Momen Inersia aaLengkap1

  • View
    238

  • Download
    49

Embed Size (px)

DESCRIPTION

aaaasdas

Text of Momen Inersia aaLengkap1

  • II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

    1. Pendahuluan

    Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data

    momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada

    perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok,

    kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang

    datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA

    merupakan suatu luasan/elemen kecil.

    y

    A

    x dA

    r

    y

    x

    O

    Gambar 2.1. Potongan Penampang

    Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut:

    Momen Inersia terhadap sumbu x:

    Ix = y2 dA (2.1)

    Momen Inersia terhadap sumbu y:

    Iy = x2 dA (2.2)

    Momen Inersia kutub:

    Ip = r2 dA (2.3)

    Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia):

    Ixy = xy dA (2.4)

    Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda

    positip, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatip.

  • 10

    Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen

    inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan

    gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L

    adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan momen inersia

    pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3, dan

    2.4. yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.

    2. Teori Sumbu Sejajar

    x yo

    dA

    x x

    r y

    xo

    A O

    r O = titik berat luasan A y

    y

    Gambar 2.2. Penampang dengan Sumbu Transformasi

    Momen inersia terhadap sumbu x:

    Ix = dAyy2

    '

    Ix = dAydAyydAy22 ''2

    Ix = dAyydAydAy22 ''2

    Sumbu xo melalui titik berat bidang A, maka 0ydA , sehingga:

    Ix = Ixo + Ay2 (2.5)

    Momen inersia terhadap sumbu y:

    Iy = dAxx2

    '

    Iy = dAxdAxxdAx22 ''2

    Iy = dAxxdAxdAx22 ''2

    Sumbu yo melalui titik berat bidang A, maka 0xdA , sehingga:

    Iy = Iyo + Ax2 (2.6)

  • 11

    Momen inersia polar:

    Ip = dAyyxx .''22

    Ip = dAyyyyxxxx .''2''22222

    Ip = ydAyxdAxdAyxdAyx '2'2''2222

    Sumbu xo dan sumbu y

    o melalui titik berat luasan A, maka xdA = 0 dan ydA = 0

    Sehingga:

    Ip = Ipo + Ar2 (2.7)

    Momen inersia perkalian:

    Ixy = dAyyxx ''

    Ixy = dAyxydAxxdAyxydA ''''

    Sumbu xo dan sumbu y

    o melalui titik berat luasan A, maka xdA = 0 dan ydA = 0

    Sehingga:

    Ixy = Ixyo + Axy (2.8)

    3. Contoh-Contoh

    Contoh 2.1

    Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan

    tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

    y

    dy

    y

    h x

    b

  • 12

    Penyelesaian:

    dA = bdy

    Ix = y2dA

    Ixo =

    h

    h

    2

    1

    2

    1

    y2bdy

    Ixo = b h

    hy2

    1

    21

    33

    1

    Ixo = b 3813138131 .. hh

    Ixo = 3121 bh

    Dengan cara yang sama dapat dihitung Iyo, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh

    Iyo = hb3121

    Momen Inersia polar, Ipo = dAr

    2 = xy IIdAyx22 = 121 (bh

    3 + b

    3h)

    Menghitung momen inersia perkalian Ixy:

    y

    dy

    h y

    x

    b

    Ixy = xydA

    Ixy = h

    bybdy0

    21

  • 13

    Ixy = h

    ydyb0

    22

    1

    Ixy = h

    yb0

    22

    122

    1

    Ixy = b2h

    2

    Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.

    Ixy = Ixyo + Axy

    b2h

    2 = Ixy

    o + bh.b.h

    Ixyo = 0

    Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0

    Contoh 2.2

    Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h

    terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

    y

    dA

    dy

    y

    h

    x

    b

    b

    Penyelesaian:

    dA = bdy

    32 b: b = 32 h: ( 32 h-y)

    b = )( 32 yhhb

    dA = )( 32 yhhb dy

  • 14

    Ix = y2dA

    Ixo =

    h

    h

    y3

    2

    31

    2 )( 32 yhhb dy

    Ixo =

    h

    h

    yh

    bby3

    2

    31

    323

    2 )( dy

    Ixo =

    h

    h

    yh

    byb3

    2

    31

    44

    133

    13

    2 ..

    Ixo = 48114132713132481164132783132 ........ hhbhbhhbhb

    Ixo = 3324132432332416324316 bhbhbhbh

    Ixo = 332415324318 bhbh

    Ixo = 3361 bh

    Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh

    Iyo = hb3361

    Momen Inersia polar, Ipo = dAr

    2 = xy IIdAyx22 = 361 (bh

    3 + b

    3h)

    y

    dA

    h

    h x

    x dx

    b

    h: h = (b-x) : b

  • 15

    h = b

    xbh )(

    Ixy = xydA

    Ixy = b

    dxxbb

    hxbb

    hx0

    21 )()(

    Ixy = b

    dxxbb

    hx

    0

    2

    2

    2

    21 )(

    Ixy = b

    xbxxbb

    h

    0

    322

    2

    2

    )2(2

    dx

    Ixy = b

    dxb

    xh

    b

    xhxh

    0

    2

    32222

    )22

    (

    Ixy =

    b

    xb

    hxh

    bxh

    0

    4

    2

    23222

    41

    83

    1

    Ixy = 22

    8122

    3122

    41 hbhbhb

    Ixy = 22

    241 hb

    Ixy = Ixyo + Axy

    22241 hb = Ixyo + hbbh 313121 ..

    Ixyo = 22721 hb

    Momen Inersia perkalian segitiga pada gambar diatas, Ixyo = 22721 hb

    Contoh 2.3

    Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap

    sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

    y

    d dA

    d

    x

  • 16

    Penyelesaian:

    dA = d d

    Ix = dAy2

    Ixo =

    dd

    r

    ..sin0

    2

    0

    22

    Ixo =

    dd

    r

    ..sin0

    2

    0

    23

    Ixo =

    2

    6

    2

    0

    44

    1 .sin d

    r

    Ixo =

    2

    0

    21

    214

    41 )2cos( dr

    Ixo =

    2

    0

    41

    214

    41 2sinr

    Ixo = )00()0(441 r

    Ixo = r4

    Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan

    bernilai sama yaitu r4.

    Sehin