivnosti. Zbog toga optimizacija ekonomskih aktivnosti zauzima centralno mesto u okviru ekonomske analize i matemati kog modeliranja ekonomskih problema. Jedan od matemati kih metoda optimizacije, koji je tokom ovog veka do iveo punu afirmaciju, teorijsku razradu i iroku primenu jeste model linearnog programiranja. Linearno programiranje predstavlja model koji se veoma uspjesno koristi za resavanje velikog broja problema na nivou preduzeca. Tu spadaju: a) Proizvodno planiranje - U uslovima ograni enog iznosa resursa proizvodno preduze e mo e proizvoditi razli ite koli ine proizvoda iz sopstvenog asortimana. U namjeri da maksimizira ukupan rezultat svog poslovanja, koji je naj e e izra en visinom ostvarenog profita, preduze e je veoma zainteresovano da iskoristi resurse sa kojima u odre enom periodu raspola e na najbolji mogu i (optimalan) na in.S toga je za jedno preuzece veoma vazna uloga linearnog programiranja u kreiranju optimalnog programa proizvodnje koji omogucava sintezu raspolozivih resursa i pozitivnog poslovnog rezultata. b) Planiranje investicija Problem planiranja investicija javlja se prije svega na podrucju finansijskih institucija, banaka, investicionih fondova kao i raznih osiguravajucih kompanija. U ovom slucaju polazi se od pretpostavke o ogranicenosti investicionih sredstava. Uloga linearnog programiranja zasniva se na kreiranju optimalnog nivoa ulaganja u pojedine hartije od vrijednosti. c) Planiranje transporta robe Cilj svakog uspjesnog preduzeca jeste ne samo da ostvari maksimalan profit vec i da trosak poslovanja svede na minimum. U tom smislu trensport robe je veoma vazan. Naime, u uslovima teritorijalne razdvojenosti potrosaca i proizvodjaca transport robe izaziva znacajan trosak distribucije i prevoza. Metodom linearnog programiranja nastoji se odrediti optimalan vid transporta koji ce omoguciti minimizaciju troskova. Uloga linearnog programiranja u resavanju ovog problema je dvojaka jer ne samo da doprinosi ostvarenju osnovnog cilja preduzeca vec putem smanjenja troskova transporta indirektno utice i na smanjenje cijene proizvoda pa na taj nacin zadovoljava i potrebe potrosaca.

d) Optimalno rasporedjivanje kadrova Optimalno rasporejivanje kadrova odnosi se na odredjivanje optimalnog rasporeda izvrsilaca za obavljanje razlicitih poslova. Optimalan raspored podrazumijeva takav raspored koji ce omoguciti maksimalnu efikasnost u radu. Pri tome efikasnost moze biti usmjerena na minimizaciju troskova, minimizaciju radnog vremena ili maksimizaciju profita. Optimalan raspored omogucava se posebnim vidom linearnog programiranja modelom asignacije, odnosno rasporedjivanja.

2. Postupak koriscenja modela operacionih istrazivanja u procesu poslovnog odlucivanja? Svakog dana ljudi donose veliki broj odluka. Prilikom donosenja odluka oni na raspolaganju imaju veliki broj alternativa a Sustina procesa odlucivanja jeste opredijeliti se za najbolju vodeci pritom racuna o ogranicenjima koja limitiraju slobodu izbora. Pored odluka koje donosimo svakodnevno postoji i posebna kategorija odlucivanja poznata kao poslovno odlucivanje. Poslovno odlucivanje predstavlja proces selekcije koji obuhvata izvestan broj uzastopnih, medjusobno zavisnih koraka, koji nam pomazu da do resenja problema dodjemo na dosledan, racionalan nacin. U okviru poslovnog odlucivanja primjenjuju se metode operacionih istrazivanja koje kvantitativnim putem nastoje odrediti najbolju mogucu alternativu, odnosno optimalno resenje. Operaciona istrazivanja predstavljanju skup metoda i tehnika koje se koriste za iznalazenje uslovnog ekstremuma funkcije sa vise promenljivih. Ona se prije svega bave problemima koji su vezani za upravljanje organizacionim , poslovnim, tehnicikim i drugim sistemima a sve u cilju pronalazenja optimalnih resenja koja su neophodna menadzerima za donosenje odluka. Operaciona istrazivanja primjenjuju se u uslovima izvjesnosti tj. u situacijama u kojim je sve unaprijed poznato. Njih karakterisu precizno odredjene alternative kao i jasno definisan cilj koji putem njih treba da se ostvari. Dakle, u procesu poslovnog odlucivanja koristi se kvantitativna analiza. Da bi analiza mogla da se koristi neophodno je da je postavljeni problem kompleksan kompleksan i da postoji veliki broj faktora koji utice na rezultat realizacije donesene odluke. . Zatim, neophodno je da postoji mogucnost obezbjedjenja neophodnih podataka za matematicko i statisticko predstavljanje poslovnog problema. Ukoliko nemamo podatke ne mozemo matematicki modelirati taj problem pa ne mozemo koristiti kvantitativnu analizu vec se dati problem resava metodama kvalitativne analize.

Takodje vazno je i da se cilj realizacije donesene odluke moze kvantitativno izraziti. I na kraju kraju da bi se primjenjivala kvantitativna analiza neophodno je da postoji mogucnost definisanja odgovarajuceg matematickog modela koji predstavlja dobru aproksimaciju postavljenog problema. Naime, nije dovoljno da mi matematicki postavimo samo funkciju tj.cilj vec je potrebno da predstavimo i alternative i sve to zajedno predstavlja model neke ekonomske situacije koju zelimo da rijesimo. U tom smislu svako poslovno odlucivanje prolazi kroz nekoliko faza kvantitativne analize: Prva faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje problema. U okviru ove faze neophodno je postaviti problem koji zahtijeva resenje. Recimo, ukoliko je cilj odrediti kolicinu proizvoda koju neko preduzece treba da proizvodi onda je neophodno odrediti strukturu programa proizvodnje, profit koji se zeli ostvariti kao i nivo troskova karakteristican za ovu proizvodnju. Shodno tome, druga faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje modela. U ovoj fazi glavnu ulogu imaju strucnjaci za matematicko i statisticko strukturiranje modela. U njoj se definise cilj i to u vidu neke funkcije (npr. maksimiziranje profita) a matematicki se moraju izraziti i sva ogranjicenja koja postoje u preduzecu. Treca faza predstavlja veoma kompleksan i znacajan posao pripreme podataka, u okviru koga se moraju obezbijediti svi podaci neophodni za resavanje definisanog modela. Dakle, neophodno je kreirati informacionu osnovu. Medjutim, stalne promjene u poslovanju zahtjevaju da prikupljanje podataka bude permanentan proces koji ce omoguciti vremenski uspjesno koriscenje dfinisanog modela. Nakon prikupljanja neophodnih podataka prelazi se u fazu resavanja modela . U ovoj fazi vrsi se verifikacija rethodnih faza kvantitativne analize pri cemu se prevashodno ocjenjuje validnost modela i njegova upotrebljivost za konkretne potrebe. Ukoiko resavanjem konkretnog modela dobijemo moguca resenja koja zadovoljavaju ograni avaju e uslove i matemati ki izra en cilj realizacije konkretne odluke, onda takva re enja mo emo smatrati optimalnim i koristiti ih kao povoljnu alternativu poslovne odluke. U suprotnom, moramo se vratiti na prethodne faze i izvrsiti prilagodjavanje modela. U poslednjoj fazi dobijena resenja koriste se za donosenje optimalnih poslovnih odluka, u procesu poslovnog odlucivanja. 3. Objasniti opsti model matematickog programiranja. Matematicko programiranje je oblast matematike ciji je predmet razmatranja teorijski i numerick postupak odredjivanja ekstremne vrijednosti funkcija vise promenljivih, u kojima postoje ogranicenja mogucih vrijednosti promjenljivih. Matematicko programiranje moze biti: a) Linearno

b) Nelinearno Op ti oblik modela matemati kog programiranja mo emo predstaviti u obliku zahteva za odre ivanjem vrednosti promenljivih X1 , X2,.....Xn ,koje zadovoljavaju m nejedna ina i jedna ina oblika: gi(X1 , X2,.....Xn) {, =, } bi i= 1,....,m

I za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije: Z = f (X1 , X2,.....Xn) Uslove nazivamo sistemom ograni enja, dok funkcija predstavlja funkciju cilja modela matemati kog programiranja. U ovako predstavljenom modelu pretpostavljamo da su funkcije gi i f poznate, dok vrednosti bi predstavljaju unapred zadata ograni enja. U svakom od ograni enja pojavljuje se ili jedna ina ili jedan od dva oblika nejedna ina. Ukoliko su u sistemu ograni enja svi uslovi predstavljeni u vidu jedna ina, takav oblik problema predstavlja klasi an problem optimizacije i ne predstavlja posebno interesantan slu aj sa aspektra re avanja zadataka matemati kog programiranja. Ukoliko sistem ograni enja i odgovaraju u funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku, model matematickog programiranja je: (max)Z= f( x1,x2,...,xn) g1(x)=g1(x1,x2,...,xn)b1 g2(x)=g2(x1,x2,...,xn)b2 ......... gm(x)=gm(x1,x2,...,xn)bm Sve vrijednosti promjenjivih x=(x1,x2,...,xn) za koje su zadovoljene sve nejednacine sistema ogranicenja obrazuju tzv. Skup dopustivih ili mogucih rjesenja modela. Cilj rjesavanja zadatka matematickog programiranja jeste odre ivanje one kombinacije vrijednosti promjenjivih iz skupa mogucih rjesenja za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrijednost. Takvo rjesenje koje obiljezavamo sa x*=(x1,x2,...,xn) predstavlja optimalno rjesenje zadatka matematickog programiranja. Ukoliko je u modelu matematickog programiranja makar jedna funkcija gi ili f nelinearna, takav oblik modela linearnog programiranja predstavlja nelinearno

programiranje. Suprotno ukoliko su sve funkcije sistema ogranicenja i funkcija cilja modela linearne (i ukoliko predpostavimo da su promjenjive nenegativne velicine), takav oblik modela predstavlja model linearnog programiranja. 4. Objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja. Svaki model linearnog programiranja karakterisu odredjene pretpostavke koje se odnose Xna svaki od njih i to: a) b) c) d) Linearnost Izvjesnost Djeljivost Nenegativnost

Linearnost Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izme u promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su tako e dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost. Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog programiranja izme u inputa i outputa. Sa druge strane osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ograni enja mo e dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja. Proporcionalnost podrazumijeva da ukoliko je za jednu jedinicu nekog roizvoda potrebno utrositi 5 jedinica odredjenog resursa, za 10 jedinica proizvoda bice potrebno 50 jedinica resursa dok aditivnost podrazumijeva da ukoliko funkcija cilja pokazuje ukupan profit odre enog preduze a koji se ostvaruje od proizvodnje odre enih proizvoda, onda se ukupan profit odre uje kao suma profita ostvarenih od pojedinih proizvoda. Izvjesnost Svako odlluka moze se donijeti u uslovima izvjesnosti, neizvjesnosti ili rizika. Izvjesnost podrazumijeva da se odluka donosi u poznatim okolnostima dok je u slucaju neizvjesnosti sve nepoznato pa su ove situacije najteze za donosenje odluke. Situacija rizika podrazumijeva odredjenu vjerovatnocu optimalnog resenja i nalazi se izmedju

ova dva ekstrema. U slucaju linearnog programiranja svi parametri su unaprijed jednoznacno odredjeni pa se s toga model linearnog programiranja smatra deterministickim modelom. Djeljivost Ova pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog programiranja ne moraju biti celi brojevi. Prema tome, u op tem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti resenja. Ukoliko je to, pak, slucaj onda se radi o specijalnom obliku zadatka modelu cjelobrojnog linearnog programiranja. Nenegativnost Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se koristi za odre ene ekonomske analize predstavljaju odre ene ekonomske veli ine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Recimo ukoliko modelom linearnog programiranja zelimo odrediti optimalan obim proizvodnje promenljive modela pokazuju vrednost (koli inu) proizvodnje odre enih proizvoda, koja ne mo e biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ograni enja (predstavljenih u vidu nejedna ina i jedna ina), predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja. 5. Koje su karakteristike standardnog problema maximuma? Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog programiranja u kome se postavlja zahtjev za odre ivanjem maksimalne vrijednosti unaprijed poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejedna ina sa znakom . Ovakav oblik modela linearnog programiranja defini e se u uslovima postojanja ograni enih resursa koje treba na najracionalniji na in utro iti radi ostvarivanja maksimalnih ekonomskih efekata. Zadatak standardnog problema maximuma predstavlja se na sljede i na in: (max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp a11X1+ a12x2 +... + a1pxp b1 a21x1+a22x2+...+a2pxp b2

.............................................. am1x1+am2x2+...+ampxp bm x1,x2,....,xp 0 Svaki problem LP mora da sadr i: 1.funkciju cilja 2.sistem ograni enja 3.uslov nenegativnosti Funkcija cilja izra ava osnovni cilj koji se unaprijed defini e i radi koga se formuli e i re ava odgovaraju i model linearnog programiranja(maksimizacija ukupnog profita,maksimizacija deviznih efekata,maksimalni stepen zaposlenosti i sl.). Pri tome radi ostvarivanja cilja predstavljenog funkcijom z u problemu postoji p djelatnosti(u naj irem smislu) koje su predstavljene promjenjivima x1,x2,...,xp iji su pojedina ni efekti izra eni parametrima c1,c2,...,cp (max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp Sistem ograni enja izra ava iznos i na in kori enja ograni enih resursa. Iznos resursa je izra en slobodnim lanovima sistema ograni enja: b1,b2...,bm. Na in kori enja resursa izra en je koeficijentima aij (i=1,...,m; j=1,...,p)

Uslov nenegativnosti predstavlja obavezan elemenat modela. On osim metodolo kih razloga on mora biti zadovoljen jer nijedna djelatnost ne mo e biti negativna. x1,x2,....,xp0 Svi elementi modela izuzev promjenjivih x1,x2,....,xp unaprijed su poznati to zna i da su koeficijenti u funkciji cilja (cj), koeficijenti u sistemu ograni enja (aij) i slobodni lanovi sistema ograni enja(bi) parametri modela. 6. Za to se u model LP uvode dodatne promenljive i koje je njihovo ekonomsko zna enje?

U cilju rje enja problema linearnog programiranja, sistem nejedna ina koji sa injava sistem ograni enja transformi emo u sistem jedna ina. Dodatne promjenjive uvodimo u svaku nejedna inu da bismo izjedna ili lijevu i desnu stranu, pa je s toga njihova vrijednost jednaka razlici izme u lijeve i desne strane. Dodatne promjenjive imaju svoje metodolo ko i ekonomsko zna enje. Ekonomsko zna enje odnosi se na to da pozitivne vrijednosti dodatnih promjenjivih pokazuju iznos neiskori enih resursa u nekom od rje enja. Tako, vrijednosti dodatnih promjenjivih iz optimalnog rje enja pokazuju koliko resursa ostaje neiskori eno u situaciji kada su vrijednosti realnih promjenjivih optimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost. Dodatne promjenjive uvode se i u funkciju cilja sa nultim vrijednostima koeficijenata. 7. Koje su osnovne karakteristike skupa mogu ih rje enja? Sve vrijednosti promjenjivih za koje su zadovoljene nejedna ine, (jedna ine) sistema ograni enja predstavljaju mogu a rje enja odnosno obrazuju skup mogu ih rje enja. Skup m.r obrazovan je od ta aka koje zadovoljavaju sve nejedna ine(jedna ine) sistema ograni enja, odnosno predstavlja presjek skupova ta aka za koje su zadovoljene pojedine nejedna ine. Iz linearnog karaktera ograni avaju ih uslova proizilazi da ta ke koje zadovoljavaju pojedine nejedna ine obrazuju konveksan skup ta aka.Dakle, va na osobina skupa mogu ih rje enja jeste konveksnost. On je tako e zatvoren skup, a moze biti i prazan skup u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x= (x1,x2,...,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

8. Dokazati da je skup mogu ih rje enja konveksan skup. Da bi se dokazalo tvr enje teoreme, potrebno je pokazati da konveksna kombinacija svaka dva mogu a rje enja tako e predstavlja mogu e rje enje. Neka su ta ke x'=(x1',X2',...,Xn' ) i x"=(X1 ega je Ax'= b i Ax"=b Posmatrajmo sada ta ku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju ta aka x' i x", odnosno: x= x'+ (1- )x", 0 1.",X2 ",...,Xn")

mogu a rje enja problema, na osnovu

Ukoliko sada ta ku x uvrstimo u sitem jedna ina problema imamo: Ax= A[ x'+ (1- )x"]= Ax'+(1- )Ax"

= Ax'+Ax"- Ax"= b+b- b=b Na osnovu ovoga vidimo da ta ka x predstavlja mogu e rje enje zadatka linearnog programiranja, tj. da sve konveksne kombinacije mogu ih rje enja tako e predstavljaju mogu a rje enja. Prema tome skup mogu ih rje enja je konveksan skup to je trebalo i dokazati. 9. Koje re enje modela LP predstavlja bazicni a koje optimalno resenje? Re enje modela LP moze biti : moguce resenje i optimalno resenje. Sve vrijednosti promjenljivih za koji su zadovoljene nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja predstavljaju tzv. moguca resenja, odnosno obrazuju skup mogucih resenja (moguci skup). Sto se tice standardnog problema maximum u okviru kojeg je sistem ogranicenja dat nejednacinama sa znakom , skup mogucih resenja je ogranicen i zatvoren. Skup mogucih resenja moze biti i prazan skup, u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x=(x1,x2,.,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi (ogranicenja) zadatka. Skup mogucih re enja obrazovan je, prema tome, od tacaka koje zadovoljavaju sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja, odnosno predstavlja presek skupova tacaka za koje su zadovoljene pojedine nejednacine (jednacine). Iz linearnog karaktera ogranicavajucih uslova proizilazi da tacke koje zadovoljavaju pojedine nejednacine (jednacine) obrazuju konveksan skup tacaka. Na osnovu toga se izvodi veoma va na osobina skupa mogucih re enja zadatka linearnog programiranja konveksnost skupa mogucih re enja koja predstavlja osnovu postupka odredivanja optimalnog re enja zadatka linearnog programiranja. Dakle , skup mogucih resenja je konveksan i ogranicen tj postoji konacan broj ekstremnih tacaka. Osobina konveksnosti skupa mogucih resenja vazi za sve oblike zadatka linearnog programiranja standardni problem maximuma, mjesoviti problem maksimuma i problem minumuma. Na osnovu osobine konveksnosti skupa mogucih resenja odredjujemo bazicno resenje. Ukoliko takvo resenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono predstavlja bazicno moguce resenje. Osnovni cilj re avanja zadatka LP predstavlja zahtev za odredivanjem optimalnog re enja. Optimalno resenje je resenje koje pored toga sto zadovoljava sistem ogranicenja i uslov nenegativnosti, maximizira (minimizira) i funkciju cilja. Bazicno moguce re enje, x*= (x1*,x2*,.,xn*) na primjeru standardnog problema maximuma, predstavlja optimalno re enje zadatka ukoliko imamo da je z (x*) z (x), za bilo koje moguce re enje 'x . Drugim rijecima, re enje zadatka standardnog problema maksimuma je optimalno ukoliko je moguce i ukoliko daje maksimalnu vrednost funkcije cilja z .Optimalno re enje zadatka linearnog programiranja nalazi se u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih re enja, sto se moze i algebarski dokazati. Optimalno resenje moze biti : jedinstveno i visestruko. Optimalno re enje problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj tacki (najudaljenijoj od koordinatnog pocetka) konveksnog, ogranicenog i zatvorenog skupa mogucih re enja. Slicno, samo uz inverzan kriterijum, predstavljali smo uslov za optimalnost re enja problema minimuma. To je jedinstveno optimalno resenje, gdje

postoji samo jedna tacka u SMR koja zadovoljava sve uslove i u kojoj je vrijednost I SK za nebazicne promjenljive 0. Ovaj uslov predstavlja kriterijum oprimalnosti, odnosno I simplex kriterijum za izmjenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od re enja ove razlike za sve nebazi ne vektore negativne, tj ( Cj-Zj ) 0). II SK Kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II Dantzingov simplex kriterijum, na osnovu kojeg mo emo konstatovati da iz baze treba iskju iti onaj vektor Ak za koga bude zadovoljen uslov :

Iz baze, prema tome, izlazi onaj vektor Ak za koji ovako odre en koli nik bude minimalan pozitivan broj (manji od ostalih vrijednosti) u slu aju problema minimuma i maximuma. Nakon smjene vektora u bazi, na osnovu primene navedenih simpleks kriterijuma, izracunava se novo pobolj ano re enje i ispituje da li ono daje optimalnu tj maximalnu/minimalnu vrijednost funkcije cilja. 13. x 14. x 15. x 16. x 17. x 18. x 19. x 20. x

21. Kakav je odnos izme u vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za njihova optimalna re enja. Dokazati Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem,koji takode predstavlja problem linearnog programiranja. Izmedu osnovnog(primarnog) i izvesnog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu zahtjeva za odredivanjem ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Ukoliko se u pocetnom problemu, koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu ce funkcija cilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednacine ogranicenja dualnog problema izvode se na osnovu nejednacina ogranicenja primarnog problema. Primarne i dualne promjenljive omogucavaju dobijanje znacajnih informacija o karakteru optimalnog re enja. Izmedu primarnog i dualnog problema, postoji takav odnos da u dualnom problemu ima tacno onoliko promenljivih koliko u primarnom problemu ima strukturnih ogranicenja, odnosno dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema. Isto tako, u dualnom problem postoji po jedna nejednacina ogranicenja za svaku realnu (glavnu) promenljivu primarnog problema. Ovakva veza, koja postoji izmedu dodatnih promenljivih odredenog problema linearnog programiranja i realnih promenljivih njemu odgovarajuceg dualnog problema, I obrnuto, omogucava dobijanje veoma znacajnih informacija koje se mogu koristiti u postupku dono enja odluka o nacinu optimizacije ekonomskih aktivnosti. S obzirom da odredivanje optimalnog re enja bilo kog zadatka linearnog programiranja istovremeno znaci odredivanje optimalnog re enja i njemu odgovarajuceg dualnog problema, moguce je njihovo alterantivno kori cenje za postupak re avanja zadatka. Ovakva mogucnost dolazi do izra aja u situaciji kada je neki problem linearnog programiranja jednostavnije re avati kori cenjem njemu odgovarajuceg dualnog problema, to u praksi nije redak slucaj. Dualni problem odredenog zadatka linearnog programiranja (primarnog problema) formira se na sledeci nacin: 1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog problema ce biti funkcija minimuma, i obrnuto; 2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednacina, i to tako da ukoliko su nejednacine primarnog problema sa znakom , nejednacinedualnog problema postaju nejednacine sa znakom , i obrnuto;

3. Vr i se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranicenja primarnogproblema, na osnovu cega ukoliko u primarnom problemu imamo m nejednacina sa p promenljivih, u dualnom problemu ce biti p nejednacina sa m promenljivih; 4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim clanovima sistema ogranicenja primarnog problema; 5. Slobodni clanovi sistema nejednacina dualnog problema jednaki su koeficijentima koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog problema; 6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog cega je ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu. Osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

Dualni problem koji odgovara prethodnom problemu , mo emo predstaviti u obliku:

Ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku

tada, njemu odgovarajuci dualni problem mo emo predstaviti u obliku:

Ocigledno je da izmedu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i medusobna uslovljenost re enja. Da bi to pokazali, uvedimo u primarni problem dodatne promenljive xp +1,xp+m u njemu odgovarajuci dualni problem ym+1,ym+p , i izrazimo ih u sledecem kanonickom obliku: Primarni problem - problem maksimuma

Dualni problem - problem minimum

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m . Ova veza, mo e se izraziti na sledeci nacin: svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema.A svakoj realnoj promjenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promjenljiva dualnog problema. 22. Kakav je odnos izmedju optimalnih vrijednosti dodatnih promjenljivih primarnog i realnih promjenljivih dualnog problema i obrnuto. Dokazati i objasniti

Optimalne vrijednosti primarnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost razlike prvog simpleks kriterijuma,za dodatne promjenljive iy poslednjeg optimalnog rjesenja dualnog prblema tj.

Gdje m predstavlja br realnih promjenljivih u DP a j index promjenljive cija se vrijednost trazi. Optimalne vrijednosti realnih promjenljivih dualnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost raylike prvog simplex kriterijuma,za dodatne promjenljive,iz poslednjeg optimalnog rjesenja primarnog problema,tj.

Gdje je p br realnih promjenljivih u PP a I index promjenljive cija se vrijednost trazi.

Teorema Za bilo koje moguce re enje

primarnog problema i bilo koje

moguce re enje dualnog problema vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti funkcije cilja dualnog problema, tj.

Dokaz Pomno imo desnu i levu stranu i-te nejednacine sistema ogranicenja primarnog problema sa I y i sumirajmo po indeksu i=1,, m, na osnovu cega dobijamo

Ukoliko j-tu nejednacinu sistema ogranicenja dualnog problema pomno imo sa j x , zatim sumiramo po j=1,, p, dobijamo

Kako

su

leve

strane

nejednacina

jednake,

konstatujemo

da

je

sto je trebalo I dokazati. Teorema Ukoliko su moguca re enja primarnog i dualnog problema za koje su vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema jednake, tj.

Tada respektivno.

predstavljaju optimalna re enja primarnog i dualnog problema,

Dokaz Neka je neko moguce re enje primarnog problema, na osnovu prethodne teoreme znamo da je

Na osnovu uslova teoreme 1.4 slijedi

odnosno

Zakljucak ove teoreme je da je optimalno rjesenje primarnog problema a y* optimalno rjesenje dualnog problema. Teorema Ukoliko su moguca re enja primarnog idualnog problema, tada su to i optimalna re enja ako i samo ako imamo zadovoljene uslove

Zakljucak ove teoreme je da je dualna promenljiva je jednaka nuli kada je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom re enju primarnog problema, kao i ukoliko je neka realna promenljiva u optimalnom re enju primarnog problema jednaka nuli onda je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva u optimalnom re enju dualnog problema pozitivna.

23. Ekonomsko tumacenje dualnih promjenljivih. Dokazati i objasniti. Dualne promenljive, osim znacajnih metodolo kih osobina, pru aju mogucnost za dobijanje veoma znacajnih informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao I ispitivanje uticaja promene nivoa kori cenja raspolo ivih resursa na vrednost funkcije cilja. Ako imamo problem standardnog maksimuma (max)z=cx Axb x0 ciji je odgovarajuci dualni problem (min)v=b'y A'yc' y0 Ako je optimalno rjesenje PP a optimalno rjesenje DP, Pretpostavimo, sada, da se elementi vektora b (resursi) primarnog problema povecavaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze. povecanje iznosa i-tog resursa za Db uticace na promenu vrednosti funkcije cilja primarnog problema za iznos od z(y*)=y*i bi Dokaz prethodnog, veoma znacajnog tvrdenja proizilazi iz karaktera bazicnih re enja i teorema dualnosti I na osnovu teoreme dualnosti mo emo pisati: cx**=y*(b+ b) cx*=y*b

Nakon oduzimanja druge jednacine od prve, dobijamo z(y*)= y* b. Na osnovu ovakvog rezultata, odnosno relacije mo emo konstatovati da je:

na promjenljive

osnovu

cega

mo emo

konstatovati

da

vrijednost

dualne

pokazuje za koliko jedinica ce se povecati(smanjiti)vrijednost funkcije

cilja primarnog problema,ukoliko se koriscenje resursa poveca (smanji) za jednu jedinicu.Dualne promjenljive predstavljaju tzv.obracunske cijene koriscenih resursa,odnosno tzv.cijene u sijenci.

24. Objasniti osnovne karakteristike i znacaj primjene simplex tabele

Dok se graficki metod re avanja linearnog programiranja moze koristiti samo kod zadataka kod kojih postoje dve glavne promenljive, simpleks metod predstavlja op ti algoritam koji se koristi za re avanje svih vrsta zadataka linearnog programiranja, bez obzira na broj promenljivih. Osim matricnog nacina, simpleks metod za re avanje zadataka linearnog programiranja se mo e veoma efikasno koristiti primenom tzv. simpleks tabele. Simpleks tabela predstavlja tabelaran nacin prikazivanja problema linearnog programiranja, koji je prilagoden za potrebe re avanja ovih problema kori cenjem simpleks metoda. Slicno kao i kod matricnog nacina primene simpleks metoda, tabelarni postupak omogucava da se u nizu faza, u okviru kojih su re enja predstavljena odgovarajucim simpleks tabelama, dode do optimalnog re enja linearnog programiranja. Pocetno bazicno re enje, koje kod standardnog problema maksimuma graficki odgovara pocetku prostora, predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odredivanje optimalnog re enja. Na osnovu prve simpleks tabele, primenom prethodno predstavljenih simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze, odredivanjem vrednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih re enja, preko niza simpleks tabela dolazimo do optimalnog re enja. U cilju ispitivanja postupka odredivanja optimalnog re enja problema linearnog programiranja, op ti oblik simpleks tabele predstavicemo na primeru re avanja zadatka standardnog problema maksimuma. 25. x 26. x 27. x

28. x 29. Na osnovu ega se utvr uje potojanje vi estrukog optimalnog re enja u zadatku LP (grafi ki i analiti ki)

Visestruko optimalno rjesenje se javlja ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji maker jedna razlika I SK (Cj-Zj)=0 za neku nebazicnu promjenljivu Xj, dok su vrijednosti ovih razlika za ostale nebazicne promjenljive negativne, izracunato jersenje nije jedinstveno. Uvodjenjem u bazu promjenljive Xj u cilju odredjivanja novog rjesenja, i iskljucivanjem neke od prethodno bazicnih promjenljivih na osnovu II SK, dobili bi takodje optimalno rjesenje za koje funkcija cilja ima istu vrijednost. Usled osobina SKR, postojanje dva optimalna rjesenja ima za posljedicu da sve konveksne kombinacije dva dobijena rjesenja predstavljaju optimalna rjesenja, zbog veka kazemo da takav slucaj ima visestruko optimalno rjesenje. Geometrijski, slucaj postojanja optimalnog rjesenja se javlja kad su koeficijenti pravna prave koja reprezentuje neko od ogranicenja i koeficijenata pravca prave funkcije cilja jednaki.

30. Analiti ki i grafi ki objasniti slu aj zadatka LP u kome ne postoje mogu a re enja

Prilikom formulisanja modela LP moze se dogoditi da model bude tako postavljen da ne postoje moguce rjesenja. On se desava ukoliko ne postoje vrijednosti proomjenljivih za koje su zadovoljeni svi ogranicavajuci uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup mogucih rjesenja, odnosno ne moze se naci ni jedna tacka za koju su zadovoljene sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja modela.Rjesavanjem ovakvog zadatka koriscenjem simpleks metoda nepostojanje mogucih rjesenja mozemo konstatovati u posljednoj simpleks tabeli. U njoj svi elementi vrste (Cj-Zj) pokazace postojanje optimalnog rjesenja, al ice se u optimalnom rjesenju naci vjestacka promjenljiva, sto je glavni indicator postojanja kontradiktornih uslova u zadatku. 31. Dati analiti ku i grafi ku interpretaciju zadatka LP u kome ne postoje kona ne vrednosti promenljivih i funkcije cilja

Neogranicena vrijednost f-je cilja i promjenljivih se javlja kada je : 1) Model formulisan tako da tako da se jedna ili vise promjenljivih mogu povecati neograniceno, a da to ne bude narusen ni jedan od ogranicenja koji su u ulozi uslova u zadatku, i 2) Funkcija cilja na skupu mogucih rjesenja nema konacnu vrijednost, tj. Skup mogucih rjesenja nije ogranicen skup. Rjesavanje problema max koriscenjem simpleks metoda, ovaj problem mo emo identifikovati prije dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks tabele. Naime, problem mogucnosti postojanja neogranicene vrednosti promenljivih i funkcije cilja konstatovacemo u nekoj iteraciji u postupku odredivanja promjenljive koja treba da izadje iz baze, odnosno prilikom odredivanja vrijednosti kolicnika r . Da bi neka promjenljiva iza la iz baze, potrebno je da u odnosu na ostale vrijednosti ima najmanji pozitivan kolicnik II SK. Medutim, ukoliko svi ovakvi kolicnici budu negativni ili nedefinisani, mo emo konstatovati da problem nema konacno re enje. Nakon dobijene tabele i nakon izracunate vrijednosti kolicnika II SK dobijamo da je beskonacnu vrijednost ili negativna vrijednost promjenljive, nemamo uslova za odredjivanje promjenljive koja treba da izadje iz baze. Ovakav slucaj upucije na cinjenicu da ovaj zadatak LP nema konacno, optimalno rjesenje. 32. Dualni simplex metod Pronasao ga je Lemke, 1954. Godine, kada je trazio rjesenja primarnog problema, iz optimalnog dualnog problema i dosao do nove metode koju je nazvao dualni simpleks metod. Osnovna karakteristika ovog metoda je to polazi od nekog bazicnog rje enja koje nije nenegativno i uslova da je simpleks kriterijum za nebazicne vektore (Cj-Zj) 0. Koristimo je kada nam je dat problem min. Veoma cesto, kori cenje dualnog simpleks metoda, u re avanju problema optimizacije ima niz prednosti u odnosu na druge algoritme simpleks metoda. Takvi su prije svega problemi minimizacije, kod kojih je potrebno uvoditi ve tacke varijable, zatim problemi postoptimalne analize, celobrojnog programiranja... Ako nam je dat problem min: (min) Z=cx ___________________ (max)Z=-cx Ax>b_________________________ -Ax0__________________________ x>o Na osnovu pravila dualnog simpleks metoda, pomnozili smo sve sa (-1) i dobili sada problem maksimizacije. Sada uvodimo dodatne promjenljive i dobijamo (max) Z= -C1x1-C2X2-...-CpXp -a11x1-a12x2-...-a1pXp Cj-Zj (j=1,......p)

Tada re enje nije vi e optimalno ve se u cilju odre ivanja pobolj anog re enja neophodno u bazu uklju iti prethodno nebazi ni vektor Aj. PROMJENA KOEFICIJENATA BAZI NIH PROMJENJIVIH (Cj Zj ) Da bi ispitali kako promjena vrijednosti koeficijenata koji se u funkciji nalazi uz promjenjjive iz optimalne baze uti e na optimalnost re enja , treba utvrditi vrijednosti razlika (Cj - Zj) za nebazi ne vektore.S obzirom da vrijednosti koeficijenta Cj (j=1,...p) za nebazi ne vektore ostaju neprimjenjene neophodno je izra unati i vrijednosti Zj (j=1,....p) za sve nebazi ne promjenjive. Neka je Cb vektor koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz bazi ne promjenjive iz optimalnog re enja.Pretpostavimo da je do lo do pove anja vrijednosti ovih koeficijenata za iznos Cb .Novi vektor ovih koeficijenata je Cb = Cb+ Cb

Vrijednosti Zj za nebazi ne vektore bile su odre ene iz relacije Zj = Cb Gdje je vektora j (j=1....p) j vektor koeficijenata linearne kombinacije bazi nih vektora i nebazi nog Aj izra unat u obliku j= 1 Aj (j=1....p) ostaje nepromjenjen. u uslovima promjenjenih koeficijenatavektora Cb odred, ujemo na

Vrednosti Zj slede i na in

Zj = Cb j = (Cb+Cb) j = Cb j +Cb j =Zj+Zj (j=1....p) Uz pretpostavku da se mjenjaju samo koeficijenti bazi nih promjenjivih , to zna i da vrijednosti Cj ostaju nepromjenjene kriterijum optimalnosti re enja e biti Cj- Zj+Zj =Cj-(Zj+Zj) O ukoliko je Zj>(Cj-Zj) (j=1...p)

Tada ve izra unato optimalno re enje ostaje i dalje optimalno ,tj. Vektor Aj ne treba da u e u bazu. U suprotnom slu aju kada postoji makar jedna pozitivna razlika kriterijuma optimalnosti,izra unato re enje vi e nije optimalno re enje ve se u bazu novog re enja mora uklju iti prethodno nebazi ni vektor Aj za koju je ova razlika maximalno pozitivna. Kombinacijom ova dva razmatrana slu aja (promjena koef. Nebazi nih i bazi nih ). Mo emo odrediti kriterijum optimalnosti u uslovima promjena svih koeficijenata f-je cilja,kada bi imali Cj*-Zj*=(Cj+Cj)- (Zj+Zj)=(Cj-Zj)+( Cj-Zj)O (j=1.....p) Optimalno re enje se ne bi mjenjalo .Ukoliko je makar jedna od razlika pozitivna, re enje bi i dalje bilo mogu e ,al ne i optimalno. 40. Promjena vektora ograni enja u postupku postoptimalne analize Promjene elemenata vektora b (vektora sl. lanova sistema ograni enja) mo emo ozna iti sa b , tako da e novi vektor biti b=b+b . Vrijednosti bazi nih promjenjivih su odre ene relacijom: Xb= 1* b

Na osnovu ega vrijednosti bazi nih promjenjivih u uslovima izmjenjenog vektora b , tj. Vektora b ,odre ujemo na sl. Na in: Xb = Xb = Xb = 1* b 1*( b+b) 1*b+ 1*b

Odakle je Xb = Xb+ 1*b Ukoliko je za novodobijeno re enje zadovoljen uslov XbO , re enje i dalje ostaje optimalno.Ukoliko makar jedan od elemenata Xb bude negativan ,prethodno izra unato re enje vi e ne e biti mogu e jer je naru en uslov nenegativnosti promjenjivih. 41. Promjena matrice A u postupku postoptimalne analize Promjena elemenata matrice A tj.promjena koeficijenata aij u sistemu ograni enja modela linearnog programiranja, mo e izazvati neophodnost promjene optimalnog re enja, to se ispituje u postupku postoptimalne analize. U slu aju ovakve promjene u postupku postoptimalne analize optimalnost re enja u novim uslovima mo e biti ispitivana za razli ite promjene I to: y Promjena nebazi nog vektora y Promjena bazi nog vektora, y Uvodjenje novog vektora aktivnosti (nove promjenljive) y Uvodjenje novog ograni enja

a) Promjena nebazi nog vektora Aj

Ukoliko nakon odredjivanja optimalnog re enja modela dodje do promjene elemenata nebazi nog vektora Aj postupak ispitivanja optimalnosti realizujemo kori enjem kriterijuma optimalnosti. Neka Aj* predstavlja promjenjeni j-ti nebazi ni vektor. Da bi utvrdili da li taj vektor treba uklju iti u bazu, odnosno da li optimalno re enje treba mijenjati izra unavamo vrijednosti: Xj*= ( Aj * koje su nam neophodne radi odredjivanja vrijednosti Zj*, u obliku Zj*= CB Xj* nakon ega pretpostavljaju i da su koeficijenti u funkciji cilja ostali nepormijenjeni primjenjujemo kriterijum optimalnosti, odnosno izra unavamo razliku Cj-Zj* . Ukoliko je (Cj-Z*j) 0 , zaklju ak je suprotan prethodno re enje ne e u novim uslovima biti optimalno, vec se uvodjenjem u bazu vektora Aj*mo e dobiti pobolj ano re enje. Prikazana analiza uticaja promjene nebazi nog vektora na optimalnost re enja, realizuje se i u slu aju ispitivanja uticaja uvodjenjem novog vektora aktivnosti (uz poznati koeficijent koji se u funkciji cilja nalazi uz novu promjenljivu). b) Promjena bazi nog vektora Ai Obilje imo promjenjeni i-ti vektor , koji se nalazi u bazi bazu sa *. Re enja za novu bazu ce biti: XB*=( b Xj*= ( Aj Z*=CB XB* Zj*= CB Xj*

opt,

sa Ai*, odnosno novu

Ukoliko je XB*0 izra unato re enje je mogu e, a ukoliko su za takvo re enje razlike (CjZj*)0 i T0(k+1). c) Znak razlike z(k+1)-z(k) zavisi od dj na sledeci nacin: - Ako je ds>0 onda je z(k+1)-z(k)>0 - Ako je ds 0, tj. Uvodimo prvu smenu po kojoj je 1/imenilac funkcije cilja >0, tj.

Tako da funkcija cilja sada ima sledeci oblik

Sada uvodimo drugu smenu po kojoj je

U pocetku smo imali funkciju razlomljenog linearnog programiranja sa promenjivom X a sada imamo funkciju linearnog programiranja sa promenjivom y. Dobijena funkcija cilja dobija oblik

Zatim pomnozimo sistem ogranicenja sa y0 pa dobijamo novi oblik sistema ogranicenja

Tj, kada uzmemo u obzir drugu smenu koju smo uveli i kada slobodne clanove prebacimo na levu stranu , sistem ogranicenja izgleda

Iz uslova prve smene dobijamo novo ogranicenje koje glasi I koje dodajemo postojecem sistemu ogranicenja. Na kraju dobijamo novu funkciju cilja linearnog prigramiranja koja je mesoviti problem maksimuma :

Zadatak resavamo kao mesoviti problem maksimizacije kod linearnog programiranja i kada dobijemo optimalno resenje, koristimo smenu sa pocetka da dobijemo resenja razlomljenog linearnog programiranja tj. X1= X2= ... Xp=

53. x 54. x 55. x 56. x

57. Dokazati da matrica koeficijenata sistema ograni enja kod TP ima r=m+n-1 Matricu koeficijenata sistema ogranicenja na eg transportnog problema mo emo predstaviti u obliku : 1 1 ... 1 0 0 ... 0 .... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 1 ... 1 .... 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 1 1 .... 1 1 0 ... 0 1 0 ... 0 .... 1 0 ... 0 0 1 ....0 0 1 ... 0 .... 0 1 .... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 1 .... 0 0 ... 1

A=

U matrici A ima ukupno ( m + n ) vrsta, I sve su linearno zavisne. Ukoliko saberemo prvih m vrsta matrice A dobicemo vrstu ciji su svi elementi jedinice - isto takvu vrstu cemo dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A, tj. p1 + p2 +. + pm = pm+1 + pm+2 ++ pm+n ( p1 ,., pm+n = vrste matrice A)

Ovo znaci da svaku vrstu matrice A mo emo izraziti u vidu linearne kombinacije ostalih. Na primjer, za prvu vrstu je p1 = (pm+1 + + pm+n ) (p2 +. + pm ) Isto va i za bilo koju od preostalih vrsta matrice A. Ukoliko sada iz matrice A iskljucimo poslednju vrstu, i uzmemo minor (m n 1) -og reda koji ukljucuje kolone koeficijenata uz promenljive x1n , , xmn , x11 , . , x1n-1 , dobijamo 1 0 ... 0 1 1 ... 1 0 1 ... 0 0 0 ... 0 ..... .. .. 0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 .. ... .. 0 0 ... 0 0 0 ... 1

detM (m+n-1) =

=1

Kako je vrijednost dobijenog minora razlicita od nule, to konstatujemo da je r (A) !m n 1, to je trebalo i dokazati. 58. Za to se u modelu transporta bazi no re enje obrazuje od m+n-1 promenljivih (nisam sigurna za ovaj odg,jer ne postoji konkretno poglavlje ) Na osnovu poznatih stavova linearnog programiranja, tvrdjenje prethodne dvije teoreme (teorema 3.2.- broj linearno nezavisnih jednacina sistema ogranicenja transportnog problema je m+n-1, i teoreme 3.3. - matrica koeficijenata sistema ograni enja kod t.p. ima rang m+n-1 ) ima za posledicu cinjenicu da u bilo kom bazicnom re enju mora imati tacno m n -1 bazicnih promenljivih. Tabelarno, to znaci da ce u svakoj tabeli koja reprezentuje neko bazicno moguce re enje biti popunjeno m n 1 polja, dok ce preostali mn (m n 1) polja ostati prazna, odnosno odgovarajuce promenljive ce biti jednake nuli.

59. Koji metodi se koriste za odre ivanje po etnog bazi nog re enja kod transportnog problema

Od razlicitih metoda koji se mogu koristiti za odredivanje pocetnog bazicnog re enja razmotricemo tri metoda: metod sjeverozapadnog ugla metod minimalnih tro kova Vogelov aproksimativni metod 1. Metod severozapadnog ugla (dijagonalni metod) Metod severozapadnog ugla predstavlja takav postupak odredivanja pocetnog bazicnog re enja u kome rasporedivanje kolicina robe za prevoz preko razlicitih puteva zapocinjemo iz lijevog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1,1). Nakon toga, u m +n - 1 koraka, iduci dijagonalno, rasporedjuju se kolicine robe u razlicita polja tabele koja odgovaraju razlicitim putevima. Postupak se zavr ava nakon iscrpljivanja svih ponudjenih kolicina robe u pojedinim ishodi tima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tra nje pojedinih odredi ta. Osnovna prednost primjene metoda sjeverozaoadnog ugla ogleda se u izuzetnoj jednostavnosti postupka odredjivanja pocetnog bazicnog re enja. Znacaj ove osobine posebno dolazi do izra aja kod slo enijih problema transporta u kojima imamo veliki broj ishodi ta i odredi ta. 2. Metod minimalnih tro kova Prilikom rasporedivanja kolicina robe za prevoz ne uzimaju se u obzir iznosi transportnih tro kova na pojedinim putevima. Metod minimalnih tro kova podrazumijeva prevashodno kori cenje puteva (polja tabele) kojima odgovaraju najmanji tro kovi po jedinici prevezene robe. Zbog toga, ovaj metod u op tem slucaju obezbeduje dobijanje pocetnog bazicnog re enja koje je bli e optimalnom re enju u odnosu na odgovarajuce re enje dobijeno metodom severozapadnog ugla. Postupak odredivanja pocetnog bazicnog re enja zapocinje kori cenjem puta kojem odgovaraju najmanji tro kovi, pri cemu u odgovarajuce polje tabele unosimo maksimalno mogucu kolicinu (manji od iznosa ponude i tra nje) za prevoz. Naizmenicnim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima odgovaraju najmanji transportni tro kovi, u m +n-1 koraka dolazi se do pocetnog bazicnog re enja. Odredivanje pocetnog bazicnog re enja primjenom ovog metoda podrazumijeva prethodnu i sukcesivnu analizu tro kova transporta robe, to u problemima vecih dimenzija ote ava postupak i povecava mogucnost pogre nog rasporedivanja. Prednost ovog metoda ogleda se cinjenici da

njegova primjena obezbjeduje znacajno skracivanje postupka odredivanja optimalnog re enja. 3. Vogelov metod ( metod maksimalnih razlika ) Predstavlja najslo eniji postupak odredivanja pocetnog bazicnog re enja. Su tina ovog metoda sastoji se u izracunavanju potencijalnih gubitaka koji ce nastati ukoliko se izmedu dva polja sa minimalnim transportnim tro kovima, koja se nalaze u nekoj vrsti (koloni) tabele, koristi ono polje u kome su transportni tro kovi veci. Primjena ovoga metoda obezbjeduje pocetno rasporedivanje kolicina robe za prevoz, tj. izracunavanje vrednosti promenljivih bazicnog re enja koje su najbli e optimalnom re enju. Zbog toga ovaj metod garantuje najkracu algoritamsku proceduru odredivanja optimalnog programa transporta robe. I korak : Izracunavanjem vrijednosti razlika izmedu dva minimalna tro ka za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izracunate razlike pridru ujemo vrstama i kolonama tabele, II korak : Odredujemo vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najveca vrijednost razlike. III korak : Pocetnu kolicinu rasporedujemo u polje sa najni im tro kovima koje odgovara vrsti (koloni) sa najvecom izracunatom razlikom. S obzirom da se u jednom koraku elimini e ili vrsta ili kolona, nakon svakog rasporedivanja vr i se izracunavanje promijenjenih razlika izmedu dva minimalna elementa (od preostalih). Postupak se, kao i kod drugih metoda za odredivanje pocetnog bazicnog re enja, zavr ava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mesta tra nje, tj. nakon popunjavanja m +n-1 polja tabele.

60. Koji je razlog pojavljivanja i kako se manifestuje problem degeneracije kod TP? Kako se on prevazilazi? Ukoliko u postupku re avanja transportnog problema odredimo re enje u kome nema m+n-1 bazicnih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele, konstatujemo da takvo re enje ne zadovoljava neophodan uslov za primjenu nekog od metoda optimizacije. Takav slucaj predstavlja degeneraciju transportnog problema, dok ovakvo re enje smatramo degenerativnim. Ovakav slucaj se javlja kad je neka od parcijalnih suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tra nje. Slucaj degeneracije t.p. mo e se pojaviti: prilikom odredivanja pocetnog bazicnog re enja,

u postupku pobolj avanja nekog programa transporta u proceduri optimizacije. Prilikom odredivanja pocetnog re enja degeneracija se javlja u slucaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno elimini emo raspolo ive kolicine odgovarajuce vrste i kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspolo ivu ponudu robe i zadovoljimo ukupnu tra nju koja odgovara tom odredi tu. U postupku optimizacije, kada u nekoj od iteracija odredujemo pobolj ano re enje, slucaj degeneracije se javlja kada u jednom koraku iskljucimo iz baze dvije promenljive, a u bazu ukljucimo samo jednu prethodno nebazicnu promenljivu. Tabelarno, ovaj slucaj nastaje kada u jednom koraku dva (ili vi e) prethodno popunjena polja ostaju prazna, dok popunjavamo samo jedno prethodno prazno polje. Za primjenu nekog od metoda optimizacije programa transporta neophodno je da u tabeli bude popunjeno tacno n+m-1 polja, odnosno da se toliki broj promenljivih nade u bazi. Zbog toga, slucaj degeneracije se prevazilazi tako to se u neko od praznih polja unosi kolicina od jedinica robe, gdje je infinitezimalno mali broj, koji ne naru ava izra ene jednakosti ponude i tra nje. Obicno se ova velicina unosi u prazno polje kome odgovaraju najni i transportni tro kovi po jedinici prevezene robe. 61. Stepping stone metod iliti metod skakanja s kamena na kamen Za odre ivanje optimalnog rje enja mogu se koristiti: a) Stepping stone metod (u daljem textu SSM) b) Metod potencijala (Modi metod) SSM: -Koristi se za provjeru pocetnog bazicnog rjesenja (u daljem textu PBR) tj. Da bismo mogli da koristimo SSM moramo izracunati PBR. Sustina ovog metoda sastoji se u ispitivanju NEzauzetih polja. Ako imamo u transportnoj tabeli polja preko kojih se vrsi transport zovemo ih zauzeta. Preko tih polja se vise ne moze transportovati a znamo troskove za ta polja i mi pokusavamo da ih snizimo tako sto cemo pokusati transport preko drugih polja, pa je sustina ove metode da se ispituju nezauzeta polja. Znaci, ispitujemo ta nezauzeta polja da vidimo da li ona mogu da se ukljuce u transport da bi troskovi bili nizi u odnosu na pocetne. To nezauzeto polje pokusavamo da ukljucimo u transport robe tako sto ga povezujemo sa zauzetim poljima. To se radi na taj nacin sto se crtaju poligoni (mnogouglovi) za prazna polja. Oni se formiraju tako sto se pocne od praznog polja a ostala tjemena mnogougla nalaze se na zauzetim poljima. To polje ce postati zauzeto a neko od zauzetih(preko kojih smo formirali poligon) ce postati prazno ( kao kod Simplex tabela-kad jedna promjenljiva udje u bazu, neka druga mora da napusti bazu). Kad formiramo poligone, uglovi moraju biti pravi a broj tjemena paran. Najmanji broj tjemena je 4 a najveci m+n. Metod je dobio naziv upravo po tome sto se prelazi (ska e) s polja na polje.

-Za nezauzeta polja treba formirati relativne troskove. Relativni troskovi pokazuju za koliko jedinica ce se ukupni troskovi transporta povecati ili smanjiti ukoliko u odgovarajuce polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Ako ti troskovi budu negativni to znaci da cemo koriscenjem tog polja smanjiti ukupne troskove a ako ti troskovi budu pozitivni to znaci da cemo koriscenjem tog polja povecati ukupne troskove. Relativne koeficijente troskova izracunavamo tako sto od transportnog troska koji odgovara pocetnom (praznom) polju naizmjenicno oduzimamo i dodajemo jedinicne troskove transporta koji se nalaze na tjemenima poligona (znaci prvi oduzmemo, sledeci saberemo itd). Postojanje makar jednog negativnog koeficijenta znaci da PBR nije optimalno! -Postupak rje avanja odvija se tako to prvo na emo PBR. Nakon toga, na osnovu praznih polja formiramo poligone. Odredimo koeficijente relativnih tro kova za prazna polja ( d ). Kad odredimo te koeficijente gledamo da li je rje enje optimalno tj da li su sve vrijednosti relativnih koeficijenata ( d ) pozitivne. Ukoliko je makar jedna vrijednost negativna znaci da rje enje nije optimalno tj mo e da se pobolj a. Ako ima vi e negativnih koeficijenta, biramo najveci apsolutni jer cemo kori enjem tog polja koje ima najve u apsolutnu vrijednost relativnog koeficijenta najvi e smanjiti tro kove i to polje uklju ujemo u transport. U to polje treba sad unijeti neku koli inu koja e se transportovati, koju obilje avamo sa , a ne e drugo moramo oduzeti istu koli inu da ne bismo naru ili ravnote u jer ukupna koli ina robe ostaje ista samo je preraspore ujemo. Na tjeme praznog polja upisujemo , na polje pored od postoje e koli ine oduzimamo , na slede e sabiramo itd (naizmjeni no). Izjedna avanjem minimalne razlike sa nulom dobijamo vrijednost (npr 50- i 150- ,uzimamo 50- =0 jer je minimalna i dobijamo da je =50 jer ako bismo uzeli 150- =0, =150, dobili bismo ne e negativne koli ine 50- =50-150 ) i to je koli ina koju emo transportovati preko polja koje je do sad bilo prazno. Crtamo novu tabelu i popunjavamo je najprije koli inama iz prethodne tabele tj popunjavamo prvo polja koja nijesu bila obuhva ena poligonom, pa tek onda polja iz poligona. Nakon toga ra unamo transportne tro kove i upore ujemo ih sa sa tro kovima koji su odgovarali PBR. Ako su se tro kovi snizili to zna i da je rje enje dobijeno ovom metodom pobolj ano. Razlika nam pokazuje koliko e se tro kovi smanjiti ako preko ovog, do sad praznog polja transportujemo neku koli inu robe. Smanjenje tro kova mozemo izra unati i preko formule z=xij*dij (xij= ) koja pokazuje proizvod koli ine koja e se transportovati preko odabranog polja i relativnog koeficijenta tro kova za to polje. Nakon toga ponovo ra unamo relativne koeficijente tro kova i ponavljamo postupak sve dok sve vrijednosti d ne budu pozitivne to predstavlja optimalan program transporta robe.

62. Metod potencijala Modi metod(modifikovani simplex metod) Metod potencijala predstavlja postupak za odre ivanje optimalnog programa transporta robe na osnovu ve odre enog po etnog programa transporta. Su tina ovog metoda sastoji se u ispitivanju mogu nosti pobolj anja ve dobijenog programa transporta, koji se u iterativnoj proceduri transformi e u optimalno rje enje. Postupak primjene metoda potencijala podrazumijeva odre ivanje po jednog takozvanog mno itelja za svaku od jedna ina ponude i tra nje sistema ograni enja modela transporta. Mno itelaj ima m+n a bazi nih promjenljivih m+n-1. Jednom od mno itelja dodjeljuje se proizvoljna vrijednost, naj e e nula. Preostali mno itelji se izra unavaju iz relacije: Cij=Ui+Vj odnosno Cij-Ui+Vj=0 pri emu je: i=1,...,m j=1,...n Cij su vrijednosti potencijala a Ui i Vj mno itelji i ova relacija va i za zauzeta polja. Za nezauzeta polja potencijali se izra unavaju iz relacije: Cij'=Cij-Ui-Vj Ukoliko za jedno ili vi e praznih polja dobijemo negativne vrijednosti potencijala (Cij' bj 2) Otvoreni model u kojem je ukupna ponuda manja od ukupne tra nje tj. ai < bj Da bi problem mogao da se rije i potrebno je da ponuda I tra nja budu jednake jer je algoritam za rje avanje tranansportnog problema takvog oblika pa ih moramo izjedna iti. 1) Slu aj kad je ponuda ve a od tra nje: Postupak rje avanja modela sastoji se u definisanju jednog uslovnog (fiktivnog) mjesta tra nje (fiktivna kolona u tabeli) kojem se dodjeljuje iznos za koji je ukupna tra nja manja od ukupne ponude odnosno: bn+1 = ai - bj 2) Slu aj kad je ponuda manja od tra nje: Ako je ukupna ponuda manja od ukupne tra nje uvodi se uslovno(fiktivno) mjesto ponude (fiktivna vrsta u tabeli) ija je ponuda jednaka razlici izme u ukupne tra nje I ukupne ponude tj: am+1 = bj - ai Kad dodamo uslovnu ponudu ili tra nju moramo definisati i tro kove. Cij=0 jer taj potro a ne postoji ali upisujemo taj vi ak u polje uslovnog potro a a I to je vi ak koji e ostati na skladi tu I to polje smatramo zauzetim da bi uslov m+n-1 bio zadovoljen ali na kraju ne mo emo komentarisati da smo poslali tu koli inu nekom nego ka emo da na nekom skladi tu postoji vi ak ponude (odnosno vi ak tra nje u obrnutom slu aju). *Degeneracija Rje enje u kojem nema m+n-1 bazi nih promjenljivih odnosno popunjenih polja tabele ne zadovoljava neophodan uslov za primjenu nekog od metoda optimizacije. Ovakav slu aj se javlja kada je parcijalna suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih

suma tra nje. Takav slu aj se predstavlja degeneraciju transportnog problema a takvo rje enje smatramo degenerativnim. Degeneracija transportnog problema mo e da se javi prilikom odre ivanja : 1) Po etnog bazi nog rje enja 2) U postupku pobolj avanja nekog problema transporta u proceduri optimizacije. 1) Prilikom odre ivanja PBR degeneracija se javlja u slu aju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno elimini emo raspolo ive koli ine odgovaraju e vrste I kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspolo ivu ponudu robe I zadovoljimo ukupnu tra nju koja odgovara tom odredi tu. To se de ava kad je neka parcijalna suma ponude jednaka parcijalnoj sumi tra nje. Kad popunjavamao neko polje posmatramo koli inu koja se nudi I koja se tra i I upisujemo manju (xij=min(120,20), biramo 20 I tom iteracijom elimini emo neku vrstu) ali u slu aju kada je parcijalna ponuda jednaka parcijalnoj tra nji (xij=min(100,100)) takvom iteracijom elimini emo I jednu vrstu I jednu kolonu (odnosno istovremeno elimini emo dvije bazi ne promjenljive) pa ce uslov postojanja m+n-1 bazi nih promjenljivih biti naru en I ka emo da se pojavio problem degeneracije. To mo emo I da ne primijetimo ali kad do emo do kraja provjeravamo koliko imamo punih polja I otklanjamo degeneraciju tako to u neko od susjednih praznih polja (u ono koje ima najni e jedini ne tro kove) upi e nula. Po pravilu se upisuje epsilon jedinica robe, e je epsilon infinitezimalno mali broj, koji ne naru ava izra ene jednakosti ponude I tra nje ali s obzirom da toliko mali broj koji te i nuli jednostavnije je da pi emo nulu I to polje tretiramo kao zauzeto. 2) U postupku optimizacije, degeneracija se javlja kada u nekoj od iteracija u jednom koraku isklju ujemo iz baze dvije promjenljive, a u bazu uklju ujemo samo jednu prethodno nebazi nu promjenljivu. Degeneracija postoji kada treba odrediti , pri emu imamo dvije minimalne a iste vrijednosti. Zna i ovaj slu aj se vezuje za koli inu. Kad pravimo polygon da odredimo nove koli ine, dobijamo dva prazna polja pa problem degeneracije rje avamo na taj na in to u polje sa manjim jedini nim tro kom upisujemo nulu(pa to polje tretiramo kao zauzeto) a drugo polje ostaje prazno.

64. Osnovni pojmovi I pretpostavke teorije transportnih mre a Standardni transportni problem po iva na slede im pretpostavkama: -da postoji m otpremnih stanica (ishodi ta) -da postoji n dopremnih stanica (odredi ta) -da su sva ishodi ta neposredno povezana sa odredi tima -da prevoz od odredi ta do ishodi ta nije mogu

esto navedene pretpostavke nijesu realne zato to punktovi imaju mogu nost I potrebu da uvoze I izvoze robu tj da se javljaju istovremeno kao odredi ta I kao ishodi ta, ili da se preko njih vr i samo tranzit robe. Ovakvi, I sli ni problemi spadaju u grupu problema koji se zovu transportni problemi na mre i. Transportna mre a se defini e kao skup vorova (punktova) I skup veza (komunikacija) na kojima se odvija neka transportna djelatnost. vorovi (ozna eni krugovima) mogu biti: gradovi, raskrsnice ulica, aerodrome, eljezni ke stanice. Komunikacije(ozna ene linijama) mogu biti: ulice, drumske saobra ajnice, vazdu ni putevi, eljezni ke stanice.. Prilikom kretanja izme u punktova u nekoj transportnoj mre i, problem se sastoji u odre ivanju optimalnog puta, pri emu optimalni put mo e biti definisan kao najkra i put, najdu i put, najjeftiniji, najpouzdaniji. Grane u mre i su okarakterisane du inom. Du ina grane mo e biti: du ina puta, vrijeme putovanja, transportni tro kovi, pouzdanost itd. Ako se sa P ozna i proizvoljan kona an skup elemenata pi, a sa K skup svih (nije obavezno svih) ure enih parova kij=(pi, pj), koji su sastavljeni od razli itih elemenata skupa P, tada skupovi P I K posmatrani zajedno defini u transportnu mre u. Par (P,K), dva skupa P I K, odre uje potpuno jednu transportnu mre u. Tjemena -tjemena -tjemena -tranzitna tjemena transportne mre e mogu biti: proizvodnje potro nje

U tjemenima proizvodnje veli ina pi je pozitivna, u tjemenima potro nje je negativna a u tranzitnim tjemenima jednaka je nuli. Elementi kij=(pi,pj) skupa K, nazivaju se komunikacije transportne mre e. Komunikacija kod koje je jedan te isti punkt I po etni I zavr ni naziva se petlja. Mre a -orjentisana -neorjentisana -mje ovita mo e (ne (ozna en znamo e pravac se to biti kretanja) prevozi)

Za svaku komunikaciju su vezana dva broja: 1)Propusna mo (dij) koja pokazuje kolika je maximalna koli ina robe koja se mo e prevesti tom komunikacijom (ta vrijednost nije uvijek data) 2)Tro kovi prevoza (cij) jedinica robe koja se transportuje iz jednog punkta u drugi komunikacijom (uvijek dati) (ako je na komunikaciji napisan samo jedan br to su uvijek tro kovi!) Transportna mre a se mo e prikazati I u obliku kvadratne matrice u kojoj svakom punktu transportne mre e odgovara jedna vrsta I jedna kolona. Vrste matrice A

pokazuju u koja tjemena mre e je mogu prevoz iz tjemena koja odgovaraju datoj vrsti a kolone pokazuju koje se komunikacije zavr avaju u doti nom tjemenu mre e. Na glavnoj dijagonali matrice transportne mre e uvijek se nalaze nule, zato to ne postoje komunikacije koje polaze I zavr avaju se se u istim tjemenima. 65. x 66. x 67. x 68. x 69. Matri ne igre sa mje ovitim strategijama.

Strana 317. u knjizi. Ako matri na igra nema sedlastu ta ku, tj. Ako pri optimalnim strategijama za igra a A i igra a B, maximin vrijednost (maksimalni minimalan dobitak za igra a A) i minimax vrijednost (minimalni maximalni gubitak igra a B) NISU jednaki onda se ne radi vi e o prostoj matri noj igri koja ima sedlastu ta ku i ije rje enje se lako nalazi. Ukoliko se igra i pona aju racionalno , onda u elji da bolje prodju, tj. Da pove aju svoj dobitak odnosno smanje svoj gubitak e u nizu poteza birati vi e strategija. Vazno je reci da je vrijednost igre uvijek izmedju minimax i maximin vrijednosti, to zna i da igra A mo e imati dobitak ve i od minimalnog a igra B gubitak manji od maximalnog. Opredjeljivanje za izbor razli itih strategija od strane igra a A i B realizuje se slu ajnim izborom, odnosno sa odre enom vjerovatno om pri emu jedan slu ajan izbor razli itih strategija predstavlja tzv. Mje ovitu strategiju (kombinacija razli itih vjerovatno a sa kojima e igra i u uzastopnom nizu poteza igrati pojedine strategije koje im stoje na raspolaganju.) Za igra a A mje ovita strategija predstavlja se vektorom x = (x1,x2,...,xm) iji elementi pokazuju vjerovatno e sa kojima igra A primjenjuje pojedine strategije. Suma svih tih vjerovatno a je jednaka jedinici. I sansa za svaku strategiju da bude izabrana je ve a ili jednaka nuli. Ako je ve a od nule onda je to aktivna strategija. Isto va i i za igra a B ija mje ovita strategija je vektor y=(y1,y2,...,yn). Pri svakoj odabranoj strategiji dobitak/gubitak zavise od vjerovatno a x i y, i od matrice pla anja, te vrijednost igre mo emo predstaviti formulom 5.5 iz knjige tj: V= f (x,y) = (suma i=1 do m) (suma i=1 do n) aij xi yj Ili vektorski V= f (x,y) = xPy

Primjer u knizi na str 219.

70. Rje avanje mje ovitih matri nih igara. Vrijednost igre ovdje je prosje an dobitak, odnosno gubitak za igra a A/B. Kao i u prethodnom pitanju, svaki igra pona aju i se racionalno poku ava da svede svoj dobitak na maximalan nivo , tj. Gubitak na minimalan nivo. Razli ite vrste mje ovitih igara, zavisno od vrste i dimenzije matrice pla anja, rje avaju se na razli ite na ine. Npr. Igre u kojima jedan igra raspola e sa 2 strategije, a drugi sa 2 ili vi e, tj. Sa kona nim brojem strategija se mogu rije iti analiti ki i grafi ki. To su matrice reda 2x2, 2xn ili mx2...Ako je m ve e od 2 , a takodje i n ve e od 2 onda poku avamo da uprostimo matricu u oblik pogodan za grafi ko i analiti ko rje avanje, ako ne mo e onda rje avamo kori enjem modela LP. Ovo je su tina odgovora na ovo pitanje, zbog nepogodnosti pisanja formula savjetujem da ipak pogledate u knjizi, nema tu puno...

71. Rje avanje igre reda 2x2 E sad da rezimiramo. Ako imate neku matricu 2x2 i ako vidite da donja i gornja vrijednost igre nisu jednake onda je to slo ena matri na igra , tj. Neophodno je da odredimo optimalne strategije za igra e A i B, tj. Vektore vjerovatno a odredjenih strategija i naravno vrijednost igre to je i cilj samog zadatka. Zna i moraju obije strategije i jednog i drugog igra a biti aktivne, tj. Imati vjerovatno u ve u od 0 da se upotrijebe u jednom od nekoliko poteza ovih igra a. Elemeneti matrice su a11,a12,a21 i a22. Svako igra gleda vrijednost igre ukoliko ovaj drugi izabere neku strategiju... Tako npr igra A ima vjerovatno e kao ranije x1 i x2 za svoje 2 strategije. Za njega da bi odredili vrijednost igre praivmo sistem jedna ina:

a11x1 + a21x2 = v a12x1 + a22x2 = v x1 + x2 = 1

zamjenom npr. X1=1-x2 mozemo na i sve elemente i vrijednost igre. Analogno tome i igra B gleda svoje vrijednosti na osnovu izbora strategija igra a A, te je njegov sistem:

a11y1 + a12y2= v a21y1 + a22y2= v y1 + y2 = 1 Na isti na in dolazimo do vrijednosti igre i elemenata y1 i y2. Grafi ki na in je objasnjen u knjizi na str.323 -330 i lagan je, brzo se prelazi jer su grafici.

72. Rje avanje igre reda (2,n) ili (m,2) Poenta je da se matrica placanja svede na matricu 2x2, pa da se rije i kao takva. Zna i treba uvijek kod igra a koji ima vi e od 2 mogucih strategija na i aktivne 2 strategije, njih emo na i grafi kom metodom koja je odli no obja njena u knjizi na strani 330 i potkrijepljena primjerom, 2xn je matrica kod koje grafi kim metodom tra imo maximalan dobitak za igra a A. Krive koje odre uju omega ta ku su aktivne strategije, njih je 2 i na osnovu njih svodimo matricu na 2x2, tj. To su aktivne strategije sa strane igra a B, postupak se nastavlja analiti kim putem, tj. Analiti ki se rje ava matrica 2x2 kao u prethodnom odgovoru, skre em pa nju da u knjizi nema prazne pri e i da je sve bitno i mora se pogledati da bi se razumjelo. Str.330-336, to su samo primjeri, nema teorije. Matrica mx2 se odnosi na igra a B, tj. Grafi ki tra imo omega minimalno, tj. Minimalan gubitak na osnovu kojih biramo optimalne strategije sa strane igra a A, dobijamo matricu 2x2 i rje avamo analiti ki. 73. x 74. x