CuprinsGEOMETRIE

1. Vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Segmente orientate. Vectori în plan . . . . . . . 11.2. Operaţii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Vectori coliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Vectori de poziţie . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Drepte paralele, concurente. Colinearitate . . . 101.6. Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Geometrie analitică . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Elementele trigonometriei . . . . . . . . . . . 273.2. Ecuaţii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . 333.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie . . . . 39

ANALIZĂ MATEMATICĂ1. Numere reale, mulţimi reale . . . . . . . . . . . . . 432. Şiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1. Şiruri reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Operaţii cu şiruri reale . . . . . . . . . . . . . 482.3. Inegalităţi şi limite . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Convergenţă, monotonie, mărginire . . . . . . 522.5. Subşiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Limite de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1. Limita unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . 583.2. Operaţii cu limite de funcţii . . . . . . . . . . . 613.3. Proprietăţile limitelor de funcţii . . . . . . . . 623.4. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Funcţii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1. Continuitatea funcţiilor . . . . . . . . . . . . . 674.2. Operaţii cu funcţii continue . . . . . . . . . . . 704.3. Continuitate şi proprietatea lui Darboux . . . . 71

5. Funcţii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1. Definiţia derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Interpretarea geometrică a derivatei . . . . . . 765.3. Operaţii cu funcţii derivabile . . . . . . . . . . 775.4. Derivatele funcţiilor elementare . . . . . . . . 795.5. Deriatele funcţiilor compuse . . . . . . . . . . 805.6. Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . 815.7. Teoreme de medii . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8. Reprezentarea grafică a funcţiilor . . . . . . . . 93

6. Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1. Primitive. Integrala nedefinită . . . . . . . . . 986.2. Funcţii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . 1016.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . 1046.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . 1066.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . 1106.6. Integrarea funcţiilor raţionale . . . . . . . . . 111

7. Integrala definită . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1. Funcţii integrabile Riemann . . . . . . . . . . . 1217.2. Proprietăţile funcţiilor integrabile . . . . . . . 1267.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . 1277.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . 1297.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . 1317.6. Formula de medie . . . . . . . . . . . . . . . 1327.7. Teorema fundamentală . . . . . . . . . . . . . 1347.8. Aplicaţii ale integralei definite . . . . . . . . . 136

1. Vectori

1.1. Segmente orientate. Vectori în plan

..

Definiţie. Perechea ordonată de puncte (A,B) se numeştesegment orientat şi se notează cuAB.Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD sunt echipo-lente (se notează cuAB∼CD), dacămijlocul segmentului[AD] coincide cu mijlocul lui [BC].Observaţie. DacăAB∼CD, atunci există o translaţie caretransformă segmentulAB în segmentulCD.Proprietăţi. Pe mulţimea segmentelor orientate relaţia deechipolenţă este o relaţie de echivalenţă:

.. AB∼AB (∼ este reflexivă),

.. dacă AB∼CD, atunci CD∼AB (∼ este sime-trică),

.. dacăAB∼CD şi CD∼EF , atunciAB∼EF (∼este tranzitivă).

.Segmente orientate

..A .

B

.

D

.C

AB şi CD sunt echipolente dacăşi numai dacă ABDC este para-lelogram sau punctele A,B,C,Dsunt coliniare şi mijlocul lui [AD]coincide cu mijlocul lui [BC].

..A

.B

.C

.

D

1

..

Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmente-lor orientate echipolente cu un segment dat.Notaţie. Vectorul determinat de segmentul orientatAB se notează cu

−−→AB (sau cu litere mici):

−−→AB={

CD|CD∼AB}.

Observaţie. Dacă AB∼CD, atunci−−→AB=

−−→CD. Dacă−→u=

−−→AB=

−−→CD, atunci spunemcă segmentulAB (sauCD) este

un reprezentant al vectorului−→u .Definiţie. Lungimea (saumodulul) unui vector este lungi-mea oricărui reprezentant al său şi se notează cu |−→u |.Definiţie. Vectorul de lungime nulă

−→AA se numeşte vecto-

rul nul şi se notează 0.

.Vectori

..

Definiţie. Vectorii−−→AB şi

−−→CD sunt egali (

−−→AB=

−−→CD), dacă

segmentele orientateAB şiCD sunt echipolente.Observaţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi modul,aceeaşi direcţie şi sens.Teoremă. (Existenţa reprezentantului cu origine dată)Pentru orice vector−→u şi orice punctM , există un unic seg-

ment orientatMM ′ pentru care−→u=−−−→MM ′.

Consecinţă. Dacă−−→MA=

−−→MB, atunciA=B.

..

Mulţimea segmentelor

.

orientate

.

A

.

B

.

C

.

D

.

−→u

.

=

.

F

.

E

.

H

.

G

.

−→v

.=

−→u=−−→AB=

−−→CD=...,

−→v =−−→EF=

−−→GH=...,

CD este un reprezentant al vecto-rului−→u ,z EF este un reprezentant al lui−→v ,−−→AB=

−−→CD.

2

2. Geometrie analitică..

Fie xx′ şi yy′ două axe perpendiculare care se intersec-tează în punctulO.Definiţie. Sistemul (xOx′,yOy′) se numeşte reper carte-zian sau reper ortonormat. PunctulO se numeşte origineareperului. Semidreapta [Ox este semiaxa pozitivă, [Ox′

este semiaxa negativă.Notaţie. Reperul (xOx′,yOy′) se notează (xOy). Vecto-rii unitate (versorii) pentru axele [Ox respectiv [Oy suntnotate cu i, j.

.Reper cartezian în plan

..

Fie M un punct oarecare în planul reperului cartezianxOy. Fie xM coordonata proiecţiei punctului M pe axaOx, yM coordonata proiecţiei punctuluiM pe axaOy.Definiţie. Numărul real xM se numeşte abscisa, iar numă-rul yM se numeşte ordonata punctului M şi se foloseştescriereaM(xM ,yM ). Perechea ordonată de numere reale(xM ,yM ) se numeşte coordinatele punctuluiM .

O altă definiţie (echivalentă) este:Definiţie. Vectorul de poziţie −→rM=

−−→OM al punctului M

se descompune în mod unic după vectorii i şi j:−−→OM=

xM ·i+yM ·j, xM ,yM∈R. Numerele xM , yM sunt coor-donatele punctuluiM .Notaţie. Formal, putem scrie−→rM=(xM ,yM ).

.Coordonate carteziene

..

ţa dintre punctele A(xA,yA) şi B(xB ,yB) este dată deformula

AB=√

(xB−xA)2+(yB−yA)2.

.Distanţa a două puncte

18

Problemă. Să se determine perimetrul triunghiului AOB,undeA(3,4),B(12,5).S. OA=

√32+42=5, OB=

√122+52=13, AB=

√92+12=√

82, deci PAOB△=18+√82.

Problemă. Să se determine valoarea numărului m∈Rastfelîncât distanţa punctelorA(2;m) şiB(m;−2) să fie egală cu 4.S.AB=

√(m−2)2+(−2−m)2=4⇔2m2+8=16⇔m=±2.

..

Fie −→u=(a1,b1) şi −→v =(a2,b2) doi vectori şi λ un număreal.Proprietăţi. (Egalitatea a doi vectori)−→u=−→v ⇔(a1=a2 ésb1=b2).Proprietăţi. (Suma a doi vectori) −→u+−→v =(a1+a2,b1+b2).Proprietăţi. (înmulţirea unui vector cu un număr real)λ·−→u=(λ·a1,λ·b1).Proprietăţi. (Produsul scalar a doi vectori) −→u ·−→v =a1·a2+b1·b2∈R.Proprietăţi. Lungimea vectorului−→u ∥−→u ∥=

√a21+b21.

Consecinţă. Din definitţia produsului scalar

cos(u,v)=a1a2+b1b2√

a21+b21·

√a22+b22

.

Consecinţă. Vectorul−→u este perpendicular pe vectorul−→v -re dacă şi numai dacă a1a2+b1b2=0.Teoremă. Vectorii−→u şi−→v sunt paraleli dacă şi numai dacăa1

a2

=b1

b2, a1,a2,b1,b2 =0 sau a1=a2=0 sau b1=b2=0.

.Operaţii cu vectori în coordonate carteziene

19

Problemă. Fie vectorii −→a =−→i +

−→j ,

−→b =

−→i −−→

j şi−→u=6

−→i +2

−→j . Să se determine numerele reale p,r∈R

astfel încât−→u=p−→a +r−→b !

S. −→u=(1,1), −→v =(1,−1), −→u=(6,2). p−→a +r−→b =

p·(1,1)+r·(1,−1)=(p,p)+(r,−r)=(p+r,p−r)=(6,2)⇔{p+r =6p−r =2

⇔p=4,r=2.

Problemă. Să se calculeze: (2−→i +5

−→j )·(3−→i −4

−→j ).

S. Din definiţia produsului scalar−→i ·−→i =∥−→i ∥·

∥−→i ∥·cos(−→i ,−→i )=1·1·cos0=1,

−→j ·−→j =1·1·cos0=1,

−→i ·−→j =∥−→i ∥·∥−→j ∥·cos(−→i ,

−→j )=1·1·cos90◦=0, deci

(2−→i +5

−→j )·(3−→i −4

−→j )=6

−→i 2−8

−→i−−−−−−−−−−−−→j+15

−→j−→i −20

−→j 2=

6−20=−14.

Altă soluţie: formal, putem scrie(2

−→i +5

−→j )·(3−→i −4

−→j )=(2,5)·(3,−4)=2·3+5·(−4)=−14.

Problemă. Să se determine valoarea parametrului m∈Rpentru care vectorii −→u=2

−→i −5

−→j şi −→v =4

−→i +(2m−1)

−→j

sunt perpendiculari!S. −→u⊥−→v ⇔−→u ·−→v =0⇔2·4+(−5)·(2m−1)=0⇔

8−10m+5=0⇔m=13

10.

Problemă. Să se arate că unghiul vectorilor −→u=4−→i −5

−→j şi

v=3−→i +7

−→j este obtuz.

S. −→u ·−→v =(4,−5)·(3,7)=12−35=−23<0, deci cosinusul un-ghiului celor doi vectori este negativ⇒ unghiul este obtuz.

Problemă. Să se determine valoarea parametrului a∈R pen-tru care vectorii −→u=a

−→i +3

−→j és −→v =4

−→i +(a+4)

−→j sunt pa-

raleli.S.−→u ||−→v ⇔

a

4=

3

a+4⇔a2+4a−12=0⇔a1=2,a2=−6.

20

Problemă. În reperul cartezian xOy sunt date puncteleO(0,0), A(2,1) şi B(−2,1). Să se afle cosinusul unghiuluiformat de vectorii

−−→OA şi

−−→OB!

S.−−→OA=(2,1),

−−→OB=(−2,1), ∥

−−→OA∥=

√5, ∥

−−→OB∥=

√5;

−−→OA·

−−→OB=−3⇔

∥−−→OA∥·∥−−→OB∥·cos(AOB)=−3⇔√5·√5·cos(AOB)=−3⇔

cos(AOB)=−3

5.

..

Fie−→rA=(xA,yA),−→rB=(xB ,yB),−→rC=(xC ,yC).Teoremă.

−−→AB=−→rB−−→rA=(xB−xA,yB−yA).

Teoremă. Dacă M∈(AB) astfel încât−−→MA=k·

−−→MB,

atunci

xM=xA−k·xB

1−kşi yM=

yA−k·yB

1−k.

Consecinţă. Coordonatele mijlocului M al segmentului[AB]:

M

(xA+xB

2,yA+yB

2

).

Consecinţă. Coordonatele centrului de greutate al triun-ghiuluiABC:

G

(xA+xB+xC

3,yA+yB+yC

3

).

Problemă. În triunghiul ABC fie G centrul de greutate.Ştiind că vectorul de poziţie al unctului A, B, G este −→rA=

4−→i +7

−→j , −→rB=2

−→i −−→

j respectiv −→rG=4−→i +4

−→j , să se deter-

mine vectorul de poziţie al punctuluiC.

S. (4,4)=(

4+2+xC

3,7−1+yC

3

)⇔xC=6,yC=6⇔C(6,6).

21

3. Trigonometrie

3.1. Elementele trigonometriei

..

Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerceste constant şi se notează prin π (valoarea aproximativăeste π≈3,1415).Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprin-zând un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cer-cului este de 1 radian.Observaţie. Dacăα este măsura unui unghi în grade iar xr

este măsura unghiului în radiani, atunci este adevărată re-laţia

α

xr

=180

π.

.Măsura unghiurilor în radiani

..O. A.

P0

.

Pπ/6

.

Pπ/3

.

Pπ/2

.

P2π/3

.

P5π/6

.Pπ

.

P7π/6

.

P4π/3

.

P3π/2

.

P5π/3

.

P11π/6

.

I.

.

II.

.

III.

.

IV.

27

..

Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centrulîn O şi cu raza egală cu 1 pe care este indicat sensul tri-gonometric direct (invers acelor ceasornicului) se numeştecercul trigonometric.Notaţie. Fie t∈R un număr real. Atunci există un unicpunctPt pe cercul trigonometric pentru carem(AOPt)=t.

.Cercul trigonometric

..

Fie t un număr real şiPt punctul pentru carem(AOPt)=t.Definiţie. Ordinata punctului Pt se numeşte sinusul nu-mărului real t şi se notează prin sint.Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul nu-mărului real t şi se notează prin cost.

.Sinusul şi cosinusul

..O.

A.

Pt

. t.cost.

sint

..O.

A.

Pt

. t.tgt

.

T

.

ctgt

.

T ′

..

Definiţie. Fie dtg dreapta verticală de ecuaţiex=1 şi fie dctgdreapta orizontală de ecuaţie y=1.

Definiţie. Fie t∈R\{

π

2+kπ| k∈Z

}şi T intersecţia drep-

telor OPt şi dtg. Ordinata punctului T se numeşte tan-genta numărului t şi se notează prin tgt.Definiţie. Fie t∈R\{kπ| k∈Z} şi fie T ′ intersecţia drep-telor OPt şi dctg. Abscisa punctului T ′ se numeşte cotan-genta numărului real t şi se notează prin ctgt.

.Tangenta şi cotangenta

28

..

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

sinx 0 12

√2

2

√3

2 1√

32

√2

212 0

cosx 1√

32

√2

212 0 − 1

2 −√

22 −

√3

2 −1

tgx 0√

33 1

√3 | −

√3 −1 −

√3

3 0

ctgx |√3 1

√3

3 0 −√

33 −1 −

√3 |

.Valori remarcabile

..

x∈C2 x∈C3

sinx=sin(π−x) sinx=−sin(x−π)

cosx=−cos(π−x) cosx=−cos(x−π)

tgx=−tg(π−x) tgx=tg(x−π)

ctgx=−ctg(π−x) ctgx=ctg(x−π)

x∈C4

sinx=−sin(2π−x)

cosx=cos(2π−x)

tgx=−tg(2π−x)

ctgx=−ctg(2π−x)

.Reducerea la primul cadran

..

x 0 C1π

2C2 π C3

3π

2C4 2π

sinx 0 + 1 + 0 − −1 − 0

cosx 1 + 0 − −1 − 0 + 1

tgx 0 + +|− − 0 + +|− − 0

ctgx |+ + 0 − −|+ + 0 − −|

.Semnul funcţiilor trigonometrice

29

..

x 0 C1π

2C2 π C3

3π

2C4 2π

sinx 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0

cosx 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0 ↗ 1

tgx 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0

ctgx |+∞ ↘ 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|

.Monotonia funcţiilor trigonometrice

..

sin2x+cos2x=1 (formula fundam.) tgx=sinxcosx

=1

ctgx

sin(

π

2−x

)=

cosx

sin(−x)=−sinx sin(x+2π)=sinx

cos(

π

2−x

)=

sinx

cos(−x)=cosx cos(x+2π)=cosx

tg(

π

2−x

)=ctgx tg(−x)=−tgx tg(x+π)=tgx

ctg(

π

2−x

)=tgx ctg(−x)=−ctgx ctg(x+π)=ctgx

.Formule trigonometrice fundamentale

30

2. Şiruri de numere reale

2.1. Şiruri reale

..

Definiţie. Se numeşte şir real o funcţie f :{k,k+1,k+2,...}→R (k∈N). Şirul se notează prin (an), unde an=f(n).Definiţie. Şirul (an)n≥k este

.. crescător, dacă an+1≥an, ∀n≥k;

.. descrescător, dacă an+1≤an, ∀n≥k;

.. mărginit, dacă ∃m,M∈R astfel încâtm≤an≤M ,∀n≥k;

.. periodic, dacă∃t∈N∗ astfel încât an+t=an, ∀n≥k

..

Definiţie. Limita şirului (an)n≥k este numărul α, dacă şinumai dacă în afara oricărei vecinătăţi V a lui α există celmult un număr finit de termeni ai şirului:limita şirului (an)=α⇔∀V=V (α), ∃nV ∈N astfel încâtan∈V , ∀n≥nV .Notaţie. Dacă limita şirului (an) este α, se scrie:lim

n→∞an=α.

Teoremă. Fie (an)n∈N un şir de numere reale, α∈R... lim

n→∞an=α⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât |an−

α|<ε, ∀n≥n0... lim

n→∞an=∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an>

ε, ∀n≥n0.

.Limita unui şir

46

..

.. limn→∞

an=−∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an<

−ε, ∀n≥n0.Definiţie. Şirul (an) este convergent, dacă are limită finită.Un şir care nu este convergent este divergent.Teoremă. Dacă un şir are limită, atunci limita şirului esteunică.Teoremă. lim

n→∞an=α⇒ lim

n→∞|an|=|α|.

Teoremă. limn→∞

an=0⇔ limn→∞

|an|=0.

Teoremă. Dacă (an) este convergent, atunci (an) estemărginit.

.Limita unui şir - continuare

Problemă. Să se demonstreze că limn→∞

2n+1

3n−1=

2

3.

S. Trebuie arătat că pentru orice ε>0 există n0 astfel încât pen-

tru orice n≥n0,∣∣∣∣an−

2

3

∣∣∣∣<ε, unde an=2n+1

3n−1.∣∣∣∣ 2n+1

3n−1−

2

3

∣∣∣∣<ε⇔5

3(3n−1)<ε⇔

5

3ε<3n−1⇔

53ε+1

3<n,

deci se poate alege n0=

[5+3ε

15

]+1 ([A] este partea întreagă

număruluiA).

Problemă. Să se demonstreze că limn→∞

n2

n+1=∞.

S. Trebuie arătat că ∀ε>0, există n0 astfel încât pentru orice

n≥n0,n2

n+1>ε⇔n2−εn−ε>0⇔n∈

(−∞,

ε−√

ε2+4ε2

)∪(

ε+√

ε2+4ε2 ,∞

).

Fie n0=

[ε+

√ε2+4ε2

]+1, atunci an>ε, ∀n≥n0.

47

2.2. Operaţii cu şiruri reale

..

Definiţie. Fie şirurile (an)n∈N şi (bn)n∈N... Suma şirurilor este şirul (cn)n∈N, unde ck=ak+

bk , ∀k∈N;.. Produsul şirurilor este şirul (dn)n∈N, unde dk=

ak·bk , ∀k∈N;.. Câtul şirurilor este şirul (en)n∈N, unde ek=

ak

bk,

∀k∈N, dacă bk =0, ∀k∈N.Definiţie. Produsul şirului (an) cu numărul real λ este şi-rul (pn), unde pk=λ·ak , ∀k∈N.Teoremă. Dacă şirul (an) are limită, λ∈R∗, atunci şirul(λ·an) are limită şi

limn→∞

(λ·an)=λ· limn→∞

an.

Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar suma li-mitelor are sens, atunci şirul (an+bn) are limită şi

limn→∞

(an+bn)= limn→∞

an+ limn→∞

bn.

Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar produsullimitelor are sens, atunci şirul (an·bn) are limită şi

limn→∞

(an·bn)= limn→∞

an· limn→∞

bn.

Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar câtul li-

mitelor are sens, atunci şirul(

an

bn

)are limită şi

limn→∞

(an

bn

)=

limn→∞

an

limn→∞

bn.

Nedeterminări: ∞+(−∞), 0·∞, 0·(−∞),±∞±∞

,0

0.

.Operaţii cu şiruri care au limită

48

Exemplu. limn→∞

2n+3

3n2+5n+2= lim

n→∞

n

(n+

3

n

)n

(3n+5+

2

n

)=

=limn→∞

n

(n+

3

n

)n

(3n+5+

2

n

)=

limn→∞

(n+

3

n

)lim

n→∞

(3n+5+

2

n

)=

=lim

n→∞n+ lim

n→∞

3

n

limn→∞

3n+ limn→∞

5+ limn→∞

2

n

=1+0

∞+5+0=

1

∞=0.

Exemplu. limn→∞

√3n2+n+1−

√n2+2n+3=‘‘∞−∞′′

=

= limn→∞

n·(√

3+1

n+

1

n2−√

1+2

n+

3

n2

)=

= limn→∞

n·(

limn→∞

√3+

1

n+

1

n2− lim

n→∞

√1+

2

n+

3

n2

)=

∞·(√3−

√1)=∞.

Exemplu. limn→∞

√n2+4n+3−

√n2+3n+1=‘‘∞−∞′′

==

limn→∞

√n2+4n+3+

√n2+3n+1)

√n2+4n+3−

√n2+3n+1

1=

= limn→∞

(√n2+4n+3)2−(

√n2+3n+1)2

√n2+4n+3+

√n2+3n+1

=

= limn→∞

n+2√n2+4n+3+

√n2+3n+1

=

limn→∞

=1+

2

n√1+

4

n+

3

n2+

√1+

3

n+

1

n2

=1

√1+

√1=

1

2.

49

Exemplu. limn→∞

1+1

3+...+

1

3n= lim

n→∞

1−(

1

3

)n+1

1−1

3

=

limn→∞

3

2

(1−

1

3n+1

)=

3

2.

Exemplu. limn→∞

7n

7n+11= lim

n→∞

1

1+11

7n

=1

1+0=1.

Problemă. Să se calculeze: limn→∞

n∑k=1

arctg1

k2+k+1.

S. Pentru k∈N∗ oarecare fie arctg1

k=α, arctg

1

k+1=β. Atunci

arctg1

k2+k+1=arctg

1

k−

1

k+1

1+1

k·

1

k+1

=arctgtgα−tgβ1+tgα·tgβ

=

=arctgtg(α−β)=α−β=arctg1

k−arctg

1

k+1,

astfel limn→∞

n∑k=1

arctg1

k2+k+1=

limn→∞

(arctg1−arctg

1

2+arctg

1

2−arctg

1

3+...+arctg

1

n−

1

n+1

)=

= limn→∞

(π

4−arctg

1

n+1

)=

π

4−0=

π

4.

50

4. Funcţii continue

4.1. Continuitatea funcţiilor

..

Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0∈D, dacă şi numai dacă pentru orice vecinătate V (f(x0)) alui f(x0) există o vecinătate U(x0) a punctului x0 pentrucare ∀x∈D∩V (x0)⇒f(x)∈V (f(x0)).Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctulx0∈Ddacă şi numai dacă sau x0 este un punct izolat al luiD saulim

x→x0f(x)=f(x0).

Teoremă. (Criteriul lui Heine) Funcţia f :D→R este con-tinuă în punctul x0∈D dacă şi numai dacă pentru orice şir(xn), xn∈D, cu lim

n→∞xn=x0 avem lim

n→∞f(xn)=f(x0).

Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0

dacă şi numai dacă ∀ε>0, ∃δ(ε)>0 astfel încât ∀x∈D,|x−x0|<δ(ε)⇒|f(x)−f(x0)|<ε.Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă pe mulţimea Ddacă f este continuă în fiecare punct al luiD.Teoremă. Funcţiile elementare sunt continue pe tot dome-niul lor de definiţie.

Problemă. Să se arate că funcţia

f :R→R, f(x)={

x2−2x , dacă x∈Qx−2 , dacă x∈R\Q

nu este continuă în punctul x0=3!S. Fie (an) un şir cu termeni raţionali şi an→x0, iar (bn) un şirde termeni iraţionali, bn→x0. Atunci lim

n→∞f(an)= lim

n→∞a2n−

2an=32−2·3=3, lim

n→∞f(bn)= lim

n→∞bn−2=3−2=1. Con-

form criteriului lui Heine f nu este continuă în x0=3.

67

..

Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la stânga în punc-tul x0∈D, dacă x0 este un punct izolat al mulţimiiD saulim

x→x0x<x0

f(x)=f(x0).

Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la dreapta înpunctul x0∈D, dacă x0 este punct izolat al mulţimiiD saulim

x→x0x>x0

f(x)=f(x0).

.Continuitate laterală

..

Definiţie. Funcţia f :D→R este discontinuă în punctulx0∈D dacă şi numai dacă f nu este continuă în x0.Definiţie. Dacă ∃ lim

x→x0x<x0

f(x)=lb∈R, ∃ limx→x0x>x0

f(x)=lj∈R,

dar lb =lj , atunci f are discontinuitate de prima speţă înx0.Definiţie. Dacă f nu este continuă în punctul x0 şi discon-tinuitatea nu este de prima speţă, atunci f are discontinu-itate de speţa a doua.

.Puncte de discontinuitate

Exemplu. f :R→R,

f(x)=

2x−1 , dacă x<10 , dacă x=1x2 , dacă x∈(1,2)x+1 , dacă x∈[2,3]1

x−3, dacă x∈(3,∞)

f cont. pe (−∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,∞).limx↗1

f(x)= limx↘1

f(x)=1, f(1)=0⇒f are discontinuitate în

x0=1.

68

limx↗2

f(x)=4, limx↘2

f(x)=3⇒f are discont. de prima speţă în

x1=2.limx↗3

f(x)=4, limx↘3

f(x)=+∞⇒f are discont. de speţa a doua

în x2=3.

Problemă. Să se verifice continuitatea funcţiei

f :R→R, f(x)=

sinxx

, dacă x<0

1 , dacă x=0

x2−2x+2 , dacă x>0

în punctul x0=0.S. Verificăm dacă lim

x↗x0f(x)= lim

x↘x0f(x)=f(x0).

limx↗x0

f(x)= limx↗0

sinxx

=1

limx↘x0

f(x)= limx↘0

x2−2x+2=1

f(x0)=f(0)=1

⇒lb(x0)=lj(x0)=

f(x0)⇒f este continuă în punctul x0=0.

Problemă. Să se determine valoarea lui a∈R ast-fel încât f să fie continuă pe R, unde f :R→R,

f(x)=

{ax2+x+a+1 , dacă x<1

x2+ax−2 , dacă x≥1.

S. Funcţia f este continuă pe (−∞,1) şi pe (1,∞) (funcţiileelementare sunt continue), deci verificăm continuitatea înpunctul x0=1.

limx↗x0

f(x)= limx↗1

ax2+x+a+1=2a+2

limx↘x0

f(x)= limx↘1

x2+ax−2=a−1

f(x0)=f(1)=a−1

⇒2a+2=

a−1⇒a=−3.

69

Comandă versiunea completă, tipărită de

www.presstern-kits.ro