Kul 2 Momen Inersia Penampang

  • View
    598

  • Download
    16

Embed Size (px)

Text of Kul 2 Momen Inersia Penampang

  • Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya

  • MOMEN INERSIA BIDANG (I)

    r1

    r2

    r3

    a1

    a2a3

    2

    33

    2

    22

    2

    11

    2

    ...

    .

    rararaI

    raI

    Jika luas bidang yang diarsir:

    a1 = dA1

    a2 = dA2

    a3 = dA3

    Jarak terhadap sumbu y:

    r1 = x1

    r2 = x2

    r3 = x3

    Maka momen inersia

    terhadap sumbu x:

    Maka momen inersia

    terhadap sumbu y:

    2

    xx dA I y2

    yy dA I x

  • Example :

    Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat

    3333

    33

    33

    2

    1

    2

    1

    3

    21

    21

    2

    2

    .12

    1

    24

    2

    24

    24

    81

    381.

    3

    21

    321

    3

    ..3

    1

    I

    b.dy dA

    I

    t

    t

    2

    1

    tbbtbtbt

    tbtb

    tb

    tb

    by

    dybyx

    dAy

    t

    t

    y

    yx

  • dx

    dy

    y

    3333

    33

    33

    21

    21

    3

    2b1

    2b1

    2

    2

    .12

    1

    24

    2

    24

    24

    81

    381.

    3

    21

    321

    3

    ..3

    1

    . I

    d.dx dA

    I2

    1

    bddbdbdb

    bdbd

    bd

    bd

    dx

    dxxd

    dAx

    b

    b

    y

    x

    xy

    Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat

  • Momen inersia pada penampang berlubang

    Momen inersia segiempat

    ABCD terhadap sumbu x:

    Ixx = 1/12 b d3

    Momen inersia segiempat

    EFGH terhadap sumbu x :

    Ixx = 1/12 b1 d13

    Momen inersia segiempat

    berlubang:

    Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)

    Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13

    Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang

    terhadap sumbu y :

    Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)

    Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13

  • Momen Inersia Penampang Lingkaran

    dA = 2 . r . dr

    2 . r = keliling sebuah cincin

    r = jari-jari cincin

    dr = lebar cincin

    r2 = x2+y2

  • 44

    4

    0

    4

    0

    4

    0

    3

    0

    2

    0

    2

    0

    222

    00

    2

    4

    1

    2

    1.

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    4

    2

    2 ) 2(

    R

    RII I

    Rrr

    drrdr rrI

    I I

    dAydAxdAyxdArI

    pyx

    RR

    RR

    p

    yx

    RRRR

    p

  • Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi

    a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu xy

    sumbu x // sumbu xsumbu y // sumbu y

    AbbMsIyIy

    dAbdAxbdAx

    dAxbdAxIy

    y .2 '

    .2.

    . '

    2

    22

    22

    AaaMsIxIx

    dAadAyadA

    dAyadAIx

    x .2 '

    2y

    y' '

    2

    22

    22

    x = b + xy = a + y

    Bila:

    koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy = 0

    .AbIyIy'

    .AaIxIx'

    2

    2

  • Momen inersia segitiga terhadap sumbu x

    dAyx2I

    3

    0

    3

    0

    2

    22

    .12

    1penampang)dasar thd(I

    .12

    1''.

    ''.

    '.'.

    .'

    ''

    '

    at

    atdytttt

    aI

    ttdytt

    ajarakLuas

    dytt

    adyadALuas

    at

    ta

    t

    t

    a

    a

    x

    t

    x

    3

    2

    3

    2

    0

    .36

    1

    32.

    12

    1

    Iberat) titik thd(I

    attat

    at

    jarakLuasxx

  • Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampang pada gambar di bawah.

  • Menentukan titik berat penampang

    Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang

    KeteranganLuas (A) (mm2)

    Jarak titik berat thd. garis bawah y (mm)

    A x y (mm3)

    Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000

    Luas Rongga dalam

    -(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000

    A = 1800 A..y = 51000

  • dasar dari mm 83,2800.1

    000.51

    A

    A.yy

    Momen inersia terhadap sumbu x

    untuk luas total

    44

    4442

    0

    4422

    44

    3

    3

    o

    10 . 72,69

    10 . 69,010.50,4.

    10 . 69,03,28302400.

    10 . 7212

    60.40..

    21

    mm

    mmyAIIx

    mmyA

    mmhbI

  • untuk rongga dalam

    44

    4442

    0

    4422

    44

    3

    3

    o

    10 . 7,19

    10 . 69,210.50,4.

    10 . 69,23,2835600.

    50 . 50,412

    30.20..

    21

    mm

    mmyAIIx

    mmyA

    mmhbI

    4 4

    44

    10 . 65,50

    10 . 7,1910 . 72,69

    berlubang penampanguntuk I

    mm

  • Dari gambar terlihat bahwa r2 = x2 + y 2

    Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :

    dAydAx

    dAyxdArIp

    22

    222

    Ip = Ix + Iy

    MOMEN INERSIA POLAR :

  • Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbux dan y

    2

    2

    bAIycIy

    aAIxcIx

    baAIyc Ixc

    bAaAIyc IxcIp

    Iy IxIp

    22

    22

    : maka

    : Berhubung

    Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.

  • Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) Ixy

    Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu xy terhadappenampang tersebut.

    A

    xy dAxyI

    ..'' AbaIxyyIx

    Sehingga, untuk koordinat translasi:

    Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbu simetris penampang

  • Jari-jari Inersia (Radius Girasi)

    Jari-jari inersia terhadap sumbu x :

    Jari-jari inersia terhadap sumbu y:

    )(cmA

    Ir xx

    )(cmA

    Ir

    y

    y

    Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbu x dan sumbu y, dan A sama dengan luas bidang.

  • Suatu penampang pada gambar. Tentukan :1. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y dari penampang2. Ixy (produk inersia)

  • Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka

    Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.

    Penampang dibagi atas 8 bagian.

  • Titik Berat Penampang

    Bagian Luas A (cm2)Jarak terhadap

    sumbu x

    Momen statis:

    A.YLetak sumbu

    I 150 x 150 = 2250 7,5 16875

    II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000

    III 15 x 25 = 375 16512,5 = 152,5 57187,5

    IV 375 152,5 57187,5

    V (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5

    VI 112,5 135 57187,5

    VII (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334

    VIII 200 21,67 4334

    Total 8125 Total 575293

    A

    Ayy

    8125

    575293y

    81,70y

  • 0

    9.536,86235

    969900326.1

    Ixy

    . Iy

    ,.Ix

  • sumbu x dan sumbu y membagipenampang sama besar,sehingga sumbu x dan sumbu ydisebut sumbu simetri. Jika suatupenampang mempunyai sumbusimetri, maka sumbu tersebut dansumbu lainnya yang tegak lurussumbu tersebut disebut sumbuutama.

    Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jikasedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehinggadapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dansumbu utama (Ixy=0)

  • sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy 0. Untukmenentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesar sehingga menjadi sumbu X dan Y tidak semua sumbuutama menjadi sumbu simetri.

  • Menentukan momen inersia utama Ix dan Iy serta sudut putar

    Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X dan Y adalah (x;y)

  • xyAC

    ABAD

    CDADAC

    xAFyAC

    sincos

    sin

    ';'

    y = y cos x sin

    yxAF

    yABBDEC

    x

    OBOE

    ECOEOCAF

    sin cos

    sin sin

    cos

    cos

    x = x cos y sin

  • Syarat sumbu utama :

    IyIxIxy

    yIx

    2sin2

    1cos2 o

    o''

    IxIy

    Ixytg

    22

    tg

    tg

    tg

    21

    12cos

    21

    22sin

    2

    2

  • xyIIxIyIyIxIy 22

    21

    21'

    o'' yIx

    Sumbu x dan y adalah sumbu yang saling tegak lurus dimanamomen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum dan minimum.

    xyIIxIyIyIxIx 22

    21

    21'

    xyIIyIxIyIxI

    xyIIyIxIyIxI

    22

    min

    22

    max

    21

    21

    21

    21

  • Suatu penampang seperti pada gambarTentukan :1. Letak titik berat penampang tersebut2. Imax & Imin3. Letak sumbu utama

  • Menentukan titik berat penampang

  • 00

    4

    min

    4

    2

    2

    2

    2

    max

    1,12

    1,12933,48673,187

    2,672

    2

    12

    2

    1

    332,173164337,332

    501,332164337,332

    2,672

    187,73486,933

    2

    187,73486,933

    22

    arctgIxIy

    Ixyarctg

    cmI

    cm

    IxyIyIxIyIx

    I