Operaciona istraživanja_01

8/12/2019 Operaciona istraivanja_01

1/79

OPERACIONA

ISTRAIVANJA

1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metodalinearnog programiranja?

Veliki broj privrednih aktivnosti se ostvaruje u uslovima ogranienog iznosa resursa,

koji se na razliite naine mogu koristiti za ostvarivanje unapred postavljenog cilja. Iz

niza moguih naina (programa) korienja raspoloivih resursa ekonomski subjekt i su


2/79

veoma zainteresovani da odaberu onaj najpovoljniji, onaj za koji e se ostvariti najvea

mogua efikasnost ukupnih aktivnosti. Zbog toga optimizacija ekonomskih aktivnosti

zauzima centralno mesto u okviru ekonomske analize i matematikog modeliranja

ekonomskih problema. Jedan od matematikih metoda optimizacije, koji je tokom ovog

veka doiveo punu afirmaciju, teorijsku razradu i iroku primenu jeste model linearnogprogramiranja.

Linearno programiranje predstavlja model koji se veoma uspjesno koristi za resavanje

velikog broja problema na nivou preduzeca. Tu spadaju:

a) Proizvodno planiranje - U uslovima ogranienog iznosa resursa proizvodno

preduzee moe proizvoditi razliite koliine proizvoda iz sopstvenog

asortimana. U namjeri da maksimizira ukupan rezultat svog poslovanja, koji je

najee izraen visinom ostvarenog profita, preduzee je veoma zainteresovano

da iskoristi resurse sa kojima u odreenom periodu raspolae na najbolji mogui(optimalan) nain.S toga je za jedno preuzece veoma vazna uloga linearnog

programiranja u kreiranju optimalnog programa proizvodnje koji omogucava

sintezu raspolozivih resursa i pozitivnog poslovnog rezultata.

b) Planiranje investicija Problem planiranja investicija javlja se prije svega na

podrucju finansijskih institucija, banaka, investicionih fondova kao i raznih

osiguravajucih kompanija. U ovom slucaju polazi se od pretpostavke o

ogranicenosti investicionih sredstava. Uloga linearnog programiranja zasniva se

na kreiranju optimalnog nivoa ulaganja u pojedine hartije od vrijednosti.

c) Planiranje transporta robe Cilj svakog uspjesnog preduzeca jeste ne samo daostvari maksimalan profit vec i da trosak poslovanja svede na minimum. U tom

smislu trensport robe je veoma vazan. Naime, u uslovima teritorijalne

razdvojenosti potrosaca i proizvodjaca transport robe izaziva znacajan trosak

distribucije i prevoza. Metodom linearnog programiranja nastoji se odrediti

optimalan vid transporta koji ce omoguciti minimizaciju troskova. Uloga

linearnog programiranja u resavanju ovog problema je dvojaka jer ne samo da

doprinosi ostvarenju osnovnog cilja preduzeca vec putem smanjenja troskova

transporta indirektno utice i na smanjenje cijene proizvoda pa na taj nacin

zadovoljava i potrebe potrosaca.d) Optimalno rasporedjivanje kadrova Optimalno rasporejivanje kadrova odnosi

se na odredjivanje optimalnog rasporeda izvrsilaca za obavljanje razlicitih

poslova. Optimalan raspored podrazumijeva takav raspored koji ce omoguciti

maksimalnu efikasnost u radu. Pri tome efikasnost moze biti usmjerena na

minimizaciju troskova, minimizaciju radnog vremena ili maksimizaciju profita.


3/79

Optimalan raspored omogucava se posebnim vidom linearnog programiranja

modelom asignacije, odnosno rasporedjivanja.

2. Postupak koriscenja modela operacionih istrazivanja u procesu poslovnogodlucivanja?

Svakog dana ljudi donose veliki broj odluka. Prilikom donosenja odluka oni na

raspolaganju imaju veliki broj alternativa a Sustina procesa odlucivanja jeste opredijeliti

se za najbolju vodeci pritom racuna o ogranicenjima koja limitiraju slobodu izbora.

Pored odluka koje donosimo svakodnevno postoji i posebna kategorija odlucivanja

poznata kao poslovno odlucivanje.

Poslovno odlucivanje predstavlja proces selekcije koji obuhvata izvestan broj

uzastopnih, medjusobno zavisnih koraka, koji nam pomazu da do resenja problemadodjemo na dosledan, racionalan nacin.

U okviru poslovnog odlucivanja primjenjuju se metode operacionih istrazivanja koje

kvantitativnim putem nastoje odrediti najbolju mogucu alternativu, odnosno optimalno

resenje. Operaciona istrazivanja predstavljanju skup metoda i tehnika koje se koriste za

iznalazenje uslovnog ekstremuma funkcije sa vise promenljivih. Ona se prije svega bave

problemima koji su vezani za upravljanje organizacionim , poslovnim, tehnicikim i

drugim sistemima a sve u cilju pronalazenja optimalnih resenja koja su neophodna

menadzerima za donosenje odluka. Operaciona istrazivanja primjenjuju se u uslovimaizvjesnosti tj. u situacijama u kojim je sve unaprijed poznato. Njih karakterisu precizno

odredjene alternative kao i jasno definisan cilj koji putem njih treba da se ostvari.

Dakle, u procesu poslovnog odlucivanja koristi se kvantitativna analiza. Da bi analiza

mogla da se koristi neophodno je da je postavljeni problem kompleksan kompleksan i

da postoji veliki broj faktora koji utice na rezultat realizacije donesene odluke. . Zatim,

neophodno je da postoji mogucnost obezbjedjenja neophodnih podataka za

matematicko i statisticko predstavljanje poslovnog problema. Ukoliko nemamo podatke

ne mozemo matematicki modelirati taj problem pa ne mozemo koristiti kvantitativnu

analizu vec se dati problem resava metodama kvalitativne analize.

Takodje vazno je i da se cilj realizacije donesene odluke moze kvantitativno izraziti. I na

kraju kraju da bi se primjenjivala kvantitativna analiza neophodno je da postoji

mogucnost definisanja odgovarajuceg matematickog modela koji predstavlja dobru

aproksimaciju postavljenog problema. Naime, nije dovoljno da mi matematicki

postavimo samo funkciju tj.cilj vec je potrebno da predstavimo i alternative i sve to


4/79

zajedno predstavlja model neke ekonomske situacije koju zelimo da rijesimo. U tom

smislu svako poslovno odlucivanje prolazi kroz nekoliko faza kvantitativne analize:

Prva faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje problema. U okviru ove faze

neophodno je postaviti problem koji zahtijeva resenje. Recimo, ukoliko je cilj odrediti

kolicinu proizvoda koju neko preduzece treba da proizvodi onda je neophodno odrediti

strukturu programa proizvodnje, profit koji se zeli ostvariti kao i nivo troskova

karakteristican za ovu proizvodnju. Shodno tome, druga faza u kvantitativnoj analizi

jeste definisanje modela. U ovoj fazi glavnu ulogu imaju strucnjaci za matematicko i

statisticko strukturiranje modela. U njoj se definise cilj i to u vidu neke funkcije (npr.

maksimiziranje profita) a matematicki se moraju izraziti i sva ogranjicenja koja postoje u

preduzecu. Treca faza predstavlja veoma kompleksan i znacajan posao pripreme

podataka, u okviru koga se moraju obezbijediti svi podaci neophodni za resavanje

definisanog modela. Dakle, neophodno je kreirati informacionu osnovu. Medjutim,

stalne promjene u poslovanju zahtjevaju da prikupljanje podataka bude permanentan

proces koji ce omoguciti vremenski uspjesno koriscenje dfinisanog modela. Nakon

prikupljanja neophodnih podataka prelazi se u fazu resavanja modela . U ovoj fazi vrsi

se verifikacija rethodnih faza kvantitativne analize pri cemu se prevashodno ocjenjuje

validnost modela i njegova upotrebljivost za konkretne potrebe. Ukoiko resavanjem

konkretnog modela dobijemo moguca resenja koja zadovoljavaju ograniavajue uslove

i matematiki izraen cilj realizacije konkretne odluke, onda takva reenja moemo

smatrati optimalnim i koristiti ih kao povoljnu alternativu poslovne odluke. U

suprotnom, moramo se vratiti na prethodne faze i izvrsiti prilagodjavanje modela. U

poslednjoj fazi dobijena resenja koriste se za donosenje optimalnih poslovnih odluka, u

procesu poslovnog odlucivanja.

3. Objasniti opsti model matematickog programiranja.Matematicko programiranje je oblast matematike ciji je predmet razmatranja teorijski i

numerick postupak odredjivanja ekstremne vrijednosti funkcija vise promenljivih, u

kojima postoje ogranicenja mogucih vrijednosti promjenljivih.

Matematicko programiranje moze biti:

a) Linearno

b) Nelinearno

Opti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku zahteva

za odreivanjem vrednosti promenljivih X1 , X2,.....Xn,koje zadovoljavaju m nejednaina

i jednaina oblika:


5/79

gi(X1 , X2,.....Xn) {, =,} bi i= 1,....,m

I za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije:

Z = f (X1 , X2,.....Xn)

Uslove nazivamo sistemom ogranienja, dok funkcija predstavlja funkciju cilja modela

matematikog programiranja. U ovako predstavljenom modelu pretpostavljamo da su

funkcije gi i f poznate, dok vrednosti bi predstavljaju unapred zadata ogranienja. U

svakom od ogranienja pojavljuje se ili jednaina ili jedan od dva oblika nejednaina.

Ukoliko su u sistemu ogranienja svi uslovi predstavljeni u vidu jednaina, takav oblik

problema predstavlja klasian problem optimizacije i ne predstavlja posebno

interesantan sluaj sa aspektra reavanja zadataka matematikog programiranja.

Ukoliko sistem ogranienja i odgovarajuu funkciju cilja predstavimo u razvijenom

obliku, model matematickog programiranja je:

(max)Z= f( x1,x2,...,xn)

g1(x)=g1(x1,x2,...,xn)b1

g2(x)=g2(x1,x2,...,xn)b2

.........

gm(x)=gm(x1,x2,...,xn)bm

Sve vrijednosti promjenjivih x=(x1,x2,...,xn) za koje su zadovoljene sve nejednacine

sistema ogranicenja obrazuju tzv. Skup dopustivih ili mogucih rjesenja modela.

Cilj rjesavanja zadatka matematickog programiranja jeste odreivanje one kombinacije

vrijednosti promjenjivih iz skupa mogucih rjesenja za koje funkcija cilja ostvaruje

ekstremnu vrijednost. Takvo rjesenje koje obiljezavamo sa x*=(x1,x2,...,xn) predstavlja

optimalno rjesenje zadatka matematickog programiranja.

Ukoliko je u modelu matematickog programiranja makar jedna funkcija gi ili f

nelinearna, takav oblik modela linearnog programiranja predstavlja nelinearnoprogramiranje. Suprotno ukoliko su sve funkcije sistema ogranicenja i funkcija cilja

modela linearne (i ukoliko predpostavimo da su promjenjive nenegativne velicine),

takav oblik modela predstavlja model linearnog programiranja.

4. Objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja.


6/79

Svaki model linearnog programiranja karakterisu odredjene pretpostavke koje se

odnose Xna svaki od njih i to:

a) Linearnost

b) Izvjesnost

c) Djeljivost

d) Nenegativnost

Linearnost

Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmeu

promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u modelu

linearnog programiranja zadovoljene su takoe dve osnovne pretpostavke i to:

proporcionalnost i aditivnost.

Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog

programiranja izmeu inputa i outputa. Sa druge strane osobina aditivnosti

podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ogranienja moe dobiti

kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela

linearnog programiranja.

Proporcionalnost podrazumijeva da ukoliko je za jednu jedinicu nekog roizvoda

potrebno utrositi 5 jedinica odredjenog resursa, za 10 jedinica proizvoda bice potrebno

50 jedinica resursa dok aditivnost podrazumijeva da ukoliko funkcija cilja pokazuje

ukupan profit odreenog preduzea koji se ostvaruje od proizvodnje odreenih

proizvoda, onda se ukupan profit odreuje kao suma profita ostvarenih od pojedinih

proizvoda.

Izvjesnost

Svako odlluka moze se donijeti u uslovima izvjesnosti, neizvjesnosti ili rizika. Izvjesnost

podrazumijeva da se odluka donosi u poznatim okolnostima dok je u slucaju

neizvjesnosti sve nepoznato pa su ove situacije najteze za donosenje odluke. Situacijarizika podrazumijeva odredjenu vjerovatnocu optimalnog resenja i nalazi se izmedju

ova dva ekstrema. U slucaju linearnog programiranja svi parametri su unaprijed

jednoznacno odredjeni pa se s toga model linearnog programiranja smatra

deterministickim modelom.

Djeljivost


7/79

Ova pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog programiranja ne

moraju biti celi brojevi. Prema tome, u optem obliku modela linearnog programiranja

ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti resenja. Ukoliko je to, pak, slucaj onda se radi o

specijalnom obliku zadatka modelu cjelobrojnog linearnog programiranja.

Nenegativnost

Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela

linearnog programiranja. Kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se

koristi za odreene ekonomske analize predstavljaju odreene ekonomske veliine,

jasno je da one ne mogu biti negativne. Recimo ukoliko modelom linearnog

programiranja zelimo odrediti optimalan obim proizvodnje promenljive modela

pokazuju vrednost (koliinu) proizvodnje odreenih proizvoda, koja ne moe biti

negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ogranienja

(predstavljenih u vidu nejednaina i jednaina), predstavlja jedan od osnovnihelemenata modela linearnog programiranja.

5. Koje su karakteristike standardnog problema maximuma?Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnogprogramiranja u kome se postavlja zahtjev za odreivanjem maksimalne vrijednostiunaprijed poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su predstavljenisistemom nejednaina sa znakom .

Ovakav oblik modela linearnog programiranja definie se u uslovima postojanjaogranienih resursa koje treba na najracionalniji nain utroiti radi ostvarivanjamaksimalnih ekonomskih efekata.

Zadatak standardnog problema maximuma predstavlja se na sljedei nain:

(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp

a11X1+ a12x2 +... + a1pxp b1

a21x1+a22x2+...+a2pxp b2

..............................................

am1x1+am2x2+...+ampxp bm

x1,x2,....,xp 0


8/79

Svaki problem LP mora da sadri:

1.funkciju cilja

2.sistem ogranienja

3.uslov nenegativnosti

Funkcija ciljaizraava osnovni cilj koji se unaprijed definie i radi koga se formulie ireava odgovarajui model linearnog programiranja(maksimizacija ukupnogprofita,maksimizacija deviznih efekata,maksimalni stepen zaposlenosti i sl.). Pri tomeradi ostvarivanja cilja predstavljenog funkcijom z u problemu postoji p djelatnosti(unajirem smislu) koje su predstavljene promjenjivima x1,x2,...,xp iji su pojedinaniefekti izraeni parametrima c1,c2,...,cp

(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp

Sistem ogranienja izraava iznosi nainkorienja ogranienih resursa.

Iznos resursaje izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja:

b1,b2...,bm.

Nain korienjaresursa izraen je koeficijentima aij (i=1,...,m; j=1,...,p)

Uslov nenegativnosti predstavlja obavezan elemenat modela. On osim metodolokih

razloga on mora biti zadovoljen jer nijedna djelatnost ne moe biti negativna.

x1,x2,....,xp0

Svi elementi modela izuzev promjenjivih x1,x2,....,xpunaprijed su poznati to znai da sukoeficijenti u funkciji cilja (cj), koeficijenti u sistemu ogranienja (aij) i slobodni lanovisistema ogranienja(bi) parametri modela.

6. Zato se u model LP uvode dodatne promenljive i koje je njihovo ekonomskoznaenje?

U cilju rjeenja problema linearnog programiranja, sistem nejednaina koji sainjavasistem ogranienja transformiemo u sistem jednaina. Dodatne promjenjive uvodimo usvaku nejednainu da bismo izjednaili lijevu i desnu stranu, pa je s toga njihovavrijednost jednaka razlici izmeu lijeve i desnestrane. Dodatne promjenjive imaju svojemetodoloko i ekonomsko znaenje. Ekonomsko znaenje odnosi se na to da pozitivnevrijednosti dodatnih promjenjivih pokazuju iznos neiskorienih resursa u nekom odrjeenja. Tako, vrijednosti dodatnih promjenjivih iz optimalnog rjeenja pokazuju koliko


9/79

resursa ostaje neiskorieno u situaciji kada su vrijednosti realnih promjenjivihoptimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost. Dodatnepromjenjive uvode se i u funkciju cilja sa nultim vrijednostima koeficijenata.

7. Koje su osnovne karakteristike skupa moguih rjeenja?Sve vrijednosti promjenjivih za koje su zadovoljene nejednaine, (jednaine) sistemaogranienja predstavljaju mogua rjeenja odnosno obrazuju skup moguih rjeenja.

Skup m.r obrazovan je od taaka koje zadovoljavaju sve nejednaine(jednaine) sistemaogranienja, odnosno predstavlja presjek skupova taaka za koje su zadovoljenepojedine nejednaine. Iz linearnog karaktera ograniavajuih uslova proizilazi da takekoje zadovoljavaju pojedine nejednaine obrazuju konveksan skup taaka.Dakle, vanaosobina skupa moguih rjeenja jeste konveksnost. On je takoe zatvoren skup, a mozebiti i prazan skup u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne

postoji ni jedna tacka x= (x1,x2,...,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

8. Dokazati da je skup moguih rjeenja konveksan skup.Da bi se dokazalo tvrenje teoreme, potrebno je pokazati da konveksna kombinacija svakadva mogua rjeenja takoe predstavlja mogue rjeenje.

Neka su take x'=(x1',X2',...,Xn' ) i x"=(X1 ",X2 ",...,Xn") mogua rjeenja problema, na osnovuega je

Ax'= b i Ax"=b

Posmatrajmo sada taku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju taaka x' i x",odnosno:

x=x'+ (1-)x", 0 1.

Ukoliko sada taku x uvrstimo u sitem jednaina problema imamo:

Ax= A[x'+ (1-)x"]=Ax'+(1-)Ax"

=Ax'+Ax"-Ax"=b+b-b=b

Na osnovu ovoga vidimo da taka x predstavlja mogue rjeenje zadatka linearnogprogramiranja, tj. da sve konveksne kombinacije moguih rjeenja takoe predstavljajumogua rjeenja. Prema tome skup moguih rjeenja je konveksan skup to je trebalo idokazati.


10/79

9. Koje reenje modela LP predstavlja bazicni a koje optimalno resenje?Reenje modela LP moze biti : moguce resenje i optimalno resenje. Sve vrijednostipromjenljivih za koji su zadovoljene nejednacine (jednacine) sistema ogranicenjapredstavljaju tzv. moguca resenja, odnosno obrazuju skup mogucih resenja (moguci

skup). Sto se tice standardnog problema maximum u okviru kojeg je sistem ogranicenjadat nejednacinama sa znakom , skup mogucih resenja je ogranicen i zatvoren. Skupmogucih resenja moze biti i prazan skup, u slucaju kada su postavljeni uslovikontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x=(x1,x2,.,xn) za koju suzadovoljeni svi uslovi (ogranicenja) zadatka. Skup mogucih reenja obrazovan je, prematome, od tacaka koje zadovoljavaju sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja,odnosno predstavlja presek skupova tacaka za koje su zadovoljene pojedinenejednacine (jednacine). Iz linearnog karaktera ogranicavajucih uslova proizilazi datacke koje zadovoljavaju pojedine nejednacine (jednacine) obrazuju konveksan skuptacaka. Na osnovu toga se izvodi veoma vana osobina skupa mogucih reenja zadatka

linearnog programiranja konveksnost skupa mogucih reenja koja predstavljaosnovu postupka odredivanja optimalnog reenja zadatka linearnog programiranja.Dakle , skup mogucih resenja je konveksan i ogranicen tj postoji konacan brojekstremnih tacaka. Osobina konveksnosti skupa mogucih resenja vazi za sve oblikezadatka linearnog programiranja standardni problem maximuma, mjesoviti problemmaksimuma i problem minumuma. Na osnovu osobine konveksnosti skupa mogucihresenja odredjujemo bazicno resenje. Ukoliko takvo resenje zadovoljava i uslovnenegativnosti ono predstavlja bazicno moguce resenje. Osnovni cilj reavanja zadatkaLP predstavlja zahtev za odredivanjem optimalnog reenja. Optimalno resenje je resenjekoje pored toga sto zadovoljava sistem ogranicenja i uslov nenegativnosti, maximizira(minimizira) i funkciju cilja. Bazicno moguce reenje, x*= (x1*,x2*,.,xn*) na primjerustandardnog problema maximuma, predstavlja optimalno reenje zadatka ukolikoimamo da je z (x*) z (x), za bilo koje moguce reenje 'x . Drugim rijecima, reenjezadatka standardnog problema maksimuma je optimalno ukoliko je moguce i ukolikodaje maksimalnu vrednost funkcije cilja z .Optimalno reenje zadatka linearnogprogramiranja nalazi se u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih reenja, sto semoze i algebarski dokazati. Optimalno resenje moze biti : jedinstveno i visestruko.Optimalno reenje problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj tacki(najudaljenijoj od koordinatnog pocetka) konveksnog, ogranicenog i zatvorenog skupamogucih reenja. Slicno, samo uz inverzan kriterijum, predstavljali smo uslov zaoptimalnost reenja problema minimuma. To je jedinstveno optimalno resenje, gdje

postoji samo jedna tacka u SMR koja zadovoljava sve uslove i u kojoj je vrijednost I SKza nebazicne promjenljive


11/79


12/79

1z (xk) + 2 z(xk) + + kz(xk) = (1 +2++ k) z (xk) = z (xk) odnosnoz (xk) z (x*),sto je i trebalo dokazati. Na taj nacin pokazano je da tacka x predstavlja optimalnoresenje zadatka standardnog problema maximum jedino ukoliko je x* = xk odnosno da

se maximalna vrijednost funkcije Z ostvaruje u extremnoj tacki skupa mogucih resenja.

11.Kada se primjenjuje graficki metod odredjivanja resenja u modelu LP i koji jepostupak njegove primjene?

Najjednostavniji nacin odredivanja reenja u zadatku linearnog programiranjapredstavlja graficki metod. Medutim, i pored izrazite jednostavnosti i preglednosti,mogucnosti koricenja ovog metoda u reavanju prakticnih problema linearnogprogramiranja su veoma ogranicene. Naime, graficki metod resavanja zadatkalinearnog programiranja moze se primjeniti samo u slucaju kada u zadatku postoje

dvije realne promjenljive. Zbog toga, razmatranje grafickog metoda ima prevashodnokarakter predstavljanja skupa mogucih resenja i postupaka trazenja optimalnog resenja,kao i ukazivanja na osnovni karakter postupka odredjivanja resenja koriscenjemsimplex metoda.

Postupak njegove primjene je sledeci :

1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja;2. Graficko predstavljanje pravih koje reprezentuju nejednacine sistema ogranicenja;3. Identifikacija skupa mogucih reenja za koja su zadovoljene sve nejednacine sistemaogranicenja i uslov nenegativnosti;4. Nanoenje prave koja reprezentuje funkciju cilja za nulte vrednosti promenljivih(prava funkcije cilja koja prolazi kroz koordinatni pocetak);5. Translacija prave funkcije cilja sleva udesno, (nanoenje paralelnih pravih) sve dok neucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogucih reenja ima samo jednuzajednicku tacku;6. Utvrdivanje optimalnih vrednosti promenljivih x1 i x2u vidu koordinata ekstremnetacke skupa mogucih reenja najudaljenije od koordinatnog pocetka (identifikacijom sagrafika ili reavanjem sistema jednacina pravih na cijem preseku se tacka nalazi), i7. Odredivanje vrednosti funkcije cilja za optimalne vrednosti promenljivih.

Na kraju, vano je napomenuti da jepostupak primene grafickog metoda odredivanjaoptimalnog reenja istovetan sa razmatranim i u slucaju reavanja problemaminimuma, kao i meovitog problema maksimuma. U slucaju reavanja problemaminimuma, inverzan zahtev definisan odgovarajucom funkcijom cilja, determinieegzistenciju optimalnog reenja u tacki skupa mogucih reenja koja je najbliakoordinatnom pocetku. Kod meovitog problema maksimuma razlika prilikomutvrdivanja skupa mogucih reenja u odnosu na razmatrani postupak posledica je


13/79

modifikacije sistema ogranicavajucih uslova. Medutim, opti karakter i nacin koricenjagrafickog metoda istovetan je kod reavanja svih zadataka linearnog programiranja.

12. Simplex metod objasniti osnovne karakteristike metoda, uporediti ga sagrafickim metodom i objasniti simplex kriterijume za promjenu vektorske

baze.

Za razliku od grafickog metoda, koji se moe koristiti samo za reavanje problema ukojima postoje dvije realne promenljive, simpleks metod predstavlja opti algoritam kojise koristi za reavanje svih oblika zadatkalinearnog programiranja. Simpleks metodpredstavlja algoritam u kome se u nizu iteracija (faza) dolazi do optimalnog reenjazadatka linearnog programiranja. Pri tome, u svakoj od iteracija utvrdjuju se vrijednostipromjenljivih koje odgovaraju ekstremnim tackama skupa mogucih reenja i ispitujenjihova optimalnost. Simpleks metod objezbeduje najkraci put do optimalnog reenja,to znaci da se u postupku reavanja zadatka linearnog programiranja ne utvrduju

reenja koja odgovaraju svim ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih reenja.Model LP se izraava u matrinom obliku na sledei nain:

gdje pojedinekolone matrice

koeficijenata sistema ogranienja predstavljaju tzv.vektore aktivnosti, koje moemo


14/79

predstaviti u obliku :

Kanonini oblik modela LP, kada koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektorac=(c1,c2,,cp+m), glasi :

Postupak odreivanja optimalnogreenja primjenom simplex metoda, zapoinje sa odreivanjem poetnog bazinogreenja. Pocetno bazicno reenje standardnog problema maksimuma odreuje se takoto se pretpostavlja da su realne promjenljive jednake 0, a dodatne promjenljive jednakeslobodnim lanovima sistema ogranienja, tj.

xj= 0 za j = 1,...,pxp+i= biza i = 1,,m .

Funkcija cilja za svako pocetno bazino reenje jednaka je nuli, Z = 0. Prema tome,slicno kao kod grafickog metoda, reavanje zadatka standardnog problema maksimumazapocinjemo iz pocetka m dimenzionalnog vektorskog prostora. Navedenapretpostavka, prema tome, ima za posledicu da vektorsku bazu na osnovu koje seutvrduje pocetno bazicno reenje obrazuju


15/79

vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori koeficijenata uz realnepromenljive nebazicni. Vektori koeficijenata uz dodatne promenljive (kojih u naemproblemu ima m) obrazuju jedinicnu matricu - cija inverzna matrica je takode jedinicna.Postavlja se pitanje, na koji nain se moe odrediti reenje za koje funkcija cilja imaveu vrijednost od 0? Odgovor na to pitanje jeste : izmjenom elemenata (vektora)

vektorske baze. Na ovo pitanje nam odgovaraju I i II Dantzingov simpleks kriterijumi, Ikoji odgovara na pitanje koji vector ulazi u bazu, a II koji vekor naputa bazu.I SK Kriterijum za ukljuivanje jednog od prethodno nebazinih vektora u bazu sastojise u tome da treba odabrati onaj vector (l-ti) kod koga je zadovoljen uslov Cj-Zj= max (Cj-Zj)>0.Ovaj uslov predstavlja kriterijum oprimalnosti, odnosno I simplex kriterijum zaizmjenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od reenja ove razlike za sve nebazinevektore negativne, tj ( Cj-Zj ) 0).II SK Kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II Dantzingov simplex kriterijum,

na osnovu kojeg moemo konstatovati da iz baze treba iskjuiti onaj vektor Akza kogabude zadovoljen uslov :

Iz baze, prema tome, izlazi onaj vektor Ak za koji ovako odreen kolinik budeminimalan pozitivan broj (manji od ostalih vrijednosti) u sluaju problema minimuma imaximuma. Nakon smjene vektora u bazi, na osnovu primene navedenih simpleks

kriterijuma, izracunava se novo poboljano reenje i ispituje da li ono daje optimalnu tjmaximalnu/minimalnu vrijednost funkcije cilja.

13. x14. x15. x16. x

17.Objasniti znaaj i osnovne karakteristike dualnog problema

Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem, koji takoepredstavlja problem linearnog programiranja. Izmeu osnovnog (primarnog) i izvesnog(dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogleduosnovnog zahteva, odnosno u pogledu zahteva za odreivanjem ekstremne vrednostifunkcije cilja. Tako, ukoliko se u poetnom problemu, koji se naziva primarni problem,postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu e funkcijacilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednaine ogranienja dualnog


16/79


17/79

19.Kakva meuzavisnost postoji izmeu promenljivih primarnog i dualnogproblema?

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m .Sada smo u mogunosti da uspostavimo vezu izmeu promenljivih primarnog i

dualnog problema. Ova veza, moe se izraziti na sledei nain: svakoj dodatnojpromenljivoj primarnog problema odgovara (meusobno su povezane) jedna realnapromenljiva dualnog problema, dok svakoj glavnoj promenljivoj primarnog problemaodgovara jedna dodatna promenljiva dualnog problema.Ovako izraena veza(korespodencija) izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema (pri emu ona nepodrazumeva numeriku jednakost), predstavlja veoma znaajnu karakteristikudualnog problema. Na osnovu iskazane relacije moemo konstatovati da reavajuijedan iz navedenog para zadataka (primarni ili dualni), odreivanjem optimalnogreenja jednog od njih dobijamo istovremeno i optimalno reenje njemu odgovarajuegdualnog problema.

20.Kakav odnos postoji izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnogproblema za bilo koje njihovo mogue reenje. Dokazati.


18/79

21.Kakav je odnos izmeu vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problemaza njihova optimalna reenja. Dokazati

Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem,koji takode

predstavlja problem linearnog programiranja. Izmedu osnovnog(primarnog) i izvesnog

(dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu zahtjeva

za odredivanjem ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Ukoliko se u pocetnom problemu,koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u

dualnom problemu ce funkcija cilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga,

nejednacine ogranicenja dualnog problema izvode se na osnovu nejednacina

ogranicenja primarnog problema. Primarne i dualne promjenljive omogucavaju

dobijanje znacajnih informacija o karakteru optimalnog reenja. Izmedu primarnog i

dualnog problema, postoji takav odnos da u dualnom problemu ima tacno onoliko

promenljivih koliko u primarnom problemu ima strukturnih ogranicenja, odnosno

dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva

dualnog problema. Isto tako, u dualnom problem postoji po jedna nejednacinaogranicenja za svaku realnu (glavnu) promenljivu primarnog problema. Ovakva veza,

koja postoji izmedu dodatnih promenljivih odredenog problema linearnog

programiranja i realnih promenljivih njemu odgovarajuceg dualnog problema, I

obrnuto, omogucava dobijanje veoma znacajnih informacija koje se mogu koristiti u

postupku donoenja odluka o nacinu optimizacije ekonomskih aktivnosti. S obzirom da


19/79

odredivanje optimalnog reenja bilo kog zadatka linearnog programiranja istovremeno

znaci odredivanje optimalnog reenja i njemu odgovarajuceg dualnog problema,

moguce je njihovo alterantivno koricenje za postupak reavanja zadatka. Ovakva

mogucnost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem linearnog programiranja

jednostavnije reavati koricenjem njemu odgovarajuceg dualnog problema, to upraksi nije redak slucaj.

Dualni problem odredenog zadatka linearnog programiranja (primarnog problema)

formira se na sledeci nacin:

1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog

problema ce biti funkcija minimuma, i obrnuto;

2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednacina, i to tako da ukoliko su

nejednacine primarnog problema sa znakom , nejednacinedualnog problema postaju

nejednacine sa znakom ,i obrnuto;

3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranicenja primarnogproblema,

na osnovu cega ukoliko u primarnom problemu imamo m nejednacina sa p

promenljivih, u dualnom problemu ce biti p nejednacina sa m promenljivih;

4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim

clanovima sistema ogranicenja primarnog problema;

5. Slobodni clanovi sistema nejednacina dualnog problema jednaki su koeficijentima

koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog problema;

6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog cega je ovaj uslov

obavezno prisutan i u dualnom problemu.

Osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

Dualni problem koji odgovara prethodnom problemu , moemo predstaviti u obliku:


20/79

Ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku

tada, njemu odgovarajuci dualni problem moemo predstaviti u obliku:

Ocigledno je da izmedu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji

povezanost i medusobna uslovljenost reenja. Da bi to pokazali, uvedimo u primarni

problem dodatne promenljive xp

+1,xp+mu njemu odgovarajuci dualni problem ym+1,ym+p , i izrazimo ih u sledecem

kanonickom obliku:

Primarni problem - problem maksimuma

Dualni problem - problem minimum


21/79

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m . Ova

veza, moe se izraziti na sledeci nacin: svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog

problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema.A svakoj realnoj

promjenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promjenljiva dualnog

problema.

22.Kakav je odnos izmedju optimalnih vrijednosti dodatnih promjenljivihprimarnog i realnih promjenljivih dualnog problema i obrnuto. Dokazati i

objasniti

Optimalne vrijednosti primarnog problema odredjuje se kao negativna

vrijednost razlike prvog simpleks kriterijuma,za dodatne promjenljive iy poslednjeg

optimalnog rjesenja dualnog prblema tj.

Gdje m predstavlja br realnih promjenljivih u DP a j index promjenljive cija sevrijednost trazi.

Optimalne vrijednosti realnih promjenljivih dualnog problema

odredjuje se kao negativna vrijednost raylike prvog simplex kriterijuma,za dodatne

promjenljive,iz poslednjeg optimalnog rjesenja primarnog problema,tj.

Gdje je p br realnih promjenljivih u PP a I index promjenljive cija se vrijednost trazi.

Teorema Za bilo koje moguce reenje primarnog problema i bilo koje

moguce reenje dualnog problema vrednost funkcije cilja primarnog

problema manja je ili jednaka vrednosti funkcije cilja dualnog problema, tj.


22/79

Dokaz Pomnoimo desnu i levu stranu i-te nejednacine sistema ogranicenja primarnog

problema sa I y i sumirajmo po indeksu i=1,, m, naosnovu cega dobijamo

Ukoliko j-tu nejednacinu sistema ogranicenja dualnog problema pomnoimo saj

x , zatim sumiramo po j=1,, p, dobijamo

Kako su leve strane nejednacina jednake, konstatujemo da je

sto je trebalo I dokazati.

Teorema Ukoliko su moguca reenja

primarnog i dualnog problema za koje su vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog

problema jednake, tj.

Tada predstavljaju optimalna reenja primarnog i dualnog problema,

respektivno.

Dokaz Neka je neko moguce reenje primarnog problema, na osnovu prethodne

teoreme znamo da je

Na osnovu uslova teoreme 1.4 slijedi odnosno


23/79

Zakljucak ove teoreme je da je optimalno rjesenje primarnog problema a y*

optimalno rjesenje dualnog problema.

Teorema Ukoliko su moguca reenja primarnog idualnog problema, tada su to

i optimalna reenja ako isamo ako imamo zadovoljene uslove

Zakljucak ove teoreme je da je dualna promenljiva je jednaka nuli kada je njoj

odgovarajuca dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom reenju primarnog

problema, kao i ukoliko je neka realna promenljiva u optimalnom reenju primarnogproblema jednaka nuli onda je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva u optimalnom

reenju dualnog problema pozitivna.

23.Ekonomsko tumacenje dualnih promjenljivih. Dokazati i objasniti.Dualne promenljive, osim znacajnih metodolokih osobina, pruaju mogucnost za

dobijanje veoma znacajnih informacija o karakteru problema linearnog programiranja,

kao I ispitivanje uticaja promene nivoa koricenja raspoloivih resursa na vrednostfunkcije cilja. Ako imamo problem standardnog maksimuma

(max)z=cx

Axb

x0

ciji je odgovarajuci dualni problem

(min)v=b'y

A'yc'

y0


24/79

Ako je optimalno rjesenje PP a optimalno rjesenje DP, Pretpostavimo, sada, da

se elementi vektora b (resursi) primarnog problema povecavaju za iznos b , koji ne

izaziva promenu strukture optimalne baze. povecanje iznosa i-tog resursa za Db uticace

na promenu vrednosti

funkcije cilja primarnog problema za iznos od z(y*)=y*ibi

Dokaz prethodnog, veoma znacajnog tvrdenja proizilazi iz karaktera

bazicnih reenja i teorema dualnosti I na osnovu teoreme dualnosti moemo pisati:

cx**=y*(b+b)

cx*=y*b

Nakon oduzimanja druge jednacine od prve, dobijamo z(y*)= y*b. Na osnovuovakvog rezultata, odnosno relacije moemo konstatovati da je:

na osnovu cega moemo konstatovati da vrijednost dualne

promjenljive pokazuje za koliko jedinica ce se povecati(smanjiti)vrijednost funkcije

cilja primarnog problema,ukoliko se koriscenje resursa poveca

(smanji) za jednu jedinicu.Dualne promjenljive predstavljaju tzv.obracunske cijene

koriscenih resursa,odnosno tzv.cijene u sijenci.

24.Objasniti osnovne karakteristike i znacaj primjene simplex tabele

Dok se graficki metod reavanja linearnog programiranja moze koristiti samo kod

zadataka kod kojih postoje dve glavne promenljive, simpleks metod predstavlja opti

algoritam koji se koristi za reavanje svih vrsta zadataka linearnog programiranja, bez

obzira na broj promenljivih. Osim matricnog nacina, simpleks metod za reavanje

zadataka linearnog programiranja se moe veoma efikasno koristiti primenom tzv.

simpleks tabele. Simpleks tabela predstavlja tabelaran nacin prikazivanja problema

linearnog programiranja, koji je prilagoden za potrebe reavanja ovih problema

koricenjem simpleks metoda. Slicno kao i kod matricnog nacina primene simpleks

metoda, tabelarni postupak omogucava da se u nizu faza, u okviru kojih su reenja


25/79

predstavljena odgovarajucim simpleks tabelama, dode do optimalnog reenja linearnog

programiranja. Pocetno bazicno reenje, koje kod standardnog problema maksimuma

graficki odgovara pocetku prostora, predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks

tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odredivanje optimalnog reenja. Na

osnovu prve simpleks tabele, primenom prethodno predstavljenih simpleks kriterijumaza promenu vektorske baze, odredivanjem vrednosti promenljivih koje odgovaraju

ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih reenja, preko niza simpleks tabela

dolazimo do optimalnog reenja. U cilju ispitivanja postupka odredivanja optimalnog

reenja problema linearnog programiranja, opti oblik simpleks tabele predstavicemo

na primeru reavanja zadatka standardnog problema maksimuma.

25.Objasniti nain formiranja i znaenje pojedinih elemenata inicijalne simplekstabele

Simpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnogprogramiranja koji je prilagoen za potrebe reavanja ovih problema korienjem

simpleks metoda. Tabelarni postupak omoguava da se u nizu iteracija (faza), u okviru

kojih su reenja predstavljena odgovarajuim simpleks tabelama, doe do optimalnog

reenja linearnog programiranja. Poetno bazino reenje, koje kod standardnog

problema maksimuma grafiki odgovara poetku prostora, predstavlja se inicijalnom

(prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odreivanje optimalnog

reenja. Na osnovu prve simpleks tabele, primjenom simpleks kriterijuma za promjenu

vektorske baze, odreivanjem vrijednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim

takama konveksnog skupa moguih reenja, prekoniza simpleks tabela dolazimo dooptimalnog reenja..

Elementi Simpleks tabele:

I kolona (Cb): U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u funkciji cilja nalaze

uz bazine promenljive. S obzirom da dodatne promenljive obrazuju poetno bazino

reenje, elementi prve kolone prve simpleks tabele su nule (koeficijenti uz dodatne

promenljive u funkciji cilja).

II kolona: U drugu kolonu tabele unosimo bazine promjenljive. U poetnom reenjuto su dodatne promjenljive xp+1,,xp+m .

III Kolona (Xb): Kolona Xbobuhvata vrijednosti bazinih promenljivih u svakom od

reenja, odnosno u svakoj od odgovarajuih simpleks tabela. S obzirom na pretpostavku

da su glavne promenljive jednake 0, u kolonu Xbprve simpleks tabele, koja predstavlja


26/79

poetno bazino reenje, unosimo vrijednosti slobodnih lanova sistema ogranienja, tj.

iznose raspoloivih resursa.

Kolone x1xp: U kolone x1, x2,,xp prve simpleks tabele unosimo koeficijente kojise uz ove promenljive nalaze u sistemu ogranienja naeg zadatka, dok koeficijenti uz

dodatne promenljive, unijeti u kolone xp+1,,xp+m obrazuju jedininu matricu.

Radi preglednosti i cjelokupnosti tabelarnog prikazivanja problema linearnog

programiranja, u zaglavlje tabele, tj. u prvu vrstu, unosimo vrijednosti koeficijenata koji

se u funkciji cilja nalaze uz promenljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele.

VrstaZj: Elemente vrste koju smo obiljeili sa Zjodreujemo za svaku kolonu nae

tabele. Vrijednost koja se u okviru ove vrste nalazi u koloni Xbpredstavlja vrijednost

funkcije cilja za odgovarajue reenje i odreuje se kao zbir proizvoda koeficijenata iz

prve kolone i odgovarajuih vrijednosti bazinih promenljivih.

Vrsta Cj - Zj: Poslednja vrsta simpleks tabele predstavlja kriterijum optimalnosti,

odnosno poznati prvi simpleks kriterijum za promjenu baze u cilju optimizacije

programa. Kod standardnog problema maksimuma, vrijednosti Cj- Zj koje odredimo

za pojedine kolone x1,,xp+m pokazuju za koji iznos bi se poveala vrijednost funkcije

cilja ukoliko bi jednu jedinicu odgovarajue promenljive (iz odgovarajue kolone)

uvrstili u program (bazu).

26.Objasniti nain izraunavanja elemenata simpleks tabele u postupkuodreivanja optimalnog reenja zadatka LP

Postupak izraunavanja optimalnog reenja zadatka linearnog programiranja

realizuje se u nekoliko uzastopnih iteracija, pri emu u svakoj narednoj iteraciji,

odnosno odgovarajuoj simpleks tabeli, vrijednost funkcije cilja mora biti vea od

odgovarajue vrijednosti iz prethodne simpleks tabele. U cilju dobijanja optimalnog

reenja, korienjem simpleks metoda u svakoj od iteracija se vri izmjena strukture

vektorske baze, odnosno neke od prethodno nebazinih promenljivih postaju bazine, i

obrnuto, to predstavlja osnovu za izraunavanje niza meufaznih reenja. Pri tome,ukoliko ne postoji tzv. problem degeneracije, svaka dva uzastopna reenja moraju biti

razliita (makar jedna promenljiva mora imati razliitu vrijednost). Osim promenljivih,

u okviru simpleks tabele mijenjaju se i vrijednosti koeficijenata koji predstavljaju

sastavni dio svakog od reenja. Prema tome, postupak izraunavanja narednog reenja,


27/79

odnosno elemenata naredne simpleks tabele, podrazumijeva realizaciju narednih

operacija:

a) odreivanje koju od prethodno nebazinih promenljivih treba ukljuiti u bazu u

cilju poboljanja reenja;

b) utvrivanje koja od prethodno bazinih promjenljivih treba da napusti bazu, i

time ustupi mesto novouvedenoj promjenljivoj;

c) utvrivanje vrijednosti promjenljivih u novom reenju, tj. novoj simpleks tabeli;

d) utvrivanje vrijednosti koeficijenata nove simpleks tabele; i

e) utvrivanje vrijednosti funkcije cilja koja odgovara reenju koje je predstavljeno

novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrijednosti funkcija Zj za sve

promenljive.

27.Navesti i objasniti kriterijum za promjenu strukture vektorske baze (ulazak iizlazak promenljivih iz baze)

Prelazak od poetnog bazinog na prvo poboljano reenje (kao i bilo koja dva

uzastopna reenja) zahtijeva opredjeljivanje promjenljive - prethodno nebazine - koju

treba ukljuiti u bazu u cilju odreivanja poboljanog reenja. Ovakav zakljuak

donosimo utvrivanjem vrijednosti razlika Cj - Zjza sve promenljive, koje se nalaze u

poslednjoj vrsti simpleks tabele. U postupku odreivanja optimalnog reenja

standardnog problema maksimuma, treba ukljuiti onu prethodnu nebazinupromenljivu za koju je u prethodnoj iteraciji razlika (Cj- Zj) najvea pozitivna. Reenje je

optimalno, tj. postupak odreivanja optimalnog reenja se zavrava, kada u poslednjem

redu simpleks tabele (CjZj) ne postoji ni jedna pozitivna vrednost.

Nakon odreivanja nebazine promenljive koja treba biti ukljuena u bazu,

neophodno je utvrditi koju od prethodno bazinih promenljivih treba eliminisati iz

baze. U cilju odreivanja kriterijuma za iskljuivanje neke promenljive iz baze, sistem

jednaina moemo predstaviti u obliku:


28/79

Poetno bazino reenje smo odredili na osnovu pretpostavke da su sve glavne

promjenljive jednake 0, tako da su dodatne promenljive jednake slobodnim lanovima

sistema, odnosno izrazi u zagradama na desnoj strani sistema jednaine jednaki su 0.

Pretpostavimo sada da je iz prve simpleks tabele konstatovano da, na primer,

promjenljiva Xk treba da ue u bazu, odnosno treba da ima pozitivnu vrijednost. U tomsluaju iz sistema jednaina moemo pisati

odnosno, za sve vrijednosti

Kako mora biti zadovoljen uslov da je

Slijedi

Da bi i u novom reenju bio sauvan uslov nenegativnosti promenljivih, potrebno je

iz baze eliminisati onu promenljivu za koju odredimo minimalnu vrijednost kolinika

na desnoj strani relacije. Na osnovu toga, kriterijum za izlazak iz baze moemo

predstaviti u obliku zahteva: iz baze treba eliminisati onu prethodnu bazinupromenljivuxza koju odredimo minimalnu vrijednost.

Tabelarno, postupak eliminacije neke od prethodno bazinih promjenljivih realizuje

se tako to:

a)odredimo karakteristinu kolonu simpleks tabele, koja odgovara promenljivojkoja ulazi u bazu;

b)odredimo vrijednosti kolinika izmeu promenljivih iz kolone xb i pozitivnih

koeficijenata iz karakteristine kolone; i

c) iz baze treba iskljuiti onu promenljivu kojoj odgovara najmanja vrijednost

ovako odreenog kolinika, na osnovu ega vrstu simpleks tabele koja

odgovara ovoj promeljivoj smatramo karakteristinom vrstom.


29/79

28.ta je problem degeneracije zadatka LP i koje su njegove poslediceProblem degeneracije linearnog programiranja, koji se javlja u toku postupka

reavanja zadatka simpleks metodom, predstavlja takav sluaj kod koga jedna ili

vie bazinih promjenljivih imaju vrijednost jednaku 0. Ovakav problem pojavljuje

se u sluaju kada u zadatku imamo suvinih ogranienja, odnosno kada su jedna ili

vie nejednaina u sistemu ogranienja nepotrebne. Postojanje problema

degeneracije e se manifestovati prilikom odreivanja vrijednosti kolinika , koji

nam slui za iskljuivanje neke od prethodno bazinih promenljivih. Ukoliko u

zadatku postoji problem degeneracije, onda e se u nekoj od iteracija, prilikom

odreivanja vrijednosti kolinika drugog simpleks kriterijuma, dobiti dvije ili vie

jednakih minimalnih vrijednosti. U tom sluaju, na uobiajeni nain ne moemo

jednoznano odrediti koju od prethodno bazinih promenljivih treba iskljuiti iz

baze. U narednoj iteraciji neka od promjenljivih e biti jednaka 0, odnosno vrijednost

kolinika e biti 0, zbog ega e se dogoditi da dva ili vie uzastopnih reenja

imaju jednaku vrijednost funkcije cilja. Osim toga, u sluaju postojanja degeneracije

moe se pojaviti problem ciklusa, odnosno sluaj da u toku reavanja zadatka

ponovo dobijemo reenje istovetno sa nekim od prethodnih.

29.Na osnovu ega se utvruje potojanje viestrukog optimalnog reenja uzadatku LP (grafiki i analitiki)

Visestruko optimalno rjesenje se javlja ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji

maker jedna razlika I SK (Cj-Zj)=0 za neku nebazicnu promjenljivu Xj, dok su


30/79

vrijednosti ovih razlika za ostale nebazicne promjenljive negativne, izracunato jersenje

nije jedinstveno.

Uvodjenjem u bazu promjenljive Xj u cilju odredjivanja novog rjesenja, i iskljucivanjemneke od prethodno bazicnih promjenljivih na osnovu II SK, dobili bi takodje optimalno

rjesenje za koje funkcija cilja ima istu vrijednost.Usled osobina SKR, postojanje dva optimalna rjesenja ima za posljedicu da svekonveksne kombinacije dva dobijena rjesenja predstavljaju optimalna rjesenja, zbogveka kazemo da takav slucaj ima visestruko optimalno rjesenje.Geometrijski, slucaj postojanja optimalnog rjesenja se javlja kad su koeficijenti pravnaprave koja reprezentuje neko od ogranicenja i koeficijenata pravca prave funkcije ciljajednaki.

30.Analitiki i grafiki objasniti sluaj zadatka LP u kome ne postoje moguareenja

Prilikom formulisanja modela LP moze se dogoditi da model bude tako postavljen dane postoje moguce rjesenja. On se desava ukoliko ne postoje vrijednosti proomjenljivihza koje su zadovoljeni svi ogranicavajuci uslovi.Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup mogucih rjesenja, odnosno ne moze senaci ni jedna tacka za koju su zadovoljene sve nejednacine (jednacine) sistemaogranicenja modela.Rjesavanjem ovakvog zadatka koriscenjem simpleks metodanepostojanje mogucih rjesenja mozemo konstatovati u posljednoj simpleks tabeli. U njojsvi elementi vrste (Cj-Zj) pokazace postojanje optimalnog rjesenja, al ice se u


31/79

optimalnom rjesenju naci vjestacka promjenljiva, sto je glavni indicator postojanjakontradiktornih uslova u zadatku.

31.Dati analitiku i grafiku interpretaciju zadatka LP u kome ne postojekonane vrednosti promenljivih i funkcije cilja

Neogranicena vrijednost f-je cilja i promjenljivih se javlja kada je :1) Model formulisan tako da tako da se jedna ili vise promjenljivih mogu povecati

neograniceno, a da to ne bude narusen ni jedan od ogranicenja koji su u uloziuslova u zadatku, i

2) Funkcija cilja na skupu mogucih rjesenja nema konacnu vrijednost, tj. Skup

mogucih rjesenja nije ogranicen skup.Rjesavanje problema max koriscenjem simpleks metoda, ovaj problem moemoidentifikovati prije dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks tabele. Naime,problem mogucnosti postojanja neogranicene vrednosti promenljivih i funkcije ciljakonstatovacemo u nekoj iteraciji u postupku odredivanja promjenljive koja treba daizadje iz baze, odnosno prilikom odredivanja vrijednosti kolicnika r . Da bi nekapromjenljiva izala iz baze, potrebno je dau odnosu na ostale vrijednosti ima najmanjipozitivan kolicnik II SK. Medutim, ukoliko svi ovakvi kolicnici budu negativni ilinedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konacno reenje.Nakon dobijene tabele i nakon izracunate vrijednosti kolicnika II SK dobijamo da je

beskonacnu vrijednost ili negativna vrijednost promjenljive, nemamo uslova zaodredjivanje promjenljive koja treba da izadje iz baze. Ovakav slucaj upucije nacinjenicu da ovaj zadatak LP nema konacno, optimalno rjesenje.


32/79

32.Dualni simplex metodPronasao ga je Lemke, 1954. Godine, kada je trazio rjesenja primarnog problema, izoptimalnog dualnog problema i dosao do nove metode koju je nazvao dualni simpleksmetod.

Osnovna karakteristika ovog metoda je to polazi od nekog bazicnogrjeenja koje nijenenegativno i uslova da je simpleks kriterijum za nebazicne vektore (Cj-Zj) 0.Koristimo je kada nam je dat problem min.

Veoma cesto, koricenje dualnog simpleks metoda, u reavanju problema optimizacijeima niz prednosti u odnosu na druge algoritme simpleks metoda. Takvi su prije svegaproblemi minimizacije, kod kojih je potrebno uvoditi vetacke varijable, zatim problemipostoptimalne analize, celobrojnog programiranja...

Ako nam je dat problem min:

(min) Z=cx ___________________ (max)Z=-cxAx>b_________________________ -Ax0__________________________ x>oNa osnovu pravila dualnog simpleks metoda, pomnozili smo sve sa (-1) i dobili sadaproblem maksimizacije. Sada uvodimo dodatne promjenljive i dobijamo(max) Z= -C1x1-C2X2-...-CpXp-a11x1-a12x2-...-a1pXp


33/79

Cj A0 Xb -C1 -C2 -Cp 0 0 0

Cb X1 X2 Xp Xp+1 Xp+2 Xp+m

0 Xp+1 -b1 -a11 -a12 -a1p 1 0 0

0 Xp+2 -b2 -a21 -a22 -a1p 0 1 0

0 Xp+m -bm -am1 -am2 -amp 0 0 0

Zj Zo Z1 Z2 Zp 0 0 0Cj-Zj C1-Z1 C2-Z2 Cp-Zp 0 0 0

Kriterijumi za promjenu baze:Iz baze izlazi onaj vector Aj kome odgovara najveca, po apsolutnoj vrijednosti,negativna komponenta bazicnog rjesenaj Xo,Xr=max IxI; Xi


34/79

U zavisnosti od toga kako je postavljen uslov celobrojnosti, razlikuju se dva osnovna tipacelobrojnih problema:

a) Ako je n1 = n , tj. ako sve promenljive u problemu linearnog programiranja moraju bitiizraene u celim brojevima, radi se o potpuno celobrojnom programiranju.

b) Ako je n1 < n , tj. ako uslov celobrojnosti vai za samo deo promenljivih, radi se odelimino celobrojnom programiranju.

*Metodi za reavanje zadataka celobrojnog linearnog programiranjaSvi metodi koje se koriste za reavanje zadataka celobrojnog linearnog programiranja,mogu se svrstati u tri grupe. To su

- Metodi zaokruivanja. Sutina ove grupe metode jeste u zaokruivanju dobijenihrezultata. Naime, najpre se izrauna optimalno reenje zadatka linearnog programiranja,zanemarujui uslov celobrojnosti promenljivih, a zatim se izvri zaokruivanje rezultata, nacelobrojna reenja,zbog ega ovi metodi, najee daju rezultate koji su daleko odoptimalnih.

- Metodi enumeracije. Osnovni pristup reavanju zadataka primenom ove grupe metodasastoji se u tome da se prebroje (implicitno ili eksplicitno) sva mogua celobrojna reenja.Proces pronalaenja reenja sastoji se od etapa, tako da se u svakoj narednoj etapi usvajabolje, od najboljeg reenja na svim prethodnim etapama. Poto je potrebno pretraiti velikibroj reenja, problem je obiman i velika je mogunost pojave greke.


35/79

- Metod odsecajuih ravni (Gomory-jev metod). Ovaj metod se naziva i metododsecajuih ravni, jer je osnovna ideja algoritma u formiranju dodatnog ogranienja kojetreba da odsee deo konveksnog skupa moguih reenja u kome nema celobrojnihreenja. Ovim odsecanjem se ne gubi ni jedno celobrojno reenje. Prvobitni sistemogranienja se proiruje sa dodatnim ogranienjem, pa se u konanom broju iteracija dolazi

do optimalnog reenja.

34.Gomorijevo ogranienje i potpuno celobrojno programiranjeOvaj metod se naziva i metod odsecajuih ravni, jer je osnovna ideja algoritma uformiranju dodatnog ogranienja koje treba da odsee deo konveksnog skupa moguihreenja u kome nema celobrojnih reenja. Ovim odsecanjem se ne gubi ni jednocelobrojno reenje. Prvobitni sistem ogranienja se proiruje sa dodatnim ogranienjem, pase u konanom broju iteracija dolazi do optimalnog reenja. Prema Gomory-jevommetodu, prvo se, dati problem reava simpleks metodom, ne uzimajui u obzir uslov

celobrojnosti. Ako dobijeno reenje zadovoljava i uslov celobrojnosti, reenje je optimalno.Meutim, ako dobijeno reenje ne ispunjava i uslov celobrojnosti, tada se formira dodatnoogranienje. Ovo ogranienje se prikljuuje postojeem sistemu ogranienja, pa se zatim,primenom dualnog simpleks metoda, trai novo optimalno reenje. Dodatno ogranienjetreba da zadovolji sledee uslove:

- svako dopustivo, celobrojno reenje, zadatka celobrojnog linearnog programiranja, moraostati dopustivo reenje zadataka linearnog programiranja i posle dodavanja novogogranienja;

- dobijeno reenje zadatka linearnog programiranja u svim sledeim koracima mora postatinedopustivo, za isti zadatak, posle dodavanja novog ogranienja.

Ukoliko ni ovako dobijeno reenje ne zadovoljava uslov celobrojnosti promenljivih, opet seformira novo, dodatno ogranienje. Postupak se ponavlja sve dok se, u konanom brojuiteracija, ne nae reenje koje zadovoljava uslov celobrojnosti.

Kako se formira dodatno ogranienje?

Dodatno ogranienja se formira na osnovu teorije o ekvivalentnim (kongruentnim)brojevima. Notirajmo sledee:

a) neki broj a je kongruentan broju b ( a b ), onda i samo onda ako je njihova razlika ceobroj;

b) razlomljeni deo broja a , tj. f (a) , definie se kao najmanji ceo broj kongruentan broju a ;

c) ako je a b , onda je i f (a) f (b) .


36/79

* Potpuno celobrojno programiranje

U zadacima potpunog celobrojnog programiranja, postavlja se uslov da je n1 = n , tj. da svepromenljive u problemu moraju biti izraene u celim brojevima.

Dodatno ogranienje se formira tako to se odabere bazina promenljiva iz optimalnogreenja linearnog programiranja, koja sadri najvei razlomljeni deo i obrazuje se jednainau kojoj je bazina promenljiva xi zraena svojom vrednou i linearnom funkcijomnebazinih promenljivih xj , tj.

Mogua su tri sluaja:


37/79

odnosno


38/79

Nejednaina predstavlja dodatno ogranienje, koje sedodaje poetnom sistemu ogranienja i koja obezbeuje uslov celobrojnostipromenljivih u optimalnom reenju zadatka celobrojnog linearnog programiranja. Posleformiranja dodatne nejednaine, za dobijanje optimalnog celobrojnog reenja,najjednostavnije je koristiti dualni simpleks metod. Zbog toga je potrebno nejednainu

kod koje je znak nejednakosti , transformisati u nejednainu saznakom , pri emu i svi koeficijenti ovog ogranienja menjaju znak. Takoe, umestopostojeih koeficijenata aij iz optimalnog reenja linearnog programiranja, uzimaju senjihovi razlomljeni delovi fij, odnosno fio.

Za odreivanje decimalnog (razlomljenog) dela fij nekog broja aij koristi se obrazac okongruentnim brojevima, prema kome je:


39/79

35.Grafiki metod i dokaz teoreme kod celobrojnog linearnog programiranjaGeometrijski, svakom dodatnom ogranienju u n - dimenzionalnom prostoru,odgovara jedna hiperravan, koja, od skupa moguih reenja, odseca jedan deo. Uodseenom delu mnogougla nalazi se optimalno, necelobrojno reenje. Prilikomodsecanja dela mnogougla, sve take sa celobrojnim koordinatama, a meu njima i

traena optimalna taka, ostaju u neodseenom delu mnogougla. Poto se skup taakasa celim koordinatama neodseenog dela mnogougla, poklapa sa skupom taaka sacelim koordinatama poetnog mnogougla, jasno je da ako optimalno reenje zadatkalinearnog programiranja na neodseenom delu zadovoljava uslov celobrojnosti, to eono biti ujedno i optimalno celobrojno reenje poetnog zadatka.

Kroz nekoliko koraka odsecanja, traena celobrojna taka e biti ponovo na granicinovog mnogougla i predstavljae optimalno reenje zadatka celobrojnog linearnogprogramiranja. Na primer, u dvodimenzionalnom vektorskom prostoru, ogranienja, ukoordinatnom sistemu x1ox2, obrazuju mnogougao K. Funkcija cilja dostie

maksimalnu vrednost u taki x*, ali to reenje ne zadovoljava uslov celobrojnostipromenljivih. Meutim, unutar mnogougla K , postoji konaan broj taaka sacelobrojnim koordinatama(na slici su te take obeleene zvezdicom).

Na grafiku su prikazane i tri prave l1, l 2 i l3 koje odgovaraju dodatnim, linearnimogranienjima.


40/79

Svaka od njih odseca jedan deo od skupa moguih reenja K . Tako, posle odsecanja jednogdela skupa K , sa pravom l1 , optimalno reenje postaje taka x1. . Ogranienje l2 odseca jojedan deo mnogougla K , a novo reenje je taka x2. Na kraju, odsecajui deo mnogouglapravom l3, dobija se optimalno celobrojno reenje. To je tacka x3.

Teorema 1.8. Nejednaina , na osnovu koje se formira dodatno

ogranienje:

1) je linearna

2) odseca naeno optimalno necelobrojno reenje zadatka

3) ne odseca niti jedno celobrojno reenje zadatka.

Dokaz

Neka je x*- optimalno necjelobrojno rijesenje zadatka i neka je u tom rijesenju koordinata

xio necjelobrojna. Pokaimo da ovo reenje ne zadovoljava uslov .Naime, ukoliko je x* optimalno reenje, tada je xj*=0, xj* S pa je:

Odnosno,


41/79

, to je u suprotnosti sa definicijom razlomljenog dela nekog broja. Prematome x*- optimalno rijesenje zadatka ne zadovoljava uslov.

Trei uslov je ve dokazan prilikom formiranja dodatnog ogranienja . No ipak,pretpostavimo da u zadatku postoji neka tacka xc*, sa cjelobrojnim koordinatama koja ne

zadovoljava uslov nego je

Kako je i za izraz vazi:

to je suprotno pretpostavci da je veliina , za sva reenja zadatka ceo broj.

Na kraju, treba rei da neki problemi pokazuju sporu konvergenciju ka celobrojnomoptimalnom reenju, pa je potrebno uiniti vei broj iteracija dok se ne dobije optimalnocelobrojno reenje. Poto se kod primene Gomory-jevog metoda postojei sistem linearnihnejednaina proiruje uvoenjem dodatne nejednaine, moe se desiti da je potrebno uvestinekoliko dodatnih ogranienja, to znatno poveava model, odnosno broj promenljivih uzadatku. Takoe, posle uvoenja dodatnog ogranienja, zbog zaokruivanja rezultata nacelobrojne vrednosti, gubi se znaaj dualnih promenljivih.

36.Delimino celobrojno programiranjeUkoliko se u zadatku celobrojnog linearnog programiranja postavlja zahtev po komesamo neke promenljive moraju uzimati celobrojne vrednosti, radi se o problemimadelimino celobrojnog programiranja. U tom sluaju, pored uslova nenegativnostipromenljivih, postavlja se jo i dodatni uslov, po kome je:


42/79

Dodatno ogranienje, koje kod delimino celobrojnog programiranja treba da obezbedi

uslov celobrojnosti promenljivih, formira se na osnovu nejednaine:

pri emu:

- ako promenljiva xs mora da bude ceo broj tada je:

- ako promenljiva xs ne mora da bude ceo broj tada je:

37.Teorema kod celobrojnog programiranja

Nejednaina fio - fijxj 0 na osnovu koje se formira dodatno ogranienje je :

1. linearna2. odsijeca nadjeno optimalno necjelobrojno reenje3. ne odsijeca ni jedno cjelobrojno rjeenje zadatka.


43/79

DOKAZ

Linearnost dodatnog ogranienja je oigledna.

Nek je x*- optimalno necjelobrojno reenje zadatka

n

max(Z)= CjXj , Xj 0 , (j=1,2,.......n)

j=1

i neka je u tom reenju koordinata Xio necjelobrojna. Pokaimo da ovo reenje

zadovoljava uslov fio - fijxj 0

jS

Ukoliko je x*optimalno reenje ,tada je xj* = 0, xj* S , pa je fijxj =0, odnosno fio 0, to je u suprotnosti sa definicijom razlomljenog dijela nekog broja .Prema tome x*tj.

Optimalno reenje zadatka

n

(max) Z = CjXj Xj 0 , (j=1,2,...n)

j=1

ne zadovoljava uslov fio - fijxj 0

jS

Pretpostavimo da u zadatku

n

max(Z)= CjXj , Xj cio broj , j=1,2,.......n1 (n1 n )

j=1


44/79

postoji neka taka Xc*sa cjelobrojnim koordinatama, koje ne zadovoljava uslov

fio - fijxj 0 nego je fio - fijxj 0 ,

jS jS

Kako je fijxj 0 , i 0 fio < 1 , to vai 0 fio - fijxj < 1 to je suprotno

jS

pretpostavci da je veliina ( fio - fijxj ) za sva reenja zadatka

jS

max(Z)= CjXj cio broj.

Na kraju , treba rei da neki problemi pokazuju sporu konvergenciju ka cjelobrojnom

optimalnom rjeenju , pa je potrebno uiniti vei broj iteracija dok se ne dobije

optimalno cjelobrojno rjeenje .Poto se kod promjene Gomory-jevog metoda postojei

sistem linernih nejednaina proiruje uvodjenjem dodatne nejednaine ,moe se desiti

da je potrebno uvesti nekolioko dodatnih ,to znatno poveava model,odnosno br

promjenjivih u zadatku.Takoe,posle uvoenja dodatnog ogranienja ,zbog

zaokruivanja rezultata na celobrojne vrednosti , gubi se znaaj dualnih promjenjivih.

38.Postoptimalna analizaUkoliko se u modelu linearnog programiranja,nakon odreivanja optimalnog reenja

promjeni neki od uslova zadataka postavlja se pitanje da li nastale promjene dovode do

promjene strukture vektorske baze na osnovu koje je odreeno optimalno

reenje.Umjesto reavanja kompletno novog zadatka linearnog programiranja , koje bi

formulisali uvoenjem novih (promjenjenih) vrijednosti parametara modela ,

korienjem postupaka postoptimalne analize mogue je ispitati optimalnost prethodno

izraunatog reenja.

Postoptimalna analiza predstavlja postupak koji se koristi za ispitivanje da li e

promjena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na promjenu

ve izraunatog optimalnog reenja.Na osnovu primjene metode postoptimalne analize

moe se doi do jednog sledea dva zakljuka :


45/79

1. nastale promjene u vrijednosti parametra modela nee dovesti do promjenevektorske baze ,odnosno reenje zadatka linearnog programiranja ostajeoptimalno i u novim uslovima jer je zadovoljen uslov (Cj Zj) < O

2. nastale promjene u vrijednosti parametra modela dovode do promjenevektorske baze

3. tj. ,prethodno izraunato optimalno reenje,usled nastalih promjena vie nijeoptimalno (Cj Zj ) O

Upotrebom metoda postoptimalne analize (u uslovima ve izraunatog

optimalnog reenja reenja) mogue je ispitati uticaj vrednosti sledeih parametara :

1. promjena vrijednosti koeficijenta funkcije cilja vektor c2. promjenom slobodnih lanova sistema ogranienja vektor b3. promjena koeficijenata aij koji se u sistemu ogranienja nalaze uz promjenjivematrica A.

Npr. kod optimizacije proizvodnje u nekom preduzeu , nakon odreivanja

optimalnog programa proizvodnje moe se postaviti pitanje :

kako e promjena vrijednosti ostvarenog profita od nekog preduzea (pojedinici) uticati na ve izraunati optimalni proizvodni program? (c)

da li se optimalni proizvodni program mora mjenjati ukoliko se obezbjedivelika koliina odreene sirovine ili vea uposlenost kapaciteta? (b)

kako e uteda materijala,radne snage,energije i sl. U proizvodnji jednog ilivie proizvoda uticati na ve odreeni optimalni program proizvodnje? (b)

Da li bi bilo ekonomski opravdano uvesti novi proizvod u programproizvodnje preduzea? (A)

39.Promjena vektora c u postoptimalnoj analiziVektor c sadri koeficijente koje se nalaze uz sve promjenjive zadatka.Nakon

odreivanja optimalnog reenja moe doi do promjene koeficijenata koji se ne nalaze

u optimalnom reenju kao i promjene koeficijenata koje se nalaze uz bazinepromjenjive optimalnog reenja.Zbog toga,ispitivanje uticaja promjene vrijednosti

elementa vektora c realizujemo razliito, zavisno :

1. da li se mjenjaju koeficijenti uz nebazine promjenjiveoptimalnog reenja;2. da li se mjenjaju koeficijenti uz bazine promjenjiveoptimalnog reenja.


46/79


47/79

Ukoliko je, meutim vrijednost prirastaja koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz

nebazinu promjenjivu Xjvei od apsulutne vrijednosti I simplex kriterijuma za vektor

Aj, tj. ukoliko je

Cj >Cj-Zj (j=1,......p)

Tada reenje nije vie optimalno ve se u cilju odreivanja poboljanog reenja

neophodno u bazu ukljuiti prethodno nebazini vektor Aj.

PROMJENA KOEFICIJENATA BAZINIH PROMJENJIVIH

(Cj Zj )

Da bi ispitali kako promjena vrijednosti koeficijenata koji se u funkciji nalazi uz

promjenjjive iz optimalne baze utie na optimalnost reenja , treba utvrditi vrijednosti

razlika (Cj - Zj)za nebazine vektore.S obzirom da vrijednosti koeficijenta Cj (j=1,...p)za nebazine vektore ostaju neprimjenjene neophodno je izraunati i vrijednosti Zj

(j=1,....p)za sve nebazine promjenjive.

Neka je Cb vektor koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz bazine promjenjive iz

optimalnog reenja.Pretpostavimo da je dolo do poveanja vrijednosti ovih

koeficijenata za iznos Cb.Novi vektor ovih koeficijenata je Cb = Cb+ Cb

Vrijednosti Zj za nebazine vektore bile su odreene iz relacije

Gdje je vektor koeficijenata linearne kombinacije bazinih vektora i nebazinog

vektora Aj izraunat u obliku 1 Aj (j=1....p)ostaje nepromjenjen.

Vrednosti Zj u uslovima promjenjenih koeficijenatavektora Cb odred,ujemo na

sledei nain

Zj = Cb


48/79

Uz pretpostavku da se mjenjaju samo koeficijenti bazinih promjenjivih ,to znai da

vrijednosti Cj ostaju nepromjenjene kriterijum optimalnosti reenjae biti

Cj- Zj+Zj =Cj-(Zj+Zj) O ukoliko je Zj>(Cj-Zj) (j=1...p)

Tada ve izraunato optimalno reenje ostaje i dalje optimalno ,tj. Vektor Ajne trebada ue u bazu. U suprotnom sluaju kada postoji makar jedna pozitivna razlika

kriterijuma optimalnosti,izraunato reenje vie nije optimalno reenje ve se u bazu

novog reenja mora ukljuiti prethodno nebazini vektor Aj za koju je ova razlika

maximalno pozitivna.

Kombinacijom ova dva razmatrana sluaja (promjena koef. Nebazinih i bazinih ).

Moemo odrediti kriterijum optimalnosti u uslovima promjena svih koeficijenata f-je

cilja,kada bi imali

Cj*-Zj*=(Cj+Cj)- (Zj+Zj)=(Cj-Zj)+( Cj-Zj)O (j=1.....p)

Optimalno reenje se ne bi mjenjalo .Ukoliko je makar jedna od razlika pozitivna,

reenje bi i dalje bilo mogue ,al ne i optimalno.

40.Promjena vektora ogranienja u postupku postoptimalne analizePromjene elemenata vektora b (vektora sl.lanova sistema ogranienja) moemo

oznaiti sa b, tako da e novi vektor biti b=b+b . Vrijednosti bazinih promjenjivihsu odreene

relacijom: Xb=1* bNa osnovu ega vrijednosti bazinih promjenjivih u uslovima izmjenjenog vektora b, tj.

Vektora b,odreujemo na sl. Nain:

Xb = 1* b


49/79

Xb = 1*( b+b)Xb = 1*b+1*bOdakle je

Xb = Xb+1*bUkoliko je za novodobijeno reenje zadovoljen uslov XbO , reenje i dalje ostajeoptimalno.Ukoliko makar jedan od elemenata Xb bude negativan ,prethodno

izraunato reenje vie nee biti mogue jer je naruen uslov nenegativnosti

promjenjivih.

41.Promjena matrice A u postupku postoptimalne analizePromjena elemenata matrice A tj.promjena koeficijenata aij u sistemu ogranienja

modela linearnog programiranja, moe izazvati neophodnost promjene optimalnog

reenja, to se ispituje u postupku postoptimalne analize. U sluaju ovakve promjene u

postupku postoptimalne analize optimalnost reenja u novim uslovima moe biti

ispitivana za razliite promjene I to:

Promjena nebazinog vektora

Promjena bazinog vektora,

Uvodjenje novog vektora aktivnosti (nove promjenljive)

Uvodjenje novog ogranienja


50/79

a) Promjena nebazinog vektora AjUkoliko nakon odredjivanja optimalnog reenja modela dodje do promjene elemenata

nebazinog vektora Aj postupak ispitivanja optimalnosti realizujemo korienjemkriterijuma optimalnosti.

Neka Aj* predstavlja promjenjeni j-ti nebazini vektor. Da bi utvrdili da li taj vektor

treba ukljuiti u bazu, odnosno da li optimalno reenje treba mijenjati izraunavamo

vrijednosti:

Xj*= ( Aj*

koje su nam neophodne radi odredjivanja vrijednosti Zj*, u obliku

Zj*= CBXj*

nakon ega pretpostavljajui da su koeficijenti u funkciji cilja ostali nepormijenjeniprimjenjujemo kriterijum optimalnosti, odnosno izraunavamo razliku Cj-Zj* . Ukoliko

je (Cj-Z*j) 0 , zakljuak je suprotan prethodno reenje nee u novim

uslovima biti optimalno, vec se uvodjenjem u bazu vektora Aj*moe dobiti poboljano

reenje.

Prikazana analiza uticaja promjene nebazinog vektora na optimalnost reenja, realizuje

se i u sluaju ispitivanja uticaja uvodjenjem novog vektora aktivnosti (uz poznati

koeficijent koji se u funkciji cilja nalazi uz novu promjenljivu).

b)Promjena bazinog vektora AiObiljeimo promjenjeni i-ti vektor , koji se nalazi u bazi opt, sa Ai*, odnosno novu

bazu sa *. Reenja za novu bazu ce biti:

XB*=( bXj*= ( AjZ*=CBXB*

Zj*= CBXj*

Ukoliko je XB*0 izraunato reenje je mogue, a ukoliko su za takvo reenje razlike (Cj -

Zj*)


51/79

c) Uvodjenje dodatnih ogranienjaPretpostavimo da je u sistem jednaina modela dodato jos tjednaina, odnosno u

osnovni oblik modela (sa nejednainama) t nejednaina oblikaam+1,1 x1+ ....+ am+p,pxp bm+1

am+t,1 x1+ + am+t, p xp1 bm+1

Ovakva promjena uticae na neophodnost proirivanje vektora aktivnosti sa dodatnih t

komponenti. Nakon toga, ispitivanje optimalnosti reenja odredjenog na osnovu baze

opt realizuje se na uobiajeni nain. Proirena matrica baze, koja ukljuuje prethodnu

optimalnu bazu i dodatna ogranienja ima oblik

[

]gdje T predstavlja matricu koeficijenata dodatnih ogranienja sa kojima su proireni

bazini vektori iz optimalnog reenja, I jedininu matricu, a 0 nula matricu.

Na osnovu nove baze dobija se

XB*=( bXj*= ( AjI postupak ispitivanja optimalnosti reenja realizuje se na dalje uobiajeni nain.

42.PARAMETARSKO PROGRAMIRANJE-Formulacija zadatkaU standardnom zadatku linearnog programiranja, sa funkcijom cilja

I ogranienjima

svi koeficijenti koji se pojavlju u modelu (cj, aij, bi) su konstantne veliine. Medjutim, u

ekonomskoj stvarnosti postoje I problemi kod kojih koeficijenti modela zavise od

jednog ili vise parametara. U zavisnosti od nekog parametra mogu da budu koeficijenti

funkcije cilja ili koeficijenti vektora ogranienja, takodje koeficijenti sistema oranienja


52/79

ili istovremeno svi ovi koeficijenti. Dio matematikog programiranja koji se bavi

analizom ovakvih problema optimizacije, jeste parametarsko programiranje. Osnovna

ideja parametarskog programiranja jeste u odredjivanju interval u kome se mogu

mijenjati parametri sistema, ali tako da struktura optimalnog reenja ostane

nepromjenjena.Veliine C1, C2,Cj (j=1, 2n) u funkciji cilja su konstantne veliine u datom trenutku

I za dati problem. Medjutim, posmatrane u vremenu (ili usled nekih drugih uticaja), one

mogu da budu vrlo varijabilne veliine. Tako, npr.u zadatku optimizacije

poljoprivredne proizvodnje, koeficijenti u funkciji cilja mogu da oznaavaju cijenu po

jedinici proizvoda dok veliina xj oznaava koliinu proizvedenih jedinica nekoh

proizvoda . Ako cijena proizvoda ima sezonski karakter, onda e ona biti funkcija

vremena t. Poto se cijena svakog proizvoda, koji se proizvodi moe mijenjati pod

uticajem raznih faktora, oznaimo ove promjene sa dj. Prema tome, vrijednost

proizvodnje odnosno funkcija cilja e se sastojati iz dva dijela- konstantnog (cjx j) Ipromjenljivog ( (djt)xj) koji zavisi od vremena t.

Ako pretpostavimo da je zavisnost cijene od vremena linearna, tada e funkcija cilja

imati oblik

Gdje su : - cj I dj konstantni vektori

-tproizvoljan parametar koji moe da uzima vrijednosti iz intervala [td, tg] pri emu je

td-donja a tg-gornja granica posmatranog intervala.

Veliine b1, b2..bi (i=1,2..m) koje u zadatku linearnog programiranja izraavaju

raspoloive resurse (kapacitete, koliine sirovina, raspoloivu radnu snagu i sl.) su

relativno konstantne i poznate u nekom momentu planiranja. Ali , ako se radi o

planiranju na dui rok, postavljanje ogranienja kao fiksnih velicina veoma je

nepouzdano.

Ako su resursi izraeni u funkciji vremena ttada zadatak parametarskog programiranja

odbija oblik

Uz ogranienja


53/79

43.Geometrijska interpretacija i graficko reenjeNeka je dat zadatak parametarskog programiranja

Sistem ogranicenja obrazuje konveksni skup moguih reenja K, koji je na slici

predstavljen mnogouglom B B1 B2 B3 B4 B5


54/79

Za t=0 i Zt=0 funkcija cilja dobija oblik

tj. predstavlja pravu (MN) koja prolazi kroz koordinantni poetak. Ekstremnu

vrijednost, funkcija cilja dostie u taki B, jer je u toj taki prava MN paralelna sapravom MN. Taka B e biti ekstremna taka i za sve vrijednosti parametra tza koje

e se grafik funkcije cilja, tj. prava MN nalaziti izmedji pravih M1N1(paralelno sa BB5) i

M2N2 (paralelno sa BB1).

Ako je za t=t1 grafik funkcije cilja prava M1N1, a za t=t2 grafik funkcije cilja prava

M2N2, tada e taka B biti extremna taka za sve vrijednosti parametra t u intervalu

t2


55/79

U prvoj simpleks tabeli treba predvidjeti dve vrste za koeficijente funkcije cilja . Ujednoj e se upisati koeficijenti cj a u drugoj koeficijenti dj, iz funkcije cilja. Takodje

postoji i vrsta Zt koja je jednaka (cj+djtd t d), a koja se koristi kao kriterijum

optimalnosti.

Koristei kriterijume za preraunavanje simpleks tabela, izvrimo sva

preraunavanja, ukljuujui i vrste cji dj. Koeficijente poslednje dvije vrste, u normalnoj

simpleks tabeli , oznaimo sa j i j. U drugoj simpleks tabeli e se pojaviti i slobodni

lanovi, 0I 0.

Ako je reenje optimalno, tada je zadovoljena nejednaina

Sada je potrebno odrediti interval vrijednosti parametra t za koje funkcija Zt dostie

maksimum u nadjenoj tacki. Drugim recima, potrebno je odrediti sve vrijednosti

parametra t, za koje je zadovoljena prethodna nejednacina.

Mogui su sledei sluajevi:

1. Svi koeficijenti j > 0. Iz nejednaine slijedi

Poto brojeva ( ) ima n, parametar t mora biti manji od svakog od njih. Ako od

n kolinika odaberemo najmanji, tada su svi uslovi ispunjeni, tj.

Donja granica za parametar t ne postoji, pa se on moe umanjivati beskonano. Interval

vrijednosti parametra t, za koji nadjeno reenje ostaje optimalno je


56/79

Znai da je

2. Svi koeficijenti j < 0. Iz nejednaine sledi

Jer se dijeljenjem sa negativnim brojem smisao nejednaine mijenja. Poto brojeva

ima m , parametar t mora biti vei od svakog od njih. Ako od m kolinika odaberemo

najvei, tada su svi uslovi ispunjeni tj.

Gornja granica za parametar t ne postoji, pa se on moe poveavati beskonano.

Interval vrijednosti parametra t, za koji nadjeno reenje ostaje optimalno je

Znaci da je td


57/79

3. Ako medju koeficijentima j ima i pozitivnih i negativnih.Interval vrijednosti

parametra t, za koji nadjeno reenje ostaje optinalno je

Tj. Interval ima i donju i gornju granicu.

4. Ako je j = 0, tada iz nejednacine slijedi da je j 0 odnosno

uslov optimalnosti je ispunjen, pa na kolone kod kojih je j =0 ne treba obracati

panju.

Prema tome, reenjem nejednaine dobijaju se granice intervala promene

parametra t, tj. donja granica (td) I gornja granica ( tg

)u kojima optimalno resenjeostaje nepromenjeno. Kada se utvrde granice , potrebno je uporediti dobijeni

interval [ td1, tg1]sa intervalom [td, tg]

Ako je tg1tginterval [td, tg] se nalazi unutar intervala [ td1, tg1] i zadatak je rijeen.

Za bilo koju vrijednost t koje pripada [td, tg] funkcija Z dostie maksimum u jednoj

i samo jednoj taki.

Ako je tg1


58/79

Ako je vektor ogranienja linearno zavisan od vremena t tada treba maximizirati

funkciju cilja

Pri ogranienjima

Koristei poznatu proceduru za formulisanje dualnog problema parametarski zadatak

se transformie u problem koji glasi

Ovaj problem je problem parametarskog programiranja sa varijabilnim koeficijentom u

funkciji cilja.

45.Hiperbolino (RLP) programiranje- opti oblik zadatkaU planiranju optimalnog obima proizvodnje veliku ulogu imaju relativni pokazatelji,

kao to su na primer cijena kotanja, ekonominost, rentabilnost i slino. Matematikefunkcije koje se odnose na ove i sline pokazatelje imaju razlomljeno -linearni oblik.Opsti oblik zadatka linearnogprogramiranja izgleda ovako:


59/79

(2.1)

Ako se ovako definisanoj funkciji cilja doda sistem linearnih ogranienja oblika

(2.2)

dobija se standardni zadatak razlomljenog linearnog programiranja.

Imenilac funkcije cilja(2.1.) moe se interpretirati kao vrijednost ulaganja neophodna

za ostvarenje programa proizvodnje x .

Brojilac predstavlja ekonomski efekat tog ulaganja.

Prema tome, problem se sastoji u odreivanju programa proizvodnje x koji e

obezbediti da odnos efekata i investicija bude, u datim uslovima, to vei. Radi se dakleo problemu maksimizacije efikasnosti investicija. Razlomljeno linearno programiranja ima

znaajnu ulogu u optimizaciji ekonomskih problema zbog toga to su, po pravilu,

relativni pokazatelji vaniji od apsolutnih, pa modeli razlomljenog linearnog

programiranja ne zaostaju za modelima linearnog programiranja.

Za razmatranje ekonomskih problema, potrebno je uvesti jo dva ogranienja:

(1)Skup moguih reenja zadatka razlomljenog linearnog programiranja nije prazan i

ogranien je, to znai da nijedna od ekonomskih aktivnosti koja se pojavljuje u modelu

ne moe biti neograniena. Inae, skup moguih reenja je, kao i kod linearnog

programiranja, konveksan, tj. ima konaan broj ekstremnih taaka.

(2)Imenilac funkcije cilja (2.1.) mora biti razlicit od nule, tj. z2 (x) 0.Naime, poto je z2(x) linearna i neprekidna funkcija, ona u zatvorenom konveksnom

skupu ne menja znak ( za svako x koje zadovoljava sistem linearnih ogranienja). Ako

bi se desilo da je imenilac funkcije cilja negativan, on se moe prebaciti u brojilac, pa se


60/79

zato i uvodi ogranienje da je z2(x) > 0 . Ovo ogranienje omoguava da se iskljui

mogunost dobijanja neodreenog programa.

Uslov z2(x) 0 matematiki nebitno suava okvir zadatka a ekonomski ima veliki

znaaj.

46.Dokazati teoremu o monotonosti funkcije cilja kod hiperbolinogprogramiranja

Teorema.Na bilo kom pravolinijskom odseku koji pripada skupu K (K-skup moguih

reenja), razlomljena linearna funkcija je monotona.

Dokaz

Neka su x i x krajnje take skupa moguih reenja. Taka x predstavlja konveksnukombinaciju taaka x i x , odnosno:

x = x + (1 )x , 0 1 .

Poto se svaka koordinata take x moe izraziti u vidu konveksne kombinacije taaka

x i x , brojilacfunkcije cilja (2.1.) e biti :

Analogno se dobija i za imenilac, pa funkcija cilja (2.1.) dobija oblik :

Kako su x i x konstantne veliine,u izrazu (2.4.) promenljiva je samo veliina pa je

z razlomljeno linearna funkcija koja zavisi od parametra ( 0 1).

Da bi dokazali monotonost funkcije z na datom odsjeku tj.za (0 1) potrebno je

utvrditi znak izvoda .


61/79

Ako se, u brojiocu prethodnog razlomka, izvre potrebne raunske radnje a imenilac

izrazi u obliku [z2 (x) ]2 dobija se:

Brojilac u ovom izrazu ne zavisi od , pa je za konstantne veliine x i x i onkonstantan, dok je imenilackao kvadrat neke veliine uvijekpozitivan.

Zakljuak: Znak izvoda zavisi od znaka brojioca koji e na datom odsjeku biti ili

pozitivan ili negativan.Poto izvod ne mijenja znak slijedi da je funkcija cilja monotono

rastua ili opadajua , to je trebalo i dokazati.

47.Dokazati da funkcija cilja RLP dostie ekstremnu vrednost u ekstremnoj takiskupa moguih reenja

Teorema.Razlomljena linearna funkcija dostie ekstremnu vrednost u ekstremnoj taki

konveksnog skupa moguih reenja.

Dokaz

Opti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku zahtjeva

za odreivanjem vrijednosti promenljivih x1, x2, ..., xn koje zadovoljavaju m nejednaina

i jednaina oblika:

gi (x1, x2, ..., xn) {, =, } bi i=1,..., m

i za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrednost funkcije:

z= f (x1, x2, , xn).

Pretpostavimo da su funkcije gi i f poznate, dok bi predstavljaju unaprijed zadata

ogranienja.

Ukoliko sistem ogranienja i odgovarajuu funkciju cilja predstavimo u razvijenom

obliku, model matematikog programiranja je:


62/79

(max) Z= f (x1, x2, , xn)

g1 (x) = g1 (x1, x2, ..., xn) b1

g2 (x) = g1 (x1, x2, ..., xn) b2

.

gm (x) = gm (x1, x2, ..., xn) bm

gdje smo pretpostavili odreivanje maksimalne vrednosti funkcije cilja z, u uslovima

kada su sva ogranienja predstavljena nejednainama sa znakom .

Sve vrijednosti promenljivih x=( x1, x2, , xn) za koje su zadovoljene sve nejednaine

sistema ogranienja obrazuju tzv. skup dopustivih ili moguih rjeenja modela. Cilj

rjeavanja zadatka matematikog programiranja jeste odreivanje one kombinacije

vrijednosti promenljivih iz skupa moguih rjeenja za koje funkcija cilja ostvaruje

ekstremnu vrijednost. Takvo rjeenje, koje obiljeleavamo sa x*=( x1

*

, x2*

, , xn* )

predstavlja optimalno rjeenje zadatka.

48.Grafiki metod za rjeavanje zadatka kod hiperbolinog programiranja (optioblik)

Najjednostavniji nain odreivanja rjeenja u zadatku razlomljenog linearnogprogramiranja je grafiki metod, ali su mogunosti njegove primene veoma ograniene,jer se on moe primijeniti samo u sluaju kada u zadatku postoje dvije realnepromjenljive.

Pri rjeavanju zadataka razlomljenog linearnog programiranja, grafikim metodom,mogu nastupiti sledei sluajevi:1) Skup moguih rjeenja je ogranien. Funkcija cilja dostie maksimalnu vrijednost.

Strelica na slici pokazuje pravac kretanja funkcije cilja kako bi funkcija cilja (z) rasla.


63/79

2) Skup moguih rjeenja je neogranien. Funkcija cilja dostie maksimalnu i

minimalnu vrednost.

3) Skup moguih rjeenja je neogranien. Funkcija cilja dostie samo maksimalnu

vrednost. Prava x2= kx1 zauzima poloaj paralelan jednom ogranienju, pa funkcija

cilja ima tkz. asimptotski minimum.

4) Skup moguih rjeenja je neogranien, oba ekstremuma su asimptotska.

Algoritam za dobijanje optimalnog rjeenja, tj. ekstremnih taaka skupa moguih

reenja, za razlomljenu linearnu funkciju cilja, oblika:


64/79

uz postojanje sistema linearnih ogranienja, potrebno je:

1) Grafiki predstaviti prave koje reprezentuju nejednaine sistema ogranienja.

2) Identifikovati skup moguih reenja (K) tj. konveksni skup.

3) Da bi utvrdili take u kojima

Documents

Operaciona istraživanja_01