MOMEN INERSIA

Kelompok 8 :Reza Gulam Mustafa, 0906630456Risa Karlin, 0906630462Vicki Benita, 0906630481Samia Sofyan, 0906632700

Definisi

Momen inersia adalah jumlah total dari perkalian massa partikel penyusun sistem/benda dengan kuadrat jarak dari poros/sumbu putarnya.

Momen Inersia (I)

I = m r2

sistem

bidang datar benda padat

1. SistemPenyebaran massa

tidak merata.m1, m2, dan m3 untuk

berrotasi terhadap sumbu XX memerlukan energi.

Energi dari m1,m2,dan m3 disebut Energi Kinetik (Ek).

m1

m2

m3

r1

r2

r3

x

X

Ek = ½ mv2 v = r

= ½ m( r)2

= ½ m 2 r2

Bilangan konstan dikedepankanEk = ½ 2 mr2

m1

v

x

r1

I

Karena m dan r berubah-ubah, maka Ek untuk seluruh partikel:Ek = ½

2 2mr

2

1i

n

iixx rmI

(untuk seluruh partikel)

m1

m2

m3

r1

r2

r3

x

X

Contoh soal sistem

Carilah momen inersianya terhadap sumbu XX!

Jawab:

= 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22

= 18 + 1 + 12 + 16

= 47 [kg m2 ]

2 kg

x

X

3 m1 kg

1 m3 kg

2 m4 kg

2 m

2

1i

n

iixx rmI

+Jari-jari Girasi

Jari-jari girasi (k) adalah jari-jari dimana momen inersia untuk semua partikel sama/setimbang dengan momen inersia dari jumlah total massa.

= ; dimana M =

2

1i

n

iirm

2Mk

m

MOMEN INERSIA PADA BIDANG DATAR R1

DITINJAU DARI BEBERAPA SUMBU PUTAR

Momen inersia pada bidang R1 terhadap sumbu putar AD dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Tentukan sumbu putarnya terlebih dahulu. Kita misalkan sumbu putar nya adalah AD

2. Bagi bidang R1 dengan beberapa bagian persegi panjang kecil seperti yang ditunjukkan oleh gambar disamping

A B

CD

a

b

3. Setelah itu ambil satu buah persegi panjang kecil, lalu tentukan pusat massa , dari persegi panjang kecil tersebut

4. Setelah itu hitung momen inersianya

Misal :

Momen Inersia dari massa potongan terhadap AD =

(massa×jarak2)

A B

CD

a

b

),( ii yx

x

),( ii yx

Aδm

δA

m

2

2

2

iAD

iAD

iAD

xxa

xA

xm

pelat massa m ;sumbu x kejarak

pelatlebar b ;y sumbu kejarak

pelat panjang a ; x nilaiperubahan x

Luas A ; massarapat

Keterangan

i

i

yx

x

y

∴ Momen Inersia total untuk seluruh potongan yang membentuk bidang

R1 adalahx a δ Ι

b

xAD

2

0x

b

b

AD

xa

dx xa δmaka Ι

0

3

2

0

3

0Δx jika

Contoh Soal Sebuah pintu terbuat dari logam, 40

cm×60 cm, mempunyai massa 8 kg dandiberi engsel pada salah satu sisi yang panjangnya 60 cm

Hitunglah :

1. Momen Inersia yang melalui engsel AB!

2. Momen Inersia yang melalui engsel AC!

INGAT !

Diketahui:

A

B

60 cm

40 cm

dxxa δmaka Ιb

AB2

0

0Δx jika

pintu

40

60

massam

bendamassaRapat

cmb

cma

C

D

MOMEN INERSIA YANG MELALUI ENGSEL AB

2

3

403

40

0

2

1280000

0403

60

360

60

kg cmδ

δ

x δ Ι

dxx Ι

o

AB

AB

]cm [kg 4267

00333333.01280000

00333333,060.40

8

2

2

AB

cm

kg

A

m

MOMEN INERSIA YANG MELALUI ENGSEL AC

][2880000

0603

40

340

40

2

3

603

60

0

2

kg cmδ

δ

y δ Ι

dyy Ι

o

]cm [kg 9600

00333333.02880000

cm

kg 00333333,0

60.40

8

2

2

AC

A

m

Contoh Soal 2

Carilah momen inersia untuk sebuah pelat empat persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisinya.

x2

d

2

d

2mrI Am

2 iXX xxbI

d

b

xxbIdx

dxiXX

2/

2/

2

x

Q

P

x

xi

2/

2/

2, 0d

d

xx dxxbIx

2/

2/

3

3

d

d

xb

2

333

122424 m

kgdbddb

Contoh Soal 3

Carilah momen inersia untuk sebuah empat persegi panjang 20 cm x 10 cm, dengan massa 2 kg, terhadap sumbu yang berjarak 5 cm dari sisi panjangnya.

x

cm5

cm10

cm20

P

Q

x01,0

20.10

2

x

Am

xm 20

xxI xx 220

xxtotalIx

xxx

15

5

220

dxxIx xx 15

5

220,0

12533753

20

320

15

5

3

x

][2173

650

100

13250

3

20 2kgcm

Momen Inersia Pada Sumbu Tegak Lurus

Momen inersia satu lingkaran kecil = mr2

z

z

r

X1-1

xi

Δx w

Δx.ww

δAr

mr Ι

Δx w

)x)(xx(x

)x(xA

δAm

i

ii

z

i

iiii

ii

3

2

2

2

11

21

2

2

2

2

2

4

0

4

0

3

0

3

0

3

2

42

2

2

2

m

kgr

x

dxx

dxx

xxtotal

r

r

r

r

xi

Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)

Misalkan δm adalah suatu masa kecil di P.maka Ix ≈ ∑ δm. y2

dan Iy ≈ ∑ δm. X2 Misalkan ZZ adalah Sumbu yang tegak

lurus dengan sumbu XX dan YY. maka Iz = ∑ δm. (OP) 2

= ∑ δm.(X 2 + Y 2) = ∑ δm. Y2 + ∑ δm. X2

Sehingga : Iz = Ix + Iy

y

z

δm

px

y

Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)

Oleh karena itu jika mengetahui momen kedua terhadap sumbu yang ketiga, tegak lurus dengan kedua sumbu tadi (melalui titik perpotongan) diberikan oleh Iz = Ix + Iy

x

Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)

kita mencari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu.

kita telah menetapkan bahwa Iz = =

Contoh soal :Carilah I untuk sebuah cakram berdiameter

40 cm dan massa 12 kg :(a) Terhadap sumbu normal (sumbu Z)(b) Terhadap diameter sebagai sumbu(c) Terhadap garis-singgung sebagai sumbu

Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang saling tegak lurus.maka kita ketehaui bahwa

Ix + Iy = Iz =

Tetapi seluruh diameternya identikIx = Iy 2Ix = dan Ix =

Untuk suatu cakram lingkaranIz = = dan Iy = =

(a) Iz = =

= 2400 kg cm2

(b)Ix = = 0.5 Iz = 1200 kg cm2

(c) Ix = 1200 kg cm2

dengan teorema sumbu sejajarIT = Ix + Mℓ2

= 1200 + 12.202

= 1200 + 4800 = 6800 kg cm2

TERIMA KASIH